UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA AGRÍCOLA
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ESTÁTICA Ramón Lobato Silva Jo J osé M anu nueel R abelo M i r anda C hap hapi ngo ngo, M éxico xi co,, agosto de 2016 2016
ESTÁTICA
PRESENTACIÓN DEL CURSO
PRESENTACIÓN: En el marco del proceso docente educativo orientado hacia la formación de profesionales en mecanización agrícola, la Estática representa una asignatura básica del plan de estudios de la carrera de Ingeniería Mecánica Agrícola. Esto, entre otras razones, porque durante su explotación todas las máquinas, y estructuras en general, invariablemente se ven sometidas a la acción de sistemas de fuerzas. La Estática, como la rama de la Mecánica, estudia un aspecto de los efectos externos de la fuerzas sobre los cuerpos o sistemas: las condiciones de equilibrio mecánico; la Dinámica, por su parte, estudia otro aspecto de los efectos externos: la relación entre las fuerzas y el movimiento; mientras que en la Mecánica de Materiales, se estudian los efectos internos de las fuerzas: lo relativo a la resistencia mecánica, la rigidez y la estabilidad de elementos de máquinas y estructuras. Como parte de las asignaturas del primer semestre de la carrera de Ingeniería Mecánica Agrícola, el contenido del curso de Estática supone que el estudiante está familiarizado con conocimientos y habilidades para la solución de problemas correspondientes a las asignaturas de Física General y Cálculo Diferencial e Integral. Por tratarse de una asignatura básica para el estudio de la ingeniería, el contenido del curso de Estática contribuye a la adquisición de los conocimientos imprescindibles para la comprensión de los fundamentos del objeto de la carrera y para la formación científica general del futuro profesional en ingeniería. En particular, los conocimientos y habilidades habilidades que se adquieran en Estática resultarán esenciales para la asimilación de asignaturas subsecuentes del plan de estudios, a saber: Dinámica, Mecánica de Materiales, Mecánica de Fluidos, Diseño de Elementos de Máquinas y Máquinas Agrícolas, entre otras. Como sucede con cualquier asignatura básica de ingeniería, todos los conceptos que se estudian en Estática tienen un significado físico bien definido y ofrecen posibilidades de apli aplicaci cacione oness bási básicas cas o fundam f undameentales ntales, que permiten comprender los fenómenos físicos, así como predecir el funcionamiento y la respuesta de los sistemas de ingeniería ingeniería en relación con los efectos externos de las fuerzas que actúan sobre ellos; aplicaciones prácticas o de ingeniería, para el análisis y diseño de elementos de máquinas y estructuras; y aplicaciones académicas, para el estudio de otras disciplinas de la ingeniería y asignaturas del plan de estudios de la carrera. La Me M ecánica cánica es la rama de la Física que estudia las leyes generales del movimiento mecánico de los cuerpos y establece los métodos generales para la solución de los problemas relacionados con este tipo de movimiento.
movim mi ento mecáni mecánico co (o simplemente movimiento) se refiere al cambio de posición de El movi los cuerpos, unos con respecto a otros, que sucede en el transcurso de tiempo, así como a la variación de la posición relativa de las partículas de un mismo cuerpo, es decir, la 1
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PRESENTACIÓN DEL CURSO
deformación de este último. El estado de reposo de los cuerpos es un caso especial de movimiento, de cuyo estudio se encarga la rama de la Mecánica denominada E stá stática. No obstante que los cuerpos con que trata la Mecánica pueden ser sólidos, s ólidos, líquidos o gases, su movimiento posee propiedades que no dependen del estado de agregación de los mismos. Los problemas relacionados con la estructura interna de los cuerpos, con sus propiedades físicas y con las leyes de sus interacciones, quedan fuera de los límites de la Mecánica, y constituyen el objeto de estudio de otras ramas de la Física. Sin embargo, sin el conocimiento de las leyes de la Mecánica es prácticamente imposible estudiar las demás disciplinas de la Física, ya que en casi todos los fenómenos físicos y procesos se presenta el movimiento mecánico. Como fundamento científico de las disciplinas de ingeniería, la Mecánica es todo un conjunto de asignaturas técnicas, generales y especiales, - Estática, Dinámica, Mecánica del Medio Continuo, Mecánica de Materiales, Teoría de Máquinas y Mecanismos, Mecánica de los Fluidos, Mecánica de Suelos, entre otras- dedicadas a la investigación del movimiento de los cuerpos sueltos y de sus sistemas, así como al diseño y análisis de mecanismos, máquinas y estructuras. Con mayor precisión, el objetivo de la Estática, como ciencia, es el estudio de las
prop propie ied dades gene general ralees de las las fuer fuer zas y las las cond condii cione cioness de eq equilib uili bri o de los los cue cuer pos som sometidos idos a la acci cci ón de fuer fuer zas.
En correspondencia con las consideraciones anteriores, el contenido del presente curso incluye la exposición de la teoría – conceptos, conceptos, definiciones, leyes o principios y teoremasde la Estática y sus aplicaciones a la solución de problemas. Se procura hacer una presentación lo más unificada y concisa posible, es decir, hacer la deducción de las ecuaciones para las categorías más generales de sistemas de fuerzas y, a partir de ellas, obtener las correspondientes a los sistemas más simples. Se hace uso intensivo del formalismo matemático correspondiente al Álgebra Vectorial. Finalmente, a pesar de que la asignatura asignatura de Estática es de naturaleza básica y de tipo teórico y, no obstante, que sus leyes y teoremas son muy pocos, la asimilación de su contenido, así como la habilidad para su aplicación a situaciones reales, requiere un alto nivel de entrenamiento en la solución de problemas. Por esta razón, la parte práctica del curso se desarrolla mediante la formulación y resolución de numerosos problemas; unos de valoración académica, con el propósito de comprender los conceptos y teoría básica de la asignatura; otros relacionados con el ejercicio de la profesión, para motivar la aplicación a situaciones de la vida profesional; y algunos orientados hacia la investigación, a fin de inducir actitudes hacia la búsqueda de nuevos conocimientos para fomentar la creatividad y el trabajo independiente del futuro profesional. En todos los casos es imprescindible la participación activa del estudiante, tanto en las clases como fuera de ellas. 2
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PRESENTACIÓN DEL CURSO
Así, en este contexto, el curso de Estática tiene los siguientes objetivos generales, a saber:
Valorar la importancia del conocimiento y comprensión de los conceptos de las ciencias básicas de la ingeniería, para lograr su aplicación a problemas de análisis y diseño de sistemas.
Analizar los conceptos y leyes correspondientes a: la composición y descomposición de fuerzas; la reducción de los sistemas de fuerzas a su expresión más simple; y la determinación de las condiciones de equilibrio de los sistemas de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido. Todo a través de sus aplicaciones al análisis y diseño de sistemas en equilibrio.
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PRESENTACIÓN DEL CURSO
CONTENIDO: UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LA ESTÁTICA .................................................................. 8 1.1 Caracterización de la Estática ....................................................................................... ............................................................................. .......... 8 1.2 El papel de la Estática en la ingeniería ....................................................................... ............................................ ........................... 12 1.3 Conceptos fundamentales de la Estática ................................................... ..................................................................... .................. 14 1.4 Dimensiones y unidades de las principales magnitudes mecánicas............................ 17 1.5 Álgebra vectorial v ectorial .................................................... ........................................................................................................ ...................................................... 24 1.6 Momento de una fuerza .............................................................................................. 67 1.7 Principio de los momentos: teorema de Varignon ...................................................... 71 1.8 Par de fuerzas ............................................... .................................................................................................... ............................................................... .......... 84 1.9 Teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza fu erza ...................................................... 88 1.10 Fuerzas distribuidas .................................................................................................. 93 1.11 Reducción de d e los sistemas de fuerzas: resultantes .................................................... 97
UNIDAD 2. EQUILIBRIO ....................................................................................................... 111 2.1 Axiomas de la Estática .................................................... .............................................................................................. .......................................... 111 2.2 Condiciones de equilibrio ......................................................................................... ................................................................................... ...... 116 2.3 Formas independientes de las ecuaciones de equilibrio ........................................... 117 2.4 Apoyos y sus reacciones ................................................ ........................................................................................... ........................................... 118 2.5 Diagrama de cuerpo libre ( DCL .............................................................. ................ 120 DCL) .............................................................................. 2.6 Sistemas isostáticos e hiperestáticos ................................................ ......................................................................... ......................... 122 2.7 Solución de problemas de equilibrio ........................................................................ 122 2.8 Equilibrio de partículas ................................................... ............................................................................................. .......................................... 123 2.9 Equilibrio de cuerpos rígidos .................................................. .................................................................................... .................................. 135 2.10 Aplicaciones a estructuras estru cturas y máquinas ................................................................... 168 2.11 Equilibrio en presencia de fricción seca ................................................................. 194 2.12 Armaduras .................................................. ....................................................................................................... ............................................................. ........ 216
UNIDAD 3. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES PLANAS ..................................................................................................................................... 228 3.1 Centro de gravedad, grav edad, centro de masa mas a y centroide ...................................................... ................................................ ...... 228 3.2 Momento estático ................................................... ...................................................................................................... ................................................... 234 3.3 Momento de inercia .................................................................................................. 236 3.4 Producto de inercia ................................................................................................... 238 4
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PRESENTACIÓN DEL CURSO
3.5 Momento polar de inercia ......................................................................................... 241 3.6 Ejes principales y momentos principales de inercia ................................................. 243 3.7 Características geométricas de los perfiles comerciales de acero ............................. 250
PLAN DE CLASES: UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LA ESTÁTICA (19 clases) 1.1 Caracterización de la Estática 1.2 El papel de la Estática en la ingeniería Clase 1. Temas: 1.3 Conceptos fundamentales de la Estática Clase 2 y 3. Tema: 1.4 Dimensiones y unidades de las principales magnitudes mecánicas Clase 4 a 8. Tema: Clase 9 a 11. Temas:
1.5 Álgebra vectorial 1.6 Momento de una fuerza 1.7 Principio de los momentos: Teorema de Varignon
Clase 12. Tema:
1.8 Par de fuerzas
Clase 13. Tema:
1.9 Teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza: Reducción fuerza par.
Clase 14 y 15. Tema:
1.10 Fuerzas distribuidas
Clase 16 a 19. Tema:
1.11 Reducción de los sistemas de fuerzas: Resultantes
EVALUACIÓN PARCIAL 1 UNIDAD 2. EQUILIBRIO (20 clases) 2.1 Axiomas de la Estática Clase 20. Temas:
2.2 Condiciones de equilibrio 2.3 Formas independientes de las ecuaciones de equilibrio
Clase 21. Temas:
2.4 Apoyos y sus reacciones 2.5 Diagrama de cuerpo libre (DCL)
Clase 22. Temas:
2.6 Sistemas isostáticos e hiperestáticos 2.7 Solución de problemas de equilibrio
Clase 23 a 26. Tema:
2.8 Equilibrio de partículas
Clase 27 a 30. Tema:
2.9 Equilibrio de cuerpos rígidos 5
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PRESENTACIÓN DEL CURSO
EVALUACIÓN PARCIAL 2 Clase 31 a 34. Tema:
2.10 Aplicaciones a estructuras y máquinas
Clase 35 a 37. Tema:
2.11 Equilibrio en presencia de fricción seca
Clase 38 y 39. Tema:
2.12 Armaduras.
EVALUACIÓN PARCIAL 3 UNIDAD 3. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS ÁREAS PLANAS (9 clases) 3.1 Centroide Clase 40 y 41. Temas: 3.2 Momento estático 3.3 Momento de inercia
Clase 42 a 44. Temas: 3.4 Producto de inercia 3.5 Momento polar de inercia
Clase 45 a 47. Tema:
3.6 Ejes principales y momentos principales de inercia
Clase 48. Temas:
3.7 Características geométricas de los perfiles comerciales de acero
EVALUACIÓN PARCIAL 4
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PRESENTACIÓN DEL CURSO
METODOLOGÍA DIDÁCTICA: Con el propósito de facilitar la adquisición de conocimientos, el profesor, al inicio de cada tema, realizará clases teóricas, donde se hará el análisis de los conceptos y leyes principales. Para desarrollar habilidades en la aplicación de la teoría, el profesor realizará clases prácticas, donde se resolverán problemas representativos de cada tema. Este tipo de clases representarán más del 50% del curso. Durante las clases prácticas se hará énfasis en los aspectos metodológicos para la solución de los problemas y se promoverá la participación activa del estudiante. Con el fin de fomentar el trabajo independiente por parte de los estudiantes, para cada tema el profesor indicará la lectura de material bibliográfico, que permita complementar las clases del curso; asimismo, se asignarán problemas para que sean resueltos por los estudiantes como tareas.
EVALUACIÓN: Evaluaciones frecuentes Cuatro exámenes parciales Tareas y trabajos
10% 60% 30%
BIBLIOGRAFÍA: Texto:
Hibbeler, R.C. 2016. “Engineering Mechanics” Statics, 14th ed. Prentice-Hall. U.S.A.
Consulta: Beer, F.P.; Johnston, E.R. and Eisenberg R.E. 2013 “Vector Mechanics for Engineers”, Vol. 1, Statics 10th ed. SI, McGraw-Hill Book Co. Singapore.
Boresi, A.P. and Richard J. Schmidt. 2001.”Engineering Mechanics”, Vol. 1, Statics. BROOKS/COLE, U.S.A.
Costanzo, F., Plesha, M. E. and Gray, G.L. 2010. “Engineering Mechanics: Statics and Dynamics”, McGraw Hill. U.S.A.
Gross, D., et al . 2009. “Engineering Mechanics” Statics. Springer. Germany.
Meriam, J. L. and Kraige, L. G. 2015. “Engineering Mechanics”, Vol. 1, Statics, 8th. ed., John Wiley and Sons, Inc., New York, U.S.A.
Soutas-Little, R.W.; Inman, D.J. and Balint, D. S. 2008. “Engineering Mechanics”, Vol. 1. Statics, THOMSON. 7
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UNIDAD 1
UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LA ESTÁTICA Objetivo Desarrollar los métodos para la composición y descomposición de fuerzas, y para la reducción de los sistemas de fuerzas aplicadas a un cuerpo a su expresión más simple, a fin de facilitar el análisis de los efectos de las fuerzas sobre los cuerpos o sistemas.
Temas: 1.1 Caracterización de la Estática 1.2 El papel de la Estática en la ingeniería 1.3 Conceptos fundamentales de la Estática 1.4 Dimensiones y unidades de las principales magnitudes mecánicas 1.5 Álgebra vectorial 1.6 Momento de una fuerza 1.7 Principio de los momentos: teorema de Varignon 1.8 Par de fuerzas 1.9 Teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza 1.10 Fuerzas distribuidas 1.11 Reducción de los sistemas de fuerzas: resultantes
1.1 Caracterización de la Estática ¿Cuál es el objeto estudio de la Mecánica? La E stática es parte de la Mecánic a, y ésta es una rama de la Física. La Física es la ciencia que estudia los diferentes tipos de movimientos de la materia y sus transformaciones mutuas, así como la estructura y propiedades de las formas concretas de la materia (sólidos, líquidos, gases y campos). La palabra Física es de origen griego y significa naturaleza; como ciencia se inicia con Galileo (1564-1642). La Mecánica es la rama de la Física que estudia las leyes generales del movimiento mecánico (o simplemente el movimiento) de los cuerpos, y establece los métodos generales para la solución de los problemas relacionados con este tipo de movimiento. La palabra mecánica es de origen griego y significa construcción, máquina o invento; aparece por primera vez en las obras de Aristóteles (384-322 a.C.). 8
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UNIDAD 1
El movimiento mecánico se refiere a los cambios de posición (desplazamientos) de los cuerpos, unos con respecto a otros, que suceden en el transcurso del tiempo, así como la variación de la posición relativa de las partículas de un mismo cuerpo, es decir, la deformación de este último. El estado de reposo de los cuerpos es un caso especial de movimiento, de cuyo estudio se encarga la parte de la Mecánica denominada E stática.
Problemas fundamentales de la Mecánica como ciencia. 1.
E l estudio de diferentes movimientos y la generalización de los resultados obtenidos en forma de leyes, con ayuda de las cuales pueda predecirse el carácter del movimiento en cada caso concreto.
Así se han establecido, por ejemplo, las leyes y teoremas de la Dinámica y, en particular, de la Estática. 2.
La búsqueda de propiedades generales, propias de cualquier sistema, independientemente de la especie concreta de interacción entre los cuerpos de éste.
Así se han descubierto las leyes de conservación de: la energía, la cantidad de movimiento y del momento de la cantidad de movimiento.
¿Cuáles son las divisiones o campos de la Mecánica? Como ocurre en toda la Física, la clasificación más general de la Mecánica es como sigue: Velocidad ?
c
?
Mecánica Cuántica Relativista
Mecánica Clásica Relativista
Mecánica Cuántica
MEC NICA CLÁSICA
Cosmología Relativista
c
10-15
10-10
Cosmología
1020
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Dimensiones ( m )
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UNIDAD 1
Se llama Mecánica Clásica, la Mecánica basada en las tres leyes de Newton. Actualmente la Mecánica Clásica es todo un conjunto de asignaturas técnicas, generales y especiales, dedicadas a la investigación del movimiento de los cuerpos sueltos y de sus sistemas; así como al análisis y diseño de distintas obras de ingeniería, especialmente estructuras, máquinas y procesos. Dependiendo de la naturaleza de los cuerpos y problemas que se examinan, la Mecánica Clásica se divide en: ESTÁTICA
CINEMÁTICA
DE CUERPOS RÍGIDOS
DINÁMICA CINÉTICA
MECÁNICA
MECÁNICA DE MATERIALES
CLÁSICA
DE CUERPOS DEFORMABLES
TEORÍA DE LA ELASTICIDAD
INCOMPRESIBLES (Hidráulica)
DE FLUIDOS COMPRESIBLES (Neumática)
¿Qué es la Estática? Definición. Se llama Estática a la rama de la Mecánica donde se desarrollan las nociones generales de las fuerzas y se estudian las condiciones de equilibrio mecánico de los cuerpos que se encuentran bajo la acción de fuerzas. Por equilibrio mecánico se entiende el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo con velocidad constante, con relación a otros cuerpos.
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ESTÁTICA
UNIDAD 1
¿Cuáles son los problemas generales de la Estática? 1.
E stablecer los métodos para la composición y descomposición de fuerzas y la reducción de los sistemas de fuerzas, aplicadas a un cuerpo, a su expresión más simple. Esto con el propósito de predecir los efectos externos de las fuerzas sobre los cuerpos o sistemas.
