´ CARRERA DE INGENIER´IA MECANICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
NRC: 1186 ESTAD´ISTICA I
EJERCICIOS: Distribuci´ on on de probabilidad Nombres: Enrique A˜nazco nazco Sebasti´an an Arguello Alejandro Grijalva Carlos Masaquiza Daniel Reyes Roberto Vallejo
Docente: Ing. Ramiro Guerr´on on
1. Se sacan dos bolas sucesivas sin remplazo de una urna que contiene 5 bolas azueles, 3 rojas. Los posibles resultados y los valores y de la variable aleatoria Y donde Y en el n´ umero umero de bolas rojas. a ) Construya Construya una tabla de distribuci´ distribucion o´n de probabilidad
N´umer u meroo bolas bolas rojas rojas
Prob Probab abil ilid idad ad
5 4 20 = 8 7 56 3 5 30 1 ( ) 2= 8 7 56 3 2 6 2 = 8 7 56 b ) Grafique el diagrama diagrama de distribuci´ distribuci´ on on de probabilidades 0
∗ ∗ ∗ ∗
c ) Construya Construya una tabla de distribuci´ distribucion o´n de probabilidad acumulada
N´umero umero bolas rojas Probabi Probabilid lidad ad 20 56 50 56
0 1 2
1
d ) Grafique el diagrama diagrama de distribuci´ distribuci´ on de probabilidades acumulada on
1
1. Se sacan dos bolas sucesivas sin remplazo de una urna que contiene 5 bolas azueles, 3 rojas. Los posibles resultados y los valores y de la variable aleatoria Y donde Y en el n´ umero umero de bolas rojas. a ) Construya Construya una tabla de distribuci´ distribucion o´n de probabilidad
N´umer u meroo bolas bolas rojas rojas
Prob Probab abil ilid idad ad
5 4 20 = 8 7 56 3 5 30 1 ( ) 2= 8 7 56 3 2 6 2 = 8 7 56 b ) Grafique el diagrama diagrama de distribuci´ distribuci´ on on de probabilidades 0
∗ ∗ ∗ ∗
c ) Construya Construya una tabla de distribuci´ distribucion o´n de probabilidad acumulada
N´umero umero bolas rojas Probabi Probabilid lidad ad 20 56 50 56
0 1 2
1
d ) Grafique el diagrama diagrama de distribuci´ distribuci´ on de probabilidades acumulada on
1
e ) Calcul Calculee la media
u = E = E ((x) = f ) Calcule Calcule la varianza σ 2 = σ 2 =
∗ −
x p( p(x) = 0 + (x
30 56
+
12 56
=
42 56
µ)2 p( p(x) = 0,2727
2. Una variable aleatoria tiene la funci´on on de probabilidad x f(x)
0 0.05
1 0.1
2 3 0.15 0.25
4 0.2
5 0.15
6 0.1
Comprobar ar que en verdad verdad es una funci´ on de probabilidad a ) Comprob a) f ( f (x) > 0 > 0 b) p( p(x) = 1 0.05+0.1+0.15+0.10=1
b ) Calcul Calcular ar p(x
≤ 2) p( p(x
≤ 2) = p(0) p (0) + p + p(1) (1) + p + p(2) (2)
0,05 + 0, 0,1 + 0, 0 ,15 = 0, 0,3 c ) Calcul Calcular ar p(x
≥ 3) p( p(x 3) = 1 [ p(0) p(0) + p + p(1) (1) + p + p(2)] (2)] = 1 [0, [0,05 + 0, 0,1 + 0, 0 ,15] = 0, 0,7
≥
−
− Calcular ar la p[x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5] d ) Calcul
p(1) p(1) + p + p(3) (3) + p + p(5) (5) = 0,05 + 0, 0,25 + 0, 0,15
2
= 0,45 e ) Calcul Calcular ar la E (x)
E (x) = 60 x.p( x.p(x) = 0 + (1)0, (1)0,2 + (2)0, (2)0,15 + (3)0, (3)0,25 + (4)0, (4)0,2 + (5)0, (5)0,15 + (6)0, (6)0,2 = 3,3
3. Sea X una variable aleatoria cuya distribuci´on on de probabilidad viene dada por: p( p(X = x) x )
3 2x!(1−x)
0
si x = 0, 1, 2, 3, 4 cualquier cualquier otro caso caso
a ) Construya la tabla de distribuci´on on de probabilidades
x
p(x)
0 1 2 3 4
0.06 0.06225 0.25 0.375 0.25 0.06 0.06225
Construya el diagrama de distribuci´ on de probabilidades b ) Construya
on de probabilidades acumulada c ) Construya la tabla de distribuci´on
3
x
P(x)
0 1 2 3 4
0.0625 0.3125 0.6875 0.9375 1
d ) Construya el diagrama de distribuci´ on de probabilidades acumulada
e ) Calcule la media o valor esperado
x P(x) 0 0,0625 1 0,3125 2 0,38 3 0,25 4 0,0625
x.p(x) x u (x u)2 .p(x) 0 -2 0,25 0,3125 -1 0,3125 0,75 0 0 0,75 1 0,25 0,25 2 0,25 u = 2
−
−
f ) Varianza
σ2 = (x
2
− u) .p(x) = 1,0625
g ) Encuentre P(x=3)
P (x = 3) = 0,25 h ) Encuentre P (1 < x
≤ 2,5) P (1 < x ≤ 2,5) = P (1 ≤ x ≤ 2) − p(1)=0.375 i ) P (x ≥ 2,5) P (x ≥ 2,5) = p(3) + p(4) = 0,875
4. La cantidad aleatoria de dinero ahorrado por una persona en un mes sigue una ley de probabilidad dada por:
4
F (x)
si x 0 si 0 x 1 si 1 x 2 si 2 x < 3 1 si x > 3 0
≤
1 4 1 2 3 4
≤ ≤ ≤ ≤ ≤
donde x viene expresado en cientos de dolares. Determinar la probabilidad de que, en un mes la cantidad de dinero ahorrado: a ) Sea superior a 200 dolares
p(x > 2 = 1
− F (2) = 1 − 0,5 = 0,5
b ) inferior a 450 dolares
p(x < 4,5 = F (4,5) = 1 c ) Sea superior a 500 dolares y menor o igual a 250 dolares
p(5
≤ x ≤ 2,5) = F (5) − F (2,5) = 1 − 0,75 = 0,25
d ) Calcular el ahorro mensual diario
p(0)=0.25 p(1)=0.25 p(2)=0.25 p(3)=0.25 u = x.p(x) = 1,5
5. Una compa˜ n´ıa de materiales qu´ımicos env´ıa cierto disolvente en tambores de 10 galones. Sea x el n´umero de tambores pedidos por un cliente elegido aleatoriamente suponga que x tiene la siguiente funci´ on de masa de probabilidad: x f(x)
1 0.4
2 3 0.2 0.2
4 0.1
5 0.1
a ) Determine la media del numero de tambores ordenados
x P(x) 1 0,4 2 0,2 3 0,20 4 0,1 5 0,1
x.p(x) x u (x u)2 .p(x) 0,4 -1,3 0,676 0,4 -0,3 0,018 0,6 0,7 0,098 0,4 1,7 0,289 0,5 2,7 0,729
−
−
u = 2,3 b ) Varianza
σ2 = (x
2
− u) .p(x) = 1,808 c ) Determine √ la desviaci´on est´andar del n´umero de tambores ordenados D.E =
σ 2 = 1,34
