ESTATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO PUNO FACULT FA CULTAD AD DE INGENIERÍ INGENIERÍA A CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

TRABAJO TRABAJO ENCARGADO ESTÁTICA PRESENTADO POR: CONDORI ARCE, Francys Oliver.…………………………………. 130216 GARCÍA PARI, e! "#ni!r………………………………………… 130231 $%A"AP $%A"APA A P%&A, "a'#eline "a'#eline is(e)*…………… is(e) *…………………………… ……………….... 131+3 131+ 3 &A&ANI P%&A, Ric*ar- E-in………………………………….. 130//2

DOCENTE: In. %CA %CA, Ns)!r.

P%NO  201/

APELLIDOS Y NOMBRES: CONDORI ARCE, ARCE, Francys Oliver

CODIGO: 13!1"

3.17.-

Dos cuerpos que pesan 750N y 1000N, respec!"a#ene, se apoyan so$re un c!%!n&ro y es'n un!&os por una cuer&a se()n se !n&!ca en %a Fi. P3-17* +a%%ar %as reacc!ones &e% c!%!n&ro so$re %os cuerpos, %a ens!n en %a cuer&a y e% 'n(u%o * Suponer ausenc!a &e ro-a#!eno en o&as %as super.c!es*

SO!"C#ON: E% &!a(ra#a &e cuerpo %!$re para %a .(ura ser'/

Enonces %a ens!n &e Ca$%e ser'/

1

Ejercicios resueltos de Estática

CODIGO: 13!1"

3.17.-

Dos cuerpos que pesan 750N y 1000N, respec!"a#ene, se apoyan so$re un c!%!n&ro y es'n un!&os por una cuer&a se()n se !n&!ca en %a Fi. P3-17* +a%%ar %as reacc!ones &e% c!%!n&ro so$re %os cuerpos, %a ens!n en %a cuer&a y e% 'n(u%o * Suponer ausenc!a &e ro-a#!eno en o&as %as super.c!es*

SO!"C#ON: E% &!a(ra#a &e cuerpo %!$re para %a .(ura ser'/

Enonces %a ens!n &e Ca$%e ser'/

1


750 cos cos θ … . (i ) T =750

T =1000 senθ…. ( ii )

I(ua%an&o !2 y !!2 ene#os/ 1000 senθ =750cos θ

senθ 750 = cos θ 1000 tan θ = 0.75

θ=36.86 °

Re#p%a-an&o Re#p%a-an&o ens!n y %as 3uer-as en e% s!se#a ser'n/ T =600 N F 1= 800 N F 2 =450 N

$.%&.-

E% #&u #&u%o %o &e %a 3uer3uer-a a 4 &e %a Fi. P$-%& es &e 55N* Dee Deerr#!na #!narr %a co co#p #pon onen ene e es esca ca%a %arr &e% &e% #o#e #o#en no o en e% pun puno o O respeco a% e6e OC*




SO!"C#ON: o&e#os e8presar %a 3uer-a 4 en 3or#a "ecor!a% cares!ana/ (−0.9 i −0.85 j + 0.49 k )

´ =535 N F

1.33

´ =−362.03 i−341.92 j + 197.11 k F

A9ora e% "ecor un!ar!o para OC ser'/ e´ OC =−´u x e´ OC =−i

:ecor pos!c!n r AB / r AB= 0 i + 0.85 j + 0.31 k

Enonces e% #o#eno con respeco a O ser'/ ´ M o= r AB × F

M o=

[

i

j

k

0 −362.03

0.85 −341.92

0.31 197.11

]

M o= 273.54 i − 112.23 j + 307.73 k

; e% #o#eno con respeco a% e6e OC es/ M oc = M o . e´ OC M oc = ( 273.54 i −112.23 j + 307.73 k ) . (−i ) M oc =−273.54 mN M oc =−274 mN




$.1'1.- Re&uc!r %as 3uer-as represena&as en %a Fi. P$-1'1 a un orsor y %oca%!-ar %a !nersecc!n con e% p%ano =; &e% e6e &e% orsor*

SO!"C#ON: E8presan&o %as 3uer-as en su 3or#a "ecor!a% ser'/ F A =60 i

F B= 420

(

3 i −5 j + 4 k

√ 50

)

F B= 178.19 i −296.98 j + 237.59 k

F C =250 j

>a resu%ane &e 3uer-as ser'/ R=¿ F A + F B + F C R=238.19 i − 46.98 j + 237.59 k

R= √ 178.19 + 296.98 + 237.59 2

2

2

| R|=339.69 N

<


Enonces %os #o#enos &e %as 3uer-as ser'n/ Cas o

r

F A

6

F B

56

F C

<

´ F

M 0

?0!

@10

178.19 i −296.98 j + 237.59 k

117*5!@ 0*5 @1000!

