1. EQUI EQUILIBR LIBRIO IO.............. ............................. .............................. ............................. ............................. ............................. ............................. ............................... ................ 3 1.1 Ecuaciones Ecuac iones bsicas b sicas de e!ui"ib#io e!ui"i b#io ............. ............................ .............................. .......................................... ........................... 3 1.$ Ecuaciones Ecuaci ones a"te#nas a" te#nas de e!ui"ib#io ......... .................... ..................... .................... .................... .................... .................. ............. ..... 4 $. ESTABILIDAD ESTABILI DAD Y DETERMINACI DETERM INACI%N %N E&TERNAS E&TER NAS .......... .................... .................... .................... .................... ............... ..... 4 $.1 Condiciones Condicione s de e!ui"ib#io ' dete#(inaci)n dete #(inaci)n en est#uctu#as est# uctu#as *"anas *"an as ... ... .5 $.$ Estabi"idad Est abi"idad ' dete#(inaci)n dete#(in aci)n inte#na inte #na ......... .................... ..................... .................... .................... .................. ............. ....... 5 2.3 Arma!ra"............. ............................ ............................. ............................. .............................. ............................. ............................. ....................... ........ 6 Estabi"ida d ' dete#(inaci)n Estabi"idad dete#(i naci)n tota" tota " en a#(adu#as a#(adu# as .......... .................... .................... .................... .................. ........ 7 2.# Mar$%" & '(r)*$%"............... .............................. ............................. ............................. ............................. ................................... ..................... 8 $.+ Siste(as est#uctu#a"es !ue co(binan e"e(entos ti*o ce#c,a con e"e(entos ti*o -ia en uniones a#ticu"adas a#ticu"adas.. ............... ............................. .......................................... ............................ 10 3. GRADOS DE LIBERTAD............. ............................ ............................. ............................. .............................. .................................... ..................... 12 #. A+LICACIÓN A+LICACIÓ N DE LAS ECUACIONES ECUACIO NES DE EQUILIBRI E QUILIBRIO O............... .................................. ...................1 2 BIBLIOGRAFIA............. ........................... ............................. .............................. ............................. ............................. .............................. .............................. ............... 14
*. $
OBJETIVOS
E" *#esente t#aba/o es con e" ni(o de tene# un conoci(iento (s a(*"io con e" te(a de e!ui"ib#o dete#(inaci)n ' #ados de "ibe#tad de una est#uctu#a cua"!uie#a !ue sea su natu#a"e0a. Ade( de(s s dete dete##(ina (ina## su co(* co(*o# o#ta ta(i (ien ento to en #e"ac e"aci) i)n n a di2e di2e##ente entess as*ectos de "a -ida dia#ia.
*. +
INTRODUCCION
De "a esttica debe #eco#da#se !ue una est#uctu#a o uno de sus e"e(entos est en e!ui"ib#io cuando se (antiene un ba"ance de 2ue#0as ' (o(entos. En ene#a" esto #e!uie#e !ue se satis2aan "as ecuaciones de e!ui"ib#io de "as 2ue#0as ' de "os (o(entos a "o "a#o de t#es e/es inde*endientes a sabe# c)(o "o son3
No obstante "as *a#tes *#inci*a"es !ue so*o#tan ca#a en "a (a'o#4a de "as est#uctu#as se encuent#an en un so"o *"ano ' co(o "as ca#as ta(bi5n son co*"ana#ias. "os #e!uisitos ante#io#es *a#a e" e!ui"ib#io e !ui"ib#io se #educen a