d ) Sea Y el numero de galones ordenados. Determine la funci´ o n de masa de
probabilidad
5
x f(x)
10 0.4
20 0.2
30 0.2
40 0.1
50 0.1
e ) Media del n´ umero de galones ordenados
Y P(y) 10 0,4 20 0,2 30 0,20 40 0,1 60 0,1
x.p(y) x u (y u)2.p(y) 4 -14 78.4 4 -4 3.2 6 6 7.2 16 16 25.6 6 36 129.6 u = 24
−
−
f ) Varianza
σ2 = (x
2
− u) .p(x) = 244 g ) Determine √ la desviaci´on est´andar del n´umero de tambores ordenados D.E =
σ 2 = 15,62
6. Se lanza un dado legal, cada elemento del espacio muestral S=1,2,3,4,5,6 ocurre con probabilidad de 1/6 por lo tanto tenemos una distribuci´ on uniforme con f (x; 6) = 61 , x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Hallar a ) Representaci´ on gr´ afica de la distribuci´on uniforme
b ) Calcular la media
u = E (x) = 6
n+1
2
= 3,5
c ) Varianza
σ2 =
(n+1)(n−1) 12
=
35 12
7. La probabilidad de que una cierta clase de componente pase con ´exito una determinada prueba de impacto es 3/4. Se supone independencia en cada prueba) a ) Encuentre la probabilidad de que exactamente dos de los siguientes cuatro
componentes que se prueben pasen la prueba. Probabilidad Binomial: f (x) = nx px q n x p = 43 q = 41 f (x = 2) = n2 p2q n 2 = 0,2109
−
−
b ) Encuentre la probabilidad de que por lo menos dos de los siguientes cuatro
componentes que se prueben pasen la prueba. Probabilidad Binomial: f (x) =
f (x
4 n 2 x p = 43 q = 41
px q n
−x
≥ 2) = 0,949
c ) Encuentre la probabilidad de que a lo mas dos de los siguientes cuatro componentes
que se prueben pasen la prueba. Probabilidad Binomial: f (x) = nx px q n x p = 43 q = 41 p(x 2) p(x = 0) + p(x = 1 = + p(x = 2) = 20 nx px q n x = 0,262
−
≤
−
8. La Probabilidad de que un paciente se recupere luego de una delicada operaci´ on es de 0.95 ual es la probabilidad de que exactamente 5 de los 10 pacientes intervenidos a ) ¿C´ sobrevivan Probabilidad Binomial: f (x) = nx px q n p = 0,95 q = 0,05
7
−x
=
10 5
0,952 0,05n
2
= 6,09 10
∗
−
5
−
b ) ¿C´ ual es la probabilidad de al menos 5 de los 10 sobrevivan
f (x) = nx px q n x p = 0,95 q = 0,05 10 05 5 0,9520,05n 2 = 6,43 10
=
−
∗
−
5
−
c ) ¿C´ ual es la probabilidad de al menos 6 de los 10 sobrevivan
f (x) = nx px q n x p = 0,95 q = 0,05 p(x 6) = 1 P (x 5) = 0,9999
≥
−
−
≥
9. Se sabe que el 60 % de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermdad. Si se inoculan cinco ratones, encuentre la probabilidad de que: a) Ninguno contraiga la enfermedad b) Menos de 2 contraigan la enfermedad c) M´as de tres contraiga la enfermedad Datos: n=5 p = 60 % = 0.6 q = 40 % = 0.4 X = n´ umero de ratones sanos
a) X = 5, ya que ning´ un rat´ on contrae la enfermedad p(X = 5) =
· 5 5
(0,6)5 (0,4)5
5
−
·
5! (0,6)5 (0,4)0 5! (5 5)! 1 1 5! 5 0 = (0,6) (0,4) 5! (0)! = 0,07776 =
· − · ·
·
·
·
(1) (2) (3) (4)
b) X 1 = 5 y X 2 = 4, ya que contraen la enfermedad menos de 2 por lo tanto se espera que los 5 esten sanos o que 4 esten sanos.
≤ X ≤ 5) = p(X = 5) + p(X = 4)
p(4
8
(1)
p(X = 5) = 0,07776 p(X = 4) =
· 5 4
(2)
(0,6)4 (0,4)5
4
−
·
5! (0,6)4 (0,4)1 4! (5 4)! 5 5! = (0,6)4 (0,4)1 4! (1)! = 0,2592 =
· − · ·
·
·
·
p(4
≤ X ≤ 5) = p(X = 5) + p(X = 4) = 0,07776 + 0,2592 = 0,3369
(3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
c) X 1 = 0 y X 2 = 1, ya que contraen la enfermedad m´a s de tres, por lo tanto todos contraen la enfermedad o por lo menos 1 se no la contrae.
≤ X ≤ 1) = p(X = 0) + p(X = 1)
p(0
p(X = 0) =
· 5 0
(0,6)0 (0,4)5
0
−
·
5! (0,6)0 (0,4)5 0! (5 0)! 1 1 5! 0 = (0,6) (0,4)5 0! (5)! = 0,01024 =
· − · ·
·
p(X = 1) =
· 5 1
·
·
(0,6)1 (0,4)5
1
−
·
5! (0,6)1 (0,4)4 1! (5 1)! 5 5! = (0,6)1 (0,4)4 1! (4)! = 0,0768 =
· − · ·
·
·
·
p(0
≤ X ≤ 1) = p(X = 0) + p(X = 1) = 0,01024 + 0,0768 = 0,08704
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)
10. Determine el valor de c de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribuci´on de probabilidad de variable aleatoria discreta X: 9
a) f (x) = c(x2 + 4) para x = 0,1,2,3 b) f (x) = c
2 x
3
−x
3
para x = 0,1,2
a) 3
3
f (x) = 1
x=0
⇒
c(x2 + 4) = 1
x=0
⇒ f (0) + f (1) + f (2) + f (3) = 1
(1)
f (0) = c(x2 + 4) = c(02 + 4) = 4c f (1) = c(x2 + 4) = c(12 + 4) = 5c f (2) = c(x2 + 4) = c(22 + 4) = 8c f (3) = c(x2 + 4) = c(32 + 4) = 13c
(2) (3) (4) (5)
c(x2 + 4) = 1
(6)
3
⇒ 4c + 5c + 8c + 13c = 1
x=0
4c + 5c + 8c + 13c = 1 30c = 1 1 c = 30
(7) (8) (9)
b) 2
2
⇒ ⇒ − · − · − · − ⇒
f (x) = 1
x=0
f (0) = c
f (1) = c
f (2) = c
c
x=0
2 0
3
3
3
3
2 1
= c
0
3
3
2 2
= c
1
3
3
2
c
x=0
2 x
2 x
= c
2
3
3
−x
x
2 0 2 0 2 0
=1
f (0) + f (1) + f (2) = 1
=1
1
1
3 3
2! 3! = c = c 0! 2! 3! 0!
3 2
2! 3! = c = 6c 1! 1! 2! 1!
3 1
2! 3! = c = 3c 2! 0! 1! 2!
· · · 2
· · · 1
(2)
3
(3)
3
· · ·
c + 6c + 3c = 1
c + 6c + 3c = 1 10c = 1 1 c = 10
11. La distribuci´on de pobabilidad de la variable aleatoria discreta X es: 10
(1)
(4)
(5) (6) (7) (8)
f (x) =
x
1 4
3 x
3 4
3−x
para x = 0,1,2,3
Encuentre la media y la desviaci´ on est´ andar de X Media 3
E [X ] = µ =
x f (x)
x=0
f (0) = f (1) = f (2) =
f (3) =
3 0
1 4
0
3 1
1 4
1
3 2
1 4
2
1 4
3
3 4
3
3 4
2
3 4
1
3 4
0
3 3
(1)
·
1
1 0 1 3! 3 = 0! (3)! 4 4
· · · ·
·
3 3! = 1! (2)! 3 3! = 2! (1)!
· ·
1
3! = 3! (0)!
