TEORIA DE LA ELASTICIDAD
Estudiar esfuerzos debido a la deformación térmica
Determinar los esfuerzos producidos en un cuerpo cuando esté sometido a deformación térmica
-Dilatación y contracción:
Cuando ocurren cambios de temperatura los cuerpos se dilatan (Cuando un cuerpo se calienta, las partículas que lo forman se mueven más rápido, necesitan más espacio para desplazarse y por lo tanto, el tamaño del cuerpo aumenta; lo que provoca la dilatación del cuerpo.) o se contraen (Si el cuerpo pierde calor, sucede lo contrario: sus partículas se mueven más despacio, se enfría y disminuye su tamaño; se produce una contracción.) según que el cambio sea de aumento o disminución, a menos que existan restricciones impuestas por otros cuerpos. Cuando no existen restricciones el cambio de longitud por variación en la temperatura se expresa como:
δ =α.ΔT.L Formula en la cual:
Es la deformación por cambio de temperatura y se expresa en unidades de longitud (m, mm)
TEORIA DE LA ELASTICIDAD Δ
Es el cambio en la temperatura, se expresa en grados centígrados y siguiendo la convención
más aceptada se usara el + para un aumento de temperatura y el – para una disminución Es la longitud original del cuerpo expresada en m α
Es el coeficiente de dilatación térmica, propiedad de cada material el cual se expresa en
En la siguiente tabla se registran los valores de α para algunos materiales estructurales La deformación térmica unitaria,
=α.ΔT es igual en todas las direcciones, para los materiales
isotrópicos, tal como puede verse en la siguiente figura de manera que:
ε = ε = εz =α.ΔT
Cuando hay restricción a la deformación frente a cambios de temperatura se generan esfuerzos en el cuerpo, porque las fuerzas restrictivas hacen el mismo efecto que una carga capaz de generar una deformación elástica igual a deformación térmica. La restricción puede ser:
TEORIA DE LA ELASTICIDAD -Nula: No hay restricción y por lo tanto el cuerpo puede deformarse libremente sin que se generen esfuerzos. -Total: No puede haber deformación y por lo tanto la totalidad de las fuerzas restrictivas generan esfuerzos. -Parcial: El cuerpo interactúa con otros cuerpos que ponen límites a las deformaciones sin impedirlas totalmente. -Cambios de estado: Cuando un cuerpo, por acción del calor o del frío pasa de un estado a otro, decimos que ha cambiado de estado. En el caso del agua: cuando hace calor, el hielo se derrite y si calentamos agua líquida vemos que se evapora. El resto de las sustancias también puede cambiar de estado si se modifican las condiciones en que se encuentran. Los cambios pueden ser:
Progresivos: Si se producen suministrando calor a un cuerpo, como la fusión, la vaporización y la sublimación.
Regresivos: Si se realizan con desprendimiento de calor por el cuerpo, como la condensación, la solidificación y la sublimación regresiva.
En estado sólido. Las partículas están ordenadas, muy juntas, unidas, y no se desplazan (el hielo, el hierro, la madera, etc.).
En estado líquido. Las partículas están muy cerca unas de otras, pero se mueven con libertad y de forma desordenada (el agua, el aceite, etc.).
En estado gaseoso. Las partículas están muy separadas y se mueven deprisa ocupando mucho más espacio (el aire, el gas de un globo, etc.).
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Un esfuerzo térmico es un esfuerzo asociado al efecto indirecto de una dilatación térmica. Es decir, la diferente longitud que tendrá un elemento estructural a diferentes temperaturas (por efecto de la dilatación o contracción térmica), provoca que incrementos o decrementos de longitudes entre puntos de la estructura, dado que estos puntos están unidos a elementos estructurales el efecto de esta deformación debe ser asumido por los elementos en contacto el con elemento dilatado, por lo que se producirán fuerzas adicionales en esos elementos por el efecto térmico. Cuando ocurren cambios de temperatura los cuerpos se dilatan o se contraen según que el cambio sea de aumento o disminución, a menos que existan restricciones impuestas por otros cuerpos. Cuando no existen restricciones el cambio de longitud por variación en la temperatura se expresa como: T T L
Fórmula en la cual: T
:
es la deformación por cambio de temperatura y se expresa en unidades de longitud (m,
mm) T :
es el cambio en la temperatura; se expresa en grados centígrados, y siguiendo
la
convención más aceptada, se usará el signo + para un aumento de temperatura y el - para una disminución. es la longitud original del cuerpo, expresada en m :
es el coeficiente de dilatación térmica, propiedad de cada material, el cual se expresa en
∗°
En la Tabla 1 se registran los valores de
para algunos materiales estructurales.