2. Determinar las condiciones de equilibrio mecánico de los cuerpos, sometidos a la acción de sistemas de fuerzas, y su aplicación al análisis y diseño de sistemas de ingeniería, principalmente máquinas y estructuras en general. Problema 1/1. La siguiente armadura asimétrica se utiliza en instalaciones para sistemas de captación de energía solar. Las cinco fuerzas verticales se deben a la llamada carga muerta (que incluye el peso propio de la estructura y de los equipos colocados permanentemente sobre ella), y la fuerza de 400 N, perpendicular a la línea ABC, representa el efecto de la presión del viento. Para este sistema formule problemas típicos de Estática.
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UNIDAD 1
1.2 El papel de la Estática en la ingeniería ¿Qué actitud se debe asumir al emprender el estudio de la Estática en una carrera de ingeniería? El estudio de cualquier ciencia básica de ingeniería incluye, al menos, cuatro niveles de entendimiento o asimilación de su contenido: 1º. Conocer . Este es el nivel más elemental de entendimiento o asimilación, y se limita sólo a reconocer hechos tales como definiciones, ecuaciones, leyes, teoremas, clasificaciones, principalmente. Esto se logra mediante el estudio general de los temas de la asignatura. 2°. Comprender . Se refiere a entender el significado de los conceptos y principios. Esto se consigue mediante el análisis y deducciones teóricas correspondientes. 3º. Aplicar . Es la utilización de los principios y leyes a la solución de problemas relacionados con la temática. Por ejemplo, la aplicación del concepto de momento y la tercera ley de Newton a la solución de problemas de equilibrio de cuerpos rígidos.
4°. Analizar . Es la habilidad de separar un concepto o sistema en sus partes simples. El análisis requiere la habilidad no solamente para comprender conceptos individuales y ser capaz de aplicarlos, sino también entender las relaciones entre conceptos. ¿Cuál es el papel de la asignatura de Estática en la carrera de Ingeniería Mecánica Agrícola? Todos los conceptos y principios que se estudian en Estática tienen un significado físico bien definido y ofrecen las siguientes posibilidades de aplicaciones: 1. Aplicaciones básicas o fundamentales: Útiles para comprender, explicar y predecir la respuesta de los fenómenos físicos y el funcionamiento o comportamiento de sistemas de ingeniería (máquinas, estructura y procesos). 2. Aplicaciones prácticas o de ingeniería: Importantes para el análisis y diseño de sistemas de ingeniería en estado de equilibrio mecánico. 3. Aplicaciones académicas: Necesarias para la asimilación y comprensión de otras asignaturas y disciplinas de ingeniería.
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UNIDAD 1
Problema 1/2. La válvula de seguridad A de una caldera de vapor está unida por medio de la barra AB con la palanca homogénea CD de 50 cm de longitud y de 10 N de peso, que puede girar alrededor del eje fijo C ; el diámetro de la válvula es d = 6 cm, el brazo BC = 7 cm. Formular un problema correspondiente a cada una de las aplicaciones anteriores. C
B
D A Q
d
Solución: 1. Aplicación básica:
2. Aplicación práctica:
3. Aplicación académica:
Finalmente, es oportuno precisar la misión de la ingeniería. De acuerdo con la ABET (the Accreditation Board for Engineering and Technology): “La Ingeniería es la profesión en la cual el conocimiento de las ciencias matemáticas y naturales – obteniendo a través del estudio, la experiencia y la práctica – se aplica con
criterio para desarrollar modos para la utilización económica de los materiales y fuerzas de la naturaleza para el beneficio de la humanidad”.
Lo anterior incluye, en particular, el análisis y diseño de estructuras, máquinas y procesos. En otras palabras la ingeniería es la aplicación de la ciencia a los propósitos de la sociedad. En conclusión, la ingeniería (principalmente en sus áreas civil, mecánica y agrícola) se fundamenta en las siguientes ciencias básicas de ingeniería: 1. Mecánica de Cuerpos Rígidos, 2. Mecánica de Materiales, 3. Mecánica de Fluidos, 4. Termodinámica, 5. Electricidad. 13
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UNIDAD 1
1.3 Conceptos fundamentales de la Estática La estructura de cualquier disciplina científica incluye conceptos y leyes. Los conceptos son una parte esencial para el desarrollo y la exposición de cualquier ciencia. Representan las ideas y el leguaje comúnmente utilizado para expresarla. 1. El espacio y el tiempo son conceptos primitivos de la Mecánica, en el sentido de que no se les puede dar una definición rigurosa que indique de qué modo dichos conceptos están ligados con las nociones o conceptos más generales. En los fenómenos físicos se encuentran diferentes magnitudes físicas. Pero en casi todos los fenómenos participan, además de otras, dos magnitudes: longitud y tiempo. La longitud es la medida de la extensión de los cuerpos y el tiempo, la medida de la duración de los procesos y fenómenos. La definición de estas magnitudes está vinculada estrechamente en sentido filosófico con los conceptos del espacio y el tiempo. El espacio y el tiempo son las formas de existencia de la materia. Fuera del tiempo y del espacio no hay materia, no hay fenómenos. 2. Masa y peso. La masa de un cuerpo es una medida cuantitativa de la inercia de éste; mientras que el peso de un cuerpo es la fuerza de atracción gravitacional ejercida por la Tierra sobre el mismo. De acuerdo con la segunda ley de Newton la relación que existe entre el peso, P , y la masa, m, es:
,
donde P se mide en newtons (N), m se mide en kilogramos (kg) y g es la aceleración debida a la gravedad (m/s2). 3. Un cuerpo de cuyas dimensiones se puede prescindir en las condiciones de un problema dado se llama partícula o punto material. 4. Se llama cuerpo rígido a aquel cuerpo en el cual la distancia entre dos de sus puntos cualesquiera permanece invariable, es decir, se supone que no se deforma, cuando está sometido a fuerzas. 5. La magnitud física que es la medida cuantitativa de la interacción mecánica entre los cuerpos materiales se llama, en Mecánica, fuerza. La fuerza es una magnitud física vectorial. En consecuencia, la acción de una fuerza sobre un cuerpo se determina por: 1) el valor numérico o magnitud (módulo) de la
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UNIDAD 1
fuerza, 2) la dirección de la fuerza, 3) el sentido de la fuerza y 4) el punto de aplicación de la fuerza. 6. El proceso de combinar (sumar) dos o más fuerzas para obtener una sola fuerza se llama composición de fuerzas. 7. La descomposición de una fuerza, en dos o más componentes, significa hallar un sistema de fuerzas, cuya suma sea igual a la fuerza dada. 8. A un conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo cualquiera se denomina sistema de fuerzas. Ejemplo de un sistema de fuerzas coplanar general.
9. A todo cuerpo, no enlazado con otros cuerpos, y que a partir de la posición dada se le puede imprimir o comunicar cualquier desplazamiento en el espacio, se llama cuerpo libre. 10. Si un sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre puede ser sustituido por otro, sin que por esto cambie el estado de reposo o de movimiento del cuerpo, entonces estos dos sistemas son equivalentes. 11. Todo sistema de fuerzas, bajo cuya acción un cuerpo libre puede encontrarse en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, se llama sistema equilibrado o equivalente a cero. 12. Si un sistema de fuerzas es equivalente a una sola fuerza, ésta se llama fuerza resultante del sistema de fuerzas en cuestión. De este modo, la resultante es una fuerza que por sí sola remplaza la acción que el sistema de fuerzas ejerce sobre el cuerpo rígido, en lo que a efectos externos se refiere. 15
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UNIDAD 1
13. Toda fuerza igual a la resultante en módulo, de sentido opuesto a la de la resultante y que actúa a lo largo de la misma línea de acción se llama fuerza equilibrante. 14. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden dividirse en dos categorías: externas e internas. Las fuerzas que actúan sobre las partículas de un cuerpo por parte de otros cuerpos se llaman externas. Las fuerzas con las cuales las partículas de un mismo cuerpo actúan entre sí se llaman internas. 15. La fuerza aplicada a un cuerpo en un punto se llama fuerza concentrada. Las fuerzas que actúan sobre todos los puntos del volumen o en cierta parte de la superficie del cuerpo se llaman fuerzas distribuidas. 16. Un cuerpo cuyos desplazamientos en el espacio se ven restringidos, sea por encontrarse enlazado con otros cuerpos, sea por encontrarse en contacto con ellos, se llama no libre. 17. Todo lo que restringe los desplazamientos de un cuerpo dado en el espacio se llama apoyo o ligadura. 18. La fuerza con la cual el apoyo dado actúa sobre un cuerpo, restringiendo uno u otro de sus desplazamientos, se llama fuerza de reacción de apoyo o, simplemente, reacción. La reacción está dirigida en sentido opuesto a la dirección en que la conexión o apoyo impide el desplazamiento del cuerpo. 19. A las fuerzas que no sean reacciones de ligadura (tales como la fuerza de gravedad) se llaman fuerzas activas. 20. Un diagrama de cuerpo libre (DCL) es un croquis o esquema de un cuerpo, de una porción de un cuerpo o de dos o más cuerpos interconectados y completamente aislados o libres de otros cuerpos, donde se representan todas las fuerzas (conocidas y desconocidas) que actúan sobre el cuerpo considerado, a causa de su interacción con los cuerpos que lo circundan. Ejemplo de diagrama de cuerpo libre de un cuerpo modelado como una partícula:
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UNIDAD 1
Ejemplo de diagramas de cuerpo libre de un sistema de cuerpos rígidos:
600 N 0.2 m
0.2 m
0.2 m
E y A x
A y
0.2 m
0.2 m
CD 600 N C y C x
ABC
D y
C y B x
C x
D x
B y
BDE
D x
B y B x
A x
D y
E y
A y
1.4 Dimensiones y unidades de las principales magnitudes mecánicas En este apartado sólo se presentan las unidades y dimensiones de las magnitudes físicas estrictamente indispensables para el manejo inicial de la Mecánica; en el curso de I ngeniería y Sociedad se hace una presentación completa de la teoría de las unidades de las magnitudes físicas y sus aplicaciones.
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UNIDAD 1
Las magnitudes físicas son los conceptos que definen las propiedades de los cuerpos o las características de un proceso, cuyas variaciones siempre han de determinarse cuantitativamente por medio de mediciones, es decir, comparando la magnitud física en cuestión con otra magnitud determinada de la misma especie que se toma como unidad. Ejemplos de magnitudes físicas son: la longitud, la masa, la velocidad, la fuerza, la energía, el calor, la densidad y el momento de una fuerza.
Se llama unidad de medición, o simplemente unidad, de la magnitud física A, a una magnitud física elegida convencionalmente que tiene el mismo sentido físico que dicha magnitud A. Las unidades de las magnitudes físicas, convencionalmente, se dividen en dos categorías: 1. Las unidades básicas se establecen de forma arbitraria e independiente unas de otras. Se definen por medio de procesos físicos invariables o mediante prototipos normalizados. Ejemplos de unidades básicas, según el Sistema Internacional de Unidades, son el metro, el segundo y el kilogramo, para la longitud, el tiempo y la masa, respectivamente. 2. Las unidades derivadas se expresan a través de las fundamentales con ayuda de las leyes físicas o definiciones correspondientes. Ejemplos de unidades derivadas son el newton, el joule y el metro por segundo, para la fuerza, la energía y la velocidad, respectivamente.
Históricamente, en la Mecánica, los sistemas de unidades se dividieron en sistemas absolutos y sistemas gravitacionales. a) Sistemas absolutos: Cuando se consideran como magnitudes fundamentales a la masa (m) , la longitud (l ) y el tiempo (t ). La fuerza pasa a ser una magnitud física derivada. b) Sistemas gravitacionales: Cuando se consideran como magnitudes fundamentales a la fuerza ( F ) , la longitud (l ) y el tiempo (t ). La masa pasa a ser una magnitud física derivada. El símbolo [q] significa las dimensiones o, también, las unidades de la magnitud física q.
∙
Por ejemplo: [a] = LT -2, dimensiones de la aceleración; o bien, [a] = m s -2, unidades de la aceleración. Cuando una magnitud física q es adimensional se escribe [q] = [1]. 18
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UNIDAD 1
Tabla 1.1 Magnitudes físicas, que el Sistema Internacional de Unidades (SI) considera como fundamentales para la Mecánica. MAGNITUD FÍSICA
DIMENSIÓN
NOMBRE DE LA UNIDAD
SÍMBOLO DE LA UNIDAD
Longitud
L
metro
m
Masa
M
kilogramo
kg
Tiempo
T
segundo
s
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD La longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299 792 458 s. Adoptado en 1983. Masa igual a la del prototipo internacional guardado en Sevres (Francia). Establecido en 1901. Tiempo igual al de la duración de 9 192 631 770 periodos de radiación correspondiente a la transición entre dos niveles superfinos del estado fundamental del átomo de cesio-133. Adoptado en 1967.
Toda magnitud física se caracteriza por tener dimensiones y, como consecuencia de ello, unidades.
MA GNI TUD F Í SI CA
DI ME NSI ÓN
UNI DAD
Tabla 1.2 Ejemplos de la relación magnitud física – dimensión – unidad.
Magnitud física Dimensiones Unidades Longitud L m Masa M kg Tiempo T s Densidad (volumétrica) ML - kg·mVelocidad LT m·sEl análisis de las dimensiones, las unidades correspondientes y, en su caso, la definición de la unidad, de las magnitudes físicas derivadas se realiza como en los siguientes ejemplos. Problema 1/3. Obtener las dimensiones y unidades SI de la fuerza. Solución:
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UNIDAD 1
Problema 1/4. Obtener las dimensiones y unidades SI de la presión. Solución:
Problema 1/5. Obtener las dimensiones y unidades SI del calor, del trabajo y la energía. Solución:
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UNIDAD 1
Problema 1/6. Obtener las dimensiones y unidades SI de la potencia. Solución:
Tabla 1.3 Prefijos SI de uso frecuente en ingeniería:
Factor 10 10 10 1010-6 10-9 Problema 1/7. Demostrar que Solución:
Símbolo G M k m
1 1 MPa
Problema 1/8. Demostrar que Solución:
Prefijo Giga Mega Kilo Mili Micro Nano
n
1 kPa∙m 1 kJ 21
Ejemplo 120 GPa 85 MN 10 kW 100 mA
25 μmol 12 ns
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Principio de homogeneidad dimensional:
Todas las ecuaciones, ya sea que se expresen en forma numérica o simbólica, deben ser dimensionalmente homogéneas, esto es, las dimensiones de todos los términos en la ecuación deben ser iguales. Problema 1/9. Analizar la homogeneidad dimensional de las siguientes ecuaciones: 1)
, ,
donde s y 2)
son distancias, v0 es velocidad, a es aceleración y t es el tiempo.
donde z representa la altura geométrica, p la presión, γ el peso específico, V la velocidad del líquido y g la aceleración de la gravedad.
Solución:
22
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Conversión de unidades:
La conversión de unidades es una necesidad práctica que se puede presentar dentro de un mismo sistema de unidades o al pasar de un sistema de unidades a otro. E n ambos casos, el procedimiento se fundamenta en lo siguiente: a) El empleo de los factores de conversión. Tabla 1.4 Ejemplos de factores de conversión de unidades.
Longitud
Presión
F uerza
Energía
1 pulgada (in.) = 2.54 cm 1 pie (ft) = 0.304 8 m 1 yarda (yd) = 0.9144 m 1 milla (mi) = 1.609 km = 1 760 yd 1 angströn = 1 Ǻ = 10-10 m 1 kgf = 9.81N 1 lbf = 0.4536 kgf
Aceleración
g = 9.81 m/s2 = 32.2 ft/s2
Volumen
3
1 litro (L) = 1 000 cm 1 galón = 3.786 L
Ángulo plano 180 1 rad = = 57.296°
1 bar = 105 Pa 1 atm = 760 mm de Hg = 1.013 bar = 1.033 kgf/cm2 = 14.7 lbf/in.2 = 101 325 Pa = 10.332 m de H2O 1 cal = 3.969 x 10-3 Btu = 4.1860 J 1 Btu = 252 cal = 1.054 x 103 J 1 kilowatt-hora = 1 kW·h = (103 W )(3600 s) = 3.60 x 106 J = 3.60 MJ
Potencia
1 hp = 550 ft·lb/s = 746 W 1 cv = 736 W 1 W = 1 J/s = 0.738 ft·lb/s = 3.413 Btu/h 1 Btu/h = 0.293 W
Masa
1 000 kg = 1 t (tonelada métrica) 1 slug =14.59 kg 1 lbm = 0.4536 kg
Tiempo
1 h = 3600 s
Área
1 ha = 104 m2 1 acre = 4046.9 m2
b) La propiedad de los números reales de que a x 1 = a = 1 x a, donde el 1 debe interpretarse de la siguiente manera: Como se sabe, por ejemplo, 1 ft = 0.3048 m. De aquí resulta:
. .. 1,
. 1. Generalizando:
o bien
10.3048ft m 0.0.33048048 mm 11 fftt 0.31048ft m 9.18kgf1 N 9.18kgf1 N 7461 hpW 7461 hpW ⋯1 23
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/10. Convertir una rapidez de un kilómetro por hora (km/h) a metros por segundo (m/s). Solución:
Problema 1/11. Una atmósfera de presión equivale a 14.7 libras por pulgada cuadrada (lbf/in.2), convertir este valor a pascales (N/m2). Solución:
1.5 Álgebra vectorial Vectores y escalares. ¿Cuál es la diferencia entre escalares y vectores? La investigación de los fenómenos en las ciencias naturales e ingeniería conlleva el tratamiento de magnitudes físicas de diversa naturaleza matemática: escalares, vectores y tensores. La diferencia entre estas cantidades radica en sus expresiones analíticas y en las leyes de transformación de tales expresiones cuando se pasa de un sistema de coordenadas a otro. Una magnitud física escalar (por ejemplo, la masa, el tiempo, la temperatura y la energía) queda definida solamente por su valor numérico (módulo), el cual expresa la relación entre esta magnitud respecto a la unidad de medida elegida. En otras palabras, los escalares son magnitudes físicas que se caracterizan de manera plena mediante un sólo número, acompañado de las unidades correspondientes. Los escalares se representan con símbolos como: r , v, a, F , m y E .