·
3
=
27 64
(2)
=
27 64
(3)
=
9 64
(4)
3 1 = 64 4
(5)
1 4
1
1 4
2
1 4
3
3 4
2
3 4
1
1
0
3
E [X ] =
x=0
x f (x) = x 1 f (x1 ) + x2 f (x2 ) + x3 f (x3 ) + x4 f (x4 )
·
·
·
·
·
= x 1 f (x1) + x2 f (x2 ) + x3 f (x3) + x4 f (x4 ) = 0 f (0) + 1 f (1) + 2 f (1) + 3 f (3)
·
·
·
=0
·
·
·
·
·
27 27 9 1 +1· + 2 · + 3 · · 64 64 64 64 = 0+
48 3 = 64 4
3 4
E [X ] = µ =
(7) (8) (9)
27 18 3 + + 64 64 64
=
(6)
(10) (11)
(12)
Desviaci´ on est´ andar E [X 2]
− (E [X ])
2
= E [X 2 ]
E [X 2 ]
−µ
2
−µ
2
= σ 2
(1)
= σ
(2)
x2 f (x)
(3)
3
2
E [X ] =
x=0
11
·
= 02
27 27 9 1 +1 · +2 · +3 · · 64 64 64 64
(4)
27 36 9 + + 64 64 64
(5)
2
2
= 0+
=
2
72 9 = 64 8
− − 9 8
3 4
9 8
(6)
2
= σ
(7)
9 = σ 16
(8)
9 = σ 16
σ =
12
3 4
(9)
(10)
12. Una moneda est´ a cargada de manera que la probabilidad de ocurrencia de una cara es 3 veces mayor que la de una cruz. Encuentre el n´ umero esperado de cruces cuando se lanza 2 veces esta moneda. Ω = CC,CS,SC,SS
{
}
Datos 1 p= 4 3 q= 4 n=2 p = probabilidad de salir sello q = probabilidad de salir cara n = n´ umero de lanzamientos Si se lanza 2 veces, entonces x = 0,1,2 2
E [X ] = µ =
x f (x) = x 1 f (x1 ) + x2 f (x2) + x3 f (x3 )
·
x=0
·
·
· n x
p(X = x) =
f (x) = p(X = 0) =
f (x) = p(X = 2) =
1 4
2 0
2 1
f (x) = p(X = 1) =
2 2
0
3 4
1
1 4
3 4
0
p q
(2)
·
1
1
0 1 2! 3 = 0! 2! 4 4
1
3 4
2
1 4
2
(1)
·
2
· · · · ·
9 16
(3)
3 8
(4)
0 3 1 = 16 4
(5)
2
2! = 1! 1!
1
2! = 2! 0!
·
1
1 4
1 4
3 4
2
=
1
= 1
2
E [X ] = µ =
x=0
x f (x) = x 1 f (x1 ) + x2 f (x2) + x3 f (x3 )
·
·
E [X ] = µ = 0
·
· 169 + 1 · 83 + 2 · 161
3 1 E [X ] = µ = + 8 8 E [X ] = µ =
1 = 0,5 2
µ = 0,5
13
·
(6) (7) (8) (9) (10)
13. Suponga que 2 variables aleatorias (X,Y) se distribuyen de manera uniforme en un c´ırculo con radio a. La funci´ on densidad de probabilidad conjunta es entonces:
f (x) =
1 para x2 + y 2 a 2 2 πa 0 en cualquier otro caso
≤
Encuentre el valor esperado de X Si y = 0 x2 + y 2 a 2 a x a
(1) (2)
≤ − ≤ ≤
Si se despeja x x2 + y 2
2
≤ a − a − y ≤ x ≤ a − y √ E [X ] = x · f (x)dxdy √
2
2
2
(4)
a2 −y2
a
−a
2
(3)
(5)
a2 −y 2
−
a
1 E [X ] = 2 πa
a2
−
a2
−y
2
dy
(6)
2 2 a2 y a2 y dy 2 2 a
(7)
−a
a
1 E [X ] = 2 πa
2
−y − 2 −
−
2
−
E [X ] = µ = 0
(8)
14. La distribuci´on de probabilidad X, el n´ umero de imperfecciones por cada 10 metros de una tela sin´etica, en rollos de ancho uniforme est´ a dada como: x p(X=x)
0 0.4
1 0.2
2 0.2
3 0.1
3 0.1
Encuentre el n´ umero promedio de imprefecciones en 10 metros de esta tela E [X ] = µ =
3
3
x=0
x f (x) =
·
x p(X = x)
(1)
·
x=0
= x 1 f (x1 ) + x2 f (x2 ) + x3 f (x3 ) + x4 f (x4 ) + x5 f (x5 ) = 0 (0,4) + 1 (0,2) + 2 (0,2) + 3 (0,1) + 3 (0,1) = 0 + 0,2 + 0,4 + 0,3 + 0,3 E [X ] = 1,2
·
·
·
·
·
14
·
·
·
·
·
(2) (3) (4) (5)
15. Con frecuencia los chips de computadora tienen imperfecciones en su superficie. Para cierto tipo de chips de computadora, 9 % no tiene imperfecciones, 22 % contiene una imperfecci´ on, 26 % presenta 2 imperfecciones, 20 % contiene 3 imperfecciones, 12 % tiene 4 imperfecciones y 11 % contiene 5 imperfecciones. Sea y el n´ umero de imperfecciones de un chip elegido aleatoriamente:
a) ¿Cuales son los valores posibles de Y? b) ¿Y es discreta o continua? c) Determine p(Y=y) para cada valor posible de Y d) Construya una tabla de distribuci´on de probabilidad e) Verifique si verdaderamente es una distribuci´on de probabilidad f) Construya una tabla de distribuci´ on acumulada g) Grafique el diagrama de distribuci´ on de probabilidad h) Grafique el diagrama de distribuci´ on de probabilidad acumulada a) Los valores posibles para Y son: y 0 1 2 3 4 5
b) La variable Y es discreta ya que toma solamente valores enteros
c) y 0 1 2 3 4 5
p(Y=y) 0.09 0.22 0.26 0.20 0.12 0.11
d) y f) y p(Y=y) p(Y=y) Acumulada 0 0.09 0.09 1 0.22 0.31 2 0.26 0.57 3 0.20 0.77 4 0.12 0.89 5 0.11 1
e) Se cumple debido a que para cada caso existe de Y existe una probabilidad le corresponde.
15
g)
h)
16
16. Supongamos que una persona pasa tres sem´ aforos cada ma˜ n ana en su camino al trabajo. Los sem´ aforos operan independientemente y debido a que la distancia entre ellos es grande, tambi´ en operan independientemente respecto a una persona que camina de uno hacia otro. La probabilidad de una luz roja es de 0.4, 0.8 y 0.5 respectivamente para cada uno de los sem´ a foros. Sea X el n´umero de luces rojas que la persona encuentra en su camino de ida. Considerar que la persona, durante un a˜ no hace 250 viajes a su trabajo.
