Elementi di Teoria dei Segnali

INTRODUZIONE AI SEGNALI

1


Fondamenti TLC

1 Elementi di Teoria dei Segnali (di Marco Marcon)


2

Classificazione dei segnali (1) I segnali rappresentano il comportamento di grandezze fisiche (ad es. tensioni, temperature, pressioni, ...) in funzione di una o più variabili indipendenti (ad es. il tempo t, lo spazio x, ...). I segnali monodimensionali sono rappresentati da funzioni di una sola variabile e possono essere:

1

• continui => se la variabile indipendente assume con continuita’ tutti i valori reali

0.5

t

0

x(t )

-0.5 -2

-1

0

1

2

Fondamenti TLC



3

Classificazione dei segnali (2) • discreti => se la variabile indipendente assume valori multipli interi di un intervallo prefissato

1

0.5

n

0

-0.5 -5

0

xn

5 Fondamenti TLC



4

Classificazione dei segnali (3) • reali => se il segnale assume solo valori solo reali •complessi => se il segnale assume valori complessi (parte reale + parte immaginaria oppure modulo + fase)

Modulo + Fase

Reale + Immaginaria 1 0 -1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 t

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

t Fondamenti TLC


4

5


5

Classificazione dei segnali (4) • periodici => se il segnale si ripete uguale a se stesso dopo un qualsiasi intervallo multiplo di un periodo di durata To: y(t)=y(t+kT0). L’inverso della durata del periodo viene detta frequenza fondamentale fo del segnale periodico. Se y(t) e’ periodico di periodo di durata To , e con x(t) si indica l’espressione di un solo periodo, e’ evidente che il segnale periodico può essere espresso come:

y (t ) =

∞

∑ x(t − nT )

x(t)

o

n = −∞

To

1 0 -1 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Fondamenti TLC



6

Energia e Potenza

Energia

E=

∞

∫

2

Potenza istantanea

x(t ) dt

Pi = x(t )

2

−∞ T /2

1 2 PT = x(t ) dt ∫ T −T / 2

Potenza media sull’intervallo T

T /2

Potenza media

1 2 Pm = lim x ( t ) dt ∫ T →∞ T −T / 2

Potenza media di un segnale periodico

1 Pm = To

To / 2

∫ x(t )

2

dt

− To / 2

Fondamenti TLC



7

Ritardo

Il segnale

x(t − τ )

e’ ritardato di

τ

rispetto a

x(t )

e’ traslato rigidamente verso destra

2 1

x(t )

0

x(t − 100)

-1 -2

-200

-100

0

100

200

Fondamenti TLC



8

Anticipo

Il segnale

x(t + τ )

e’ anticipato di

τ

rispetto a

x(t )

e’ traslato rigidamente verso sinistra

2 1

x(t )

0

x(t + 100)

-1 -2

-200

-100

0

100

200

Fondamenti TLC



9

Scalatura Il segnale

x(at ) e’ scalato di a

rispetto a

e’ dilatato o compresso a secondo che

t x  2

2

0

0

-1

-1

-200

-100

0

100

 t x −   2

2 1

-2

a <1 o a >1

x(t )

1

200

-2

x(t )

-200

-100

0

100

200

Fondamenti TLC



10

ESEMPI: costante e rettangolo

x(t ) = C

x(t ) = rect (t )

E=∞

Costante

Rettangolo

E =1

Pm = 0

Pm = C 2 1.5

8 6

1 4

0.5

2 0 -50

-25

0

25

50

0 -1

0

1 Fondamenti TLC



11

Moltiplicazione di un segnale per il rettangolo

y (t ) = x(t ) ⋅ rect (t ) 2

x(t )

1

0 -2

-1

0

-2

-1

0

y (t )

1

2

1

2

2 1

0

Fondamenti TLC



12

ESEMPI: scalino ed esponenziale reale

1 t > 0 x(t ) = u (t ) =  î 0 t<0 Scalino

x(t ) = exp( − at )u (t ) Esponenziale reale 1 E= 2a

1 Pm = 2

E=∞

a>0

1

1.5

0.8

1

0.6 0.5

0.4 0

0.2 -0.5 -1

-0.5

0

0.5

1

0 -1

0

1

2

Fondamenti TLC



13

L’impulso: definizione L’impulso (detto anche delta di Dirac) puo’ essere definito come il rettangolo di base T e altezza 1/T quando T tende a zero:

1 t rect   T →0 T T 

δ (t ) = lim

∞

A = ∫ δ (t ) dt = 1 −∞

1.5 1

1/T

L’impulso e’ dunque un segnale localizzato nell’origine con base infinitesima, ampiezza infinita, ma area (integrale) unitaria:

0.5

T 0 -1

0 Fondamenti TLC


1


14

L’impulso: regole di calcolo 1 - Un segnale x(t) moltiplicato per un impulso e’ uguale al valore del segnale in t=0 per 2

l’impulso stesso

1 t x(t ) ⋅ rect   = x(t) ⋅ δ (t ) = Tlim →0 T T 

1

1 t = lim x(0) ⋅ rect   = x(0) ⋅ δ (t ) T →0 T T 

-1

1/T rect(t/T)

x(t)

0

-2

-200

-100

0

100

200

2 - Un segnale x(t) moltiplicato per un impulso ritardato di τ e’ uguale al valore del segnale in t=τ per l’impulso stesso:

x(t) ⋅ δ (t −τ ) = x(τ ) ⋅ δ (t −τ )

3 - L’integrale di un segnale x(t) moltiplicato per un impulso ritardato di τ e’ uguale al valore del segnale in t=τ : ∞

∫ x(t )δ (t − τ ) dt = x(τ )

−∞

Fondamenti TLC



15

Simbolo dell’impulso

2δ (t-1)

2 1

-2

-1

δ (t)

1

2

t

-1

-2δ (t+2) -2

Fondamenti TLC



16

Cosinusoide

x(t ) = A cos(2πf ot + ϕ )

1 To = fo

A2 Pm = 2

Periodo Ampiezza

Frequenza

Fase (iniziale)

(

5

x(t ) = 5 cos 2π 2t − π

2.5 0

)

y (t ) = sin (2πf 0t ) =

-2.5 -5 -1

4

-0.5

0

0.5

1

= cos(2πf 0t − π / 2 ) Fondamenti TLC



17

Cosinusoide: ampiezza, fase, frequenza 0 -10 -1 10

-0.5

0

0.5

1

0 -10 -1

-0.5

0

0.5

Cosinusoide

x(t ) = A cos(2πf ot + ϕ ) =   = A cos 2πf o  t + ϕ  f 2 π o   î

5 0 -5 -1 5

0

0.5

1

-0.5

0

0.5

1

0 -5 -1

1

-0.5

Aumenta la frequenza

Aumenta l’ampiezza

10

Aumenta la fase iniziale 1 0.5 0

Aumentare la fase della cosinusoide -0.5 equivale ad anticipare -1

-1

-0.5

0

0.5

Fondamenti TLC


1


18

L’esponenziale complesso

x(t ) = exp{ j 2π f ot

}

Pm = 1

Im{x(t)}

sin{ 2π f ot

} 1

{ 2π

f ot

}

Re{x(t)}

cos{ 2π f ot

}

Fondamenti TLC



19

L’esponenziale complesso (Eulero) 1 cos{ 2π f ot }=

Im{x(t)}

1/2

{ 2π

f ot

}

1 exp{ j 2π f ot }+  =   2 exp{ − j 2π f ot }

Re{x(t)}

1/2

{ −2π

f ot

}

sin{ 2π f ot }=

1 exp{ j 2π f ot }− =   2 j exp{ − j 2π f ot } Fondamenti TLC



20

L’esponenziale complesso (Eulero) 2 x(t ) = exp{ j 2π f ot

}

Componenti reale + immaginaria 1 0

Im{x(t)}

-1 1

{ 2π

f ot

}

-5 -4 -3 -2 -1

0 1 2 3 4 5

Modulo + fase

Re{x(t)}

4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

Fondamenti TLC


5

SEGNALI PERIODICI: LA SERIE DI FOURIER

21


Fondamenti TLC



22

Rappresentazione dei segnali periodici (1) To

Un segnale periodico con periodo di durata To puo’ essere rappresentato come somma di esponenziali complessi con frequenza pari ad un multiplo intero della frequenza fondamentale (fo=1/T0) e con opportuna ampiezza e sfasamento iniziale.

y (t ) =

∑ Ak exp{j (2π

)}

∞

k f o t + ϑk =

k = −∞

∑ Ak exp{jϑk }exp{j 2π ∞

k = −∞

k f ot

}

Per maggior compattezza delle formule conviene introdurre il coefficiente complesso:

Yk = Ak exp{jϑk } y (t ) =

ottenendo:

∑ Y exp{j 2π ∞

k = −∞

k

k f ot

} Fondamenti TLC



23

Rappresentazione dei segnali periodici (2) L’ampiezza Ak e lo sfasamento iniziale ϑk degli esponenziali complessi (detti componenti armoniche), cioe’ il coefficienti complessi Yk , si trovano con un semplice integrale:

1 Yk = To

To / 2

∫

{

}

y (t ) exp − j 2π k f ot dt

− To / 2

Lo sviluppo del segnale periodico nelle sue componenti armoniche viene detto Serie di Fourier (gli Yk sono chiamati Coefficienti della Serie di Fourier).

Fondamenti TLC



24

Come si ottengono i coefficienti della serie di Fourier y(t) =

1 Yk = To 1 = To

To / 2

∞

{

To / 2

∫

∑ Yn exp{j 2π ∞

n = −∞

n f ot

{

}

y (t ) exp − j 2π k f o t dt =

− To / 2

} {

}

1 exp 2 exp 2 π ⋅ − π = Y j n f t j k f t dt ∑ n o o ∫ To = −∞ n −T / 2 o

1 = To

}

To / 2

∫

∑ Yn exp{j 2π (n − k ) ∞

− To / 2 n = −∞

T0 / 2  T0 / 2   0 se n ≠ k ∑ Yn  ∫ cos 2π (n − k ) f ot dt + j ∫ sin 2π (n − k ) f ot dt  = Y se n = k −T0 / 2  î n n = −∞ − T0 / 2 ∞

(

)

(

)

Se n e’ diverso da k l’integrale e’ nullo in quanto si integra un numero intero di cicli di un segnale sinusoidale. Se n=k l’integrale e’ diverso da zero in quanto si integra una costante. Fondamenti TLC


}

f o t dt


25

Simmetrie della serie di Fourier di segnali reali Se il segnale periodico y(t) e’ reale la sua espansione in serie di Fourier gode di simmetria complessa coniugata:

Yk = Y−*k

Ak exp( jϑk ) = A− k exp(− jϑ− k ) INFATTI

Y−*k

1 =  To

1 = To 1 = To

To / 2

∫

{

To / 2

∫

− To / 2

{

To / 2

}

}

*

exp − j 2π (− k ) f t  dt = ( ) y t o ∫   − To / 2

y (t ) exp + j 2π (− k )

− To / 2

{

y (t ) exp − j 2π (− k )

*

 f o t dt  = 

}

1 f o t dt = To

To / 2

∫

y (t ) exp{− j 2πkf o t} dt = Yk

− To / 2

Fondamenti TLC



26

Serie di Fourier di segnali reali Se il segnale periodico y(t) e’ reale la serie di Fourier puo’ scriversi anche come somma di coseni e seni:

y(t ) =

∑Y exp{j2π k f t}=

k = −∞ ∞

exp{j 2πkf 0t}=

∞

{

k

cos(2πkf 0t ) + j ⋅ sin (2πkf 0t )

o

}

{

exp{− j 2πkf 0t}=

cos(2πkf 0t ) − j ⋅ sin (2πkf 0t )

}

= Yo + ∑Yk exp j 2π k fot + Y−k exp − j 2π k fot = k =1 ∞

{

}

{

Yk = Re{Yk }+ j ⋅ Im{Yk }= Yk ⋅ exp{jϑk } Yk* = Re{Yk }− j ⋅ Im{Yk }= Yk ⋅ exp{− jϑk }

}

= Yo + ∑Yk exp j 2π k fot + Yk* exp − j 2π k fot = k =1

(

∞

)

(

)

= Yo + 2∑ Re{Yk }cos 2π k fot − Im{Yk }sin 2π k fot = k =1 ∞

(

= Yo + 2∑ Yk cos 2π k fot + ϑk k =1

)

 1 To / 2  Y0 =  y t j kf t dt ( ) exp 2 ⋅ − π = { 0 }  ∫  T 0 −To / 2  k = 0 T /2

1 o y (t )dt T 0 −T ∫ / 2 o

L’unica armonica che non e’ moltiplicata per 2 e’ quella a frequenza zero che viene detta la componente continua del segnale. 6 Fondamenti TLC Elementi di Teoria dei Segnali (di Marco Marcon)


27

Esempi di espansione in serie di Fourier: l’onda quadra y(t) 1 1/2

To /2

La componente continua, Y0, vale 1/2

1 Yk = To

To / 4

∫

exp{− j 2π k f o t} dt =

To /2

t

0 .6

Yk 0 .4

−To / 4

π k 1 1 sin 2 { } cos 2 k f t dt π = ⋅ o To −T∫o / 4 2 π k 2 To / 4

sin α sin α = lim =1 α α =0 α →0 α

0 .2

0

-0 .2 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

Fondamenti TLC


6

k


28

Le prime 10 armoniche dell’onda quadra 0.8 k=0 k=1 k=3 k=5 k=7 k=9

0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -2

-1

0

1

2

∞

∞

k =1

k =1

y (t ) = Y0 + 2 ∑ Re(Yk ) ⋅ cos(2πkf 0t ) − 2 ∑ Im(Yk ) ⋅ sin (2πkf 0t ) Fondamenti TLC



29

2

1

1

0

0

-1 -2

-1 -2

0

2

2

2

1

1

0

0

-1 -2

-1 -2

0

2

0

2

0

2 Fondamenti TLC


Armoniche 0,1,3,5,7

Armoniche 0,1,3,5

2

Armoniche 0,1,3

Armoniche 0,1

Espansione parziale in serie di Fourier dell’onda quadra


30

Esempi di espansione in serie di Fourier: la costante 1

t E’ periodica di un periodo di durata qualsiasi

La componente continua vale 1

1 per k = 0 Yk =  î 0 per k ≠ 0

1

0.5

0

-6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

Fondamenti TLC


6

k


31

Esempi di espansione in serie di Fourier: l’onda quadra a media nulla

1/2 0

t To /2

La componente continua vale 0 Yk = 1 To

1 To

To / 4

∫

{

Yk

}

exp − j 2π k f o t dt =

− To / 4

{

0.6

0.4

π k 1 sin 2 per k ≠ 0 ∫ cos 2π k f o t dt = 2 ⋅ − To / 4 π k 2 To / 4

To /2

}

0.2

0

-0.2 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

Fondamenti TLC


6

k


32

Esempi di espansione in serie di Fourier: l’esponenziale complesso L’esponenziale complesso è periodico, ed e’ di per sé un termine dell’espansione in serie di Fourier:

y ( t ) = exp { j 2π f o t

}


Yk 1

1 per k = 1 Yk =  î 0 per k ≠ 1

0

-6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

Fondamenti TLC


6

k


33

Esempi di espansione in serie di Fourier: il coseno Il coseno e’ di per sé un termine dell’espansione in serie di Fourier di segnali reali:

y (t ) = Yo + 2∑ Yk cos(2π k f ot + ϑk ) ∞

k =1


0.6

Yk 0.4

1/2 per k = ±1 Yk =  î 0 per k ≠ ±1

0.2

0

-0.2 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

Fondamenti TLC


6

k


34

Esempi di espansione in serie di Fourier: il seno Il seno e’ di per sé un termine dell’espansione in serie di Fourier di segnali reali:

