Laureate International Universities FACULTA FACULTAD D DE INGENIERÍA INGENIER ÍA Carrera de Ingeniería Civil
Tema: Ejercicios de resistencia de materiales
INTEGRANTES: • • •
Dia! "amora #ic$ael Castrej%n Ag&ilar #an&el Rojas Casanova Enri'&e
DOCENTE: Ing #artín (argas )ala!ar
CA*A#ARCA + ,ER-
Resistencia de #ateriales
ESFUERZOS (FUERZA CORTANTE Y NORMAL ,ara la viga cargada . a/o.ada seg0n la 1ig&ra 23a Determinar los es1&er!os en las secciones con /osiciones 4 5 36 4 5 76 4 5 8 . 4 5 9Tomar el origen de 4 el e4tremo A . ejes 4 $ori!ontal6 . vertical En la 1ig&ra 23 se $a re/resentado &n diagrama de s%lido lire de la viga La acci%n del /asador en A se re/resenta mediante las com/onentes de 1&er!a ;A . (A (A
Determinaci%n de (<: Ʃ#A5
=> (
(< 5 93N (<5 93N
DETER#INACIN (A: Ʃ#<
5 = (A?@ (A?@ 328= 7===7 ===3 5 =
Ʃ#A 5
= (A5 2?==N>
(A5 (A5 2?==N
Alternativamente ƩF.5
= (A B 7=== B === 92== 5 = (A 5 2?=3N (A5 2?==N
Res&eltas las reacciones se /&eden eval&ar los es1&er!os )e a/lica el mHtodo de las secciones
Resistencia de #ateriales
EN 53 ƩF5 Ʃ#
= (A T3 5 =
T3 5 +(A 5 +2?==N
5 => (A3 B #3 5 = #3 5 3(A 5 3m2?==N #3 5 2?==Nm
EN 57 ƩF5 Ʃ#
= (A T2 5 = T25 +(A 5 +2?==N
5 => (A2 B 328J B #2 5 = #2 5 2(A + 328= #2 5 8=Nm
EN 58 ƩF5 Ʃ#
= (A T@ + 7=== 5 = T@5 7=== +(A 5 32==N
5 => (A@ B 328J B 8+7@7=== B #@ 5 =
#@ 5 @(A + 328= B =697=== 5 8=Nm EN 59 ƩF5
= (A B 7=== B 9+@@=== T7 5 =
(A B 7=== B 23== T7 5 = T75 +(A 7=== 23==
T7 5 @@==N
2 Un motor de 8==Kg est s&s/endido del ag&il%n de &na gr0a como se m&estra en la 1ig&ra 3+M Determine las cargas res<antes internas '&e act0an sore la secci%n transversal del ag&il%n en el /&nto E
Resistencia de #ateriales
3
Ʃ#A5
=> FCD
5
2m B 8==?3 N @m 5 =
FCD 5 32228 N 4
ƩF45
=> A4 B 32228 N N
5
¿ 5 =
A45 ?3= N 3
ƩF.5
=> +A. 32228 N A.5 27828 N
5
B 8== ?3 N 5 =
Resistencia de #ateriales Diagrama de c&er/o lire
ƩF4
5 => NE ?3= N 5 = NE 5 +?3= N 5 + ?3 N
ƩF.5
=> +(E B 27828 N 5 = (E 5 +27828 N 5 +278 N
Ʃ#E5
=> #E 27828 N 3m 5 = #E 5 +27828 Nm 5 +278 Nm
@ Determine las cargas internas res<antes '&e act0an en G sore la secci%n transversal de la viga mostrada en la 1ig&ra 3+9a Cada &no de los nodos esta conectado mediante /asadores
Resistencia de #ateriales
Ec& E'&ilirio
4
ƩF45
=> 998=l
ƩF.5
=> +38==l 998=l
5
NG 5 = 3 5
¿ B(G 5 =
NG 5 +2==l
(G5 @38= l
3
Ʃ#G5
=> #G B 998=l
5
2 /ies 38==l2/ies 5 =
#G 5 @==l/ie 7 El montacargas en la 1ig&ra 3+a consiste en la viga A< . en las /oleas &nidas a ella6 en el cale . el motor Determine las cargas internas res<antes '&e act0an sore la secci%n transversal en C si el motor est levantando &na carga O de 8== l con velocidad constante Des/recie el /eso de las /oleas . la viga
Resistencia de #ateriales
Ec&aci%n de c&er/o lire ƩF45
=> 8==l PNc 5 =
Nc 5 +8==l
ƩF.5
=> +8==l B (C 5 =
(C 5 +8==l
Ʃ#G5
=> 8==l 78 /ies B 8==l =8 #c 5 = #G 5 +2==l/ie
8 Determine la 1&er!a normal6 la 1&er!a cortante . el momento en &na secci%n a travHs del ,UNT C tal '&e / 5 ? Kn
Reacciones
Resistencia de #ateriales
Ʃ#A 5
= E228 B T=
T 5 @==N
ƩF4
5 = > @= B A4 5 = A4 5 @=n
ƩF.