250 j

∑ M 0=C =187.95 i − 1070.95 k

|C |=1087.32 mN E% "ecor un!ar!o &e R ser'/ 238.19 i − 46.98 j + 237.59 k u R= 339.69

Enonces %a co#ponene &e% par para%e%a es/

|C ∥|=C . u R

(

|C ∥|=1087.32 mN

238.19 i − 46.98 j + 237.59 k 339.69

)

|C ∥|=−617.27 mN

A&e#'s/ C =|C ∥|. u R C =−617.27

(

)

238.19 i − 46.98 j + 237.59 k 339.69

C =−432.82 i + 85.37 j −431.74 k

>a 3uer-a resu%ane R y C ⊥

po&e#os o$ener r 8 R C ⊥ , as!/

C ⊥=C −C ∥ C ⊥=187.95 i−1070.95 k −(−432.82 i+ 85.37 j − 431.74 k )

5


C ⊥=620.77 i −85.37 j + 1502.69 k Enonces/

[

i x R

j y R

k

238.19

−46.98

237.59

0

]

=620.77 i− 85.37 j + 1502.69 k

or u%!#o !(ua%a#os 237.59 y R i − 237.59 x R j + (−46.98 x R −238.19 y R )= 620.77 i −85.37 j + 1502.69 k

x R =0.359 y R =2.61

'.77.- >a $arra AB, &e %a .(ura P-'.77, es' ar!cu%a&a en B a un $as!&or .6o en %a pare& y es' un!&o a% apoyo por #e&!o &e un pasa&or %!so* e&!ane ro&!%%os, %a $arra &escansa en A so$re %a super.c!e 9or!-ona%* Fna car(a &e 500( se ap%!ca en C, a% co#o se #uesra en %a .(ura* Reso%"er %a 3uer-a &e 500( en &os co#ponenes, una que pase por e% puno B y %a ora por e% puno A y perpen&!cu%ar a% p!so*

SO!"C#ON:

?


E% &!a(ra#a &e cuerpo %!$re ser'/

Enonces su#aor!a &e 3uer-a ser'/ RBx − 433=0 RBx = 433 250− R By − R Ay= 0

Ap%!can&o #o#enos respeco a% puno O/ RBx (5 √ 3 ) + R By ( 5 ) =500 ( 6 ) 433 ( 5 √ 3 ) + RBy ( 5 )=3000

RBy =−250

Re#p%a-an&o/ R Ay= 400

Enonces %as 3uer-as para %os punos ser'n/

7


´ =− 400 j A ´ =−433 i + 150 j B

3.1$.- Fna "ar!%%a &e%(a&a &e ?c# &e %on(!u& y &e peso H (, se co%oca en %a ca6a &e %a .(ura P-3.13* Fno &e sus e8re#os co!nc!&e con uno &e %os %a&os &e %os "r!ces &e %a $ase, co#o e% en pro$%e#a aner!or* E% oro e8re#o esa sosen!&o por una cuer&a &e ?*5c# a#arra&a en un puno s!ua&o 1*5c# &e$a6o &e% "r!ce &e %a ca6a, a% co#o se !n&!ca en %a .(ura P-3.1$* Deer#!nar %as 3uer-as que soporan %a "ar!%%a*

SO!"C#ON:

De %a (r'.ca se o$!ene que/ a2



1.5 + 26sin θ + 6.5sin β =12 cm


26sin θ + 6.5sin β =10.5 cm

sin β =

$2

2

24

10.5 6.5

−4sin θ * !2

+( 6.5cos β )2=( 26cos θ )2 θ 1−sin

2

¿ 2

576 + 42.25 ( 1−sin β )= 676 ¿

θ 2

2

576 + 42.25 −42.25 sin β =676 − 676 sin

¿¿

θ 2

−42.25 sin β +676 sin2 ¿ ¿= 57.75

Re#p%a-an&o con !2/ θ

−42.25 (

10.5 6.5

2

−4 sin θ ) +676sin 2 ¿ ¿=57.75

2

2

676sin θ−118.07 + 546 sin θ−676 sin θ =57.75 sin θ= 0.322

θ=18.78

Re#p%a-an&o en !2/

β =19.13

Enonces %as 3uer-as que ac)an en %a ca6a &e 3or#a "ecor!a% ser'n/ T A =

T A 6.49

[ 6.14 ; 0 ; 2.13 ] T A =T A [ 0.94 i −0.33 k ]

W =− 4.18 kW

3.3(.-

KLu peso "er!ca% H se requ!ere para #anener cerra&a %a co#puera &e %a .(ura P-3.3(M >a co#puera !ene 10 p!es &e anc9o en un p%ano perpen&!cu%ar a% pape%*




SO!"C#ON: >as pres!ones en %as co#pueras ser'n/ S!/

1 ie=12 u!"

# ?*<%$p!e

$1=# % 1=62.4

() 1 6

$1=10.4 !& / ie

$2= # %2=62.4

2

()

$2=31.2 !& / ie

1 2

2

>as 3uer-as resu%anes con respeco a su $ase son/

F 1=

10

( )( ) (

10.4 !& 1

1

2

6

ie

2

ie 10 ies ) =26 !&


' 1=

( )( )

F 2 =

' 2=

1

1

3

6

1

7

3

18

+( )=

( )( ) (

31.2 !& 1

1

2

2

ie

2

( )( ) 1

1

3

2

=

ie 10 ies ) =78 !&

1 6

a2 A9ora para %a co#puera super!or ser'/

∑ M M = F AB

( ) 5

12

−26 !&

( )= 5

24

0

F AB = 13 !&

$2 ara %a co#puera !n3er!or/

11


()

