Ensaios de Jearl Walker

M AT AT E R I A L S U P L E M E N T A R P A R A A C O M P A N H A R

MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR

FUNDAME FU NDAMENT NTOS OS DE FÍSICA 9a Edição

HALLIDA HALLID AY & RESNIC R ESNICK K JEARL WALKER

Cleveland State University

VOLUMES 1 a 4

Tradução e Revisão Técnica Ronaldo Sérgio de Biasi, Ph.D. Professor Titular do Instituto Militar de Engenharia – IME

Este Material Suplementar contém os Ensaios de Jearl Walker – Volumes 1 a 4 que podem ser usados como apoio para o livro Fundamentos de Física, Volumes 1 a 4, Nona Edição, 2012. Este material é de uso exclusivo de professores que adquiriram o livro.

Material Suplementar Ensaios de Jearl Walker – Volumes 1 a 4 traduzido dos materiais originais: HALLIDAY & RESNICK: FUNDAMENTALS OF PHYSICS, VOLUME ONE, NINTH EDITION Copyright © 2011, 2008, 2005, 2003 John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved. This translation published under license. HALLIDAY & RESNICK: FUNDAMENTALS OF PHYSICS, VOLUME TWO, NINTH EDITION Copyright © 2011, 2008, 2005, 2003 John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved. This translation published under license. Obra publicada pela LTC: FUNDAMENTOS DE FÍSICA, VOLUMES 1 A 4, NONA EDIÇÃO Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright © 2012 by LTC __ Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional Projeto de Capa: M77 Design Imagem de Capa: ©Eric Heller/Photo Researchers, Inc.. Used with permission of John Wiley & Sons, Inc. Reproduzida com permissão da John Wiley & Sons, Inc. Editoração Eletrônica do material suplementar:

SUMÁRIO Bola Alta 1 Dando Luzes a um Árbitro 2 Dimensão Fractal de uma Bola de Papel 3 Duas Camas de Pregos 4 Fervura e o Efeito Leidenfrost 6 Marcas de Derrapagem 14 Tráfego na Hora do Rush 15

Bola Alta Jearl Walker Em 20 de agosto de 1938, Frankie Pytlak e Hank Helf, dois

dirigível que estava a uma altura estimada de 240 m (de acor-

receptores dos Cleveland Indians, se dispuseram a bater o re-

do com alguns relatos, a altura era muito maior no momento

corde mundial de recepção de uma bola de beisebol lançada de grande altura. Enquanto esperavam na calçada ao lado da

do lançamento). Na quinta tentativa, Sprinz conseguiu aparar

Terminal Tower, em Cleveland, Ken Keltner, o terceira base,

se preparou para lançar as bolas do alto do edifício, 210 m acima do nível da rua. O recorde anterior de 170 m tinha sido estabelecido em 1908 por dois receptores de outra equipe, que pegaram bolas arremessadas do Monumento de Washington,

em Washington, D.C. Como Keltner não podia ver os companheiros na rua, arremessou as bolas ao acaso. Pytlak e Helf estavam usando capacetes de aço para se proteger das bolas, que iriam chegar a uma velocidade da ordem de 225 km/h. Helf pegou a primeira bola, garantindo, com um sorriso, que tinha sido muito fácil. Entretanto, as primeiras cinco bolas lançadas para

a bola com a luva, mas o impacto levou mão, luva e bola em direção ao seu rosto, fraturando seu maxilar superior em 12 lugares, quebrando cinco dentes, deixando-o desacordado... e fazendo-o soltar a bola. Mais engraçada foi a tentativa, em 1916, de pegar uma bola de beisebol arremessada de um pequeno aeroplano. Wil-

Pytlak erraram o alvo. Uma delas chegou ao 13 o andar depois

bert Robinson, gerente dos Brooklyn Dodgers e ex-receptor, pediu ao treinador dos Dodgers, Frank Kelly, que lançasse a bola de um avião voando a 120 m de altura. Entretanto, sem que Robinson soubesse, Kelly trocou a bola por uma toranja vermelha. Quando o impacto com a luva fez a fruta se despedaçar, o conteúdo vermelho empapou Robinson, que gritou: “Minha nossa! Ela abriu um buraco na minha mão! Estou coberto de sangue!”

de quicar a primeira vez e foi pega por um policial depois de quicar três vezes. Na sexta tentativa, Pytlak conseguiu pegar a bola e dividiu o recorde com Helf. No ano seguinte, Joe Sprinz, do San Francisco Baseball Club, tentou pegar uma bola de beisebol arremessada de um

Referência A velocidade da bola ao atingir Joe Sprinz foi calculada no Exemplo 2-10 dos Problemas Suplementares do volume 1, que acompanha a sexta edição de Fundamentos de Física.

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MATERIAL S UPLEME NTAR

Dando Luzes a um Árbitro Jearl Walker No conto “Um ligeiro caso de insolação”, de Arthur C. Clarke,

uma partida de futebol foi disputada entre dois países rivais diante de um público de mais de 100.000 pessoas. Metade dos espectadores era militar, não precisou pagar ingresso e ainda recebeu grandes programas de capa prateada para comemorar o evento. O jogo estava sendo aguardado com ansiedade. No ano anterior, o time da casa havia perdido o jogo porque o juiz tinha sido subornado pelo time visitante. Na verdade, o time da casa também oferecera dinheiro ao juiz, mas, aparentemente, menos que o necessário. Como, de acordo com as regras, o time visitante tinha o direito de escolher o juiz e os bandeirinhas, o juiz seria o mesmo. A torcida estava curiosa para ver como ele se comportaria.

No início do jogo, parecia estar apitando com imparcialidade, mas, depois que o time visitante marcou o primeiro gol, anulou o gol que seria de empate do time da casa e, logo em seguida, marcou um pênalti duvidoso para os visitantes, que foi convertido. Com o time perdendo de dois a zero, a torcida

começou a temer pelo pior. As esperanças voltaram quando o time da casa, jogando com muita raça, conseguiu marcar um gol tão limpo que nem

o juiz mais corrupto do mundo teria coragem de anular. Pouco

depois, a torcida comemorou de pé quando um dos atacantes do time da casa passou por vários adversários e colocou a bola

no fundo das redes, empatando o jogo. No meio da gritaria, ouviu-se o apito do juiz. Ele anulou o gol com a alegação absurda de que o atacante havia colocado a mão na bola. Parte da torcida ameaçou invadir o campo, revoltada, mas os militares permaneceram onde estavam. Depois que os joga-

dores dos dois times se retiraram, deixando o árbitro sozinho no centro do campo, alguém gritou um comando e, em perfeito sincronismo, todos levantaram seus programas no sol e apon-

taram as capas para o juiz. Houve um clarão e, no lugar onde estava o juiz, só restou um monte de cinzas fumegantes. Em alguns países, o futebol é levado muito a sério.

Referência Clarke, A.C., “A Slight Case of Sunstroke”, em Tales of Ten Words, Harcourt, Brace & World, Inc., 1963. (Edição brasileira: Clarke, A.C., “Um Ligeiro Caso de Insolação”, em Histórias de Dez Mundos, Editora Nova Fronteira, 1978.)

