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ENFRIAMIENTO DE UN CUERPO ESTUDIO DE LA LEY DE ENFRIAMIENTO DE UN CUERPO
CENTRO DE INVESTIGACION Y DESARROLLO TECNOLOGICO PABLO GENARO GARCÍA VENCES El siguiente estudio de enfriamiento se basa en el calentamiento de un cuerpo aceite, el cual será monitoreado un tiempo de 1.5 horas, se utiliza un termopar tipo k el cual arrojara las mediciones de temp temper eratu atura ra en el tran transc scur urso so de tiemp tiempoo ante antess menc mencion ionad ado, o, se real realiz izaa un graf grafico ico de temperatura v.s. tiempo, se analiza el comportamiento de la curva y se proponen soluciones para encontrar una constante “k” en la ley de enfriamiento de newton (1) la cual pueda describir mejor el comportamiento del experimento. T-Tamb=Cekt
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Introducción: El nombre de Isaac Newton (1641-1727) es ampliamente reconocido por sus numerosas contribuciones a la ciencia. Probablemente se interesó por la temperatura, el calor y el punto de fusión de los metales motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad de la acuñación mientras fue funcionario de la casa de la moneda de Inglaterra. Newton observó que al calentar al rojo un bloque de hierro y tras retirarlo del fuego, el bloque se enfriaba más rápidamente cuando estaba muy caliente, y más lentamente cuando su temperatura se acercaba a la temperatura del aire. Sus observaciones dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de ley de enfriamiento de Newton. La ley de enfriamiento de Newton se escribe como dT/dt = k (T- T amb)
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donde la derivada de la temperatura respecto al tiempo dT/dt representa la rapidez del enfriamiento, T es la temperatura instantánea del cuerpo cuando esta caliente, k una constante que define el ritmo de enfriamiento y T amb es la temperatura ambiente, que es la temperatura que alcanza el cuerpo luego de suficiente tiempo.
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Nuestra tarea en este trabajo es estudiar si la mencionada ley se ajusta a la observación en el caso del enfriamiento de aceite de carro. Si el cuerpo se enfría a partir de una temperatura T0 hasta Tamb y la ley de enfriamiento de un cuerpo es válida, la ecuación: kt
T= Tamb + C e
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Deberá ser adecuada para representar la evolución de la temperatura, dado que esta ecuación es solución de (2). Experimento. El cuerpo de estudio es aceite de carro el cual se calienta en una parrilla eléctrica hasta 72°C ± 1°C, se retira de la parrilla y se coloca sobre una superficie que tiene baja capacidad de conducción, se monitorea el proceso de enfriamiento con un termopar tipo k, primero se toman mediciones cada 10 segundos durante los primeros 5 minutos, posteriormente mediciones cada 20 segundos durante 6 minutos, posteriormente mediciones cada 30 segundos durante 10 minutos, y finalmente cada 60 segundos durante 75 minutos, los intervalos de tiempo se van haciendo mas grandes debido a que el enfriamiento cada vez va siendo menor conforme tiende a T amb. La constante C se evalúa con las condiciones iniciales del experimento: t=0; Tamb = 22.6 °C Substituyendo las condiciones iniciales en 3, tenemos que la ley de enfriamiento para este caso particular nos queda: kt
T= 22.6 + 49.6 e
Resultados:
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Primero se procede a graficar los datos obtenidos en el experimento (ver anexo1) 80
70
60
50 ) C ° ( a r u 40 t a r e p m e t
30
20
10
0 0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
tiempo (segundos)
Figura 1. Grafica experimental de temperatura (°C) en función del tiempo (segundos) para el experimento realizado.
En la figura 1 observamos como el aceite de carro se comienza a bajar su temperatura en forma exponencial, la estabilización de esta grafica tiende a la temperatura ambiente, sin embargo el tiempo para llegar a esta temperatura de una forma experimental seria muy tardado, para fines de comprobación, estos datos son suficientes. Obtención de la constante k: 1 método: para cada tiempo, se tiene una temperatura, despejando k en la ecuación 3 obtenemos: K= (ln(T-22.6)-3.904)/t
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Para cada una de las mediciones que se realizan se obtienen k diferentes, estas k se substituyen en la ecuación 3 y se obtienen las temperaturas para cada instante dado para cada una de las k, posteriormente mediante la formula para el criterio de un mejor ajuste (6) se obtiene la cuantificación del error para cada k (ver anexo 2).
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Sr= (Tmedida – T modelo ) 2
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Siendo la mejor k= -0.000287377 con un Sr = 107.409231, por lo que la ecuación queda de la siguiente manera: T=22.6+49.6e-0.000295317*t
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La comparación de graficas queda de la siguiente manera: 80
70
60
50
40
30
20 grafica experimental grafica de ecuacion 7 10
0 0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Figura 2. Comparación de la grafica experimental v.s. grafica de la ecuación 7.
Calculando el error entre las dos graficas tenemos que nos arroja un valor de 0.5956 %
2 método: tomando condiciones de frontera al inicio y al final de los resultados experimentales y substituyendo en la ecuación 3 para obtener las constantes C y k.
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Condiciones de frontera: t= 0 seg.
To = 72.2 °C
t=5400 seg.
T = 34.4 °C
Resolviendo obtenemos: -0.0002659*t
T= 22.6 + 49.6 e
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Tabulando los valores de T para la ecuación 6 (anexo3) y graficando contra los resultados experimentales obtenemos:
80
70
60
50
40
30
20 grafica experimental grafica de ecuacion 8 10
0 0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Figura 3. Comparación de la grafica experimental v.s. grafica de la ecuación 8.
Calculando el error entre las dos graficas tenemos que nos arroja un valor de 2.1345 %
Conclusiones:
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La constante k obtenida mediante el método 1 es la que mas se aproxima a los resultados experimentales (error del 0.5956 %), sin embargo, para poder llegar a este resultado, se realizo el análisis de cada una de las k para cada tiempo dado, por lo que el proceso fue muy largo y tedioso, por otra parte el segundo modelo aunque no fue tan exacto (error del 2.1345 %), llega a describir el comportamiento de nuestros datos experimentales muy bien, por lo que dependiendo de para que pueda llegar a ser la utilización del modelo, cualquiera de los 2 métodos pueden ajustarse a los datos experimentales.
Simbología:
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T= temperatura del modelo (°C) To= temperatura inicial Tamb = temperatura ambiente (°C) t= tiempo (segundos) C = constante de integración. k = constante que define el ritmo de enfriamiento
