INTRODUCCION
El desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el estudio de la resistencia de materiales, tomando como base los esfuerzos y las deformaciones para su análisis, estos son básicos para el entendimiento de los temas a tratar. En esta investigación trataremos los siguientes temas: La transformación de esfuerzos y deformaciones en el estado plano, esfuerzos que ocurren en recipientes de presión de pared delgada, el uso del círculo de Mohr para la solución de problemas que implican transformación de esfuerzo plano, esfuerzos principales, esfuerzos cortantes máximos, entre otros aspectos. En
las transformaciones de
deformación plana veremos las
deformaciones en planos, ya sea xy, yz, xz. Existen deformaciones tridimensionales,
pero
el
estudio
de
las
mismas
requiere
conocimientos más profundos de la materia, que al nivel estudiado no ha sido analizado. En este tema vemos como existen deformaciones que no ocurren en los planos ya conocidos, y en tal caso es necesario llevarlos(a través de
fórmulas) a un plano
conocido, para su fácil
manejo. Como tema de finalización, Las Rosetas de Deformación, que pretendemos, con un breve desarrollo, explicar su análisis, y que tan beneficioso puede ser para la práctica en la vida diaria.
TRANSFORMACIÓN DEL ESFUERZO PLANO Desde el punto de vista del material, las características propias determinan si es más resistente a las cargas normales o a las cargas cortantes, de aquí nace la importancia de transformar un estado de tensiones general en otro particular que puede ser más desfavorable para un material. Se considera un trozo plano y un cambio de ejes coordenados rotando el sistema original en un ángulo α .
El estado de esfuerzos cambia a otro equivalente σ x’ σ y’ τ x’y’ que deben calcularse en base a los esfuerzos originales. Tomando un trozo de elemento plano se tiene que :
2
Para poder hacer suma de fuerzas y equilibrar este elemento, es necesario multiplicar cada esfuerzo por el área en la que se aplican para obtener las fuerzas involucradas. Considerando que los esfuerzos incógnitos se aplican en una área ‘da’. Se tiene que este trozo de cuña tiene un área basal ‘da cos α ’ y un área lateral ‘da sen α ’ Suma de fuerzas en la dirección x’ : σ x’ da = σ x da cos α cos α + σ y da sen α sen α + τ α + τ xy sen α cos α σ
x’
= σ x sen2α + σ y cos2α + 2 τ
σ
x’
= ( σ x + σ y )/2 + ( σ x - σ y )/2 (cos 2α ) + τ
xy
xy
da cos α sen
cos α sen α xy
(sen 2α )
Suma de fuerzas en la dirección y’ : τ x’y’ da = σ y da cos α sen α - τ - σ x da sen α cos α τ
x’y’
= σ
y
τ
x’y’
= τ
xy
cos α sen α
- τ
xy
xy
da sen α sen α
sen2α + τ
xy
+ τ
xy
cos α cos α
cos2α - σ x sen α cos α
(cos 2α ) - ( σ x - σ y )/2 (sen 2α )
Con estas expresiones es posible calcular cualquier estado de esfuerzo equivalente a partir de un estado inicial. La siguiente aplicación permite calcular estos valores automáticamente. Compruebe los resultados que se obtienen.