MATERIAL S UPLEMENTAR

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Dimensão Fractal de uma Bola de Papel Um problema aplicado envolvendo regressão linear Jearl Walker Uma folha plana de papel pode ser considerada bidimensional (ou seja, possui uma dimensão d  2,0) e um cubo maciço feito de papel é tridimensional (d  3,0). De acordo com a

D tomando a média das

larguras da bola seguindo duas direções quaisquer. Depois de alisar a folha, cortamos a folha pela metade e repetimos o processo para cada pedaço. Alisamos novamente uma das folhas, cortamos a folha pela

geometria fractal, quando usamos uma folha para fazer uma bola de papel, a superfície bidimensional da folha passa a metade e repetimos o processo. Continuamos o processo até ocupar três dimensões e dizemos que a folha possui uma di- atingirmos o limite de nossa capacidade de medir a massa mensão fractal d que pode ter um valor entre 2,0 e 3,0. Um ou o diâmetro. Quando executei o experimento usando um papel relativalor próximo de 2,0 significa que a folha tende a evitar a si própria na formação da bola; um valor próximo de 3,0 sig- vamente grosso (com uma área original de aproximadamente 0,80 m2), as massas m foram 112; 56,6; 55,5; 25,9; 30,0; 15,2; nifica o oposto. A massa m do papel e o diâmetro D da bola estão relacio- 14,8; 7,57; 7,71; 3,85; 3,89; 2,05; 1,85 gramas. Os diâmetros D correspondentes foram 27,5; 20,0; 19,0; 14,5; 15,5; 10,0; nados à dimensão d da bola através da equação m  kDd , (1) 9,0; 7,8; 6,5; 6,0; 4,8; 4,9; 4,8 cm. Qual é a dimensão fractal d de minhas bolas de papel? na qual k é uma constante desconhecida. Medindo o valor Sugestão: Em uma calculadora científica, prepare primeiro de m para vários valores de D – o que pode ser feito usando uma lista das massas e uma lista dos diâmetros. Em seguida, o mesmo tipo de papel para fazer bolas de vários tamanhos calcule o logaritmo natural das duas listas para obter duas –, podemos calcular o valor de d ajustando os resultados à novas listas. Use as duas listas e a rotina de regressão linear Equação 1. Em vez disso, porém, é mais fácil transformar a da calculadora para obter a inclinação da reta que melhor se Equação 1 em uma equação linear e determinar o valor de ajusta aos dados experimentais. Os passos necessários para d por regressão linear, ou seja, encontrando a linha reta que obter as duas listas e regressão linear são explicados, para melhor se ajusta aos dados. vários modelos de calculadoras, em outro recurso disponíComo a dimensão d aparece na forma de um expoente na vel neste site. Atenção: Algumas calculadoras usam y  a  Equação 1, podemos transformá-la em uma equação linear bx como equação linear genérica e outras usam y  ax  b tomando o logaritmo natural de ambos os membros: como equação genérica, o que faz diferença na hora de executar uma regressão linear. ln m  ln kDd A resposta está mais próxima de 2,0 do que de 3,0. Interd  ln k  ln D prete o resultado em termos da tendência do meu papel de evitar ou não evitar a si próprio na hora de formar a bola.  ln k  d ln D. (2) Determine experimentalmente a dimensão fractal de outros O resultado está na forma de uma equação linear y  a  bx , materiais, como cartolina, plástico para embrulhar alimentos, na qual a é a ordenada do ponto de intercessão com o eixo y e folha de alumínio e tortilhas. (Determinar a dimensão fractal b é a inclinação. Na Equação 2, a variável y é ln m, a ordenada de uma tortilha em um restaurante mexicano pode ser uma do ponto de intercessão com o eixo y é ln k , a inclinação (que forma de conseguir popularidade instantânea. Pensando meé o valor procurado) é d e a variável x é ln D. lhor, talvez não seja uma boa ideia.) Podemos, portanto, calcular a dimensão fractal d fazendo uma regressão linear dos valores de ln m em função de ln D Referência para obter a inclinação da reta. Para isso, podemos usar uma Baseado em “Fractal Geometry in Crumpled Paper Balls”, de calculadora científica ou um programa de computador. M.A.F. Gomes, American Journal of Physics, 55, 649-650 Para obter os dados, começamos com uma folha de pa- (1987), e “A Simple Experiment that Demonstrates Fractal pel relativamente grande, fazemos uma bola, medimos a Behavior”, de R.H. Ko e C.P. Bean, The Physics Teacher , massa m em uma balança e calculamos o diâmetro médio 29, 78-79 (Feb. 1991).

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Duas Camas de Pregos Jearl Walker Um dos meus passatempos preferidos é ser imprensado, sem camisa, entre duas camas de pregos, e convidar uma ou duas pessoas para subir na cama de cima. Quando estou realmente deprimido, peço para colocarem um bloco de concreto na cama de cima, que meu assistente quebra com uma marreta. (Essa demonstração confirma minha observação de que não há um modo melhor de atrair a atenção dos estudantes que apresentar uma demonstração na qual o professor aparentemente corre risco de vida.) Devo confessar que, enquanto a primeira demonstração é apenas exótica, a segunda pode ser realmente perigosa. Mais de uma vez fui atingido por fragmentos de bloco de concreto, mas, felizmente, meus dentes e meus olhos foram poupados.

também aumenta a segurança de três formas sutis (das quais não me dei conta quando usei inicialmente um pequeno tijolo). (1) Para que eu sofra um grande impacto, é preciso que o bloco sofra uma grande aceleração; quanto maior o bloco, maior a massa e, portanto, menor a aceleração. (2) Boa parte da energia do golpe de marreta é usada para quebrar o bloco e não para movimentar a cama de cima. (3) O fato de que o

O Começo

alfândega com um caixote que continha as camas de pregos. O funcionário da alfândega perguntou: − O que está levando nesse caixote? − Duas camas de pregos − respondi. Ele olhou para mim, olhou para minha mulher e piscou o olho. Eu e minha mulher enrubescemos.

Comecei a dar essas demonstrações em 1974, depois de assistir à segunda em um espetáculo de caratê. Na verdade, fui o primeiro a fazer isso em uma sala de aula. Também usei as demonstrações nas palestras do Circo Voador da Física (que apresentei em muitas cidades dos Estados Unidos e do Canadá

nas décadas de 1970 e 1980) e na série de televisão da PBS “O Carnaval Cinético”. Em consequência, foram vistas por muitos professores e, hoje em dia, demonstrações semelhantes são apresentadas em muitas escolas dos Estados Unidos e de outros países. Para dizer a verdade, a primeira vez que apresentei a demonstração em sala de aula, as coisas não correram como eu havia previsto. Pedi a um aluno para usar a marreta, mas, imprudentemente, eu havia escolhido um pequeno tijolo, em vez de um bloco de concreto, para ser colocado sobre a cama de cima. O golpe foi tão forte que levei alguns minutos para me recuperar. Os estudantes ficaram assustados, mas meu primeiro pensamento foi que aquilo era uma forma absurda de passar desta para melhor. Quando uma ou duas pessoas sobem na cama de cima, o peso é distribuído por um número tão grande de pregos que a força aplicada por um dos pregos não é suficiente para perfurar minha pele. A força exercida pelos pregos da cama de baixo é maior, já que ela precisa também sustentar o meu peso. Depois de fazer alguns experimentos, determinei com boa precisão o peso máximo das pessoas que podem subir na cama de cima sem que eu fique ferido. (Não pense que é tudo

um mar de rosas; na verdade, sinto muita dor quando estou fazendo a demonstração.) O grande bloco de concreto que é feito em pedaços na segunda demonstração não só acrescenta um toque teatral, mas

bloco se quebra significa que o tempo de colisão é mais longo

do que se o bloco não estivesse presente, e, portanto, a força da colisão é menor.

A Alfândega Americana Quando estava voltando de uma palestra do Circo Voador da Física no Canadá, eu e minha mulher tivemos de passar na

Tétano Uma vez, apresentei minha palestra do Circo Voador da Física na Oxford University, na Inglaterra, para um grupo de especialistas em educação de várias nacionalidades. Infelizmente, poucos dos presentes falavam inglês e muito menos estavam em condições de compreender meu humor texano. Assim, no decorrer da palestra, ao perceber que ninguém ria das minhas piadas, fui ficando cada vez mais nervoso e menos cauteloso. Quando cheguei à demonstração das camas de

pregos, no final da palestra, descobri que teria de executar o número em cima de um banco para que todos pudessem ver o que estava acontecendo. Meu assistente colocou o bloco de concreto sobre o sanduíche de camas de pregos (eu era o recheio do sanduíche) e se preparou para usar a marreta. Como eu sabia que, com aquele arranjo incomum, o assis-

tente teria dificuldade para quebrar o bloco sem que a cama de cima deslizasse, tentei ajudá-lo segurando a cama com uma das mãos. Quando ele desferiu o golpe, um dos pregos produziu um corte na minha mão. Não notei que estava ferido

até me levantar para encerrar a palestra, mas nesse momento o sangramento se tornou evidente tanto para mim como para a plateia. Os espectadores ficaram impressionados com a demonstração e principalmente com o sangue... não era preciso saber inglês para perceber que eu havia me machucado.


