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TRABAJO DINÁMICA
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Resumenes de primeros cuatro
Dinamica Estructural
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Capítulo 2
Elementos de Dinámica Estructural 2.1 2.1
Intr In trodu oducc cció ión n
Ante acciones de tipo dinámico una estructura responde modi…cando su con…guración alreded de una p osición osición de equilib equilibrio rio estable. estable. Estos Estos cam cambios bios de con…gurac con…guración ión pueden alcanzar alcanzar gra amplitudes incluso para valores pequeños de la acción excitadora, pudiendo conducir al colap de la estructura.
En este capítulo se revisan algunos de los conceptos básicos del análisis dinámico de estru turas turas que son de aplicación aplicación en las normativ normativas as sismorresis sismorresisten tentes. tes. Así, en la sección 2 se real un breve repaso repaso de los sistemas sistemas lineales lineales de un grado de libertad. libertad. Se estudian estudian los casos casos de vibraciones tanto libres como forzadas y el caso de vibraciones producidas por una excitaci de base. A continua continuación ción,, en la sección sección 3, se introduce introduce uno de los conceptos conceptos clave clave del cálc sísmico: sísmico: la de…nición de…nición de la acción acción por medio medio de espectros espectros sísmicos sísmicos de respuesta. respuesta. La secció se dedica al estudio de sistemas elásticos lineales con varios grados de libertad. Se plantean ecuaciones del movimiento y se presentan las propiedades de los modos y frecuencias prop de la estructura. La respuesta máxima del sistema ante una solicitación sísmica se obtiene u Sign up to vote on this title lizando el análisis modal espectral, i.e., expresando dicha respuesta mediante superposición Not useful Useful modos, obteniendo la respuesta máxima asociada a cada uno de estos modos en base a la acci sísmica de…nida por su espectro de respuesta, y combinando las respuestas máximas moda así calculadas calculadas Finalmen Finalmente, te, se hace un brev te de los métodos de integra integración ción direct
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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS ELEMENTOS DE DINÁMICA DINÁMICA ESTRU ESTRUCTURAL CTURAL
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2.2
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2.2.1 2.2.1
Dinamica Estructural
Sist Sistem emas as de de un gra grado do de de liber liberta tad d Vibrac Vibracion iones es libres libres
Vibraciones libres de sistemas no amortiguados
Se estudia la vibración del sistema que se esquematiza en la …gura 2.1, formado por una ma y un muelle de comportamiento elástico y lineal.
x(t) k
m
kx
m
mx Figura 2.1: Sistema de un g.d.l.. Equilibrio de fuerzas
Si se desplaza la masa desde su posición de equilibrio y a continuación se deja vibrar libr mente, la masa oscilará alrededor de dicha posición. Aislando la masa y planteando el equilibr de fuerzas, se obtiene mx Ä + kx = 0 La solución a la ecuación (2.1) es de la forma x(t) = A1 cos !nt + A2 sen !nt
;
!n =
s
k m
donde !n es la frecuencia natural o frecuencia propia del sistema (dada en radianes por segund y es la frecuencia a que tiende a vibrar el sistema de acuerdo con sus características. A1 son dos constantes arbitrarias que se calculan a partir de las condiciones iniciales. Sign up to vote on this title
Amortiguamiento
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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS ELEMENTOS DE DINÁMICA DINÁMICA ESTRU ESTRUCTURAL CTURAL
Vibraciones libres de sistemas amortiguados
La …gura 2.2 esquematiza un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso. ecuación del movimiento viene de…nida en este caso por mx Ä + cx_ + kx = 0 La solución a esta ecuación tiene la forma
s
c2 k = 4m2 m donde A1 y A2 se calculan de nuevo a partir de las condiciones iniciales. x(t) = e
¡
c
2m
t
n
A1 er t + A2 er 1
2
;
r1 =
¡
¡r2
x(t)
k c
t
o
kx
m
m
cx mx
Figura 2.2: Sistema de un g.d.l. con amortiguamiento viscoso. Equilibrio de fuerzas.
La respuesta del sistema depende del valor de r1 y r2 en la ecuaci ecuación ón (2.5). (2.5). Se pued distinguir dos casos:
² Si
c2 4m2
k m
las raíces r1 y r2 son reales. reales. El sistema sistema está sobreamort sobreamortigua iguado do y tien exponencialmente a su posición de equilibrio sin oscilar (…gura 2.3). En el caso particul en que r1 = r2 = 0 se dice que el sistema está críticamente amortiguado, ya que tiende la posición de equilibrio en el menor tiempo posible. Esto sucede para un valor crítico la constante de amortiguamiento, ccr , dado por
¸
2 ccr k = 2 4m m
)
ccr =
p
4km = 2m! 2 m!n Sign up to vote on this title
Useful yNotlauseful La relación entre la constante de amortiguamiento de un sistema constante de amo tiguamiento crítico se denomina factor de amortiguamiento » : c c
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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS ELEMENTOS DE DINÁMICA DINÁMICA ESTRU ESTRUCTURAL CTURAL
) t ( x
t
Figura 2.3: Respuesta de un sistema sobreamortiguado
) t ( x
t
Figura 2.4: Respuesta de un sistema amortiguado 2.2.2 2.2.2
Vibrac Vibracion iones es forzad forzadas as
Se estudia el caso de un sistema amortiguado de un grado de libertad sometido a una fuer excitadora de tipo armónico F ( F (t) = F o sen !t Sign up to vote on this title según se muestra en la …gura 2.5. Planteando el equilibrio de fuerzas se obtiene la ecuación d Useful Not useful movimiento mxÄ + cx_ + kx = F o sen !t (2.1
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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS ELEMENTOS DE DINÁMICA DINÁMICA ESTRU ESTRUCTURAL CTURAL
x(t)
k Sheet Music
Resumenes de primeros cuatro
c
m
F(t)
kx
F(t)
m
cx mx
Figura 2.5: Sistema de un g.d.l. sometido a carga armónica. Equilibrio de fuerzas.
= X sen sen (!t
¡ ')
El comportami comportamient entoo del término término xh (t) ya se ha descri descrito to al estudi estudiar ar las las vibrac vibracion iones es libre libre correspond correspondee a la respuesta respuesta transitori transitoriaa del sistema. sistema. En sistemas sistemas amortiguad amortiguados os esta vibrac desaparece al cabo de un cierto tiempo y depende de las condiciones iniciales de velocidad desplazamiento.
El término término x p (t) de…ne de…ne la respue respuesta sta en régim régimen en permane permanent nte. e. En este caso caso la vibra no desapa desaparec recee hasta hasta que cesa la excitac excitación ión exterio exterior. r. Puest Puestoo que en la ecuac ecuació ión n (2.13) (2.13) corresponde a la respuesta del sistema para una carga estática de amplitud F o , se de…ne coe…ciente de ampli…cación dinámica o factor dinámico de carga como la relación entre l respuestas dinámica y estática del sistema (a una excitación de la misma amplitud) X X = = F o =k X est est
1
s · ³ ´ ¸ h i ¡ 1
! !n
2 2
+ 2» !!
(2.1 2
n
En la …gura …gura 2.6 se muest muestra ra la evolu evolució ción n con la frecue frecuenci nciaa excita excitador doraa de este este coe…cie coe…cient nte. e. distinguen tres zonas:
² ! < ! n : cuando ! ' 0 la fuerza aplicada es cuasi-estática y por tanto la respuesta coinci
con la estática. A medida que ! aumenta, el sistema comienza vibrar en respuesta a Sign up to votea on this title fuerza aplicada, aumentando la ampli…cación según la frecuencia excitadora se aproxima Useful Not useful valor de la frecuencia natural del sistema. El papel que juega el amortiguamiento es dob por un lado disminuye la ampli…cación de la respuesta y por otro produce un incremen en el desfase
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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS ELEMENTOS DE DINÁMICA DINÁMICA ESTRU ESTRUCTURAL CTURAL
10
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ξ=0 ξ=0.05 ξ=0.1 ξ=0.2 ξ=0.5
8
t s e
6
X / 4 X 2 0 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
ω /ω n Figura 2.6: Coe…ciente de ampli…cación dinámica
x(t)
y(t)
k (x-y)
k c
m
m
c (x-y) mx
Figura 2.7: Sistema de un g.d.l. sometido a excitación en su base. Equilibrio de fuerzas.
(! ! 1 ) al sistema ² ! > !n : según aumenta el valor de la frecuencia de excitación (!
resulta imposible seguir las oscilaciones inducidas por la acción exterior, por lo que tien a permanecer en reposo Sign up to vote on this title X 0 Useful Not useful (2.1 X est est !