24
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Una magnitud vectorial (por ejemplo, la fuerza, la velocidad, la aceleración, el momento de una fuerza, la cantidad de movimiento y el impulso de una fuerza), además de su valor numérico está definida también por su dirección y sentido en el espacio. Las magnitudes vectoriales se caracterizan mediante el uso de un conjunto de ordenado de números. Los vectores se representan con símbolos como:
Tratamiento geométrico de vectores.
⃗,⃗, ⃗, ⃗.
La base del tratamiento geométrico de las magnitudes vectoriales radica en la posibilidad de representar un vector mediante un segmento dirigido, así como en la ley del paralelogramo. 1) Representación de un vector mediante un segmento dirigido. Línea de acción (dirección)
Q
Sentido →
F Punto de aplicación
F Magnitud o módulo
A P
2) Ley del paralelogramo.
Dos vectores aplicados en un mismo punto tienen un vector resultante aplicado y en ese mismo punto, y representado por la diagonal del paralelogramo construido sobre estos vectores como lados.
25
ESTÁTICA
UNIDAD 1
⃗
⃗
⃗⃗⃗
El vector , equivalente a la diagonal del paralelogramo formado por los vectores y se llama suma vectorial de los vectores y :
⃗
,
Es muy importante observar que la ecuación anterior se refiere a una suma vectorial. Por ejemplo si el vector tiene una magnitud de 100 y el vector de 200, el módulo del vector no necesariamente es igual a 300.
⃗
En los problemas aplicados, para relacionar los módulos o magnitudes, la ley del paralelogramo se complementa con relaciones trigonométricas basadas en la ley de los cosenos y en la ley de los senos, principalmente. a) Ley de los cosenos: b) Ley de los senos:
2cos.
N
γ
S
ϕ
θ M
B
A
¿Qué tipo de problemas se pueden resolver con ayuda de la ley del paralelogramo?
26
ESTÁTICA
UNIDAD 1
⃗⃗⃗⃗.
Problema 1/12. Aplicación de la ley del paralelogramo a la composición o adición de dos fuerzas. Sean y dos fuerzas aplicadas a un punto de un cuerpo y la resultante de éstas, es decir,
a) Deducir fórmulas generales fórmulas para la magnitud R de y para el ángulo , en términos de F 1 , F 2 y θ . b) Verificar los resultados de R y , para los casos particulares θ = 0°, 90° y 180°.
R
F 2 θ ϕ
F 1
Solución:
27
ESTÁTICA
UNIDAD 1
28
ESTÁTICA
UNIDAD 1
4 kN
Problema 1/13. Aplicación de la ley del paralelogramo a la descomposición de una y para los dos pares de ejes fuerza en dos componentes. Para la siguiente fuerza a-b y x-y, determinar: a) Las componentes escalares F a y F b de la fuerza de 4 kN según las direcciones de los ejes oblicuos a y b. b) Las componentes escalares F x y F y de la fuerza de 4 kN a lo largo de los ejes cartesianas x e y.
y
b
4 kN 30° 40°
a
15°
x Solución:
29
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/14. Aplicación de la ley del paralelogramo al análisis y diseño estructural. La fuerza horizontal F = 500 N actúa sobre la estructura articulada como se indica. Determinar:
⃗
⃗ ⃗
a) Las magnitudes de las dos componentes de dirigidas a lo largo de las barras AB y AC , es decir, descomponer la fuerza F en dos componentes, y . b) Si la barra AB puede soportar una fuerza de tensión máxima, sin romperse, de 1600 N, y la barra AC puede soportar una fuerza máxima de compresión de 1200 N, sin sufrir pandeo, determine el valor máximo de la fuerza F que puede aplicarse a la estructura.
F
A
30° C
45°
B
Solución:
30
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/15. Aplicación de la ley del paralelogramo a un sistema dinámico. Para el mecanismo de biela y manivela, que se representa a continuación, determinar la fuerza circunferencial en el punto B y la presión sobre el eje O de la manivela, provocadas por la acción de la fuerza P aplicada al pistón A, si los ángulos α y β son conocidos; el peso de la biela AB y de la manivela OB se desprecia. Procedimiento: primero descomponer la fuerza P en dos componentes, una en la dirección AB y otra en la dirección perpendicular a la línea OA; luego la componente en la dirección AB descomponerla en otras dos componentes, una perpendicular a la dirección OB ( fuerza circunferencial ) y la otra en la dirección OB( presión sobre el eje O).
B
O
α
β
Solución:
31
A
P
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/16. Aplicación de la ley del paralelogramo a un problema de equilibrio. Una rueda de masa m se mantiene en estado de reposo sobre un plano inclinado liso con la ayuda de un cable. Determinar la fuerza de tensión en el cable, que actúa sobre la rueda y la fuerza de reacción que el plano ejerce sobre la rueda, esta última fuerza es normal o perpendicular al plano.
Solución:
32
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/17. Aplicación de la ley del paralelogramo cuando se trata de sumar más de dos vectores. En la figura se muestran cinco fuerzas aplicadas al nudo de una armadura utilizada en una estructura y contenidas en el mismo plano. Determinar la magnitud R de la resultante de las cinco fuerzas aplicadas al nudo, si T = 12 kN y C = 4 kN. Calcular, también, el ángulo que define la dirección de R a partir del sentido positivo del eje x.
Solución:
33
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/18. La barra de control AP ejerce una fuerza F sobre la pieza ranurada como se muestra. Determine las componentes x – y, además determine también las componentes en la dirección de los ejes n-t .
Solución:
34
ESTÁTICA
UNIDAD 1
|⃗|13, 19 ⃗ 24. ⃗
Problema 1/19. Olimpiada estudiantil. Están dados los vectores y Hallar .
⃗ y
de tal modo que
Solución:
Problema 1/20. Olimpiada estudiantil. Las fuerzas y actúan a lo largo de las líneas OA y OB, respectivamente, y su resultante es una fuerza de magnitud P ; si la fuerza , a lo largo de OA, es remplazada por una fuerza 2 a lo largo de OA, la resultante de 2 y es otra vez una fuerza de magnitud P . Encontrar:
a) La magnitud de en términos de la magnitud de . b) El ángulo entre OA y OB. c) Los ángulos entre cada una de las resultantes y la línea OA.
Solución:
35
ESTÁTICA
UNIDAD 1
36
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/21. El siguiente esquema corresponde a una barra AC , que trabaja a compresión, la cual está sostenida por los cables AB y AD. a) Si la tensión en el cable AB es igual a 20 kN, determinar la tensión F en el cable AD de tal modo que la resultante de ambas tensiones sea igual a una fuerza aplicada en el punto A con sentido de A hacia C . Esto garantiza que la barra AC trabaje a compresión pura. b) Descomponer la tensión de 20 kN del cable AB, aplicada en el punto A, en dos componentes, y , es decir, en las direcciones normal y axial al puntal AC , respectivamente.
n
A
t
10 m D
30°
10 m
C
10 m
B
Solución:
37
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Tratamiento analítico de vectores. El antecedente para el tratamiento analítico de vectores es la proyección de un vector sobre un eje. Se llama eje a una línea recta, sobre la cual se ha elegido un sentido de referencia positivo.
⃗
La proyección A λ del vector sobre el eje λ es una magnitud escalar igual al producto del módulo del vector por el coseno del ángulo θ formado por el sentido del vector y el sentido del eje, es decir:
D
B
A
A D1
θ λ'
A 0
λ'
E
B1 a
b
A λ
λ
θ
ϕ
d
⃗ 4
A λ
e
λ
Es claro que A λ es una proyección ortogonal de sobre el eje λ.
⃗
Problema 1/22. Para la siguiente fuerza sobre los ejes a y b.
kN, determinar las proyecciones F a y F b de
y b
F = 4 kN 30° 40°
a
15° x
Solución:
38
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/23. Determinar las proyecciones P a y P b de R sobre los ejes a y b, respectivamente.
Solución:
39
ESTÁTICA
UNIDAD 1
A continuación se presenta el procedimiento general para la representación o descripción analítica de un vector, con las ecuaciones correspondientes. En particular, se establece lo siguiente: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
Ángulos directores de un vector Proyecciones y componentes de un vector según los ejes de coordenadas Magnitud de un vector en función de sus proyecciones cartesianas Cosenos directores de un vector Vector unitario asociado a un vector Papel y la estructura matemática del vector unitario Vectores unitarios de la base, es decir, los vectores que indican la dirección y el sentido de los ejes de coordenadas 8) Expresión vectorial o analítica de un vector 9) Relación entre vector físico y vector geométrico.
⃗
Procedimiento para la descripción analítica de un vector: 1. Ángulos directores de un vector: Un vector, por ejemplo , puede ser construido a partir del módulo de éste, A, y los ángulos directores , y formados por la línea de acción del vector y los ejes de coordenadas. Estos ángulos definen la dirección de .
z
y
→
→
β O
⃗
A α
A
γ
x
β
O
y
α Caso 2D
x
Caso 3D
2. Proyecciones y componentes de un vector según los ejes de coordenadas: Con base en la ley del paralelogramo y en la trigonometría, las proyecciones A x, A y y A z , sobre los ejes de coordenadas, de resultan ser:
⃗
a) Para el caso 2D:
b) Para el caso 3D:
40
ESTÁTICA
UNIDAD 1 z →
A z
y →
A
γ
→
→
A
A y β O
→
α →
A x
x
→
A x
β
O
A y
y
→
α
A xy
Caso 3D
Caso 2D
x
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ≠ ⃗ ⃗
Los escalares , y se llaman componentes escalares (o simplemente componentes) de ; aunque también se les puede llamar proyecciones cartesianas del vector sobre los ejes de coordenadas xyz . Los vectores , y se llaman componentes vectoriales del vector según los ejes de coordenadas xyz . De este modo:
; pero, desde luego, A
.
3. Magnitud de un vector en función de sus proyecciones cartesianas: Conociendo las proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas, y aplicando el teorema de Pitágoras, se obtiene el módulo del vector : a) para el caso 2D:
b) para el caso 3D:
4. Cosenos directores de un vector. Simplemente así se denominan a los cosenos de los ángulos directores.
41
ESTÁTICA
Teorema:
UNIDAD 1
1 ⃗
⃗
5. Vector unitario asociado a un vector: El vector, cuya dirección y sentido coincide con los del vector , y cuyo módulo es igual a 1, se llama vector unitario asociado al vector . Este vector se designa, por ejemplo, por el símbolo .
A
n A 6. Papel y la estructura matemática del vector unitario. Estos dos aspectos quedan expresados por el siguiente teorema y su corolario respectivo.
⃗
Teorema: El vector .
⃗ ⃗
es un vector unitario en la misma dirección y sentido de
De este teorema se deduce que el vector unitario tiene la siguiente estructura matemática:
, , ,, 42
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Corolario: Todo vector puede representarse como el producto de su módulo por su vector unitario asociado, es decir, en la forma
̂, ̂
7. Vectores unitarios de la base, es decir, los vectores que indican la dirección y el se utilizan para indicar la sentido de los ejes de coordenadas. Los símbolos dirección y sentido de los ejes de coordenadas x, y, z , respectivamente. z
k O
j
y
i x
̂ ̂ ⃗ ⃗ ̂ , ⃗ ̂ ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂ (, , ) ⃗ ⃗ ⃗ Desde luego:
= (1, 0, 0),
= (0, 1, 0) y
= (0, 0, 1).
Los vectores se llaman componentes ortogonales del vector en las direcciones de los ejes x, y, z ; mientras que los valores numéricos , se llaman proyecciones cartesianas de .
8. Expresión vectorial o analítica de un vector. Con base en todas estas consideraciones, la expresión o definición analítica de un vector , es:
⃗ ⃗
9. Relación entre vector físico y vector geométrico. Considérese el caso de una fuerza (vector físico) no aplicada en el origen de coordenadas. Sean, además, y dos vectores geométricos que se extienden desde el origen de coordenadas a los puntos A = ( x A, y A , z A) y B = ( x B , y B , z B) que pertenecen a la línea de acción de . Sea, también, el vector definido por los puntos A y B, de A hacia B.
43
ESTÁTICA
UNIDAD 1
B (x B , y B , z B ) r = AB
z
F
r B
n F
A (x A , y A , z A )
r A O
y x
Del acuerdo con la ley del triángulo vectorial:
⃗ ⃗⃗ , de donde ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ |⃗ ⃗| ⃗ ⃗ , , |⃗ ⃗| | |
Como los vectores , vector físico, y , vector geométrico, tienen la misma dirección y sentido, comparten el mismo vector unitario . Así, de acuerdo con el teorema del punto 6, se tiene:
donde:
y
Por lo que, en definitiva:
44
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/24. La magnitud de la fuerza de tensión en el cable AB es T = 2.4 kN. Determinar, para los ejes xyz : a) b) c) d) e) f)
El vector unitario en la misma dirección y sentido de T La expresión vectorial de T Los cosenos directos de T Los ángulos directores de T Las componentes escalares o proyecciones de T Las componentes vectoriales de T .
Solución:
45
ESTÁTICA
UNIDAD 1
46
ESTÁTICA
UNIDAD 1
, y
Problema 1/25. Diferentes formas de especificar la dirección de un vector. Las fuerzas actúan en el punto A de una estructura metálica vertical, dichas fuerzas están especificadas de tres diferentes formas. Determine Determine las componentes escalares en x e y de cada una de las tres fuerzas, y expresarlas en forma analítica o vectorial. El sistema es coplanar en xy. y
D F1 = 1200 N
A
30° 25 m
2 F2 = 1600 N
F3 = 1500 N
C
1 10 m
B x
40 m
x
Solución:
47
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/26. Una placa de acero está sujeta a las dos fuerzas mostradas. Reemplazar estas fuerzas por dos fuerzas equivalentes, F x en la dirección x y F a en la dirección a. Determinar las magnitudes de F x y F a. Resolver por el método geométrico.
Solución:
48
ESTÁTICA
UNIDAD 1
, , y
, aplicadas al nudo de Problema 1/27. En la figura se muestran las fuerzas una armadura. El sistema es coplanar en xy. Si se sabe que F 1=40 kN, F 2=60 kN, F 3= 50 kN y F 4= 30 kN.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 0
a) Hallar la magnitud de la resultante de estas cuatro fuerzas coplanares. Expresar esta resultante como un vector y determinar sus ángulos directores. b) En el caso de que F 3 y F 4 no se conocieran, determinar las magnitudes de estas dos fuerzas de tal modo que el nudo se encuentre en equilibrio, es decir, que se cumpla la condición . y
F 3
F 4
20° 20°
F 2 40°
x F 1
Solución:
49
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/28. El componente de una grúa industrial, que se mueve a lo largo de una viga horizontal, se encuentra bajo la acción de dos fuerzas como se muestra en la figura. Determinar la magnitud y dirección de la fuerza P tal que la resultante sea una fuerza vertical de 2500 N. Resolver por ambos métodos: a) geométrico, mediante la ley del paralelogramos y b) analítico, mediante el uso de los vectores unitarios y .
̂ ̂
Solución:
50
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Operaciones con vectores. Las operaciones básicas con vectores son: 1. 2. 3. 4.
⃗
Multiplicación de un vector por un escalar: Adición: Producto escalar o producto punto: Producto vectorial o producto cruz:
⃗⃗∙×
⃗
Multiplicación de un vector por un escalar
Problema 1/29. Presentar una situación física real que motive la necesidad o existencia de la operación de multiplicación de un vector por un escalar.
A continuación se establece la definición de la operación de multiplicación de un vector por un escalar, y se proporciona un ejemplo físico donde participa esta operación.
|⃗ |
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( , , ) ⃗ ( , , )(, , )
Definición. Al multiplicar el vector vector vector
, cuyo módulo es
por una magnitud escalar r se obtiene un nuevo y cuyo sentido coincide con el sentido del
cuando r > 0, y es de sentido contrario al vector
multiplicar el vector Si el vector
por -1, se obtiene el vector
si r < 0. En particular, al
.
, entonces
Un ejemplo físico importante se encuentra en la segunda ley de Newton: 51
⃗ ⃗
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Adición de vectores
Antes de definir la operación de adición de vectores, es necesario establecer analíticamente lo siguiente:
⃗ ( , , ) (, , ) ⃗ 0 0,0,0
a) Igualdad de vectores:
Si
y
,
, entonces
y
b) Vector nulo o cero:
Definición. Con base en la ley del paralelogramo, la operación de adición de vectores se realiza de la siguiente manera: Si
⃗ (, , ) (, , ), ⃗⃗ ⃗ (⃗, , ) , ,… , ⃗⃗ ̂̂ ̂̂ ………………………… ⃗ ̂ ̂ ⃗ = ⃗ = ̂= ̂ = ⃗ ̂ ̂ , = , = , = , y
entonces
.
Si se conocen las proyecciones de los vectores expresarse en la forma:
estos vectores pueden
….
Entonces, sumando miembro a miembro estas igualdades, se encuentra:
Esto es: donde
52
ESTÁTICA
UNIDAD 1
y, finalmente:
= = =
Problema 1/30. En el punto A del siguiente sistema concurren tres fuerzas: el peso P del cilindro de masa m, la tensión T AB en el cable AB y la tensión T AC en el cable AC . Dado que este sistema se encuentra en equilibrio, se cumple que . A partir de esta condición determinar las magnitudes de las fuerzas de tensión en ambos cables.
0
Solución:
53
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/31. Suma de vectores mediante el método analítico. Una torre de transmisión OD se mantiene en equilibrio con la ayuda de tres cables. Si la fuerza resultante ejercida por estos cables sobre la torre en D es = -30ĵ kN, determinar la magnitud de la fuerza de tensión en cada cable.
y D
42 m
84 m
B
28 m
21 m
O C
48 m A
48 m
84 m
z
x
Solución:
54
ESTÁTICA
UNIDAD 1
55
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Producto escalar o producto punto
⃗
⃗ ∙
, a una Definición. Se llama producto escalar de dos vectores y , denotado por magnitud escalar igual al producto de los módulos de estos vectores por el coseno del ángulo θ formado por ellos:
A A ∙ B = AB cos θ
θ
O B Interpretación geométrica de
⃗ ∙
: B ∙ A = B(A cos θ )
A ∙ B = A(B cos θ )
B
O
A
s θ c o
A
θ
θ
O
B
A c o s θ
B
Como se aprecia, el producto escalar se relaciona con la noción de proyección de un vector sobre otro vector, es decir, sobe una dirección cualquiera.
⃗⃗
y están dados Problema 1/32. Demostrar el siguiente teorema: Si los vectores mediante sus proyecciones según los ejes de coordenadas, es decir, si = (A x , A y , A z ) y = (B x , B y , B z ), su producto escalar se determina por la ecuación:
Demostración:
⃗ ∙
= A x B x + A y B y + A z B z .