(

∞

)

(

y (t ) = Yo + 2∑ Re{Yk }cos 2π k f ot − Im{Yk }sin 2π k f ot k =1

La componente continua vale 0  j − 2 per k = +1  j Yk = + per k = −1  2  0 per k ≠ ±1 î

)

Yk

0.5

0

-0.5 -6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

Fondamenti TLC


6

k

SEGNALI NON PERIODICI: LA TRASFORMATA DI FOURIER

35


Fondamenti TLC



36

Rappresentazione dei segnali non periodici nel dominio della frequenza (1) Un segnale non periodico puo’ essere visto come un segnale con periodo di durata (To) tendente all’infinito. Esso può essere rappresentato come somma di esponenziali complessi con frequenza pari ad un multiplo intero della frequenza fondamentale fo=1/T0 che, in questo caso, diventa infinitesima (df). Aumentando il numero delle componenti armoniche e rimanendo finita l’energia del segnale, anche l’ampiezza degli esponenziali complessi diventa infinitesima. E’ ragionevole quindi rappresentare ampiezza e fase delle componenti armoniche come una funzione complessa della frequenza moltiplicata per la frequenza fondamentale:

Yk = Y (k f o ) f o Al tendere di fo all’infinitesimo df, kfo copre con continuita’ tutte le frequenze e diventa quindi la variabile continua f:

Y (k f o ) f o ⇒ Y ( f ) df Fondamenti TLC



37

Rappresentazione dei segnali non periodici nel dominio della frequenza (2) E’ possibile estendere il formalismo dell’espansione in serie di Fourier ad un segnale non periodico, ottenendo:

y (t ) =

∑ Yk ⋅ exp{j 2π ∞

k = −∞

kf 0t

⇒

}

⇒

Yk = Y (kf 0 ) f 0

y (t ) =

∑ Y (kf 0 )⋅ f 0 ⋅ exp{j 2π ∞

k = −∞

∞

T0 → ∞ , f 0 → df , kf 0 → f

{

kf 0t

}

}

y (t ) = ∫ Y ( f ) exp j 2π ft df −∞

La funzione complessa Y(f) si ottiene ancora sfruttando lo stesso formalismo che consente di trovare ampiezza e fase delle componenti armoniche di un segnale periodico:

1 Yk = To

To / 2

∫

{

}

y (t ) exp − j 2π k f o t dt = Y (kf 0 ) f 0

− T0 / 2

∞

T0 → ∞, f 0 → df , kf 0 → f

{

}

Y ( f )df X ∫ y (t ) exp − j 2π ft dt X = df −∞

Fondamenti TLC



38

La trasformata di Fourier L’operatore che consente di ottenere la funzione complessa della frequenza che rappresenta ampiezza e fase delle componenti armoniche di un segnale non periodico viene detto Trasformata di Fourier del segnale: ∞

∫ y(t ) exp{− j 2π ft} dt

Y( f ) =

−∞

L’operatore che consente di ottenere il segnale nel tempo a partire dalla sua trasformata di Fourier viene detto Trasformata Inversa di Fourier oppure Anti-trasformata di Fourier : ∞

{

}

y (t ) = ∫ Y ( f ) exp j 2π ft df −∞

Fondamenti TLC



39

Dalla serie di Fourier dell’onda quadra alla trasformata di Fourier del rettangolo (1) 1

T2

T1

t

Il periodo del segnale ha durata To =T1 +T2

1 Yk = To

T1 / 2

∫

{

}

exp − j 2π k f o t dt =

− T1 / 2

 π kT1    sin T1 / 2 T o T1 1  cos 2π k f o t dt = ∫ To −T / 2 T0 π kT 1 1 To

{

}

La componente continua vale T1 / To Fondamenti TLC



40

Dalla serie di Fourier dell’onda quadra alla trasformata di Fourier del rettangolo (2) Assumiamo T1 = 1

1

To = 2

-1 -6 1

To = 4

To = 8

YkTo = Y ( kf o )

0 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1 -12 -10 -8 1

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 -24 -20 -16 -12 -8

-4

0

4

8

5

6

k

0 10 12

k

12 16 20 24

k

0

Fondamenti TLC



41

Dalla serie di Fourier dell’onda quadra alla trasformata di Fourier del rettangolo (3) Se To va all’infinito (rettangolo non periodico) la trasformata di Fourier diventa: T1 / 2 sin π T1 f exp − j 2π ft dt = T1 ⋅ Y( f ) = T1=1 π T1 f − T1 / 2

{

∫

(

}

)

1

0 .5

0

- 0 .5 -3

-2

-1

0

1

2

3 Fondamenti TLC



42

Seno cardinale sinc(t ) =

sinπ t

Si annulla per tutti i valori

E =1

π t

interi di t tranne nell’origine dove ha valore unitario

1 0.8 0.6 0.4 0.2

o

o

o

o

o

-0.4 -5

-4

-3

-2

-1

0

o

o

o

o

o

1

2

3

4

5

-0.2 0

Fondamenti TLC



43

Periodicizzazione di segnali non periodici Periodicizzare a passo To un segnale x(t), significa sommare tra loro infinite repliche del segnale x(t) traslate tra loro di To. Il segnale y(t) che si ottiene e’ sicuramente periodico di periodo To.

y (t ) =

∞

∑ x(t − nT )

n = −∞

o

Dall’esempio fatto, si puo’ osservare che periodicizzando a passo To il segnale non periodico x(t) (il rettangolo di durata T1 e ampiezza unitaria) si ottiene l’onda quadra y(t). Si puo’ anche osservare che la serie di Fourier dell’onda quadra si ottiene a partire dalla trasformata di Fourier di x(t) 1 sostituendo al posto della frequenza il valore k/ To 2 moltiplicando il risultato per 1/ To :

X ( f ) = T1 ⋅

(

sin π T1 f

π T1 f

)

(

1  k  T1 sin π kT1 / To Yk = X   = To  To  T0 π kT1 / To CIO’ E’ VERO IN GENERALE Fondamenti TLC


)


44

Esempi di trasformata di Fourier (il rettangolo) A x(t ) = A rectT (t ) =  î 0

t ≤T /2 ⇔ t >T /2

sin πfT X ( f ) = AT ⋅ πfT

x(t) A

-T/2

T/2

t

X(f) AT

F -1/T

1/T

f

Fondamenti TLC



45

Esempi di trasformata di Fourier (il triangolo) x(t ) = A tri2T (t )

⇔

x(t)

 sin πfT   X ( f ) = AT   πfT 

2

A

X(f) -T

AT

T

F -1/T

1/T

Fondamenti TLC


f


46

Esempi di trasformata di Fourier (il sinc) sin π Tt x(t ) = A π Tt

⇔

 A X ( f ) = AT rect1/ T ( f ) =  0 î

1 2T 1 f > 2T f ≤

x(t) A X(f) -T

t

T

AT

F -1/2T

1/2T Fondamenti TLC


f


47

Esempi di trasformata di Fourier (la gaussiana) 2   t 1   ⋅ exp− 2  ⇔ x(t ) = î 2a  2πa 2

 f2  X ( f ) = exp− 2 2 î 1 / 2π a 

x(t) 1 / 2πa 2

X(f) 1 t F f Fondamenti TLC


LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA’ ED ESEMPI

48

LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA’ ed ESEMPI

Fondamenti TLC



49

Proprieta’ della TDF (1) LINEARITA’: la TDF della combinazione lineare (somma pesata) di due segnali e’ uguale alla combinazione lineare delle TDF dei due segnali.

a1 x1(t) +a2 x2(t)

TDF

a1 X1 (f) +a2 X2 (f)

SIMMETRIA: la TDF di una segnale REALE gode di simmetria complessa coniugata. La parte reale e il modulo sono simmetrici rispetto all’origine (pari), la parte immaginaria e la fase sono antisimmetriche rispetto all’origine (dispari).

x(t) reale

TDF

{

X(f) = X*(-f) Re{X(f)} = Re{X(-f)} Im{X(f)} = - Im{X(-f)} |X(f)| = |X(-f)| fase X(f) = - fase X(-f) Fondamenti TLC



50

Proprieta’ della TDF (2) TDF di una segnale REALE

A Modulo

Fase f

f A

A Reale

f

f

Immag.

Casi particolari

x(t) reale pari x(t) reale dispari

TDF

X(f) reale pari X(f) immaginario dispari Fondamenti TLC



51

Proprieta’ della TDF (3) Valori nell’origine ∞ ∞  X (0) =  ∫ x(t ) ⋅ exp{− j 2πft }dt  = ∫ x(t )dt  −∞  f =0 −∞

x(t)

X(0) t ∞ ∞  x(0) =  ∫ X ( f ) ⋅ exp{j 2πft}df  = ∫ X ( f )df −∞  t =0 −∞

X(f) x(0) f Fondamenti TLC



52

Proprieta’ della TDF (4) Traslazione nei tempi: la TDF del segnale ritardato e’ uguale a quella del segnale originale moltiplicata per un esponenziale complesso

x(t-t0 )

TDF

e-j2πf t0 X(f)

Traslazione nelle frequenze: traslare in frequenza la TDF del segnale, equivale a moltiplicare il segnale nei tempi per un esponenziale complesso

x(t ) e-j2π f0 t

TDF

X(f+ f0 )

Fondamenti TLC



53

Proprieta’ della TDF (5) Moltiplicazione nelle frequenze: la TDF inversa del prodotto delle TDF di due segnali e’ uguale all’integrale di convoluzione dei segnali nei tempi. L’integrale di convoluzione e’ un operatore utilizzato, per esempio, per descrivere come vengono modificati i segnali quando passano attraverso sistemi lineari tempoinvarianti. ∞

∫ x(τ ) y(t − τ )dτ

X(f)Y(f)

TDF

−∞

Moltiplicazione nei tempi: la TDF del prodotto di due segnali e’ uguale all’integrale di convoluzione delle due TDF (nelle frequenze).

∞

x(t )y(t)

TDF

∫ X (ξ )Y ( f − ξ )dξ

−∞

Fondamenti TLC



54

Proprieta’ della TDF (6) La relazione di Parseval: l’energia di un segnale e’ uguale all’integrale del modulo quadrato della sua TDF ∞

∫

−∞

X(f ) Quindi

2

x(t ) dt

∞

=

∫

2

X ( f ) df

−∞

2

integrata su tutto l’asse delle frequenze fornisce l’energia del segnale.

X(f )

2

rappresenta l’energia del segnale in ogni intervallo di frequenze

infinitesimo df.

X(f )

2

viene detta DENSITA’ SPETTRALE DI ENERGIA

Fondamenti TLC



55

Banda di un segnale Viene definita Banda (B) del Segnale x(t) l’intervallo di frequenze (misurato sul semiasse positivo) all’interno del quale X(f) assume valori diversi da 0. Molto spesso X(f) è a rigore diversa da 0 da -∞ a ∞, in questo caso la Banda corrisponde all’intervallo di frequenza in cui X(f) è “significativamente” diversa da 0. Operativamente nella definizione di banda, consideriamo due classi di segnali: Segnali di tipo passa-basso X(f) concentrata intorno a f=0

Segnali di tipo passa-banda X(f) concentrata intorno a f=±f0

|X(f)|

B

|X(f)|

f

-f0

-f0 B Fondamenti TLC


f


56

La trasformata di Fourier del coseno (1) Un impulso di area unitaria in frequenza ha come TDF inversa una costante ∞ unitaria nei tempi:

∫ δ ( f ) exp{j 2π ft} df

=1

−∞

Quindi la TDF di una costante unitaria e’ un impulso nelle frequenze. La trasformata di Fourier del coseno si ricava da quella della costante utilizzando le proprieta’ di traslazione nelle frequenze e di linearita’:

x (t ) = cos(2π f ot ) =

{

}

{

1 1 exp j 2π f ot + exp − j 2π f ot 2 2

}

TDF

1 1 X ( f ) = δ ( f − fo ) + δ ( f + fo ) 2 2 Fondamenti TLC



57

La trasformata di Fourier del coseno (2) La serie di Fourier del coseno ricavata in precedenza e’ costituita da due campioni di ampiezza 1/2 rispettivamente in k= +1 e k= -1

1/2 per k = ±1 Xk =  î 0 per k ≠ ±1

x (t ) = cos( 2π f ot )

0.6

La TDF del coseno si ottiene dalla serie di Fourier ponendo alle frequenze f=kfo, impulsi

Xk 0.4

di area pari ai campioni Xk della serie, dove

fo e’ la frequenza fondamentale del segnale

0.2

periodico 0

1 1 X ( f ) = δ ( f − fo ) + δ ( f + fo ) 2 2

-0.2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Fondamenti TLC


k


58

La trasformata di Fourier del seno (1) La trasformata di Fourier del seno si ricava da quella della costante utilizzando le proprieta’ di traslazione nelle frequenze e di linearita’:

x (t ) = sin (2π f ot ) =

j j exp{− j 2π f ot}− exp{j 2π f ot } 2 2

TDF

j j X ( f ) = δ ( f + fo ) − δ ( f − fo ) 2 2

Fondamenti TLC



59

La trasformata di Fourier del seno (2) La serie di Fourier del seno ricavata in precedenza e’ costituita da due campioni immaginari di ampiezza +j/2 e -j/2 rispettivamente in k= +1 e k= -1  j − 2 per k = +1  j per k = −1 X k = + 2   0 per k ≠ ±1 î

x (t ) = sin (2π f ot )

La TDF del seno si ottiene dalla serie di Fourier ponendo alle frequenze f=kfo impulsi di area pari ai campioni Xk della serie, dove

fo e’ la frequenza fondamentale del segnale

0.5

Xk

periodico 0

j j X ( f ) = δ ( f + fo ) − δ ( f − fo ) 2 2

-0.5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Fondamenti TLC


k


60

La trasformata di Fourier di segnali periodici In generale la TDF di un segnale periodico y(t) si ottiene dalla serie di Fourier ponendo alle frequenze f=kfo impulsi di area pari ai campioni Yk della serie, dove

fo e’ la frequenza fondamentale del segnale periodico. Cio’ significa che la trasformata di Fourier di un segnale periodico e’ costituita da impulsi equispaziati in frequenza a passo pari alla frequenza fondamentale. Infine, ricordando che la serie di Fourier di un segnale periodico y(t) si ottiene a partire dalla trasformata di Fourier di un solo periodo x(t) 1 sostituendo al posto della frequenza il valore k/ To 2 moltiplicando il risultato per 1/ To si deduce che: La trasformata di Fourier Y(f) di un segnale periodico y(t) si ottiene a partire dalla trasformata di Fourier X(f) di un solo periodo x(t) nel modo seguente:

1 Y( f ) = To

 k  1 ∑ X ( f )δ  f − T  = T k = −∞ o o  ∞

k   k  ∑ X  T δ  f − T  k = −∞  o   o ∞

Fondamenti TLC



61

Esempio: l’onda quadra a media nulla

1/2

y(t) t To /2

To /2

0.6

Yk

sin π k

Serie di Fourier

0.4

1 2 per k ≠ 0 Yk = 2 π k 2

0.2 0 -0.2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Trasformata di Fourier

Y( f ) =

∞

∑

π k sin 1

k = −∞ 2

π k

2

2

 k   f-  per k ≠ 0  To  Fondamenti TLC


k


62

Esempio: l’onda quadra a media non nulla (1)

1

y(t) t To /2

To /2

 T  sinπ  o  f 2  T0  X(f )= 2   π  To  f 2  

Trasformata di Fourier del singolo periodo x(t) {rettangolo di ampiezza unitaria e durata To/2}

1 Y( f ) = To

Trasformata di Fourier del segnale periodico y(t)

∞



k = −∞



∑ X ( f )δ  f

−

k  = To 

 To    f π sin ∞ 2 T 1   δ  f − k  = 0 = ∑  To k = −∞ 2 To   To    f π  2   π k ∞ 1 sin 2 δ  f − k  = ∑  To  k = −∞ 2 π k  2

Fondamenti TLC



63

Esempio: l’onda quadra a media non nulla (2) To/2  T  sinπ  o  f 2  T0  X(f )= 2   π  To  f 2  

0 -2/To 0 2/To

f

1/2

1 Y( f ) = To

 k  X ( f )δ  f −  ∑ To  k = −∞  ∞

0 -2/To 0 2/To Fondamenti TLC


f


64

Esempio: il treno d’impulsi La TDF di un impulso nei tempi e’ una costante unitaria nelle frequenze: ∞

{

}

X ( f ) = ∫ δ (t ) exp − j 2π ft dt = 1 −∞

La TDF di un treno d’impulsi che si ripetono nei tempi a passo T e’:

1 Y( f ) = T y (t ) =

  1 k X(f )δ f −  = ∑   T T k = −∞   ∞

  k δ f −  ∑   T k = −∞   ∞

∞

∑ δ (t − nT0 )

Y(f)

1/T

n = −∞

1

-3T -2T -T 0 T 2T 3T

t

-2/T -1/T

0

1/T

2/T

f

Fondamenti TLC


SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

65


Fondamenti TLC



66

Definizione di Sistema Sistema: Da un punto di vista fisico e’ un dispositivo che modifica un segnale x(t), detto ingresso, generando il segnale y(t), detto uscita. Da un punto di vista formale il segnale d’ingresso x(t) viene “manipolato” tramite un generico operatore matematico indicato con O[.]. Il risultato delle operazioni matematiche eseguite sull’ingresso e’ il segnale d’uscita y(t).

