Espacio vectorial real
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con con dos operacione operaciones s binarias binarias llamadas llamadas suma y multiplicación por un escalar, y que satisfacen los diez axiomas enumerados en el siguiente recuadro.
Axiomas de un espacio vectorial Nota. Los primeros cinco axiomas se utilizan para definir a un grupo abeliano, y los axiomas vi) al x) describen la interaccion de los escalares y los vectores mediante la operacion binaria de un escalar y un vector. i) Si x P V y y P V , entonces x y P V (cerradura bajo la suma) . ii) Para todo x, y y z en V , !x y) z " x !y z) (ley asociativa de la suma de vectores) . Espacios vectoriales
#efinici$n y propiedades b%sicas iii) &xiste un vector 0 P V tal que para todo x P V , x 0 " 0 x " x !el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo ). iv) Si x P V , existe un vector ' x en P V tal que x !'x) " 0 !'x se llama inverso aditivo de x). v) Si x y y estan en V , entonces x y " y x !ley conmutativa de la suma de vectores ). vi) Si x P V y a es un escalar, entonces a x P V !cerradura bajo la multiplicación por un escalar ). vii) Si x y y estan en V y a es un escalar, entonces a! x y) " ax ay !primera ley distributiva ). viii) Si x P V y a y b son escalares, entonces !a b) x " ax bx !seunda ley distributiva ). ix) Si x P V y a y b son escalares, entonces a!b x) " !ab) x !ley asociativa de la multiplicación por escalares ). x) Para cada vector x P V , x "
Espacio vectorial trivial
Sea V " (*. &s decir, V consiste solo en el numero . +omo " " ! ) " ! ) " , se ve que V es un espacio vectorial. +on frecuencia se le otorga el nombre de espacio vectorial trivial !onjunto "ue no es un espacio vectorial
Sea V " (l*. &s decir, V consiste -nicamente del numero . &ste no es un espacio ectorial ya que viola el axioma i) /el axioma de cerradura/. Para verlo con m%s claridad, basta con observar que " ' 0 V . 1ambi2n viola otros axiomas3 sin embargo, con solo demostrar que viola al menos uno de los diez axiomas queda probado que V no es un espacio vectorial. El conjunto de puntos en 4# "ue se encuentran en una recta "ue $asa por el orien constituye un espacio vectorial
Sea V " { ! x , y )5 y " mx , donde m es un numero real fijo y x es un numero real arbitrario*. &s decir, V consiste en todos los puntos que estan sobre la recta y " mx que pasa por el origen y tiene pendiente m. Para demostrar que V es un espacio vectorial, se puede verificar que se cumple cada uno de los axiomas. 6bserve que los vectores en 4' se 7an escrito como renglones en lugar de columnas, lo que en esencia es lo mismo. i) Suponga que x " ! x , y ) y y " ! x ', y ') estan en V . &ntonces y " mx , y ' " mx ', y x y " ! x , y ) ! x ', y ') " ! x , mx ) ! x ', mx ') " ! x x ', mx mx ') " ! x x ', m! x x ')) P V Por lo tanto se cumple el axioma i). ii) Suponga que ! x , y ) P V . &ntonces y " mx y '! x , y ) " '! x , mx ) " !' x , m!' x )), de manera que '! x , y ) tambien pertenece a V y ! x , mx ) !' x , m!' x )) " ! x ' x , m! x ' x )) " !, ). 1odo vector en V es un vector en 4', y 4' es un espacio vectorial, como se muestra en el ejemplo
"... +omo !, ) " 0 esta en V !explique por que), todas las demas propiedades se deducen del ejemplo "... &ntonces V es un espacio vectorial.
El conjunto de puntos en 4# "ue se encuentran sobre una recta "ue no pasa por el orien no constituye un espacio vectorial
Sea V " (! x , y )5 y " ' x , x P 4*. &s decir, V es el conjunto de puntos que estan sobre la recta y " ' x . V no es un espacio vectorial porque no se cumple la cerradura bajo la suma, como sucede en el ejemplo "..8. Para ver esto, suponga que ! x , y ) y ! x ', y ') estan en V . &ntonces, ! x , y ) ! x ', y ') " ! x x ', y y ') Si el vector del lado derec7o estuviera en V , se tendria y y ' " '! x x ') " ' x ' x ' Pero y " ' x y y ' " ' x ' , de manera que y y ' " !' x ) !' x ' ) " ' x ' x ' ' Por lo tanto, se concluye que ! x x ', y y ') 0 V si ! x , y ) 9 V y ! x ', y ') P V Por ejemplo, !,) y !8, :) est%n en V , pero !, ) !8, :) " !8, ;) no esta en V porque ; < ' 8 = . Una forma m%s sencilla de comprobar que V no es un espacio vectorial es observar que 0 > !, ) no se encuentra en V porque ? ' . = . @o es dificil demostrar que el conjunto de puntos en 4' que esta sobre cualquier recta que no pasa por !, ) no constituye un espacio vectorial. El conjunto de puntos en 4% "ue se encuentran en un plano "ue pasa por el orien constituye un espacio vectorial
Sea V > (! x , y , z )5 ax = by = cz > *. &sto es, V es el conjunto de puntos en 48 que esta en el plano con vector normal ! a, b, c ) y que pasa por el origen. Al igual que en el ejemplo "..B, los vectores se escriben como renglones en lugar de columnas. Suponga que ! x , y , z ) y ! x ', y ', z ') est%n en V . &ntonces ! x . y . z ) = ! x '. y '. z ') > ! x = x ', y = y ', z = z ') C V porque a! x = x ') = b!y = y ') = c !z = z ') > !ax = by = cz ) = !ax ' = by ' = cz ') > =>
Por lo tanto, el axioma i) se cumple. Los otros axiomas se verifican f%cilmente. #e este modo, el conjunto de puntos que se encuentra en un plano en 48 que pasa por el origen constituye un espacio vectorial. El espacio vectorial Pn
Sea V > Pn el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a n. Si p C Pn, entonces p! x ) > an x^n = anD x^ nD = . . . = a x = a
donde cada ai es real. La suma de p! x ) q! x ) esta definida de la manera usual5 si q! x ) " bnxn bn' xn' . . . b x b, entonces p! x ) q! x ) " !an bn) xn !an' bn') xn' . . . ! a b) x !a b) &s obvio que la suma de dos polinomios de grado menor o igual a n es otro polinomio de grado menor o igual a n, por lo que se cumple el axioma i). Las propiedades ii) y v) a x) son claras. Si se define el polinomio 0 " xn xn' . . . x , entonces P Pn y el axioma iii) se cumple. Por ultimo, sea ' p! x ) " 'anxn ' an' xn' ' . . . ' a x ' a3 se ve que el axioma iv) se cumple, con lo que Pn es un espacio vectorial real.