∑ M 3=−W

()

W

1 8

1 8

=78 !&

+ 78 !&

() 1 8

( ) ( )=

+13 !&

1 8

+ F AB

5

12

0

( ) 5

12

W = 121,3 !&

%.&(.- Fna "!(a "er!ca% es' so#e!&a a un s!se#a &e car(as que se pue&e represenar por e% &!a(ra#a &e car(a &e %a )ura P-%.&(* Deer#!ne %a resu%ane R &e ese s!se#a &e car(as &!sr!$u!&as y %oca%!-ar su reca sopore respeco a% apoyo en e% puno O*

1


E% #&u%o &e %a resu%ane R &e %a car(a &!sr!$u!&a represena&a en %a .(ura es !(ua% a% 'rea encerra&a &e$a6o &e% &!a(ra#a &e car(a* se pue&e &!"!&!rse en &os .(uras* AsP pues ene#os/ 1

1

2

2

F 1= A 1= ∗& 1∗% 1=

1

2

8

3

3

3

( 2 ) ( 400 )= 400 N

x = 2 + & 1=2 + = m

❑

∫

F 2= A 2 = ('y A

❑

2

∫ ('y =∫ 100 y 'y 2

A =

A

0

2

A =100

∫ y

2

'y

0

A =100

A =100

A =

3

3

0

[ −] 2

3

3

800 3

3

[ ] y

0

=266,67 N

F 2= A 2 =266,67 N

x =

3 &2 4

3

= m 2

AsP pues/

1


R= F 1 + F 2

R= 400 N + 266,67 =666,67 N

>a reca sopore &e %a resu%ane se s!)a respeco a% apoyo O, su#an&o #o#enos respeco a% puno O/ M O= R' = F 1∗ x 1 + F 2∗ x 2 M O=

400∗8 3

+

266,67 ∗3 2

M O=1466,67

or )%!#o/

M O 1466,67 = =2,20 m ' = y´ = 666,67 R

1<


APELLIDOS Y NOMBRES: GARCIA PARI, Le# Y$ni#r CODIGO: 13!31

'.$&. *+ARR, R. NARA Sus!u!r %a 3uer-a DE 70*7 ( que ac)a en un p%ano "er!ca% para%e%o a% p%ano -y por una 3uer-a y un par ap%!ca&o en A*

15


Solución:

→

F = 7.7Cos 45° j + 7.7 Sen45°k →

F = 49.5 j + 49.5k →

→

→

C = r Χ F →

r = −4i + 3 j + 2k

→

C = (−4i + 3 j + 2k ) x(49.5 j + 49.5k ) →

C = 49.5(i + 4 j − 4k ) →

C = 49.5i + 193 j − 198k .........( Rpta ) '.&. *+ARR, R. NARA Se !nsa%a en una presa a una co#puera "er!ca% en 3or#a &e se#!cPrcu%o, a% co#o se #uesra en %a .(ura* Deer#!nar %a #a(n!u&* D!recc!n y %Pnea &e acc!n &e% e#pu6e que ac)a so$re %a co#puera*

1?


Soluci/0: >a #a(n!u& 3uer-a ser'/

&e

→

R = γ hdA = γ h →

R = γ h →

R = γ h

∫∫ rdrd θ

π

R

π



O



∫ ∫ rdrd θ = γ h ∫ R 2 2

%a

R 2 2

d θ

π

h = R →

⇒ R = γπ

R 3 2

.............( Rpta )

Q>a &!recc!n &e %a 3uer-a es' en e% p%ano - s!en&o perpen&!cu%ar a% p%ano 8y R 3 ⇒ R = γπ k ...........( Rpta ) 2 →

Q>a %Pnea &e acc!n &e% e#pu6e que ac)a so$e %a co#puera ser'/

17


→

y C × R =

∑ r × F i

→

y C × R = γ h

i

∫∫ r (rdrd θ ) i

r i = rSenθ →

⇒ y C × R = γ h ∫

π R



y C × γπ

R 3 2

∫ r Senθ drd θ 2



π

= γ h ∫ 

R 3 3

Senθ d θ

h = R R 3

R 3 = γ y C × γπ R ( )(−Cosπ + Cos) 2 3 2 R y C = ( 2) 3π 4 R y C = ................( Rpta ) 3π

3.17. *+ARR, R. NARA D!$u6ar e% &!a(ra#a &e cuerpo %!$re para ca&a #!e#$ro, en %os &os s!se#as que se presenan en %a .(ura* No 9ay ro-a#!eno y una so%a reca represena %os ca$%es e8!$%es y s!n peso*

1


Soluci/0: ara %a pr!#era .(ura/

Qara %a .(ura /

1


3.$1. *+ARR, R. NARA Se usa una pare& &e p!e&ra Se usa una pare& 3 &e p!e&ra  110 !& / ie 22 para sosener e% sue%o* >a pare super!or &e %a pare& esa re"es!&a con $%oques &e concreo &e < 8 1 8 <0 pu%(*  50 !&/ ie

3

2* Deer#!nar %a !nens!&a& &e core un!ar!a 3uer-a 9or!-ona%

por un!&a& &e 'rea2 necesar!a para e% #orero a .n &e !#pe&!r que e% $%oque se &es%!ce so$re %a pare& &e$!&o a %a pres!n &e% erreno*

Soluci/0:

0


F i = γ hA F 1 = 5 ×

4

×(

4

×

4

) = 18.5185lb. 12 12 12 4 1 4 9 1 4 ×( × ) F 2 = 11 × × ( × ) + 11 × 12 24 12 24 24 12 F 2 = 5.92! + 5.7292 = 1.8218lb.