Schema a blocchi Sistema

x(t)

O[ x(t) ]

y(t)

Fondamenti TLC



67

Sistemi Lineari Tempo-Invarianti (LTI) Lineare: quando l’uscita generata dalla combinazione lineare di due o piu’ ingressi e’ uguale alla combinazione lineare delle uscite generate dai singoli ingressi

Sistema Lineare

x1(t)+x2(t)

O[ x1(t)+x2(t) ]=O[ x1(t) ]+ O[ x2(t) ]

y1(t)+y2(t)

Tempo Invariante: quando l’uscita generata da un segnale ritardato e’ uguale all’uscita generata dal segnale originale ritardata.

x(t−τ)

Sistema Tempo Invariante

O[x(t− τ)]

y(t−τ)

Fondamenti TLC



68

Risposta all’impulso Risposta all’impulso: e’ l’uscita del sistema quando l’ingresso e’ l’impulso. Viene solitamente indicata con il simbolo h(t)

h(t ) = O[δ (t )]

δ(t)

Sistema

O[ δ(t) ]

h(t)

Se il sistema e’ tempo-invariante, la forma della risposta all’impulso non dipende dall’istante in cui si applica l’impulso. Quando l’ingresso e’ un impulso anticipato o ritardato l’uscita e’ uguale ad h(t) anticipata o ritardata:

h(t ± τ ) = O[δ (t ± τ )] Se il sistema e’ anche lineare, nota la risposta all’impulso, e’ possibile calcolare l’uscita del sistema quando l’ingresso e’ una qualsiasi combinazione lineare d’impulsi:

y (t ) = O[aδ (t ) + bδ (t ± τ 1 ) + bδ (t ± τ 2 )] =

= ah(t ) + bh(t ± τ 1 ) + ch(t ± τ 2 )

Fondamenti TLC



69

Rappresentazione dei segnali come combinazione lineare di impulsi Un qualsiasi segnale x(t) puo’ essere rappresentato come somma integrale di impulsi ∞

∫ x (τ ) δ (t − τ ) d τ

= x (t )

−∞

2 1

δ (t − τ )

x(τ )

0

τ

-1 -2

-200

-100

0

100

200

t Fondamenti TLC



70

La convoluzione Come abbiamo visto:

1 - Nota la risposta all’impulso, e’ possibile calcolare l’uscita di un sistema LTI quando l’ingresso e’ una qualsiasi combinazione lineare d’impulsi

2 - Un qualsiasi segnale x(t) puo’ essere rappresentato come somma integrale di impulsi Ne segue che:

∞  ∞ y(t ) = O[x(t )] = O  ∫ x(τ ) δ (t − τ ) dτ  = ∫ x(τ ) O δ (t − τ ) dτ = −∞  −∞

[

∞

∞

−∞

−∞

]

= ∫ x(τ ) h(t − τ ) dτ = ∫ h(τ ) x (t − τ ) dτ = x( t )* h( t ) Integrale di convoluzione (o semplicemente convoluzione)

uscita = convoluzione tra ingresso e risposta all’impulso del sistema LTI Fondamenti TLC



71

Calcolo dell’integrale di convoluzione L’ Integrando

x(τ ) h(t − τ )

∞

y (t ) = ∫ x(τ ) h(t − τ ) dτ −∞

e’ il prodotto tra il segnale x(τ) e la risposta all’impulso h(τ) ribaltata in τ traslata di t

(verso destra se t >0, verso sinistra se t <0) x(τ )

x(τ )

τ

h(− τ )

τ h(τ )

h(t1 − τ ) h(t2 − τ )

τ

τ τ

h(t3 − τ )

t1

t2

t3

τ τ

Fondamenti TLC



72

Esempi di calcolo della convoluzione (1) ∞

x(t ) = h(t ) = rect(t )

y (t ) = ∫ x(τ ) h(t − τ ) dτ −∞

1

1

x(t )

h(t )

t t

-0.5

0.5

Fondamenti TLC



73

x(t ) = h(t ) = rect(t )

Esempi di calcolo della convoluzione (2) x(τ ) h(t − τ )

x(τ )

Integrando

Integrale

τ

∞

y (t ) = ∫ x(τ ) h(t − τ ) dτ −∞

-1

t = -1 t = -2/3

h(t − τ )

y(t)

h(− τ )

t = -1/3 t=0

1

t

t = +1/3 t = +1/3

-0.5

0.5

1

+1

t = +1 -1

Fondamenti TLC



74

Esempi di calcolo della convoluzione (3)

x(t ) = rect(2t ) h(t ) = rect(t − 1 / 2)

∞

y (t ) = ∫ x(τ ) h(t − τ ) dτ −∞

1

1

x(t ) t

h(t )

t -0.25

0.25

1

Fondamenti TLC



75

x(t ) = rect(2t ) h(t ) = rect(t − 1 / 2)

Esempi di calcolo della convoluzione (4)

x(τ )

Integrando

x(τ ) h(t − τ )

Integrale

τ

y (t ) = ∫ x(τ ) h(t − τ ) dτ −∞

-0.25

h(− τ )

∞

t = -1/4 t=0

1/2

h(t − τ )

t = +1/2

0.75

t = +3/4

t

t = +1

-0.25

0.25 0.5 0.75 1 1.25 Elementi di Teoria dei Segnali (di Marco Marcon)

1.25

t = +5/4 11

y(t)

0.25

t = +1/4

Fondamenti TLC


76

Stabilità dei Sistemi L.T.I. Definizione: Un Sistema L.T.I. è detto stabile (asintoticamente stabile) se l’uscita corrispondente ad un ingresso limitato è limitata.

Condizione da rispettare per garantire la stabilità: ∞

∫ h(t ) dt < ∞ (vale cioè un valore finito)

−∞

Fondamenti TLC



77

Causalità dei Sistemi L.T.I. (1) Definizione: Un Sistema L.T.I. è detto causale se l’uscita y(t) per un t=t, dipende dai valori dell’ingresso x(t) solo per valori della variabile t≤t. La condizione di causalità è molto importante se la variabile indipendente è il tempo: in questo caso un sistema fisico deve essere causale. Se ciò non fosse infatti il sistema sarebbe in grado di predire il futuro.

x(t)

Sistema

y(t)

Condizione da rispettare per garantire la causalità:

h(t ) = 0 per t < 0

Fondamenti TLC



78

Causalità dei Sistemi L.T.I. (2) Spesso utilizzeremo risposte all’impulso del tipo:

h(t)

t Questa risposta all’impulso non è causale, puo’ essere resa causale attraverso: opportuni troncamenti (nel tempo, se h(t) si estende da -∞ a ∞) e ritardi.

h1(t)

t

14

Utilizzare h(t) invece che h1(t) significa trascurare i ritardi necessari a rendere causale la risposta all’impulso. Fondamenti TLC Elementi di Teoria dei Segnali (di Marco Marcon)


79

Effetti della convoluzione (filtro passa-basso)

x (t )

Le componenti del segnale rapidamente varianti nel tempo (ad alta frequenza) vengono eliminate dalla convoluzione con una risposta all’impulso lentamente variante nel tempo (filtro passa-basso)

Simbolo della convoluzione

y (t ) = x(t ) ∗ h(t )

h(t )

Fondamenti TLC



80

Effetti della convoluzione (filtro passa-alto)

x (t )

Le componenti del segnale lentamente varianti nel tempo (a bassa frequenza) vengono eliminate dalla convoluzione con una risposta all’impulso rapidamente variante nel tempo (filtro passa-alto) Simbolo della convoluzione

y (t ) = x(t ) ∗ h(t )

h(t )

Fondamenti TLC


RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

81


Fondamenti TLC



82

Definizione Se il segnale d’ingresso di un sistema Lineare Tempo-Invariante (LTI) e’ un esponenziale complesso, l’uscita sara’ ancora un esponenziale complesso con la stessa frequenza, ma con ampiezza e fase modificate.

A exp{j (2πf ot + ϑ )}

Sistema LTI

h(t)

B exp{j (2πf ot + ϕ )}

Risposta in frequenza: E’ la funzione della frequenza che descrive come vengono modificate ampiezza e fase di un esponenziale complesso quando passa attraverso un sistema LTI.

Fondamenti TLC



83

Risposta in frequenza (1) x(t ) = exp{j 2π ft}

Sistema L T I

∞

y(t ) = exp{j 2π ft }⋅ H ( f )

∫ x(t −τ ) h(τ ) dτ

−∞ ∞

∞

−∞

−∞

y(t ) = ∫ h(τ ) exp{j 2π f (t − τ )} dτ = exp{j 2π ft} ∫ h(τ ) exp{− j 2π fτ } dτ = ∞

= x(t ) ∫ h(τ ) exp{− j 2π fτ } dτ = exp{j 2π ft} H ( f ) −∞

L’uscita di un sistema LTI alimentato da un ingresso esponenziale complesso e’ ancora un esponenziale complesso con la stessa frequenza dell’ingresso. L’ampiezza e la fase iniziale dell’uscita dipendono dalla risposta in frequenza H(f) del sistema LTI. 3 Fondamenti TLC Elementi di Teoria dei Segnali (di Marco Marcon)


84

Risposta in frequenza (2) La risposta in frequenza H(f) e’ una funzione complessa della frequenza che dipende solo dalla risposta all’impulso del sistema h(t). ∞

H ( f ) = ∫ h(τ ) exp{− j 2π fτ } dτ −∞

La risposta in frequenza H(f) e’ data dalla Trasformata di Fourier della risposta all’impulso del sistema h(t) del sistema LTI.

La risposta in frequenza H(f) di un sistema reale (cioe’ con risposta all’impulso h(t) reale), ha simmetria complessa coniugata (modulo pari e fase dispari). Fondamenti TLC



85

Risposta in frequenza (3) Ricordando la proprieta’ della TDF secondo la quale la TDF della convoluzione di due segnali e’ uguale al prodotto delle trasformate, si ottiene il seguente semplice legame tra:

123-

X(f) …. TDF dell’ingresso x(t) Y(f) …. TDF dell’uscita y(t) H(f) …. TDF della risposta all’impulso h(t) del sistema LTI

Y( f ) = H( f )X ( f )

Attenzione: non e’ sempre vero che la risposta in frequenza si puo’ ottenere come rapporto tra le TDF dell’uscita e dell’ingresso. Infatti, in corrispondenza delle frequenze per cui X(f)=0, anche Y(f)=0 qualsiasi sia il valore di H(f). Fondamenti TLC



86

Risposta in frequenza (4) Quanto visto a riguardo del passaggio di esponenziali complessi attraverso i sistemi LTI, nel caso di h(t) reali, vale anche per i segnali cosenusoidali e sinusoidali. Infatti abbiamo: 1 [exp{j 2πf 0t}+ exp{− j 2πf 0t}] 2 1 y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = [exp{j 2πf 0t }H ( f 0 ) + exp{− j 2πf 0t}H (− f 0 )] = 2 1 = exp{j 2πf 0t }H ( f 0 ) + exp{− j 2πf 0t }H ∗ ( f 0 ) = 2 1 = H ( f 0 ) ⋅ [exp{j (2πf 0 t + ϕ )}+ exp{− j (2πf 0t + ϕ )}] = 2 = H ( f 0 ) ⋅ cos(2πf 0t + ϕ ) x(t ) = cos(2πf 0t ) =

[

]

ϕ = fase H ( f 0 )

Fondamenti TLC



87

Risposta in frequenza del filtro reale passa-basso Quando la risposta in frequenza H(f) ha ampiezza diversa da zero solo in una banda di frequenze simmetrica rispetto all’origine, il sistema LTI viene detto filtro passa-basso. Un filtro passa-basso ideale con frequenza di taglio fc ha come risposta in frequenza un rettangolo di ampiezza unitaria e base 2fc.

1

- fc

H(f)

fc

f

La risposta all’impulso e’ quindi un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di 1/ 2fc

Fondamenti TLC



88

Risposta in frequenza del filtro reale passa-alto Quando la risposta in frequenza H(f) ha ampiezza diversa da zero solo a frequenze superiori a fc (frequenza di taglio) e, simmetricamente, inferiori a - fc, il sistema LTI viene detto filtro passa-alto. Un filtro passa-alto ideale con frequenza di taglio fc ha come risposta in frequenza una costante unitaria meno un rettangolo di ampiezza unitaria e base 2fc. H(f)

1

- fc

f

fc

La risposta all’impulso e’ quindi data da un impulso di area unitaria δ(t) meno un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di 1/ 2fc Fondamenti TLC



89

Risposta in frequenza del filtro reale passa-banda Quando la risposta in frequenza H(f) ha ampiezza diversa da zero solo in due bande di frequenza centrate intorno alla frequenza fo (frequenza centrale) e, simmetricamente, intorno alla frequenza - fo, il sistema LTI viene detto filtro passa-banda. Un filtro passa-banda ideale con frequenza centrale fo e banda passante 2fc , ha come risposta in frequenza due rattangoli di ampiezza unitaria e base 2fc centrati intorno alle frequenze + fo e - fo, .

H(f)

1

- fo - fc

- fo

- fo + fc

fo - fc

fo

fo + fc

f

La risposta all’impulso e’ quindi data da un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di 1/ 2fc moltiplicato per

2 cos 2πf ot

Fondamenti TLC



90

Filtro passa-basso

Y( f ) = H( f ) ⋅ X ( f )

x (t )

Le componenti del segnale rapidamente varianti nel tempo (ad alta frequenza) vengono eliminate dalla risposta in frequenza del filtro passa-basso

y (t ) = x(t ) ∗ h(t )

H( f )

Fondamenti TLC



91

Filtro passa-alto

Y( f ) = H( f ) ⋅ X ( f )

x (t )

Le componenti del segnale lentamente varianti nel tempo (a bassa frequenza) vengono eliminate dalla risposta in frequenza del filtro passa-alto

y (t ) = x(t ) ∗ h(t )

H( f )

Fondamenti TLC



92

Densita’ spettrale di energia attraverso sistemi LTI (1) Riassumendo quanto visto in precedenza, un sistema Lineare Tempo-Invariante e’ descritto nei tempi dalla sua risposta all’impulso e nelle frequenze dalla sua risposta in frequenza. Il legame ingresso uscita e’ il seguente:

TEMPO

FREQUENZA

Sistema LTI

x(t )

h(t)

X(f )

Sistema LTI

H(f)

y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) Y ( f ) = X ( f )H ( f )

Come viene modificata la densita’ spettrale di energia di un segnale quando passa attraverso un sistema Lineare Tempo-Invariante?