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Depois de guardar o equipamento, encontrei-me com o organizador da palestra em um pub local para beber umas cervejas, sentindo-me aliviado com o fato de pelo menos minha demonstração final ter despertado uma reação por parte da plateia. Foi então que o homem me revelou que estava havendo muitos casos de tétano naquela parte da Inglaterra. Eu não tinha me incomodado com a dor do ferimento, mas a ideia de contrair tétano me deixou preocupado. (A bactéria do tétano entra no corpo através de um ferimento causado, por exemplo, por um prego enferrujado. Se a pessoa não foi

simular uma queda do palco no meio da palestra. O suposto acidente deixava a plateia atônita, já que as palestras da IBM normalmente eram planejadas nos mínimos detalhes. Quando os espectadores se davam conta de que tudo não passava de uma brincadeira, relaxavam de vez e o resto da palestra transcorria em um clima ameno.

vacinada e não recebe imediatamente soro antitetânico, morre

monstração. Claro que vou sentir uma dorzinha quando você

em poucos dias, com todos os músculos do corpo contraídos, o que a impede de respirar.) Quando saí do pub, fui a um posto de saúde para receber uma injeção de soro antitetânico. Antes, porém, foi necessári explicar à enfermeira como havia me ferido. Enquanto me dava a injeção, a moça ria tanto que teve dificuldade para manter a agulha na posição correta. Eu havia atravessado o Oceano Atlântico para me exibir diante de uma plateia seleta e acabei baixando as calças na frente de uma enfermeira às gargalhadas.

subir na cama e os pregos fizerem pressão na minha pele, mas

Não Olhe Agora

Antes das palestras, eu me reunia com o executivo da IBM responsável pelo evento, porque era ele que subia na cama de cima durante a demonstração. Os executivos ficavam apreensivos e eu dizia: “Não se preocupe, já fiz muitas vezes essa de-

estou acostumado. Tudo vai dar certo, você vai ver.” Em uma das palestras, o executivo se mostrou ainda mais preocupado do que de costume, já que pesava cento e poucos quilos, mas repeti minhas palavras tranquilizadoras. Infelizmente, quando chegou a hora do tombo proposital, caí de mau jeito e fraturei uma costela. Na hora, não sabia que estava com uma costela quebrada; sentia apenas uma dor forte no peito. Continuei a palestra da melhor forma possível,

embora estivesse respirando com dificuldade. Chegou então a hora da demonstração das camas de pregos

com o executivo peso-pesado. Quando ele subiu na cama de Também passei por uma situação constrangedora no dia em cima, eu vi estrelas; não sei como consegui levar a palestra que apresentei a demonstração das camas de pregos em uma até o final. No mesmo dia, voltei para Cleveland e fui direto ao conescola feminina do ensino médio. Como, em minha opinião, a parte da marreta seria violenta demais para as meninas, eu sultório da minha médica. Ela me informou que eu havia planejava fazer apenas a parte em que uma pessoa subia na fraturado uma costela e devia ficar de repouso por um mês. cama de cima. Combinei com a mulher que me havia convi- Comecei a rir (mas parei, porque a dor era insuportável) e dado que ela seria a pessoa a subir na cama. O que não me disse: “Você deve estar brincando. Tenho outra palestra na ocorreu durante a conversa ao telefone foi discutir o tipo de IBM programada para a semana que vem.” E prossegui com traje que ela estaria usando. Só me dei conta da omissão quan- o ciclo de palestras como se nada tivesse acontecido. Felizdo estava deitado entre as duas camas e a mulher começou a mente, nenhum dos executivos das palestras seguintes pesava subir na cama de cima. Ela estava usando uma saia curta e, mais que uns oitenta quilos. enquanto se posicionava alguns palmos acima da minha cabe-

ça, começou a explicar à plateia o que estava para acontecer.

O Sangue Dá o Toque Final

Fiz o que pude para manter a cabeça voltada para a audiência

Uma vez, quando apresentei a palestra do Circo Voador da

em vez de olhar para cima; as meninas começaram a rir; a mulher até hoje não sabe de que elas estavam rindo; e passei uma semana com torcicolo.

Má Sorte Eu costumava fazer a demonstração da cama de pregos não só em escolas e nas excursões do Circo Voador da Física, mas também em uma série de palestras para os vendedores da IBM. Começava essas palestras fazendo o papel do típico professor de física (falando de coisas esotéricas, deixando a plateia entediada), assumia gradualmente um tom coloquial e terminava com a demonstração das camas de pregos. Minha mensagem era que, no dia a dia, meu trabalho resu-

mia-se a vender um produto (a física) a um público (os estudantes) que inicialmente não o desejava, assim como o pessoal

de vendas tentava vender um produto da IBM a consumidores desinteressados. Parte da minha estratégia consistia em

Física na Western Illinois University, meu assistente não pôde viajar comigo; por isso, pedi ao meu anfitrião para usar a mar-

reta no número final. Disse a ele para golpear o bloco com vontade, caso contrário a plateia ficaria desapontada. Eu queria um final bombástico e foi isso que ele me proporcionou. O homem bateu no bloco de concreto com tanta força que ele se despedaçou e alguns fragmentos foram arremessados na minha direção. Protegi os dentes e os olhos com a mão, mas um dos cacos fez um corte profundo no meu queixo. Quando saí do espaço entre as camas e me dirigi novamente à plateia, o sangue escorria do meu queixo, sujando a calça e os sapatos. Meu anfitrião ficou pálido de preocupação, mas o público irrompeu em aplausos. Aquele foi o melhor final das minhas apresentações do Circo Voador. Toda vez que dou uma palestra, sinto uma estranha vontade de me cortar novamente.

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Fervura e o Efeito Leidenfrost Jearl Walker Como ferve a água? Por mais comum que seja esse fenômeno, talvez você não tenha notado todos os seus aspectos curiosos. Alguns desses aspectos são importantes para aplicações indus-

triais, enquanto outros servem de base para certos números perigosos apresentados em espetáculos de circo. Esquente uma panela com água da torneira em um fogão a gás. Quando a água começa a esquentar, moléculas de ar que estavam dissolvidas na água formam pequenas bolhas em irregularidades no fundo da panela (Fig. 1 a). As bolhas aumentam gradualmente de tamanho e começam a se desprender do fundo da panela e subir à superfície (Figs. 1 b- f ), sendo substituídas por outras bolhas, até que todo o ar que estava em solução na água seja consumido. A formação de bolhas de ar é sinal de que a água está sendo aquecida, mas não tem nada a ver com a fervura. Bolha inicial

Formação de um pescoço

A bolha sobe

fervura é acompanhada por estalidos, chiados e zumbidos. É quase como se a água estivesse se lamentando por virar vapor. Toda vez que uma bolha de vapor atinge uma altura onde a temperatura é um pouco menor, a bolha sofre uma implosão, pois o vapor volta a se condensar. Essa implosão produz uma onda sonora, que constitui o zumbido. Quando a temperatura da água como um todo aumenta mais um pouco, as bolhas começam a chegar intactas à superfície. Essa fase da fervura, conhecida como “bolhas isoladas de vapor” está ilustrada na Fig. 2. Ebulição Ebulição nucleada de transição Ebulição em filme Colunas r o l e balas a c e d a i c n ê r e f s n a r t Bolhas e d a isoladas x a T de vapor

Início da fervura

Fig. 1 (a) Uma bolha se forma em uma irregularidade no fundo de uma panela com água. ( b-f ) A bolha cresce, se desprende e sobe até a superfície.