a) Calcular el recorrido de la variable X b) Calcular ladistribuci´ on de probabilidad de X c) Calcular E [X ] y E [X 2 ] a) Sea X el n´ umero de luces rojas que la persona encuentra en su camino
⇒ Rango = {0, 1, 2, 3} b) R = Observe rojo R’ = No observe rojo Sem´aforo R 1 0.4 2 0.8 3 0.5
p(x = 0) = P (R1
2
3
R’ 0.6 0.2 0.5
∩ R ∩ R ) = (0,6)(0,2)(0,5) = 0,06
(1)
p(x = 1) = P (R1 R2 R3 ) + P (R1 R2 R3 ) + P (R1 R2 = (0,4)(0,2)(0,5) + (0,6)(0,8)(0,5) + (0,6)(0,2)(0,5) = 0,04 + 0,24 + 0,06 = 0,34
∩ ∩
∩ ∩
∩ ∩R )
p(x = 2) = P (R1 R2 R3 ) + P (R1 R2 R3 ) + P (R1 R2 = (0,4)(0,8)(0,5) + (0,6)(0,8)(0,5) + (0,4)(0,2)(0,5) = 0,16 + 0,24 + 0,04 = 0,44
∩ ∩
p(x = 3) = P (R1
∩ ∩
∩ ∩R )
∩ R ∩ R ) = (0,4)(0,8)(0,5) = 0,16 2
x 0 1 2 3
3
p(X=x) 0.06 0.34 0.44 0.16
17
3
3
(1) (2) (3) (1) (2) (3) (1)
c) E [X ] E [X ] = µ =
3
3
x=0
3
3
x f (x) =
·
x=0
x f (x) =
·
x p(X = x)
(1)
·
x=0
x p(X = x)
x=0
(2)
·
= x 1 f (x1 ) + x2 f (x2 ) + x3 f (x3 ) + x4 f (x4 ) = 0(0,06) + 1(0,34) + 2(0,44) + 3(0,16) = 0 + 0,34 + 0,88 + 0,48 E [X ] = 1,7
·
·
·
·
(3) (4) (5) (6)
E [X 2 ] 3 2
E [X ] =
3
x=0
3
x=0
3 2
x
· f (x) =
x=0
2
x
· f (x) =
x=0
x2 p(X = x)
(1)
·
x2 p(X = x)
(2)
·
= x 21 f (x1 ) + x22 f (x2 ) + x23 f (x3 ) + x24 f (x4 ) = 02 (0,06) + 12 (0,34) + 22 (0,44) + 32 (0,16) = 0 + 0,34 + 1,76 + 1,44 E [X 2 ] = 3,54
·
·
·
·
(3) (4) (5) (6)
17. Un autom´ovil viejo con un motor de cuatro cilindros es llevado a un taller para ajustarlo sea X el n´ umero de cilindros con compresi´ on baja. A Cual de las tres funciones dadas en la tabla siguiente es una funci´ on de masa de probabilidad posible de X La funci´on P(2) dado que la sumatoria total por cada intervalo de cilindros con comprensi´ on baja sera igual a la unidad B Encuentre E[X] C Encuentre E [X 2] D Encuentre σ 2 F Encuentre E [X
2
− µ]
18
18. Un pr´ıncipe italiano pregunt´ o en una ocasi´on al famoso f´ısico Galileo. Por qu´e cuando se lanzan tres dados, se obtiene con m´ as frecuencia la suma de 10 que la suma de 9, aunque se puedan obtener de seis maneras distintas cada una. En relaci´on a esta situaci´on A Determinar el espacio muestral asociado a este experimento aleatorio. Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 x 1, 2, 3, 4, 5, 6 x 1, 2, 3, 4, 5, 6 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 3
{
}{
}{
} {
}
B Identificar la variable aleatoria X asociada a este experimento. X: suma de los n´ umeros que aparecen en los tres dados. C Cual es el rango de X X = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18
{
}
D Calcular P(Dados sumen 9) y P(dados sumen 10.)
19. Una gran compan´ıa industrial hace un descuento en cualquier factura que se pague en un lapso de 30 d´ıas. De todas las facturas, 10 % recibi´ o el descuento. En una auditor´ıa de la compan´ıa se seleccion´o aleatoriamente 12 facturas 19
A Cual es la probabilidad de que ninguna de las 12 facturas de la muestra tengan descuento, cual es la probabilidad de que menos de cuatro de las 12 facturas de la muestra tengan descuento, cual es la probabilidad de que al menos cuatro de las 12 facturas de la muestra tengan descuento
20. En un cargamento grande de llantas de autom´ ovil, 5 % tiene cierta imperfecci´ on. Se eligen aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el autom´ ovil A Cual es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfecci´ on B Cual es la probabilidad de que s´olo una de las llantas tenga imperfecci´ on C Cual es la probabilidad de que una o m´ as de las llantas tenga imperfecci´on
21. Unas part´ıculas est´an suspendidas en un medio l´ıquido con una concentraci´ on de seis part´ıculas por mL. Se agita por completo un volumen grande de la suspensi´ on, y despu´es se extrae 3 mL. Cual es la probabilidad de que solo se retiren 15 par´ıculas
20
22. Cierto tipo de tablero de circuitos contiene 300 diodos. Cada uno tiene una probabilidad p=0.002 de fallar A Cual es la probabilidad de que fallen exactamente dos diodos B Cual es la media del n´ umero de diodos que falla C Cual es la desviaci´ on estandar del n´ umero de diodos que falla D Un tablero funciona si ninguno de sus diodos falla. Cual es la probabilidad de que funcione de un tablero. F Se env´ıan cinco tableros a un cliente. Cual es la probabilidad de que cuatro o m´as de ellos funcione
21
23. Las m´aquinas tejedoras en una f´ abrica de el´ astico usan rayo laser para detectar los hilos rotos. Cuando se rompe un hilo, es necesario detener la m´ aquina para efectuar la reparaci´ o n. Sea X el n´ umero de veces que se detiene cada d´ıa una m´ aquina espec´ıfica, donde su funci´ on de probabilidad est´a dada por: 16 2 P (X = x) = 31 (0,5) donde x=0,1,2,3,4 A Cual es la promedio esperado diario de detenciones de la m´ aquina B Cual es la probabilidad de que en un d´ıa determinado se detenga la m´ aquina a lo m´as dos veces.
22
24. Una empresa electr´ onica observa que el n´ umero de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de poisson. Si el nu´ umero promedio de estos fallos es ocho. A Cual es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas B Cual es la probabilidad de que fallen no mas de dos componentes en 50 horas C Cual es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas
23
25. De 50 edificios en un parque industrial, 12 no cumplen el c´ odigo el´ectrico. Si se seleccionan aleatoriamente diez edificios para inspeccionarlos. A Cual es la probabilidad de que todos cumplan el c´ odigo. B Cual es la probabilidad de que exactamente tres de los diez no cumplan el c´odigo C Cual es la probabilidad de que por lo menos tres de los diez no cumplen el c´odigo D Cual es la probabilidad de que por lo menos nueve de los diez no cumplan el c´odigo
26. Al probar cierta clase de neum´atico para cami´ on en un terreno accidentado, se 24
encuentra que 25 % de los camiones no complementaban la prueba de rocorrido sin poncharduras. De los siguientes 15 camionesprobados, encuentre la probabilidad de que: a) de 3 a 6 tengan ponchaduras. b) menos de 4 tengan ponchaduras. c) m´as de 5 tengan ponchaduras.
Distribucion Binomial
P (X ) = nC x px q n
−x
∗ ∗ P (X ) = nC x ∗ P ∗ (1 − p) x
n−x
Datos p=25 % = 0.25
n=15
≤ X ≤ 6
Resoluci´ on para a)
3
P (3 x 6) = P (3) + P (4) + P (5) + P (6) P (3) = 15C 3 (0,25)3 (1 0,25)15 3 P (3) = 0,225 P (4) = 15C 4 (0,25)4 (1 0,25)15 4 P (4) = 0,225 P (5) = 15C 5 (0,25)5 (1 0,25)15 5 P (5) = 0,165 P (6) = 15C 6 (0,25)6 (1 0,25)15 6 P (6) = 0,0917 P (3 x 6) = 0,225 + 0,225 + 0,165 + 0,0917 P (3 x 6) = 0,707
≤ ≤
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
− − − −
≤ ≤ ≤ ≤
Resoluci´ on para b)
X < 4
25
−
−
−
−
(7)
P (X < 4) = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) P (0) = 15C 0a (0,25)0 (1 0,25)15 0 P (0) = 0,0134 P (1) = 15C 1a (0,25)1 (1 0,25)15 1 P (1) = 0,0668 P (2) = 15C 2a (0,25)2 (1 0,25)15 2 P (2) = 0,156 P (3) = 15C 3 (0,25)3 (1 0,25)15 3 P (3) = 0,225 P (X < 4) = 0,0134 + 0,0668 + 0,156 + 0,225 P (X < 4) = 0,461
∗ ∗ ∗
∗ − ∗ − ∗ − ∗ −
∗
−
−
−
X > 5
Resoluci´ on para c)
P (X P (0 P (0 P (0 P (X P (X
−
> 5) = 1 P (0 X 5) X 5) = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5) X 5) = 0,0134 + 0,0668 + 0,156 + 0,225 + 0,225 + 0,165 X 5) = 0,851 > 5) = 1 0,851 > 5) = 0,149
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
−
≤ ≤
−
27. Una prueba de resitencia de soldadura consiste en poner carga en uniones soldadas hasta que se d´ e una ruptura. Para cierto tipo de soldadura, 80 % de las rupturas ocurre en la propia soldadura, mientras que otro 20 % se da en las vigas. Se prueba cierto n´ umero de soldaduras. Sea X el n´ umero de pruebas, incluyendo la primera prueba que da como resultado la ruptura de la viga. a) La probabilidad cuando X = 8. b) La media. c) La varianza.
