U.N.F.V. – F.O.P.C.A. ESTADÍSTICA GENERAL Y APLICADA
Ing. Enrique Morales C.
ESTADÍSTICA GENERAL Y APLICADA
PRACTICA N° 9 - 104 104 : MODELOS ALEATORIOS PRACTICA A DESARROLLAR:
1. Un ensayo ensayo consiste consiste en lanzar una una moneda moneda balanceada balanceada 8 veces sucesivamente, sucesivamente, calcular: calcular: a) La prob probab abili ilida dad d de obte obtene nerr 6 caras caras.. R: P(6) = 0.109 b) El número número esperad esperado o de caras caras en los ocho lanza lanzamien mientos tos y la desviació desviación n estándar. estándar.
R: E(x)=8 caras, S(x)=1.414 caras 2. La probab probabilida ilidad d de que unos unos padres padres tengan tengan un hijo hijo de cabello cabello rubio rubio es ¼. Si hay 6 hijos hijos en la familia ¿Cuál es la probabilidad de que la mitad de ellos tengan cabello rubio? R: P(3) =
0.132 3. La probabi probabilida lidad d de hacer hacer blanco blanco en un disparo disparo de rifle rifle es 0.3 ¿Cuál ¿Cuál será la probabi probabilida lidad d de que en 4 disparos dará en el blanco al menos 3 veces? R: P(x ≥3) = P(3) + P(4) = 0.084 4. Un inspec inspector tor de calida calidad d escoge escoge al azar azar una muestra muestra de 10 tubos tubos de un cargame cargamento nto muy muy grande de tubos, sabiendo que por cada 5 tubos, existe un tubo defectuoso ¿Cuál será la probabilidad de que no mas de 2 tubos seleccionados sean defectuosos?
R: P(x ≤2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.677 o también P(x ≤2) = 1 – P((x ≥3) = 0.677 5. Se desea desea calcul calcular ar la probab probabili ilidad dad de escoger escoger 2 hombre hombres s para para trabaja trabajarr en una empresa empresa importante, importante, para lo cual se ha seleccionado seleccionado al azar 6 personas (entre hombres y mujeres) de un grupo de 10 personas de los cuales se sabe que 5 son hombres. R: N=10, k=5, n=6, x=2; ⇒ P(2) = 0.238 (observe que las selecciones son sin reemplazo,
por lo que los eventos son dependientes) 6. Un saco contiene 4 fichas blancas y 5 fichas fichas negras, negras, se extraen extraen 3 fichas, sin reposición, por lo que se piden calcular: a) La probabilidad de extraer exactamente 2 fichas negras. R: N=9, k=5, n=3, x=2; ⇒
P(x=2) = 0.476 1; ⇒ La probabilidad que al menos una sea blanca. R: N=9, k=4, n=3, x ≥ ≥ 1; ≥1) P(x ≥ 1 ) = 1 - P(x<1) = 1 - P(x=0) = 1 - 0.119 0.119 = 0.881 c) El número número esperad esperado o de fichas fichas blancas blancas extraíd extraídas as y la desviaci desviación ón de estánd estándar. ar. R = E(x) = µ x = n.p = n(k/N) = 3(4/9) = 1.333 fichas blancas; R = V(x) = n.p.q(N-n/N-1) = 3(4/9)(5/9)(9-3/9-1) = 0.556 ⇒ S(x)= 0.745 fichas blancas.
b)
7. En una estaci estación ón de bombe bomberos ros se recibe recibe un prome promedio dio de 5 llama llamada das s por por hora, calcu calcular lar la probabilidad de recibir 2 llamadas en una hora seleccionada al azar. R: λ =5(1), =5(1), e=2.7182, x=2; ⇒ P(2) = 5 2 (2.7182)-5 / 2! = 0.084 [Si se hubiera pedido hallar la probabilidad de recibir 2 llamadas en 3 horas, entonces el valor será λ =5(3)]. =5(3)]. 8. En una una pobl poblac ació ión n de 2000 2000 habi habita tant ntes es,, se pres presen enta ta una una enfe enferm rmed edad ad endé endémi mica ca en la proporción de 0,001. Calcular: a) La probabi probabilida lidad d que existan existan a lo máximo máximo una una persona persona por enferm enfermedad edad.. b) La probabi probabilida lidad d que por por lo menos menos 2 contraig contraigan an la enferm enfermedad edad.. c) La probabi probabilida lidad d que exactam exactamente ente 5 desar desarrolle rollen n la enfermed enfermedad. ad. R(a): n=2000, p=0.001 ⇒ λ = np = 2000(0.001) = 2
P(x ≤1) = P(x=0) + P(x=1) = 0.135 + 0.271 = 0.406 R(b): P(x ≥ 2) = 1 - P(x=1) = 1 – 0.406 = 0.594 ≥ 2) =5) 5) = P(x ≤5) - P(x ≤4) = 0.983 – 0.947 = 0.036 R(b): P(x = 9. La escasez escasez de glóbulos rojos puede puede determinarse determinarse examinand examinando o al microscopio microscopio una muestra muestra de sangre. Un volumen muy pequeño contiene por término medio 20 glóbulos rojos en personas normales. ¿Cuál es la probabilidad que una muestra de una persona normal contenga por lo menos 16 glóbulos rojos?