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ESFUERZOS PRINCIPALES
Siempre es importante obtener los valores máximos de los esfuerzos tanto los normales como los de corte para compararlos con los valores admisibles del material que se está evaluando. El esfuerzo normal máximo se deduce derivando σ ángulo α : dσ
x’
/dα = 0 = - ( σ x - σ y ) (sen 2α ) +
tan 2α = 2 τ
xy
2τ
xy
x’
con respecto al
(cos 2α )
/(σ x-σ y)
La solución de esta ecuación son dos ángulos que valen : α
y α + 90
Al evaluar usando estos valores para el ángulo α se obtienen los esfuerzos normales máximo ( σ 1) y mínimo (σ 2). Es importante destacar que si se iguala τ x’y’ = 0 se obtiene la misma expresión que la derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los esfuerzos principales (σ 1 y σ 2) se produce que el esfuerzo cortante vale cero. En definitiva : σ 1, σ
2
= (σ x+σ y)/2 +/ -
El esfuerzo cortante máximo se obtiene de forma similar, derivando la expresión correspondiente con respecto al ángulo α . dtx’y’ / dα = 0 = -2 τ
xy
(sen 2α ) - ( σ x - σ y ) (cos 2α )
tan 2α = - ( σ x - σ y ) / 2 τ
xy
Esta expresión nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes máximos, queda en definitiva : τ
1
yτ
2
=+/-
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ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS El esfuerzo cortante máximo difiere del esfuerzo cortante mínimo solo en signo, como muestran las formulas explicadas el tema Esfuerzo s Principales. Además, puesto que las dos raíces de la ecuación tan 2α = - ( σ x - σ y ) / 2 τ xy sitúan el plano a 90°, este resultado significa también que son iguales los valores numéricos de los esfuerzos cortantes en planos mutuamente perpendiculares. En esta deducción, la diferencia de signo de los dos esfuerzos cortantes surgen de la convención para localizar los planos en que actúan estos esfuerzos. Desde el punto de vista físico dichos signos carecen de significado, por esta razón al mayor esfuerzo cortante, independientemente de su signo, se llama esfuerzo cortante máximo. El sentido definido del esfuerzo cortante siempre se puede determinar por la sustitución directa de la raíz particular de α en la ecuación τ
x’y’
= τ
xy
(cos 2α ) - ( σ x - σ y )/2 (sen 2α )
un esfuerzo cortante positivo indica que este actúa en el sentido supuesto y viceversa. La determinación del esfuerzo cortante máximo es de mayor importancia para materiales de baja resistencia al corte. A diferencia de los esfuerzos principales cuyos planos no ocurren esfuerzos cortantes, los esfuerzos cortantes máximos actúan en planos que usualmente no están libres de esfuerzos normales. La situación de α de la ecuación tan 2α = - ( σ x - σ y ) / 2 τ
xy
en la σ
x’
= ( σ x + σ y )/2 + ( σ x - σ y )/2 (cos 2α ) + τ
xy
(sen 2α )
muestra que los esfuerzos normales que actúan en los planos de los esfuerzos cortantes máximos son σ =( σ x + σ y )/2 por consiguiente, el esfuerzo normal actúa simultáneamente con el esfuerzo cortante máximo a menos que se anule σ x + σ y. Si σ x y σ y de la ecuación τ 1 y τ 2 = + / son esfuerzos principales, τ xy es cero y la ecuación se simplifica en
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τ
max
=( σ x - σ y )/2
CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO. Las ecuaciones desarrolladas en los puntos anteriores pueden rescribirse para formar una ecuación de circunferencia : Se tiene que : σ x’ = ( σ x + σ y )/2 + (( σ x - σ y )/2 (cos 2α )) + τ 2α ) τ
x’y’
= τ
xy
xy
(sen
(cos 2α ) - (( σ x - σ y )/2 ) (sen 2α )
La primera ecuación se acomoda de la siguiente forma : σ x’ - ( σ x + σ y )/2 = (( σ x - σ y )/2 (cos 2α )) + τ 2α )
xy
(sen
Elevando al cuadrado se tiene : (σ x’ - (σ x + σ y)/2)2 =(σ x - σ y)2/4 (cos 2α )2 + (σ x - σ y) (cos 2α ) τ + τ xy2 (sen 2α )2 Elevando al cuadrado la segunda ecuación se tiene : τ x’y’2 = τ xy2 (cos 2α )2 - τ - σ y)2/4 (sen 2α )2
xy
xy
(sen 2α )
(cos 2α ) (σ x - σ y) (sen 2α ) + (σ
x
Sumando ambas expresiones : (σ
x’
- ( σ x + σ y )/2)2 + τ
x’y’
2
= τ
2
xy
+ (( σ x - σ y )2/2)2
Los esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes del problema, se tiene entonces : τ
2
xy
+ (( σ x - σ y )2/2)2 = b2
( σ x + σ y )/2 = a Rescribiendo queda : (σ
x’
- a)2 + τ
x’y’
2
= b2
Si los ejes son : x=σ
x’
y=τ
x’y’
Tenemos : ( x - a ) 2 + y2 = b 2 Que representa a una circunferencia con centro en x = a ; y = 0 con un radio r = b. Esta circunferencia se denomina Círculo de Mohr (Otto Mohr 1895) que en definitiva tiene las siguientes características : Centro en : x = ( σ x + σ y )/2 ; y = 0 6
Radio de : r2 = τ xy2 + (( σ x - σ y )2/2)2 La figura siguiente muestra el círculo de Mohr creado a partir de un problema :
ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PRESION DE PARED DELGADA
Los recipientes de pared delgada constituyen una
aplicación
importante del análisis de esfuerzo plano. Como sus paredes oponen poca resistencia a la flexión, puede suponerse que las fuerzas internas ejercidas sobre una parte de la pared son tangentes a la superficie del 7
recipiente. El análisis de esfuerzos en recipientes de pared delgada se limitará a los dos tipos que se encuentran con mayor frecuencia: recipientes cilíndricos y esféricos.