5 = > A. B ? 5 =
A. 5 ? Kn
Ec&aci%n de e'&ilinrio /ara el /&nto C
ƩF4
5 = > +NC B @= 5 = NC 5 +@=N
ƩF.
5 = > (C ? 5 =
Ʃ#A 5
(C 5 +? N
= ?=98 + #C 5 =
#C 5 Nm
E!ERCICIOS ESFUERZO NORMAL Y CORTANTE Un /e'&eQo /oste6 constr&ido con &n t&o circ&lar $&eco de al&minio6 so/orta &na carga de com/resi%n de 2Ki/s Los dimetros interno . e4terno del t&o son d35 7=/&lg . d25 78/&lg6 res/ectivamente6 . s& longit&d es 3/&lg Determinar el es1&er!o de a/lastamiento
A5 σ =
P A
5
π 4
d3+d2 5 26000 lb
3.338 pulg ²
π 4
78/&lgS+ 7=/&lg S 5 @@@? /&lgS
5 9 9= l /&lgS
Resistencia de #ateriales
La /alanca est &nida a &na 1lec$a 1ija mediante &n /asador a$&sado AB '&e tiene &n dimetro medio de mm )i se a/lica &n /ar de torsi%n a la /alanca6 determine el es1&er!o cortante /romedio en el /asador entre el /asador . la /alanca #o 5 = > +F32 2=28= 2=28= 5 = > F " #$$%$$ N 3
τ
5
V A
5
x −¿ 6 X 10 ¿ ² π 4
¿
5 &'%M)a
833.33
¿
Un /&n!on /ara /er1orar /lacas de acero )&/ongamos '&e /ara generar &n ag&jero en &na /laca de ?mm se &sa &n /&n!on c&.a diametro es d 5 2= mm6 como se ve en el corte )i se re'&iere &na 1&er!a , 5 33=N /ara reali!ar &n ag&jero6 VC&l es el es1&er!o cortante /romedio en la /laca . el es1&er!o de com/resion /romedio en el /&n!%nW
Resistencia de #ateriales
Area *e +orte 5 A = πdt 5 π 2= mm?= mm 5 8=29 mmS τ =
110 kN
P
502.7 mm ²
5 23 #,a
P 110 kN = Apunzon π ( 20 mm)2 / 4
5 @8= #,a
Acorte
σ =
5
La col&mna est sometida a &na 1&er!a a4ial de ? KN6 la c&al se a/lica a travHs el centroide del rea de la secci%n transversal Determine el es1&er!o normal /romedio '&e act0a en la secci%n a+a #&estre esta distri&ci%n del es1&er!o act&ando sore el rea de la secci%n transversal
A 5 238=3= 37=3= 5 77== mm ² 5 77 3=+@ m ² σ =
P 8 kN = A 4.4 ( 10 −3 )
5 3?2 #,a
La /ie!a 1&ndida '&e se m&estra est $ec$a de acero con &n /eso es/ecí1ico de 7= l/ie@ Determine el es1&er!o de com/resi%n /romedio '&e act0a en los /&ntos A . B
Resistencia de #ateriales
F! 5 = > , B Oac 5 = , B 7= l/ie@298 /ies π (0.75 pie ) 5 = , 5 2@?3 l 2
σ =
σ
P A
2381 lb
5
2
π ( 0.75 pie )
5 3@798 l/ie2
5 3@798 l/ie2 3/ie2377 /ies2 5 @ /si
El elemento AC '&e se m&estra en la 1ig&ra 3+3 a est sometido a &na 1&er!a vertical de @ KN Determine la /osici%n x de esta 1&er!a de manera '&e el es1&er!o de com/resi%n /romedio en el so/orte liso C sea ig&al al es1&er!o de tensi%n /romedio en el tirante AB Este tirante tiene &n rea en s& secci%n transversal de 7== mm2 . el rea de contacto en C es de 8= mm2 F. 5 = > Fa Fc B @=== N 5 = #a 5 => +@=== N 4 Fc 2== mm 5 =