X(f )

2

Sistema LTI

H(f)

Y(f ) = 2

?

Fondamenti TLC



93

Densita’ spettrale di energia attraverso sistemi LTI (2)

Y(f )

2

∗ ( ) = Y f Y (f )

Y ( f ) = {X ( f )H ( f )}⋅ {X ( f )H ( f )} = 2

*

= {X ( f )H ( f )}⋅ {X * ( f )H * ( f )}= = {X ( f )X =

X(f )

2

( f )}⋅ {H ( f )H ( f )}= 2 2 X (f ) ⋅ H(f ) *

Sistema LTI

H(f)

*

2 2 2 ( ) ( ) ( ) Y f = X f H f

Fondamenti TLC


MODELLI DI CANALI TRASMISSIVI

94

Modelli di Canali Trasmissivi

Fondamenti TLC



95

I Canali Trasmissivi

s(t) Trasm.

r(t) Canale trasmissivo

Ricev.

In un Sistema di Comunicazione, per Canale Trasmissivo si intende, normalmente, l’insieme di: - mezzo fisico (mezzo trasmissivo) lungo il quale avviene la propagazione dei segnali necessari a garantire lo scambio di informazioni fra gli utenti, - dispositivi per l’interfacciamento tra esso e gli apparati di trasmissione e ricezione.

Fondamenti TLC



96

I Mezzi Trasmissivi r(t)

s(t) Trasm.

Interf.

Mezzo Trasmissivo

Interf.

Ricev.

Nei sistemi di comunicazione, normalmente, il mezzo trasmissivo è caratterizzato dalla propagazione di onde elettromagnetiche. Tale propagazione può avviene: • nello spazio libero: canale radio; • guidata da conduttori metallici: cavi coassiali e bifilari (intrecciati e non); • guidata da strutture dielettriche: fibre ottiche.

Fondamenti TLC



97

I Canali Trasmissivi, necessità della traslazione in frequenza (1) s(t) Trasm.

Canale Trasmissivo

r(t)

Ricev.

Spesso s(t) ha un andamento nelle frequenze del tipo: S( f )

f

Su molti Canali Trasmissivi tali segnali non si propagano efficacemente. Fondamenti TLC



98

I Canali Trasmissivi, necessità della traslazione in frequenza (2) s1(t)

Mod.

r1(t)

Canale Trasmissivo

Demod.

Trasm.

Ricev.

S1 ( f )

− f0

f0

f

Tramite un opportuno blocco funzionale, detto modulatore, si effettua una traslazione in frequenza dei segnali di interesse. Dopo tale operazione la loro trasformata non sarà più centrata intorno a frequenza 0, ma intorno a ±f0. Il blocco demodulatore effettuerà, al ricevitore l’operazione inversa. Fondamenti TLC



99

I Canali Trasmissivi reali r(t)

s(t)

Trasm.

Canale Trasmissivo

Ricev.

I Canali Trasmissivi reali possono essere ben modellizzati attraverso un sistema lineare (h(t) reale).

R( f ) = S ( f ) ⋅ H ( f ) arg [H ( f ) ]

H(f )

− f0

f0 f0

f

− f0

Fondamenti TLC


f


100

Il Canale Trasmissivo Ideale s(t)

Trasm.

r(t)

Canale Trasmissivo

Ricev.

r (t ) = K ⋅ s (t − τ )

1

R ( f ) = K ⋅ e − j 2πfτ ⋅ S ( f ) = H ( f ) ⋅ S ( f )

H(f )

K

H ( f ) = K ⋅ e − j 2πfτ

f

Normalmente K < 1, 1/K > 1 è chiamata Attenuazione

tg (α ) τ =− 2π

π

arg [H ( f ) ]

α −π Fondamenti TLC


f


101

Il Canale Trasmissivo Ideale Passa-Basso di Banda B s(t)

Trasm.

r(t)

Canale Trasmissivo 1

Ricev.

H(f )

K -B/2

B/2

f

Caratteristiche Funzione di Trasferimento, H(f), per un Canale Trasmissivo Ideale Passa-Basso (con banda B): H( f ) = K   per f ≤ B / 2 fase lineare non definita altrove

Fondamenti TLC



102

Il Canale Trasmissivo Ideale Passa-Basso di Banda B s(t)

r(t)

Trasm.

Canale Trasmissivo H(f )

1

K

-f0

Ricev.

B

f0 B

f

Caratteristiche Funzione di Trasferimento, H(f), per un Canale Trasmissivo Ideale Passa-Banda (con banda B): H( f ) = K   per ( f 0 − B / 2 ) ≤ f ≤ ( f 0 + B / 2 ) fase lineare non definita altrove

Fondamenti TLC



103

Distorsioni introdotte dal Canale Trasmissivo

s(t)

Trasm.

r(t)

Canale Trasmissivo

Ricev.

Nella banda di interesse (centrata intorno a f=0 o a f=±f0) gli scostamenti della Funzione di Trasferimento (FdT) associata al Canale Trasmissivo, rispetto ai casi ideali visti in precedenza, vengono indicati come: Distorsioni di Ampiezza per quanto riguarda il modulo della FdT; Distorsioni di Fase per quanto l’argomento (la fase) della FdT. Vengono indicati con il termine Distorsioni Non-Lineari tutti gli effetti legati alla non completa rappresentabilità del Canale Trasmissivo attraverso un Sistema Lineare.

Fondamenti TLC



104

Canali Trasmissivi Passa-Banda a Banda Stretta s(t)

r(t)

Trasm.

Canale Trasmissivo

H(f )

1 -f0

Ricev.

K

B

f0 B

f

B << f 0

Fondamenti TLC



105

Caratterizzazione dei Canali Trasmissivi Passa-Banda a Banda Stretta s(t)

Trasm.

r(t)

Canale Trasmissivo

Ricev.

s (t ) = m(t ) ⋅ 2 ⋅ cos( 2πf o t ); S ( f ) = M ( f − f 0 ) + M ( f + f 0 )

M(f)

B

S( f )

− f0

f

f0

[

(

r (t ) ≈ H ( f 0 ) ⋅ m(t − τ g ) ⋅ 2 ⋅ cos 2πf 0 t − τ p τ p = Ritardo di Fase = − τ g = Ritardo di Gruppo = −

arg[H ( f 0 )] 2πf 0

(

1 d arg[H ( f )] 2π df

) f = f0

Fondamenti TLC


f

)]


106

Equalizzazione s(t)

Trasm.

r(t)

Canale trasmissivo

Equalizz. Ricev.

Lo scopo dell’Equalizzatore è quello di garantire, nella banda di interesse, che il “Canale Trasmissivo Equivalente” (C.T. + Equaliz.) sia quanto più ideale possibile. In moltissimi sistemi, le caratteristiche del Mezzo Trasmissivo utilizzato impongono la presenza di un Equalizzatore.

Fondamenti TLC



107

Rapporti fra ampiezze e potenze i(t)

Blocco Funzionale

u(t)

La variabilità dei rapporti fra le ampiezze dei segnali di ingresso e uscita dei blocchi funzionali che compongono i sistemi di comunicazione è estremamente grande, si pensi ad esempio al fatto che l’attenuazione introdotta da molti Mezzi Trasmissivi cresce in modo esponenziale rispetto alla lunghezza del collegamento. Risulta quindi comodo esprimere i rapporti fra ingresso ed uscita dei blocchi funzionali in unità logaritmiche.

Fondamenti TLC



108

Rapporti fra ampiezze e potenze i(t)

Blocco Funzionale

u(t)

Possiamo considerare rapporti fra: • valori istantanei, u (t ) / i (t ) • valori medi, u (t ) / i (t ) 2 2 • potenze istantanee, u (t ) / i (t ) ∞ ∞ 2 2 • energie medie, ∫− ∞ u (t )dt / ∫− ∞ i (t )dt • potenze medie (1 / T )∫T u 2 (t )dt / (1 / T )∫T i 2 (t )dt

Fondamenti TLC



109

Rapporti espressi in decibel(1)  A R dB = 20 ⋅ log10   se A e B rappresentano ampiezze  B  A R dB = 10 ⋅ log10   se A e B rappresentano potenze ed energie B

i(t)

Blocco Funzionale

u(t)

i (t ) = 4; u (t ) = 8; 8 = ⋅ 20 log 10   = 3dB dB  4  42  Rapporto fra potenze = R p = 10 ⋅ log10  2  = 3db dB 8 

Rapporto fra ampiezze = Ra

Fondamenti TLC



110

Rapporti espressi in decibel(2)

Per esprimere valori assoluti di grandezze (tipicamente potenze) in unità logaritmiche è necessario riferirsi ad un valore di riferimento. Valori tipici di riferimento 1mW (dBm) ed 1W (dBW)

Fondamenti TLC



111

Rapporti espressi in decibel(3) Esempio Importante: La somma di due sinusoidi a frequenza diversa ha come potenza la somma delle potenze delle singole sinusoidi. s(t ) = a ⋅ cos(2πf1t ) + b ⋅ cos(2πf1t ) = s1 (t ) + s2 (t ) Ps =

1 2 1 2 1 2 2 π π ( ) ( ) cos 2 cos 2 ⋅ + ⋅ + a f t dt b f t dt 1 2 ∫ ∫ ∫ a ⋅ b ⋅ cos(2πf1t )⋅ cos(2πf 2t )dt = TT TT TT

a2 b2 = + + 0 = Ps1 + Ps 2 2 2

Se la potenza di ciascuna sinusoide è 0dBm quale sarà la potenza del segnale somma?

 P 0dBm = 10 log10   1mW PTot = P + P = 2mW PTot

dBm

  → P = 1mW 

 2mW  = 10 log10   = 3dBm  1mW  Fondamenti TLC


CENNI DI PROBABILITÀ E VARIABILI CASUALI

112

Cenni di Probabilità e Variabili Casuali

Fondamenti TLC



113

Il concetto di Probabilità (1) La misura della probabilità riguarda la descrizione di tutti i fenomeni che possono essere “pensati” come un “esperimento” il cui risultato sia soggetto a cambiamento al ripetersi dell’esperimento stesso (pur mantenendo le medesime condizioni operative). Esempio: Esperimento: Uscita:

Lancio di un dato non truccato Numero riportato sulla faccia superiore dado al termine del lancio. Possibili eventi: {1,2,3,4,5,6}

Strumento pratico per lo studio del fenomeno: Analisi di un numero elevato di realizzazioni dell’esperimento attraverso la valutazione della Frequenza Relativa di ciascun possibile evento. N fK = K N Fondamenti TLC



114

Il concetto di Probabilità (2) Lancio di un dado non truccato, esito di una serie di prove.

Risultato del lancio

Frequenza relativa dei possibili risultati 0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0

6 5 4 3 2 1 0

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

# prove

1

2

3

4

5

6

Con un numero grande di prove, la frequenza relativa dei singoli risultati (eventi) può essere vista come una stima della loro probabilità.

fK =

NK N Fondamenti TLC



115

Cenni sulla Teoria della Probabilità (1) S : l’insieme degli eventi elementari (risultati dell’esperimento); P(.): probabilità, una quantità reale positiva definita per gli eventi appartenenti a S. Pensando alla frequenza relativa come ad una stima della probabilità di successo di ciascun evento, in una singola prova, si evidenziano le seguenti proprietà: 0 ≤ P(A) ≤ 1, A rappresenta un evento appartenente a S; P(S)=1, E’ certo che l’uscita sarà uno dei possibili eventi; P(A + B) = P(A) + P(B) se i due eventi A e B sono mutuamente esclusivi. Nella teoria della probabilità queste proprietà sono assunte come assiomi.

Due eventi mutuamente esclusivi sono ad esempio A: Risultato lancio dado=1; B: Risultato lancio dado=2. Fondamenti TLC



116

Cenni sulla Teoria della Probabilità (2) Dalle relazioni precedenti si deducono le seguenti ulteriori proprietà di P(.): • P(A)=1 - P(A), A evento complementare di A (A+A=S); A: Risultato lancio dado = 1; A: Risultato lancio dado = 2 o 3 o 4 o 5 o 6.

• P(A1)+P(A2)+….+P(AM)=1 se gli eventi A1,…,AM sono fra loro mutuamente esclusivi e costituiscono un insieme esaustivo (A1+A2+….AM=S): Nel lancio di un dado P(1)+ P(2)+ P(3)+ P(4)+ P(5)+ P(6)=1.

• P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A,B), dove P(A,B) denota la probabilità dell’evento congiunto “A e B”; A: Lancio primo dado =1; B: Lancio secondo dado=2; (A+B): Primo lancio=1 o Secondo lancio=2; (A,B): Primo lancio=1 e Secondo lancio=2; P(A+B)=1/6+1/6-1/36=11/36;

Fondamenti TLC



117

Variabili Casuali

Se pensiamo di rappresentare i risultati dell’esperimento in analisi come numeri reali costruiamo quella che viene chiamata una Variabile Casuale (X). Le variabili casuali possono essere: •Continue (la variabile casuale può assumere un insieme continuo di valori); Esempio: la temperatura di una stanza misurata ad un istante di tempo casuale. •Discrete (la variabile casuale può assumere solo un insieme discreto di valori). Esempio: l’uscita su di una ruota del lotto (numero intero compreso fra 1 e 90).

Fondamenti TLC



118

Variabili Casuali Continue: un esempio

A

X

Il vettore A ruota con velocità angolare costante. La variabile casuale X rappresenta la posizione, lungo la circonferenza di raggio unitario, del vettore A misurata ad istanti di tempo casuali.