56
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/33. Demostrar el siguiente teorema acerca de las propiedades fundamentales del producto escalar: a) ; b) ; c) ; d)
(⃗ ∙⃗) ∙∙⃗⃗ ∙()(⃗ ∙) ⃗⃗ ∙(∙⃗⃗) ⃗ ∙ ⃗ ∙⃗ ⃗ ∙ 0 .
Problema 1/34. Demostrar el siguiente teorema: Dos vectores (perpendiculares) si y sólo si
⃗ y
son ortogonales
¿Qué problema fundamental, importante en geometría y en física, se resuelve con ayuda del producto escalar?
⃗ ⃗ ⃗∙ ⃗ ∙
La principal aplicación del producto escalar es el cálculo de la proyección ortogonal de un vector sobre la dirección y sentido de otro vector , la cual es un escalar definido por la ecuación
.
Problema 1/35. Deducir esta última fórmula. ¿Cómo se expresa la proyección ortogonal en forma vectorial? Solución:
57
ESTÁTICA
UNIDAD 1
⃗
Problema 1/36. Para a = 2 m, b = 4 m, c = 1 m y F = 25 kN, determinar la proyección de en la dirección DC , es decir, en el sentido de D hacia C . Expresar esta proyección en forma vectorial. Además, determinar el ángulo entre las direcciones AB y CD. z D
F
A x
B c
C b
a
y
Solución:
58
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/37. Determinar la proyección sobre la línea BC de la fuerza ejercida sobre la placa rectangular ABCD por el cable AE . El punto E es un punto medio. Se sugiere colocar los ejes de coordenadas cartesianas con origen en el punto C . Solución:
59
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/38. Tres puntos tienen coordenadas x- y- z , expresadas en metros, como sigue: A (4, 4, 5), B (-2,-4,3) y C (3,-6,-2). Una fuerza F = 100 kN está aplicada en A y dirigida hacia B. Determinar las expresiones vectoriales de las componentes normal y paralela, y , a la dirección AC de la fuerza F .
⃗
⃗
Solución:
60
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/39. En la siguiente barra, el punto B se encuentra a 3 m del extremo C a lo largo de la barra, es decir, la distancia BC es de 3m. Para este sistema: a) Determine las coordenadas del punto B, recuerde que el vector unitario en la dirección CA es el mismo que el vector unitario en la dirección CB.(10 puntos) b) Determine la expresión vectorial de la fuerza , la cual tiene un módulo de
600 N
⃗
⃗
. (10 puntos) c) Encuentre los ángulos directores de la fuerza . (10 puntos) d) Descomponer la fuerza en dos componentes: una paralela a la barra AC y la otra perpendicular a esta. Expresar ambas componentes en forma escalar y vectorial. (20 puntos) e) Mediante el enfoque del producto punto, determine el ángulo entre la barra y la línea de acción de la fuerza . (10 puntos)
⃗
⃗
Solución:
61
ESTÁTICA
UNIDAD 1
62
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Producto vectorial o producto cruz
⃗ ⃗ × ⃗ ⃗
La operación producto vectorial de dos vectores y , denotada , tiene que ver con la solución del siguiente problema fundamental: dados dos vectores y , determinar un tercer vector que esté dirigido perpendicularmente al plano determinado por dichos vectores, es decir, que sea perpendicular al vector y al vector , simultáneamente.
⃗
A x B
B
A B x A
⃗ ̂ ̂ ⃗ × ( , , ) ⃗ × ⃗ .
Definición. El producto vectorial de dos vectores vector definido por:
= (A x , A y , A z ) y
= (B x , B y , B z ), es el
Problema 1/40. Demostrar que el vector que resulta de la operación perpendicular tanto a como a
63
es
ESTÁTICA
⃗ ×⃗
UNIDAD 1
Problema 1/41. Si .
⃗2̂̂3 m ⃗ 10̂20̂5 N, y
calcular
⃗×⃗
y
Solución:
Problema 1/42. Demostrar el siguiente teorema acerca de las propiedades fundamentales del producto vectorial: a) b) c)
d)
(⃗ ×⃗) × ×⃗ ×⃗ ⃗ × ⃗⃗ ×(×⃗0 ⃗) ⃗ × ⃗ ×⃗ .
⃗
⃗ × .
Problema 1/43. Demostrar el siguiente teorema: dos vectores y , tridimensionales, son paralelos si y sólo si
64
ESTÁTICA
UNIDAD 1
⃗ ×sen
⃗
Problema 1/44. Demostrar el siguiente teorema: entre y . Dar una interpretación geométrica a este resultado.
, donde θ es el ángulo
Problema 1/45. Un cuerpo tiene la forma de tetraedro y dimensiones mostradas. Determinar un vector unitario normal a la cara ABC y con sentido hacia el exterior de dicha cara. También encontrar el área de la cara ABC , y expresarla como un vector. Z C (0,0,6)
B (0,3,0)
Y
A (4,0,0)
X
Solución:
65
ESTÁTICA
⃗ , y .
UNIDAD 1
⃗ ∙( ×) ⃗ ∙( ×)
Problema 1/46. La operación Demostrar que:
se llama triple producto escalar de
66
ESTÁTICA
UNIDAD 1
1.6 Momento de una fuerza Entre los efectos externos que una fuerza produce sobre el cuerpo en que actúa, destacan la tendencia a producir movimientos de traslación y/o rotación del cuerpo como un todo. La rotación se caracteriza por la magnitud física denominada momento de una fuerza o, simplemente, momento. El momento de una fuerza puede analizarse respecto a un punto o centro o bien respecto a un eje.
Momento de una fuerza respecto a un punto o centro.
⃗
Sea una fuerza aplicada en un punto A de un cuerpo rígido. Supongamos que esta fuerza trata de hacer girar al cuerpo alrededor del punto O. La distancia perpendicular d , trazada del punto O a la línea de acción de la fuerza , se llama brazo de la fuerza respecto del centro O.
⃗
Como una medida cuantitativa de la tendencia a producir una rotación respecto a un punto, el momento de una fuerza se define así:
⃗
Definición. El momento de una fuerza respecto del punto O, es la magnitud física igual al producto, tomada con el signo correspondiente, del módulo de la fuerza por la longitud del brazo.
⃗
El momento de la fuerza respecto del centro O será designado por el símbolo consiguiente:
(⃗)±
F A d 90°
O
90°
A
d F
O M 0 (F)= - Fd
M 0 (F)=+Fd
67
(⃗)
. Por
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Momento de una fuerza respecto de un punto como magnitud física vectorial
⃗
El momento de la fuerza respecto del centro O se caracteriza por tres elementos:
⃗
1) La magnitud del momento, igual al módulo de la fuerza por su brazo, Fd. 2) El plano de rotación OAB, que pasa por la línea de acción de la fuerza y por el centro O. 3) El sentido de rotación en este plano. En consecuencia, el momento de una fuerza reúne las características de un vector.
⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ (⃗)⃗ ×⃗
⃗
con respecto a un punto O es Teorema. El momento de una fuerza una magnitud física vectorial, equivalente al producto vectorial del radio-vector , que une el punto O con cualquier punto A perteneciente a la línea de acción de la fuerza, por la propia fuerza.
̂̂
z →
B
→
M O(F)
→
F θ →
r O
d
x
68
A
y
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Momento de una fuerza respecto a un eje El momento de una fuerza respecto de un eje caracteriza el efecto de rotación, producido por esta fuerza, al tratar de hacer girar el cuerpo alrededor del eje dado.
z B →
L →
→
M O(F)
→
F
→
M L (F)
θ →
r O
A
y
d u
x L
¿Qué relación existe entre el momento de una fuerza respecto a un eje y respecto a un punto?
Consideremos un eje L, cuya dirección y sentido están definidos por el vector unitario .
⃗
Definición. El momento de la fuerza , aplicada en el punto A, con respecto a un eje L es igual a la proyección, sobre este eje del vector que representa el momento de la fuerza con respecto a un punto cualquiera O dispuesto sobre dicho eje L. El momento de una fuerza F con respecto a un eje L, se denota por Así, en formulación escalar:
⃗
⃗⃗×⃗∙ ⃗[(⃗×⃗)∙] (, , )
y, en formulación vectorial:
69
.
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/47. Demostrar el siguiente teorema: Si la fuerza es paralela al eje, su momento respecto a éste equivale a cero.
70
ESTÁTICA
UNIDAD 1
1.7 Principio de los momentos: teorema de Varignon
Teorema. Si un sistema de fuerzas posee una resultante, , el momento de esta resultante respecto a cualquier punto o eje es igual a la suma vectorial de los momentos de las fuerzas del sistema respecto del mismo punto o eje:
⃗
F 1
F 2
O
r
A
F 3
71
ESTÁTICA
UNIDAD 1
38°
Problema 1/48. Calcular, en formulación escalar y vectorial, el momento de la fuerza de 800 N respecto al punto A para la condición . Determinar, también, los valores de para que el momento con respecto al punto A sea cero y máximo. Solución:
72
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/49. La tensión T en el cable AB tiene una magnitud de 24 kN. Calcular el momento de esta fuerza con respecto a cada uno de los ejes de coordenadas que pasan por la base O de la estructura de la grúa. Realizar el cálculo mediante los enfoques vectorial y escalar. Solución:
73
ESTÁTICA
UNIDAD 1
74
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/50. La tensión en el cable AB es de 100 N. Determinar el momento respecto del punto O de dicha fuerza, considerando que está aplicada en el punto A de la barra en forma de T . La dimensión b es de 600 mm. Resolver mediante el enfoque escalar. Solución:
75
ESTÁTICA
UNIDAD 1
40°
Problema 1/51. Una pequeña grúa es colocada en la caja de una camioneta para facilitar la carga de objetos pesados. Cuando el ángulo de la pluma de elevación es de , la fuerza en el cilindro hidráulico es de 4.5 kN, y la fuerza aplicada en el punto C se se encuentra en la dirección de B hacia C (el (el cilindro está a compresión). Determine el momento de la fuerza de 4.5 kN alrededor del punto de pivoteo O de la pluma. Solución:
76
ESTÁTICA
UNIDAD 1
,, y , 2,
en sus aristas, está sometido a Problema 1/52. Un bloque rectangular con medidas la acción de seis fuerzas, como se muestra en la figura. Calcular la fuerza resultante y su magnitud R; asimismo, determinar los determinar los momentos resultantes para los puntos A y B, respectivamente, y sus magnitudes. Asumir que
3, , 2.
Solución:
77
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/53. Hallar los momentos de las fuerzas P y Q, aplicadas a la placa horizontal representada, respecto a cada uno de los ejes de coordenadas xyz . La fuerza Q es paralela al plano xz . Resolver con un enfoque escalar. z
b
O a
x
Q
B y
α
C
A
P
Solución:
78
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/54. La fuerza de 120 N está aplicada como se muestra en la figura, a uno de los extremos de la llave curva. Calcular: a) El momento de F respecto respecto del centro O del tornillo, para α = 30°. b) El valor de α que maximiza el momento de F respecto respecto de O, y la magnitud de este momento máximo. Solución:
79
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/55. Momento generado por un motor de combustión interna. En el mecanismo de biela y manivela representado, la biela AB de longitud l soporta una fuerza de compresión variable C . Deducir una expresión del momento de C respecto al eje O de la manivela en función de C , r , l y del ángulo variable θ . Solución: B l
r O
θ
C A
80
ESTÁTICA
UNIDAD 1
60°
de la manivela OA, del mecanismo de Problema 1/56. Para la posición angular biela y manivela mostrado, la presión de los gases sobre el pistón induce una fuerza de compresión P a lo largo de la biela AB. Si esta fuerza produce un momento de 720 N∙m con respecto al punto O, calcular la magnitud de P .
Solución: B
α
m 3 . 0
P
5 m 2 0. 1
O
60°
A
C
Esquema auxiliar
81
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/57. Momento en diferentes puntos de un sistema articulado. Al colocar, con ajuste apretado, la pequeña pieza cilíndrica en el orificio circular, el brazo del robot ejerce una fuerza P = 90 N, tal como se indica en la figura. Encontrar: a) Mediante la ley del paralelogramo, las componentes, paralela y perpendicular al brazo AB, de la fuerza que la pieza cilíndrica ejerce sobre el robot. b) Mediante la ley del paralelogramo, las componentes, paralela y perpendicular al brazo BC, de la fuerza que la pieza cilíndrica ejerce sobre el robot. c) Determinar los momentos respecto a los puntos A, B y C de la fuerza correspondiente ejercida sobre el robot.
Solución:
82
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/58. Momento de una fuerza respecto a un eje. Si la magnitud de la tensión T 1 es igual a 1200 N, y está aplicada en el punto C, es decir, con sentido de C hacia E, determinar el momento de esta fuerza respecto al eje AD. Calcular este momento en forma escalar, y luego expresarlo como un vector. Solución:
83
ESTÁTICA
UNIDAD 1
1.8 Par de fuerzas Definición: Se llama par de fuerzas, o simplemente par , a un sistema de dos fuerzas paralelas, no colineales, de módulos iguales y de sentidos opuestos. →
d
-F
B A
→
F
El plano que pasa a través de las líneas de acción de las fuerzas de un par, se llama plano de acción del par. La distancia d entre las líneas de acción de las fuerzas del par, se denomina brazo del par. La acción de un par de fuerzas sobre un cuerpo rígido se reduce a un efecto de rotación, que depende de los factores siguientes: 1. 2. 3. 4.
El módulo F de las fuerzas del par. La magnitud del brazo del par. La orientación del plano de acción del par. El sentido de giro en este plano.
Dos pares son equivalentes cuando tengan el mismo momento.
Teorema. La suma vectorial de los momentos de las fuerzas que constituyen un par, respecto de cualquier centro o punto, no depende de la posición de dicho centro, y es igual a: 1) 2)
± ⃗×⃗
, en formulación escalar. , en formulación vectorial.
84
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/59. Acerca de los efectos del momento de un par sobre una pieza mecánica. Las dos fuerzas que actúan sobre los mangos de las llaves Stillson constituyen un par. Calcular el momento de este par. Expresar el resultado en forma escalar y como un vector. Solución:
85
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/60. Durante un giro constante, una persona ejerce la fuerza mostrada sobre el volante. Cada fuerza consiste de una componente tangencial al volante y una componente radialmente hacia el centro O. Determinar el momento de estas dos fuerzas respecto al eje O del volante. Resolver este problema de dos formas distintas. Solución:
86
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/61. Un marco está sujeto a la acción de dos fuerzas de 250 N como se muestra en la figura. Si se desea reemplazar esas fuerzas por un sistema equivalente que contiene una fuerza de 200 N aplicada en A y una segunda fuerza aplicada en B. Determinar la coordenada y de B.
Solución:
87
ESTÁTICA
UNIDAD 1
1.9 Teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza La resultante de un sistema de fuerzas concurrentes se halla directamente con ayuda de la ley del paralelogramo. Para un sistema de fuerzas arbitrario, el método se basa en el siguiente teorema:
Teorema: una fuerza aplicada a un cuerpo rígido puede ser reemplazada paralelamente a sí misma, sin que cambie su acción externa sobre éste, a cualquier otro punto del cuerpo, añadiendo al mismo tiempo un par de momento igual al momento de la fuerza que se remplaza respecto a su nuevo punto de aplicación. Demostración: →
F
→
F →
→
F
F
B
B
→
M
A
A
B
A
→
-F
500 N
Problema 1/62. Para la siguiente viga de acero, empotrada en un extremo, reemplazar la fuerza aplicada que se indica por un sistema equivalente que consista en una fuerza y un par o momento aplicado en el punto B. Repetir esta operación para el punto C . F = 500 N 4 B
3
C A
3m
2.5 m
88
0.30 m
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Solución: Para el punto B:
B
C A
3m
0.30 m
2.5 m
Para el punto C :
B
C A
3m
2.5 m
89
0.30 m
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/63. Reemplazar las dos fuerzas y el par mostrados, por un sistema equivalente fuerza – par aplicado en el punto A.
Solución:
90
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/64. En la figura se muestra un eje que sujeta dos poleas, las cuales forman parte de un sistema de transmisión por bandas. Las poleas están sujetas a las cargas mostradas. a) Reemplazar las dos fuerzas que actúan en cada polea por un sistema equivalente fuerza - par actuando sobre el eje, en el punto donde se fijan las poleas al eje. b) Reducir el sistema original de las cuatro fuerzas, a un sistema equivalente fuerza – par en el punto O.
Solución:
91
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/65. El soporte de la polea resiste, tal como se muestra, las dos tensiones de 800 N del cable y se sujeta a la columna de acero mediante la placa y los pernos en A y B. Reemplazar las dos fuerzas por una fuerza y un par equivalentes, con la fuerza equidistante de ambos pernos. A continuación redistribuir esa fuerza y ese par, sustituyendo cada uno por una fuerza en A y una fuerza en B. Combinar los efectos y hallar la fuerza de tracción o compresión que soporta cada perno. 380 mm
m m 0 5 1
800 N
160 mm
B
800 N
m m 0 2 3
A
Solución:
92
ESTÁTICA
UNIDAD 1
1.10 Fuerzas distribuidas Ejemplos de fuerzas distribuidas son el peso de un cuerpo y la presión hidrostática sobre una superficie vertical tal como la pared de un tanque de almacenamiento de agua. - Sobre una línea [N/m]
FUERZAS DISTRIBUIDAS
- Sobre una superficie [N/m2] - Sobre un volumen [N/m3]
Una fuerza distribuida se caracteriza por su intensidad w , es decir, la magnitud de la fuerza por unidad de longitud, de superficie o de volumen: N/m, N/m2 y N/m3, respectivamente. El problema de la estática de las fuerzas distribuidas consiste en: 1) Determinar la magnitud de la resultante de la fuerza distribuida, que es una fuerza concentrada. 2) Determinar la localización, con respecto a un punto de referencia, de esta fuerza resultante. A continuación, se resuelve este problema para el caso de una fuerza distribuida sobre un segmento de línea recta, tal como una viga.
93
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/66. Determinar la resultante de la siguiente fuerza distribuida, y localizarla a partir del punto A.
Solución:
94
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/67. Determinar la resultante de la siguiente carga distribuida, y localizarla a partir del punto A.
Solución:
95
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/68. Determinar la resultante de la siguiente carga distribuida, y localizarla a partir del punto A.