Qara que e% $%oque no se ca!(a so%o se neces!a sa$er %a 3uer-a que e6erce %a pres!n en %a pare super!or, por %o ano/ F 1 − F 2 = 18.5185lb − 1.8218lb. = 7.!9!7

QS!en&o enonces %a 3uer-a 9or!-ona% por un!&a& &e 'rea/ τ =

7.!9!7lb 4.5 × 4 pu "# .2

τ = .428 lb pu "# .2 ..........( Rpta.)

>as &!#ens!ones !ner!ores &e %a $ase &e %a ca6a son 5r y 5r y su a%ura es 6r * Se co%oca en e% !ner!or &e %a ca6a una es3era &e ra&!o 2r &e a% #anera que 9a(a conaco con e% 3on&o y &os &e %os cosa&os* Se co%oca una se(un&a es3era &e #anera que 9a(a conaco con %a pr!#era y %os oros &os cosa&os* Ca%cu%ar o&as %as 3uer-as que ac)an so$re %a es3era pequea que !ene un ra&!o r y un peso W.

1


Soluci/0: Nos p!&e 9a%%ar %as s!(u!enes reacc!ones/ E8, Ey y E-* 12* ara %a es3era &e ra&!o r/ CA)O

r

F

M o

Ax

3 rj + 2 rk

− Axi

−2 Axrj + 3 Axrk

By

3 ri + 2 rk

−Byj

2 Byri −3 Byrk

⃗

*x

1.3938 rj+ 3.6062 rk

*xi

*y

1.3938 i + 3.6062 rk

*yj

*+

1.3938 r ( i + j )

− *+k

F+

3 ri + 3 rj

F+k

3 r ( F+i − F+j )

W 1

3 ri + 3 rj

−W 1 k

3 r (−W 1 i + W 1 j )

R

M o

∑ TOTA, R



3.6062 *xrj −1.3938 *xrk

−3.6062 *yri+ 1.3938 *yrk

1.3938 r (− *+i + *+j )

R

¿0


¿ ( *x − Ax ) i + ( *y − By ) j + ( *+ + F+−W 1 1 ) k =0

R

De &on&e o$ene#os %o s!(u!ene/ *x = Ax *y =By

F+ = W 1 1 + *+

>ue(o/ R

¿0

M o

M o =( 2 By −3.6062 *y − 1.3938 *+ + 3 F+ −3 W 1 1 ) ri+ (−2 Ax + 3.6062 *x + 1.3938 *+ − 3 F+ + 3 W 1 1 ) rj + (3 A R

O$ene#os %o s!(u!ene/ Ax = By

2* ara %a es3era &e ra&!o r/ CA)O

r

F

M o

-x

rj + 4 rk

-xi

4 -xrj − -xrk

Cy

ri + 4 rk

Cyj

−4 Cyri + Cyrk −3.6062 *xrj + 1.3938 *xrk

⃗

*x

1.3938 rj+ 3.6062 rk

− *xi

*y

1.3938 ri+ 3.6062 rk

− *yj

*+

1.3938 r ( i + j )

*+k

ri + rj

−Wk

−Wri +Wrj

R

M o

W

∑ TOTA,

R R

3.6062 *yri −1.3938 *yrk

1.3938 r ( *+i − *+j )

R

¿0

( -x− *x ) i + ( Cy − *y ) j + ( *+− W ) k = 0

De &on&e ene#os que/ -x = *x Cy = *y




*+ =W

>ue(o/ R

M o = 0 M o =( −4 Cy + 3.6062 *y + 1.3938 *+ −W ) ) ri + ( 4 -x− 3.6062 *x − 1.3938 *+ + W ) ) rj + (− -x + Cy + 1.3938 * R

O$ene#os %o s!(u!ene/ -x =Cy

3.'3. *2#!!#A F. R#!E, Fn c!%!n&ro &e 15N pen&e &e un s!se#a &e ca$%es se()n se !n&!ca en %a .(ura* Deer#!nar %as ens!ones &e %os ca$%es A, B y C*

Soluci/0:

<


1.2i − .9 j + 1.8k 1.2i − .9 j + 1.8k ) = T A ( ) 2 . 343 5.49

→

T A = T A ( →

T = T A

A

(.5121i − .3841 j + .7!82k )

→

T = T B

B

(

− 1.2i − 1.8 j + 1.2k !.12

) = T B ( −.485i − .727! j + .4851k )

→

T = T C

C

j

W = −15k ....( kN )

∑ F =  (.5121T A − .4851T B )i + ( −.3841T A − .727! T B + T C ) j + (.7!82 T A + .4851T B − 15) k = 

QReso%"!en&o se !ene/

T T T

A

B C

= 11.71!k N ..........( Rpta Rpta ) = 12.3!81kN .........( Rpta Rpta ) = 13.4991kN .........( Rpta Rpta )