A água que está exposta diretamente à atmosfera ferve a uma temperatura T S , conhecida como temperatura normal de ebulição, que depende da pressão atmosférica. Quando a pressão do ar é 1 atm, T S é aproximadamente 100 oC. Como a água no fundo da panela não está diretamente exposta à atmosfera, permanece no estado líquido, mesmo quando é superaquecida, ou seja, quando atinge uma temperatura um pouco maior que T S . Durante o processo, a água é constantemente misturada por convecção, que faz a água quente subir e a água fria descer. Se a temperatura da panela continua a aumentar, a água do fundo da panela também começa a passar para o estado gasoso, com as moléculas de água formando pequenas bolhas de vapor nas mesmas irregularidades onde bolhas de ar, como a mostrada na Fig. 1 a, se formaram. Essa fase da

Temperatura acima de T S (°C)

Fig. 2 Curva de ebulição da água. Quando a temperatura do fundo da panela é aumentada acima do ponto normal de fervura, a taxa com a qual o calor é transferido do fundo da panela para a água aumenta a princípio. Acima de uma temperatura, porém, a taxa de transferência cai bruscamente para quase zero. Em temperaturas ainda maiores, a taxa volta a aumentar.

Conforme a temperatura da panela continua a aumentar, o barulho da implosão das bolhas primeiro fica mais alto e depois desaparece. O ruído começa a diminuir quando a temperatura da água como um todo se torna tão alta que a maioria

das bolhas chega intacta à superfície. A água está agora em plena ebulição. Se a fonte de calor é uma boca de fogão, a história para por aqui. Entretanto, com um bico de Bunsen você pode continu-

ar a aumentar a temperatura da panela. Nesse caso, as bolhas de vapor se tornam tão abundantes e se desprendem do fun-


do da panela com tanta frequência que começam a se fundir, formando colunas de vapor que sobem de forma violenta e caótica, às vezes se chocando com “balas” de vapor que se formaram previamente. A produção de bolhas e colunas de vapor é chamada de ebulição nucleada porque a formação e o crescimento das bolhas dependem de irregularidades no fundo da panela, que no caso se comportam como centros de nucleação (locais de formação). Cada vez que você aumenta a temperatura da panela, a taxa com a qual o calor é transferido para a panela aumenta. Se você continua a aumentar a temperatura além do estágio das colunas e das balas, a ebulição entra em uma nova fase, conhecida como regime de transição . Nessa fase, novos aumentos da temperatura fazem diminuir a taxa com a qual o calor é transferido para a panela. Existe uma explicação para isso. No regime de transição, boa parte do fundo da panela está coberta por uma camada de vapor. Como o vapor d’água conduz calor em uma ordem de grandeza mais devagar que a da água no estado líquido, a taxa de transferência de calor para a água diminui. Quanto maior a temperatura da panela, menor o contato direto da água com a panela e mais lenta a transferência de calor. Esse fenômeno pode prejudicar o funcionamento de um trocador de calor , cujo objetivo é transferir energia de um objeto para o ambiente. Se a água de um trocador de calor entra no regime de transição, a taxa de transferência de energia diminui e o objeto pode sofrer algum

tipo de dano por causa do aquecimento excessivo. Se a temperatura da panela continua a aumentar, toda a superfície da panela acaba ficando coberta de vapor. Nesse caso, a energia passa a ser transferida para o líquido apenas por radiação e condução através do vapor. Essa nova fase é conhecida como regime de ebulição em filme . Embora não seja possível produzir a ebulição em filme em uma panela com água colocada na boca de um fogão, isso é relativamente comum na cozinha. Minha avó uma vez me mostrou o que fazer para verificar se a frigideira estava suficientemente aquecida para fazer panquecas. Depois de esquentar a frigideira por algum tempo, ela aspergiu algumas gotas d’água na frigideira. As gotas evaporaram quase imediatamente, o que, segundo minha avó, queria dizer que a frigideira ainda não estava quente o bastante. Depois de continuar o aquecimento por mais algum tempo, minha avó repetiu o teste e, dessa vez, as gotas se mantiveram suspensas

por quase um minuto antes de desaparecer. Isso era sinal de que estava na hora de assar as panquecas. Para reproduzir o teste da minha avó, aqueci uma placa de metal com um bico de Bunsen. Enquanto media a temperatura da placa com um termopar, deixei cair gotas de água destilada de uma seringa de injeção mantida a uma pequena distância da placa. As gotas caíam em uma depressão que eu havia feito na placa com uma verruma. Com a seringa, era

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interessante. Quando a temperatura da placa estava entre 100 e 200oC, as gotas formavam uma camada fina na superfície da placa e evaporavam rapidamente. Em temperaturas um pouco

maiores que 200oC, as gotas mantinham a forma arredondada e levavam mais de um minuto para evaporar. Em temperaturas ainda maiores, as gotas evaporavam mais depressa. Experimentos semelhantes com água da torneira produziram gráficos com picos mais largos, provavelmente porque partículas suspensas de impurezas interrompiam a camada de vapor, conduzindo calor para as gotas.

) s ( s a t o g s a d a d i v e d o p m e T

Ponto de Leidenfrost

Temperatura da placa (°C)

Fig. 3 Tempo de vida de gotas d’água em uma placa quente em função da temperatura. Curiosamente, em um certo intervalo de tempe-

raturas, o tempo de vida aumenta quando a temperatura aumenta.

O fato de que uma gota d’água leva muito tempo para evaporar quando é depositada em uma placa de metal muito mais

quente do que a temperatura de ebulição da água foi mencionado pela primeira vez por Hermann Boerhaave em 1732,

mas a primeira investigação sistemática do fenômeno de que se tem notícia foi realizada em 1756, quando Johann Gottlob Leidenfrost publicou “Um Tratado Sobre Algumas Qualidades da Água Comum”. Como a obra de Leidenfrost não foi traduzida do latim até 1965, não teve muita divulgação. Mes-

mo assim, seu nome foi associado ao fenômeno. Além disso, a temperatura correspondente ao pico de um gráfico como da

Fig. 3 é conhecida como ponto de Leidenfrost. Leidenfrost executou seus experimentos com uma colher de ferro aquecida ao rubro em uma lareira. Depois de colocar uma gota d’água na colher, ele media o tempo que a gota levava para evaporar, com a ajuda de um pêndulo. Leidenfrost observou que a gota parecia absorver a luz e o calor da colher, deixando um ponto escuro em seu lugar. A primeira gota que depositou na colher durou 30 s, enquanto a gota seguinte durou apenas 10 s. As gotas seguintes duraram apenas

alguns segundos. Leidenfrost interpretou erradamente suas observações por-

possível produzir gotas de tamanho uniforme. Depois de dei-

que não percebeu que as gotas que sobreviviam por mais

xar cair uma gota, eu media o tempo que a gota levava para evaporar. Mais tarde, fiz um gráfico desse tempo em função

tempo estavam evaporando parcialmente. Vou explicar o que

da temperatura da placa (Fig. 3). O gráfico apresenta um pico

acontece em termos de meus experimentos. Quando a temperatura da placa está muito abaixo do ponto de Leidenfrost,

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a água se espalha pela placa e recebe energia da placa a uma continuou a ser totalmente inócuo. Aparentemente, o efeito taxa elevada, evaporando totalmente em questão de segun- Leidenfrost, ou, mais exatamente, a ocorrência quase instandos. Quando a temperatura está nas vizinhanças do ponto de tânea de uma ebulição em filme, protegia meus dedos. Leidenfrost, a parte de baixo da gota evapora quase instantaneamente. A pressão do vapor assim produzido impede que o resto da gota entre em contato com a placa (Fig. 4). Assim, o vapor protege e sustenta a gota durante mais de um minuto.

