ESTADO DE ESFUERZOS
Los Esfuerzos Combinados son aquellos que actúan en una sección de un elemento cuando existe una combinación de dos o más de las acciones internas actuando en dicho elemento. Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación de esfuerzos de carga axial, esfuerzos por carga de deflexión y esfuerzo por carga de torsión. En la representación de los esfuerzos combinados, por lo general los elementos analizados no están sometidos a un solo tipo de esfuerzo, si no, más bien a la interacción de varios esfuerzos de manera simultánea, es por ello que con la finalidad de localizar el punto donde la estructura llegaría a fallar (punto critica de la estructura), se analiza la interacción de todos los esfuerzos a los que está sometido el elemento. También es método para dimensionar y seleccionar el material adecuado por el elemento. En este caso se considera flexión con tensión o compresión directa, es decir se presenta además de la flexión en el elemento, la presencia de fuerzas axiales normales a la sección transversal, y el esfuerzo normal combinado se calcula como: Esfuerzo = Esfuerzo normal + Esfuerzo por flexión
En general, no es posible encontrar directamente los valores de los esfuerzos en un plano que tenga una dirección cualquiera. En vigas, por ejemplo, la flexión da los valores del esfuerzo normal que aparecen en un plano perpendicular al eje de la viga. En torsión, se puede calcular el esfuerzo cortante en planos perpendiculares al eje de la barra. Existen dos procedimientos para determinar la posición en la que los esfuerzos son máximos. Uno es analítico y el otro es gráfico (basado en el círculo de Mohr). CALCULO ANALITICO
El
análisis
de
transformación
de
esfuerzos
tratará
principalmente con el esfuerzo plano que se obtiene dividiendo la fuerza entre el área en la que actúa. El esfuerzo en un punto corresponde al esfuerzo medio uniformemente distribuido sobre un elemento diferencial de área. Los esfuerzos se pueden representar actuando sobre un elemento de volumen que rodee el punto considerado (, , ).
Donde:
, son los esfuerzos normales actuando en las caras x y cara y, respectivamente. : es el esfuerzo cortante actuando en la cara x y en la dirección y. : es el esfuerzo cortante actuando en la cara y y en la dirección x.
Suponga que existe un estado de esfuerzo plano en el punto Q (con = = = 0), y definido por las componentes ,
, asociadas con el elemento de la figura 1.3. Se pide determinar las componentes del esfuerzo ′ , ′ , ′ asociadas con el elemento después que ha girado un ángulo
con respecto al eje z (figura 1.4), y expresar estas componentes en función de , , y
Consideremos el elemento de la figura 1.5, cuyas caras son perpendiculares a los ejes x y Y x’, apliquemos la primera condición de equilibrio sumando las componentes de fuerza a lo largo de los ejes x’ y y’.
Usando componentes a lo largo de los ejes x´ y y´ obtenemos las siguientes ecuaciones de equilibrio :
Resolviendo la primera ecuación para x′ y la segunda para
x′′ se tiene
Sustituyendo
las
identidades
trigonométricas
en
las
ecuaciones tenemos:
La expresión para el esfuerzo normal y′ se obtiene reemplazando en la ecuación de x′ por el ángulo + 90° que el eje y’ forma con el eje x, y por tanto:
ESFUERZOS PRINCIPALES:
Los planos donde ocurren los esfuerzos normales máximo y minimo se obtienen anulando la derivada de la exprecion :
Los planos donde ocurren los esfuerzos cortante máximo se obtienen anulando la derivada de la expresión:
Por lo tanto se obtienen las siguientes ecuaciones:
CONCLUSION: El esfuerzo que presenta un material se obtiene al dividir la fuerza que se le aplica entre el área que esta actúa. Estos esfuerzos planos ocurren en la superficie libre, es decir, en cualquier punto de la superficie de un elemento que no está sujeto a una fuerza externa, estos esfuerzos son esfuerzos planos en donde solo se analizan los , , , ignorando así el eje z, la transformación de los esfuerzos consiste realizar ecuaciones de equilibrio con respecto a los ejes x y y cuando el elemento a rotado un ángulo . Para así obtener los esfuerzos normales máximo y mínimo así como también el esfuerzo cortante máximo. De las ecuaciones para la obtención de los esfuerzos de forma analítica se observa que son ecuaciones paramétricas de un círculo de donde surge el Círculo de Mohr que es otra forma de obtener los esfuerzos de forma gráfica.
MECANICA DEL MEDIO CONTINUO ESTADO DE ESFUERZO
PROFESOR DANIEL TELLEZ RIOS
INTEGRANTES DEL EQUIPO: JOSE JAVIER ORTIZ CORTEZ EDUARDO SANCHEZ HUERTA ERICK FLORES HUERTA GERARDO MARTINEZ PEREZ
CALCULO GRAFICO Las
expresiones
analíticas
se
pueden
interpretar
gráficamente gracias al ingeniero alemán Otto Mohr (1882), evitando así tener que recordarlas. Esta interpretación se basa en un círculo y por tanto el método gráfico se denomina círculo de Mohr. El circulo Mohr es la representación gráfica de las ecuaciones de transformación para el esfuerzo plano. Esta representación gráfica es de gran utilidad porque permite visualizar las relaciones entre los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre varios planos inclinados en un punto de un cuerpo sometido a esfuerzos De las expresiones analíticas tenemos:
Elevando al cuadrado, sumando y simplificando se obtiene:
Donde : (, , ) son constantes que definen el estado tensional Remplazando los términos constantes por R y C se llega a:
Donde R y el centro C del círculo de mohr están dados por:
Gráficamente tenemos:
Definición de tensor: En matemáticas y en física, un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varios componentes, que generaliza los conceptos de escalar, vector y matriz de una manera que
sea
independiente
de
cualquier
sistema
de
coordenadas elegido. En adelante utilizaremos el convenio de sumación de Einstein.
Una vez elegida una base vectorial, las componentes de un tensor en una base vendrán dadas por una multimatriz. El orden de un tensor será el número de índices necesario para especificar sin ambigüedad una componente de un tensor: un escalar será considerado como un tensor de orden 0; un vector, un tensor de orden 1; y dada una base vectorial, los tensores de segundo orden pueden ser representados por una matriz
FUERZAS DE SUPERFICIE Y FUERZAS DE CUERPO
Fuerzas de superficie: Son Aquéllas aplicadas en las fronteras del medio continuo por la acción de otros cuerpos que se encuentran en contacto con el medio
Fuerzas de cuerpo: Aquéllas provocadas por la acción de cuerpos distantes que generan
campos
electromagnéticos.
gravitacionales,
de
temperatura
y