Considerando recipiente cilíndrico de radio interior r y espesor de pared t, que contiene un fluido a presión
Se van a determinar los
esfuerzos ejercidos sobre un pequeño elemento de pared con lados respectivamente paralelos y perpendiculares al eje del cilindro. Debido a la simetría axial del recipiente y de su contenido, no se ejercen esfuerzos cortantes sobre el elemento.
Los esfuerzos σ 1 y σ 2 mostrados en la figura son por tanto esfuerzos principales. El esfuerzo σ 1 se conoce como esfuerzo de costilla y se presenta en los aros de los barriles de madera. El esfuerzo σ 2 es el esfuerzo longitudinal. Para determinar los esfuerzos de costilla se retira una porción del recipiente y su contenido limitado por el plano xy y por dos planos
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paralelos al plano yz con una distancia θX de separación entre ellos. Se aclara que p es la presión manométrica del fluido.
La resultante de las fuerzas internas es igual al producto de σ y del área transversal 2t∆ x. Con la ecuación de sumatoria de fuerza en z se concluye que para el esfuerzo de costilla:
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Con el propósito de determinar el esfuerzo longitudinal σ 2, haremos un corte perpendicular al eje x y se considerará el cuerpo libre que consta de la parte del recipiente y de su contenido a la izquierda de la sección. Tomando en cuenta las fórmulas del área y longitud del cilindro y la sumatoria de fuerzas en z, finalmente se concluiría que: σ 2 = pr / 2t El esfuerzo en la costilla es el doble del esfuerzo longitudinal. Luego se dibuja el Círculo de Mohr y se llega a que: τ max(en el plano)= ½ σ 2= pr / 4t Este esfuerzo corresponde a los puntos D y E y se ejerce sobre un elemento obtenido mediante la rotación de 45° del elemento original de dicha figura, dentro del plano tangente a la superficie del recipiente. EL esfuerzo cortante máximo en la pared del recipiente es mayor. Es igual al radio del círculo de diámetro OA y corresponde a una rotación de 45° alrededor de un eje longitudinal y fuera del plano del esfuerzo.
Considerando ahora un recipiente esférico, de radio interior r y espesor de pared t, que contiene un fluido bajo presión manométrica p. Haciendo un corte por el centro del recipiente determinamos el valor del esfuerzo.
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Así concluye que, para un recipiente σ 1 = σ 2 = pr / 2t
Ya que los esfuerzos principales σ 1 y σ 2 son iguales, el circulo de Mohr para la transformación de esfuerzos, dentro del plano tangente a la superficie del recipiente, se reduce a un punto. El esfuerzo normal en el plano es constante y que el esfuerzo máximo en el plano es cero. Podemos concluir τ max= ½ σ 1 = pr / 4t
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TRANSFORMACION DE DEFORMACION PLANA En este tema se ha de analizar las transformaciones de la deformación cuando los ejes coordenados giran. Este análisis se limitará a estados de deformación plana, es decir, a situaciones en donde las deformaciones del material tienen lugar dentro de planos paralelos y son las mismas en cada uno de estos planos. Si se escoge el eje z (ver figura I) perpendicular a los planos en los cuales la deformación tiene lugar, tenemos Ez = 'Yzx = 'Yzy = 0, las únicas componentes de deformación que restan son Ex, Ey y 'Yxy. Tal situación ocurre en una placa sometida a cargas uniformemente distribuidas a lo largo de sus bordes y que este impedida para expandirse o contraerse lateralmente mediante soportes fijos, rígidos y lisos (ver figura I). También se encontraran en una barra de longitud infinita sometida, en sus lados, a cargas uniformemente distribuidas ya que, por razones de simetría, los elementos situados en un plano transversal no pueden salirse de el. Este modelo idealizado muestra que en el caso real de una barra larga sometida a cargas transversales uniformemente distribuidas (ver figura II), existe un estado de esfuerzo plano en cualquier sección transversal que no este localizada demasiado cerca de uno de los extremos de la barra.