Solución:
96
ESTÁTICA
UNIDAD 1
1.11 Reducción de los sistemas de fuerzas: resultantes Definición. La resultante de un sistema de fuerzas es el sistema más simple que puede reemplazar al sistema original sin cambiar sus efectos externos sobre un cuerpo rígido. El problema de la teoría de la resultante de un sistema de fuerzas consiste en lo siguiente: a) Determinar el tipo de resultante y su valor. Es decir, si se trata sólo de una fuerza, sólo de un momento o bien de una fuerza y un momento. b) Determinar la localización de la resultante. Esto es, indicar un punto por donde pasa la línea de acción de la resultante. La solución de este problema se fundamenta en el siguiente teorema, que es una generalización del teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza.
Primero establezcamos lo siguiente. Sea un sistema de fuerzas arbitrario, aplicado sobre un cuerpo rígido. La magnitud vectorial , equivalente a la suma vectorial de todas las fuerzas del sistema, se llama vector principal del sistema o, simplemente, fuerza resultante. La magnitud vectorial , que equivale a la suma de los momentos de todas las fuerzas del sistema respecto del centro O, se llama momento principal del sistema o, simplemente, momento resultante, respecto del centro O:
M O M O ( F i )
R F i
F 4
O
F 1
F 2
F 3
Se dice que dos sistemas de fuerzas son estáticamente (o dinámicamente) equivalentes cuando las magnitudes y coinciden para ambos sistemas.
Teorema. Cualquier sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido al ser reducido a un centro arbitrario O, se sustituye por una sola fuerza equivalente al vector principal del sistema, aplicada en el centro de reducción O, y a un par de momento equivalente al momento principal del sistema respecto del centro O.
A este resultado se le conoce como reducción fuerza-par de un sistema de fuerzas en un punto arbitrario O. 97
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Demostración: F 3
O
O
F 2
F 1 →
M O
→
R
O
Cabe señalar que, en general, la fuerza no es la resultante del sistema, pues ella sola no sustituye al sistema, sino que lo hace junto con el par.
Problema 1/69. Remplazar las dos fuerzas y el par que actúan sobre el elemento estructural de acero por un sistema equivalente fuerza-par en A.
98
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Solución:
99
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Casos de resultantes: Caso 1.
0 0 y
.
Cuando esto sucede, el sistema de fuerzas se encuentra en equilibrio.
Caso 2.
0 ≠0 , pero
.
El sistema se reduce a un par de fuerzas, cuyo momento es, precisamente,
.
En este caso, el momento no depende de la elección del centro O. Un cuerpo libre, bajo la acción de tal sistema de fuerzas, puede (pero no siempre) efectuar un movimiento de rotación pura.
Caso 3.
≠0 0 , pero
.
El sistema se reduce a la resultante que pasa por el centro O.
Un cuerpo libre, sometido a la acción de tal sistema de fuerzas puede efectuar un movimiento de traslación pura (si la resultante pasa por el centro de masa del cuerpo).
≠0 ≠0 ⊥
y ; pero . Caso 4. El sistema se reduce también a una sola resultante igual a , pero que no pasa por el centro O.
100
ESTÁTICA
Caso 5.
UNIDAD 1
≠0 ≠0 y
; pero el vector
es paralelo a .
El sistema se reduce al conjunto de la fuerza aplicada en O, y del par de momento , que se encuentra en un plano perpendicular a . Tal resultante, de una fuerza y de un par, se llama tornillo dinámico, torsor o reducción canónica, y la recta, a lo largo de la cual están dirigidos los vectores y , se llama eje central.
Caso 6.
≠0 ≠0 y
; pero los vectores
y no son paralelos ni perpendiculares.
El sistema de fuerzas se reduce también a un torsor, pero el eje de este torsor no pasará por el centro O, y el momento de este torsor no es igual a .
Procedimiento para determinar la resultante de un sistema de fuerzas. 1. Definición y comprensión del problema. 2. Selección del punto o centro de reducción O. 3. Colocación de los ejes de coordenadas en el punto O. 4. Determinación de los vectores y , para los ejes de coordenadas escogidos y el punto O. Hasta aquí se tiene una reducción fuerza-par, la cual ya representa un tipo de resultante; pero no necesariamente representa la reducción o resultante más simple o mínima. 5. Se comparan los vectores y según los casos de reducción anteriores. 6. Se toma una decisión acerca del tipo de resultante y, en su caso se procede a localizar la fuerza resultante. 7. De ser necesario se elaboran las conclusiones.
101
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/70. En un intento por levantar una viga de acero, se aplican las dos fuerzas y el par o momento mostrados. Remplace este sistema de fuerzas por un sistema equivalente fuerza-par actuando en: a) El punto O b) El punto A. Además, determinar la resultante de las dos fuerzas y el par dados, y especificar su localización x respecto al punto O.
50 kN
30 kN
y 3m
2m
B
3m
180 kN·m A
O x
Solución:
102
x
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/71. Para el siguiente sistema de fuerzas coplanar general: a) remplazar las cuatro fuerzas y los dos pares por un sistema equivalente fuerza- par aplicado en el punto A, y b) determinar la resultante de las cuatro fuerzas y los dos pares. Especificar el punto de aplicación de dicha resultante . Si P es igual 60 N.
Solución:
103
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/72. Una losa de cimentación de concreto soporta seis fuerzas verticales paralelas. Hallar el módulo y punto de aplicación de la resultante de estas seis fuerzas.
40 kN 48 kN 32 kN 64 kN
72 kN
56 kN
x 2.4 3.6 2.8 3.2
2.8 2
Acotaciones en metros
Solución:
104
y
ESTÁTICA
UNIDAD 1
105
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/73. Determinar la resultante de las dos cargas distribuidas que actúan sobre el siguiente marco, y especificar la distancia al punto donde la línea de acción de dicha resultante interseca la barra BC, medida desde C . 200 N/m 100 N/m B
C
6m 5m
200 N/m
A
Solución:
106
ESTÁTICA
UNIDAD 1
107
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/74. Determinar el momento M si la resultante de éste y las dos fuerzas pasa por el punto O.
Solución:
108
ESTÁTICA
UNIDAD 1
Problema 1/75. En la siguiente estructura la fuerza W = 100 N representa el peso del elemento A y actúa en el sentido negativo del eje z, mientras que la fuerza F = 20 N actúa en el sentido negativo del eje y. Las fuerzas P y Q representan las tensiones en los cables BC y BD, respectivamente. Si se requiere que la resultante de estas cuatro fuerzas sea una fuerza aplicada en el punto O, determinar P , Q y . Solución:
109
ESTÁTICA
UNIDAD 1
110
ESTÁTICA
UNIDAD 2
UNIDAD 2. EQUILIBRIO Objetivo Aplicar las condiciones de equilibrio mecánico al análisis y resolución de problemas de partículas, cuerpos rígidos y sistemas de cuerpos cuerp os rígidos (estructuras y máquinas). máquinas) .
Temas: 2.1 Axiomas de la Estática 2.2 Condiciones de equilibrio 2.3 Formas independientes de las ecuaciones de equilibrio 2.4 Apoyos y sus reacciones 2.5 Diagrama de cuerpo libre (DCL) 2.6 Sistemas isostáticos e hiperestáticos 2.7 Solución de problemas de equilibrio 2.8 Equilibrio de partículas 2.9 Equilibrio de cuerpos rígidos 2.10 Aplicaciones a estructuras y máquinas 2.11 Equilibrio en presencia de fricción seca 2.12 Armaduras
2.1 Axiomas de la Estática Todos los los teoremas, ecuaciones y procedimientos de la Estática se deducen de proposiciones iniciales, que se aceptan sin demostración, llamadas axiomas o principios de la Estática. El primer axioma define el sistema de fuerzas en equilibrio.
Axioma 1. Un sistema de fuerzas aplicado a un punto material (partícula) está en
equilibrio si
bajo su acción el punto se encuentra en estado de reposo relativo o en movimiento rectilíneo uniforme.
Este axioma es parte del contenido de la primera ley de Newton.
Primera ley de Newton (ley de la inercia): “un punto material libre de toda influencia exterior conserva su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme hasta que las fuerzas aplicadas aplicadas a él lo obliguen a cambiar de estado”.
Observaciones: a) En la primera ley de Newton, inicialmente, se afirma que el reposo y el movimiento uniforme y rectilíneo de un cuerpo son un mismo estado mecánico del cuerpo. 111
ESTÁTICA
UNIDAD 2
b) La primera ley de Newton establece la condición necesaria y suficiente para el equilibrio de una partícula: “un sistema de fuerzas aplicado a un punto material
(partícula) está en equilibrio si bajo su acción el punto se encuentra en estado de reposo relat ivo ivo o en movimiento rectilíneo uniforme”
c) El movimiento que realiza un cuerpo en ausencia de fuerzas se llama movimiento po por inerci inercia a. d) La primera ley de Newton refleja una de las propiedades esenciales de la materia, su inercia: la de encontrarse siempre en movimiento. e) A veces se dice que un u n cuerpo dotado de movimiento uniforme y rectilíneo se mueve por inercia. Esto no debe entenderse como que el cuerpo se mueve a causa de la inercia; pues para que el cuerpo conserve su estado de movimiento rectilíneo y uniforme no se requiere causa alguna. El movimiento rectilíneo uniforme de un cuerpo (movimiento por inercia) y el reposo, son los estados de todo cuerpo que esté libre de influencias externas o se encuentre sometido a la acción de fuerzas externas tales que la suma de las mismas sea igual a cero.
f) La primera ley de Newton se puede enunciar también así: el movimiento por inercia
inercia a de de un cuer cuer po no es es la es una propiedad de todos los cuerpos materiales. L a inerci causa de su movimiento, sino una de sus propiedades.
La inercia caracteriza la propiedad de los cuerpos materiales de cambiar más rápido o más lentamente la velocidad de su movimiento bajo la acción de las fuerzas aplicadas. La medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo dado es una magnitud física que se llama masa del cuerpo. En el caso general, el movimiento de un cuerpo no solamente depende de su masa total y de las fuerzas que actúan sobre él; el carácter del movimiento puede depender, además, de las dimensiones geométricas del cuerpo y de la disposición mutua de las partículas que lo forman, es decir, de la distribución de su masa.
g) El sistema de referencia respecto del cual la primera ley de Newton es válida se llama siste sistema inerci inercia al o newtoniano. Con mayor precisión la primera ley de Newton se formula así: Existen tales sistemas de referencia, con relación a los cuales todos los cuerpos que no estén en interacción con otros cuerpos se encuentran en movimiento rectilíneo y uniforme u niforme.
112
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/1. Un cuerpo, en forma de bloque, de masa m se encuentra sobre un plano inclinado liso que forma con el horizonte un ángulo . Determinar: a) La magnitud de la fuerza paralela paralela al plano, con sentido ascendente, que debe ser aplicada al cuerpo para mantenerlo en reposo. b) La magnitud de la fuerza paralela paralela al plano, que debe ser aplicada al cuerpo para que éste se mueva uniformemente hacia arriba con una rapidez de 2 m/s. c) ¿Por qué el plano inclinado representa en sí una máquina simple?
⃗ ⃗
El segundo axioma define el sistema de fuerzas en equilibrio más simple, ya que la experiencia muestra que un cuerpo libre sobre el cual actúa una sola fuerza no puede estar en equilibrio.
Axioma 2. Si dos fuerzas actúan sobre un cuerpo rígido libre, éste puede permanecer en equilibrio solamente cuando los módulos de estas fuerzas son iguales (F 1=F 2 ) y ellas están
dirigidas en sentidos opuestos ( F 1
F 2 ) a lo largo de una misma recta.
El tercer axioma sirve de base para transformar las fuerzas.
Axioma 3. La acción de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo rígido no se modificará si se le agrega o se le quita un sistema de fuerzas en equilibrio. Corolario de los axiomas 2 y 3 (Principio de transmisibilidad). La acción de una fuerza sobre un cuerpo rígido, en lo que a efectos externos se refiere, no se modificará si el punto de aplicación de la fuerza se traslada a lo largo de su línea de acción a cualquier otro punto del cuerpo.
113
ESTÁTICA
UNIDAD 2
El cuarto axioma define la regla de composición (suma) de dos fuerzas.
Axioma 4 (Principio o ley del paralelogramo). Dos fuerzas aplicadas a un cuerpo en un punto tienen una u na resultante aplicada en el mismo punto y representada por la diagonal del paralelogramo construido sobre estas fuerzas como lados.
F 2
R
A
→
F 1
⃗ ⃗ El quinto axioma establece que en la naturaleza no puede existir la acción unilateral de una fuerza.
Axioma 5 (Tercera ley de Newton). Toda acción de un cuerpo sobre otro trae consigo, por parte de este último, una reacción de la misma magnitud, pero en sentido opuesto.
114
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Tercera ley de Newton (ley de la igualdad de la acción y la reacción): “dos puntos materiales actúan uno sobre el otro con fuerzas iguales en módulo y dirigidas a lo largo de la recta que une estos puntos, en sentidos opuestos”.
Observaciones: a) La tercera ley de Newton establece el carácter de la interacción mecánica entre los cuerpos materiales. b) Si la fuerza que actúa sobre cierto cuerpo A es aplicada por parte de un segundo cuerpo B, designaremos esta fuerza por . La tercera ley de Newton afirma: si un cuerpo B actúa sobre un cuerpo A con una fuerza , entonces el cuerpo A actúa a su vez sobre el cuerpo B con una fuerza , de valor igual y signo contrario a la fuerza ; ambas fuerzas están dirigidas a lo largo de una misma recta. La tercera tercera ley de Newton refleja el hecho de que una fuerza es el resultado de la interacción de dos cuerpos diferentes. c) En las dos primeras leyes de Newton para el análisis de un fenómeno y al determinar el movimiento de un cuerpo se examina únicamente un aspecto de esta interacción. En realidad siempre existe interacción y no existe ninguna fuerza sin fuerza de reacción. Por supuesto, los términos acción y reacción son puramente convencionales, cada uno de ellos puede considerarse indistintamente, lo uno o lo otro. d) Formalmente siem siempre se cumple la siguiente igualdad, independientemente de que los cuerpos A y B estén en reposo o en movimiento:
⃗ ⃗ ⃗
⃗
⃗ ⃗ 0
e) La tercera ley de Newton no dice nada acerca del valor de las fuerzas, y sólo afirma que son iguales en módulo. Es muy importante subrayar que en la tercera ley de Newton se habla de fuerzas aplicadas a diferentes cuerpos. Por ello, físicamente, y no se anulan.
⃗
⃗
El axioma seis señala las condiciones de equilibrio de los cuerpos no rígidos.
Axioma 6 (Principio de rigidez). En condiciones de equilibrio, las fuerzas que actúan sobre todo cuerpo deformable satisfacen las mismas condiciones que en el caso de un cuerpo rígido
El axioma seis puede ser expresado de otra forma: El equilibrio de un cuerpo deformable que se encuentra bajo la acción de un sistema de fuerzas, se conserva si este cuerpo se considera solidificado (rígido).
El axioma siete conduce al concepto de diagrama de cuerpo libre (DCL).
Axioma 7. (Axioma de las ligaduras o apoyos). El equilibrio de los cuerpos ligados (no libres), se estudia en la Estática con fundamento en el axioma siguiente: todo cuerpo ligado puede considerarse como libre si se suprimen las ligaduras o apoyos, y se sustituyen sus acciones por las reacciones correspondientes a estos ap oyos.
115
ESTÁTICA
UNIDAD 2
2.2 Condiciones de equilibrio Las condiciones de equilibrio son las ecuaciones necesarias y suficientes para que un cuerpo o sistema mecánico se encuentre en estado de equilibrio. Estas ecuaciones se deducen de la segunda ley de Newton:
∑ ⃗ 0
y
∑ 0
.
La primera ecuación garantiza que el cuerpo o sistema esté en equilibrio traslacional, la segunda en equilibrio rotacional.
Problema 2/2. Las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido son: 1) La suma de todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo debe ser nula:
∑⃗ 0
(1)
2) El momento resultante de las fuerzas externas con relación a cualquier punto debe ser nulo:
∑ 0
(2)
Demostrar el siguiente teorema: cuando la condición (1) se cumple, de la igualdad a cero de la suma de los momentos para un punto cualesquiera O se sigue la igualdad a cero de la suma de los momentos respecto de cualquier otro punto Q. ¿Cómo se interpreta este resultado?
116
ESTÁTICA
UNIDAD 2
2.3 Formas independientes de las ecuaciones de equilibrio
∑⃗ 0 ∑ 0
Las condiciones generales de equilibrio y , son ecuaciones vectoriales, que, dependiendo del sistema de fuerzas que resulte en el diagrama de cuerpo libre, dan origen a un número de ecuaciones escalares independientes de equilibrio. Tabla 2.1. Ejemplos de ecuaciones independientes de equilibrio.
Sistema de fuerzas
Sistema tridimensional general
Número de ecuaciones de equilibrio independientes
6
Notación de las ecuaciones de equilibrio
0, 0, 0, (⃗) 0, ⃗ 0 (⃗) 0, ∑∑(0,⃗)0,∑∑0, (∑⃗)0, ⃗∑ 0 ⃗ 0 ∑ (⃗) 0, ∑ (⃗)0, ∑ 0 ∑ 0, ∑ (⃗) 0, ∑ (⃗)0 ∑ ∑ 0, 0 ∑ (⃗) 0, ∑ (⃗) 0 0, 0, 0, 0, 0
1. 2.
Sistema coplanar general
3
Sistema tridimensional paralelo
3
, o bien
,
si los puntos A, B y C no se hallan en una misma recta, o bien , si el 3. eje x no es perpendicular a la recta AB. , si los ejes x e y se sitúan en el plano perpendicular a las fuerzas.
1.
Sistema coplanar paralelo
2
Sistema tridimensional concurrente
3
Sistema coplanar concurrente
2
2.
, o bien , si los puntos A y B no están sobre la recta paralela a las fuerzas dadas.
117
ESTÁTICA
UNIDAD 2
En particular, es importante identificar las condiciones de equilibrio de un cuerpo o miembro de dos y tres fuerzas.
a) Miembro de dos fuerzas: de acuerdo con el segundo axioma de la Estática, si dos fuerzas actúan sobre un cuerpo rígido libre, éste puede permanecer en equilibrio solamente cuando los módulos de estas fuerzas son iguales y ellas están dirigidas en sentidos opuestos a lo largo de una misma recta.