1 P(a < X ≤ a + ∆) =

1 ⋅∆ 2π

Densità di probabilità: P(a < X ≤ a + ∆) ∆ ∆ →0

f X (a ) = lim

Posizione misurata

7 6 5

f X (a )

4

1/ 2π

3 2 1

2π

0 0

20

40

60

80 100 120 140 160 180 200

a

Numero della lettura posizione Fondamenti TLC



119

Densità di Probabilità: Proprietà

P(a < X ≤ a + ∆) f X (a ) = lim ∆ ∆ →0 f X (a) ≥ 0; a2

fX(a)

∫ f X (a) ⋅da = P(a1 < X ≤ a2 )

P(a1
a1

∞

∫ f X (a) ⋅ da = 1;

a1

−∞

a2

Fondamenti TLC


a


120

Distribuzione di Probabilità Si definisce Distribuzione di Probabilità associata ad una variabile casuale X: a

FX ( a) = P( X ≤ a ) =

∫f

X

(α )dα

−∞

0 ≤ FX ( a ) ≤ 1 FX (−∞) = FX (+∞) =

lim FX (a) = 0

a → −∞

lim FX (a) = 1

a → +∞

F (a + h) ≥ F (a) per h > 0; FX (a) è monotona non decrescente P(a1 < X ≤ a 2 ) = FX (a2 ) − FX (a1 )

P ( X > a ) = 1 − P ( X ≤ a ) = 1 − FX ( a )

fX(a)

FX(a)

P(X≤a1)=FX(a1)

1

a1

a

a Fondamenti TLC



121

Valore Atteso (Valor Medio) (1) Si definisce Valore di Atteso (Valor Medio, Momento Statistico di ordine uno) di una variabile casuale X: ∞

m X = E [X ] =

∫ a ⋅ f X (a) ⋅ da

−∞

Esso rappresenta il “baricentro” dell’area sottesa alla densità di probabilità.

fX(a)

mX

fX(a)

a

mX

a

Fondamenti TLC



122

Valore Atteso (Valor Medio) (2) Data X una variabile casuale e g(.) una funzione reale, Y=g(X) è anch’essa una variabile casuale. Per quest’ultima il Valore di Atteso è dato da: mY = E [Y ] =

∞

∫

−∞

b ⋅ fY (b) ⋅ db; mY = E [Y ] =

∞

∫ g (a) ⋅ f X (a) ⋅ da

−∞

Data X una variabile casuale somma di due altre variabili casuali (X1 e X2 ) si ha: X = X1 + X 2

m X = E [X ] = E [X 1 + X 2 ] = E [X 1 ]+ E [X 2 ] = m X 1 + m X 2

Fondamenti TLC



123

Momenti del Secondo Ordine (1) Si definisce Varianza (Momento centrale di ordine 2) di una variabile casuale X: σ X2

[

]

= E (X − m X ) = 2

[ ]

∞

∫ (a − m x )

−∞ 2

[ ]− 2 ⋅ m

= E X 2 − 2 ⋅ m X ⋅ E [X ] + m 2X = E X

σX

⋅ f X (a ) ⋅ da =

2

X

[ ]

⋅ m X + m 2X = E X 2 − m 2X

= Scarto Quadratico Medio, Deviazione Standard della V.C. X;

E[X2] = Valore Quadratico Medio di X, Potenza Statistica di X, Momento Statistico di ordine due. 0.5

f X 1 (a) 0.4

σ X 3 > σ X 2 > σ X1

f X 2 (a)

0.3

f X 3 (a)

0.2 0.1 0

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Fondamenti TLC



124

Momenti del Secondo Ordine (2) Anche per il Momenti statistici di ordine 2 si ha, per una V.C. funzione di un altra V.C.: Y = g (X ) ∞

[ ]= ∫ g

E Y

2

2

(a )f X (a )da

−∞

In molte situazioni risulta essere utile descrivere la Variabile Casuale X come: X=X1+mX ove X1 è ancora una V.C., ma con media pari a 0, ed mx può essere vista come una costante deterministica.

Fondamenti TLC



125

Momenti del Secondo Ordine (3) Data X una variabile casuale somma di due altre variabili casuali (X1 e X2 ), ciascuna con media pari a 0, si ha:

[ ] [

X = X1 + X 2

] [ ] [ ]

σ X2 = E X 2 = E (X 1 + X 2 ) = E X 12 + E X 22 + E [X 1 X 2 ] = σ X2 1 + σ X2 2 + E [X 1 X 2 ] 2

E [X 1 X 2 ] =

∞ −∞

∫ ∫ a ⋅b ⋅ f

X1 , X 2

(a, b) ⋅ da ⋅ db

− ∞− ∞

Nel caso le due variabili (X1 e X2 ) risultino non correlate statisticamente o addirittura completamente indipendenti fra loro:

[ ] [

E [X 1 X 2 ] = 0

] [ ] [ ]

σ X2 = E X 2 = E (X 1 + X 2 ) = E X 12 + E X 22 = σ X2 1 + σ X2 2 2

Fondamenti TLC



126

Densità di probabilità uniforme fX(a)

FX(a) 1

1/(a2-a1)

a1

a2

a1

a

mX =

[ ]

E X2

a2

a1 + a2 2 a2

 a3  1 1 1 a23 − a13 1 2 2 = ∫a ⋅  = ⋅ = ⋅ a2 + a2 a1 + a12 da = a2 − a1 a2 − a1  3  a1 3 a2 − a1 3 a1 a2

[ ]

σ = E X −m 2 X

2

a

2 X

(

)

2 ( a2 − a1 ) =

12

Fondamenti TLC



127

Densità di probabilità gaussiana f X (a )

1

f X (a) =

1 2πσ X2

⋅e

−

2πσ x2

(a − m X )2

0 .606

2σ 2X

2πσ x2

0 .135

σX σX

2σ X

2σ X

2πσ x2 mX

P[(m X − σ X ) < X ≤ (m X + σ X )] =

(m X +σ 2 )

∫

(m X −σ 2 )

P[(m X − 2σ X ) < X ≤ (m X + 2σ X )] = P[(m X − 3σ X ) < X ≤ (m X + 3σ X )] =

1 2πσ

(m X + 2σ 2 )

∫

(m X − 2σ 2 ) (m X + 3σ 2 )

∫

(m X −3σ 2 )

2 X

⋅e

−

1 2πσ X2 1 2πσ

2 X

(a − m X )2 2σ X2

⋅e ⋅e

−

−

da ≈ 0.365

(a − m X )

2

2σ X2

da ≈ 0.909

(a − m X )2 2σ X2

Questi integrali possono essere valutati solo in modo numerico

da ≈ 0.995

Fondamenti TLC


a


128

Densità/Distribuzione di probabilità gaussiana F X (a )

f X (a )

1

1 2πσ x2 0 .606 2πσ x2

0 .5

σx σx B

C=B mX mX

a

FX (a) =

∫

−∞

1 2πσ

2 X

⋅e

−

β

a

β

a

(α − m X )2 2σ X2

dα =

 1 a−m  X  1 − erfc a − mX ≥ 0 2   2   2σ X  =  a − mX   1   a−m <0 X  2 erfc 2  σ 2 î X  

B=

∞

∫

mX + β

1 2πσ

 β 1 = erfc  2σ 2 2 X 

⋅e

2 X

−

(α − m X )2 2σ X2

dα =

   

Fondamenti TLC



129

Error Function Complementare (erfc), funzione “Q(•)” f X (a )

∞

B=

∫

mX + β

=

0 .606 2πσ x2

σx σx

1 2πσ

2 X

 β 1 erfc 2  2 ⋅σ X

⋅e

−

(α − m X )2 2σ X2

dα =

  β  = Q σ   X 

  

e−s Per s >> 1 erfc( s) ≈ s π 2

B

C=B mX β

s 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1,0 1,2 1,4

erfc(s) 1,000E+00 8,875E-01 7,730E-01 6,714E-01 5,716E-01 4,795E-01 3,961E-01 3,222E-01 2,579E-01 1,573E-01 9,700E-02 4,770E-02

s 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0

erfc(s) 2,370E-02 1,090E-02 4,700E-03 1,900E-03 6,885E-04 2,360E-04 7,502E-05 2,209E-05 3,057E-06 1,671E-07 1,542E-08 1,537E-12

e −t / 2 Per t >> 1 Q(t ) ≈ t 2π 2

β

a t 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,60

Q(t) 5,000E-01 4,801E-01 4,602E-01 4,404E-01 4,207E-01 4,013E-01 3,821E-01 3,622E-01 3,446E-01 3,264E-01 3,085E-01 2,743E-01

t 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0

Q(t) 2,119E-01 1,587E-01 1,151E-01 8,080E-02 3,806E-01 3,590E-02 2,280E-02 8,200E-03 2,600E-03 6,871E-04 1,591E-04 3,167E-05

Fondamenti TLC


PROCESSI CASUALI

130

PROCESSI CASUALI

Fondamenti TLC


PROCESSI CASUALI

131

Segnali deterministici Un segnale si dice DETERMINISTICO se ad un determinato tempo t e’ associato un ben preciso valore. Tutti i segnali visti sino ad ora sono deterministici. Ad esempio i valori assunti dal segnale x(t)=cos(2π

t x(t)

…

-0.4

t) sono noti con certezza per ogni valore di t

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

…

… -0.809 -0.309 0.309 0.809 1 0.809 0.309 -0.309 -0.809 ...

L’andamento della maggior parte dei segnali che si incontrano in pratica non e’ rappresentabile (se non in forma approssimata) con semplici e comode funzioni matematiche come quelle viste sino ad ora (ad esempio, il tipico ronzio prodotto da un trasformatore, il segnale radio captato da un’antenna, il rumore presente in ogni dispositivo elettronico …) Anche questi segnali sono deterministici perche’ comunque ad ogni istante di tempo e’ associato un ben preciso valore. Fondamenti TLC


PROCESSI CASUALI

132

Introduzione ai processi casuali (1) Il rumore termico Un classico e importante esempio utile a introdurre il concetto di processo casuale e’ rappresentato dalla tensione elettrica v1(t) esistente ai capi di una resistenza. Questa tensione, variabile nel tempo, e’ causata dal movimento caotico degli elettroni dovuto ad una temperatura del materiale superiore allo zero assoluto. Se si misura la tensione v1(t) si ottiene, secondo quanto detto in precedenza, un segnale deterministico.

v1(t)

t Fondamenti TLC


PROCESSI CASUALI

133

Introduzione ai processi casuali (2) Se si prende una seconda resistenza identica alla prima e posta alla stessa temperatura e si esegue la misura della tensione elettrica ai suoi capi, si otterra’ di nuovo un segnale deterministico v2(t), con caratteristiche simili ma diverso dal precedente dato che gli elettroni si muovono in modo indipendente nelle due resistenze.

v2(t)

t v1(t)

t Fondamenti TLC


PROCESSI CASUALI

134

Introduzione ai processi casuali (3) Se il nostro scopo e’ determinare l’effetto del rumore termico della resistenza su un’apparecchiatura elettronica, non e’ di nessuna utilita’ conoscere deterministicamente il comportamento della tensione v1(t) ai capi della prima resistenza se poi la resistenza effettivamente montata nell’apparecchiatura e’ la seconda. E’ utile invece riuscire a descrivere quelle che sono le caratteristiche della tensione di rumore comuni a tutte le resistenze di quel valore e a quella temperatura. In questo modo, qualsiasi sia la resistenza (di quel valore e a quella temperatura) montata nell’apparecchiatura, potremo dire, per esempio, con quale probabilita’ si presenteranno certi valori di tensione o quale sara’ il valore atteso della potenza di rumore. Si abbandona dunque il concetto di certezza (proprio dei segnali deterministici) per passare a quello dell’incertezza, descritto dalla teoria delle probabilita’, proprio dei processi casuali. Fondamenti TLC


PROCESSI CASUALI

135

Introduzione ai processi casuali (4)

Un processo casuale e’: l’insieme di tutti i segnali deterministici (detti le realizzazioni del processo) generati da altrettante sorgenti con identiche caratteristiche, ma fisicamente diverse tra loro.

ESEMPIO Il processo casuale “rumore termico” e’: l’insieme di tutte le tensioni elettriche vi(t) (realizzazioni del processo) esistenti ai capi di altrettante resistenze con medesimo valore e temperatura.

Fondamenti TLC


PROCESSI CASUALI

136

Descrizione dei processi casuali Di un processo casuale e’ utile conoscere le caratteristiche comuni a tutte le realizzazioni In pratica per descrivere il processo casuale x(t) si utilizzano solo due funzioni: • La densita’ di probabilita’ delle ampiezze del processo

fx(a)

fx(a)da Ci dice con quale probabilità una qualsiasi realizzazione del processo casuale x(t) assume (al tempo t) un valore compreso fra a ed a+da. In generale fx(a) dovrebbe dipendere anche dal tempo. Tuttavia noi ci occuperemo di una classe di processi casuali detti STAZIONARI le cui caratteristiche non dipendono dal tempo t • La funzione di autocorrelazione del processo

.

Rx(τ )

Ci dice quale e’, statisticamente, il grado di correlazione che esiste tra il valore assunto da una realizzazione del processo al tempo t e la stessa realizzazione al tempo t +τ. Anche in questo caso, limitando l’analisi ai processi casuali STAZIONARI, Rx(τ dipende dal tempo t

) non

. Fondamenti TLC


PROCESSI CASUALI

137

La densita’ di probabilita’ del processo La densita’ di probabilita’ (d.d.p.) di un processo stazionario non ha nulla di diverso rispetto alla densita’ di probabilita’ di una variabile casuale vista in precedenza. Infatti, fissato il tempo t

= to , il processo casuale diventa una variabile casuale X= x(to) e come tale puo’ essere trattata. Le realizzazioni per t = to possono infatti essere viste come i valori reali associati ai risultati dell’esperimento cui abbiamo fatto riferimento introducendo le variabili casuali. A partire dalla d.d.p si potranno definire due parametri del processo casuale di grande utilita’ pratica: Il valor medio

mx

1

La varianza σ2x

2πσ x2

Esempio di d.d.p. gaussiana

f X (a) =

1 2πσ X2

⋅e

−

f X (a)

0.606 2πσ x2

(a − m X )2 2σ X2

0.135

σx σx 2σ x

2σ x

2πσ x2 mX

a

Fondamenti TLC


PROCESSI CASUALI

138

Processi casuali ergodici Tra i processi casuali stazionari esistono alcuni processi per i quali si possono ricavare sia la densita’ di probabilita’ sia la funzione di autocorrelazione da una sola realizzazione. Questi processi sono detti ERGODICI.

realizzazioni

tempo 9

Osservare tutte le realizzazioni ad un istante di tempo (o per una coppia di istanti) permette di ricavare le stesse informazioni statistiche ottenibili dall’osservazione prolungata nel tempo di una singola realizzazione Un esempio di processo ERGODICO è rappresentato dal rumore termico. Fondamenti TLC Elementi di Teoria dei Segnali (di Marco Marcon)

PROCESSI CASUALI

139

Processi casuali ergodici Densità di probabilità dei valori assunti dal processo casuale: percentuale del tempo in cui il (d.d.p.) Realizazione del processo casuale 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -40

-20

0

processo assume ampiezze fra a e a+da diviso per l’ampiezza dell’intervallo da.

20

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 40

tempo

0

0.05

0.1

0.15

Fondamenti TLC


0.2

PROCESSI CASUALI

140

Processi casuali ergodici con valor medio non nullo Un processo casuale con valor medio diverso da zero puo’ essere rappresentato come la somma di un processo a volor medio nullo e di una costante (segnale deterministico) uguale al valor medio.

y(t) = x(t) + 0.5 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -40 11

y(t)

x(t) -20

0

tempo

20

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 40-0.8

d.d.p. 0

0.05

0.1

0.15

0.2

Fondamenti TLC Elementi di Teoria dei Segnali (di Marco Marcon)

PROCESSI CASUALI

141

Processi casuali ergodici (autocorrelazione)

R x (τ ) =

lim

T → ∞

1 T

T / 2

∫ x ( t ) x ( t + τ ) dt

−T / 2

Autocorrelazione dei valori assunti dal processo casuale in t e t+τ

Ipotesi: x(t) ha valor medio nullo (ipotesi che non lede la generalita’ delle conclusioni) 1

Se x(t) evolve lentamente nel tempo rispetto al valore fissato di τ , x(t+τ ) cambia poco rispetto a x(t): x(t)x(t+τ ) avra’ lo stesso segno per la maggior parte dei valori di t e l’autocorrelazione assumera’ un valore relativamente elevato (positivo o negativo).

0 .5 0 -0 .5 -1 0

5

10

5

10

2

Se x(t) evolve rapidamente nel tempo rispetto al valore fissato di τ , x(t+τ ) cambia molto rispetto a x(t): x(t)x(t+τ ) avra’ segno casuale al variare di t e l’autocorrelazione assumera’ un valore prossimo a zero.