¯¯
!1
!
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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS ELEMENTOS DE DINÁMICA DINÁMICA ESTRU ESTRUCTURAL CTURAL
Considerando el movimiento relativo entre la masa y la base, z = x y, la ecuación (2.19) que
¡
mzÄ + cz_ + kz =
¡myÄ = mY !2 sen !t
(2.2
que tiene la misma forma que la ecuación del movimiento obtenida al estudiar las vibracion forzadas con F o = mY !2 , por lo que para este caso son aplicables todas las conclusiones extraid en el apartado anterior.
2.3 2.3
Espec Espectr tro o de resp respue uest sta a
Cuando la base de un oscilador de un grado de libertad sufre un terremoto caracterizado por acelerograma a(t), i.e., por una historia de aceleraciones del terreno, el movimiento del sistem viene de…nido por la ecuación mzÄ + cz_ + kz = ma( ma(t) (2.2 o, dividiendo por m,
¡
zÄ + 2»! 2»! nz_ + !n2 z =
¡a(t)
(2.2
Esta ecuación puede integrarse fácilmente utilizando diversos procedimientos que no se van detallar aquí 1 . En particul particular, ar, para cualquier cualquier sistema caracteriza caracterizado do por su amortig amortiguami uamient ent y por su frecuencia natural !n es posible determinar el valor máximo de su respuesta a acelerog acelerogram ramaa dado. dado. Si estos valo alores res máximos máximos de respuest respuestaa se calcula calculan n para todos los posib sistemas de un grado de libertad, i.e., para todos los posibles valores de » y !n de interés y gra…can, se habrá obtenido el denominado espectro sísmico de respuesta del acelerograma Esta respuesta puede expresarse en desplazamientos, velocidades o aceleraciones, de…niendo cada caso un espectro de desplazamiento (S (S d), velocidad (S (S v ) o aceleración (S (S a ).
En general, y dado que se trata de obtener la solución de la ecuación (2.22), el espectro obtiene para un amortiguamiento pre…jado » y una historia de aceleraciones a(t) conocida y gra…ca en función de la frecuencia !n (o del período T ) T ) S d (!n ; » ) = S v (!n ; » ) = S a (!n ; » ) =
jz(t)jmax a(t) determinado jz_ (t)jmax para un acelerograma Sign up to vote on this title jzÄ(t) + a(t)jmax Useful Not useful
donde S d y S v son valores relativos y S a se re…ere al valor total de la aceleración.
(2.2 ( (2.2
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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS ELEMENTOS DE DINÁMICA DINÁMICA ESTRU ESTRUCTURAL CTURAL
(T ! 0), i.e., muy rígidas, S a ! jyÄ(t)jmax, sien ² Para estructuras de períodos muy bajos (T jyÄ(t)jmax la máxima aceleración del terreno (del acelerograma a(t)). (T ! 1 ), i.e., muy ‡exibles, S d ! j y (t) ² Para estructuras de períodos muy largos (T siendo jy(t)jmax el desplazamiento máximo del terreno.
Figura Figura 2.8 2.8:: Espectro Espectro sísmico de respuest respuestaa del terremoto terremoto de San Fernando ernando (EE.UU., (EE.UU., febrero 1971). Representación Representación trilogarítmica trilogarítmica (» (» =0.00, =0.00, 0.05, 0.10, 0.15, 0.20). Sign up to vote on this title
Por tanto, un espectro sísmico de respuesta resume la respuesta cualquier sistem useful Useful máxima Not de de un grado de libertad a un acelerograma determinado a(t). Puesto que para una determina región geográ…ca es de esperar que los terremotos tengan una serie de características comun
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2.4.1 2.4.1
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Sistem Sistemas as con con vari varios os grad grados os de liber liberta tad d Ecuaci Ecuacione ones s del mo movimien vimiento to
En el caso de estructuras de edi…cación el análisis dinámico puede simpli…carse considerando modelo de masas concentradas, sin que ello resulte en una pérdida de precisión signi…cativa. masa total del sistema se concentra concentra sobre algunos elementos elementos del mismo -fácilmente -fácilmente identi…cabl y la capacidad de deformación sobre otros.
mn
mi
xn(t)
xn(t)
mn
xi(t)
k i+1 xi(t)
mi
k i
m2 m1
x2(t)
x2(t)
m2 k 2
x1(t)
m1
x1(t)
k 1 a(t)
a(t) Sign up to vote on this title
Figura 2.9: Edi…cio de cortante Useful
Not useful
Un modelo ampliamente utilizado utilizado en el análisis de pórticos p órticos planos corresponde al denomina
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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS ELEMENTOS DE DINÁMICA DINÁMICA ESTRU ESTRUCTURAL CTURAL
mn
xn(t)
cn
k i+1 (xi+1-x i) mi
ci
i
m H 0
k i+1 xi(t)
c1
ci x i k i
k i (x i-xi-1)
m2 m1
mi
mi (x i+a(t))
k i
c2
k i+1
x2(t) k 2
x1(t)
k 1
a(t)
Figura 2.10: Edi…cio de cortante con amortiguamiento viscoso. Equilibrio de fuerzas de disipaci disipación ón de energía energía homogéneo homogéneo en toda la estructu estructura. ra. Plante Planteando ando el equilibr equilibrio io diná para cada una de las masas mi (…gura 2.10), se obtiene mixÄi + cix_ i + (k (ki + ki+1)xi
¡ ki+1xi+1 ¡ kixi
1
¡
=
¡mia(t)
(2.2
o, en forma matricial para todo el sistema, MÄ x
+ Cx_ + Kx =
a(t) up to vote on this title ¡MJSign
Useful Not useful donde J es un vector columna con todos sus elementos iguales a la unidad (J = 1), matriz de masa (diagonal)
(2.2 M
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según el grado de libertad j )
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K
=
0 BB BB B@
k1 + k2 k2 k2 k2 + k3
¡
¡
¡k3
0
..
. ki ki + ki+1
¡ 0
¡ki+1 ..
.
kn
1 CC CC CA
(2.3
donde ki es la rigidez al desplazamiento transversal del conjunto de pilares situado en el nivel i.e., entre las plantas i 1 e i. La rigidez de cada uno de esos pilares viene dada por
¡
k p = C
12EI 12EI p H i3
siendo H i la altura de los pilares del nivel i
(2.3
es la matriz de amortiguamiento (diagonal)
C
x, x _
=
0 BB BB B@
c1 c2
0
..
. ci
0
..
. cn
1 CC CC CA
(2.3
Ä son vectores conteniendo, respectivamente, los desplazamientos, velocidades y ace yx raciones de cada planta; y a(t) es el acelerograma que de…ne la acción sísmica (en la base d edi…cio).
Para analizar estructuras tridimensionales caben dos opciones:
² Si el edi…cio es ”razonablemente” regular, puede analizarse a través de dos modelos or
gonales independientes. Los resultados obtenidos para cada una de las direcciones deber combinarse de acuerdo a unas reglas que, en general, vienen dadas en las normativas s Sign up to vote on this title morresistentes, y que en el caso de la NCSE-94 establecen que ”para cada hipótesis sísm useful se combinarán las acciones pésimas de cada modelo conUseful el 30% de Not las acciones pésimas d otro modelo ortogonal”.
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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS ELEMENTOS DE DINÁMICA DINÁMICA ESTRU ESTRUCTURAL CTURAL
siendo A y B dos constantes constantes escalares. escalares. General Generalmen mente te la matriz matriz de masa sólo inclu grados de libertad de traslación y, en cualquier caso, se suele emplear una matriz de ma diagonalizada obtenida a partir de la matriz de masa congruente.