⃗ ⃗
b) Miembro de tres fuerzas (teorema de las tres fuerzas). Si un cuerpo rígido libre se encuentra en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas coplanares no paralelas, la línea de acción de éstas se interceptan en un punto. 2.4 Apoyos y sus reacciones Todo lo que restringe los desplazamientos de un cuerpo dado en el espacio se llama apoyo o ligadura. La fuerza con la cual el apoyo dado actúa sobre un cuerpo, restringiendo uno u otro de sus desplazamientos, se llama fuerza de reacción de apoyo o, simplemente, reacción.
Principales apoyos:
1) Superficie lisa
2) Superficie rugosa
118
ESTÁTICA
UNIDAD 2
3) Cable flexible, cadena, cuerda o hilo
4) Resorte elástico lineal
5) Rodillo
6) Articulación o pasador
7) E mpotramiento o apoyo fijo
119
ESTÁTICA
UNIDAD 2
8) Rótula o articulación en tres dimensiones
9) E mpotramiento en tres dimensiones
2.5 Diagrama de cuerpo libre (DCL ) Un diagrama de cuerpo libre (DCL) es un croquis o esquema de un cuerpo, de una porción de un cuerpo o de dos o más cuerpos interconectados y completamente aislados o libres de otros cuerpos, en donde se representan todas las fuerzas (conocidas y desconocidas) que actúan sobre el cuerpo considerado, a causa de su interacción con los cuerpos que lo circundan. Un diagrama de cuerpo libre posee tres características esenciales: (1) es un diagrama o croquis del cuerpo; (2) el cuerpo se representa separado completamente de otros cuerpos incluyendo los apoyos; (3) la acción que le ejerce un cuerpo que se retiró durante el proceso de aislamiento se representa en el diagrama como una o varias fuerzas de reacción.
En el diagrama de cuerpo libre debe indicarse completamente cada fuerza, con su magnitud, dirección y sentido si ésta es conocida o con una letra en caso contrario. Cuando el sentido de una fuerza desconocida no sea evidente, puede suponerse y corregirse posteriormente si el supuesto inicial resulta incorrecto.
120
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/3. Trazar los diagramas de cuerpo libre, asociados a los siguientes sistemas: a) Armadura plana P 1=15 kN C
B
P 2=5 kN
4m
A
E
D
F
3m
3m
3m
(a)
b) Estructura plana 600 N 0.2 m C
0.2 m E B
D
0.2 m A
0.2 m
0.2 m
(b) c) Viga empotrada de masa m F 3 A
F 2
F 1
θ
(c)
121
ESTÁTICA
UNIDAD 2
2.6 Sistemas isostáticos e hiperestáticos Durante la resolución de problemas de equilibrio de un cuerpo rígido no libre (apoyado), las reacciones de los apoyos aplicadas a él son magnitudes previamente desconocidas. El número de estas incógnitas depende de la cantidad y del carácter de los apoyos introducidos. El problema correspondiente de la Estática se puede resolver solamente cuando el número de reacciones desconocidas no sea mayor que la cantidad de ecuaciones independientes de equilibrio disponibles. Tales problemas se llaman estáticamente determinados o isostáticos, y los sistemas de cuerpos, para los cuales esto tiene lugar, se llaman sistemas estáticamente determinados. Los problemas en los cuales el número de reacciones de apoyos desconocidas es mayor que la cantidad de ecuaciones independientes de equilibrio disponibles, se llaman problemas estáticamente indeterminados o hiperestáticos , y los sistemas de cuerpos para los cuales esto tiene lugar, se llaman sistemas estáticamente indeterminados.
2.7 Solución de problemas de equilibrio El equilibrio de los cuerpos ligados (no libres), se estudia en la Estática con fundamento en el axioma siguiente: todo cuerpo ligado puede considerarse como libre si se suprimen las ligaduras o apoyos, y se sustituyen sus acciones por las reacciones correspondientes a estos apoyos. Las magnitudes de las reacciones, previamente desconocidas, pueden ser determinadas a partir de las condiciones del equilibrio de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, al que ahora podemos considerar como libre. En esto consiste el método principal para resolver problemas de Estática. La determinación de las reacciones de los apoyos tiene la importancia práctica siguiente: al conocer estas reacciones, conoceremos las fuerzas que actúan sobre los apoyos, es decir, los datos iniciales necesarios para calcular la resistencia de los elementos correspondientes de una construcción o máquina. La metodología general para resolver problemas de equilibrio se compone de los siguientes pasos: 1. Comprensión del problema. 2. Identificación o elección del cuerpo, cuyo equilibrio debe ser examinado. 3. Liberación del cuerpo de los apoyos y construcción del diagrama de cuerpo libre correspondiente. Aquí se incluye la elección del sistema de ejes de coordenadas 4. Composición de las condiciones equilibrio. 5. Determinación de las magnitudes incógnitas, análisis de los resultados obtenidos y revisión de la exactitud y unidades de la solución.
122
ESTÁTICA
UNIDAD 2
2.8 Equilibrio de partículas Problema 2/4. Dos cuerdas se atan juntas en C y se cargan con el bloque de 200 kg como
se muestra en la figura. Sabiendo que α = 20°. Determine las fuerzas de tensión en los cables AC y BC .
Solución:
123
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/5. Dos cables se amarran juntos en C y son cargados como indica la figura. (a) Si W = 840 N, determine la tensión en el cable AC y en el cable BC . (b) Determine el rango de valores de W para los que la tensión no será mayor de 1050 N en cualesquiera de los cables. 750 mm
300 mm
A
B
400 mm C 15 8 680 N
W
Solución:
124
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/6. Un contenedor de peso W está suspendido de una argolla A, a la cual se atan los cables AC y AE . Una fuerza P está aplicada en el extremo F de un tercer cable el cual pasa sobre una polea en B y a través de la argolla A y termina fijo en el soporte D. Si W = 1000 N, determinar la magnitud de P y las tensiones en los cables AC y AE .
Solución:
125
ESTÁTICA
UNIDAD 2
126
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/7. Un bloque de peso W está suspendido de una cuerda de 500 mm de longitud y de dos resortes cuyas longitudes sin estirar miden 450 mm cada una. Si las constantes de los resorte son k AB = 1500 N/m y k AD = 500 N/m, determinar (a) la tensión en la cuerda AC , (b) el peso del bloque. 580 mm
Solución:
460 mm C
160 mm
B
D
330 mm
320 mm
A W
140 mm
127
ESTÁTICA
UNIDAD 2
̂
Problema 2/8. Los collarines A y B unidos por medio de un alambre de 1 m de largo pueden deslizarse libremente sin fricción sobre las barras. Si una fuerza P = (680 N) se aplica en A, determinar: a) la tensión en el alambre cuando y = 300 mm, b) la magnitud de la fuerza Q requerida para mantener el equilibrio del sistema. Solución:
400 mm
128
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/9. La placa de acero de 1800 kg tiene su centro de masa en el punto G. Calcular la tensión en cada uno de los cables que sirven para levantar la placa y mantenerla horizontal. Solución:
129
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/10. Una rueda con peso G se mantiene sobre un plano inclinado liso con la ayuda de un cable. Determinar la fuerza en el cable y la fuerza de contacto entre el plano y la rueda. Solución:
130
ESTÁTICA
UNIDAD 2
,
Problema 2/11 Tres cajas con pesos y están atadas a dos cables como se muestra en la figura. Las poleas son lisas. Calcular los ángulos y en el estado de equilibrio. Solución:
131
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/12 Las barras 1 y 2 están fijadas en y a una pared por pernos lisos. Ambas están articuladas en y sometias a un peso . Calcular las fuerzas en las barras. Solución:
132
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/13. Una estructura consiste de dos barras 1 y 2, unidas mediante tres articulaciones, y una cuerda 3; en A sostiene una caja de peso P . Determinar las fuerzas en las barras y en la cuerda. Desprecie el peso tanto de las barras como de la cuerda. Solución:
133
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/14. Un mástil vertical está soportado por dos cuerdas, 1 y 2. La fuerza en la cuerda 3 es conocida. Determine las fuerzas en las cuerdas 1 y 2, y en el mástil. Solución:
134
ESTÁTICA
UNIDAD 2
1 4 2 3 4
2.9 Equilibrio de cuerpos rígidos m) mostrada en la siguiente Problema 2/15. La viga simplemente apoyada (longitud figura 5.28 está sometida a tres fuerzas concentradas kN, kN, kN, la carga lineal kN/m y el momento kN∙m. Calcule las reacciones en los apoyos.
5
Solución:
Problema 2/16. La viga mostrada en la figura puede rotar alrededor de su apoyo, está cargada por dos fuerzas y . Despreciar su peso propio de la viga. Determinar la ubicación del apoyo para que la viga se encuentre en equilibrio. Además, encontrar la fuerza A ejercida sobre la viga por el apoyo.
Solución:
135
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/17. La viga mostrada en la figura está sometida a una fuerza F que actúa bajo el ángulo . Determine las fuerzas de reacción en los apoyos A y B.
Solución:
136
ESTÁTICA
UNIDAD 2
y
Problema 2/18. La viga empotrada mostrada en la figura está cargada por dos fuerzas . Determinar las reacciones en el apoyo.
Solución:
137
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/19. Un cable es guiado sobre una polea ideal y sometido a las fuerzas y , que actúan bajo los ángulos dados y β . Las dos fuerzas están en equilibrio. Si se conoce la fuerza , determinar la fuerza requerida y la fuerza de reacción en la articulación O que sujeta la polea.
Solución:
138
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/20. Una viga homogénea de longitud 4a y peso G, está suspendida en C por una cuerda. La viga toca las paredes lisas verticales en A y B como se muestra en la figura. Encontrar la fuerza en la cuerda y las fuerzas de contacto en A y B.
Solución:
139
ESTÁTICA
UNIDAD 2
√ 2, 15°.
está situada dentro de una carcasa esférica Problema 2/21 Una viga de longitud lisa de radio , como se muestra en la figura. Si se considera el peso G de la esfera colocada en la viga, determinar la distancia del extremo izquierdo de la viga requerida para mantenerla en equilibrio con el ángulo Calcular las fuerzas de contacto en A y B. Desprecie el peso de la viga.
Solución:
140
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/22. Una palanca de longitud l que está sometida a una fuerza vertical ejerce una fuerza de contacto sobre un cilindro circular de radio r y peso G. El peso de la palanca debe despreciarse y además, todas las superficies son lisas. Determinar la fuerza de contacto entre el cilindro y el piso si la altura h del escalón es igual al radio r del cilindro.
Solución:
141
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/23. Determine las reacciones en los apoyos A y B de la viga sujeta a las fuerzas y par indicados. 5 kN
3 4
1.25 kN·m
10 kN
B
A
1m
2m
2m
1m
Solución:
Problema 2/24. Determine las reacciones de los apoyos de la viga sujeta a las condiciones de carga indicadas. 5000 N
900 N/m
1.2 m
0.6 m
0.6 m
Solución:
142
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/25. Determinar las reacciones en el empotramiento de una viga en voladizo, sometida a la acción de una fuerza concentrada, de un par de fuerzas y de una carga distribuida que varía de acuerdo con la ley del triángulo y del trapecio. Indicar las cantidades calculadas en un DCL correcto. x
4 tf·m
q q= 2 tf/m
y 4.5 m
5 tf
3m
30°
Solución:
143
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/26. La barra uniforme AB con una masa de 200 kg soporta en A la carga de 600 kg. Calcular la tensión T en el cable portante y la magnitud F B de la fuerza que soporta el pasador B. Solución:
2.5 m T
B
m 5 . 2
60°
m 5 2. A
600 kg
144
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/27. El cable de la figura tiene una masa de 1.5 por metro de longitud y soporta la polea y el gancho de elevación que juntos, tienen una masa de 5.4 kg. Hallar la fuerza P necesaria para mantener el equilibrio.
P
2.5 m 1.2 m
150 mm
Solución:
145
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/28. Calcular las reacciones en los apoyos A y B de la viga sujeta a las fuerzas distribuidas indicadas. Solución:
146
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/29. El marco simétrico tiene una masa de 1200 kg y está apoyado y cargado como se muestra. Si la carga que puede soportar el pasador A está limitada a 20 kN, hallar la carga lateral P máxima permitida. Solución: P
4m A
B
6m
147
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/30. La siguiente figura representa un poste de una cerca utilizada en un terreno agrícola. El poste se considera articulado en A, y se fija al suelo mediante el alambre BC . Tres alambres horizontales se atan al poste y la tensión en cada uno de ellos es de 300 N. Encontrar la tensión en el cable BC y las reacciones en la articulación en A. Solución: 300 N 550 mm B
300 N 550 mm
1000 mm 300 N
250 mm C
60°
A 100 mm
148
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/31. Una rueda dentada C de 1 m de radio y un piñón D de 10 cm de radio están montados sobre un árbol horizontal AB. Otras dimensiones están indicadas en el dibujo. Una Fuerza horizontal P = 10 kgf está aplicada, en dirección de la tangente, a la rueda C y una fuerza vertical Q está aplicada, también en dirección de la tangente, al piñón D. Determinar la fuerza Q y las reacciones de los cojinetes A y B en el estado de equilibrio. Dar las respuestas en kgf.
z
y
10 cm
P
80 cm
B
10 cm C
Q
D
x
A
Solución:
149
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/32. En la posición representada, el cigüeñal de un motor de dos cilindros está sometido a las fuerzas de 400 y 800 N, ejercidas por las bielas. Para este sistema: a) Si el par M es igual a 200 N·m, determinar la resultante de este sistema de fuerzas y ubicar dicha resultante sobre el plano x-z a partir del punto A. b) Si el cigüeñal está en equilibrio, hallar las fuerzas de reacción de los cojinetes A y B y la magnitud del par M que actúan sobre dicho cigüeñal.
24º
y 24º
200 mm
800 N
B A
z
400 N 200 mm
M 4 0 0 m m
200 m m
x Solución:
150
2 0 0 m m
ESTÁTICA
UNIDAD 2
151
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/33. Un árbol de transmisión horizontal, que lleva dos poleas C y D de transmisión por banda, puede girar en los cojinetes A y B. Los radios de las poleas son r C = 20 cm, r D = 25 cm; las distancias entre las poleas y los cojinetes son ; la distancia entre las poleas c = 100 cm. Las tensiones y de las ramas de la banda montada sobre la polea C son horizontales; . Las tensiones y de las ramas de la banda montada sobre la polea D forman con la vertical un ángulo ; . Determinar las tensiones en el estado de equilibrio y las reacciones de los cojinetes provocadas por las tensiones de las bandas.
50 c m 2 500 kgf 30°
2
z a
c
b D
C
A
B
t 1 x
T 1
α
T 2
α
t 2
Solución:
152
y
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/34. Determinar la fuerza F necesaria para iniciar la rodadura del cilindro uniforme de peso G y radio r sobre el escalón. Solución:
r
F
α h
153
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/35. La pluma ligera en ángulo recto que soporta al cilindro de 400 kg, está soportada por tres cables y una rótula en O fija al plano xy . Hallar las reacciones en O y las tensiones en los cables. Solución: y
D C
1 m 1.5 m
1 m
Oy
TAC
O 2 m
TBE 0 .7 5 m
0 .7 5 m
400 (9.81) = 3924 N
154
E
TBD
A z
1 m
Oz
Ox
B
1 m
x
ESTÁTICA
UNIDAD 2
155
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/36. Determinar las magnitudes de la fuerza y el par ejercidas por la tuerca y perno en O sobre la ménsula cargada para mantenerla en equilibrio. Solución: z R y
M z
m 5 1 . R z 0 m 2 . 0
1.6 kN
m 0. 2
R x
M x
M y 2.4 kN 30°
50° x
156
y
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/37. Una placa homogénea de peso es soportada por seis barras y sometida a la fuerzas como se muestra en la figura. Calcular las fuerzas en las barras.
Solución:
157
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/38. La válvula de seguridad A de una caldera de vapor está unida por medio de la barra AB con la palanca homogénea CD de 50 cm de longitud y de 1 kgf de peso, que puede girar alrededor del eje fijo C ; el diámetro de la válvula es d = 6 cm, el brazo BC = 7 cm. ¿Qué carga Q debe ser suspendida del extremo D de la palanca para que la válvula se abra por sí sola cuando la presión en la caldera sea de 11 atm (1 atm = 1 kgf/cm2)?
C
B
D A Q
d
Solución:
158
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/39. Un trípode ABDE con forma de una pirámide regular, está articulado en dos vigas en voladizo. Un cable que pasa sobre una polea fijada en el vértice E del trípode, levanta uniformemente con ayuda de un cabrestante una carga de peso P . Entre la polea y el cabrestante el cable es paralelo a las vigas. Determinar las reacciones del empotramiento de la primera viga despreciando su peso y el peso del trípode. La altura del trípode es igual a l
2
.
Solución:
159
ESTÁTICA
UNIDAD 2
160
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/40. Una barra uniforme AB, que puede girar alrededor del punto A, soporta una carga de Q [N] a la distancia de a [cm] del punto A y se mantiene en equilibrio por medio de una fuerza vertical P , aplicada en su extremo libre B. Cada centímetro de longitud de la barra pesa q [N]. Determinar la longitud x de la misma, de tal forma que la fuerza P sea la mínima posible y hallar P mín . x
P
A B
a Q
Solución:
161
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/41. Una placa homogénea rectangular ABCD de peso P está sujeta por unas barras, articuladas en sus extremos con la placa, y por apoyos articulados en el piso, como se muestra en la figura. En la esquina A sobre la placa actúa la fuerza Q que forma en el plano AEHD un ángulo β con la arista AD. Determinar las fuerzas en las seis barras de apoyo considerando nulo el peso de las barras. Las dimensiones y los ángulos están indicados en la figura, AM = MB. Solución:
z D
A β M
R1
h 90°
Q
B
C
R3 x
ψ R4
R2
R5 P
φ
E
H
R6
ψ φ
F
G
b
a
162
y
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/42. Un tanque elevado cilíndrico, para distribución de agua, de 6 m de altura y de 4 m de diámetro, está montado en cuatro columnas colocadas simétricamente e inclinadas respecto al horizonte; el fondo del tanque se halla a la altura de 17 m sobre el nivel de los apoyos; la torre pesa 8 tf ; la presión del viento se calcula para el área de la proyección de la superficie del recipiente sobre el plano perpendicular a la dirección del viento, considerando la presión específica del viento igual a 125 kgf/m2. Determinar la distancia necesaria AB entre los apoyos de las columnas. Solución:
6m
4m
17 m
A
B
163
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/43. Una grúa está instalada sobre un camión. El peso del contrapeso B es igual a P 2 = 20 kN. El peso del camión junto con la grúa sin contrapeso, igual a P 1 = 50 kN, está aplicado en el centro de gravedad C . Determinar la distancia mínima DE entre los ejes de las ruedas del camión y el peso máximo P 3 de la carga A que puede levantarse para que el camión no sufra volcadura tanto con la carga A como sin ésta. Las dimensiones se indican en la figura.