*. 6
EQUILIBRIO, INDETERMINACIÓN Y GRADOS DE LIBERTAD
1. EQUILIBRIO Deci( Deci(os os !ue !ue un cue#* cue#*o o se encu encuen ent# t#a a en e!ui" e!ui"ib ib#i #io o est estti tico co cuan cuando do *e#(anece en estado de #e*oso ante "a acci)n de unas 2ue#0as e7te#nas. E" e!ui"ib#io esttico se a*"ica a e" cue#*o en s4 co(o a cada una de "as *a#tes. Deci(o Deci(oss !ue un cue#*o cue#*o se encuent encuent#a #a en e!ui"i e!ui"ib#i b#io o din(i din(ico co cuando cuando #es*onde con un (o-i(iento o -ib#aci)n 8ace"e#aci)n9 cont#o"ada de sus *a#tes 8de2o#(aci)n9 (as no de su so*o#te ante "a acci)n de "as ca#as ene#adas *o# sis(o -iento (oto#es ' en ene#a" a!ue""as e7citaciones din(icas *#oducidas *o# "a ca#a -i-a. 1.1 Ecuaciones bsicas de e!ui"ib#io Las ecuaciones !ue desc#iben e" e!ui"ib#io esttico son *"anteadas en "a *#i(e#a "e' de Ne:ton ' cont#o"an "os (o-i(ientos de" cue#*o en t#as"aci)n ' #otaci)n. '
Dos ecuaci ecuacione oness -ecto# -ecto#ia" ia"es es !ue se con-ie con-ie#ten #ten en seis seis ecuaci ecuacione oness esca"a#es t#es de t#as"aci)n ' t#es de #otaci)n. estas t#es co##es*onden co##es*onden a t#es t#es *osib"es 2o# 2o#(as de des*" des*"a0a a0a(i (ien ento to es deci deci# # t#es t#es #ado #adoss de "ibe# "ibe#ta tad d de" de" cue#*o cue#*o ' co##e co##es*o s*onden nden a t#es t#es #ados #ados de "ibe#tad de #otaci)n. En tota" #e*#esentan seis 2o#(as de (o-e#se seis #ados de "ibe#tad *a#a todo cue#*o en e" es*acio. ;a#a est# est#uc uctu tu#as #as *"an *"anas as basta basta con con *"an *"ante tea# a# t#es t#es ecuac ecuacio iones nes !ue !ue #e*#esenten "os t#es #ados de "ibe#tad de" cue#*o dos des*"a0a(ientos ' una #otaci)n3
*. <
1.$ Ecuaciones a"te#nas de e!ui"ib#io En e" *"ano se *uede -e#i2ica# e" e!ui"ib#io *o# (edio de dos ecuaciones de (o(e (o(ent nto o ' una una de 2ue# 2ue#0a 0ass o *o# *o# (edi (edio o de = ecua ecuaci cion ones es de (o(ento3 a9 Una ecuaci)n de t#as"aci)n ' dos (o(entos3 sie(*#e ' cuando se cu(*"a !ue "os *untos a ' b no coincidan a(bos con e" e/e Y o en una "4nea *a#a"e"a a Y. Si co"oca(os a >a? ' >b? sob#e Y en ninuna de "as ecuaciones esta#4a(os in-o"uc#ando "as 2ue#0as *a#a"e"as o coincidentes con Y. Y. b9
T#es ecuaciones ecuacion es de (o(ento3 (o(en to3
.
;a#a !ue estas ecuaciones in-o"uc#en todas "as 2ue#0as "os *untos a b ' c no *ueden se# co"inea"es. ;a#a a*"ica# "as ecuaciones de e!ui"ib#io se debe const#ui# un dia#a(a de cue#*o "ib#e de "a est#uctu#a en e" cua" se #e*#esenten todas "as 2ue#0as e7te#nas a*"icadas a e""a. Las #eacciones en "os so*o#tes c#ecen o dec#ecen a (edida !ue "as ca#as -a#4an *e#o *a#a e" an"isis conside#a#e(os "os a*o'os #4idos e in2i in2ini nita ta(en (ente te #esi #esist stent entes. es. Cabe Cabe ac"a ac"a#a #a## !ue !ue "os "os a*o' a*o'os os *ued *ueden en se# se# e"sticos esto es a*o'os !ue se *ueden (ode"a# co(o #eso#tes cu'as #eac #eacci cion ones es son son *#o*o *#o*o##cion ciona" a"es es a "os "os des*" des*"a0 a0a(i a(ien ento toss o #ota #otaci cion ones es su2#idas. Cuando de2ini(os e" e!ui"ib#io (enciona(os dos condiciones una *a#a e" cue#*o en ene#a" !ue co##es*onde a" e!ui"ib#io e7te#no ' ot#a *a#a cada una de sus *a#tes !ue co##es*onde a" e!ui"ib#io inte#no sin tene# en cuenta "os a*o'os 8estabi"idad inte#na9. $. ESTABILIDAD ESTABILIDAD Y DETERMINACI%N E&TERNAS "a estabi"idad se "o#a si e" n@(e#o de #eacciones es iua" a" n@(e#o de ecuaciones de e!ui"ib#io inde*endientes !ue se *uedan *"antea# sie(*#e ' cuando "as #eacciones no sean concu##entes ni *a#a"e"as.