A camada de vapor é constantemente reposta pelo vapor que se forma quando a parte de baixo da gota continua a evaporar por causa da energia fornecida pela placa por radiação e por condução através da camada de vapor. Embora a camada tenha menos de 0,1 mm de espessura na periferia da gota e apenas cerca de 0,2 mm no centro, retarda a evaporação de forma extraordinária. Gota flutuante Camada de vapor

Fig. 4 Vista de perfil de uma gota flutuante. Fig. 5 Walker demonstrando o efeito Leidenfrost com chumbo fun-

Depois de ler a tradução da pesquisa de Leidenfrost, encontrei por acaso a descrição de um número curioso, realizado

em alguns circos por volta de 1900, que envolvia enfiar os dedos da mão em um recipiente com chumbo fundido. Supondo que não se tratasse de um truque, cheguei à conclusão de que o número deveria se basear no efeito Leidenfrost. No momento em que os dedos úmidos do artista tocassem o metal líquido, parte da água se transformaria em vapor, protegendo

os dedos e evitando que se aquecessem muito. Não pude resistir à tentação de testar minha teoria. Usei um bico de Bunsen para fundir uma quantidade considerável de chumbo em um cadinho. Aqueci o chumbo até uma o

dido. Ele acabou de mergulhar os dedos no chumbo, tocando o fundo do cadinho. A temperatura do chumbo está indicada em graus Fahrenheit no termômetro industrial.

Eu ainda não estava totalmente convencido de que havia encontrado a explicação correta. Seria possível tocar o chum-

bo com um dedo seco sem sofrer queimaduras? Deixando de lado toda a cautela, fiz a experiência, percebendo imediatamente a bobagem que fizera quando senti uma dor aguda. Mais tarde, experimentei com uma salsicha seca, mantendo-a

imersa no chumbo fundido por alguns segundos. A pele da

temperatura da ordem de 400 C, muito acima da temperatura

salsicha logo ficou preta, pois, como o meu dedo, não contava

de fusão do metal, que é 328 C. Depois de molhar um dedo em água da torneira, preparei-me para tocar na superfície do chumbo fundido. Confesso que tinha um assistente a postos com material de primeiros socorros. Confesso também que minhas primeiras tentativas falharam porque meu cérebro se recusou a permitir a execução de um experimento tão ridículo, fazendo-me recolher o dedo na última hora. Quando finalmente consegui superar o medo e toquei no

com a proteção da camada de vapor. Devo prevenir o leitor de que mergulhar os dedos em chumbo fundido é extremamente perigoso. Se o chumbo estiver apenas ligeiramente acima do ponto de fusão, a perda de energia com a vaporização da água pode solidificar o chumbo em torno dos dedos. Essa luva de chumbo sólido a uma temperatura de mais de 200 oC ficaria em contato com os dedos por tempo suficiente para evaporar toda a água e causar sérias queimaduras. É preciso também levar em conta a possibilidade de respingos. Se houver água demais nos dedos, a evaporação rápida pode causar uma pequena erupção de chumbo fundido, capaz até mesmo de atingir os olhos. Já sofri algumas queimaduras nos braços e no rosto produzidas por essas vaporizações explosivas. Em suma: não tente re petir esse experimento !

o

chumbo, tive uma grande surpresa. Não houve nenhuma sen-

sação de calor. Como eu havia previsto, parte da água que cobria meu dedo se transformou em vapor, formando uma camada protetora. Como o contato foi breve, a radiação e a condução de calor através do vapor não foram suficientes para

fazer a temperatura do meu dedo aumentar de forma significativa. Minha ousadia aumentou. Depois de molhar bem a mão, mergulhei todos os dedos no chumbo, chegando a tocar no fundo do recipiente (Fig. 5). O contato com o chumbo

A ebulição em filme também pode acontecer quando nitrogênio líquido é derramado no chão. O líquido está a uma tem-


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peratura de cerca de 200 oC abaixo de zero. Quando as gotas se aproximam do piso, a parte inferior de cada gota se transforma em vapor, sustentando o resto do líquido e permitindo que sobreviva por um tempo surpreendentemente longo. Ouvi falar de um espetáculo no qual um artista despejava nitrogênio líquido diretamente na boca sem se queimar; o líquido sofria uma ebulição em filme ao entrar na boca e por isso não chegava a entrar em contato com a língua. Tolamente, resolvi imitá-lo. Fiz isso muitas vezes sem nenhum problema. Depois de inspirar fundo, despejava na boca uma

havia omitido um fator adicional de segurança. Nas caminhadas anteriores, eu tinha levado junto ao peito um exemplar de Fundamentos de Física para reforçar minha fé na física. No

freram dezenas de fissuras. Meu dentista me fez prometer que

Diverse Fire’’, International Journal of Heat and Mass Trans fer , Vol. 9, 1153-1166 (1966).

dia em que me queimei, tinha esquecido o livro em casa. Faz alguns anos que defendo a ideia de que os cursos de física deviam usar “caminhar sobre brasas” como exame final. O coordenador do programa ficaria esperando do outro lado de um leito de carvões em brasa a ser atravessado pelo candidato. Se a fé do candidato na física fosse suficiente para

que seus pés não sofressem queimaduras, o coordenador enquantidade considerável de nitrogênio líquido e soprava o ar. tregaria ao aluno seu diploma. Esse tipo de teste seria mais O vapor presente no ar exalado se condensava, produzindo revelador que os exames tradicionais. uma linda nuvem que se estendia até um metro de distância da minha boca. Entretanto, uma vez, o líquido produziu uma Referências contração tão brusca dos meus dentes incisivos que eles so- Leidenfrost, Johann Gottlob, ‘‘On the Fixation of Water in aquela tinha sido minha última demonstração. O efeito Leidenfrost pode ser responsável por outro tipo Gottfried, B. S., C. J. Lee, and K. J. Bell, ‘‘The Leidenfrost de feito, o de “andar sobre brasas”. De vez em quando, a mí- Phenomenon: Film Boiling of Liquid Droplets on a Flat Pladia relata, com muito alarde, casos de indivíduos que andam te’’, International Journal of Heat and Mass Transfer , Vol. descalços sobre carvões em brasa, às vezes afirmando que 9, 1167-1187 (1966). o fato de não se queimarem é uma prova de que “a mente é mais forte que a matéria”. Na verdade, o que os protege é Hall, R. S., S. J. Board, A. J. Clare, R. B. Duffey, T. S. Playle, um fenômeno físico. Particularmente importante é o fato de and D. H. Poole, ‘‘Inverse Leidenfrost Phenomenon’’, Natuque, embora a superfície dos pedaços de carvão esteja a uma re, Vol. 224, 266-267 (1969). temperatura muito elevada, a quantidade de energia envol- Walker, Jearl, ‘‘The Amateur Scientist’’, Scientific American, vida é surpreendentemente pequena. Se a pessoa caminha Vol. 237, 126-131, 140 (August 1977). com um passo relativamente apressado, a duração da cada Curzon, F. L., ‘‘The Leidenfrost Phenomenon’’, American pisada é tão curta que o pé recebe pouca energia dos pedaços Journal of Physics, Vol. 46, 825-828 (1978). de carvão. Naturalmente, andar devagar pode ser um convite para uma queimadura, pois o contato mais longo permite Leikind, Bernard J., and William J. McCarthy, ‘‘An Investique o calor proveniente do interior do carvão tenha tempo gation of Firewalking’’, Skeptical Inquirer , Vol. 10, No. 1, 23-34 (Fall 1985). de chegar ao pé. Se os pés estão molhados no início da caminhada, isso Bent, Henry A., ‘‘Droplet on a Hot Metal Spoon’’, American pode ajudar, graças ao efeito Leidenfrost. Para molhar os Journal of Physics, Vol. 54, 967 (1986). pés, a pessoa pode pisar em grama úmida antes de chegar às brasas. Outra possibilidade é que os pés estejam suados por Leikind, B. J., and W. J. McCarthy, ‘‘Firewalking’’, Expe, Vol. 44, 310-315 (1988). causa do calor das brasas, ou mesmo graças à emoção do rientia momento. Quando a pessoa começa a pisar nas brasas, parte Thimbleby, Harold, ‘‘The Leidenfrost Phenomenon’’, Phydo calor das brasas é usada para vaporizar o líquido, o que sics Education, Vol. 24, 300-303 (1989). deixa pouca energia para queimar os pés. Além disso, pode Taylor, John R., ‘‘Firewalking: A Lesson in Physics’’, The haver pontos de contato onde a ebulição em filme protege a Physics Teacher , Vol. 27, 166-168 (March 1989). sola do pé. Andei sobre brasas em cinco ocasiões. Nas quatro primei- Zhang, S., and G. Gogos, ‘‘Film Evaporation of a Spherical ras, eu sentia tanto medo que meus pés estavam molhados de Droplet over a Hot Surface: Fluid Mechanics and Heat/Mass suor. Na quinta vez, porém, já me sentia tão seguro que meus Transfer Analysis’’, Journal of Fluid Mechanics, Vol. 222, pés estavam secos e sofri queimaduras extensas e extrema- 543-563 (1991). mente dolorosas. Meus pés levaram semanas para sarar. Agrawal, D. C., and V. J. Menon, ‘‘Boiling and the LeidenMeu fracasso pode ter sido causado pela falta de uma ca- frost Effect in a Gravity-free Zone: A Speculation’’, Physics mada de vapor entre meus pés e as brasas, mas eu também Education, Vol. 29, 39-42 (1994).