Distribucion Geometrica
P (X ) = p (1
∗ − p)
x−1
(8)
Datos Rupturas en la soldadura = 80 % = 0.80
26
Ruptura en las Vigas = 20 % = 0.20
Resoluci´ on para a)
X = 8
P (X ) = p (1 p)x 1 P (8) = (0,20) (1 0,20)8 P (8) = 0,0419
∗ − ∗ −
−
Resoluci´ on para b)
1
−
Rupturas de las vigas .
1 p
µ =
1 0,20 µ = 5 µ =
Resoluci´ on para c)
Rupturas de las vigas .
− p p 1 − 0,20 =
σ2 = σ2
1
0,20
2
σ =4 28. Se lanza un dado consecutivamente hasta que aparezca un 5 pr primera vez a) ¿Cu´al es la probabilidad de obtener exito en el primer lanzamiento? b) ¿Cu´al es la probabilidad de obtener el primer ´exito en el quinto lanzamiento? c) ¿Cu´al es la probabilidad de obtener el primer´exito hasta en el quinto lanzamiento? d) ¿Cu´al es la probabilidad de obtener el primer ´exito despu´es del quinto lanzamiento?
Distribucion Geometrica
P (X ) = p (1
∗ − p)
x−1
Datos Probabilidad de que salga el 5 en un dado p =
Resoluci´ on para a)
27
1 6
1 6 1 P (1) = 6 P (1) =
∗ (1 − 61 )
1−1
Resoluci´ on para b)
1 (1 6 P (5) = 0,0804 P (5) =
∗ − 61 )
5−1
Resoluci´ on para c)
P (1
≤ X ≤ 5) = P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5) 1 1 P (2) = ∗ (1 − ) 6 6 2−1
P (2) = 0,139 1 1 3 1 P (3) = (1 ) 6 6 P (3) = 0,116 1 1 4 1 P (4) = (1 ) 6 6 P (4) = 0,0965 P (1 X 5) = 0,167 + 0,139 + 0,116 + 0,0965 + 0,0804 P (1 X 5) = 0,599
∗ −
−
∗ −
−
≤ ≤ ≤ ≤
Resoluci´ on para d)
P (X > 5) = 1 P (1 X 5) P (X > 5) = 1 0,599 P (X > 5) = 0,401
− −
≤ ≤
29. Un vendedor de seguros de vida sabe que la probabilidad de obtener un cliente en cada visita es 0,1. Si ´este vendedor detiene sus ventas cuando logra vender la segunda p´ oliza en el d´ıa. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que el vendedor detenga sus ventas en la d´ecima visita? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que a lo largo de un mes de 20 d´ıas, no tenga que hacer m´ as de 30 visitas diarias? (Asumir independencia entre visitas diarias).
Distribucion Geometrica
28
P (X ) = p (1
∗ − p)
x−1
Datos Probabilidad de obtener un cliente p = 0.1
Resoluci´ on para a)
P (10) = (0,1) (1 P (10) = 0,0387
∗ − 0,1)
10−1
Resoluci´ on para b)
P (30) = (0,1) (1 0,1)30 1 P (30) = 0,00471 La Probabilidad en 20 d´ıas P (20dias) = 20 P (30) P (20dias) = 0,0942
∗ −
−
∗
30. En el juego del KINO se tiene 25 bolitas y se extraen 14 de ellas. Se sabe que el premio menor (recuperar el dinero) se obtiene a los 10 aciertos. a) ¿Cu´al es la probabilidad de obtener alg´ u n premio en el juego (al menos se recupere el dinero.) b) ¿Cu´al es la probabilidad de no obtener alg´ un premio en el juego. c) ¿Cu´antos cartones deber´ıas jugar para aspirar a ganar alg´ un premio?
Distribucion Hipergeom´ etrica
P (X ) =
P (X ) =
∗ − − s x
N s n x N n
sCx (N s)C (n N Cx
∗ −
Datos
29
− x)
(9)
N = 25
n = 14 s = 14
X = 1,2,3 ... 14 X 10
Resoluci´ on para a)
≥
P (X 10) = P (10) + P (11) + P (12) + P (13) + P (14) 14C 10 (25 14)C (14 10) P (10) = 25C 14 P (10) = 0,0741 14C 11 (25 14)C (14 11) P (11) = 25C 14 P (11) = 0,0135 14C 12 (25 14)C (14 12) P (12) = 25C 14 P (12) = 0,00112 14C 13 (25 14)C (14 13) P (13) = 25C 14 P (13) = 0,0000345 14C 14 (25 14)C (14 14) P (14) = 25C 14 P (14) = 0,000000224 P (X 10) = 0,0888
≥
∗
−
−
∗
−
−
∗
−
−
∗
−
−
∗
−
−
≥
Resoluci´ on para b)
X < 10
P (X < 10) = 1 P (X 10) P (X < 10) = 1 0,0888 P (X < 10) = 0,911
− −
≥
Resoluci´ on para c) Sea Y el n´ umero de cartones a jugar has conseguir alg´ un premio. Luego Y es una variable aleatoria Geom´etrica con p = 0.0888 donde y = 1,2,3..., entonces:
µ =
1 p
1 0,0888 µ = 11,3 µ =
Se deben jugar aproximadamente 11 cartones para aspirar a ganar un premio 31. Cierto banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un cheque con fecha equivocada es de 0.001. En cambio, todo cliente sin fondos pone una fecha err´ onea en sus cheques. El 90 % de los clientes del banco 30
tienen fondos. Si llegan 6 cheques con fecha equivocada: a) ¿Cu´al es la probabilidad que al menos uno de estos haya sido emitido por un cliente con fondos? b) ¿Cu´al es la probabilidad que al menos uno de estos haya sido emitido por un cliente sin fondos?
