"Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación"
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, DECANA DE A!#CA$ A!#CA$
E.A.P. INGENIERIA MECÁNICA DE FLUIDOS
%&todos de Diferencias Finitas Es'uema de Preissmann Asi)natura*
Métodos Numéricos II
Profesor*
In. Y!ocu"#Cur$%u$ V&ctor
Alumno*
V$''#(os C$stro )%on$t$n
Códi)o*
*+*,+*-
Ciclo*
VII
Año*
+*/ Ciudad universitaria + de mar-o del .+/
P012EA
L$ #cu$ci0n 12sic$ "$r$ '$ d#scri"ci0n m$t#m2tic$ d#' tr2nsito d# $3#nid$s #n r&os 4 c$n$'#s #n '$ Ecu$ci0n d# Cons#r3$ci0n d# M$s$. ∂Q ∂ h + T = 0 … … … ( 1) ∂x ∂ t
56 C$ud$'. 76 Anc%o su"#r8ici$' d#' c$n$'. %6 Pro8undid$d d#' 'i9uido. :6 Coord#n$d$ #s"$ci$' $ 'o '$ro d#' c$n$'. t6 7i#m"o.
Función de cali3ración (única$* Q= f ( h ) … … … ( 2 ) ∂Q ∗∂ h ∂Q ∂ x = … … … ( 3) ∂x ∂x
eem4la-ando (5$ en (6$* ∂Q ∗∂ h ∂x ∂ h + T = 0 ∂x ∂ t
∂ h ∂ h + c = 0 … … …( 4) ∂x ∂x
∂h =0 ∂x
Datos* ∆ x =1 km
Calcular Cr =
∆ T
se)ún condición de Courant7
c∗∆ t ≤ 1 … .. ( 5 ) ∆x
c6 C#'#rid$d d# ond$. c =√ g∗h0
C$'cu'$r 'os 3$'or#s d# % #n c$d$ nodo 4 su #3o'uci0n $ 'o '$ro d# *%r "r#s#nt$r '$ dicr#ti!$cion; c2'cu'o d#' $'oritmo; "ror$m$ d# c0m"uto. 7$1'$s d# r#su't$do 4 'os %idror$m$s d# %< t. En '$s #st$cion#s6 + =m; >=m; * =m;*? =m; @=m. Ad#m2s d# 'os "#r8i'#s 'onitudin$'#s $6 +%r; %r; @%r; >%r. R#so'3i#ndo /B6 ∆t≤
∆ x ∆x 1000 = = =0.06 hr…. (6 ) c √ g∗h0 √ 9.81∗2
Desarrollo 4or* Es'uema de Diferencias FinitasPreissmann E:ist#n num#rosos métodos numéricos "$r$ "roducir so'ucion#s $"ro:im$d$s d# '$s #cu$cion#s d# 8'u(o. En #st# tr$1$(o; '$s #cu$cion#s d# 8'u(o s#r2n discr#ti!$d$s m#di$nt# #' #s9u#m$ d# di8#r#nci$s 8init$s im"'&cito d# Pr#issm$nn. Est$ técnic$; "#rmit# 9u# #' mod#'o uti'ic# s#m#ntos d# di8#r#nt#s 'onitud#s 4 un #s9u#m$ 9u# 3$ d#sd# c#ntr$do %$st$ tot$'m#nt# $d#'$nt$do #n #' ti#m"o.
E' sist#m$ d# ri''$ #s"$ciot#m"or$' d# '$ 8iur$ mu#str$ '$ r#i0n #n 9u# '$s #cu$cion#s d# 8'u(o son r#su#'t$s. L$s d#ri3$d$s t#m"or$' 4 #s"$ci$' d#' 3$'or 8uncion$'; ; 9u# r#"r#s#nt$ '$ 3$ri$1'# d#"#ndi#nt#; ni3#' #'#3$ci0n d# '$ su"#r8ici# 'i9uid$B o c$ud$'; son discr#ti!$d$s d# '$ siui#nt# m$n#r$ 6
Discreti-ación del Es'uema de Preissmann* n+ 1
n+1
∂ f ( 1−Ψ )∗f i − f i Ψ ∗f i +1 − f i+ 1 ≈ … .. (¿) + ∂t ∆ t ∆ t n
∆ t = ∆ t 1= …= ∆ t n
n
∂ f ≈ ∂x
Dond#6
¿∗¿
( 1−θ )∗f − f ni θ∗f ni ++ − f ni + ……¿ + n i+ 1
1
1
1
∆ xi
∆ xi
0 ≤Ψ ≤ 1 , y 0.5 ≤θ ≤ 1
R##m"'$!$ndo B 4 B #n @B6 ∂ h c ∗∂ h + =0 … … … ( 4 ) ∂x ∂x
( 1 −Ψ )∗h
n+ 1 i
n
− hi
∆ t
n +1
+
Ψ ∗hi
+1
(
n
−hi + 1
∆ t
+ c∗
( 1−θ )∗h
n
i+1 −
n
hi
∆x
n +1
+
θ∗hi
+1
n +1
−hi
∆x
)
=0
h
(¿¿ i n+ − hni )+ Ψ ∗( hni++ − hni+ ) + 1
1
1
1
c∗∆ t ∗ ( 1−θ )∗( hni+1− hni ) + θ∗( h ni++11− hni +1 ) = 0 ∆x ( 1−Ψ )∗¿
(
Cr =
)
c∗∆ t … … (7 ) ∆x h