B A P 2
C
P 3
P 1
4m
D
1.5 m
E
2m
Solución:
164
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/44. Una mujer está sosteniendo en su mano con el brazo completamente extendido y horizontalmente una esfera de 3.6 kg, como se muestra en la figura. Una fuerza de tensión en el músculo deltoide evita que el brazo gire entorno a la articulación en el hombro O; está fuerza actúa a un ángulo de 21° como se muestra. Determine la fuerza ejercida por el músculo deltoide localizado en la parte superior del brazo en A y determine también las componentes en x e y de la fuerza de reacción en la articulación del hombro en O. La masa en la parte superior del brazo es mU = 1.9 kg, la masa de la parte inferior del brazo es m L = 1.1 kg, y la masa de la mano es m H = 0.4 kg; todos los pesos correspondientes actúan en los puntos mostrados en la figura. Solución:
165
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/45. Una persona está realizando levantamientos lentos con el brazo con un peso de 10 kg como indica la figura. El grupo de músculos braquiales (consta de los biceps y músculos braquilaes) es el factor más importante en este ejercicio. Determine la magnitud F de la fuerza del grupo de músculos braquiales y la magnitud E de la reacción en la articulación del codo en el punto E para la posición del antebrazo que se muestra en la figura. Tome las dimensiones mostradas para localizar los puntos efectivos de aplicación de los dos grupos de músculos; estos puntos están 200 mm directamente sobre E y 50 mm directamente a la derecha de E . Incluya el efecto de la masa del antebrazo de 1.5 kg con centro de masa en el punto G. Solución:
166
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/46. La grúa móvil portátil de un taller mecánico sostiene un motor de 420 lb. Para la posición mostrada calcule la fuerza soportada por el pasador en C y la presión p del aceite sobre el pistón del cilindro hidráulico de 3.20 in de diámetro en el elemento AB. Solución:
167
ESTÁTICA
UNIDAD 2
2.10 Aplicaciones a estructuras y máquinas Problema 2/47. Determinar las reacciones en A, F y E . Solución:
168
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/48. Determinar la magnitud de la fuerza soportada por el pasador C . También encontrar las reacciones en la articulación A. 600 N
Solución:
0.2 m C 0.2 m E B
D
0.2 m A 0.2 m
0.2 m
169
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/49. Las uniones A, B, C y D son de pasador o articulación. Despreciando el peso de las barras, determinar la fuerza total (fuerza cortante) soportada por el pasador B. También determinar las reacciones en A y C . 0.15 m
y C
D
0 .3 5 m
m 5 . 0
45°
B 45°
A
m 5 . 0
x 50 kg
170
Solución:
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/50. El siguiente marco es típico de instalaciones para maquinaria o naves industriales. Los apoyos A y E son articulaciones, y la unión C también es una articulación. Determine las reacciones en los apoyos A y E . Solución:
5 kN/m
C B
D
10 kN
m 2 m 4
A
E
10 m
171
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/51. Para la siguiente estructura plana, determinar las reacciones en los apoyos A y B, indicando en un DCL los valores y sentidos correctos de dichas reacciones. También, en un DCL, indicar todas las fuerzas externas que actúan sobre el elemento ACD. 8 N/mm
8000 N
C D 1000 mm
1000 mm
Articulación
A
500 N 1000 mm
B E 1000 mm
500 mm
1500 mm
Solución:
172
ESTÁTICA
UNIDAD 2
173
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/52. Para la estructura plana siguiente, encontrar las reacciones en los apoyos A, E y F . 3m 6 kN/m D
C
E
F
Articulación 4m
B
A 3m
1m
1m
Solución:
174
3m
1m
G
ESTÁTICA
UNIDAD 2
175
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/53. La longitud no deformada del resorte EF es de 300 mm, para la siguiente configuración determinar la magnitud de la reacción en la articulación O. Solución:
176
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/54. Para los siguientes datos del cargador frontal, y para la posición mostrada, determinar las fuerzas ejercidas por el cilindro hidráulico CF y los eslabones AE y BG sobre el brazo ABCHD. Datos: P =10 kN, a = 2.5 m, b = 0.15 m, c = 0.9 m y L = 2.4 m. P
b
a C
B
H
L
D
c 80°
70°
A
40°
G
60°
F E
Solución: b= 0.15 m
B
C
P=10 kN a= 2.5 m L= 2.4 m
H
D
40° c = 0.9 m 80°
F BG A 60°
DCL
F CF
50°
F AE
177
ESTÁTICA
UNIDAD 2
178
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/55. En la posición mostrada, la excavadora aplica una fuerza de 20 kN paralela al suelo. Hay dos cilindros hidráulicos: en AC para controlar el brazo OAB , uno en DE para controlar el eslabón EBI y otro en GH para accionar el cucharón. Determine la fuerza en cada uno de los cilindros hidráulicos y la presión que actúa sobre el émbolo de cada cilindro si los diámetros son d AC 95 mm , d DE 105 mm y d GH 95 mm , respectivamente. El peso de los miembros es despreciable en comparación con la fuerza de 20 kN .
Solución:
DCL
179
ESTÁTICA
UNIDAD 2
180
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/56. La estructura mostrada en la figura consiste de una viga etiquetada con el número 1 y la parte angular con el número 2, que están conectadas por la articulación G. La parte angular está empotrada en y la viga esta apoyada en . El sistema está sometido a la fuerza . Determinar las reacciones en los apoyos A y B, así como en la articulación interna G.
Solución:
181
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/57. La estructura simétrica mostrada en la figura consiste de dos vigas conectadas en una articulación y fijada mediante la cuerda . Está cargada con un cilindro libre de fricción de peso . Determinar las reacciones en los apoyos en , la fuerza de tensión en la cuerda y la reacción en la unión . El peso de las dos vigas puede despreciarse.
Solución:
182
y
ESTÁTICA
2.
UNIDAD 2
Problema 2/58. La estructura mostrada en la figura consta de dos vigas, unidas por una articulación y apoyada en y mediante articulaciones. El sistema está sometido a las fuerzas Determinar las fuerzas en los apoyos y en la articulación G. y Solución:
183
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/59. La viga articulada mostrada en la figura está sometida a una fuerza simple y una carga distribuida . Determinar las fuerzas en los apoyos y articulaciones. Solución:
184
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/60. Determine la fuerza de corte F aplicada por la hoja DE a la barra en G en términos de la fuerza P aplicada al mango de la cortadora. Asuma que la fuerza de corte F es perpendicular a la cara inferior de la hoja DE .
Dimensiones en mm
Solución:
185
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/61. La figura muestra una bomba de mano de alta presión utilizada para impulsar presión de aceite en una línea hidráulica. El maneral se encuentra en equilibrio en y bajo la acción de la fuerza P = 120 N, determine la presión de aceite p la cual actúa sobre el pistón de 46 mm de diámetro. (La presión en la cara superior del pistón es la atmosférica.)
15°
Solución:
186
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/62. La viga en la figura está soportada por tres puntales y sometida a una fuerza distribuida triangular. Determinar las fuerzas en los puntales. Solución:
187
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/63. La estructura mostrada en la figura consta de una viga y tres barras. Ésta soporta una carga concentrada . Determinar la reacción en el apoyo y las fuerzas en las barras. Solución:
188
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/64. Encontrar las reacciones en los apoyos para la viga articulada mostrada en la figura. Solución:
189
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/65. La viga articulada mostrada en la figura soporta una fuerza concentrada y una carga distribuida triangular. Determinar las reacciones en los apoyos y la fuerza en la articulación. Solución:
190
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/66. Determinar las reacciones en los apoyos para la estructura mostrada en la figura. Considerar la polea sin fricción. Solución:
191
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/67. Una viga homogénea de peso cuelga de unos ganchos como se muestra en la figura. Determinar las reacciones en los apoyos en y y la fuerza en la articulación en
.
Solución:
192
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/68. Un mástil de peso está apoyado mediante una rótula (articulación en tres dimensiones) en . Además está soportada por dos puntales. Su extremo superior carga un peso . Determinar las fuerzas de reacción en y las fuerzas en los puntales.
Solución:
193
ESTÁTICA
UNIDAD 2
2.11 Equilibrio en presencia de fricción seca Objetivo
Aplicar la teoría del equilibrio al análisis de problemas donde participa el fenómeno de la fricción.
Temas: 1 Principios básicos 2 Leyes de la fricción seca. 3 Problemas generales. 4 Aplicaciones especiales: cuñas, bandas, tornillos y embragues. 1. Principios básicos La experiencia demuestra que al tratar de desplazar un cuerpo sobre la superficie de otro, en el plano de contacto entre ambos surge una fuerza de resistencia a su desplazamiento relativo, la fuerza de fricción de deslizamiento. La aparición de la fricción está condicionada, ante todo, por la rugosidad de las superficies, la cual engendra una resistencia al desplazamiento y por la presencia de adhesión entre los cuerpos comprimidos unos contra otros. El estudio de todas las particularidades del fenómeno de la fricción es una cuestión físico-mecánica compleja.
Se distinguen tres tipos de fricción, a saber: 1) Fricción seca 2) Fricción fluida o viscosa 3) Fricción interna
194
ESTÁTICA
UNIDAD 2
2. Leyes de la fricción seca Los cálculos de ingeniería se basan habitualmente en las leyes generales de la fricción seca, establecidas experimentalmente, que reflejan con una precisión suficiente para la práctica, las particularidades fundamentales del fenómeno de la fricción. Estas particularidades, llamadas leyes de la fricción de deslizamiento, se pueden enunciar de la forma siguiente: 1. La fuerza de fricción que aparece en reposo relativo de un cuerpo se llama fricción estática; la fuerza de fricción que obra durante el deslizamiento de un cuerpo se llama fricción cinética. 2. La fuerza de fricción no depende de las dimensiones de las superficies en fricción, siendo iguales las demás condiciones.
3. Al igual que el valor de cualquier reacción la magnitud de la fuerza de fricción depende de las fuerzas aplicadas y hasta un cierto límite siempre es tal que impide el deslizamiento de los cuerpos uno sobre el otro. Sin embargo, ella no puede superar un cierto valor máximo, el cual es fijo para cada caso dado. 4. El valor máximo de la fuerza de fricción es directamente proporcional a la fuerza de la presión normal que ejerce un cuerpo sobre el otro.
á
Por la fuerza de la presión normal se entiende la fuerza de presión dirigida a lo largo de la normal a la superficie de deslizamiento.
195
ESTÁTICA
UNIDAD 2
5. La magnitud máxima de la fuerza de fricción depende tanto del material y estado de las superficies en fricción como de la existencia y clase de lubricante entre ellas. 6. La fuerza de fricción en movimiento es menor que la fuerza de fricción en reposo.
3. Problemas generales Problema 2/69. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre el bloque de 100 kg y el plano inclinado son 0.30 y 0.20, respectivamente. Determine: a) la fuerza de fricción F que actúa sobre el bloque cuando P se aplica con una magnitud de 200 N al bloque en reposo; b) la fuerza P requerida para iniciar el movimiento hacia arriba del plano inclinado a partir del reposo; y c) la fuerza de fricción F que actúa sobre el bloque si P = 600 N. Solución:
196
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/70. Un bloque de peso colocado sobre un plano inclinado rugoso con un ángulo de pendiente y coeficiente de fricción estática . El bloque está sometido a una fuerza externa como se muestra en la figura. Especificar el intervalo de valores de tales que el bloque permanezca en reposo. Solución:
197
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/71. La barra uniforme AB de 60 kg está sujeta a la fuerza P. Las guías en B son lisas. En A, μ s = 0.8. a) Si P = 400 N, encontrar la fuerza de fricción en A sobre la barra. b) Encuentre la fuerza P requerida para causar un deslizamiento sobre A. Solución:
y
B l/ 2 P l /2
60°
A
x
198
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/72. Una barra recta homogénea AB de peso Q se apoya en el punto B sobre una pared vertical rugosa. El coeficiente de fricción estático entre la barra y la pared es igual a . En el punto A la barra se apoya sobre un piso liso horizontal. La barra se mantiene en equilibrio mediante el hilo AD que pasa por la polea D.
Determinar el rango dentro del cual se puede variar la magnitud del peso P sin alterar el equilibrio de la barra.
Solución:
B
y
F B
y
N B
N B
B
B C
A
α
a)
D
N A A
Q α
P mín
P
b)
199
F B
C
x
N A A
Q α
P máx c)
x
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/73. Un hombre de peso se apoya sobre una escalera como se muestra en la figura. Determinar la máxima posición que puede alcanzar sobre la escalera sí: a) Sólo el piso tiene superficie rugosa y b) El piso y la pared tienen superficies rugosas. El coeficiente de fricción estática en ambos casos es
Solución:
200
.
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/74. En la figura se muestra una propuesta de diseño para un freno articulado. Las dos superficies de frenado tienen el mismo coeficiente de fricción. Obtener una expresión que relacione la magnitud del par o momento T con la magnitud de la fuerza de frenado P cuando la rotación del tambor es inminente en el sentido horario. 40 mm
100 mm
100 mm
160 mm
T
C B 100 mm A
Solución:
201
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/75. Un par de fuerzas de momento M = 100 kgf·m está aplicado a un árbol, sobre el cual está fijada por chaveta una rueda de freno de radio r = 25 cm. Hallar la fuerza Q con la cual hace falta apretar las zapatas de freno contra la rueda para que ésta permanezca en reposo, si el coeficiente de fricción estático entre la rueda y las zapatas es igual a 0.25.
Solución:
Q
Q
2r
202
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/76. El montacargas es utilizado para mover un rollo de papel sólido de 1200 kg hacia arriba en la rampa inclinada 30°. Si el coeficiente de fricción estático y cinético entre el rollo y la barrera vertical del montacargas y entre el rollo y la rampa inclinada son ambos 0.40, calcule la fuerza de tracción P requerida entre las llantas del montacargas y la superficie horizontal. Solución:
203
ESTÁTICA
UNIDAD 2
4. Aplicaciones especiales: cuñas, bandas, tornillos y embragues Fricción en cuñas Problema 2/77. Dos cuñas de 5° se utilizan para ajustar la posición de una columna que está bajo la acción de una carga vertical de 5 kN. Determinar la magnitud de las fuerzas P requeridas para levantar la columna si el coeficiente de fricción para todas las superficies es 0.40. Solución:
204
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Fricción en bandas Problema 2/78. Fricción de un hilo flexible (tal como una banda plana) sobre una superficie cilíndrica. Una fuerza P se aplica a un hilo arroyado sobre un árbol cilíndrico. Hallar la fuerza mínima Q que debe ser aplicada al otro extremo del hilo para mantener el equilibrio, teniendo el ángulo dado .
y d θ 2
(T+dT)
Solución:
dN dF
D E R d θ θ α O
d θ 2
x T Q
P
205
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/79. El rodillo cilíndrico mostrado en la figura está sometido a un momento . Una correa lisa (coeficiente de fricción estática está envuelta alrededor del rodillo y conectada a una palanca. Determinar el valor mínimo de tal que el rodillo permanezca en reposo (freno de cinta). Solución:
206
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/80. Un bloque de peso descansa sobre un tambor. Ésta agarrado por una cuerda que se encuentra fijada en el punto .
Determinar la tensión en si la fricción actúa entre el tambor y ambos, el bloque y la cuerda (cada uno con coeficiente de fricción cinética ).
Solución:
207
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/81. Calcular la fuerza P sobre la palanca del freno diferencial de banda que evitará que el volante gire sobre su eje cuando se aplica el par M = 150 N∙m. El coeficiente de fricción entre la banda y el volante es μ=0.40. Solución:
450 mm
P O
75 mm
30°
c
M
300 mm
208
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/82. En diversas aplicaciones se usan “bandas V” para transmitir potencia desde un motor a una máquina. Una banda en V se utiliza para transmitir un par de 100 N m a una polea A de una bomba, desde la polea B de un motor, cuyo eje gira en sentido antihorario a una rapidez constante. Si R 400 mm , r 40 mm y el coeficiente de fricción entre la banda y las poleas es s 0.3 . Determinar: (a) la tensión mínima requerida en la banda, (b) el momento que transmite el motor.
Solución:
209
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/83. Determinar el rango de valores de la masa m del cilindro, para el cual el sistema estará en equilibrio. El coeficiente de fricción entre el bloque de 50 kg y el plano inclinado es 0.15, y entre la cuerda y el soporte cilíndrico es 0.25. Solución:
210
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/84. Una banda que sirve de accesorio para un motor de combustióm interna se muestra en la figura. La polea A está unida al cigüeñal de un motor y gira en sentido horario. El tensor de la banda costa de una polea loca sin fricción en B que está montada a una barra horizontal D que se desliza en una guía sin fricción con una fuerza horizontal P. La polea C opera una bomba hidraulica que requiere . Los coeficientes de fricción estática para las poleas A y C son 0.4 y 0.6 respectivamente, y los radios de las poleas A y C son 110 y 80 mm, respectivamente. Determinar el valor mínimo de P para que la banda no se patine.
200 N∙m
Solución:
211
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Fricción en tornillos Problema 2/85. Un tornillo de rosca plana con coeficiente de fricción estática paso radio , está sometido a una carga vertical y un momento como se muestra en la figura. Expresar la condición de equilibrio si las fuerzas normales y las fuerzas de fricción estática están distribuidas uniformemente sobre la cuerda del tornillo.
, ℎ y
Solución:
212
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Fricción en embragues. Problema 2/86. Analizar la fricción en embragues de disco.
Solución:
213
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/87. Un freno de disco automotriz se compone de un rotor de caras planas y una mordaza que contiene una zapata de frenado en cada cara del rotor. Si en cada cara del rotor actúan fuerzas iguales P produciendo la misma presión p uniforme en toda la zapata, demostrar que el momento aplicado al eje es independiente de la distancia angular de las zapatas. ¿Variaría el momento sí la presión estuviera en función de ? Solución:
Solución:
214
ESTÁTICA
UNIDAD 2
215
ESTÁTICA
UNIDAD 2
2.12 Armaduras Se llama armadura a una estructura rígida construida a partir de barras rectas unidas en sus extremos en arreglos triangulares estables. Las siguientes son ejemplos de armaduras
para diferentes aplicaciones.