*.
Las Las ecua ecuaci cion ones es de e!ui e!ui"i "ib# b#io io inde inde*e *end ndie ient ntes es co# co##es*o es*ond nden en a "as "as ecua ecuaci cion ones es de e!ui e!ui"i "ib# b#io io ene# ene#a" a" (s (s "as "as ecua ecuaci cion ones es de cond condic ici) i)n n adic adicio iona na"" en "as "as unio unione ness de "as "as *a#t *a#tes es de "a est# est#uc uctu tu#a #a 8#)t 8#)tu" u"as as o a#ticu"aciones inte#nas9 *o# e/e(*"o3
Caso de #eacciones concu##entes
No #est#inen #est#inen "a #otaci)n #otaci)n ene#ada *o# 2ue#0as e7te#nas !ue no *asen e" *unto de concu##encia de "as #eacciones.
Caso de #eacciones *a#a"e"as
No #est#inen e" (o-i(iento *e#*endicu"a# a e""as. $.1 Condiciones de e!ui"ib#io ' dete#(inaci)n de te#(inaci)n en est#uctu#as *"anas Si #eacciones ecuaciones estticas (s ecuaciones de condici)n ,a' estabi"idad. Si #eacciones ecuaciones es inestab"e. Si #eac #eacci cion ones es F ecua ecuaci cion ones es es est estti tica ca(en (ente te inde indete te#( #(in inado ado o ,i*e ,i*e##est estti tico co ' su #ad #ado o de inde indete te##(ina (inaci ci)n )n est estti tica ca e7te e7te##na se dete#(ina *o#3 GI e7te#no #eacciones ecuaciones $.$ Estabi"idad ' dete#(inaci)n inte#na Una est#uctu#a es dete#(inada inte#na(ente si des*u5s de conoce# "as #eacciones se *ueden dete#(ina# sus 2ue#0as inte#nas *o# (edio de "as ecuaciones de e!ui"ib#io. Una Una est# est#uc uctu tu#a #a es esta estab" b"e e inte inte##na(e na(ent nte e si una una -e0 -e0 ana" ana"i0 i0ad ada a "a estabi"idad e7te#na e""a (antiene su 2o#(a ante "a a*"icaci)n a *"icaci)n de ca#as. La estab stabii"idad idad ' dete dete##(ina (inaci ci)n )n inte# nte#na na est estn condi ondiccionad onadas as a" cu(*"i(iento de "as ecuaciones de e!ui"ib#io de cada una de "as *a#tes de "a est#uctu#a. ;a#a ana"i0a# "as 2ue#0as inte#nas se usan dos (5todos3
E" (5todo de "as secciones ' e" (5todo de "os nudos.
*. H
En e" (5todo de "os nudos se a*"ican "as ecuaciones 8a#(adu#as *"anas9 a cada nudo en sucesi)n ' en e" (5todo de "as seccio secciones nes se a*"ica a*"ican n "as ecuaci ecuacione oness a cada cada una de "as *a#tes de "a est#uctu#a ' se obtienen "as 2ue#0as inte#nas en "os e"e(entos inte#ce*tados *o# una "4nea de co#te t#a0ada adecuada(ente.