2.4.2 2.4.2
Modos Modos de vibraci vibración ón y frecuen frecuencia cias s natura naturales les
Obtención de modos y frecuencias naturales
Al igual igual que sucedí sucedíaa en los siste sistemas mas de un grado grado de libert libertad, ad, las caract caracterí erísti sticas cas dinámi dinámi intrínsecas de una estructura de n grados de libertad se obtienen considerando sus vibracion libres no amortiguadas. En este caso las ecuaciones del movimiento (2.29) se reducen a MÄ x + Kx
=0
(2.3
Esta ecuación admite soluciones no triviales, i.e., compatibles con un movimiento sin fuerz exteriores aplicadas, de la forma i(!t+ !t+') x(t) = Xe (2.3 siendo X un vector formado por las amplitudes de los movimientos. Sustituyendo (2.36) en (2.35) se obtiene (K
¡ !2M)X = 0
(2.3
Las ecuaciones (2.37) corresponden a un problema de obtención de autovalores y autovector Para que haya soluciones distintas de la trivial debe cumplirse que el determinante de la mat de coe…cientes sea nulo !2 M = 0 (2.3 K
¯¯
¡
¯¯
Como solución de este polinomio característico se obtienen n autovalores !i2 que correspond a las n frecuencias naturales o frecuencias propias !i con las que la estructura puede vibr libremente. A la frecuencia más baja del sistema se le denomina frecuencia fundamental, ! tiene asociado un período fundamental 2¼ T 1 = !1
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(2.3
Cada autovalor !2 lleva asociado un autovector Xi , denominado modo de vibración, que indi
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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS ELEMENTOS DE DINÁMICA DINÁMICA ESTRU ESTRUCTURAL CTURAL
o aplicando cualquier otro criterio para obtener los modos normalizados Ái .
En general la estructura vibrará libremente o bien según uno de los modos y su frecuen propia asociada, o bien según una combinación lineal de dichos modos.
Propiedades de los modos de vibración
Se puede demostrar fácilmente que los modos de vibración de una estructura satisfacen l siguientes condiciones de ortogonalidad respecto a las matrices de masa y rigidez ÁT i MÁi
= M i
ÁT i KÁi
= !i2M i = K i
;
ÁT i MÁ j = 0
i=j
6
ÁT i KÁ j = 0
;
(2.4 i=j
(2.4
6
donde M i y K i son escalares. escalares. En caso de que la matriz matriz de amortig amortiguam uamien iento to sea de la for (2.34), los modos también serán ortogonales respecto a ella T ÁT i CÁi = Ái (AM + B K)Ái = AM i + BK i = C i
;
ÁT i CÁ j = 0
Por tanto, ordenando todos los modos de vibración en una matriz modal ©
= [ Á1 Á2 ::::::Án]
i=j
6
(2.4
©
(2.4
las condiciones de ortogonalidad anteriores resultan en ©M© ©C© ©K©
= = =
M C K
(2.4 (2.4 (2.4
donde M , C y K son matrices diagonales cuyos términos vienen de…nidos por las relacion (2.41), (2.42) y (2.43).
En el caso poco habitual de que existan raíces dobles !i2, se puede demostrar que hay in…nit Sign up to vote on this title autovectores autovectores asociados a este autovalor autovalor contenidos contenidos en un plano que es ortogonal ortogonal al resto de mod Useful Not useful de vibración.
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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS ELEMENTOS DE DINÁMICA DINÁMICA ESTRU ESTRUCTURAL CTURAL
donde ³ i (t) son funciones funciones escalare escalaress del tiempo. Las coordenadas coordenadas ³ i se denominan coordenad generalizadas y describen la posición del sistema referido a un sistema de coordenadas cuy vectores directores son los modos de vibración. Premultiplicando (2.48) por ÁT i M se obtiene T ÁT i Mx = Ái M
0X @
1 A
n
Á j ³ j (t)
j=1 j =1
= ÁT i MÁi ³ i
(2.4
dadas dadas las condiciones condiciones de ortogon ortogonalid alidad ad (2.41). (2.41). De esta forma, forma, los valores valores de las coordena generalizadas ³ i se pueden obtener a partir de las coordenadas xi a partir de ³ i =
ÁT i Mx
(2.5
ÁT i MÁi
Método de superposición modal
El movimiento de una estructura de n grados de libertad sometida a vibraciones forzadas es regido por las ecuaciones (2.29). Haciendo el cambio cambio de coordenadas co ordenadas cartesianas cartesianas x a coordenad generalizadas ³ se obtiene
0X 1 0 X 1 0 X 1 @ A @ A @ A n
M
Ä j Á j ³
j=1 j =1
n
+C
_ j Á j ³
n
+K
j=1 j =1
Á j ³ j
j=1 j =1
=
¡MJa(t)
(2.5
ya que las formas modales modales no dependen del tiempo. tiempo. Premulti Premultiplic plicando ando esta ecuación ecuación por p or teniendo en cuenta las condiciones de ortogonalidad (2.41-2.43) se obtiene Ä + C i ³ _ + K i ³ = M i ³ i i i
¡ÁT i MJa(t)
(2.5
i.e., el sistema de n ecuaciones diferenciales acopladas (2.29) se ha transformado en un conjun de n ecuacione ecuacioness independie independient ntes, es, resolubl resolubles es cada una de ellas ellas por cualquier cualquieraa de los métod aplicables a sistemas de un grado de libertad. Sign up to vote on this title Dividiendo la ecuación (2.52) por ÁT i MÁi = M i se obtiene
Äi + 2» _ i + !i2³ i ³ 2» i !i³
=
ÁT i MJ
Useful
Not useful
¡ ÁT MÁ a(t) = ¡¿ ia(t) i
i
(2.5
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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS ELEMENTOS DE DINÁMICA DINÁMICA ESTRU ESTRUCTURAL CTURAL
q
donde C cri resolver er la ecuaci ecuaci cri = 2 K i M i es el amortiguamiento crítico del modo i. Para resolv (2.53) es habitual evaluar directamente un factor de amortiguamiento para cada modo » i en v de partir de la matriz de amortiguamiento C.
Una vez calculadas calculadas a partir partir de (2.53) (2.53) las coordenada coordenadass generali generalizada zadass ³ i(t), se obtie obtiene ne evolución en el tiempo de los desplazamientos x(t) mediant mediantee la ecuación ecuación (2.48). (2.48). Las fuerz según cada uno de los grados de libertad considerados en cada instante de tiempo, F(t calculan de manera análoga al análisis estático, i.e., F(t)
= Kx(t)
(2.5
donde K es la matriz de rigidez de la estructura.
La desventaja de este tipo de análisis es que proporciona un exceso de información innec saria, ya que a la hora de diseñar el proyectista está generalmente interesado en la respues máxima del sistema (más concretamente en mantener dicha respuesta dentro de unos lími pre…jado pre…jados), s), y no en la evolució evolución n a lo largo del tiempo tiempo de los valores valores de esa respuesta. respuesta. Por Por motivo, la acción sísmica de diseño suele de…nirse en la mayoría de las normativas sismorres tentes en base a un espectro de respuesta y no en base a acelerogramas, empleándose el análi modal espectral como procedimiento de cálculo.
En general, los modos de vibración correspondientes a las frecuencias propias más bajas (i. a los períodos más altos) son los que contienen menor energía de deformación elástica, por que son los que condicion condicionan an en ma mayor yor medida medida la respuesta respuesta del sistema. sistema. Por Por este motivo, motivo, obtener dicha respuesta bastará con considerar las aportaciones de los r primeros modos vibración r x(t)
=
X i=1
Ái ³ i (t)
;
r
¿n
(2.5
Además, los modos asociados a las frecuencias más elevadas son los que incorporan un may error numérico en su obtención, debido a aspectos tales como la propia discretización de estructura (se requiere una discretización más detallada para capturar adecuadamente las f cuencias y los modos más altos de la estructura) o el procedimiento numérico empleado para determinación, por lo que su no inclusión en (2.57) no repercute envote unaon pérdida Sign up to this titlede precisión la respuesta. Useful Not useful
El criterio para decidir el número r de modos cuya aportación al resultado es signi…cati viene generalmente de…nido en las normativas sismorresistentes, y en el caso de la NCSE-
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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS ELEMENTOS DE DINÁMICA DINÁMICA ESTRU ESTRUCTURAL CTURAL
de sus modos más signi…cativos, en base a una acción sísmica caracterizada por su espectro respuesta.
La idea es simple: dado que, en análisis lineal, cualquier sistema de n grados de libertad pue expresarse como superposición de n sistemas de un grado de libertad –asociados a sus mod de vibración–, y puesto que el espectro sísmico de respuesta permite determinar la respues máxima de cada uno de estos sistemas de un grado de libertad a la acción sísmica, es posib obtener la respuesta máxima de la estructura completa –con n grados de libertad– superponien las aportaciones de los n sistemas de un grado de libertad en que se ha descompuesto el sistem original.