Partes de una armadura
1) Nudos; 2) Diagonales; 3) Montantes; 4) Cuerda superior; 5) Cuerda inferior.
El análisis estructural de una armadura se refiere al cálculo de las fuerzas internas (de tensión o de compresión) que actúan en cada una de las barras de la armadura. Para armaduras isostáticas el análisis puede llevarse a cabo por el método de los nudos o por el método de las secciones. 216
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/88. Ejemplo del análisis de una armadura por el método de los nudos. Determine la fuerza que soporta cada uno de los miembros de la siguiente armadura. Solución:
217
ESTÁTICA
UNIDAD 2
218
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/89. Mediante el método de los nudos, determinar las fuerzas en cada una de la barras de la siguiente armadura. Compruebe los resultados mediante el método de las secciones, para las barras BC , HC y HG.
Solución:
219
ESTÁTICA
UNIDAD 2
220
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/90. Mediante el método de los nudos, determinar las fuerzas en cada una de la barras de la siguiente armadura. Compruebe los resultados mediante el método de las secciones, para las barras BC , BG y HG.
Solución:
221
ESTÁTICA
UNIDAD 2
222
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/91. Para la siguiente armadura: a) Determinar el sistema fuerza – par en el punto A, equivalente a las seis fuerzas externas aplicadas. La fuerza inclinada de 400 N es perpendicular a la barra AC . b) Encontrar la resultante de las seis fuerzas anteriores, y localícela a partir del apoyo A. c) Calcular las reacciones en A y F , primero a partir del valor y localización de la resultante hallada en el inciso b, y, después, directamente a partir de las seis fuerzas que actúan sobre la armadura. d) Mediante el método de los nudos, determine las fuerzas en cada una de la barras de la armadura.
Solución:
223
ESTÁTICA
UNIDAD 2
224
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/92. Determine las fuerzas axiales en los miembros BC , EF y EC de la siguiente armadura. Aplicar el método de secciones. P 1=15 kN Solución: B
C P 2=5 kN
4m
A
E
3m
D
F
3m
3m
Solución:
225
ESTÁTICA
UNIDAD 2
Problema 2/93. La armadura mostrada en la figura está sometida a una fuerza externa . Determinar las reacciones en los apoyos y las fuerzas internas axiales en las barras de la armadura.
Solución:
226
ESTÁTICA
UNIDAD 2
227
ESTÁTICA
UNIDAD 3
UNIDAD 3. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES PLANAS Objetivo Desarrollar la teoría para el cálculo de centroides, momentos y productos de inercia de cualquier área o sección plana.
Temas: 3.1 Centro de gravedad, centro de masas y centroides. 3.2 Momento estático. 3.3 Momento de inercia. 3.4 Producto de inercia. 3.5 Momento polar de inercia. 3.6 Ejes principales y momentos principales de inercia. 3.7 Características geométricas de los perfiles comerciales de acero La resistencia y la rigidez que presenta una barra a los diferentes tipos de fuerzas externas aplicadas, depende no sólo del material, sino también de la forma y dimensiones de las secciones transversales correspondientes. En esta unidad se analizan las principales características geométricas de las secciones transversales que pueden presentarse en los elementos estructurales y de máquinas. Estas características son áreas de las secciones planas, centroides, momentos estáticos, momentos de inercia, producto de inercia y momentos polares de inercia.
3.1 Centro de gravedad, centro de masa y centroide Centro de gravedad La resultante de las fuerzas de gravedad de las partículas de un cuerpo se llama fuerza de gravedad del cuerpo; el módulo de esta fuerza se llama peso del cuerpo.
El centro de gravedad de un cuerpo es un punto invariablemente relacionado con este cuerpo, a través del cual pasa la línea de acción del peso de éste. Las coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo respecto a todo sistema de coordenadas fijo se pueden hallar, si se conocen las coordenadas de todas las partículas del cuerpo respecto a este sistema. Para ello es preciso aplicar la condición siguiente: el momento de la fuerza de gravedad de todo el cuerpo respecto a un eje cualquiera debe ser igual a la suma de los momentos de la fuerza de gravedad de todas las partículas del cuerpo respecto a ese mismo eje. 228
ESTÁTICA
UNIDAD 3
z
P 2 P 1
G P n
O
y
x P
∑ , ∑ , ∑ . ∫ , ∫ , ∫ , ∫ .
Para un cuerpo con una distribución continua de la masa, su peso total es ecuaciones anteriores adquieren el siguiente aspecto:
y las
Centro de masas Transformemos las ecuaciones que determinan las coordenadas del centro de gravedad en una forma que contenga la masa del cuerpo o sistema. La masa de un sistema es igual a la suma aritmética de las masas de todos los puntos o de todos los cuerpos que lo componen:
, ∑ , ∑ , ∑.
,
En un campo de gravedad homogéneo, para el cual g = constante, el peso de cualquier partícula del cuerpo es proporcional a su masa, y para todo el cuerpo de lo cual resulta:
El punto geométrico G, cuyas coordenadas se determinan por estas ecuaciones, se llama centro de masas o centro de inercia del cuerpo o sistema.
∫ , ∫ ∫ ∫ , , .
Si se considera una distribución continua de la masa en todo el volumen del cuerpo o sistema, y:
229
ESTÁTICA
UNIDAD 3
Problema 3/1. Se tiene un cilindro homogéneo de 30 kg conectado con tres barras A, B y C , cuyas masas son 10, 5 y 8 kg, respectivamente. Localice el centro de masa de dicho sistema.
D
y
160 mm
B z
A
C
100 mm
200 mm
120 mm x
Solución:
230
ESTÁTICA
UNIDAD 3
Centroide Para un cuerpo homogéneo el peso pi de cualquier parte de éste es proporcional al volumen V i de esta parte: El peso P de todo el cuerpo es proporcional al volumen V de éste: donde es el peso específico del cuerpo.
. ,
Sustituyendo estas relaciones en las ecuaciones del centro de gravedad, se obtiene:
∫ ∑ , ∫∑ , ∑∫. , , .
Como se observa, el centro de gravedad de un cuerpo homogéneo depende solamente de su forma geométrica, y es independiente de la magnitud Por esta razón, el punto C , cuyas coordenadas se determinan por las ecuaciones anteriores, se llama centroide o centro geométrico del volumen V . En la práctica a menudo se requiere determinar la localización del centroide de figuras planas, en cuyo caso las ecuaciones correspondientes adquieren la siguiente forma:
∫ , ∫ ,
para un área o región continua.
O bien, cuando se trata de un área compuesta:
∑ , ∑ ,
Problema 3/2. Determinar la distancia desde la base hasta el centroide del siguiente triángulo. Solución: h
b
231
ESTÁTICA
UNIDAD 3
Problema 3/3. Determinar las coordenadas del centroide del siguiente cuadrante de círculo. Solución:
r
232
ESTÁTICA
UNIDAD 3
Problema 3/4. Localizar el centroide del sector circular mostrado en la figura. Solución:
Problema 3/5. Encontrar el centroide del área en forma de L mostrado en la figura. Solución:
233
ESTÁTICA
UNIDAD 3
Problema 3/6. Un círculo es removido de un triángulo, como se muestra en la figura. Localizar el centroide del área. Solución:
3.2 Momento estático ¿Cómo se define el momento estático de un área o sección plana, y cuál es su significado y características? El momento estático con respecto al eje x del área A es:
El momento estático con respecto al eje y del área A es:
El subíndice A de las integrales indica que la integración se realizará sobre toda el área de la sección.
234
ESTÁTICA
UNIDAD 3
Recordando las expresiones que determinan las coordenadas del centroide C de un área:
̅ ∫∫ ∫∫ , ̅
resulta que:
Esto es, el momento estático de un área A con respecto a cualquier eje es igual al producto del área total de la figura (sección) y la distancia de su centroide a este eje.
Problema 3/7. Demostrar el siguiente teorema. Si el eje con respecto al cual se determina el momento estático pasa a través del centroide del área, el momento estático con respecto a este eje es igual a cero.
Problema 3/8. Determinar el momento estático con respecto al eje centroidal z de la mitad superior (semicírculo) de la sección circular de radio r . Solución: y
r z
2
π r A* = 2 C 4r 3π
235
ESTÁTICA
UNIDAD 3
3.3 Momento de inercia ¿Cómo se define el momento de inercia de un área o sección plana, y cuál es su significado y características? El momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje contenido en su plano, se define como la suma de los productos de las áreas elementales y los cuadrados de sus distancias a este eje.
Teorema de los ejes paralelos: el momento de inercia de un área con respecto a un eje cualquiera es igual al momento de inercia de la misma con respecto a un eje paralelo al primero y que pasa por su centroide, más el producto del área y el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.
2 2 236
ESTÁTICA
UNIDAD 3
Problema 3/9. Hallar el momento de inercia de la sección rectangular respecto al eje x0, que pasa por el centroide y es paralelo a la base. También encontrar el momento de inercia con respecto al eje x que coincide con la base. Solución:
h
b
̅
Problema 3/10. Calcular el momento de inercia de la sección circular con respecto al eje centroidal . Solución: r
237
ESTÁTICA
UNIDAD 3
3.4 Producto de inercia ¿Cómo se define el producto de inercia de un área o sección plana, y cuál es su significado y características? El producto de inercia de un área se define como la suma de los productos de las áreas elementales y sus coordenadas (es decir, sus distancias a los dos ejes de coordenadas) realizada sobre toda el área de la sección o figura.
∫ El producto de inercia puede ser positivo, negativo o, como caso particular, igual a cero. Si los ejes ortogonales x e y, o uno de ellos, son ejes de simetría de la figura, entonces el producto de inercia, respecto a estos ejes, es igual a cero.
Teorema de los eje paralelos para el producto de inercia: el producto de inercia, respecto a un sistema de ejes ortogonales paralelos a los ejes centroidales, es igual al producto de inercia respecto a los ejes centroidales más el producto del área de la figura por las coordenadas de su centroide, respecto a los nuevos ejes.
238
ESTÁTICA
UNIDAD 3
̅
Problema 3/11. Calcular el producto de inercia del triángulo rectángulo respecto a los ejes x e y, e y x e y1. Solución: y y
y1
h C
b
x x
239
ESTÁTICA
UNIDAD 3
240
ESTÁTICA
UNIDAD 3
3.5 Momento polar de inercia ¿Cómo se define el momento polar de inercia de un área o sección plana, y cuál es su significado y características? Se denomina momento polar de inercia de la sección la característica geométrica, determinada por la integral,
,
siendo r la distancia del área dA al punto (polo), respecto al cual se calcula el momento polar de inercia.
Teorema: el momento polar de inercia, respecto a un punto arbitrario, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes ortogonales que pasan por dicho punto.
En efecto, del teorema de Pitágoras:
∫ ∫ ∫ .
241
ESTÁTICA
UNIDAD 3
Problema 3/12. Calcular el momento polar de inercia de la siguiente sección circular con respecto a su centro O. Solución: r O
242
ESTÁTICA
UNIDAD 3
3.6 Ejes principales y momentos principales de inercia v
y A y θ
u
dA v
u
θ C
E D
θ
x O B Primero resolvamos el problema de la transformación de momentos y productos de inercia, que consiste en lo siguiente: Sean conocidos los momentos de inercia I x e I y y el producto de inercia I xy para alguna figura, con respectos a los ejes x-y. Se trata de determinar estas mismas magnitudes, pero con respecto a los ejes u-v con el mismo origen O que x-y, pero girados con respecto a éstos un ángulo θ. Con este propósito se recurre a las siguientes ecuaciones de transformación de coordenadas en el plano:
, , cos 1cos2 sen 1cos2 2sencossen2 , + − cos2sen2
Por definición, los momentos y el producto de inercia buscados son:
Sustituyendo las expresiones de u y v, desarrollando y haciendo uso de las identidades
se obtiene:
243
(a)
ESTÁTICA
UNIDAD 3
+ − cos2sen2 − sen2cos2
(b)
(c)
Al sumar (a) y (b) se descubre la siguiente propiedad invariante para los momentos de inercia:
e
Al variar el ángulo θ de giro de los ejes, cada una de las magnitudes varía mientras que su suma permanece constante. Por tanto, existe un ángulo θ tal que uno de los momentos de inercia alcanza su valor máximo, mientras que el otro alcanza su valor mínimo. Derivando la expresión (a) respecto a θ e igualando la derivada a cero, se obtiene:
tan2 2
Cuando θ adquiere este valor, uno de los momentos de inercia será máximo y el otro mínimo. Al mismo tiempo, el producto de inercia I uv correspondiente a este ángulo θ será igual a cero. Los ejes, respecto a los cuales el producto de inercia es igual a cero, mientras que los momentos de inercia adquieren valores extremos, se denominan ejes principales. Si al mismo tiempo estos ejes son también centroidales, se denominarán entonces ejes principales centroidales. Los momentos de inercia respecto a los ejes principales se denominan momentos de inercia principales. Los valores de los momentos de inercia principales se determinan mediante la siguiente ecuación:
á,í , 2 ± 2
244
ESTÁTICA
UNIDAD 3
30°
Problema 3/13. Determinar los momentos de inercia del siguiente rectángulo de lados b= 9 cm y h= 4 cm, con respecto a los ejes x1 y y1 si , a =10 cm y c = 8 cm. Solución: y´ y1
x
y h
b
C
θ =30° x´ a
c O
x1
245
ESTÁTICA
UNIDAD 3
Problema 3/14. Para la siguiente sección transversal, determine: a) las coordenadas del centroide; b) la orientación de los ejes principales centroidales; c) los valores de los momentos principales de inercia correspondientes a los ejes principales del inciso b; d) indique a qué eje principal le corresponde I máx y a cuál I mín. y
x
Solución:
246
ESTÁTICA
UNIDAD 3
247
ESTÁTICA
UNIDAD 3
Problema 3/15. Para la siguiente sección transversal compuesta, formada por un triángulo, un rectángulo y un semicírculo, determine: a) La posición del centroide C . b) La orientación de los ejes principales centroidales del área de toda la sección compuesta. c) Los valores de los momentos principales de inercia para la sección compuesta, correspondientes a los ejes principales del inciso b. d) Indicar a qué eje principal le corresponde el momento de inercia máximo. y
2 0
C 3
C 2
60
40
30
C 1 O
60
30
Solución:
248
x
Acotación en cm
ESTÁTICA
UNIDAD 3
249
ESTÁTICA
UNIDAD 3
3.7 Características geométricas de los perfiles comerciales de acero Nombres y símbolos de perfiles y
y
y
tamaño x
x
x
x
x
Espesor
x
Espesor
y tamaño
y tamaño
ÁNGULO DE LADOS IGUALES (LI) y
y
ÁNGULO DE LADOS DESIGUALES (LD)
PERFIL C ESTÁNDAR (CE)
y
y x
x
x
x d
d
x
x
d
d
y y
y
PERFIL I ESTÁNDAR (IE)
PERFIL T RECTANGULAR (TR)
PERFIL I RECTANGULAR (IR)
b f y t f
D
D
y
y
t w x
y PERFIL I SOLDADO (IS)
tamaño y
espesor x
x
d w
x
x
t f
x
x
y
y
REDONDO SÓLIDO LISO (OS) tamaño y
TUBO CIRCULAR (OC) y
y
espesor tamaño x
x x
y
y
y TUBO CUADRADO O RECTANGULAR (OR)
x
x
PERFIL C FORMADO EN FRÍO (CF)
250
d x
x
y
PERFIL Z FORMADO EN FRÍO (ZF)
d
ESTÁTICA
UNIDAD 3
Tabla 3.1 Designación de perfiles NOMBRE 1. ÁNGULO DE LADOS IGUALES 2. ÁNGULO DE LADOS DESIGUALES 3. PERFIL C ESTÁNDAR 4. PERFIL I EST NDAR 5. PERFIL I RECTANGULAR 6. PERFIL T RECTANGULAR 7. PERFIL I SOLDADTO
DESIGNACIÓN LI tamaño y espesor LD tamaño y espesor CE d x Peso IE d x Peso IR d x Peso TR d x Peso
UNIDADES mm x mm mm x mm x mm mm x kg/m mm x kg/m mm x kg/m mm x kg/m
8. REDONDO SÓLIDO LISO 9. TUBO CIRCULAR 10. TUBO CUADRADO O RECTANGULAR 11. PERFIL C FORMADO EN FRÍO 12. PERFIL Z FORMADO EN FRÍO
OS D OC D x t OR tamaños y espesor CF d x cal ZF d x cal
mm mm x mm mm x mm x mm mm x cal mm x cal
×× mmmm ×mm ×mm
El Instituto Mexicano de la Construcción en Acero, A. C. (IMCA) consideró conveniente designar los perfiles de acero con sólo dos letras, una ideográfica y la otra abreviatura de su descripción, en vez de las tres o más siglas tradicionales. A continuación se indican las equivalencias: LI es APS de lados iguales TR es TPR LD es APS de lados desiguales IS es IPC CE es CPS OR es PTR o PER IE es IPS CF es CPL2 IR es IPR ZF es ZPL2 Tabla 3.2 Ejemplo de tabla de propiedades de perfiles Y W Z e z
LI ÁNGULO DE LADOS IGUALES PROPIEDADES
X
X
ew
y
Z
x
W
Y
Designación tamaño y espesor t mm in. x in. x mm* 19 x ¾ x 1/8 3 19 x ¾ x 3/16 5 22 x 7/8 x 1/8 3
rea Ejes X- X y Y-Y cm
cm
1.11 0.37 0.28
0.58
0.58 0.58 0.43 0.73 1.34 0.16 0.19 0.38 0.82
1.59 0.50 0.39
0.56
0.66 0.83 0.62 0.72 1.34 0.17 0.18 0.38 0.93
1.32 0.58 0.38
0.66
0.66 0.90 0.58 0.82 1.56 0.26 0.28 0.48 0.93
cm
cm
251
4
S
3
cm
r
cm
cm
I
4
cm
S
3
cm
r
Cm
cm
3
R
I
4
S
Ejes Z-Z
x=y
2
I
Ejes W-W
cm
cm
ESTÁTICA
UNIDAD 3
Problema 3/16 Para la siguiente sección armada a partir de perfiles comerciales de acero estructural, calcular: los momentos principales centroidales de inercia de dicha sección.
11.9 mm m m 6
38 mm 11.07 mm
LI 38 x 6
mm x mm
CE 76 x 6.10
mm x kg/m
m m 6 7
35.81 mm Solución:
252