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R: λ = E(x) = µ x = 20 P(x ≥1 6) = 1 - P(x<16) = 1 – P (x ≤15) = 1 – 0.157 = 0.843 10. Un producto químico es empacado en bolsas especiales cuyos pesos se sabe que son distribuidos normalmente con una media de 50 lb y una desviación estándar de 2 lb. Encontrar la probabilidad de sacar una bolsa conteniendo los siguientes valores, sabiendo que están distribuidos normalmente: a) Menos de 51 lb. R: P(x ≤5 1) = P(z ≤ 0.5) = 0.691 b) Como mínimo 47 lb. R: P(x ≥ 47) = 1- P(x<47) = 1- (z<-1.5) = 0.933 c) De 48 a 52 lb. R: 0.683 Observación :
Si lo llevamos a porcentajes, en la alternativa “a” como 69.14% significaría que por cada 100 bolsas mas de 69 a 70 bolsas, saldrán con menos de 51 lb. Y en la alternativa “c” de cada 100 bolsas, saldrán 68 bolsas de 48 a 52 lb. 11. La media del salario semanal de un grupo de trabajadores es US$ 150.00, se cree que los salarios están normalmente distribuidos con una desviación estándar de US$ 16.00, calcular: a) Los niveles de salario x1 y x2, los cuales se sabe que el 68% de estos salarios son simétricos respecto a la media. R: x 1 = US$ 134.088; x 2 = US$ 165.904 b) El sueldo que excede al 90% de la distribución semanal de salarios. R: x = US$ 170.505 12. En una distribución normal, el 35.94% de las longitudes de la trucha “Arco iris” en la Estación Piscícola Santa Eulalia, es inferior a 45 cm y el 25.46% es superior a 55 cm. ¿Cuál será el valor promedio y su variabilidad del rango de longitudes dados?
R: M(x) = US$ 48.529 y S(x) = 9.804 13. En una distribución normal hay un 40% de valores inferiores a 50 y un 30% superiores a 70. Determinar la proporción de valores entre 55 y 70.
R: P(55 < x < 70) = P(-1.5 < z < 0.52) = 0.632 14. Una pequeña ciudad es abastecida de agua potable cada 2 días; el consumo en volumen de agua para esa pequeña ciudad tiene una distribución normal con una media de 20 000 litros y desviación típica de 1 000 litros (se entiende el consumo cada 2 días). Se trata de hallar la capacidad de su tanque de agua para que sea de solo el 1%, la probabilidad que en un periodo de 2 días el agua no sea suficiente para satisfacer toda la demanda.
R: La capacidad “c” del tanque de agua de la ciudad debe ser de 22 330 litros. 15. Si en general fallecen el 30% de los pacientes que padecen cierta enfermedad ¿Cuál es la probabilidad que, en un grupo de 5 pacientes mueran exactamente 2? R: Sabemos: p=0.30, n=5, x=2 ⇒ P(x=2) = 0.309 (Dist. Binomial) 16. Aproximadamente 2/5 de las personas de los Estados Unidos pertenece al grupo sanguíneo A ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 10 personas, pertenezcan 3 al grupo A? R: Sabemos: p=0.40, n=10, x=3 ⇒ P(x=3) = 0.215 (Dist. Binomial) 17. La razón de mortalidad para cierta enfermedad es 7/1000 ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente sucedan 5 descensos por esta enfermedad en un grupo de 400 personas? R: n=400, p=0.007 ⇒ λ = np = 400(0.007) = 2.8 ⇒ P(x =1) = 0.087 (Dist. Poisson) 18. En general el 0.5% de ciertos productos manufacturados son defectuosos ¿Cuál es la probabilidad de que en 1000 de ellos se encuentren 10 o mas defectuosos? R: n = 1000, p = 0.005 ⇒ λ = np = 1000(0.005) = 5 P(x ≥ 10) = 1 – p(x ≤9) = 1 - 0.968 = 0.032 (Dist. Poisson) 19. Para los gatos la dosis letal media de cierta tintura es 13.4 cc y una S = 0.845 cc ¿Qué porcentaje de los gatos se estimará que mueran con una dosis menor que 12 cc? R: z =(12–13.4) / 0.845 = -1.66 ⇒ P(x<12) = P(z<-1.66) = 0.048 (Dist. Normal)
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20. Para cierta prueba la calificación media es 500 puntos y una desviación estándar de 100 puntos, se desea aprobar al 75% de los candidatos que toman esta prueba ¿Cuál debe ser la calificación mínima aprobatoria? R: P(X ≥ x 1 )= 0.75 ⇒ z 1 = -0.68 ⇒ (x 1-500)/100 = -0.68 ⇒ x 1 = 4.32 (Dist. Normal)