2.3 Arma!ra"
Este ti*o de est#uctu#as est const#uido *o# uniones de a#ticu"aci)n donde cada uno de sus e"e(entos s)"o t#aba/a a ca#a a7ia". ;o# cada nudo se tienen dos ecuaciones estticas. Si n es e" n@(e#o de nudos ( es e" n@(e#o de (ie(b#os ' # es e" n@(e#o de #eacciones necesa#ias *a#a "a estabi"idad e7te#na tene(os3 N@(e#o de ecuaciones dis*onib"es3 $ 7 n N@(e# N@(e#o o de inc)nit inc)nitas as o 2ue#0as 2ue#0as a #eso" #eso"-e# -e# ( una 2ue#0a 2ue#0a *o# cada cada e"e(e e"e(ent nto o note note !ue !ue a!u4 a!u4 se *ued *ueden en inc" inc"ui ui## "as "as #eac #eacci cion ones es e7te e7te#n #nas as necesa#ias *a#a (antene# e" e!ui"ib#io. Entonces si3 2.n = m + r
"a est#uctu#a es esttica(ente dete#(inada inte#na(ente '
#e*#esenta# #e*#esenta#4a 4a "a ecuaci)n ecuaci)n !ue de2ine e" n@(e#o n@(e#o de de ba##as ba##as (4ni(as *a#a aseu#a# "a estabi"idad inte#na. Esta ecuaci)n es necesa#ia *e#o no su2iciente 'a !ue se debe -e#i2ica# ta(bi5n "a 2o#(aci)n de "a est#uctu#a en ene#a" *o# e/e(*"o a" ,ace# un co#te sie(*#e deben e7isti# ba##as de ta" (ane#a !ue ene#en 2ue#0as *e#*endicu"a#es ent#e s4 8caso de co#te ' a7ia"9 ' *osib"es *a#es de (o(ento #esistente.
m = 2.n–r
Si m > 2 n – r "a a#(ad a#(adu# u#a a es estt esttic ica(e a(ent nte e indet indete# e#(i (inad nada a inte#n inte#na(en a(ente te # s)"o inc"u' inc"u'e e a!ue""a a!ue""ass #eacc #eaccion iones es necesa# necesa#ias ias *a#a *a#a "a esta estabi bi"i "idad dad e7te e7te#n #na a 'a !ue !ue s)"o s)"o esta(o esta(oss ana" ana"i0 i0and ando o dete dete#( #(in inac aci) i)n n inte#na. E-m'%":
1.
*. 1
Dete#(inaci)n inte#na3 ( 1=
( J # $n
n
1= J = $ 7 Cu(*"e
#= $.
=.
K.
*. 11
E")a/**a & -)-rm*0a$*(0 )%)a -0 arma!ra"
Si(*"e(ente se a*"ica "a ecuaci)n3 ( $ n # donde # en este caso se conside#a e" n@(e#o de #eacciones #eacciones tota"es conside#adas. ;a#a e" e/e(*"o ante#io# tene(os3 (6
nK #K
6FK GI tota" es 6 K $
2.# Mar$%" & '(r)*$%"
;a#a e" an"isis de "a dete#(inaci)n ' estabi"idad inte#nas se usa e" (5todo de "as secciones. En este caso cada e"e(ento t#aba/a co(o e"e(ento ti*o -ia so(etido a t#es 2ue#0as inte#nas3 Co#te A7ia" ' Mo(ento. Se inicia *a#tiendo "a est#uctu#a en -a#ias *a#tes de ta" (ane#a !ue en cada co#te se so"ucionen "as 2ue#0as inte#nas de cada e"e(ento.
*. 1$
En e" caso de *)#ticos !ue 2o#(en ani""os ce##ados "os co#tes deben se# ta"es !ue a4s"en esos ani""os.