Respuesta máxima modal a un espectro sísmico de respuesta
La acción sísmica se de…ne por medio de su espectro de respuesta en aceleraciones, S a , i.e., p la aceleración máxima de un oscilador de un grado de libertad cuyo movimiento está de…ni por la ecuación (2.22). (2.22). Compara Comparando ndo (2.22) con la ecuación del mov movimi imient entoo desacopl desacoplada ada pa el modo i de un sistema de n grados de libertad (2.53), se deduce que la aceleración máxim asociada a la coordenada generalizada ³ i viene dada por
¯¯ ¯¯ Äi (t) ³
max
= ¿ i S a (!i; » i) = ¿ i S a
(2.5
ji
El desplazamiento máximo asociado a ³ i se determina a partir de (2.27)
j³ i(t)jmax = ¿ i S !a2ji
(2.5
i
A continuación se obtienen una serie de características modales máximas de especial interés:
Desplazamientos modales máximos:
Para el modo de vibración i se obtienen los despl
zamientos máximos como
j
xi max
=
8> >< >>:
xi1 xi2 .. . x
9> >= >>;
Sign up to vote on this title
Useful S a i
= Ái ³ i (t) max = Ái ¿ i
j
j
j
!i2
S a juseful Not i
= ´i
!i2
(2.6
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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS ELEMENTOS DE DINÁMICA DINÁMICA ESTRU ESTRUCTURAL CTURAL
En el caso de un edi…cio de cortante la ecuación (2.62) se reduce a F ik ik = mk ´ ik S a i = ´ ik
j
S a i P k = sik P k g
j
(2.6
que proporciona la fuerza equivalente correspondiente a la planta k (i.e., al grado de libertad y modo de vibración i. En (2.6 (2.63) 3) sik se denomina coe…ciente sísmico, g es la aceleración de gravedad y P k es el peso correspondiente a la masa mk de la planta k. Fin
mn
Fik
m k
V ik
m2 m1
Fi2 Fi1
Figura 2.11: Obtención del cortante modal V ik ik Sign up to vote on this title
A partir de las fuerzas equivalentes F ik deNot fuerzas ik se obtiene por Useful useful(…gura 2.11) equilibrio cortante V ik ik de cada planta k en el modo i, i.e., como suma de las F ik ik existentes entre la últim planta y la planta k considerada
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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS ELEMENTOS DE DINÁMICA DINÁMICA ESTRU ESTRUCTURAL CTURAL
i.e., como aquella que asociada a un oscilador de un grado de libertad cuya frecuencia natur coincide con la del modo i, produce el mismo cortante en la base de la estructura que el corre pondiente al cortante modal máximo del modo i. Teniendo eniendo en cuenta cuenta las ecuaciones ecuaciones (2.65) (2.61) M i = ¤
n
n
X
X
m j ´ij = ¿ i
j=1 j =1
m j Áij
(2.6
j=1 j =1
Para el caso de una estructura general se obtendría M i = ¿ i ÁT i MJ
(2.6
¤
i.e., el producto del coe…ciente de participación del modo i por la masa asociada al modo moviliza el terremoto. Se puede demostrar, como era esperable, que la suma de las masas efectivas de todos modos de vibración es igual a la masa total de la estructura movilizada en el sismo.
La importancia de este concepto radica en que permite establecer un criterio para determin el número de modos de vibración vibración que se deben incluir incluir en el análisis. análisis. Tal como se apuntó apuntó an riormente, la NCSE-94 establece que ”pueden considerarse modos con contribución signi…cati aquellos para los que la suma de las masas efectivas de los r primeros modos considerados s superior al 90% de la masa movilizada en el movimiento sísmico” r
X i=1
r
M i = ¤
X
¿ i ÁT i MJ
i=1
r
=
X
¿ i2ÁT i MÁi
i=1
¸ 0:90JT MJ
(2.6
En el caso de edi…cios de cortante esta condición puede expresarse en la forma r
2 n k=1 (mk Áik ) n 2 k =1 mk Áik
X PP i=1
n
¸ 0:90
X
mk
(2.7
k=1
Respuesta Respuesta máxima total: Combinació Combinación n de modos Sign up to vote on this title
Sea S la variable ariable (desplazamie (desplazamient ntos, os, tensione tensioness ...) ...) cuyo valor val máximo máximo quie re determina determina Useful Notquiere useful or se S i su valor máximo en el modo i. Dado Dado que el má máxi ximo mo de cada cada modo no se produce produce para distintos grados de libertad en el mismo instante de tiempo y puesto que, además, dicho máxim
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CAPÍTULO 2. ELEMENTOS ELEMENTOS DE DINÁMICA DINÁMICA ESTRU ESTRUCTURAL CTURAL
ellos. En caso contrario, se proponen o bien r
S =
Xj
S i
i=1
(2.7
j
que proporciona un valor excesivamente conservador, o bien
v utX X r
S =
r
S i S j ¼ij
(2.7
i=1 j=1 j =1
donde ¼ij es un factor que depende de los valores de las frecuencias naturales y del amortigu miento de la estructura.
2.4.5
Integr Integración ación direct directa a de las ecuacion ecuaciones es del movimie movimient nto o
Una alternativa al análisis modal es la integración directa, mediante un algoritmo paso a pas de las ecuaciones del movimiento (2.29)
² En primer lugar es necesario dividir el intervalo de tiempo a analizar en pequeños subi
tervalos ¢t. Este Este proceso de…ne los instante instantess de tiempo tiempo t = ti en que se va a obtener respuesta (discreta) del sistema.
(x Äi+1) y velocidades (x_ i+1) en funci ² En cada instante t = ti+1 se expresan aceleraciones (Ä
de los valores de aceleraciones, velocidades y desplazamientos en instantes previos ( conocidos).
² Estas ecuaciones junto con las ecuaciones del movimiento (2.29) particularizadas para
instante t = ti (métodos explícitos: diferencias centrales...) o t = ti+1 (métodos implícit Newmark, Houbolt...) permiten obtener los desplazamientos en t = ti+1 (xi+1) y pasar instante de tiempo siguiente. Sign up to vote on this title
Hay toda una gama de métodos diferentes para llevar a cabo este proceso. Cada uno de el Useful Not useful propone una forma de aproximar aceleraciones y velocidades en un instante en función de l variables en instantes anteriores, con el objetivo de mejorar la precisión y la estabilidad de
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Capítulo 3
Conceptos Generales del Comportamiento Sísmico de Estructuras 3.1 3.1
Intr In trodu oducc cció ión n
La …losofía del proyecto sismorresistente de estructuras de edi…cación que recogen las normativ se basa en de…nir unos niveles de daño admisible en función de la intensidad de los terremot que la estructura puede sufrir durante su vida útil: construc uccio ciones nes deben deben resist resistir ir,, ² Las constr
en régim régimen en elást elástico ico y por tanto tanto sin sin ningún ningún tipo tipo daño estructural, los sismos de probabilidad apreciable de ocurrencia durante su vida út entendiendo por estos los que tienen un período de retorno1 del mismo orden del perío de vida útil de la estructura. Sign up to vote on this title
² Ante sismos severos con probabilidad razonable de ocurrencia (a los que la NCSE-94 asig
Useful que Not useful un período de retorno de quinientos años) se admite la estructura va a entrar en rango rango anelásti anelástico. co. Se acepta acepta por tanto tanto que se produzcan produzcan deformacio deformaciones nes permanentes permanentes consecuentemente daños, más o menos importantes pero que nunca lleguen a provocar
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CAPÍTULO 3. COMPOR COMPORTAMIENTO SÍSMICO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS
de diseño diseño obtenida de las normativ normativas. as. Esta diferencia diferencia sólo resulta resulta admisibl admisiblee si los elem estructurales y sus conexiones poseen una capacidad de deformación anelástica adecuada, q garantice que la estructura es capaz de disipar ese exceso de energía deformándose plásticamen Estas ideas entroncan directamente con el concepto de ductilidad, que se discute en la segun sección de este capítulo.
Otros aspectos que afectan la respuesta sísmica de una estructura y que se tratan en siguien siguientes tes secciones secciones son el de los efectos efectos de interacc interacción ión suelo-est suelo-estructu ructura, ra, la considerac consideración ión torsiones globales de la estructura o la necesidad de incorporar en el análisis los efectos segundo segundo orden. En todos los casos se hace una breve mención mención a cómo abordan abordan estos aspec las vigentes normativas sismorresistentes.