TEORIA DE LA ELASTICIDAD La deformación térmica unitaria,
=α∗ΔT, es igual en todas las direcciones, para los
materiales isotrópicos, tal como se puede ver en la siguiente figura, de manera que:
Material
Coeficiente de dilatación térmica 6
10
Ladrillo
/ º C
9
Hormigón
11,2
Fundición
11,2
Acero
11,7
Latón
16,6
Bronce
18,9
Aluminio
23,4
En la Figura 2 se explica la equivalencia de la acción de las fuerzas restrictivas con una fuerza imaginaria equivalente capaz de producir una deformación elástica igual a la deformación térmica libre. La situación de una barra que no puede deformarse cuando ocurre un aumento de temperatura, es equivalente a la de una barra a la que se la deja deformarse libremente y una vez deformada se somete a una carga axial de compresión, la cual va a producir una deformación elástica con la que vuelve la barra a su longitud original.
TEORIA DE LA ELASTICIDAD Si no existiera la restricción en B, Figura 2(b), la barra podría deformarse libremente una cantidad igual a: T T L
La acción del apoyo en B, Figura 5.2(c), equivale a la de una fuerza de compresión F capaz de producir en la barra una deformación elástica deformación térmica no restringida, o sea:
F.L δ = A.E Y por lo tanto:
F∗L =α∗ΔT∗L A∗E
Siendo
el esfuerzo axial que se produce en la barra impedida de deformarse por efecto
de un cambio de temperatura:
σ = α.ΔT.L.E L σ =α.ΔT∗L
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Es bien conocido el hecho de que los cambios de temperatura provocan en los objetos dilataciones (alargamientos) o contracciones, de manera que la deformación lineal viene dada por la ecuación:
Donde α es el coeficiente de dilatación lineal, que se expresa en º C-1 , L es la longitud y ΔT es la variación de temperatura en º C. Por la ecuación de dimensiones de la fórmula anterior, se deduce que δ, T se expresa en las mismas unidades que la longitud. Si no se impide la deformación debida a la temperatura, como ocurre en los sistemas estáticamente determinados, no aparecerán esfuerzos en la estructura, pero en multitud de casos no es posible evitar que las deformaciones térmicas estén total o parcialmente impedidas. Como resultado de ello aparecen fuerzas internas que contrarrestan, también parcial o totalmente, estas deformaciones. Los esfuerzos originados por estas fuerzas internas se llaman . A continuación se indica el procedimiento general para determinar las fuerzas y los esfuerzos originados cuando se impide la deformación térmica. 1. Se considera a la estructura descargada de toda fuerza aplicada y sin ligaduras que impidan la libre deformación térmica. Representar en un esquema estas deformaciones, ahora ya posibles, exagerando sus magnitudes. 2. Se aplica ahora a la estructura las fuerzas necesarias (desconocidas) para que vuelva a las condiciones iniciales de restricción de movimientos. Representar estas fuerzas en el esquema anterior. 3. Las relaciones geométricas entre las deformaciones debidas a la temperatura y las debidas a las fuerzas aplicadas en el esquema proporcionan unas ecuaciones, que junto con las del equilibrio estático permiten determinar las fuerzas desconocidas. Los ejemplos siguientes ilustran la aplicación de este procedimiento en distintos casos.
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El cuerpo interactúa con otros cuerpos que ponen límites a las deformaciones sin impedirlas totalmente, por lo cual los esfuerzos no se pueden calcular directamente. Cuando un sistema estructural, conformado por elementos de diversas características mecánicas y bajo cualquier disposición geométrica, se somete a un cambio de temperatura, sus elementos se deforman, pero por la interacción de unos cuerpos con otros esas deformaciones ni son libres ni tienen restricción total. Más bien, los elementos logran posiciones de equilibrio inducidas por deformaciones forzadas. Es necesario analizar el problema como uno estáticamente indeterminado. Por regla general los pasos necesarios son:
Dibujar un esquema del sistema deformado, en la posición de equilibrio. Una orientación para este esquema la da el cálculo de deformaciones libres de los elementos del sistema (calculadas suponiendo que no existen los otros elementos); esto permite establecer rangos, definidos por los valores mayor y menor de las deformaciones libres, dentro los cuales se encuentra la posición de equilibrio.