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Fasores Apoio ao Capítulo 16, Volume 2, de Fundamentos de Física, Nona Edição Jearl Walker Vamos discutir o uso de fasores, definidos na Seção 16-11,

Uma forma de representar a oscilação da corda no ponto

com mais detalhes e novos exemplos, primeiro com uma onda

de observação é usar um diagrama fasorial. Em um diagrama

e depois com duas ondas. Em seguida, vamos propor alguns problemas (cujas respostas aparecem no final).

desse tipo, um fasor é um vetor que gira em torno da origem de um sistema formado por dois eixos mutuamente perpendiculares, com a cauda na origem (Fig. 1).

Uma onda Suponha que uma onda dada pela função y( x ,t )  (2,00 mm) sen(300 x − 700t )

(1)

esteja se propagando em uma corda. Essa função nos diz que a onda se propaga no sentido positivo do eixo x (que é a direção da corda), com a corda oscilando paralelamente ao eixo y (que é uma direção perpendicular à corda). Na função, a posição x está em metros e o tempo t está em segundos. Vamos calcular o deslocamento da corda em x  0, que Fig. 1

é uma posição na qual a Equação 1 fica mais simples, porque o termo 300 x se anula. Nesse ponto, o deslocamento da corda é dado por y(0, t )  (2,00 mm) sen(−700t).

(2)

No instante t  0, o deslocamento é y(0, 0)  (2,00 mm) sen[−700(0)]  0 No instante t  2,25 ms, o deslocamento é y(0, 2,25 ms)  (2,00 mm) sen[−700(2,25 × 10 −3)]  −2,00 mm.

(Para refazer as contas na sua calculadora, não se esqueça de colocar a calculadora no modo de radianos.) No instante t  4,50 ms, o deslocamento é

Os eixos não são os eixos x e y de um sistema de coordenadas convencional; vamos chamá-los simplesmente de eixo horizontal e eixo vertical. O comprimento do vetor representa a amplitude da onda (2,00 mm nas Equações 1 e 2). A veloci-

dade angular do vetor é a frequência angular  da onda (700 rad/s no caso que estamos discutindo). O sentido de rotação é sentido horário. Enquanto o fasor (o vetor) gira em torno da origem do diagrama fasorial, sua projeção no eixo vertical, em qualquer instante, corresponde ao deslocamento da onda nesse instante

em nosso ponto de observação. (A expressão “projeção no eixo vertical” significa a componente do vetor em relação ao eixo vertical, como mostra a Fig. 2.)

y(0, 4,50 ms)  (2,00 mm) sen[−700(4,50 × 10 −3)]  1,7 × 10−2 mm

0. Dessa forma, podemos montar uma tabela do deslocamento em nosso ponto de observação em função do tempo: Tempo (ms) 0 2,25 4,50 6,75 9,00



Deslocamento (mm) 0 −2,00 0 +2,00 0

Fig. 2

Já vimos que, no ponto x  0, o deslocamento da onda da Equação 1 é 0 no instante t  0, −2,00 mm no instante t  2,25 ms e 0, novamente, no instante t  4,50 ms. Podemos representar esses resultados através dos fasores da Fig. 3.


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o que significa que o deslocamento da corda no ponto de observação é 1,00 mm. A vantagem de usar um fasor para representar uma onda é que essa representação permite investigar a variação da amplitude da onda com o tempo em um certo ponto de observação. Entretanto, quando se trata de uma única onda, a vantagem é pequena. Vamos agora examinar uma vantagem maior dos fasores: quando precisamos combinar duas (ou mais) ondas de diferentes amplitudes, o uso de fasores pode poupar muito trabalho.

Duas ondas Suponha que temos agora duas ondas se propagando na mesma corda. Uma das ondas é dada pela Equação 1 (vamos usar

um índice inferior para distingui-la da segunda onda): y1 ( x , t )  (2,00 mm) sen(300 x − 700t ) A outra onda é dada por

(3)

y2( x , t )  (1,00 mm) sen(300 x − 700t +  /2 rad).

Fig. 3

No instante t  0, o fasor aponta para a direita e não possui uma projeção (ou seja, uma componente) em relação ao eixo vertical (Fig. 3a). Assim, esse arranjo corresponde a um deslocamento 0 da corda. No instante t 2,25 ms, o fasor aponta para baixo e sua projeção no eixo vertical é igual ao módulo do fasor, 2,00 mm (Fig. 3b). Esse arranjo corresponde a um deslocamento da corda de −2,00 mm. No instante t  4,50 ms, o fasor aponta para a esquerda e não possui uma 

projeção em relação ao eixo vertical, o que corresponde a um deslocamento 0 da corda (Fig. 3c).

O deslocamento da corda no ponto de observação é sempre dado pela projeção do fasor no eixo vertical do diagrama fasorial, que varia de acordo com o ângulo de rotação do fasor. Podemos imobilizar mentalmente o fasor em um instante qualquer e calcular qual é o deslocamento y da corda nesse

instante. Para isso, podemos traçar a projeção ou, uma vez conhecido o ângulo entre o fasor e o eixo horizontal ou vertical, calcular o deslocamento usando a equação y  (módulo do fasor)

× sen (ângulo com o eixo

horizontal) ou a equação y  (módulo do fasor) × cos (ângulo com o eixo vertical). Assim, por exemplo, no instante t  8,22 ms, o fasor faz um ângulo de aproximadamente 30o com o eixo horizontal do diagrama fasorial. Nesse instante, o deslocamento é aproximadamente y  (2,00 mm) sen 30o  1,00 mm,

(4) As duas ondas estão se propagando no sentido positivo do eixo x e têm o mesmo número de onda (300 m−1) e a mesma frequência angular (700 rad/s). Entretanto, possuem amplitudes diferentes (2,00 mm, no caso da onda 1, e 1,00 mm, no caso da onda 2). Além disso, não estão em fase, já que a constante de fase da onda 1 é 0 e a constante de fase da onda 2 é  /2. Se pudéssemos ver as duas ondas passarem pelo nosso ponto de observação (que continua a ser o ponto x  0), notaría-

mos que, por causa da diferença de fase, as ondas passariam por um pico (ponto de máximo deslocamento) em instantes diferentes: a onda 1 passaria por um pico antes da onda 2. Entretanto, não podemos ver as ondas separadamente; o que vemos é a onda que resulta da interferência das duas ondas. Estamos interessados em obter uma equação que represen-

te a onda resultante para calcular a variação com o tempo do deslocamento da corda. Um ponto importante é o seguinte: Como as ondas têm amplitudes diferentes, não podemos usar as identidades trigonométricas simples da Seção 16-10 para obter o resultado relativamente simples da Equação 16-51.