3 2
Resistencia de #ateriales
El es1&er!o de tension en la arra A< . el es1&er!o de com/resion C sean e'&ialentes σ =
Fab 400 mm 2
5
Fc 650 mm 2
Fc 5 328Fa
@
Reem/la!ando @ en 3 Fa5 337@ N Fc 5 3?89 N
5 327 mm
El eje com/&esto consiste en &n t&o AB . &na arra s%lida BC El t&o tiene &n dimetro interno de 2= mm . &n dimetro e4terno de 2? mm El dimetro de la arra es de 32 mm Determine el es1&er!o normal /romedio en los /&ntos D . E . re/resente el es1&er!o sore &n elemento de vol&men &icado en cada &no de estos /&ntos
Resistencia de #ateriales P σD = A
σE =
P A
¿
π 4
¿
3
(
4 10
( 0.028 −0.02 ) 5 3@@ #,a C 2
(
3
8 10
π 4
) 2
)
( 0.012 ) 5 9=9 #,a 2
T
El so/orte donde est anclado la cadena so/orta &na 1&er!a de 78= l )i el /asador tiene &n dimetro de o@= /&lg6 enc&entre el es1&er!o cortante /romedio del /asador
Calc&le la tensi%n de com/resi%n
σc
en la iela c&ando se a/lica &na 1&er!a ,
5 3= l al /edal del 1reno )&/onga '&e la línea de la 1&er!a , es /aralela a la iela6 c&.o dimetro es de =22 /&lgadas . las otras dimensiones il&stradas se miden /er/endic&larmente a la línea de acci%n de la 1&er!a ,
F 5 F&er!a de com/resi%n
#a 5 =
Resistencia de #ateriales F 2= /&lg B , 33= /&lg 5 = F5, (
σc
5
F A
11.0 pulg
) 5 3= l 2.0 pulg
11.0 pulg 2.0 pulg
¿
5 88 l
55 lb
5
π 4
( 0.22 pulg) 2 5 378= /si
En la 1ig&ra se m&estra la secci%n transversal de &n /edestal de $ormig%n cargado &ni1ormemente a com/resi%n Determine la tensi%n media de com/resi%n
σc
en
el $ormig%n si la carga es ig&al a 98 #N
Area del rectang&lo 5 32= 5 3?m2 A2 5 A@ 5 C&arto de circ&lo π
A2 5 A7 (1− 4 ) 5 ==3@37 m2 A 5 A3 B A2 B A@ 5 3=737 #2 σc
#
5
F A
5
7.5 MN 1.0414 M 2
5 92=
Resistencia de #ateriales
DEFORMACIONES
PROBLEMA
La varilla ABC es de &n al&minio /ara el '&e E 5 9= G,a> saiendo '&e , 5 KN . '&e X 5 72 KN6 determine la de1le4i%n de a el /&nto A6 b el /&nto B
(a)
A AB=
π
A B! =
π
4
4
d AB =
π
d B! =
π
2
2
4
4
(0.020 ) =314.16 10− m 2
6
(0.060 ) =2.8274 10− m 2
3
2
2
3
P AB= P =6 10 N 3
PB! = P −" =6 10
3
3
− 42 10 =−36 10 N
#B! =0.5 m
# AB=0.4 m P AB # AB
$ AB=
A AB E
3
( 6 10 )( 0.4 ) = (314.16 10− )( 70 10 ) 6
4
¿ 109.135 10− m 6
3
(−36 10 )( 0.5 ) $ B! = = A B! E (2.8274 10− )( 70 10 ) PB! #B!
