2) Cuando las medias, por establecimiento establecimiento autorizado, autorizado, de una de relojes caen caen por debajo de las 170,000 170,000 unidades unidades mensuales mensuales,, se considera considera razón suficiente suficiente para lanzar lanzar una que active las ventas ventas de esta esta marca. Para Para conocer la de las ventas, ventas, el departamento departamento de realiza una a 1 establecimientos autorizados, autorizados, seleccionados seleccionados aleatoriamente, que que facilitan la cifra de ventas del !ltimo mes en relojes de esta marca. " partir de estas cifras se obtienen los si#uie si#uiente ntess result resultado ados$ s$ med media ia % 1&' 1&'.(1 .(111, unidad unidades. es.,, desvia desviació ciónn est*nd est*ndar ar % +2. +2.27 27, , unidad unidades. es. upon uponien iendo do que las ventas ventas men mensua suales les por establ estableci ecimie miento nto se distrib distribuu-en en normalmente con un nivel de si#nificación del / - en vista a la situación reflejada en los . e considerar* oportuno lanzar una nueva campaa publicitaria Respuesta Datos:
n % 1
Solución:
30$ 4 % 170000 31$ 4 5 170000 a % 0,0
6n de ventas de universitarios universitarios afirma que en promedio promedio sus representantes representantes de ventas realiza (0 visitas a profesores por semana. arios de estos representantes piensan que realizan un n!mero de visitas promedio superior a (0. 6na muestra tomada al azar durante semanas reveló un promedio de (2 visitas semanales - una desviación est*ndar de 2 visitas. 6tilice un nivel de confianza del ''/ para aclarar esta cuestión.
Datos:
4 % (0 n% 8ivel de confianza del ''/ 8ivel de si#nificación % 4100/9''/):2 % 0,/ % 0,00
Solución:
30$ 4 % (0 31$ 4 ; (0
() 6n investi#ador de - =*bitos de afirma que el que los de tres a cinco aos dedican a ver cada semana se distribu-e normalmente con una media de 22 =oras - desviación est*ndar & =oras. >rente a este estudio, una de cree que la media es ma-or - para probar su =ipótesis toma una muestra de &( observaciones procedentes de la misma población, obteniendo como resultado una media de 2. i se utiliza un nivel de si#nificación del /. erifique si la afirmación del investi#ador es realmente cierta.
Datos:
n % &( a % / % 0,0
Solución:
30$ 4 % 22 31$ 4 ; 22 a % 0,0
e rec=aza 3o, porque z prueba 4() es ma-or que z tabla 41,&(), por lo tanto el tiempo que los nios de tres a cinco aos dedican a ver la es ma-or de 22 =oras, lo que implica de de mercados tiene la razón.
e realizó un estudio con un nivel de si#nificancia de .0 para investi#ar si el n!mero de u.e.a?s que se dan de baja en la quinta semana es diferente entre los estudiantes de in#enier@a de la 6"A iztapalapa - los estudiantes de in#enier@a de la 6"A "zcapotzalco. e obtuvieron dos muestras representativas de (0 estudiantes. Ba muestra 1 46"A ) tuvo un puntaje medio de +. 4es decir dan de baja en promedio +. u.e.a?s) con una desviación est*ndar de 2, mientras que la muestra 2 46"A ") tuvo una media de + con una desviación de 2.2. 1.9 Dstablecer las =ipótesis 3o$ E1 F E2 3o$ G Dl n!mero de u.e.a*s que dan de baja no es ma-or en la 6"A que en la 6"A " H 3a$ E1 ; E2 3a$ G Dl n!mero de u.e.a?s que dan de baja en la 6"A es ma-or que en la 6"A " H. Dl peso en libras de una muestra aleatoria de bebIs de seis meses si#ue una distribución normal con una desviación de 1.21 libras. e#!n se =a establecido, en promedio un bebI de esta edad debe pesar alrededor de 1( libras. 6n pediatra sin embar#o considera que a=ora los bebIs =an variado su peso - para ello =a considerado el peso de 100 bebIs de esta edad obteniendo un peso medio de 1(.+ libras. Con un nivel de confianza del /, pruebe si el pediatra tiene razón en lo planteado. Solución:
1. ea J$ peso promedio en libras de una población de bebes de & meses. μ0
% 1( Bibras, K % 1.21 libras
x ´
% 1(.+ libras
n= 100
2. +. (. .