Establecer la compatibilidad de deformaciones.
Utilizar las relaciones constitutivas (deformaciones por cabio de temperatura y Ley de Hooke) para definir las ecuaciones de deformación.
Congruente con el esquema del sistema deformado establecer las fuerzas que actúan sobre los elementos del sistema.
Encontrar las ecuaciones de equilibrio estático del sistema.
Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar las incógnitas del problema.
Así como la relación entre las tensiones y deformaciones se observa cotidianamente, también se aprecia en multitud de situaciones que los campos de temperatura y tensión/deformación están acoplados. Así pues, si se calienta un cuerpo ´este se deforma y a veces aparecen en él tensiones. Más aún, en ciertos materiales se observa que incluso una deformación el ‘astica produce cambios de temperatura (el llamado efecto Gough -
Joule). Este problema acoplado es en general muy complejo, pero si sólo se considera el
TEORIA DE LA ELASTICIDAD acoplamiento en un sentido (la temperatura produce deformaciones, pero viceversa) su formulación es sencilla. Además, en esta sección nos limitaremos a estudiar materiales elásticos isótropos Se comprueba experimentalmente que un cuerpo isótropo, homogéneo y libre de coacciones (Γu = Φ), cuando se calienta uniformemente se deforma sin que aparezcan tensiones. Esta deformación de origen puramente térmico es ´únicamente volumétrica y proporcional al incremento térmico y a un que indicamos con el símbolo α y con dimensiones de temperatura inversa. Llamando Ɛter a las deformaciones térmicas se cumple, por tanto
Ɛe =α∆T siendo ΔT el salto térmico respecto a una temperatura en la que no existen deformaciones térmicas. En general, para materiales no isótropos, se define un tensor α de dilatación térmica, con las mismas dimensiones que el coeficiente α tal que
Ɛe =∆T Admitiendo el principio de superposición, podemos formular una de la forma
V tr+α∆T Ɛ = Ɛec +Ɛe = 1+V E E La deformación tiene por tanto dos componentes: una mecánica y otra térmica. Esta relación, valida en cualquier sistema de coordenadas, tiene la siguiente expresión en componentes cartesianas:
Ɛ = σE VE (σ +σzz)+α∆T, γ = σG Ɛ = σE VE σzz +σ +α∆T, γz = σGz
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Ɛzz = σEzz VE (σ +σ)+α∆T, γz = σGz La relación de Hooke (3) se puede invertir para obtener las ecuaciones de Lamé con efecto de la temperatura. Para despejar la tensión de la ley de Hooke aplicamos el operador traza a ambos lados de la identidad (3) y obtenemos
V tr+α∆T tr trε = 1+V tr E E = 12V E tr +3α∆T Así pues, la traza de la tensión es
E θ 3αE ∆T tr = 12V 12V Sustituyendo este resultado en (3) obtenemos finalmente las ecuaciones de Lamé con efecto de la temperatura:
= 2με+λθβ∆T = C ∶ εβ∆T
Siendo β la constante
β=3αk
El tensor -βΔTI se conoce con el nombre de la tensión de origen térmico, así pues
σ = σec +σe es decir, que en un sólido elástico sometido a deformación y a cambio de temperatura la tensión tiene dos componentes, una mecánica, que es consecuencia de la deformación, y otra térmica, que puede ser no nula, aunque el cuerpo no se deforme. Nótese que un cuerpo que no se puede deformar libremente, si se somete a un salto térmico, desarrolla tensiones de origen térmico no nulas.