3
4
¿− 90.947 10− m 6
−6
$ A= $ AB + $ B! =109.135 10
−90.947 10− =18.19 10− m 6
6
¿ 0.01819 mm
Resistencia de #ateriales −6
(b)
$ B= $ B! =−90.9 10 m=−0.0909 mm
PROBLEMA
La varilla de acero de @ mm de dimetro ABC . la varilla de lat%n CD del mismo dimetro estn &nidas en el /&nto C /ara 1ormar la varilla de 98 m de longit&d ABCD6 /ara la carga mostrada en la 1ig&ra6 . des/reciando el /eso de la varilla6 determine la de1le4i%n de a el /&nto C 6 b el /&nto D SOLUCIÓN
A =
π 4
d
2
π
= (0.036 ) =1.01787 10− m 2
3
2
4
Pi
#i
Ei
Pi #i
-A
Ei
)ORCI,N A< 38= KN
2m
2== G,a
3797 −3 10
3== KN
@m
2== G,a
3== KN 28 m
3=8 G,a
m
3797 −3 10
CD
Y Y m
2@@ −3 10
Y m
Resistencia de #ateriales −3
(a)
−3
$ ! =$ AB+ $ B! =1.474 10 + 1.474 10
¿ 2.948 10− m=2.95 mm 3
−3
(b)
$ D =$ ! + $ !D=2.948 10
+ 2.339 10−
3
¿ 5.287 10− m=5.29 mm 3
El t&o de lat%n AB E 5 38Y secci%n transversal de =22
6
10
/si tiene &n rea de
2
¿ . esta dotado de &n
ta/%n en A el t&o est &nido en B a &na /laca rígida '&e a s& ve! est s&jeta en C al 1ondo de &n cilindro de 6
10
al&minio E 5 3=7 Y
/si con &n rea de secci%n
2
transversal de =7= ¿ El cilindro entonces se c&elga de &n so/orte en D /ara cerrar el cilindro6 el ta/%n dee
Resistencia de #ateriales 3
moverse
64
in $acia aajo Determine la 1&er!a , '&e
dee a/licarse al cilindro SOLUCIÓN
Acortamiento del t&o de lat%n # AB=15 +
3 64
=15.047 ∈¿
2
6
A AB= 0.22 ¿
E AB=15 10 p%i
P # AB P ( 15.047 ) $ AB= = = 4.5597 10−6 P 6 E AB A AB ( 15 10 )( 0.22)
El alargamiento del cilindro al&mínico #!D=15 ∈ &
2
A !D=0.40 ¿ &
6
E!D =10.4 10 p%i P #!D P ( 15 ) $ !D= = =3.6058 10−6 P 6 E!D A !D ( 10.4 10 )( 0.40 )
Total de1le4i%n $ A= $ AB + $ !D 3 64
=( 4.5597 10− + 3.6058 10− ) P 6
6
∴ P
5
=5.74 10 lb
Resistencia de #ateriales ¿ 5.74 kip%
Una secci%n de 32 m de t&ería de al&minio con &n rea 2
de secci%n transversal de 33== mm descansa sore &n so/orte 1ijo en A la varilla BC de 38 mm de dimetro c&elga de &na arra rígida '&e descansa sore la t&ería en B saiendo '&e el m%d&lo de elasticidad es de 2== G,a /ara el acero . de 92 G,a /ara el al&minio6 calc&le la SOLUCIÓN de1le4i%n del /&nto del /&nto C c&ando &na 1&er!a de = KN se a/lica en C
#!D =2.1 m&
π 4
2
d
π
9
EB! =200 10 Pa
= ( 0.015 ) =176.715 10− m 2
6
2
4
$ ! / B=
3
P #B! E B! A B!
( 60 10 )( 2.1) = (200 10 )( 176.715 10− ) 9
6
¿ 3.565 10− m 3
T&ería A<: P # AB
$ B / A = E AB A AB
# AB=1.2 m&
9
2
E AB=72 10 Pa & 3
( 60 10 )( 1.2 ) − = − =909.1 10 ( 72 10 )( 1100 10 ) 9
6
−6
$ ! =$ B / A + $ ! / B= 909.1 10
6
2
m
+ 3.565 10− = 4.47 10− m=4.47 mm 3
−6
2
A AB=1100 mm =1100 10 m
3
Resistencia de #ateriales
El arma!%n de acero E 5 2== G,a mostrado en la 1ig&ra tiene sensor diagonal BD con &n rea de 32=
2
mm
Enc&entre la 1&er!a m4ima /ermisile , si el camio de longit&d del elemento BD no dee e4eder 3 mm SOLUCIÓN
−3
#B! = √ 5
2
=1920 10−
2
$ B! =1.6 10 m &
A BD =1920 mm
6
m
2
2
+ 6 =7.810 m&
9
EB! =200 10 Pa
$ B! =
F B! #B! EB! A B! E B! A B!! $ B!
F B! =
#B!
(200 10 )( 1920 10− )( 1.6 10− ) 9
=
7.81
3
¿ 78.67 10 N
∑ F = 0
Use < c&ando se &ne &n lire arma!%n ' 5 7.810
P=
5 7.810
x
F B! − P=0
3
F B! =
(5 )( 78.67 10 ) 7.810
6
3
Resistencia de #ateriales 3
¿ 50.4 10 N =50.4 kN
