Zadatak 1. U elipsu upisan je kvadrat tako da su mu stranice paralelene sa koordinatnim osima. Kolika je njegova dijagonala?
A.
B.
C.
D. 2
E. 1
Rješenje:
Vrhovi kvadrata su u točkama gdje pravci
Uzmimo pravac y
x
=
y
x
=
i y
=
-x
sijeku elipsu.
i nađimo sjecišta sa elipsom. Uvrštavamo u jednad!u elipse"
Zadatak 2. #ud!enik" $aki%&'lezovi%( )atematika *+ str. 1,-. zadtak **. /ara!oli y 2 = 2 px upisan je jednakokračan pravokutni trokut s hipotenuzom duljine 0. apiši jednad!u para!ole.
adopunimo li crte kao na slici primje%ujemo da je udaljenost točaka i 3 upravo duplo manja od hipotenuze # radi se o dijagonalama kvadrata te iznosi ,( odn. do!ijemo vrijednosti koordinata točaka 4( 5 i . 6z toga slijedi da su kordinate točke 4#,(,( 5#,(&, te #,(-. Uvrstimo li točku 4 ili točku 5 u jednad!u para!ole do!ijemo" y
2
17
p
=2 =
=
px
2 ⋅ p ⋅ ,
2
6z toga proizlazi da je jednad!a 2 para!ole" y = , x .
Zadatak 3. #ud!enik" $aki%&'lezovi%( )atematika *+ str. 1,-. zadtak 8,. Kolika je površina trokuta što ga zatvaraju asimptote hiper!ole , x 2 − 9 y 2 = *7 i ravnalica para!ole y 2 =10 x ?
3značiti %emo trokut na slici . 6z jednad!e hiper!ole x 2
−
9
a
2
y 2
=1
, =
9( b
2
=
čitamo da je
, odn.
da su
asimptote hiper!ole zadane jednad!ama y
=±
2 *
x .
6z jednad!e para!ole čitamo da je x
=−
9 2
ravnalica
para!ole. raimo presjek asimptota i ravnalice odn. rješavamo sustav dvije jednad!e s dvije nepoznanice kako !ismo do!ili koordinate točaka 5 i :. očke 5 i : su simetrične ; dovoljno je do!iti samo jednu od njih. y
=−
=−
2 * 9
x
dati %e nam traenu koordinatu točke 5 " =>*.
2
o znači da su koordinate točaka" 5#&92(*( :#&92(&*( 3#-(-.
/ovršina trokuta je"
Zadatak 4. a para!oli y 2
7
BC AO ⋅
P
= 0 x
=
=
2
9 ⋅
2 2
=
2@ . 2
odredi točke koje su od njezinog arišta udaljene za ,.
6z jednad!e para!ole čitamo da je 2p>0 odn. p>,. o znači da je arište para!ole točka A#2(-. akođer znači i da je ravnalica para!ole pravac B>&2. Udaljenost svake točke para!ole od arišta jednaka je kao udaljenost te točke od ravnalice. 6z toga zaključujemo kako je udaljenost traene točke od ravnalice ,.
$akle koordinate točke 5 su 5#2(=. Vridnosti = koordinate točke 5 do!iti %e se iz jednad!e para!ole" y 2 = 0 x . y y
2
=0 ⋅ 2
2
=17
y1( 2 = ±,
raene točke su" 5#2(, i $#2(&,.
Zadatak 5. /ara!ola y 2
=
2 px prolazi
točkom 4#,(,. Kolika je udaljenost točke 4 od arišta para!ole?
A ∈ y 2
= 2 px
# 4 je točka na para!oli
Uvrstimo li koordinate točke 4 do!iti %emo"
2 ⋅ p ⋅ ,
17
=
p
=2
o znači da je Cokus para!ole A#1(-( a ravnalica B>&1. Udaljenost točke 4 od ravnalice ista je kao udaljenost 4 od Cokusa" d ( A( x ) = 8 = d ( A( F ) .
Zadatak 6. Kolika je udaljenost ortogonalnih projekcija arišta hiper!ole x 2
−*y
2
=*
na pravac x − y
=-
?
U našem slučaju #iz skice trai se udaljenost točaka 4 i 5. Dednad!u hiper!ole napisati %emo kao" x 2 *
−
y 2 1
a2
=*
b2
=1
=1
odn. a>*( !>1. akođer e2 e
2
=
a2
=
,
+
b2
6z toga proizlazi da su A1#&2(-( A2#2(-.
B i prolazi Cokusima. /ravac koji je okomit na =>B ima koeCicijent smjera k>&1 #suprotan i recipročan od koeCicijenta pravca =>B.
Dednad!a pravca kroz A1 je dakle" =&->&1#BE2 =>&B&2......p1 4nalogno jednad!a pravca kroz A 2 "
=&->&1#B&2 =>&BE2......p2
/resjekom pravaca =>B i p1 do!ivamo "
=>&=&2 2=>&2 =>&1 odn. B>&1
ime smo do!ili koordinate točke 4#&1(&1 B i p2 " 2=>2 odn. =>1 B>1 tj. koordinate točke 5#1(1. Udaljenost dvije točke 4 i 5 jest" 2 2 d = ( −1 −1) + ( −1 −1) = , + , = 0 .
Zadatak 7. 2 3dredi točke na hiper!oli x
−*y
2
= 12
kojima su radijvektori međuso!no okomiti.
6z jednad!e hiper!ole čitamo" a2
= 12(
b2
=
, ⇒e
2
= 1,
raimo presjek hiper!ole i krunice sa središtem u ishodištu radijusa 1, #jer je kut nad promjerom pravi. x 2 x
2
+
y 2 y
−*
= 1, 2
= 12
akon rješavanja sustava jednad!i do!iti %emo" y
=±
2 2
(x
=±
* 7 2