Resoluci´ on para a)
P (fechaequivocada confondos) = 0,001 P (fechacorrecta confondos) = 0,999 P (fechaequivocada sinfondos) = 1 P (fechacorrecta confondos) = 0 P (confondos) = 0,9 P (sinfondos) = 0,1
| | | |
Primero calculamos P(con fondos — fecha equivocada)
P (confondos) ∗ P (fechaequivocada|confondos) | P (fechaequivocada) (0,9) ∗ (0,001) P (confondos|fechaequivocada) = (0,9) ∗ (0,001) + (0,1) ∗ (1) P (confondos|fechaequivocada) = 0,00892 P (confondos fechaequivocada) =
Distribucion Binomial P (X ) = nC x P x (1
n−x
∗ ∗ − p)
Datos n=6
x=0
p = 0.00892
P (X 1) = 1 P (0) P (0) = 6C 0 (0,00892)0 (1 P (0) = 0,948 P (X 1) = 1 0,948 P (X 1) = 0,0520
≥ ≥ ≥
∗
−
∗ − 0,00892)
−
Resoluci´ on para b)
31
6−0
Primero calculamos P(sin fondos — fecha equivocada)
P (sinfondos) ∗ P (fechaequivocada|sinfondos) | P (fechaequivocada) (0,1) ∗ (1) P (confondos|fechaequivocada) = (0,9) ∗ (0,001) + (0,1) ∗ (1) P (confondos|fechaequivocada) = 0,991 P (sinfondos fechaequivocada) =
n=6
x=0
p = 0.991
P (X 1) = 1 P (0) P (0) = 6C 0 (0,991)0 (1 0,991)6 P (0) = 5,13 10 13 P (X 1) = 1 5,13 10 13 P (X 1) = 1
≥ ≥ ≥
∗ ∗
−
∗ − ∗
−
−
0
−
−
32. En un programa de TV se decide votar por la persona que quieres que abandone el concurso. Se sabe que tienes una probabilidad del 10 % de que la linea no est´e ocupada. Supongamos que cada llamada que realizas es independiente. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que la primera llamada que entre sea la d´ecima que realizas? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que sea necesario llamar 10 veces para votar dos veces por el concursante? c) ¿Cu´al es la probabilidad de votar al menos tres veces, en 15 llamadas realizadas?
Distribucion Geometrica
P (X ) = p (1
∗ − p)
x−1
Datos p = 10% = 0.10
Resoluci´ on para a)
X = 10
P (10) = (0,10) (1 P (10) = 0,0387
∗ − 0,10)
32
10−1
Resoluci´ on para b) Distribucion Binomial
P (X ) = nC x P x (1
n−x
∗ ∗ − p)
Datos p = 10 % = 0.10
n = 10
P (2) = 9C 8 (0,10)2 (1 P (2) = 0,0387
∗ − 0,10)
∗
10−2
Distribucion Binomial Resoluci´ on para c) Datos p = 10 % = 0.10
n = 15
P (X 3) = 1 P (X 2) P (0) = 15C 0 (0,10)0 (1 0,10)15 0 P (0) = 0,206 P (1) = 15C 1 (0,10)1 (1 0,10)15 1 P (1) = 0,343 P (2) = 15C 2 (0,10)2 (1 0,10)15 2 P (2) = 0,267 P (X 3) = 1 (0,206 + 0,343 + 0,267) P (X 3) = 0,184
≥
≥ ≥
− ∗ ∗ ∗ −
≤ ∗ − ∗ − ∗ −
−
−
−
33. La telefonista del programa de TV del ejemplo anterior, contesta en promedio 12 llamadas cada 15 minutos. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que exactamente 10 llamaadas sean recibidas en el periodo de 15 minutos? b) ¿Cu´a l es la probabilidad de que a lo m´a s 5 llamadas sean recibidas por la telefoniasta en 5 minutos? c) ¿Cu´antas llamadas se espera contestar durante el periodo de una hora?
33
Distribucion de Poisson
λx e P (X, λ) = x!
−λ
∗
Resoluci´ on para a) Datos λ = 12
x = 10
121 0 e P (10, 12) = 10! P (10, 12) = 0,105
∗
12
−
Resoluci´ on para b) Datos λ = 4 X 5
≤
P (X 5, 4) = P (0, 4) + P (1, 4) + P (2, 4) + P (3, 4) + P (4, 4) + P (5, 4) 40 e 4 P (0, 4) = 0! P (0, 4) = 0,0183 41 e 4 P (1, 4) = 1! P (1, 4) = 0,0733 42 e 4 P (2, 4) = 2! P (2, 4) = 0,147 43 e 4 P (3, 4) = 3! P (3, 4) = 0,195 44 e 4 P (4, 4) = 4! P (4, 4) = 0,195 45 e 4 P (5, 4) = 5! P (5, 4) = 0,156 P (X 5, 4) = 0,785
≤
∗
−
∗
−
∗
−
∗
−
∗
−
∗
−
≤
Resoluci´ on para c)
34
(10)
Si en 5 minutos se contestan 4 llamadas en 60 min se espera contestar X
60 4 5 X = 48 Llamadas
∗
X =
34. Del ejercicio anterior, se sabe que durante el per´ıodo de una hora 100 personas intentaron comunicarse de las cuales solamente 40 pudieron efectivamente votar por el concursante. Al extraer una muestra aleatoria de 20 de los n´ umeros registrados. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que exactamente 8 llamadas seleccionadas hayan votado por el participante? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que al menos cuatro llamadas seleccionadas hayan votado por el participante?
Distribucion Hipergeom´ etrica
P (X ) =
sCx (N s)C (n N Cx
∗ −
− x)
Resoluci´ on para a) Datos N = 100
n = 20
s = 40
X=8
40C 8 (100 40)C (20 100C 20 P (8) = 0,201
∗
P (8) =
Resoluci´ on para b) N = 100
n = 20
s = 40
≤ X ≤ 3
0
35
−
− 8)
P (X 4) = 1 P (0 X 3) 40C 0 (100 40)C (20 P (0) = 100C 20 P (0) = 7,82 10 6 40C 1 (100 40)C (20 P (1) = 100C 20 P (1) = 1,53 10 4 40C 2 (100 40)C (20 P (2) = 100C 20 P (2) = 0,00135 40C 3 (100 40)C (20 P (3) = 100C 20 P (3) = 0,00714 P (X 4) = 1 0,00865 P (X 4) = 0,99135
≥
− ≤ ≤ ∗ − − 0)
∗ ∗
≥ ≥
−
−
− 1)
∗
−
− 2)
∗
−
− 3)
∗
−
−
35. Una caja contiene 100 art´ıculos, de los que 3 son defectuosos. Sea X el n´ umero de art´ıculos defectuosos encontrados en una muestra de tama˜ no 10. a) Calcular P (X = 3), empleando la distribuci´on de probabilidad Binomial. 3 , 100
a) n=10, p =
q =
97 , 100
x=3.
3 3 97 7 ( 7!10! ) ( 100 ) ( 100? ) = 2,6178 ,3!
∗
∗
× 10
3
−
b) Calcular P (X = 3), empleando la distribuci´on de probabilidad de Poisson.
= 0,3, x=3.
0,33 ∗e−0,3 3!
= 7,15181
× 10
4
−
c) ¿Existe una diferencia significativa? Existe una diferencia de 7 diezmil´esimas, es decir un cambio insignificante 36. De los clientes que ordenan cierto tipo de computadora personal, 20 % ordena una tarjeta gr´ a fica actualizada, 30 % memoria extra, 15 % ordena tanto una tarjeta gr´afica actualizada como memoria extendida, y 35 % no ordena ninguna. Se eligen de forma aleatoria quince o´rdenes. Sea X 1, X 2 , X 3 , X 4 , los respectivos n´ umeros de ´ordenes en las cuatro categor´ıas dadas. a) Determine P (X 1 = 3) 15! 3!∗12!
3
∗ (0,2) ∗ (0,8)
12
= 0,2501
b) Determine P (X 1 = 3; X 2 = 4) 15! 3!∗4!∗8!
3
4
∗ (0,20) ∗ (0,30) ∗ (0,50)
8
= 0,0570
c) Determine P (X 1 = 3; X 2 = 4; X 3 = 2yX 4 = 6) 15! 3!∗2!∗6!