1 0 -1 -2 0

Fondamenti TLC


PROCESSI CASUALI

142

x (t ) x (t + τ )

Calcolo dell’autocorrelazione (1)

In nero e’ indicato il risultato dell’integrale 0.5

0.5

0.5

0

0

0

-0.5

τ=0 -20

1.45 0

20

-0.5

τ=0.2 -20

1.35 0

20

-0.5

0.5

0.5

0.5

0

0

0

-0.5

τ=0.6 -20

0.9 0

20

-0.5

τ=0.8 -20

0.33 0

20

-0.5

0.5

0.5

0.5

0

0

0

-0.5

τ=1.2 -20

-0.2 0

20

-0.5

τ=1.4 -20

-0.33 0

20

-0.5

τ=0.4 -20

1.25 0

20

τ=1

0

-20

0

τ=1.6 -20

20

-0.2 0

20

Fondamenti TLC


PROCESSI CASUALI

143

Calcolo dell’autocorrelazione (2)

R

1 (τ ) = Tlim x →∞ T

T /2

∫ x ( t ) x ( t + τ ) dt

−T / 2

100 80 60 40 20 0

τ

-20 -40 -4

-2

0

2

4 Fondamenti TLC


PROCESSI CASUALI

144

Interpretazione dell’autocorrelazione

R

1 (τ ) = Tlim x →∞ T

T /2

∫ x ( t ) x ( t + τ )dt

−T / 2

L’autocorrelazione in τ=0 coincide con la potenza di una realizzazione del processo casuale. Se il processo casuale e’ ergodico ogni realizzazione ha la stessa potenza.

Rx(0 ) e’ il massimo valore che puo’ assumere l’autocorrelazione.

R

1 ( ) 0 lim = x T →∞ T

T /2

∫

x 2 ( t ) dt

−T / 2

L’andamento dell’autocorrelazione in funzione di τ e’ una misura della predicibilita’ di una realizzazione del processo all’istante t+

τ noto il valore della realizzazione

all’istante t.

Rx(τ )/ Rx(0 ) e’ elevato in modulo tanto minore e’ l’incertezza sul valore di x(t+ τ ) noto x(t). Piu’ il valore di

Fondamenti TLC


PROCESSI CASUALI E SISTEMI LINEARI TEMPO - INVARIANTI

145


Fondamenti TLC



146

Densita’ spettrale di potenza La densita’ spettrale di potenza di un processo casuale stazionario x(t) e’ definita come la trasformata di Fourier dell’autocorrelazione Rx(τ )

Sx ( f ) =

∞

∫ R (τ )exp{− j 2πfτ }dτ

Rx (τ ) =

x

−∞

∞

∫ S ( f )exp{j 2πfτ }df x

−∞

Perche’ la Sx(f) e’ una densita’ spettrale di potenza?

1 - Come si e’ visto l’autocorrelazione in τ = 0 e’, per un processo ergodico, uguale alla potenza associata ad una realizzazione:

1 R x (0 ) = lim T→∞ T

T /2

∫

x 2 ( t )dt = Px

−T / 2

2 - L’autocorrelazione in τ = 0 e’ uguale all’integrale della sua TDF:

Rx (0 ) =

∞

∫ S ( f )df x

= Px

−∞

La densita’ spettrale di potenza per un processo casuale x(t) rappresenta quindi come e’ distribuita, statisticamente, la potenza alle varie frequenze. Fondamenti TLC



147

Processi casuali bianchi Un processo casuale bianco e’ caratterizzato da una densita’ spettrale di potenza costante. ATTENZIONE: questa caratteristica e’ indipendente dalla densita’ di probabilita’ delle ampiezze che puo’ essere di un tipo qualsiasi (ad es. Gaussiana, uniforme …) Quindi, un processo casuale bianco ha autocorrelazione impulsiva:

il valore x(t+τ) assunto da una realizzazione del processo al tempo t+τ e’ assolutamente impredicibile dal valore x(t) assunto all’istante t.

x(t)

2 0

Rx(τ)

-2 -1 0 0

0

Sx(f)

100

fx(a)

3

-5

0

τ

5

f Fondamenti TLC

Elementi di Teoria dei Segnali (di Marco Marcon)


148

Processi casuali attraverso sistemi LTI (1) Quando un processo casuale x(t) stazionario passa attraverso un sistema Lineare Tempo-Invariante con risposta in frequenza H(f) e risposta all’impulso h(t), in uscita si ottiene ancora un processo casuale y(t) stazionario con le seguenti caratteristiche:

1-

In generale la densita’ di probabilita’ del processo in uscita y(t) e’ diversa da quella di x(t). Solo la densita’ di probabilita’ Gaussiana rimane tale nel passaggio del processo casuale attraverso il sistema LTI. Cambiano solo valor medio e varianza.

2-

Il valor medio del processo in uscita e’ legato a quello d’ingresso dalla seguente realzione:

m y = m x ⋅ H ( 0)

3-

La densita’ spettrale di potenza del processo in uscita e’ legata a quella d’ingresso dalla seguente realzione:

S y ( f ) = Sx ( f ) ⋅ H ( f )

2

Fondamenti TLC



149

Processi casuali attraverso sistemi LTI (2) Dalle relazioni appena viste si ricava la seguente espressione della varianza del processo in uscita in funzione della densita’ spettrale di potenza e del valor medio del processo d’ingresso e della risposta in frequenza del sistema LTI.

∞

σ = Py − m y = ∫ S y ( f )df − m y = 2 y

2

2

−∞

∞

= ∫ S x ( f ) ⋅ H ( f ) df − mx H (0 ) 2

2

2

−∞

Fondamenti TLC



150

Correlazione tra uscita e ingresso di un sistema LTI La correlazione tra due processi casuali ergodici y(t) e x(t) e’ definita nel modo seguente:

1 R yx (τ ) = lim T →∞ T

T /2

∫ y ( t ) x ( t + τ )dt

−T / 2

Se i due processi casuali y(t) e x(t) sono rispettivamente l’uscita e l’ingresso di un sistema LTI la loro correlazione e’ uguale alla convoluzione tra l’autocorrelazione dell’ingresso e la risposta all’impulso del sistema LTI:

R yx (τ ) = R x (τ ) ∗ h (τ

)

Si nota che se il processo d’ingresso e’ bianco (autocorrelazione impulsiva), la correlazione tra uscita e ingresso coincide con la risposta all’impulso del sistema.

R yx (τ ) = δ (τ ) ∗ h (τ ) = h (τ

)

Questa proprieta’ e’ spesso utilizzata nei sistemi di telecomunicazione per stimare la risposta impulsiva del canale di trasmissione che e’ ignoto a priori. 6 Fondamenti TLC Elementi di Teoria dei Segnali (di Marco Marcon)


151

Correlazione tra uscita e ingresso bianco

x(t)

y(t)

h(t)

?

h(τ ) R yx

1 (τ ) = Tlim →∞ T

T /2

∫ y ( t ) x ( t + τ )dt

−T / 2

=

Fondamenti TLC



152

Un esempio importante di processo bianco (1) Si consideri il processo x(t) le cui realizzazioni sono costituite da treni di impulsi equispaziati a passo T, con ritardo iniziale τ casuale e area a casuale indipendente da impulso a impulso con valor medio nullo e varianza σ 2.

x(t ) =

∞

∑ a δ (t − nT − τ )

n = −∞

n

x1(t) T

τ

t x2(t)

T

τ

t Fondamenti TLC



153

Un esempio importante di processo bianco (2) Si puo’ dimostrare che il processo casuale x(t) e’ STAZIONARIO e ERGODICO.

Si puo’ dimostrare, inoltre, che:

1

Il valor medio e’ nullo:

2 3

La varianza e’:

mx = 0

σ 2/T

L’autocorrelazione e’ impulsiva (processo bianco):

Rx (τ ) = σ 2 / T δ (τ )

Fondamenti TLC



154

Se il processo casuale x(t) passa attraverso un sistema LTI con risposta in frequenza

H(f)

e risposta all’impulso h(t) , in uscita si ottiene un processo y(t) con: Densita’ spettrale di potenza:

Sy (f ) = σ 2 / T |H(f)|2

h(t)

y1(t) T

Sx (f )

H(f)

f

τ

t Sy (f )

f

f Fondamenti TLC



155

Il processo casuale y(t) costruito nel modo indicato precedentemente può essere usato per rappresentare (nel tempo) una sequenza casuale di bit. Ciascuno di essi sarà codificato, ad esempio, con un impulso rettangolare, di base T, ed ampiezza:

+A (“1”) o -A (“0”): y1(t)

h(t)

A

+1

+1

T

-1

+1

+1

-1

τ

-1

t Sy (f )

T 1/T

Sx (f )

(AT)2

|H(f)|2

A2T

f

f f

 sin (πfT ) Sy( f ) = A T ⋅   fT π   2

Fondamenti TLC


2

IL RUMORE NELLE APPARECCHIATURE ELETTRONICHE

156

IL RUMORE nelle Apparecchiature Elettroniche

Fondamenti TLC



157

Il rumore termico, definizione Il rumore termico e’ la tensione con andamento casuale v(t) esistente ai capi di una resistenza R posta alla temperatura assoluta T. Circuito equivalente

R (rumorosa) v(t)

R v(t)

Non rumorosa

La tensione v(t) e’ un processo casuale

v(t)

d.d.p di v(t)

• a valor medio nullo

t

fv (a )

• con densita’ di probabilita’ delle ampiezze gaussiana mV=0

• densita’ spettrale di potenza costante (fino a frequenze di qualche THz) pari a

T e’ la temperatura assoluta espressa in gradi Kelvin k e’ la costante di Boltzman che vale 1.38 x 10-23 joule

NV = 2kTR

La densita’ spettrale di potenza Nv si misura quindi in [V2/Hz] Fondamenti TLC


a


158

La potenza di rumore disponibile al carico Quando la resistenza R, che produce la tensione di rumore v(t), viene inserita in un circuito elettrico, si ha circolazione di corrente sia nella resistenza R sia nella resistenza d’ingresso Rin del circuito (che svolge in questo caso la funzione di resistenza di carico e supponiamo non rumorosa). Parte della potenza del rumore termico viene dissipata nella resistenza R (e non e’ utilizzabile), parte finisce sulla resistenza di carico Rin ed e’ quella che interessa conoscere per valutarne gli effetti sul circuito in esame. Circuito elettrico

Sorgente rumorosa

R

Rin

Vin(t)

Vout(t)

v(t) Eventuale segnale utile

v1(t) Fondamenti TLC



159

La massima potenza di rumore disponibile al carico (1) Se la resistenza d’ingresso Rin e’ uguale a R si ottiene il massimo trasferimento di potenza dalla sorgente al carico (condizione che si cerca di ottenere per non dissipare inutilmente la potenza del segnale utile). In questo caso la potenza trasferita all’ingresso del circuito in esame e’ data da:

Vin2 Vin2 V 2 = = Pin = Rin R 4R

dove V 2 e' il valore quadratico medio della tensione V (t )

Circuito elettrico ad ingresso adattato Sorgente rumorosa

R

R

Vin(t)

Vout(t)

v(t) Fondamenti TLC



160

La massima potenza di rumore disponibile al carico (2) In una qualsiasi banda di frequenze ∆f il valore quadratico medio della tensione

v(t) coincide con la densità spettrale di potenza Nv moltiplicata per ∆f . ∆f

f

La potenza trasferita all’ingresso del circuito in esame nella banda ∆f e’ data da:

V 2 NV ∆f kT Pin = = = ∆f 4R 4R 2 La densita’ spettrale di potenza di rumore disponibile all’ingresso No e’ quindi:

Pin kT = No = ∆f 2 INDIPENDENTE DA R Fondamenti TLC



161

Un esempio numerico La potenza di rumore disponibile generata da una resistenza posta a temperatura ambiente di T=293 gradi Kelvin (20 gradi centigradi) in una banda di frequenze di 2*20KHz=40KHz (quella di un normale amplificatore HI-FI) vale: 0

B=20KHz

∆f=40KHz

f

1.38 × 10−23 ⋅ 293 kT 4 × 104 = ∆f = P = N o ∆f = 2 2 ≈ 8 × 10−17 W E’ un valore estremamente piccolo in assoluto, ma che va confrontato con la potenza del segnale utile. Generalmente nelle apparecchiature elettroniche per telecomunicazioni esistono altri tipi di disturbo con potenze molto maggiori di quella del rumore termico.

6

E’ tuttavia utile introdurre il concetto di potenza di rumore termico (cosi’ come quelli di temperatura e fattore di rumore che seguono) perché, formalmente, la quasi totalita’ dei disturbi verra’ assimilata ad un rumore termico equivalente con temperature T che saranno molto maggiori di quelle fisiche delle apparecchiature. Fondamenti TLC Elementi di Teoria dei Segnali (di Marco Marcon)


162

Banda di un amplificatore (od altra apparecchiatura) Consideriamo una apparecchiatura elettronica (ad esempio un amplificatore), assumeremo per semplicità che abbia guadagno in potenza fra ingresso e uscita G(f) costante nella banda di interesse.

G(f)

G0

G0

B

-f0

f

G(f)

-f0 B

f

Nel caso in ingresso vi sia un rumore con densità spettrale N0 in uscita avremo una potenza di rumore data da:

∞

Pu = N o ⋅ ∫ G ( f )df = N o ⋅ G0 ⋅ 2 ⋅ B −∞

Fondamenti TLC



163

Temperatura di rumore La temperatura di rumore di un qualsiasi disturbo con le stesse caratteristiche del rumore termico (ed in particolare densità spettrale di potenza pari a Na) e’ definita come:

Ta =

2Na k

Data un’apparecchiatura elettronica (ad esempio un ricevitore radio) e’ necessario confrontare la potenza del segnale utile con quella del rumore (termico e non) per valutarne le prestazioni (il rapporto tra le potenze di segnale e rumore viene indicato con la sigla SNR). L’apparecchiatura elettronica e’, in generale, costituita da tanti elementi (nell’esempio del ricevitore radio avremo l’antenna, il cavo di collegamento, il sintonizzatore, l’amplificatore) ognuno dei quali aggiunge il suo rumore. E’ comodo riportare tutti gli effetti del rumore all’ingresso come se ci fosse una sola sorgente di rumore concentrata che possa essere vista come una resistenza posta ad una temperatura equivalente di rumore Te generalmente molto maggiore della temperatura fisica dell’apparecchiatura. Fondamenti TLC



164

Fattore di rumore di un amplificatore (1) Un amplificatore e’ un dispositivo che aumenta l’ampiezza del segnale d’ingresso e, inevitabilmente, aggiunge del rumore. La potenza Py del segnale d’uscita e’ data dalla somma della potenza Px del segnale d’ ingresso moltiplicata per G0 (guadagno in potenza) e della potenza del rumore Pno introdotta dall’amplificatore.

x(t) Px

Amplificatore con guadagno G0

y(t) Py =G0Px+Pno

Il FATTORE DI RUMORE F di un amplificatore e’ definito come il rapporto tra la densita’ spettrale di potenza in uscita quando all’ingresso c’e’ un rumore con densita’ spettrale di potenza kTo / 2 (dove To e’ la temperatura standard di 290 gradi Kelvin) e la densita’ spettrale di potenza in uscita attribuibile al solo rumore in ingresso.