3.2 3.2
Duc ucti tili lida dad d
La energía que un terremoto aporta a la estructura se disipa por el efecto combinado del amo tiguamiento y, sobre todo, de las deformaciones anelásticas de sus elementos. Esta capacidad los elementos estructurales para disipar energía mediante deformaciones cíclicas en el domin anelástico, sin que se produzca su colapso, es lo que se denomina ductilidad de la estructu
F Fe xmax
xe
Fe
xe
xmax x Sign up to vote on this title
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CAPÍTULO 3. COMPOR COMPORTAMIENTO SÍSMICO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS
que relaciona el máximo desplazamiento plástico del modelo con el máximo desplazamien elástico y lineal. Cuanto mayor sea ¹, mayor será la capacidad de disipar energía del sistema régimen plástico y por tanto mayor será la diferencia admisible entre las fuerzas sísmicas rea y las fuerzas consideradas para el diseño (…gura 3.2).
F DIFERENCIA PERMITIDA POR DUCTILIDAD
FUERZA R EAL EAL DURANTE UN SISMO SEVERO
FUERZA DE DISEÑO SEGÚN NORMATIVAS SISMORRESISTENTES
PERÍODO Figura 3.2: Fuerzas sísmicas reales vs Fuerzas consideradas en el diseño
En el caso de una estructura con varios grados de libertad, un comportamiento dúctil adecu do deberá permitir la disipación de buena parte de la energía que el sismo aporta a la estructu mediante mecanismos de histéresis estables y bien distribuidos por toda ella, que aseguren q no se produce el colapso global de la estructura por el fallo de alguno de sus elementos.
La ductilidad global de la estructura depende de la ductilidad de sus materiales por un la y de la tipología estructural y los detalles constructivos (más concretamente de las solucion constructivas adoptadas en los nudos de conexión entre elementos) por otro:
y éste más que la ob ² En general el acero proporciona mayor ductilidad queSigneluphormigón to vote on this title de fábrica.
Useful
Not useful
² La ductilidad es mayor en las estructuras desplazables -como pórticos- que en las rígid
-como las apantalladas-, pero siempre que en los nudos exista la capacidad su…ciente pa
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CAPÍTULO 3. COMPOR COMPORTAMIENTO SÍSMICO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS
Figura Figura 3.3: Espectro Espectro de respuesta respuesta en aceleraci aceleraciones ones (component (componentes es horizon horizontal tales). es). Terremoto erremoto Grecia (7/09/99). (7/09/99).
nivel de ductilidad previsto en el análisis. La limitación al valor de ¹ considerada en la NCSE(¹ = 4 para estructuras de ductilidad muy alta) se impone para establecer un tope sobre dic minoración de las acciones de diseño y así garantizar que la edi…cación sea capaz de resistir daño estructural los sismos de probabilidad apreciable de ocurrencia.
La …gura 3.3 ilustra claramente estos conceptos sobre un caso real: el reciente terremoto Grecia Grecia (7 de septiem septiembre bre de 1999 1999;; intensi intensidad dad 5.9 en la escala escala de Richte Richter). r). En ella se repre el espectro de aceleraciones propuesto por la normativa griega vigente, de 1993, y el espect realmente realmente registrado durante dicho terremoto. terremoto. En este caso particular se puede observar observar com los edi…cios más afectados fueron los de períodos fundamentales por debajo de 0.4 segundos, i. Sign up to vote on this title edi…cios de entre dos y cuatro plantas de altura aproximadamente.
Useful
Not useful
En el caso de adoptar valores elevados del coe…ciente de comportamiento por ductilidad, la NCSE-94 establece en sus comentarios que deberá comprobarse que las deformaciones corr
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CAPÍTULO 3. COMPOR COMPORTAMIENTO SÍSMICO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS
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Interac In teracción ción suelo-es suelo-estruc tructura tura
Las condiciones del terreno y los posibles fenómenos de interacción suelo-estructura son uno los factores que mayor in‡uencia pueden tener sobre la respuesta estructural.
En particular, cuando la estructura se asienta en un terreno rígido, los fenómenos de in racción racción son desprecia despreciables bles.. Las frecuencias frecuencias propias propias de la estructura estructura no se ven ven alterada alteradass por interacción con el suelo. Igualmente, las características de las ondas sísmicas prácticamente se ven alteradas por la presencia de la estructura. En este caso el contenido en frecuencias alt del terremoto suele ser signi…cativo, por lo que se ha observado, en términos generales, un may nivel de daño en estructuras rígidas que en estructuras ‡exibles.
Cuando la estructura se asienta en un terreno blando, los fenómenos de interacción sue estructura cobran importancia, importancia, debiéndose incorporar en el análisis. Las frecuencias natura del sistema suelo-estructura disminuyen respecto a las de la estructura cimentada en suelo rígid De igual igual manera, manera, las ondas sísmicas sísmicas sufren modi…cacione modi…cacioness apreciab apreciables les debido a la prese de la estructur estructura. a. Un suelo blando tiende tiende a …ltrar …ltrar el conteni contenido do en frecuenci frecuencias as del terremo terremo ampli…ca ampli…cando ndo los períodos períodos largos. largos. En general general se ha observ observado ado un ma mayor yor daño en estructu estructu ‡exibles cuando las condiciones son de suelo blando.
La NCSE-94 incorpora el efecto de las condiciones locales del terreno modi…cando el espect elástico de diseño en función de dichas condiciones, distinguiendo tres tipos de suelo en base la velocidad de propagación de las ondas transversales2 V s:
² Terreno Tipo I: V s > 750 m=s ² Terreno Tipo II: 400 m=s < V s · 750 m=s ² Terreno Tipo II: V s · 400 m=s 3.4
Efec Efecto tos s de torsió torsión n globa globall de la estr estruc uctu tura ra Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Cuando no coinciden el centro de masas y el centro de torsión o de rigidez en una planta de u edi…cación, aparece en dicha planta un momento torsor que debe ser absorbido por los soport
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CAPÍTULO 3. COMPOR COMPORTAMIENTO SÍSMICO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS
Figura 3.4: Excentricidad mínima para masas uniformemente repartidas.
En caso de modelar la estructura tridimensionalmente para su análisis dinámico, la inclusi de los efectos de torsión resulta automática.
Sin embargo, en el caso más habitual de que el modelo de la estructura corresponda al de edi…cio de cortante en dos direcciones ortogonales, la torsión se incluye en el análisis de mane desacopla desacoplada, da, superponiendo superponiendo a los esfuerzo esfuerzoss producidos producidos por las fuerzas fuerzas sísmicas sísmicas equivalen equivalen (obtenidas considerando sólo un grado de libertad de traslación por planta) los esfuerzos q aparecen en los soportes de la estructura a causa de la torsión. El valor del torsor en cada plan viene dado por el momento que producen dichas fuerzas sísmicas equivalentes -aplicadas en centro de masa- respecto al centro de rigidez de la planta.
3.5 3.5
Efec Efecto tos s de de seg segun undo do orde orden n
Si los desplazamientos laterales provocados por la acción sísmica son elevados, se hace necesa Sign up to vote on this title considera considerarr los efectos efectos de segundo segundo orden. Así, al cobrar cobrar importancia importan el cam cambio bio de geom geometrí etrí Not useful Usefulcia la estructura debido a la aplicación de las cargas horizontales, se produce un momento adicion en los soportes causado por los descentramientos de las cargas verticales.
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CAPÍTULO 3. COMPOR COMPORTAMIENTO SÍSMICO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS
MB
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V
P B
m
c 0 h 4 , 7
V MA
A
P d
3,60 cm
Figura 3.5: Momentos de segundo orden
Sin embargo, en caso de que estas condiciones no se cumplan, la NCSE-94 no propo ninguna alternativa para incluir los efectos de segundo orden.
En este sentido, el EC-8 también plantea una relación del tipo (3.2), aunque en su caso desplazamiento d relativo entre plantas debe estimarse en régimen no lineal (i.e., afectado por coe…ciente de ductilidad considerado en el análisis), lo cual parece más coherente con la realid del problema. Adicionalmente, en el caso en que 0:1 < µ =
Pd < 0:2 Fh
el EC-8 permite la inclusión de los efectos de segundo orden incrementando las solicitacion sísmicas de la planta considerada mediante el factor 1 1
¡µ
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Capítulo 4
De…nición de la Acción Sísmica y Métodos de Cálculo en la NCSE-94 4.1 4.1
Intr In trodu oducc cció ión n
En este capítulo se presentan los aspectos prácticos del cálculo sísmico de estructuras según vigent vigentee normati normativ va sismorr sismorresist esistent entee NCSE-94. NCSE-94. Se abordan abordan por tanto tanto la de…nición de…nición de la acc sísmica y los métodos de análisis para determinar la respuesta estructural a dicha acción. Amb aspectos están íntimamente relacionados: mientras que en un análisis paso a paso en el domin del tiempo la excitación deberá de…nirse por un acelerograma, en un análisis modal espectr la acción deberá caracterizarse mediante su espectro sísmico de respuesta, tal como se vio en segundo capítulo.