3
4
2
∗ (0,20) ∗ (0,30) ∗ (0,15) ∗ (0,35) 36
6
= 0,01690
d) Determine P (X 1 = 2; X 2 = 2; X 3 = 2; X 4 = 2) No se puede realizar la operaci´ on porque X1, X2, X3, X4 es diferente a n. 37. Supongamos que el n´ umero de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribuci´ on Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por mil´ımetro. a) Calcular la probabilidad de 2 imperfecciones en un mil´ımetro de alambre
= 2,3, x=2. = 0,2651
2,32 ∗e−2,3 2!
b) Calcular la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 mm de alambre 2.3 imperfecciones 5mm = 11,5imperfecciones mm − 11,5 e = 0,11293 10! 10
∗
11,5
∗
c) Calcular la probabilidad de al menos una imperfecci´ on en 2 mm de alambre P(X 1) = 1-P(X=0) 2.3 imperfecciones 2mm = 4,6imperfecciones mm − 1 4,6 0!e = 0,9899
≥
0
−
∗
∗
4,6
d) Calcular la probabilidad de ak menos dos imperfecciones en 2 mm de alambre P(X 2) = 1- P(X=0) - P(X=1) − 4,6 e− 1 4,6 0!e = 0,9437 1!
−
≥
0
∗
4,6
1
−
∗
4,6
38. Supongamos que el n´ umero de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribuci´ on Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por mil´ımetro. a) Calcular la probabilidad de 2 imperfecciones en un mil´ımetro de alambre
= 2,3, x=2. = 0,2651
2,32 ∗e−2,3 2!
b) Calcular la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 mm de alambre 2.3 imperfecciones 5mm = 11,5imperfecciones mm − 11,5 e = 0,11293 10! 10
∗
11,5
∗
c) Calcular la probabilidad de al menos una imperfecci´ on en 2 mm de alambre P(X 1) = 1-P(X=0) 2.3 imperfecciones 2mm = 4,6imperfecciones mm − 1 4,6 0!e = 0,9899
≥
0
−
∗
∗
4,6
d) Calcular la probabilidad de ak menos dos imperfecciones en 2 mm de alambre P(X 2) = 1- P(X=0) - P(X=1) − 4,6 e− 1 4,6 0!e = 0,9437 1!
−
≥
0
∗
4,6
−
1
∗
4,6
37
39. La alcaptonuria es una enfermedad gen´etica que se caracteriza por carencia de una enzima necesaria para metabolizar al a´cido homogent´ısico. Algunas personas son portadoras de aquella, lo cual significa que no tienen la enfermedad, sino que pueden transmitirla potencialmente a sus hijos. De acuerdo con las leyes de la herencia gen´etiica, un hijo, cuyos padres son portadores de alcaptonuria, tiene la probabilidad de 0.25 de no tener la enfermedad, 0.5 de ser portador y 0.25 de padecer la enfermedad. En una muestra de 10 hijos de portadores de la alcaptonuria. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que 3 no la tengan, 5 sean portadores y 2 la padezcan? 10! (0,25)3 (0,5)2 (0,25) =0,0769 3! 5! 2! ∗
∗
∗
∗
∗
2
b) ¿Cu´al es la probabilidad de que 2 no la tengan, 4 sean portadores y 3 la padezcan? No se puede realizar porque X1+X2+X3 son diferentes de n. 40. Suponga que la estatura de mujeres en una poblaci´ on sigue la curva normal con media de 64.3 pulgadas y desviaci´on est´ andar de 2.6 pulgadas. a) ¿Qu´e proporci´on de mujeres tiene estatura entre 60 y 66 pulgadas? x
z = z 1 =
−µ
σ 60
− 64,3 = −1,65
2,6 66 64,3 z 1 = = 0,65 2,6 z 2 1 0,65 p = 1,65 e 2 dz 2π
−
−
−
√
p = 0,0765 b) La estatura de una mujer es 0.5 de desviaci´ on est´ andar mayor a la media. ¿ Qu´e proporci´ on de mujeres mide m´as que ella? 60,5 64,5 = 1,53 2,6 z 2 1 1,53 p = 0 e 2 dz 2π
−
z =
−
√
p = 0,02841 c) ¿Cu´anto mide una mujer cuya estatura se encuentra en el percentil 90? P (z ) = 0,9 z = 1,28 x 64,3 1,28 = 2,6 x = 67,6 La mujer que se encuentra en el percentil 90 mide 67.6
−
d) Se elige aleatoriamente una mujer de esta poblaci´ on. ¿Cu´al es la probabilidad que ella mida m´as de 67 pulgadas P (X > 67) = 1
− P (X <= 67) 38
z =
67
− 64,3 = 1,04 2,6
P (X > 67) = 1 P (X > 67) = 1
− P (Z <= 1,04) − 0,85 = 0,15
e) Se elige aleatoriamente a 5 mujeres de esta poblaci´ on. ¿Cu´al es la probabilidad de que solo una de ellas mida m´ as de 67 pulgadas? Suponiendo que existe una poblaci´on de 100 mujeres: 85 84 83 82 81 P (x > 67) = 5( 100 ) = 0,4034 99 98 97 96
∗ ∗ ∗ ∗
41. La resistencia de una aleaci´ on de aluminio se distribuye normalmente con media de 10 gigapascales (GPa) y desviaci´ on est´ andar de 1.4 GPa a) ¿Cu´al es la probabilidad de que una muestra de ´esta aleaci´ on tenga resistencia mayor a 12 GPa 12 10 z = = 1,43 1,4 z 2 1 1,43 P = 0,5 e 2 dz 0 2π p = 0,0764
−
−
−
√
b) Determine el primer cuartil de la resistencia de ´esta aleaci´ on Para 25 % = 0,25 se busca en la tabla z = 0,67 x = (0,67)(1,4) + 10 = 10,938 c) Determine el percentil 95 de la resistencia de ´esta aleaci´ on Para 95 % = 0,95 se busca en la tabla z = 1,64 x = (1,64)(1,4) + 10 = 12,296 42. En una universidad, las puntuaciones del SAT en matem´a ticas de una clase de primer a˜ no fue en promedio, 650 y tuvo desviaci´ on est´ a ndar de 100. El m´ aximo puntaje posible es de 800. ¿Es posible que el histograma de las puntuaciones de estos alumnos siga una curva normal?. Explique 800 650 z = = 1,5 100
−
P = 0,9332
39
43. La penicilina es producida por el hongo Penicillium, que crece en un caldo, cuyo contenido de az´ ucar debe controlarse con cuidado. La concentraci´ on o´ptima de az´ucar es de 4.9 mg/mL. Si la concentraci´ on excede los 6 mg/mL, el hongo muere y el proceso debe suspenderse todo el d´ıa. a) Si la concentraci´ o n de az´ ucar en tandas de caldo se distribuye normalmente con media de 4.9 mg/mL y desviaci´on est´ andar 0.6 mg/mL, ¿en qu´e proporci´on de d´ıas se suspender´ıa el proceso? 6,0 4,9 0,6 z = 1,83 P (z > 1,83) = 1 z =
−
− 0,9664 = 0,0336
b) El distribuidor ofrece vender caldo con una concentraci´ o n de az´ u car que se distribuye normalmente con una media de 5.2 mg/mL y desviaci´ on est´ andar de 0.4 mg/mL. 6,0 5,2 0,4 z = 2 P (z > 2) = 1 z =
−
− 0,9772 = 0,0228
c) ¿Este caldo sustir´ıa efectos con menos d´ıas de producci´ on perdida? Explique. Con este caldo se suspender´ıa en el 2.28 % de los d´ıas. 44. Un m´etodo de cromatograf´ıa utilizado para purificar a una prote´ına tambi´en destruye parte de ´esta, en un proceso denominado desnaturaci´ on. Un m´etodo particular recupera una media de 55 % (0.55) de la prote´ına y tiene desviaci´ on est´andar de 0.15. La cantidad recuperada se distribuye normalmente. 40
a) En cierto proceso industrial, no es posible obtener una recuperaci´ o n menor a 0.30 m´as de 5 % de las veces. 0,30 0,55 0,15 5 z = 3