$.(1. *2#!!#A F. R#!E, Fna $arra cur"a es' so#e!&a a una 3uer-a &e 00 N en %a 3or#a que se !n&!ca en %a )ura* Deer#!nar e% #o#eno &e %a 3uer-a respeco a% e6e BC* E8presar e% resu%a&o en 3or#a "ecor!a% cares!ana*

Soluci/0:

5


r B N = −122i + 183 j + 183k u B N = −122i + 183 j u N A =

122i − 122k

122 2 33 ⇒ F = (i − k ) 2

=

1 2

(i − k )

   − 122 183  .   u u Z   122 183 183  r  r Z  = −33 33   −  .   F  F Z   2 2  122 × 183 × 33 183 × 183 × 33 122 × 183 × 33 = + −( ) M BC  u !  = M BC  r !  F  !

2 183 × 183 × 33

2

2

M

=

M

= 78144.98!kN − m..........( Rpta )

BC

BC

2

$.1'4. *2#!!#A F. R#!E, Fna $arra &o$%a&a sopora &os 3uer-as, se()n se !n&!ca en %a .(ura* Deer#!nar/ a2 E% #o#eno &e %as &os 3uer-as respeco a% puno O* $2 E% #o#eno &e %as &os 3uer-as respeco a% e6e OA*

Soluci/0: a2 E% #o#eno &e %as 3uer-as respeco a% puno O

?


r = .9i + .8 j + .35k F = 25i F = −4k M = r x F + r x F M = (.9i + .8 j + .35k ) x(25i − 4k ) M = 3! j − 2k − 32i + 87.5 j M = −32i + 447.5 j − 2k ...........( Rpta ) O C 1

2

O

o"

1

o"

2

O O O

$2 E% #o#eno &e %as 3uer-as respeco a% e6e OA

u

O A

=

.5i + .35k .!1

= .82i + .57 k

 u ! u  u Z  .82 . .57      M OA =  r ! r  r Z  =  .9 .8 .35  = −2!2.4 − 114  F F F   25 . − 4  !  Z  M OA = −37!.4 N − m.............( Rpta )

APELLIDOS Y NOMBRES: %&AYAPA P&MA, Ya'$eline Lis(e)*

7


CODIGO: 131+3

*? +arry Nara2 $%""%& "% &'"*%+*' ,'" -*'% ,' /'&0% ,' "% /-#&% P2.!8 + &'"%-+ %" +* (26 26 ). 7P',' *-*-&' '*' -*'% & +% "% /'&0%

S"-+




(

)(

F 1= 36 k"

u1=u AB =

2 −2 1 B − A 4,−4,2 = =   ´ 6 3 3 3 AB

F 2 =24 /"

u2=uC- =

- − C 0,4,0 = =( 0,1,0 ) ´ 4 C-

F 3 =36 k"

u3=u F*=

)

( )

* − F

=

´ F*

(

−4,24, −4 4 √ 3

)( =

−1 √ 3

−

1

√ 3

−

1

√ 3

)

r 1=( 0,4,2 ) −( 2,2,0 ) r 1=−2 i + 2 j −2 k r 2=( 2,0,2 )− ( 2,2,0 ) r 2=−2 j + 2 k r 2=( 0,0,0 ) −( 2,2,0 ) r 3=−2 i − 2 j

´ =(−2 i ) R

(

−36 ( 2 ) 3

)

j + (−2 i )

( ) ( 1 3

k + ( 2 j )

36∗2 3

2

2

72

3

3

√ 3

´ = 48 k + j −48 k + i −48 j −48 i− 48 i + R

R=

(

4

√ 3

)(

− 96 i +

2 3

− 48 +

72

√ 3

)

) ()

i + 2 j

k +

72

√ 3

1 3

k + (−2 k )

j −

72

√ 3

k +

(

2

√ 3

36∗2 3

)

i + (−2 k )

(

−36∗2 3

i

j

3.29 ($%&&: N%&%) L -"-+,& C : ; ,' "% /-#&% P < 3.29 '%+ 3 =# : *-'+'+ ,->'*& ,' 2 : 1.2 &''*-?%'+*'. D'*'&-+' %) L% /'&0% %@-%" '+ A;. ) L% /'&0% ,' +*%* '+*&' ; : C.



)

j + ( 2 k ) (21 j )


) L% &'%-+' ,' "% %&','. D'&'-' '" &0%-'+* : '" ' ,' A;. 4!(ura @

0


3.12 (B-""-% F. R-"':) T&' -"-+,& #+' A6 ;6 C '*>+ %-"%, ,'+*& ,' +% %% *%"  ' -+,-% '+ "% /-#&% P312. C%,% -"-+,& *-'+' + ,->'*& ,' 25  : +% %% ,' 245#. D'*'&-+%& %) L% /'&0% ' '" -"-+,& ; ''&' &' A. ) L% /'&0% ' &' '" -"-+,& ; ''&'+6 '+ D : E6 "% '&/--' ?'&*-%" : &-0+*%".