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figura I
figura II
figura III Supóngase que existe un estado de esfuerzo plano en el punto Q (z = 'Yzx = 'Yz = 0), definido por las Componentes de deformación Ez, Ey y 'Yxy asociadas Con los ejes x y y. Esto significa que un elemento cuadrado de centro Q, con lados de longitud ∆s respectivamente paralelos a los ejes x y y, se transforma en un paralelogramo con lados de longitud ∆s (1 +Ex) y ∆s (1 +Ey), formando ángulos de ∏/2 -'Yxy y f + 'Yxy entre si (vea figura II)).Como resultado de las deformaciones de los otros elementos localizados en el plano xy, el elemento considerado también puede experimentar un movimiento de cuerpo rígido, pero tal movimiento es insignificante en lo referente a la
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determinación de las deformaciones en el punto Q y no se tendrá en cuenta en este análisis. El propósito es determinar en términos de Ex,Ey, 'Yxy y 0 las Componentes de deformación Ex,Ey. y 'Yx'y' asociadas con el marco de referencia x' y ' obtenido mediante la rotación de los ejes x y y u n ángulo θ. Como se muestra en la figura IV, estas nuevas componentes de la deformación definen el paralelogramo en que se transforma un cuadrado con lados respectivamente paralelos a los ejes x’ y y’.
FIGURAS COMPLEMENTARIAS
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figuras: IV, Va, Vb, VI.(resp)
Primero se derivará una expresión para la deformación normal E (θ) a lo largo de una línea AB que forma un ángulo arbitrario θ con el eje x. Para hacerlo considere el triángulo rectángulo ABC con AB como hipotenusa (vea figura Va) y el triángulo oblicuo A'B'C', en el cual se transforma el triángulo ABC (vea la figura Vb), se tiene (A’b’)^2= (A’C’) ^2 + (C’B’) ^2 –(A’C’)(C’B’)cos(∏/2 + Yxy) (∆s) ^2 { 1+ E(θ)}= (∆x) ^2( 1+Ex) ^2 + (∆y) ^2(1 Ey) ^2 -2(∆x)(1+Ex)( ∆y)(1+Ey) cos(∏/2 + Yxy)
(a)
pero de la figura Va, ∆x=( ∆s) cos(θ)
∆y=( ∆s) sen(θ)
(b)
y, como Yxy es muy pequeño Cos(π /2 + Yxy)= -senYxy≈ -Yxy
(c)
Sustituyendo de las ecuaciones (b) y (c) en la ecuación (a), se escribe E(θ)= Ex cos^2 θ + Ey sen^2 θ + Yxy sen θ cos θ
(d)
La ecuación (d) permite hallar la deformación normal E(θ) en cualquier dirección AB, en función de las componentes de deformación Ex,Ey, 'Yxy, y del ángulo θ que forma AB con el eje x. Observe que, para (θ = 0), la ecuación (d) produce E (θ) = Ex, y que, para θ ( = 90°, da E(90°) = Ey.