n+ n (¿ ¿ i − hi )+ Ψ ∗( hni++ − hni+ ) + Cr∗( ( 1−θ )∗( hni+ − hni ) + θ∗( hni++ − hni + ) )= 0 ( 1−Ψ )∗¿ 1
1
1
1
1
1
1
1
2as ecuaciones diferenciales 4arciales de flu8o (6$, es transformada en una e94resión discreta mediante la a4licación del es'uema de Diferencias Finitas im4l:cito de Preissmann7 ( 1−Ψ −Cr∗θ )∗h
n+ 1 i
+
( Ψ +Cr ∗θ )∗h
n+ 1
( Ψ −1−Cr +Cr∗θ )∗h − (Cr −Ψ −Cr∗θ )∗h
i + 1 =−
n
n
i
i +1
Si#ndo6 Ψ = 0.5 θ =0.7 Cr =1 K =( 1 −Ψ −Cr∗θ ) K 1 = ( Ψ + Cr∗θ ) K 2=( Ψ −1−Cr + Cr∗θ )
K 3=( Cr −Ψ −Cr∗θ )
2a ecuación se reduce a* n+ 1
n+ 1
n
n
K ∗hi + K 1∗h i+1 =− K 2∗h i − K 3∗hi+1 … … . (¿∗¿)
#niciando el 4roceso de c;lculo de las fronteras a)uas arri3a y a3a8o, y con las condiciones in:ciales* C$'cu'$ndo '$ Ec. d# '$ r#ct$ con '$ "#ndi#nt# "ositi3$ d#sd# '$s + %r %$st$ *%r6 -
%HtJ
C$'cu'$ndo '$ Ec. d# '$ r#ct$ con '$ "#ndi#nt# n#$ti3$ d#sd# '$s * %r %$st$ %r6 -
%H@tJ
L$ Ec. d# '$ r#ct$ #s cont$nt# d#sd# '$s %r %$st$ '$s * %r6 -
%HJ 7$1'$ *
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 . . . 199 200
t(hr) 0 0.06 0.12 0.18 0.24 0.3 0.36 0.42 0.48 0.54 0.6 0.66 0.72 0.78 0.84 0.9 0.96 1.02 1.08 1.14 1.2 1.26 1.32 1.38 1.44 1.5 1.56 1.62 1.68 1.74 1.8 1.86 1.92 1.98 2.04 2.1 2.16 2.22 . . . 11.94 12
i=1
i=2
i=3
i=4
.
x=0
x=1000 2
x=2000 2
x=3000 2
. .
2 2.06 2.12 2.18 2.24 2.3 2.36 2.42 2.48 2.54 2.6 2.66 2.72 2.78 2.84 2.9 2.96 2.98 2.92 2.86 2.8 2.74 2.68 2.62 2.56 2.5 2.44 2.38 2.32 2.26 2.2 2.14 2.08 2.02 2 2 2 2 . . . 2 2
.
i=25 x=2400 . 0 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . 2 2
Construyendo la atri! solu"i#n $ara la $arte so%reada en la ta%la 1. n+ 1
A∗ hi
=B
J %+HJ t+HJ !iH+.J t%#t$H+.J CrH*J H*!iCrt%#t$BJ *H!iCrt%#t$BJ H!i*CrCrt%#t$BJ ,HCr!iCrt%#t$BJ n:HLd:*J n4Htdt*J H!#rosn4;n:BJ *;6BHJ Kcondicion inici$' 6;n:BHJ K8ront#r$ $u$s $1$(o
7H+6dt6tJ H+6d:6LJ K3$'or#s $ '$ 8ront#r$ $u$s $rri1$ 8or (H6n4 i8 tt(BQH* (;*BHtt(B%+J #nd i8 tt(B* << tt(BQH (;*BH%+t+tt(BJ #nd i8 tt(B (;*BHJ #nd #nd K so'uci0n "$r$ nodos int#rnos Kconstru4#ndo '$ m$tri! d# co#8ici#nt#s 8or uH6n4J mHn:J AH!#rosmBJ 8or iH*6m Ai;iBHJ #nd 8or iH6m Ai*;iBH*J #nd K cr#$ndo '$ m$tri! 1 H!#rosm;*BJ *;*BHu*;B,u*;,B K"rim#ro m;*BHu*;n:*B,u*;n:B*u;n:BJ Ku'timo 8or iH6m* i;*BHu*;i*B,u*;iBJ Kc#ntro #nd
K ALLANDO LAS INCTGNI7AS POR EL M7ODO DE SUS7I7UCITN ACIA ADELAN7E nH'#nt%BJ 8or =H*6n* 8or iH=*6n 8$ctorHAi;=BA=;=BJ 8or (H=*6n Ai;(BHAi;(B8$ctorA=;(BJ #nd iBHiB8$ctor=BJ #nd #nd 4nBHnBAn;nBJ KSUS7I7UCION ACIA A7RAS 8or iHn*6*6* sumH+J 8or (Hi*6n sumHsumAi;(B4(BJ #nd 4iBHiBsumBAi;iBJ #nd dis" B Kdis"L$ m$tri! d# inc0nit$ #sB u;6n:*BH4J #nd KGRAFICAS tit'#%mB 3s t%BB :'$1#'7i#m"o%BB 4'$1#'A'tur$mBB $:is+ * + /B %o'd on rid on "'ot7;6;*B;1B %o'd on "'ot7;6;-B;rB %o'don "'ot7;6;*,B;B %o'don
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