En cualquier caso las normativas deben ser capaces de proponer procedimientos de análisis más claros y simples posibles y que, por supuesto, permitan evaluar de manera su…cientemen aproximada la respuesta de la estructura. Este es el motivo por el cual el análisis modal espectr goza de tan amplia aceptación en las normativas sismorresistentes: su aplicación Sign up to vote on this titleresulta senci y directa y proporciona los valores máximos de la respuesta.Useful Not useful
De una forma rigurosa, la teoría de los espectros sísmicos de respuesta sólo permitiría de…nición de la acción sísmica en estructuras de comportamiento elástico y lineal. Sin embarg
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CAPÍTULO CAPÍTULO 4. NCSE-94: NCSE-94: ACCIÓN ACCIÓN SÍSMICA SÍSMICA Y MÉT MÉTODO ODOS S DE CÁLCULO CÁLCULO
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4.2
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4.2.1
De…n De…nic ició ión n de la la acci acción ón sís sísmi mica ca Consider Consideracion aciones es generales generales
En la introducción se ha puesto de mani…esto la ”dependencia” entre el procedimiento de análi dinámico empleado y la de…nición de la acción sísmica. Si bien la NCSE-94 observa la posibilid de efectuar un estudio dinámico directo, establece como método usual de cálculo el análisis mod de la estructura. estructura. Por Por este motivo motivo de…ne la acción acción mediante mediante su espectro espectro sísmico sísmico de respuesta respuesta aunque permita también su de…nición mediante acelerogramas reales o arti…ciales -que deber ser compatibles con los espectros dados en la normativa-, no proporcionan ningún procedimien de obtención de tales acelerogramas, dejando este tema pendiente del criterio del proyectista
Partiendo de una información sísmica básica sobre el emplazamiento geográ…co de la edi cación, las características locales del terreno de cimentación, la importancia estratégica de construcción (e.g., hospitales e infraestructuraas básicas se consideran construccionees de esp cial importancia) y la vida útil de la estructura, la NCSE-94 de…ne la acción sísmica mediante espectro elástico de respuesta en aceleraciones. Posteriorment Posteriormente, e, dicho espectro es corregido acuerdo a las características de amortiguamiento y ductilidad de la estructura, obteniéndose esta manera el espectro de diseño en base al que calcular los desplazamientos modales máxim y, a partir de ellos, el resto de las variables (esfuerzos, tensiones...).
4.2.2 4.2.2
Infor Informac mación ión sísmic sísmica a bási básica ca
La NCSE-94 proporciona un mapa de peligriosidad sísmica del territorio nacional que suminist para cada punto del territorio, la aceleración sísmica básica, ab , y el denominado coe…ciente contribución sísmica K . La aceleració aceleración n de cálculo, cálculo, ac , se obtiene en función de ab y de la vi útil (o la importancia) de la construcción.
El espectro también depende de las característcas del terreno de cimentación. La in‡uenc de este factor se introduce a través de un coe…ciente de suelo C . Sign up to vote on this title
ta.
De…nidos estos parámentros se está en condiciones de obtener elástico de respu Usefulel espectro Not useful
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CAPÍTULO CAPÍTULO 4. NCSE-94: NCSE-94: ACCIÓN ACCIÓN SÍSMICA SÍSMICA Y MÉT MÉTODO ODOS S DE CÁLCULO CÁLCULO
siendo ®(T ) T ) una función del período propio del sistema (considerado en segundos) de…nida p
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®(T ) T ) =
donde
8> >< >>:
1 + [® [®(T o)
¡ 1] T =T o
®(T o )
para T < T o para T o
®(T o )T 1 =T
· T · T 1
para T > T1
®(T o ) = (3C (3C
8)(K ¡ 1:25) + 2: 2:3 ¡ 3:8)(K T o = 0: 0 :125 125C C + + 0: 0:2K ¡ 0:175 0:215 215K K (5C (5C ¡ 1) T 1 =
®(T o ) En la …gura 4.1 se gra…ca ®(T ) T ) para los distintos tipos de terreno considerados en la norma un coe…ciente de contribución sísmica K = 1: 1 :0.
Figura 4.1: Espectro elástico de respuesta
Para obtener el espectro de diseño tan sólo resta a justarlo a las características de la estructu que se va a calcular, incorporando mediante un coe…ciente empírico  -dado en la NCSE-94 to vote on this title efecto del amortiguamiento (si » = 0: 0 :05) 05) y de la ductilidadSign de up la estructura
6
S a = Â(º; ¹)S a = Â(º; ¹)® (T ) T Useful )ac ¤
donde  es función del coe…ciente corrector por amortiguamiento
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CAPÍTULO CAPÍTULO 4. NCSE-94: NCSE-94: ACCIÓN ACCIÓN SÍSMICA SÍSMICA Y MÉT MÉTODO ODOS S DE CÁLCULO CÁLCULO
4.3.1 4.3.1
Estud Estudio io diná dinámic mico o dire directo cto
Sólo está justi…cado en casos especiales, como pueden ser centrales nucleares u otras edi…cacion singulares o de especial importancia. Su aplicación presenta inconvenientes a nivel de de…nici de la acción y a nivel del esfuerzo de cálculo implicado:
² La acción debe de…nirse en base a un acelerograma que la normativa no especi…ca y q
exige por tanto un análisis previo y un mayor conocimiento sobre la sismología de la zon
obtención n de la respuesta respuesta es mucho mucho más costoso. costoso. ² El proceso de obtenció
Proporcio Proporciona na mucha mucha m información que el análisis espectral (respuesta para toda una serie de frecuencias o ev lución detallada a lo largo del tiempo), pero este exceso de información suele result innecesario ya que generalmente basta con conocer la respuesta máxima de la estructu para su correcto diseño.
En el caso del EC-8 se permite también la posibilidad de un análisis estocástico basado la teoría de vibraciones aleatorias, para lo cual la acción debe de…nirse mediante una densid espectral de potencia compatible con el espectro sísmico de respuesta proporcionado por normativa.
4.3.2 4.3.2
Análi Análisis sis modal modal espectr espectral al
El modelo discreto de la estructura cuyo comportamiento dinámico se va a analizar ya f discu discutid tidoo en la secció sección n 2.4. 2.4.1. 1. Básica Básicame ment ntee se pueden pueden consider considerar ar o bien bien un modelo modelo con grados grados de liberta libertad d por plant plantaa (dos (dos trasla traslacio ciones nes y una rotació rotación) n),, o bien bien -si el edi…ci edi…cioo planta regular y con excentricidad de masas respecto al centro de torsión inferior al 10% la dimensión en planta- dos modelos planos ortogonales independientes con un solo grado libertad de traslación por planta (edi…cio de cortante).
El procedimiento a seguier coincide con los principios generales Sign up to voteexpuestos on this title en el segun capítulo: Useful Not useful
(T ) y modos de vibración (Á ) de la estructura. Se deber ² Cálculo de los periodos propios (T
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CAPÍTULO CAPÍTULO 4. NCSE-94: NCSE-94: ACCIÓN ACCIÓN SÍSMICA SÍSMICA Y MÉT MÉTODO ODOS S DE CÁLCULO CÁLCULO
Figura 4.2: Modos de vibración para un edi…cio de cortante
² Obtención de los desplazamientos modales máximos equivalente (ecuación (2.60)) pa cada uno de los r modos. S a ji ui j =´ max
i
! i2
donde el vector ´ i contiene los factores de distribución del modo i (ecuación (2.61)), (2.61)), la frecuencia natural del modo i y S a i es el valor del espectro de diseño para el perío del modo i, i.e., i.e., el valo alorr del espectro de aceleraci aceleraciones ones incluyendo incluyendo las correccio correcciones nes p amortiguamiento y ductilidad (ecuación (4.6))
j
S a i = Âi (º; ¹)®(T i )ac
j
siendo Âi (º; ¹) =
º· i Sign = ¯· i up to vote on this title ¹
Useful
donde ·i es un coe…ciente que adopta los siguientes valores
8
=
Not useful T = 0
(4.1
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CAPÍTULO CAPÍTULO 4. NCSE-94: NCSE-94: ACCIÓN ACCIÓN SÍSMICA SÍSMICA Y MÉT MÉTODO ODOS S DE CÁLCULO CÁLCULO
De esta manera, y en el caso particular de los modelos habitualmente empleados para analiz estructuras de edi…cación, se obtienen unas solicitaciones de planta (dos fuerzas y un torsor si modelo incluye tres grados de libertad por planta; una fuerza en el caso del edi…cio de cortant para cada modo i que se deberán repartir entre los elementos estructurales:
² En proporción a las componentes utilizadas para la determinación del centro de torsión el caso de haber considerado tres grados de libertad por planta, o
planta provocada por la excentricidad de mas ² Teniendo en cuenta la torsión accidental de planta mínima …jada en la NCSE-94 para el caso del edi…cio de cortante.