−
z =
−
Si se cumple con el requisito, ya que al ser un porcentaje de recuperaci´ on bastante bajo se obtiene un resultado favorable de recuperaci´ on que puede ser mayor al 0.50. b) En otro proceso, la recuperaci´ o n debe ser mayor a 0.50 al menos 95% de las veces. 0,50 0,55 0,15 1 z = 3
−
z =
−
c) si la media de la recuperaci´on se distribuye normalmente con una media de 0.60, ¿c´ual es el valor m´as grande que puede tener la desviaci´ on est´ andar para cumplir con este requisito? u = 0,60 z = 2,51 x = 0,50 0,50 2,51 =
−
−
− 0,60
S = 0,0398
S
45. Se hace una perforaci´ on cil´ındrica en un molde y se coloca un pist´ on cil´ındrico en la perforaci´ on. La holgura es igual a la mitad de la diferencia entre los di´ ametros de la perforaci´ on y el pist´on. El di´ametro de la perforaci´ on se distribuye normalmente con una media de 15 cm y desviaci´ on est´ andar de 0.025 cm, y el di´ametro del pist´ on se distribuye con media de 14.88 cm y desviaci´ on est´ andar 0.015 cm. a) Determine la media de la holgura. uh =
15
− 14,88
uh = 0,06
2
b) Determine la desviaci´on est´andar de la holgura. S h = 0,025 0,015 S h = 0,01458
−
c) ¿Cu´al es la probabilidad de que la holgura mida menos de 0.05 cm? P = 0,025
− 0,015 = 0,2451
41
d) Determine el percentil 25 de la holgura. 0,025 0,12
P 25 =
= 0,0502
e) Las especificaciones requieren que la holgura mida entre 0.05 y 0.09 cm. ¿Cu´ al es la probabilidad de que la holgura satisfaga esta especificaci´on? 0,015 0,05 = 0,7352
∗
f) Se puede ajustar la media del di´amtetro de la perforaci´ on. ¿A qu´e valor debe ajustarse para maximizar la probabilidad de que la holgura est´e entre 0.05 y 0.09 cm? El di´ametro tendr´ıa una media de 15.02 cm, la probabilidad de satisfacer las especificaciones ser´a entonces de 0.8294 46. El volumen de latas llenadas por cierta m´aquina se distribuye con media de 12.05 onzas y desviaci´on est´ andar de 0.03 onzas. a) ¿Qu´e proporci´ on de latas contiene menos de 12 onzas? 12
z = z =
−
1,67
−
− 12,05
P =
0,03 1,67
1 e 2π
√
−∞
P = 0,0475
−
z
2
dz
2
b) La media del proceso se puede ajsutar utilizando calibraci´on. ¿En qu´e valor debe fijarse la media para que 99 % de las latas contenga 12 onzas o m´ as? z =
−2,33
−u −2,33 = 120,03
u = 12,07 onzas c) Si la media del proceso sigue siendo de 12.05 onzas, ¿En qu´ e valor debe fijarse la desviaci´on est´ andar para que 99 % de las latas contenga 12 onzas o m´ as? z =
−2,33
−2,33 = 12 −S 12,05 S = 0,0215 onzas
47. Un proceso de recubrimiento de pel´ıculas genera filmes cuyo espesor se distribuye con media de 110 micrones y desviaci´ on est´ andar de 10 micrones. En cierta aplicaci´ on, el espesor m´ınimo aceptable es de 90 micrones. a) ¿Qu´e proporci´ on de pel´ıculas estar´ an demasiado delgadas? z = z =
90
− 110 10
−2
2
−
≤ −2) = √ 12π e P (z ≤ −2) = 0,0228 P (z
−∞
42
−
z
2
2
dz
b) ¿A qu´e valor debe establecerse la media para solo 1 % de las pel´ıculas est´e muy delgado? z =
−3,07
−3,07 = 9010− u
u = 120,7 micrones c) Si la media sigue siendo 110, ¿cu´ al debe ser la desviaci´ on est´ andar para que s´olo el 1 % de las pel´ıculas sea muy delgado? z =
−3,07
−2,33 = 90 −S 110
S = 6,52 micrones 48. Un proceso hilador de fibras produce una fibra cuya resistencia se distribuye con media de 75 N/m2 . La resistencia m´ınima aceptable es de 65 N/m2 . a) 10 % de las fibras producidas mediante el m´ e todo actual no cumple con la especificaci´on m´ınima. ¿Cu´al es la desviaci´on est´ andar de la resistencia de las fibras en el proceso actual? z =
−3,01
−3,01 = 65 −S 75 S = 3,32 N/m
b) Si la media sigue siendo de 75 N/m2 , ¿Cu´al debe ser la desviaci´on est´ andar para que s´olo 1 % de las fibras no satisfaga la especificaci´on? z =
−3,07
−3,07 = 65 −S 75
S = 3,2573 N/m c) Si la desviaci´on est´ andar es de 5 N/m2 , ¿En qu´e valor debe fijarse la media para que s´olo 1 % de las fibras no satisfaga la especificaci´on? z =
−3,07
−3,07 = 65 5− u
u = 80,35 N/m 49. El programa de garant´ıa de calidad de cierto proceso de formulaci´ on de un adhesivo consiste en medir qu´e tanto el adhesivo pega un pedazo de pl´ astico a una superficie de vidrio. Cuando el proceso funciona correctamente, la fuerza del adhesivo X se distribuye con media de 200 N y desviaci´ on est´ andar de 10 N.
43
Cada hora, usted hace una medici´ on de la fuerza del adhesivo. Usted debe informar a su supervisor si su medici´ on indica que el proceso se ha desviado de su distribuci´ on objetivo. a) Calcule P (X correctamente. z = z =
≤ 160) 160
bajo el supuesto de que el proceso est´ a funcionando
− 200
10
−4
4
−
P (z
1 4) = e 2π 4) = 3,18 10 5
≤ − P (z ≤ −
−∞
√ ∗
−
z
2
2
dz
−
b) Con base en su respuesta al inciso a), si el proceso funciona bien, ¿una fuerza de 160 N ser´ıa inusualmente peque˜ na? Explique. Una fuerza de 160 N ser´ıa inusualmente peque˜ na. c) Si usted observa una fuerza adhesiva de 160 N, ¿´esto ultimo ´ ser´ıa una evidencia de que el proceso ya no funciona correctamente? Explique. El proceso no tendr´ıa un funcionamiento correcto, el valor de z no puede ser menor a 4.
−
d) Encuentre P (X bien.
≥ 203), bajo la suposici´on de que el proceso est´a funcionando
z =
203
0,3
− 200
P (z 0,3) = 1
≥ − P (z < 0,3) = 1 P (z ≥ 0,3) = 1 − 0,6179 = 0,3821
10
z = 0,3
−
−∞
1 e 2π
√
−
z
2
2
dz
e) Con base en su respuesta del inciso d), si el proceso funciona correctamente, ¿ser´ıa una fuerza de 203 (N) inusualmente grande? Explique. En una fuerza de 203 N ser´ıa inusualmente grande, ya que se encuentra en un rango moderado de fuerza en relaci´ on a la media. f) Si usted observa una fuerza adhesiva de 203 (N), ¿lo anterior ser´ıa una evidencia de que el proceso ya no funciona correctamente? Explique. El proceso estar´ıa funcionando correctamente ya que una fuerza de 203 N se encuentra dentro de un rango moderado en relaci´ on a la media. g) Encuentre P (X bien.
≤ 195), bajo la suposici´on de que el proceso est´a funcionando
z = z =
195
− 200
10 0,5
−
0,5
−
√ 12π e ≤ −0,5) = P (z ≤ −0,5) = 0,3098 P (z
−
z
2
2
dz
−∞
h) Con base en su respuesta del inciso g), si el proceso est´a funcionando correctamente, ¿ ser´ıa una fuerza de 195 (N) inusualmente peque˜ na ? Explique.
44