*. 1=
Est#uctu#a estab"e. An"isis e7te#no3 1$ #eacciones F = ecuaciones GI e7t H GI int 'a !ue a" co#ta# *o# a"uno de "os e"e(entos se ene#an = inc) inc)n nit itas as con con t#es t#es ecua ecuaci cion ones es estticas dis*onib"es *a#a "a *a#te de "a est#uctu#a ana"i0ada.
e7te#na(ente3 + #eacciones F =
GI e7t $
Estab"e e7te#na(ente Inte#na(ente3 inc)nitas 6 en cada ada co#te = *o# e"e(ento co#tado.
*. 1K
ecuaciones estticas = GI int = GIT +
$.+ Siste(as est#uctu#a"es !ue co(binan e"e(entos ti*o ce#c,a con e"e(entos ti*o -ia en uniones a#ticu"adas . ;a#a "a dete#(inaci)n inte#na se #eco(ienda se*a#a# "a est#uctu#a en sus *a#tes ,ace# e" dia#a(a de cue#*o "ib#e de cada una ' conta# inc)nitas ' ecuaciones dis*onib"es. Cada *a#te de "a est#uctu#a debe esta# en e!ui"ib#io. La dete#(inaci)n ' estabi"idad e7te#na se encuent#an *o# "os (5todos usados *a#a "as ot#as est#uctu#as.
*. 1+
En e" an"isis e7te#no tene(os3 = #eacc eaccio ione nes s = ecua ecuaci cion ones es est estti tica cas s ento entonc nces es es est estti tica ca(e (ent nte e dete# dete#(i (inad nado o ' esta estab" b"e. e. Note Note !ue !ue "a est#u est#uct ctu# u#a a no nece necesi sita ta de sus #eacc eacciiones ones *a#a a#a (ant antene# ene# su 2o# 2o#(a *o# *o# "o tant tanto o no se cuen cuenta tan n ecuaciones de condici)n. Inte#na(ente *a#tiendo en "as uniones3 N@(e# N@(e#o o de inc)n inc)nita itas3 s3 6. N@(e# N@(e#o o de ecuaci ecuacione ones3 s3 H= de "a estti esttica ca e7te#na6. Estab"e ' esttica(ente dete#(inado inte#na(ente. Si una de "as ba##as est so(etida so"a(ente a "as 2ue#0as de sus uniones 5sta ba##a t#aba/a co(o ce#c,a ' se e"i(inan dos inc)nitas *e#o ta(bi5n sus ecuaciones de e!ui"ib#io se #educen a una so"a en -e0 de t#es.
3. GRADOS DE LIBERTAD Se de2ine co(o #ados de "ibe#tad e" n@(e#o (4ni(o de *a#(et#os necesa#ios *a#a desc#ibi# de (ane#a @nica "a 2iu#a de2o#(ada de "a est# est#uc ucttu#a. u#a. Estos stos *a# *a#(e (et# t#os os co## o##es*o es*ond nden en a "as #otac otaciiones ones ' t#as"aciones "ib#es en cada uno de "os nudos de "a est#uctu#a.
;a#a ;a#a e" an"isis an"isis de est#uctu#as est#uctu#as *ode(os usa# dos (5todos (5todos !ue -a#4an de acue#do con "as inc)nitas a #eso"-e# en uno se encuent#an 2ue#0as ' en e" ot#o se encuent#an de2o#(aciones.
*. 16
En este este cu#s cu#so o so"o so"o ana" ana"i0 i0# #e( e(os os est# est#uc uctu tu#a #ass #etic eticu" u"a# a#es es dond donde e e"e(ento !ueda tota"(ente dete#(inado si conoce(os de2o e2o#(aci aciones ' #otaci aciones de sus e7t# 7t#e(o e(os 8(5todo de de2o#(aciones9 o "as 2ue#0as ' (o(entos de sus e7t#e(os 8(5todo "as 2ue#0as9.