N ampli + G0 kTo / 2 N ampli N out = =1+ F= G0 kTo / 2 G0 kTo / 2 G0 kTo / 2 Fondamenti TLC



165

Fattore di rumore di un amplificatore (2) La densita’ spettrale di potenza di rumore aggiunta dall’amplificatore in uscita vale dunque:

N ampli = (F − 1) G0 kTo / 2

Se vogliamo riportare in ingresso all’amplificatore una densita’ spettrale di potenza che produca gli stessi effetti sull’uscita otteniamo:

N in = (F − 1) kTo / 2 Quindi, per quanto riguarda gli effetti del rumore, un amplificatore puo’ essere rappresentato come una sorgente di rumore all’ingresso con una temperatura equivalente di rumore:

Te = (F − 1)To Fondamenti TLC



166

Temperatura equivalente di rumore B e’ la banda dell’amplificatore x(t) Px

Amplificatore guadagno G0 fattore di rumore F

Amplificatore guadagno G0 non rumoroso

x(t) Px

y(t) Py =G0Px+ (G0kTe /2 )2B= =G0Px+ G0kTeB

y(t) Py =G0Px+ (G0kTe /2 )2B = =G0Px+ G0kTeB

Pn = kTeB Fondamenti TLC



167

Temperatura di rumore di amplificatori in cascata

Pn = kTeB

Amplificatore 1 guadagno G1 temperatura Te1



Amplificatore 1 guadagno G1 non rumoroso



Te 2 Te 3 + Te = Te1 + G1 G1G2

La temperatura di rumore del primo stadio e’ la piu’ critica. Fondamenti TLC



168

Temperatura di rumore di un attenuatore (1) Un attenuatore e’ un dispositivo passivo che riduce l’ampiezza del segnale d’ingresso e, inevitabilmente, aggiunge del rumore termico. La potenza Py del segnale d’uscita e’ data dalla somma della potenza Px del segnale d’ ingresso moltiplicata per G0<1 e della potenza del rumore Pn introdotta dall’attenuatore a temperatura fisica Ta. Per ricavare l’espressione della densita’ spettrale di potenza di rumore introdotta dall’attenuatore si pensi di collegare all’ingresso una resistenza alla stessa temperatura dell’attenuatore.

R

Attenuatore

Ta

Ta

La densita’ spettrale di potenza di rumore disponibile all’ingresso sara’ quindi:

kTa N in = 2 La densita’ spettrale di potenza di rumore all’uscita dovuta al solo ingresso sara’:

N out

kTa = G0 2 Fondamenti TLC



169

Temperatura di rumore di un attenuatore (2) In uscita, tuttavia, si avra’ ancora la stessa densita’ spettrale di potenza di rumore disponibile all’ingresso dato che tutto l’attenuatore e’ alla stessa temperatura fisica Ta

R

Attenuatore

Ta

Ta

Circuito (bipolo) Passivo Ta

La densita’ spettrale di potenza di rumore all’uscita Nout dovuta sia all’ ingresso sia all’attenuatore sara’: kTa kTa + Na = N out = G0

2

2

Ora e’ facile ricavare la densita’ spettrale di potenza di rumore aggiunta in uscita dall’attenuatore

N a = (1 − G0 )

kTa 2

Riportandola in ingresso si ottiene:

1  kTa − 1 N ai =  G0  2 Fondamenti TLC



170

Temperatura di rumore di un attenuatore (3)

La temperatura equivalente di rumore Te di un attenuatore con temperatura fisica Ta e con guadagno in potenza G0 < 1 ha la seguente espressione:

 1  Te =  − 1Ta  G0 

 1  kTa N ai =  − 1 G  2  0  x(t)

Attenuatore non rumoroso e guadagno G0 < 1

y(t)

Fondamenti TLC



171

Temperatura di rumore di un’apparecchiatura complessa Attenuatore Ga= -3dB (0.5) Ta=300K

Amplificatore 1 G1=10dB (10) F1=4dB (2.5)

Amplificatore 2 G2=20dB (100) F2=6dB (4)

 1  (F − 1)To (F2 − 1)To Te = Ta  − 1  + 1 + = G G G G a a 1  a   1  (2 .5 − 1) ⋅ 290 (4 − 1) ⋅ 290 = 300  − 1 + + = 1344 Kelvin 0 . 5 0 . 5 0 . 5 10 ⋅  

G = 27dB (500) non rumoroso

Pn = kTe B

Te = 1344 Kelvin Fondamenti TLC


CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI

172

Campionamento e ricostruzione di segnali

1



173

Numerizzazione dei segnali

• Nei moderni sistemi di memorizzazione e trasmissione i segnali in ingresso sono di tipo numerico, normalmente rappresentati in formato binario {0,1}. • In alcuni casi (si pensi ad esempio alle informazioni sulle operazione valutarie che le banche si scambiano fra loro), i segnali da elaborare e trasmettere sono segnali numerici gia’ all’origine (la sorgente e’ una sorgente numerica). • In alcuni casi la rappresentazione numerica dei segnali originari e’ molto semplice (alle lettere di un testo può essere facilmente associato un codice numerico: a→1, b →2, ecc.). • In molti altri casi, invece, la rappresentazione numerica dei segnali originari richiede un’analisi più accurata. Come, ad esempio, rappresentare numericamente il segnale di tensione (Volt) in uscita da un microfono?

2



174

Molti dei segnali con cui abbiamo a che fare nella realtà quotidiana sono continui sia nel tempo che nelle ampiezze. V(t)

t La rappresentazione di un segnale continuo in un segnale numerico richiede di discretizzare sia il tempo che le ampiezze. 3



175

Campionare i segnali

Campioni del segnale V(nT) Segnale originale V(t)

t

T • T e’ detto periodo (o passo) di campionamento; • fc=1/T e’ detta frequenza di campionamento. 4



176

Il campionamento ideale nel tempo sc (t ) = s(t )⋅ g (t ) s (t ) g (t )

g ∆ (t )

1/∆t T g (t )

∆t

t Impulsi ideali con area unitaria

t T 5



177

Il campionamento ideale s c (t ) = s(t )⋅

∞

∞

n = −∞

n = −∞

∑ δ(t − nT ) = ∑ s(nT )⋅ δ(t − nT )

sc(t) segnale campionato idealmente

s(t) segnale originale

t

T

6



178

Il Campionamento ideale nel dominio delle frequenze s(t ) → S(f ) F

∞

1 ∞  k 1 ∞ δ f −  = δ(f − kf c ) g (t ) = ∑ δ(t − iT ) → G (f ) = ∑ ∑ T k = −∞  T  T k = −∞ i = −∞ F

s c (t ) = s(t )⋅ g (t ) → Sc (f ) = S(f )∗ G (f ) = F

 1 ∞ 1 ∞ = S(f )∗  ∑ δ(f − kf c ) = ∑ S(f − kf c ) T  k = −∞ T  k = −∞

S(f)

Sc(f)

A

A/T f

7

-fc=-1/T Elementi di Teoria dei Segnali (di Marco Marcon)

fc=1/T f


179

La condizione di Nyquist

f c < 2B

S(f) S(f+fc)

-B

B f

Sc(f)

S(f)

fc-B

-fc

S(f-fc)

B

f c ≥ 2B

Sc(f)

- fc

8

f

fc

B 2B Elementi di Teoria dei Segnali (di Marco Marcon)

fc

f


180

Il teorema del campionamento

Se •il segnale s(t) e’ a banda B strettamente limitata S(f)=0 per |f|>=B; • e’ soddisfatta la condizione di Nyquist fc=1/T>=2B; allora •il segnale s(t) e’ rappresentato dai suoi campioni; •il segnale originale s(t) puo’ essere ricostruito a partire dalla sua versione campionata sc(t) con un filtro passa basso ideale avente guadagno T e frequenza di taglio fp B < fp < fc -B.

9



181

La ricostruzione del segnale -fc/2

Sc(f)

fc/2

B

-fc

fc

H(f)

fc-B

T

-fp S(f)=Sc(f) H(f)

f

fp

f S(f), trasformata del segnale originale s(t)

f 10



182

La ricostruzione del segnale sc(t)

s(t) H(f) H(f)

T

fp=fc/2 fc=1/T h ( t ) = F−1(H(f ) ) = sinc(t / T )  ∞  s(t ) = s c (t )∗ h ( t ) =  ∑ s(iT ) ⋅ δ( t − iT )  ∗ sinc(t / T ) = i = −∞  = 11

∞

 t − iT  s ( iT ) sinc ⋅   ∑ T   i = −∞ Elementi di Teoria dei Segnali (di Marco Marcon)

f


183

Il segnale è ricostruito come somma di seni cardinali ∞

t − iT   s(t ) = ∑ s(iT ) ⋅ sinc    T  i = −∞

s(t)

T t 12



184

Il campionamento in pratica

•Il segnale campionato consiste di impulsi di ampiezza e durata finita; •il filtro di ricostruzione non e’ ideale; •il segnale da campionare non e’ a banda rigorosamente limitata.

13



185

Cosa succede nei sistemi reali s1(t) all’uscita del campionatore Campioni del segnale s(t) segnale originale

t

T

14



186

Il campionamento Sample & Hold (S&H) h1(t)

s1( t ) = s c (t )∗ h1(t )

1

S1(f ) = Sc (f )⋅ H1(f )

T=1/fc

s(t)

15

sc(t) Camp. IDEALE

H1(f) h1(t)


s1(t)

t


187

Il campionamento Sample & Hold (S&H)

|Sc(f)|

|H1(f)|

1

1

1

0.8

0.8

0.8

0.6

0.6

0.6

0.4

. 0.4

0.2

0.2

0.2

0

0

0

-3

-2

-1

0

1

2

3

f/fc

16

|S1(f)|

-3

= -2

-1

0

1

2

3

f/fc


0.4

-3

-2

-1

0

1

2

f/fc

3


188

La ricostruzione del segnale campionato con un S&H s(t)

s1(t)

Camp. IDEALE

H1(f)

|S1(f)|

|Hr(f)|

|S(f)|

1

1

1

0.8

0.8

0.8

0.6

0.6

0.6

.

0.4

0 -3

=

0.4 0.2

0.2

-2

-1

0

1

2

3

0 -3

Se 17

0.4 0.2

-2

-1

0

f/fc

H r (f ) =

s(t)

Filtro finale di ricostruzione, Hr(f)

1

2

3

0 -3

-2

-1

0

1

2

f/fc

 f  1 ; B < f p < f c − B. rect   H1 ( f )  2f p 

==>

 f  ; B < f p < f c − B H1 (f ) ⋅ H r (f ) = rect  2f   p

e S1(f ) ⋅ Hr (f ) = Sc (f ) ⋅ H1(f ) ⋅ Hr (f ) ∝S(f )


f/fc

3


189

Filtri di ricostruzione non ideali

Banda di transizione

BF -fc

B

fc Banda di guardia

f c ≥ 2B F > 2B 18


f


190

Filtro anti-aliasing

Se i segnali sono a banda non rigorosamente limitata, per evitare la sovrapposizione di componenti spettrali con frequenza f≥fc/2 si inserisce, prima del campionatore un filtro limitatore di banda (filtro anti-aliasing).

sin (t)

1 -B

19

s(t) Campionatore

Hin(f)

Hin(f) B

f


191

Cosa succede se non è rispettato il Teorema del Campionamento? S(f)

Segnale originale s(t) f0

f0 fc<2f0

S(f+2fc)

S(f-fc)

S(f+fc)

-fc

S(f-2fc) f0 fc

f

2f0>fc

fr=fc-f0< f0

Segnale ricostruito sr(t)

f

Sr(f)=δδ(f-fr)+δδ(f+fr)

fr

-fc

Hr(f)=rect(f/fc)

fc

f fr=fc-f0< f0

20


QUANTIZZAZIONE

192

Lezione 14 Quantizzazione Quantizzazione e codificazione Rumore di quantizzazione Quantizzatori non uniformi

Fondamenti TLC


QUANTIZZAZIONE

193

Conversione analogico/digitale (A/D) Per rappresentare numericamente un segnale continuo nel tempo e nelle ampiezze è necessario:

• Campionare il segnale nel tempo; • Quantizzare le ampiezze dei campioni (rappresentare l’ampiezza di ogni campione utilizzando un numero finito di livelli);

• Codificare i valori quantizzati dei campioni (associare ad ogni livello un numero finito di cifre; solitamente si usano cifre binarie, cioe’ ‘bit’). Questo processo di conversione A/D, che trasforma il segnale originario in una sequenza di bit {0,1}, e’ noto come tecnica ‘PCM’ (Pulse Code Modulation o Modulazione impulsiva codificata). Fondamenti TLC


QUANTIZZAZIONE

194

Schema a blocchi del convertitore A/D

v(nT) ∈R

u(nT) ∈{u1, u2 , , uM}

M=256=28 …. u10 -> 00001010 u11 -> 00001011 u12 -> 00001100 ...

v(t) Campionatore

Quantizzatore

Codificatore

c(n)

c(n) fc=1/T t

t Rb [bit/s]= 1/Tb=fc log2M

Tb=T/log2M Fondamenti TLC


QUANTIZZAZIONE

195

La quantizzazione

V

u(nT) ∈{u1, u2 , , uM}

v(nT)

Quantizzatore

segnale originale v(t) segnale quantizzato u(t)

-V Fondamenti TLC


QUANTIZZAZIONE

196

La quantizzazione v

u

Quantizzatore u

livello di restituzione uk sk

s1

sk+1

v

sM+1

Intervallo di quantizzazione Ik

-V

V Fondamenti TLC


QUANTIZZAZIONE

197

v

u ∈ {u1 , u 2 ,

Quantizzatore

, uM}

Quantizzatore

v ∈ I k ⇒ u = u k = (s k + s k +1 ) / 2

k = 1,2, ..., M

Se i livelli uk sono equidistanti, cioe’ se | sk+1-sk|= | uk+1-uk|= ∆, per ogni k ⇒ Quantizzatore uniforme •passo di quantizzazione ∆ •dati M livelli, se v compreso in (-V,+V) ==> ∆ =2V/M Fondamenti TLC


QUANTIZZAZIONE

198

Codificazione Per codificazioni basati su rappresentazione binaria i quantizzatori utilizzano un numero M = 2N livelli di restituzione, dove N rappresenta il numero di bit con cui il codificatore rappresenta ogni livello.

Codifica naturale v8 v7 v6 v5 v4 v3 v2 v1

111 110 101 100 011 010 001 000

Codifica Gray

Codifica “complemento 2”

100 101 111 110 010 011 001 000

011 010 001 000 111 110 101 100 Fondamenti TLC


QUANTIZZAZIONE

199

Quantizzatore come sorgente di “rumore” v

u Quantizzatore

v + + +

u eq

segnale originale v(t) segnale quantizzato u(t)

eq

Segnale di ingresso v e rumore di quantizzione eq sono fra loro incorrelati (per N grande)

+∆/2 -∆/2

u-v= eq = rumore di quantizzazione Fondamenti TLC


QUANTIZZAZIONE

200

Potenza del rumore di quantizzazione Quantizzatore uniforme M livelli di restituzione (v1÷vM) Passo quantizzazione (si-si-1)=∆ ∆ , i=1,2,…,M

∆

u ui

f(eq)

[ ]

µ = E e q = 0;

1/∆ -∆/2

+∆/2

v

si

si-1

eq

[ ] [

PQ = E e q

2

]

∆ = E (e q − µ ) = 12 2

2

Fondamenti TLC


QUANTIZZAZIONE

201

Rapporto potenza segnale potenza rumore (quantizz.) Assumiamo: • Segnale di ingresso v con ampiezze comprese tra -Vmax↔Vmax e densita’ di probabilita’ uniforme fv=1/(2V) • Quantizzatore ad N bit (M=2N livelli di restituzione) => ∆=2V/M. f(v) 1/(2V) -V +V

v

2 Vmax PS = 3 2 4V 2 V2 1 ∆2 (2 V / M ) PQ = = = = ⋅ 2 2 12 12 12 ⋅ M 3 M P SNR = S = M 2 = 2 2 N ; SNR dB = 10 lg 10 (2 2 N ) = 10 lg 10 (4 )⋅ N ≈ 6 ⋅ N PQ

Q a 8 bit ⇒SNRdB=48 dB; Q a 10 bit ⇒SNRdB=60 dB; Q a 16 bit ⇒SNRdB=96 dB; Fondamenti TLC


QUANTIZZAZIONE

202

Applicazione Quantiz. Non Uniforme Segnale Telefonico v(t) Microfono

Potenza del segnale fortemente dipendente dal parlatore Banda 300-3400 Hz Frequenza Campionamento fc=8000 campioni /s Utilizziamo N=8 bit per campione (8000 campioni/s*8 bit/campione=64kbit/s)

Nell’ipotesi di segnale con distribuzione d’ampiezza uniforme nell’intervallo [-V,+V], la potenza di segnale P1=V2/3. Se si utilizza una quantizzazione uniforme (∆=2V/2N), PQ=∆2/12, dunque (P1/ PQ) |dB =SNR|dB =6N=6*8=48 dB Sufficiente per buona qualità segnale (>30dB).