Resumindo, a tentativa de combinar as duas ondas para obter a onda resultante leva a um beco sem saída. Entretanto, os fasores podem ser a salvação. Para começar, desenhamos um fasor para cada onda no mesmo diagrama fasorial. Em seguida, somamos vetorialmente os fasores para obter um fasor resultante. Finalmente, usamos o fasor resultante para escrever a equação da onda resultante e calcular a variação com o tempo do deslocamento da corda. Como desenhar os dois fasores

Os fasores que representam as duas ondas giram em torno da origem do diagrama fasorial com a mesma velocidade angular, já que as duas ondas possuem a mesma frequência angular (  700 rad/s). Por outro lado, os módulos dos fasores são

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diferentes, já que as ondas têm amplitudes diferentes: o fasor 1 (que corresponde à onda 1) tem um comprimento de 2,00 mm e o fasor 2 (que corresponde à onda 2) tem um comprimento de 1,00 mm. Os fasores também têm orientações diferentes, uma vez que a onda 2 está defasada de  /2 em relação à onda 1. Isso significa que o fasor 2 faz um ângulo de  /2 (ou 90o) com o fasor 1. Entretanto, os fasores estão orientados como na Fig. 4a ou como na Fig. 4b?

Fig. 4

isso acontece apenas quando a diferença de fase entre os dois fasores é  /2.) O comprimento da hipotenusa, [(2,00 mm)2 + (1,00 mm)2]1/2  2,24 mm, é a amplitude da onda resultante. O ângulo entre a hipotenusa e o fasor horizontal 1,   tan-1 [(1,00 mm)/(2,00 mm)]  0,464 rad,

é a constante de fase da onda resultante em relação à onda 1 (Fig. 6).

Fig. 6

O fasor 2 é perpendicular ao fasor 1 nas duas figuras. Para responder, basta lembrar que a onda 1 passa por um pico antes da onda 2. Quando uma onda passa por um pico, o fasor correspondente está alinhado com o eixo vertical do diagrama fasorial. Assim, o fasor 1 deve ser alinhado com o eixo vertical antes do fasor 2, o que significa que a representação correta é a da Fig. 4 a.

Calculadora científica: A soma é executada entrando na calculadora com [20] + [1 /2] na qual os vetores são indicados por colchetes e a calculadora deve estar no modo de radianos. (Nas calculadoras TI-89 e TI-92, é preciso digitar uma vírgula entre o módulo

Como somar os dois fasores

Podemos agora somar vetorialmente os fasores 1 e 2 para obter o fasor resultante e, a partir do fasor resultante, a onda resultante. Embora seja possível somar os dois fasores em qualquer instante, vamos somá-los no instante t 0 para que 

o fasor 1 não possua uma componente em relação ao eixo vertical (Fig. 5a).

e o símbolo de ângulo; em outras calculadoras, é preciso substituir  /2 por 1,571.) Na maioria das calculadoras, a resposta aparece na forma [2,240,464] que significa que o módulo e o ângulo do fasor resultante são, respectivamente, 2,24 mm e 0,464 rad. Assim, a onda resultante tem uma amplitude de 2,24 mm e uma constante

de fase de 0,464 rad.

Fig. 5 Para realizar a soma, podemos usar as técnicas do Capítulo

3 ou uma calculadora científica. Técnicas do Capítulo 3: Deslocamos o fasor 2 até que sua cauda coincida com a ponta do fasor 1 e desenhamos um fasor entre a origem e a ponta do fasor 2 (Fig. 5 b). No caso que estamos analisando, os três fasores formam um triângulo retângulo. ( Atenção:

Para somar os fasores em um instante diferente de t  0, usaríamos um arranjo como o da Fig. 5.b com o triângulo em outra orientação em relação aos eixos. Os valores do módulo e do ângulo do fasor resultante em relação à onda 1, porém, seriam os mesmos. Como o fasor resultante liga a origem à ponta do segundo fasor, ele gira em torno da origem com a mesma velocidade angular que os fasores 1 e 2. Assim, a onda resultante tem a mesma frequência angular (  700 rad/s)

que as ondas 1 e 2. A onda resultante pode ser escrita na forma y( x , t )  (2,24 mm) sen(300 x − 700t + 0,464 rad).

Quando a onda resultante passa pelo nosso ponto de observação, o deslocamento da corda varia senoidalmente com uma amplitude de 2,24 mm. Como a constante de fase de


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0,464 rad da onda resultante está entre as constantes de 2. Repita o Problema 1 para a mesma onda 1 e uma onda 2 fase de 0 e  /2 das ondas 1 e 2, a onda resultante passa por dada por um pico depois da onda 1 e antes da onda 2. Se você quer y ( x , t )  (1,00 mm) sen(300 x − 700t + 3 /4 rad). 2 ficar com dor de cabeça, tente resolver esse problema sem 3. (Agora vamos a um desafio de verdade.) Três ondas se usar fasores. propagam na mesma corda: Agora É a Sua Vez y1( x , t )  (2,00 mm) sen(300 x − 700t ), (As respostas estão no final do texto) y2( x , t )  (1,00 mm) sen(300 x − 700t −  /2 rad), 1. A onda 1 é y3( x , t )  (3,00 mm) sen(300 x − 700t + 2 /3 rad). y1( x , t )  (2,00 mm) sen(300 x − 700t ) e a onda 2 é y2( x , t )  (1,00 mm) sen(300 x − 700t −  /2 rad).

(Note que a constante de fase da onda 2 tem um valor negativo.) (a) Desenhe o diagrama fasorial no instante t  0 e determine o fasor resultante. Quais são (b) a amplitude e (c) a constante de fase da onda resultante?

(a) Desenhe o diagrama fasorial no instante t 0 e determine 

o fasor resultante. Quais são (b) a amplitude e (c) a constante de fase da onda resultante?

Respostas 1. (b) 2,24 mm; (c) −0,464 rad (ou −26,6o) 2. (b) 1,47 mm; (c) +0,501 rad (ou +28,7o) 3. (b) 1,67 mm; (c) +1,27 rad (ou +72,7o)

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Marcas de Derrapagem Jearl Walker Um dos exemplos da Seção 6-2 de Fundamentos da Física, Nona Edição, se refere ao recorde de marcas de derrapagem em uma via pública, estabelecido em 1960 pelo motorista de

Quando passou a segunda vez pela milha, estava se movendo a aproximadamente 870 km/h. Para reduzir a velocidade, lançou um paraquedas, mas a um Jaguar na rodovia M1, na Inglaterra, que estava a mais de corda arrebentou com o esforço; o paraquedas de reserva 210 km/h quando as rodas foram travadas e o carro começou também falhou. Breedlove recorreu aos freios, afundando o a derrapar. A velocidade do Jaguar era excessiva, é claro, mas pedal até o fim, mas eles só serviram para deixar marcas de eu não me surpreenderia se descobrisse que velocidades ainda derrapagem de quase 10 km de comprimento antes de queimaiores são atingidas rotineiramente nas autobahns alemãs, marem. onde alguns motoristas se mostram dispostos a estabelecer O veículo estava a cerca de 800 km/h quando passou entre um novo recorde de velocidade em terra. duas filas de postes telefônicos, deixando de colidir com eles As marcas de derrapagem do Jaguar foram impressionan- por uma questão de centímetros. Finalmente, parou após sutes, mas não se comparam às marcas deixadas por Craig Bre- bir em um monte de terra e cair, a 260 km/h, em um lago de edlove, em outubro de 1964, no deserto de sal de Bonneville, salmoura com 6 m de profundidade. Como Breedlove estava no estado americano de Utah. Para tentar derrubar o recorde preso pelo cinto de segurança, quase se afogou no carro subterrestre e romper a “barreira” das 500 milhas por hora (805 merso. (Perigoso, sim, mas, pensando bem, menos do que em km/h), Breedlove conduziu seu Spirit of America, movido a uma autobahn.) As duas passagens de Breedlove pela milha foguete, por uma milha medida, primeiro em um sentido e quebraram o recorde de velocidade: a velocidade média atindepois no sentido oposto, para eliminar a influência do vento. gida foi 526,277 milhas por hora (846,961 km/h).