Dado que el anterior es un cálculo elástico y lineal que incorpora la realidad del comport miento anelástico anelástico de la estructura a través través de su coe…cient coe …cientee de comportamiento comportamiento por ductilida los desplazamientos dinámicos máximos que realmente se producen según los grados de libert considerados en el modelo se deberán obtener como umax = ¹ue
(4.1
siendo ue el desplazamiento lineal equivalente calculado en régimen elástico.
4.3.3
Método Método simpli…cad simpli…cado o de cálculo cálculo para para los casos casos más usuales usuales de edi…ca edi…cació ció
Este método sólo es aplicable a las construcciones que cumplan la totalidad de los siguient requisitos:
² El número de plantas es inferior a 20. ² La altura del edi…cio sobre rasante es inferior a 60 metros. ² Existe regularidad en planta, sin entrantes ni salientes importantes. Sign up to vote on this title en planta ² Dispone de soportes continuos hasta cimentación, uniformemente Not useful Useful distribuidos sin cambios bruscos en su rigidez.
² Dispone de regularidad geométrica en planta y altura (…guras 4.3 y 4.4) y de regularid
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CAPÍTULO CAPÍTULO 4. NCSE-94: NCSE-94: ACCIÓN ACCIÓN SÍSMICA SÍSMICA Y MÉT MÉTODO ODOS S DE CÁLCULO CÁLCULO
Períodos propios y modos de vibración
La NCSE-94 proporciona fórmulas empíricas que permiten obtener de manera simpli…cada est características dinámicas de la estructura, así como el número de modos a incluir en el anális El período de cada modo i se obtiene como T i =
T F F (2i (2i 1)
(4.1
¡
donde T F F es el período fundamental de la estructura, que se estima a partir de expresion simpli…c simpli…cadas adas que la NCSE-94 NCSE-94 incluye incluye.. Así, e.g., para el caso de edi…cios edi…cios de hormigón hormigón arma sin la colaboración de pantallas rigidizadoras T F 0 :09n 09n F = 0:
(4.1
siendo n el número de plantas sobre rasante. Las componentes del modo de vibración Ái se obtienen como Áik = sen
µ
(2i (2i
¡ 1) ¼hk 2H
¶
(4.1
donde hk es la altura sobre rasante de la planta k y H es la latura total de la edi…cación sob rasante.
En el caso del EC-8 sólo se considera el primer modo de vibración, i.e., el correspondiente período fundamental T F F . La forma modal se estima como Á1k =
hk H
(4.1
y la fórmula propuesta para el cálculo de T F F en el caso de pórticos de hormigón armado di…e de la proporcionada por la NCSE-94, especialmente para edi…cios de poca altura T F 0 :075 075H H 3=4 F = 0:
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CAPÍTULO CAPÍTULO 4. NCSE-94: NCSE-94: ACCIÓN ACCIÓN SÍSMICA SÍSMICA Y MÉT MÉTODO ODOS S DE CÁLCULO CÁLCULO
donde ¯ =
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º ¹
(4.2
es el denominado coe…ciente de respuesta y ®1 (T i ) se determina a partir de las ordenadas espe trales ®(T i) como ®(T o ) si T < To ®1(T i ) = (4.2 ®(T ) T ) si T T o
8>< >:
¸
en el caso de los edi…cios de cortante, la expresión de los factores de distribución ´ik se simpli… a (ecuaciones (2.61) y (2.64)) ´ik = ¿ iÁik = Áik siendo mk la masa de la planta k.
n k=1 mk Áik n 2 k=1 mk Áik
P P
(4.2
Sistema de fuerzas estáticas equivalentes
Las fuerzas F k con las que se va a proceder al cálculo de la estructura se determinan a partir las fuerzas modales F ik ik como sigue:
² Obtención de los cortantes V ikik de cada planta k en el modo i n
V ik ik =
X
F ij ij
(4.2
j= j =k
² Obtención del cortante combinado V k de la planta k ponderando las contribuciones cada modo (ecuaciones (2.71-2.73))
v uutX r
V k =
i=1
V ik2 Sign up to vote on this title
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² Obtención de fk por diferencias entre cortantes de plantas
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CAPÍTULO CAPÍTULO 4. NCSE-94: NCSE-94: ACCIÓN ACCIÓN SÍSMICA SÍSMICA Y MÉT MÉTODO ODOS S DE CÁLCULO CÁLCULO
Figura 4.5: Excentricidad en planta de la acción sísmica
de las masas. En edi…cios simétricos la NCSE-94 permite sustituir este análisis por la aplicaci a cada elemento estructural de un coe…ciente de mayoración adicional ° n (…gura 4.5) ° nx = 1 + 0:6y=by
para sismo en dirección y
(4.2
° ny = 1 + 0:6x=bx
para sismo en dirección x
(4.2
siendo bx y by las dimensiones de la planta en direcciones x e y respectivamente y x e distancias del elemento considerado a los ejes de simetría.
4.4 4.4
Eje Ejemplos los
A continuación se calcula el cortante en la base de una estructura sencilla de edi…cación e Sign up to vote on this titleen la NCSE-9 pleando tanto el procedimeinto general como el método simpli…cado propuestos
Useful
Not useful
La …gura 4.6 muestra muestra un esquema esquema del edi…cio considerad considerado. o. Consta Consta de cinco plantas plantas y
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CAPÍTULO CAPÍTULO 4. NCSE-94: NCSE-94: ACCIÓN ACCIÓN SÍSMICA SÍSMICA Y MÉT MÉTODO ODOS S DE CÁLCULO CÁLCULO
4m m c 4 0 , 1
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4m m c 4 0 , 1
4m m c 4 0 , 1
5m 1, 5 6 c m
5m
5m
1, 6 5 c m
1, 7 3 c m
5m 1,7 3 cm
u5
m=134.4 t 3m
k 5
35x35 cm
m c 2
u4
m=134.4 t 3m
k 4
35x35 cm
m c 6 1 , 2
m=134.4 t 3m
k 3
40x40 cm
m c 6 1 , 2
m=134.4 t 3m
k 2
40x40 cm
m c 6 1 , 2
m=134.4 t 4m
u2 u1
k 1
45x45 cm
m c 6 1 , 2
u3
Figura 4.6: Edi…cio de 5 plantas y modelo dinámico empleado Información sísmica básica Sign up to vote on this title
Puesto que la estructura se localiza en Sevilla capital, la aceleración sísmica básica y el coe…cien Useful Not useful de contribución vienen dados por = 0 07 = 0 69 m=s2
K = 1 0
(4.2
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CAPÍTULO CAPÍTULO 4. NCSE-94: NCSE-94: ACCIÓN ACCIÓN SÍSMICA SÍSMICA Y MÉT MÉTODO ODOS S DE CÁLCULO CÁLCULO
Espectro elástico de respuesta
Los parámetros para de…nir las ordenadas espectrales vienen dados por
(4.3
®(T o) = (3C (3C
¡ 3:8)(K 8)(K ¡ 1:25) + 2: 2:3 = 2: 2 :28 T o = 0: 0 :125 125C C + + 0: 0:2K ¡ 0:175 = 0: 0:24 s 0:215 215K K (5C (5C ¡ 1) T 1 = = 0: 0 :68 s
(4.3
(4.3
®(T o )
obteniéndose el espectro elástico ®(t) que se muestra muestra en la …gura …gura 4.7. En el caso del méto simpli…cado se de…nen unas ordenadas espectrales ®1(t), que coinciden con las anteriores sal en el tramo de períodos cortos (0 (0 T < T o ), según se muestra en la …gura 4.8.