SOLUCIHN

1* Desco#pone#os %as 3uer-as acuanes para ca&a c!%!n&ro que sea necesar!o ana%!-ar*

1


* Ap%!ca#os %as con&!c!ones &e equ!%!$r!o/

∑ F = 0 x

∑ F =0 y

Enonces/ 40 ° =¿ 0

∑ F = R-− RA cos ¿ x

∑ F =ℜ− RA sen 40 °−W =0 y

or oro %a&o/ W = m∗" ; m =245 k "  "= 9.81

W = 2403,45

De esas ecuac!ones o$ene#os/ R- = RA cos 40 °




ℜ= RA sen 40 ° + W

3. V"?' % ,'+'& : %"-%& "% +,--+' ,' '-"-&- '+ '" -"-+,& A.

∑ F = 0 x

∑ F =0 y

Enonces/

∑ F = RB cos 40° − RC cos40 °= 0 x

∑ F = RB sen 40 ° − RC sen 40 ° −W = 0 y

or oro %a&o/ RB = RC W = 2403,45




De esas ecuac!ones o$ene#os/ RB =1201,725 N

<* :o%"e#os a ana%!-ar e% c!%!n&ro B, para 9a%%ar %as reacc!ones RD y RE*

Enonces/ 40 ° =¿ 0

∑ F = R-− RA cos ¿ x

∑ F =ℜ− RA sen 40 °−W =0 y

De esas ecuac!ones o$ene#os/ R- = RA cos 40 °

ℜ= RA sen 40 ° + W

or oro %a&o/ RA= RB = RC

Enonces ree#p%a-an&o ene#os/

<


R- =920.57 N

ℜ= 1974,78 N

Respuesas/ RB =1201,725 N

R- =920.57 N

ℜ= 1974,78 N

3.25 (B-""-% F. R-"':) E" ,- -&"%& ,' "% /-#&% P325 ' 2.5 =N. D'*'&-+%& "% *'+-+' ,' " %"' A6 ; : C.

5


S"-+

1* Represena#os a% puno D s!en&o so#e!&o a un s!se#a r!&!#ens!ona% &e 3uer-as en &on&e son %as !nc(n!as %as res ens!ones TA, TB y TC &e %os ca$%es* En ese &!a(ra#a &e s%!&os se sea%an %as coor&ena&as &e %os puno soporanes &e %os ca$%es en 3or#ao 8,y,-2 para ayu&ar a escr!$!r %as ecuac!ones "ecor!a%#ene &e %as ens!ones &e %os ca$%es*

?


R=

∑ F =TA +TB +TC +W =0

* 12

* >as ens!ones &e %os ca$%es y e% peso &e% $%oque se pue&e e8presar en 3or#a "ecor!a% cares!ana &e %a #anera s!(u!ene/ TA =TA TB =TB

[ ]= ( −− + [ ]= ( − + + [ ]= 1,3 i −1 j + 1,3 k

√ 4,38

i j 2 k

TC = TC

√ 6

TB 0,4082 i −0,4082 j + 0,8165 k )

1,3 i 1 j 1,3 k

√ 4,38

TA 0,6212 i −0,4778 j + 0.6212 k )

TC (− 0,6212 i + 0,4778 j + 0.6212 k )

W =−2.5 k

* Sus!uyen&o esas )%!#as ecuac!ones en 12 R=( 0,6212 TA + 0,4082 TB− 0,6212 TC ) i + ( 0,4778 TA −0,4082 TB + 0,4778 TC ) j + ( 0,6212 TA + 0,81

Co#a %a resu%ane es nu%a, &e$en ser nu%as %as &!s!nas co#ponenes &e %a ecuac!n $, se &e$erPan sa!s3acer %as ecuac!ones s!(u!enes/ 0,6212 TA + 0,4082 TB −0,6212 TC = 0

7


0,4774 TA −0,4082 TB + 0,4778 TC =0

0,6212 TA + 0,8165 TB+ 0,6212 TC =0

>a so%uc!n &e ese s!se#a &e ecuac!ones es/ TA =1,44 kN TB=−1,22 kN TC =1,44 kN

4.!4 (B-""-% F. R-"':) U+ &*' '*> '*-, % +% /'&0% ,' 384 N6 '#+ ' -+,-% '+ "% /-#&% P4!4. D'*'&-+%& '" '+* ,' "% /'&0% &''* %" '' OC. E@&'%& '" &'"*%, '+ /&% ?'*&-%" %&*'-%+%.

1* F$!ca#os %os punos* 0 = ( 0,0,0 )

A = (300,500, −200 ) B =( 450,250,250 )




C =( 300,500,50 ) F =384 N

a2 >a 3uer-a 4 y e% "ecor pos!c!n r que "a &e% puno 0 a% puno A pue&en escr!$!rse en 3or#a "ecor!a% cares!ana &e %a #anera s!(u!ene/

r A =( 0,3 i + 0,5 i − 0,2 k ) B

u AB=

F =384

[(

B− A ( 150 i  −250 j  450 k ) = ´ 536,19 -A

150 536,19

) ( i−

250 536,19

) ( j +

450 536,19

) ]= ( k

107,42 i −179,04 j + 322,27 ) N

$2 +a%%a#os e% #o#eno respeco a% puno O o#eno M O

|

i M O=r A xF = r x B F x

||

|

j k i j k r y r + = 0,3 −0,2 0,5 F y F + 107,42 −179,04 322,27

M O=( 125,327 i −118,165 j −107,422 k ) m. N

c2 +a%%a#os e% "ecor un!ar!o &e% e6e pe&!&o*




uOC =

C −O ( 300 i  500 j  50 k ) = ´ 585,23 CO

&2 o#eno en e% e6e CO ser' !(ua% a% pro&uco puno &e / M OC =uOC 0 M O

(

M OC =

)(

300 i  500 j  50 k 585,23

0 125,327 i −118,165 j −107,422 k )