11

Fissato il passo di quantizzazione ∆, se la potenza del segnale PS diminuisce di un fattore 100 (Ps=P1-20 [dB]), cosa normalissima, SNR|dB≈ 28dB < 30dB.

Fondamenti TLC


QUANTIZZAZIONE

203

Quantizzatori non uniformi u

ui si

si+1

v

Sono utilizzati quando la statistica del segnale in ingresso non è uniforme

Fondamenti TLC


QUANTIZZAZIONE

204

Quantizzatore non uniforme: implementazione v

vq

vc N.L.

Q. unif.

vo =

vc

log(1 + µ m ) v v ; vo = c ; m = log(1 + µ) vc,M vM 1

200 100 µ=5

vo si

si+1

v

vi 0

|m|

1

Fondamenti TLC


QUANTIZZAZIONE

205

Companding (Compression-Expanding)-1

v(nT)

vc

vc(nT) Quantizzatore Uniforme c(n) e codificatore

v

R=64 kbit/s

(8 bit/camp.)

c1(n)

D/A

12 bit/campione

8 bit/camp.

(che rappresentano, con quantizzazione uniforme, 212 livelli equidistanti)  Am per  ( ) 1 ln A + v c = sign (v )⋅   (1 + ln A m ) î 1 + ln A

m=

v

;

m<

v Max 1 per ≤ m ≤ 1 A

1 A

A = 87,6

Fondamenti TLC


QUANTIZZAZIONE

206

Companding (Compression-Expanding)-2

v(nT)

Quantizzatore Uniforme e codificatore

c1(n)

c(n)

R=64 kbit/s

(12 bit/camp.)

c1(n) D/A (8 bit/camp.)

12 bit/campione (che rappresentano, con quantizzazione uniforme, 212 livelli equidistanti)

Fondamenti TLC


QUANTIZZAZIONE

207

Companding (Compression-Expanding)-3 Con Companding

SNR [dB] 48 ∼10dB

44 40 36 32 28 24 20

Senza Companding

16 12 8 4 0 -48

-44

-40

-36

-32

-28

-24

-20

-16

-12

-8

-4

0

Ps /P1 [dB]

Fondamenti TLC


QUANTITA’ DI INFORMAZIONE ASSOCIATA AD UNA SORGENTE E CODIFICA DI SORGENTE

208

Quantita’ di informazione associata ad una sorgente e codifica di sorgente Informazione associata a sorgenti digitali, entropia Codifica di sorgenti senza memoria Codifica di sorgenti con memoria

Fondamenti TLC



209

Schematizzazione generale sistema di comunicazione Sorgente (numerica)

Sistema di trasmissione

Utilizzatore

s(k), k=1, ……… Viene emesso un simbolo ogni T secondi s(k); k=1, ….. = Simboli numerici trasmessi negli istanti kT; = Dimensione alfabeto dei simboli ,ognuno rappresentato con N bit; M=2N S={s1, …, sM} = Insieme dei possibili simboli. I simboli possono rappresentare: • Un testo scritto, sequenza di simboli/codici rappresentanti le lettere (cod. ASCII a 7 od 8 bit); • Un segnale campionato, sequenza codici assegnati ai campioni; • Informazioni numeriche, ad esempio il saldo di conti correnti; • Una sequenza di bit; • Ecc. ….. Fondamenti TLC



210

Informazione associata ai simboli • Sorgente senza memoria: probabilità di emissione dei simboli indipendente dalla storia passata. • Parametri statistici che descrivono sorgente: probabilità di emissione dei simboli: p(s1), p(s2), ….., p(sM); 0 ≤ p(si ) ≤ 1;

M

∑ p(si ) = 1.

i =1

Informazione associata a ciascun simbolo:

 1  I(si ) = lg 2  si misura in bit.   p(si )  I(si ) ≥ 0; I(si ) = 0 se p(si ) = 1; I(s k ) > I(si ) se p(s k ) < p(si ). Fondamenti TLC



211

Informazione media di una sorgente, Entropia Il valor medio dell’informazione tra tutti i simboli della sorgente S (valo medio pesata dalla probabilità di emissione):

 1  HS = E[I(si )] = ∑ p(si )lg 2   ( ) p s  i  i =1 M

Questa quantità viene detta Entropia. L’Entropia fornisce una misura del contenuto medio di informazione associato ad ognuno dei simboli emessi dalla sorgente. Anche l’Entropia , naturalmente, è misurata in bit.

Fondamenti TLC



212

Entropia: Sorgente binaria HS

S = {s1, s 2 }

1 0.9

p(s 2 ) = 1 − p(s1)

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p(s1)

L’Entropia è massima se tutti i simboli sono equiprobabili (risultato generale indipendente dalla dimensione alfabeto) Fondamenti TLC



213

Concetto di Ridondanza

H R =1− H max H

: Entropia sorgente

Hmax : Entropia massima (sorgente senza memoria e simboli equiprobabili) = = lg2(M) con M dimensione alfabeto.

Per un testo scritto Hmax = 7 bit, H ≈ 2 bit => R=0.7 Un testo è quindi estremamente ridondante. Si comprende anche se manca una parte significativa dei caratteri che lo compongono. Fondamenti TLC



214

Codifica di sorgente E’ la rappresentazione efficiente dei dati generati da una sorgente discreta S.

S

s(k)

Codifica

b(k)

•La sequenza b(k) e’ binaria (le parole di codice sono binarie). • Il codice di sorgente e’ decodificabile in maniera univoca (la sequenza di dati originari s(k) puo’ essere ricostruita perfettamente dalla sequenza codificata b(k)) Fondamenti TLC



215

Codici a lunghezza variabile S im boli P robabilità E m isssione Codice (Lunghezza Fissa)

Codice Lunghezza V ariabile

s1

0,50

00

0

s2

0,25

01

10

s3

0,15

10

110

s4

0,10

11

111

Definiamo la lunghezza media di parola di codice M L = ∑ p(si )li i =1 dove li e’ la lunghezza della parola di codice associata al simbolo si. Nell’esempio

L var = 1* 0.5 + 2 * 0.25 + 3 * 0.15 + 3 * 0.1 = 1.55 bit < 2 bit = Lfissa Fondamenti TLC



216

Efficienza del codice •Lmin e’ il minimo valore possibile di L • definiamo l’efficienza del codice del codificatore L η= ≤ 1. L min

•Quanto vale Lmin ? Il teorema della codifica di sorgente afferma che Per qualsiasi schema di codifica, la lunghezza media delle parole del codice e’ limitata inferiormente dall’entropia della sorgente L ≥ HS Fondamenti TLC



217

Ulteriore significato dell’Entropia Entropia (espressa in bit) rappresenta il minimo numero medio di cifre binarie necessarie a codificare ciascun simbolo della sorgente. Si puo’ riscrivere l’efficienza del codice come HS η= L

Fondamenti TLC



218

Tecnica di Huffman per la costruzione Codici a Lunghezza Variabile (1) Assegna ad ogni simbolo una sequenza di bit, la cui lunghezza e’ praticamente uguale alla quantita’ di informazione che il simbolo trasporta.

1. I simboli della sorgente vengono ordinati secondo probabilita’ decrescente. 2. Viene generata una nuova lista di simboli da codificare, sostituendo agli ultimi due simboli, precedentemente identificati, un nuovo simbolo di sorgente, con probabilita’ uguale alla somma delle probabilita’. 3. Si ripete il passo 1. , applicato alla nuova lista, in modo iterativo, finche’ ci si riduce ad una lista con solo due simboli, a cui si associano i bit ‘0’ e ‘1’. La parola di codice da assegnare ad ogni simbolo originario si ottiene seguendo a ritroso il percorso di assegnazione dei bit, fino al simbolo originario.

Fondamenti TLC



219

Tecnica di Huffman per la costruzione Codici a Lunghezza Variabile (2) Lista1 Probabilita’

lista2

lista3

lista4

Codifica

s0 s1 s2 s3 s4

0.4 0.2 0.2 0 0.2 1

0.4 0.4 0 0.2 1

0.4 0 0.4 1

00 10 11 010 011

0.4 0.2 0.2 0.1 0 0.1 1

Fondamenti TLC



220

Codifica Universale Quando le probabilità dei simboli non sono note, o cambiano nel tempo, è possibile realizzare sistemi che estraggano tali informazioni direttamente dai simboli originari. Simboli originari

Simboli ricostruiti

Codif

Decod

Modell

Modell

Fondamenti TLC



221

Sorgenti con memoria Quando le probabilità dei simboli dell’alfabeto dipendono, per ogni intervallo di emissione, dalla storia passata (simboli emessi precedentemente) si parla di Sorgenti con Memoria.

Buona parte delle informazioni che trattano i sistemi di comunicazione possono essere viste come generate da sorgenti con memoria. Un testo scritto può essere preso come esempio classico: Scorrendo il testo, la probabilità di incontrare una particolare lettera dipende fortemente dalla sequenza dei precedenti caratteri. Per una codifica efficiente di queste sorgenti devono essere impiegate tecniche opportune. Fra le più note vi sono quelle basate sull’uso di “dizionari”. Fondamenti TLC



222

Tecniche di codifica basate su “dizionario” L’idea base è quella di rappresentare stringhe di simboli elementari (“parole”) con un indice che le identifica in un “vocabolario” noto sia al codificatore che al decodificatore. “Vocabolario” Buffer caratteri già codificati L

a

1

2

3

n

o

s

t

r

a

4

5

6

7

8

9

10

Buffer caratteri da codificare

p

a

n

d

a

11

12

13

14

15

16

s

t

r

a

r

i

p

a

1

2

3

4

5

6

7

8

Viene ricercata la stringa comune più lunga fra inizio buffer di codifica e “vocabolario”. Dati codificati: Match, Inizio Stringa in “Vocabolario”, Lunghezza Stringa, “Carattere Innovazione” 1/0 (1 bit)

H bit (nell’esempio H=4)

L bit (es. L=3)

N bit (es. N=7) Evita “deadlock” per Match=0

Fondamenti TLC



223

Tecniche di codifica basate su “dizionario” L’idea base è quella di rappresentare stringhe di simboli elementari (“parole”) con un indice che le identifica in un “vocabolario” noto sia al codificatore che al decodificatore. “Vocabolario” Buffer caratteri già codificati L

a

1

2

3

n

o

s

t

r

a

4

5

6

7

8

9

10


p

a

n

d

a

11

12

13

14

15

16

s

t

r

a

r

i

p

a

1

2

3

4

5

6

7

8

Viene ricercata la stringa comune più lunga fra inizio buffer di codifica e “vocabolario”. Dati codificati: Match, Inizio Stringa in “Vocabolario”, Lunghezza Stringa, “Carattere Innovazione” 1

6

4

“”

Fondamenti TLC



224

Tecniche di codifica basate su “dizionario” L’idea base è quella di rappresentare stringhe di simboli elementari (“parole”) con un indice che le identifica in un “vocabolario” noto sia al codificatore che al decodificatore. “Vocabolario” Buffer caratteri già codificati o

s

t

r

a

1

2

3

4

5

6

p

a

n

d

a

7

8

9

10

11


12

s

t

r

a

r

i

p

a

v

a

13

14

15

16

1

2

3

4

5

6

d 7

8

Viene ricercata la stringa comune più lunga fra inizio buffer di codifica e “vocabolario”. Dati codificati: Match, Inizio Stringa in “Vocabolario”, Lunghezza Stringa, “Carattere Innovazione” 1 1

6 4

4 1

“” “”

Fondamenti TLC



225

Tecniche di codifica basate su “dizionario” L’idea base è quella di rappresentare stringhe di simboli elementari (“parole”) con un indice che le identifica in un “vocabolario” noto sia al codificatore che al decodificatore. “Vocabolario” Buffer caratteri già codificati s

t

r

a

1

2

3

4

5

p

a

n

d

a

6

7

8

9

10

11

Buffer caratteri da codificare s

t

r

a

r

i

p

a

v

a

12

13

14

15

16

1

2

3

4

5

6

d

i

7

8

Viene ricercata la stringa comune più lunga fra inizio buffer di codifica e “vocabolario”. Dati codificati: Match, Inizio Stringa in “Vocabolario”, Lunghezza Stringa, “Carattere Innovazione” 1 1 0

6 4

4 1

“” “” “i”

Fondamenti TLC



226

Tecniche di codifica basate su “dizionario” L’idea base è quella di rappresentare stringhe di simboli elementari (“parole”) con un indice che le identifica in un “vocabolario” noto sia al codificatore che al decodificatore. “Vocabolario” Buffer caratteri già codificati t

r

a

1

2

3

4

p

a

n

d

a

5

6

7

8

9

10


s

t

r

a

r

i

p

a

v

a

11

12

13

14

15

16

1

2

3

4

5

d

i

6

7

8

Viene ricercata la stringa comune più lunga fra inizio buffer di codifica e “vocabolario”. Dati codificati: Match, Inizio Stringa in “Vocabolario”, Lunghezza Stringa, Carattere Innovazione 1 1 0 1

6 4

4 1

5

2

“” “” “i” “”

Fondamenti TLC



227

Decodifica basata su “dizionario Dati codificati ricevuti: Match, Inizio Stringa in “Vocabolario”, 1

Lunghezza Stringa,

6

“Carattere Innovazione”

4

“”

“Vocabolario” Buffer caratteri già decodificati L

a

1

2

3

n

o

s

t

r

a

4

5

6

7

8

9

10

Buffer nuovi caratteri

p

a

n

d

a

11

12

13

14

15

16

s

t

r

a

1

2

3

4

5

6

7

8

Fondamenti TLC



228

Tecniche di codifica basate su “dizionario” (efficienza) Nell’esempio illustrato Per 8 caratteri, codificabili con 7 bit ciascuno senza codifica di sorgente (8*7=56 bit), si utilizzano un totale di 32 bit codificati (8*4=32 bit).

Efficienza di codifica aumenta di molto incrementando la dimensione dei buffer e utilizzando strutture dati molto simili a veri e propri dizionari. Queste tecniche sono ampiamente utilizzate sia nelle comunicazioni sia per la compressione di dati memorizzati su supporti di massa. Si possono ottenere percentuali di compressione anche del 55% per testi scritti , rispetto a percentuali di compressione di circa il 43% ottenibile con il codice di Huffmann. Fondamenti TLC



229

Tecniche di codifica di sorgente con perdita In molte situazioni, per la trasmissione o memorizzazione digitale di suoni, immagini (fisse od in movimento) vi sono stringenti necessità di comprimere i dati numerici anche a costo di introdurre degradazioni sui segnali ricostruiti. Per queste applicazioni sono state messe a punto Tecniche di Codifica di Sorgente con Perdita (Lossy) che cercano di sfruttare al meglio le limitate capacità percettive dei nostri sensi. Esempi di queste tecniche sono, per le immagini, le tecniche note con le sigle JPEG, MPEG1, MPEG2, MPEG4, H261, H263. Per i segnali audio di qualità (segnali musicali) una delle tecniche più note e quella che va sotto il nome MPEG2 Audio Level 3 (comunemente indicata come MP3). A questo proposito si può ricordare come un segnale audio stereo semplicemente campionato e quantizzato richieda 2*48000*16≈1.5 Mbit/sec. La compressione MP3 permette di rappresentare lo stesso segnale (introducendo solo minime degradazioni) con soli 64÷128 Kbit/sec.

Fondamenti TLC


Elementi di Teoria dei Segnali

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