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El propósito principal de esta sección es expresar las componentes de la deformación asociadas con el marco de referencia x'y' de la figura IV en términos del ángulo θ y de las componentes Ex, Ey y Yxy, asociadas con los ejes x y y se nota que la deformación normal Ex' a lo largo del eje x' esta dada por la ecuación (d). Se escribe esta ecuación en la forma alternativa Ex’=(Ex + Ey)/2 + (Ex – Ey)/2 cos2 θ +Yxy/2 sen2θ (e) Remplazando θ por θ + 90°, se obtiene la deformación normal a lo largo del eje y'.Como cos (2 θ + 180°) = cos 2 θ y sen (2 θ + 180°) = -sen 2 θ Ex’=(Ex + Ey)/2 – (Ex – Ey)/2 cos2 θ -Yxy/2 sen2θ (f)
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (e) y (f) Ex’+ Ey’= Ex + Ey
(g)
Puesto que Ez = Ez' = 0, se verifica, en el caso de la deformación plana, que la suma de las deformaciones normales asociadas con un elemento cúbico de material es independiente de la orientación del elemento. Remplazando ahora θ por θ + 45° en la ecuación (e), se obtiene
una
expresión para la deformación normal a lo largo de la bisectriz OB' del ángulo formado por los ejes x' y y'. Como cos (2 θ + 90°) = -sen 2θ y sen (2 θ + 90°) = cos 2 θ, se tiene
E( )B’ =Ex’=(Ex + Ey)/2 - (Ex – Ey)/2 sen2 θ +Yxy/2 cos2θ (h) Escribiendo la educación (d) con respecto a los ejes x’ y y’,se expresa ;a deformación cortante Yx’y’ en función de las deformaciones normales medidas a lo largo de los ejes x’ y y’, y de la bisectriz OB’: 16
Yx’y’= 2E( )B’ –( Ex’ + Ey’)
(i)
Sustituyendo de las ecuaciones ( g) y (h) en la (i) Yx’y’= -(Ex - Ey)sen2θ + Yxy cos2θ
(j)
Escribiendo las ecuaciones (e), (f) y (j) son las que definen la transformación de deformación plana bajo una rotación de ejes en el plano de deformación. Dividiendo la ecuación (j) por 2, se escribe esta ecuación en la forma alternativa Yx’y’/2= - (Ex – Ey)/2 sen2θ + Yxy/2 cos2θ
MEDIDAS DE DEFORMACION. ROSETA DE DEFORMACION
Haciendo dos marcas A y B a través de una línea dibujada en la dirección deseada, y midiendo la longitud del segmento AB antes y después de aplicar la carga se puede determinar la deformación normal en cualquier dirección en la superficie de un elemento estructural o componente de máquina. Si L es la longitud no deformada de AB y δ su alargamiento, la deformación normal a lo largo de AB es: Eab= δ / L Ahora bien, existe un método mas conveniente y exacto para la medida de deformaciones, basado en los deformímetros eléctricos.
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Para medir la deformación de un material dado en la dirección AB, el medidor se pega a la superficie del material con las vueltas de alambre paralelos a AB. Cuando el material se alarga, el alambre aumenta en longitud y disminuye en diámetro, haciendo que la resistencia eléctrica del medidor aumente. Midiendo la corriente que pasa a través de un medidor bien calibrado, la deformación EAR puede determinarse precisa y continuamente a medida que la carga aumenta.
Debe advertirse que las componentes Ex y Ey Yxy en un punto dado pueden obtenerse de la medida de deformación normal hecha a lo
largo
de
tres
líneas
dibujadas
por
ese
punto.
Designando
respectivamente por θ1,θ 2 y θ3 el ángulo que cada una de las líneas forma con el eje x, remplazando en la ecuación anterior, se tienen las tres ecuaciones :
E1= Excos^2 θ1 + Eysen^2 θ1 + Yxy senθ1 cos θ1 E2= Excos^2 θ2 + Eysen^2 θ2 + Yxy senθ2 cos θ2 E3= Excos^2 θ3 + Eysen^2 θ3 + Yxy senθ3 cos θ3
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La colocación de los deformímetros utilizados para medir las tres deformaciones normales El, E2 y E3 se conoce como Roseta de Deformación. La roseta usada para medir deformaciones normales a lo largo de los ejes x y y y su bisector se conoce como roseta de 45°. Otra roseta muy utilizada es la de 60°.