·
3,0 2,7
α(T0)
2,4 2,1 1,8
) 1,5 T (
α(T)=α(T0)T1/T
1+[α(T0)-1]T/T0
α 1,2
0,9 0,6 0,3
T1=0.68 s
T0=0.24 s
0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
T
Figura 4.7: Espectro elástico de respuesta 3,0 2,7 2,4 2,1
α(T0)
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1,8
(T)= (T )T /T
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CAPÍTULO CAPÍTULO 4. NCSE-94: NCSE-94: ACCIÓN ACCIÓN SÍSMICA SÍSMICA Y MÉT MÉTODO ODOS S DE CÁLCULO CÁLCULO
Masas de cálculo
Se considera una única planta tipo (incluyendo la cubierta):
² carga permanente (incluyendo sobrecarga de tabiquería): G = 500 Kg=m2 ² sobrecarga de utilización: Q = 200 Kg=m2 Resultando una masa de cálculo mk = (20 m
4.4.1 4.4.1
£ 12 m) £
h
500 Kg=m2 + 0: 0:3
£ 200 Kg=m2
i
= 134400 Kg
(4.3
Método Método simpli simpli…ca …cado do
Períodos propios y modos de vibración
El período fundamental viene dado por T F 0 :09 F = 0: Puesto que T F F
£ n = 0:0:45 s
(4.3
· 0:75 s basta con considerar el primer modo de vibración hk 2H
µ ¶
Á1k = sen ¼
=
) Á1 =
8> >< >>:
0:383 0:634 0:831 0:957 1:000
siendo hk la altura sobre rasante de la planta k y H = 16 m.
9> >= >>;
(4.3
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Cálculo de las fuerzas sísmicas
Para el primer modo
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CAPÍTULO CAPÍTULO 4. NCSE-94: NCSE-94: ACCIÓN ACCIÓN SÍSMICA SÍSMICA Y MÉT MÉTODO ODOS S DE CÁLCULO CÁLCULO
Suponiendo que la estructura es de ductilidad alta (¹ (¹ = 3) 3 ) se tiene ¯ = 0: 0 :29
(4.4
obteniéndose los factores de distribución como
´1k = Á1k
5 j=1 j =1 m j Á1 j 5 2 j=1 j =1 m j Á1 j
P P
)
´1 =
y por tanto
s1
=
8> >< >>:
0:021 0:035 0:046 0:053 0:056
9> >= >>;
)
F1
=
8> >< >>:
8> >< >>:
2822 4704 6182 7123 7526
0:462 0:765 1:002 1:154 1:206
9> >= >>;
9> >= >>;
(4.4
Kp
(4.4
Dado que basta con incluir el primer modo en el análisis, el sistema de fuerzas estáticas equiv lentes coincide con F1 (4.4 F = F1
Cortante en la base
El cortante total en la base es directamente el del único modo considerado 5
V 1 =
X
F 1 j = 28357 Kp
j=1 j =1
4.4.2 4.4.2
28:4 t ¼ 28:
(4.4
Proced Procedimie imien nto gener general al Sign up to vote on this title
Períodos propios y modos de vibración
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La rigidez equivalente al desplazamiento transversal de los pilares se obtiene para las distint
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CAPÍTULO CAPÍTULO 4. NCSE-94: NCSE-94: ACCIÓN ACCIÓN SÍSMICA SÍSMICA Y MÉT MÉTODO ODOS S DE CÁLCULO CÁLCULO
proporcionando una matriz de rigidez
0 BB ¡ B@ 0 BB ¡ B@
k1 + k2 k2 0 0 k2 k2 + k3 k3 0 0 k3 k3 + k4 k4 0 0 k4 k4 + k5 0 0 0 k5
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=
K
¡ ¡
¡ ¡
¡ ¡
6:35 3:79 0 0 3:79 7:58 3:79 0 0 3:79 6:01 2:22 0 0 2:22 4:44 0 0 0 2:22
¡ ¡
¡ ¡
0 0 0
¡ ¡
¡k5
k5
0 0 0
¡2:22
2:22
La matriz de masa es diagonal y viene dada por
M
=
0 BB B@
134400 0 0 0 0
0 134400 0 0 0
0 0 134400 0 0
0 0 0 134400 0
1 CC CA
1 CC CA £
0 0 0 0 134400
=
108
(4.4
1 CC CA
(4.5
Las frecuencias naturales se obtienen a partir de la ecuación característica
¯¯
K
¯¯
¡ !2 M
=
0
180:1 ; !22 = 1253: 1253:8 ; ) !21 = 180:
!23 = 3601:4 ; !24 = 5518: 5518:2 ; !25 = 9257: 9257:4
(4.5
lo que proporciona los siguientes períodos propios de la estructura T 1 = 0: 0 :468 s ; T 2 = 0: 0 :177 s ; T 3 = 0: 0 :105 s ; T 4 = 0: 0 :085 s ; T 5 = 0: 0 :065 s
(4.5
Los modos de vibración se obtienen como los autovalores del sistema
Á1
=
8> >< >>:
0:199 0:321 0:422 0:549 0:616
9> >= >>;
; Á2 =
8> >< >>: ¡
9> >= >>;
8> ¡ >< ¡ >>:
9> >= >>;
0:440 0:528 0:542 0:211 Sign up to vote on this title 0:403 ; Á3 = 0:375 Useful Not useful 0:558 0:139 0:576 0:474
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Resumenes de primeros cuatro
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Dinamica Estructural
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CAPÍTULO CAPÍTULO 4. NCSE-94: NCSE-94: ACCIÓN ACCIÓN SÍSMICA SÍSMICA Y MÉT MÉTODO ODOS S DE CÁLCULO CÁLCULO
Adicionalmente, se deben considerar los r primeros modos con contribución signi…cativa, signi…cativa, aquellos para los que la suma de las masas efectivas sea superior al 90% de la masa movilizad en el movimiento sísmico r n
X
M i
¤
i=1
¸ 0:90
X
mi = 604800 Kg
(4.5
i=1
donde las masas modales efectivas se calculan como n
M 1
¤
X X
=
mi´1i = 596602 Kg
(4.5
mi´2i = 60346 Kg
(4.5
i=1 n
M 2
¤
=
i=1
por lo que según este criterio bastarían dos modos (r (r = 2). 2 ).
Por Por tanto, tanto, deben consider considerarse arse los tres primeros primeros modos modos de vibración. vibración. Los factores factores de dist bución asociados a estos tres modos son
´1 =
8>> < >>:
0:419 0:676 0:889 1:157 1:298
9>> = >>;
; ´2 =
8>> < >>: ¡
0:295 0:363 0:270 0:093 0:386
¡
9>> = >>;
; ´3 =
8>> <¡ >>: ¡
0:148 0:059 0:105 0:156 0:133
9>> = >>;
(4.5
Desplazamientos modales máximos
Los desplazamientos modales máximos se obtienen como
j
ui max
= ´i
S a i !i2
j
(4.5
donde S a i = Âi (º; ¹)®(T i )acSign up to vote on this title
j
siendo
º· i Âi (º; ¹) = = ¯· i ¹
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CAPÍTULO CAPÍTULO 4. NCSE-94: NCSE-94: ACCIÓN ACCIÓN SÍSMICA SÍSMICA Y MÉT MÉTODO ODOS S DE CÁLCULO CÁLCULO
De esta manera, se obtienen los factores correctores Âi por ductilidad y amortiguamiento com Â1 = 0: 0 :29 ;
Â2 = 0: 0 :39 ;
Â3 = 0: 0 :55
(4.6
y los valores del espectro de aceleraciones como S a
j1 = 0:0:46
;
S a
j2 = 0:0:52
;
S a
j3 = 0:0:59
(4.6
Por tanto, los desplazamientos modales máximos son u1 max
j
= 2:55
£ 10 3 £ ´1
(4.6
u2 max
j
= 4:15
£ 10 4 £ ´2
(4.6
j
= 1:64
£ 10 4 £ ´3
(4.6
u3 max
¡
¡
¡
Cortante en la base
El valor del cortante modal máximo en la base del edi…cio para cada uno de los tres primer modos se obtiene a partir de la ecuación de equilibrio del conjunto de pilares de planta ba como modo 1 : V 11 11 = k1
£ u11jmax =
³
£ 108 £
£ u21jmax =
³
8
= 2735 273523 23 N modo 2 V 21 21
: = k1
= 3134 3411 N
2:56
2:56
£ 10
´ ³
2:55
´£³
4:15
£ 10
3
£ 10
4
¡
¡
´£
0:419
´£
0:295
(4.6
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modo 3 : V 31 31 = k1
£ u31jmax =
³
2:56
£ 108
´ £³
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´£
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