TEORIA DE LA ELASTICIDAD El problema termoelástico El problema termoelástico es idéntico al problema elástico ya definido anteriormente, donde la relación constitutiva ahora pasa a ser (7). En este caso, la ecuación del equilibrio de fuerzas en el interior del cuerpo se puede escribir como
= div +ƒ = div ec +div + ƒ = div ec div β∆T+ ƒ Operando la divergencia del término de origen térmico, se sigue que
= div ec grad β∆T+ ƒ = div ec + ƒ e siendo ƒter = ƒ - grad(βΔT). En el contorno, la ecuación de equilibrio también se puede
reescribir como
= = ec+e = ecβ∆T
que también se puede expresar de la siguiente manera:
ec=+β∆T = e Como conclusión, un problema termoelástico con un campo de temperatura conocido, se puede formular de manera idéntica a un problema elástico, ignorando las modificaciones en la ley constitutiva, pero reemplazando las fuerzas volumétricas y las de superficie por:
ƒ ← ƒ e , t ← te es decir, que las tensiones mecánicas se pueden obtener resolviendo
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divec +ƒ e = ec = e ec = ∶ ε y la solución completa
= ec +e = ec β∆T Como resultado del análisis anterior podemos demostrar la afirmación de la sección (1) que aseguraba que un sólido elástico, isótropo, homogéneo sometido a un salto térmico homogéneo no desarrolla tensiones de origen térmico si no está sujeto en su contorno, es decir, si Γu = Φ.
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La barra de acero A – 36 mostrada en la figura cabe justamente entre los dos soportes fijos cuando
T =60℉
. Si la temperatura se eleva a
térmico normal promedio desarrollado en la barra.
Solución.
T =120℉
, determine el esfuerzo
Diagrama de cuerpo libre
Compatibilidad
Diagrama de Cuerpo Libre: .
+↑∑F =0;
F = F B = F
El problema es estáticamente indeterminado ya que esta fuerza no puede ser determinada por equilibrio. Compatibilidad. Como
δB/ = 0
, el desplazamiento térmico
δ
que ocurre en A, es contrarrestado por la
fuerza F que se requiere para empujar la barra una cantidad original; es decir, la condición de compatibilidad en A es:
+↑
δ
de regreso a su posición
δB/ = 0 = δ δ
Aplicando las relaciones térmicas y de carga – desplazamiento, tenemos:
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0=α∆TL AEFL α=6.60x10−/℉ y E=2910klb/pulg − klb 6. 6 010 29 10 F = α∆TAE = ℉ 120℉60℉0.5 pulg pulg = 2.87 klb
Así con los datos de
, tenemos:
De la magnitud F debería ser aparente que cambios en temperatura pueden ocasionar grandes fuerzas reactivas en miembros estáticamente indeterminados. Como F representa también la fuerza axial interna dentro de la barra el esfuerzo normal de compresión (térmico) promedio es entonces:
klb =11.5 klb/pulg σ = AF = 0.2.587pulg La barra rígida mostrada en la figura esta fija a la parte superior de los tres postes hechos de acero y aluminio. Cada poste tiene una longitud de 250 mm cuando no hay carga aplicada a la barra y la temperatura es
T =20℃
. Determine la fuerza soportada
por cada poste si la barra está sometida a una carga uniformemente distribuida de 150 kN/m y la temperatura se eleva a
Solución.
T =80℃
.
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Diagrama de cuerpo libre
simetría de la carga
Equilibrio. El diagrama de cuerpo libre de la barra se muestra en la figura. El equilibrio debido a los momentos con respecto al centro de la barra, requiere que las fuerzas en los postes de acero sean iguales. Sumando fuerzas en el diagrama de cuerpo libre, tenemos:
2Fc +F 9010N=0…1
+↑∑F =0;
Compatibilidad. Debido a la simetría de la carga, de la geometría y del material, la parte superior de cada poste se desplaza la misma cantidad. Por tanto,
+↓
δc = δ
La posición final de la parte superior de cada poste es igual a su desplazamiento causado por el incremento de temperatura, más a su desplazamiento causado por la fuerza de compresión interna axial. Así, entonces, para un poste de acero y uno de aluminio, tenemos:
+↓ +↓
δc =δc +δc δ =δ +δ
Reemplazando en la ecuación anterior tenemos:
δc +δc =δ +δ …2 Utilizando las ecuaciones de:
δ = AEPL ; δ =α∆TL
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− 12 10 250 m ℃ 80℃+20℃0.250 m + π0.020Fmc0.[200 10 N/m ] − 23 10 = ℃ 80℃20℃0.250 m+ π0.030 Fm0.[73.250110mN/m] Fc =1.216F 165.910…3 Por consistencia, todos los datos numéricos se han expresado en términos de newton, metros y grados Celsius. Al resolver simultáneamente las ecuaciones 1 y 3, resulta
Fc = 16.4 kN ; F = 123 kN El valor negativo indica que esta fuerza actúa en sentido opuesto al mostrado en la figura. En otras palabras, los postes de acero están en tensión y el poste de aluminio está en compresión.