30 $ J % 1( 31 $ J L 1(.+ 8ivel de si#nificancia$ 0.0 Dstad@stico de prueba$ Como la varianza de la población es conocida, n;+0 - la distribución es normal, utilizamos el estad@stico z$ Z =
´ − μ X
σ / √ n 2
&. Me#ión de Mec=azo$
α/2
α/2
Puesto que es un intervalo Z Por la tabla se obtiene el estad@stico z 0,'7 % -Z bilateral se utiliza z N:2 O α/2
1.'&
α/2
z 0
i i
5 9 1,'& ó z0 1,'&
1.'& F z0 F 1,'&
Mec=azar la 30
"ceptar la 3 0
3istóricamente la proporción de clientes que compran con tarjeta de crIdito en una determinada tienda es como m@nimo del 2/, sin embar#o la duea de la tienda piensa que esta cifra =a disminuido si#nificativamente. Qe los !ltimos 1122 clientes 2(2 compraron con tarjeta de crIdito, si N % 10/. e est* cumpliendo lo que piensa la duea. Solución:
ea p$ proporción promedio de clientes que compran con RQC. p0 ´ P
% 0.2, % 2(2:1122 % 0.21
n =1122
30 $ p % 0.2 31 $ p 5 0.2 8ivel de si#nificancia$ 0.1 Dstad@stico de prueba es$ P− p 0 ^
Z 0 =
√
p ( 1− p ) n
Me#ión de Mec=azo$ Mec=azar 30$ p% 0.2 si
z 0<− z 0.1
% 91.2'
e eval!a t 0 para los datos$ ´
Z 0 =
´ −0.25 0.215
√
(
0.25 1 −0.25
=−2.707
)
1122
Sustificación - decisión Como z 0=−2.707 <−1.29 , se rec=aza 3o - se conclu-e con un nivel de si#nificancia del 0.1 que se cumpliendo lo que piensa la duea. i la 3o$ m ³ que un valor poblacional, entonces el ries#o alfa se coloca en el eTtremo izquierdo de la distribución. Por ejemplo si 3o m ³ 10 - 3a$ m 5 10 se tiene una prueba de cola izquierda$ 3o$ a ≥ b 3a$ a 5 b
C*lculo del estad@stico con base en C=i cuadrada para prueba de una varianza. σ
2
2
3o$
σ 0
% σ
2
2
σ 0
3o$ ≠ Dl estad
Qonde$ 2
σ 0
la varianza de la =ipótesis 8 % n!mero de datos de la muestra 2 % varianza de los datos de la muestra Bos enanos de Ulanca 8ieves le informan que eTcavan 12 toneladas promedio por semana. 8ieves recolecta datos de (' semanas - obtiene V%11., s% 1.1 a un nivel de si#nificancia N%10/. Bos Dnanos est*n en lo cierto. olución 1) Planteamiento de =ipótesis 3o$ J%12 3a$ JL12 Qeterminar estad@stico de la prueba W Wc% 11. X 12: 41.1 : Y(') % 90.: 0.17 % 9+.1 Qeterminar el valor de Wt de acuerdo al valor de alfa 10/ : 2 % 0.0 W de tablas 0.0 % 91.&( nterpretación - conclusiones Qado que Wc%9+.1 es menor que Wt%91.&( la 3o se rec=aza a un nivel alfa del 10/. Bos enanos no eTcavan 12 toneladas al d@a ntervalo de confianza C % Aedia Z9Walfa:2[ : raiz4n) C % 11.Z9 1.&([ 1.1:raiz4(') % 411.2(2, 11.7) Ba media de la =ipótesis no se encuentra en el intervalo de confianza, se rec=aza 3o. &) alor P del estad@stico de prueba P %distr.norm.estand4Wc) %distr.norm.estand49+.1) % 0.0007+ Como el valor P es menor a alfa:2 entonces se rec=aza 3o 2.9 Dstablecer el criterio de ecisión o contraste Como en este problema, la =ipótesis alternativa o alterna contiene el si#no 4;) el problema es de una cola, es decir, la re#ión cr@tica se ubica en el eTtremo derec=o de la curva. Para determinar que tipo de distribución se utilizar* primero deberiamos estudiar si la muestra es pequea o #rande, vamos a suponer que +0 es el limite$ i n1 Z n2 9 2 ; +0 entonces se busca en la tabla el valor de z correspondiente a N:2. i n1 Z n2 9 2 ≤ +0 se busca en la tabla el valor t correspondiente a \ % n1Zn292 - a N:2.
Dn este ejemplo, \ % n1 Z n2 9 2 % (0 Z (0 9 2 % 7 entonces \ ; +0 - por lo tanto se utiliza la distribución normal con N % .0 Dl valor .0 no est* en la tabla, pero deber@a encontrarse entre estas dos cantidades W 1.&
( .000
.0
.0('(7
e procede entonces con un procedimiento llamado interpolación, identificando la primera z como z1 - la se#unda como z2. Bas *reas como "1 - "2 respectivamente.
W1 W W2 W ( 1.& .000 .0 .0('(7 ]1 " ]2 Bue#o se aplica la fórmula de interpolación$ 4"1 4.0009. 9 ") 0) 4 W2 W W1 1.&( 41.& 1.&(( X % % 4"1 4.0009. % Z Z 91.&() W1) X 0('(7) "2) Pero usted tiene suerte pues con M puede obtener el valor eTacto con la instrucción qnorm40.0, lo^er.tail % >) ide donde resulta1.&((( +.9 Calcular el valor del estad@stico de prueba Dn este ejemplo vamos a suponer que las varianzas de las dos poblaciones son i#uales 4aunque en el eTamen usted deber* probar si esta =ipótesis es plausible o valida). Dntonces si esta =ipótesis de i#ualdad de varianzas es v*lida, se calcula el error est*ndar de la diferencia de las medias
e calcula el valor del estad@stico de prueba, en este caso W[