M OC =( 64,24 i −100 j −9,18 k ) N .m M OC =119,26 N . m

Respuesas/ M OC =( 64,24 i −100 j −9,18 k ) N .m M OC =119,26 N . m

4.134 (B-""-% F. R-"':) U+% %&&% ,"%,% &*% +% /'&0% ,' 45 N '+ "% /&% ' ' -+,-% '+ "% /-#&% P4134. %. S*-*-& "% /'&0% ,' 45 N & +% /'&0% &'"*%+*' ' %' & '" +* O : + %& C. . D'*'&-+' " '+* ,' *&-+ ' &-#-+% "% /'&% F '+ " *&' '#'+* ,' "% %&&%

<0


-=( 0,183,183 ) A = (122,163,61 ) B =( 127,0,0 ) C =( 0,183,0 ) F =3300

u -A=

<1

A − - ( 122,0, −122 ) = ´ 173 -A


a2 F =3300

[( ) ( ) ]=( 122 173

i−

122 173

k

2327 i −2327 j ) N

r A =( 0 i + 183 i + 61 k ) B

o#eno M B

|

i M B= r A xF = r x B F x

||

j r y F y

k i r + = 0 F + 2327

|

j

k

183 0

61 −2327

F =( −425841 i + 5021947 j − 425841 k ) m. N

$2 "ecor un!ar!o e BC e BC =

(

−122 i +183 j C −B = ´ 220 BC

M BC =( M B e BC ) e BC = M

)

e

BC BC

M BC = M B e BC =( 425841 i + 5021947 j −425841 k )

M BC =(−425841 )

( ) −122 220

+( 5021947 )

(

−122 220

i+

183 220

j

)

( ) 183 220

M BC = 4413495 m . N M BC = 4413495

(

−122 220

i+

183 220

)

j =( 2447483 i + 3671225 j ) m. N

C2 M ❑= M B − M ❑= M B− M BC M ❑=( −425841 i + 5021947 j −425841 k )− ( 2442483 i + 3671225 j )

<


M ❑=2021642 i + 4654822 j − 425891 k

APELLIDOS Y NOMBRES: MAMANI P&MA, Ric*ar- E-.in CODIGO: 13//!

'.7$. Co0 relaci/0 al 5u0to A6 deteri0ar la resulta0te del sistea dela )ura P-'.7$.

<


Fiura P-'.7$ DC!: pa r 2D

y x

pa r3 D

200 m-kg

5m

6(m-kg) /m

40k g

5m 4m 4m 40kg

Para u0a soluci/0 8ectorial Del diaraa del cuer5o li9re de la )ura te0eos ue el 5ar 'D ira e0 se0tido a0ti ;orario.

<<


, 5ara el 5ar 3D del oe0to 6 ( m − k" )

m

Te0eos: M 1 =

CA)O

6 ( m− k" )∗10 m

m

=60 m− k"

r

F

M

R 1

−5 j

40 i

200 k

R 2

−4 i−10 j

40 j

−160 k

M +

−¿

−¿

200 k

M y

−¿

−¿

−60 j

⃗

⃗

A

Del cuadro o9te0eos: F R= 40 i + 40 j

*R5ta.

M A=200 k −160 k + 200 k −60 j M A=−60 j + 240 k

*R5ta.

'.&%. Resol8er las a0 so9re la co5uerta dela )ura P-'.&%6 e0 u0a
<5


 (% l95ie3.

DC!:


3

2

3

2

$1=%1 2# =3 ie∗65 !&/ ie =195 !& / ie

$2=%2 2# =9 ie∗65 !& / ie =585 !& / ie

Por ser co0sta0te el a0c;o 1 1=%1∗#3 =3 2 65 2 3=585 !& / ie 1 2=% 2∗#3 =9 2 65 2 3 = 1755 !& / ie

R1=

( 585 !& / ie + 1755 !& / ie ) 6 2

=7020 !&

E0 ce0tro de ra8edad e0 @ será: y c =

( 585 !& / ie + 2 (1755 !& / ie )) 6 ie 3 ( 585 !& / ie + 1755 !& / ie )

=3.5 ie

,a te0ie0do todo lo 0ecesario reali=aos el recuadro de
C3so

r

F

⃗

M B

R1

−3.5 j

R2

−6 j

400 i

W 1

−¿

−900 j

−¿

W 2

2i

−600 j

−1200 k

$

4i

− j

−4 k

B x

−¿

B 2i

−¿

B y

−¿

Byj

−¿

<7

7020 i

24570 k 2400 k


∑ F =¿ F =( 7020 +400 + B ) i+ ( −900 −600 −  − B ) j R

2

1

¿

Se tie0e las siuie0tes ecuacio0es 7020 + 400 + B 2 =0 ;