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Tráfego na Hora do Rush Um problema aplicado envolvendo velocidade e aceleração Jearl Walker Os sinais de trânsito de uma pequena cidade em geral não pre-

cisam estar sincronizados. O tráfego pode ser desordenado, mas as filas que se formam nos sinais vermelhos são pequenas. Nas grandes cidades, por outro lado, especialmente na hora do rush, o tráfego deve ser bem organizado, caso contrário as filas crescem até bloquear os cruzamentos, produzindo um grande engarrafamento. Como, em casos extremos,

apenas os carros que estão na periferia do congestionamento podem se mover, podem ser necessárias várias horas para que

os carros no centro da cidade sejam liberados. Suponha que você seja encarregado de planejar o sistema de sinais de trânsito de uma avenida de mão única, com várias

pistas, que apresenta um intenso movimento na hora do rush. Os sinais devem permanecer verdes durante 50 s, amarelos durante 5 s e vermelhos durante 25 s (esses tempos são valores típicos para vias urbanas de grande movimento). Para facilitar o movimento dos carros, você pode se sentir tentado a aumentar a duração do sinal verde ou diminuir a duração do sinal vermelho. Entretanto, não pode se esquecer de que o tráfego nas ruas transversais não deve ser interrompido por muito tempo, caso contrário serão formadas longas filas. Como você deve programar o sincronismo dos sinais? Se todos os sinais ficarem verdes ao mesmo tempo, os carros só poderão andar durante 50 s. Cada vez que os sinais abrem, pelotões de carros avançam na avenida até que todos os sinais

fiquem vermelhos. Para maximizar a distância percorrida, os motoristas devem acelerar ao máximo. Grandes pelotões de carro se movendo, digamos, a 100 km/h em uma única via criam um cenário de “fórmula um”, o que, obviamente, é uma

situação indesejável, em se tratando de pilotos amadores. Um sincronismo melhor e mais seguro é aquele no qual a abertura dos sinais é escalonada de tal forma que o sinal só fica verde em um cruzamento quando os primeiros carros de um pelotão estão se aproximando. (A luz verde deve aparecer um pouco antes da chegada dos carros, para que não reduzam a marcha desnecessariamente.) Esse tipo de arranjo desencoraja os motoristas afoitos, já que, se acelerarem demais, terão

de parar em um sinal que ainda não abriu. A Fig. 1 mostra uma parte da avenida a ser controlada. Suponha que os carros da frente de um pelotão acabaram de chegar ao cruzamento 2 e que o sinal abriu quando estavam a uma distância d do cruzamento.

Fig. 1 A

avenida de mão única cujos sinais devem ser programa-

dos.

Os carros continuam a se mover a uma velocidade vP (o limite de velocidade) até chegarem ao cruzamento 3, no qual o sinal fixa verde quando os primeiros carros do pelotão estão a uma distância d . Os cruzamentos estão separados por uma distância D23. Questão 1: Qual deve ser o tempo de retardo do sinal verde

do cruzamento 3 em relação ao sinal verde do cruzamento 2 para que o pelotão se mova com velocidade constante? (Nesta pergunta e nas seguintes, apresente a resposta em termos dos símbolos dados.) A situação (e a resposta) muda se o pelotão teve que parar em um sinal vermelho no cruzamento anterior. Na Fig. 1, por

exemplo, o pelotão está parado no cruzamento 1. Quando o sinal abre, os primeiros carros do pelotão precisam de um determinado tempo t R para reagir à mudança e de um tempo adicional para atingir a velocidade vP. Durante a aceleração, os carros da frente do pelotão percorrem uma distância menor do que se estivessem à velocidade vP. Questão 2: Se a distância entre os cruzamentos 1 e 2 é D12 e o sinal do cruzamento 2 deve ficar verde quando os carros da frente do pelotão estão a uma distância d do cru-

zamento, quanto tempo depois que o sinal do cruzamento 1 abre, o sinal do cruzamento 2 deve abrir?

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Mesmo com um sistema de sinais que abrem sequencialmente,

Questão 4: Como se pode obter, a partir do gráfico, (a) a velocidade vP e (b) a velocidade vS ? (c) Qual é a duração da fase de aceleração?

o trânsito pode engarrafar. O problema está no fato de que, quando um pelotão para em um sinal vermelho e o sinal fica verde, os carros não podem acelerar todos ao mesmo tempo. Em vez disso, uma “onda de movimento” se propaga em di- Um engarrafamento pode acontecer, mesmo que o sistema reção à parte traseira do pelotão com uma velocidade vS . Os de sinais de trânsito tenha sido bem planejado. Uma vez fimotoristas começam a reagir apenas quando a onda chega até quei retido em um engarrafamento quando uma nevasca súeles. Os motoristas da parte de trás do pelotão também têm bita atingiu a cidade de Cleveland na hora do rush da tarde. uma distância maior a percorrer até o cruzamento seguinte. Como a rua em que eu estava ficou escorregadia, os carros da parte da frente do pelotão reduziram a velocidade. A velociQuestão 3: Suponha que um motorista se encontra a uma dade das ondas de movimento também diminuiu. Em menos distância d 1 da frente do pelotão que está parado no cruza- de 20 minutos, a fila de carros abandonados da parte de trás mento 1 e que a duração do sinal verde do cruzamento 2 é dos pelotões atingiu os cruzamentos anteriores, bloqueando t V 2. Se o sinal do cruzamento 2 fecha quando o motorista as ruas secundárias. Em três quilômetros da minha rua e em está a uma distância d do cruzamento (e consegue passar cinco ruas paralelas, o trânsito ficou praticamente paralisado. no amarelo), qual é o retardo do sinal verde do cruzamento Só consegui avançar porque os carros que estavam na parte 2 em relação ao sinal verde do cruzamento 1? dianteira do congestionamento escaparam gradualmente por vias laterais. Enquanto deixavam a via principal, uma onda Todos esses pontos aparecem na Fig. 2, que mostra o mapa dos

de movimento progredia preguiçosamente ao longo do engar-

cruzamentos do lado esquerdo e um gráfico do progresso do pelotão (com os ciclos dos sinais de trânsito) do lado direito. Um trecho d 1 do pelotão, que estava inicialmente parado no cruzamento 1, consegue passar por todos os sinais, sem parar. Os períodos iniciais de aceleração estão representados por linhas curvas, com os carros da parte de trás do pelotão

rafamento, permitindo que eu me adiantasse alguns poucos carros de cada vez. O problema se agravou quando a neve ficou mais funda e carros atolados começaram a bloquear as pistas. Embora o percurso que eu pretendia fazer levasse normalmente 5 minutos, naquele dia fatídico levei mais de 2 horas para chegar ao destino.

levando mais tempo para iniciar a aceleração. O sinal de cada cruzamento fica verde momentos antes da chegada dos carros

Respostas das questões: 1. t  D23 / vP da frente do pelotão. A figura também mostra que nem todos os carros do pe- 2. t  t R  vP /2a  ( D12 − d )/ vP lotão conseguem passar pelo cruzamento 1 antes que o sinal 3. t  t R  vP /2a  d 1 / vS − t V 2  ( D12 − d  d 1)/ vP feche. Se isso acontece várias vezes em sequência, a fila de 4. (a) vP é a inclinação da parte retilínea de x (t ). (b) vS é a incarros “abandonados” tende a crescer, chegando talvez ao clinação da parte inicial da curva de x (t ). (c) vP / a. cruzamento anterior, caso em que pode bloquear o trânsito da rua secundária, causando um engarrafamento.

Fig. 2 Representação gráfica do movimento de um pelotão de carros que estavam inicialmente parados no cruzamento 1. As barras coloridas mostram o tempo que os sinais permanecem verdes, amarelos e vermelhos.

Ensaios de Jearl Walker

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