ΕϑΕ Ρ Χ Ι Χ Ι Ο Σ
Π Ρ Α Χ Τ ΙΧΟΣ
1. Una fuerza horizontal de magnitud P= 150 lb. se
aplica al extremo D de la palanca ABD. Sabiendo que la porción AB de la palanca tiene un diámetro de 1.2 pulg., halle: a). los esfuerzos normal y cortante en un elemento situado en el punto H, con lados paralelos a los ejes x, y y, b). los planos 19
principales y los esfuerzos principales en el punto H. P= 150 lb. T= (150 lb)(18 pulg)= 2.7 kips. Pulg Mx= (150 lb)(10 pulg)= 1.5 kips. Pulg. σ x= 0 σ y= Mc/I= (1.5 kips.pulg)(0.6 pulg) / ¼ π (0.6 pulg)4 = 8.84 ksi pulg)4 =
τ xy= Tc/J= (2.7 kips.pulg)(0.6 pulg) / ½ π
(0.6
7.96 ksi. Tan 2θ p= 2τ xy / σ x - σ y= 2(7.96) / 0-8.84 = -1.80 2θ p= -61 º y
180º - 61º = 119º
θ p= -30.5º y 59.5º σ máx, mín = σ x + σ y / 2 + [ (σ x - σ y / 2)´2 + τ 2 xy ] ½ 0 + 8.84 / 2 +[ ( 0 – 8.84 / 2)´2 + (7.96)´2 ] ½ = +4.42 + 9.10 -
σ máx. = +13.52 ksi y σ mín. = -4.68 ksi
2.- Determine los esfuerzos principales de la flecha de acero. La Flecha tiene un diámetro de 3 pulg. Las poleas pesan 250 lb. Cada una, y las tensiones en las bandas son opuestas. Las chumaceras de las 20
extremos permiten rotación suficiente de modo que los apoyos extremos pueden considerarse como articulados. Desprecie el peso de la flecha.
σ = Mc/I σ s = Tc/J σ
= Mc/I = (1425 x 12) (1.5)/ (π/64) (3)ª = 6690 lb/pulg²
σ s = Tc/J = (500 x 16) (1.5)/ (π/32) (3)ª = 1510 lb/pulg²
σ = (σ x+σ y)/2 +/ -
σ = -6690 + 0 +/ - √ (-6690 + 0)² + 1510² σ = − 3345 + 3 670 = + 3 25 σ =
lb/pulg²
-3345 – 3760 = -7015 lb/pulg²
3.- Ahora determine el esfuerzo cortante máximo de la flecha.
σ = = √ (-3315 – 0)² + 1510² = 3670 lb/pulg²
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CONCLUSIO N
En
esta
presentación
hemos
analizado
temas
como
son
Esfuerzos en Tuberías y Envases Esféricos de Pared Delgada; como transformar la deformación plana a otros ejes, el concepto de Roseta de Deformación, los ángulos principales y cortantes máximos, el círculo de Mohr, etc. Como conclusión en tuberías y envases esféricos tenemos que las fuerzas internas ejercidas se pueden suponer tangentes a la superficie del recipiente. Existen a su vez, esfuerzos de costillas y esfuerzos longitudinales que son iguales. En el desarrollo de la
transformaciones planas a través de
formulas trigonométricas, se pudo rotar las deformaciones a un plano ya conocido para su fácil estudio. Para rotarlo debemos saber el ángulo q forma el eje que produce la deformación con un eje conocido. Finalmente, las Roseta de deformación es una técnica para determinar la deformación en un elemento sometido a un esfuerzo específico. Existe un método mas conveniente y exacto para la medida de deformaciones, basado en los deformímetros eléctricos. Para medir la deformación de un material dado en la dirección AB, el medidor se pega a la superficie del material con las vueltas de alambre paralelos a 22
AB. Cuando el material se alarga, el alambre aumenta en longitud y disminuye en diámetro.
BIBLIOGRAFIA Beer,
Ferdinand
y
Russell
Johnston.
“Mecánica
de
Materiales”. Mc Grw Hill, 1999. Popov, Egor. “Mecánica de Materiales”. Editora Limusa, México. Robert W. Fitzgerald. “Reasistencia de Materiales”. Fondos Educativos Internacionales, S.A., México, 1970
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Índice Pagina Introducción ....................................................... 2 Transformación del esfuerzo plano.....................3 Esfuerzos Principales..........................................5 Esfuerzos Cortantes Máximos............................6 Circulo de Mohr para Esfuerzo...........................7 Esfuerzos en Recipientes de Presión de Pared Delgada.......................................................8 Transformación de Deformación Plana..............13 Figuras Complementarias...................................15 Medidas de Deformación. Roseta de Deformación....................................................18 Problemas Resueltos............................................21 Conclusión ............................................................23 Bibliografía...........................................................24
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