un "as "as de
;a#a est#uctu#as esttica(ente dete#(inadas e" (5todo de "as 2ue#0as #esu"ta (s a*#o*iado 'a !ue "as 2ue#0as co(o inc)nitas !ueda#4an #esue esue"t "tas as a" a*"i a*"ica ca## "as "as ecua ecuaci cion ones es est estti tica cas. s. En e" caso caso de tene tene## est#uctu#as con #ados de ,i*e#estticidad a"tos #esu"ta (s -enta/oso usa# e" (5todo de "as de2o#(aciones debido a !ue se cuenta con (enos #ados de "ibe#tad "ib#es !ue n@(e#o de 2ue#0as *o# dete#(ina#. En estos casos e" #ado de indete#(inaci)n se (ide *o# e" n@(e#o de #ados de "ibe#tad "ib#es 8*osib"es 2o#(as de (o-e#se "a est#uctu#a en sus uniones9 ' se deno(ina indete#(inaci)n cine(tica de "a est#uctu#a. ;a#a un e"e(ento ti*o -ia sin ninuna #est#icci)n tend#4a(os 6 #ados de "ibe#tad "ib#es t#es en cada e7t#e(o3
Si "a -ia se "e co"ocan a*o'os de ta" (ane#a !ue !ueda esttica(ente dete#(inada ' estab"e e""a !ueda#4a con un #ado de indete#(inaci)n cine(tica de =. #. A+LICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO Dete#(inaci)n de #eacciones *o# *#o*o#ciones3
;a#a dete#(ina# "as #eacciones en -ias so(etidas a ca#as *untua"es *ode(os a*"ica# "a siuiente #e"a3 Sie(*#e "a #eacci)n de un "ado se# iua" a "a ca#a *untua" (u"ti*"icada *o# "a distancia de "a ca#a a" a*o'o cont#a#io di-idido "a "onitud de" e"e(ento.
*. 1<
;a#a dete#(ina# "as #eacciones debidas a (o(entos sie(*#e a*"ica(os !ue e" (o(ento e7te#no debe se# co(*ensado *o# un *a# de 2ue#0as en "os "os a*o' a*o'os os cu'a cu'a (an (anit itud ud es e" (o(e (o(ent nto o e7te# 7te#no no di-i di-idi dido do *o# *o# "a se*a# se*a#ac aci) i)n n ent# ent#e e "as "as 2ue#0 2ue#0as as ' su di#e di#ecc cci) i)n n es ta" ta" !ue !ue *#od *#odu0c u0ca a un (o(ent (o(ento o cont#a cont#a#io #io a" a*"ica a*"icado do e7te# e7te#na(e na(ente nte.. Estas dos #eacc #eaccion iones es cu(*"en con "a ecuaci)n de su(ato#ia de 2ue#0as -e#tica"es iua" a ce#o.
Estas dos #e"itas /unto con e" *#inci*io de su*e#*osici)n nos a'uda#n bastante en "a dete#(inaci)n de "as #eacciones en -ias si(*"e(ente a*o'adas. ;a#a e" an"isis de a#cos t#ia#ticu"ados con sus a*o'os a" (is(o ni-e" se #eco(ienda *a#ti# e" a#co *o# "a a#ticu"aci)n ' to(a# (o(entos de "as 2ue#0as 2ue#0as inte#nas inte#nas de "a a#ticu"ac a#ticu"aci)n i)n con #es*ec #es*ecto to a "os a*o'os. a*o'os. En este caso obtend#e(os obtend#e(os un siste(a de $ ecuaciones ecuaciones con $ inc)nitas inc)nitas.. Si "os a*o'os estn a di2e#entes ni-e"es se to(a e" a#co co(o un todo ' to(a (o(entos con #es*ecto a uno de "os a*o'os *o# e/e(*"o e" a*o'o A des*u5s *a#te e" a#co *o# "a a#ticu"aci)n ' to(a (o(entos de "a *a#te !ue inc"u'e e" a*o'o B con #es*ecto a "a a#ticu"aci)n ' !ueda un siste(a de dos ecuaciones con dos inc)nitas.
BIBLIOGRAFIA
Lib#o ANALISIS ESTRUCTURAL OCTAA EDICI%N R. C. IBBELER ,tt*s3es.:iPi*edia.o#:iPiG#adode"ibe#tad8inenie#C=ADa9