*1

B 2 =−7420 !&

−900−600 − − B1 =0 ; B 1 =−1500 − $

..*'

El oe0to resulta0te es: M B =( 24570 + 2400−1200 −4 $ ) k R

E0to0ces 24570 + 2400 −1200 −4 $ =0 ;

*3

4 $ =25770

$=6442.5 !&

4 $ =−6442.5 !&j

Ree5la=aos e0 *' B 1 =−1500 − 6442.5

¿ 7942.5 !& B = B 2 + B1 =−7420 i.!&+ 7942.5 j. !&

3.33. Co0 relaci/0 a la )ura P-3.336 deteri0ar las i0te0sidades de las reaccio0es e0tre la 8ia @ el suelo. Su5/0ase u0a distri9uci/0 tra5e=oidal.

<


SO!"C#N GECTOR#A! E0 el sistea ostrado e0 la )ura.

<


300 k"

R1=

m

R2=

200 k"

∗3 m =450 k" =−450 j

2

m

∗3 m= 600 k"=−600 j

M

C3so

r

F

R 1

2i

−450 j

−900 k

R 2

9 j

−600 j

−2700 k

−1050 j

−3600 k

2

5

Del cuadro se tie0e la
M 0 =−3600 k . k "

Del sistea eui8ale0te e0
6 ( ( 1+ ( 2 ) 2

= 3 ( ( 1 + ( 2)

El 5u0to do0de act>a la
50


2 C =

6 ( (1 + 2 (2 ) 3 ( ( 1+ ( 2 )

=

2 ( ( 1 + 2 ( 2)

(( +( ) 1

2

C3so

r

R 3

2 ( (1 + 2 ( 2 )

( ( +( ) 1

i

F

M 0

3 ( ( 1+ (2 ) j

6 ( ( 1+ 2 (2 ) k

2

5

Por edui8ale0cia F R=−1050 j . k" =3 ( (1 + (2 ) j ( 1+ (2=−350 k"... ( 3 ) M 0 =−3600 k"k =6 ( (1 + 2 (2 ) k R

( 1+ 2 ( 2=−600 .. . ( & ) ( 1=−100 k" ( 2=−250 k"

3.$4. !a 8ia de
51


3.1$. !as tu9erKas de ' de diáetro re5rese0tadas e0 la )ura P3-1$ tie0e06 cada u0o de ellas6 u0a asa de 'J. Deteri0ar las
ostra0do el DC! de los cuer5os Y

X RC

RD W1

SO!"C#N GECTOR#A! No ;a@ oe0tos 5or lo ta0to el cuadro se reduce a:

5


CASO RC

F R C

√ 2

RD

i+

− R √ 2

21 L

RC

√ 2

j

R i+ j

√ 2

−W 1 j

(

R C R -

√ 2

−

√ 2

)( i+

RC R -

+

√ 2 √ 2

)

−W 1 j

E0to0ces la suatoria de las
(

F =

RC R -

√ 2

−

√ 2

)( i+

R C R -

√ 2

+

√ 2

)

−W 1 j =⃗0

E0 el eje a9scisas R C R -

√ 2

−

=0

√ 2

R C R -

√ 2

=

√ 2

RC = R - . … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . ( 1 )

E0 el eje de las orde0adas R C RC

+

√ 2 √ 2

−W 1=0 4

R C R -

√ 2

+

√ 2

=W 1 … … … … … … … … … … . . ( 2)

*1 e0 *' R - R -

+

√ 2 √ 2

5

=W 1 4 R -=√ 2

W 1 2

=. . … … … … … … … … … … … … ... ( 3 )


R -=√ 2 (

200∗ 9.81

)

2

RC =1.387 kN Y RD

RB X R A W

2

CASO RA

F R A

√ 2

R A i+ j

√ 2

R?

− R B i

RD

R -

√ 2

2' L

R i− j

√ 2

−W 2 j

(

R A

(

F =

R A

√ 2

− R B +

R -

√ 2

√ 2

)( i+

R -

− R B +

√ 2

R A R -

√ 2

−

√ 2

)( i+

R A

√ 2

R -

−

√ 2

)

−W 2 j

)

− W 2 j =⃗0

Se tie0e las siuie0tes ecuacio0es

5<


R A

√ 2

− RB +

R A R -

√ 2

−

√ 2

R -

√ 2

R A + R -

=0 4 R B =

√ 2

−W 2=0 4 R A= √ 2 W 2 + R -

De las dos ecuacio0es se tie0e R A =√ 2 W 2 + √ 2

W 1 2

= √ 2∗200 ( 9.81 )+ √ 2∗9.81∗ 200

R A =4.162 kN

E0to0ces se tie0e RB =

√ 2 W 2 + √ 2

W 1 2

+ √ 2

W 1 2

√ 2

¿ W 2 + W 1 ¿ 400∗9.81 RB =3.924 kN

Nos 5ide R A =4.162 kN RB =3.924 kN RC =1.387 kN

3.'&. !os 5esos de los cili0dros A6 ? @ C de la )ura P3-'& so0 17%N6 '7%N @ 7N6 res5ecti8ae0te. Deteri0ar las
55


Para el cili0dro A * DC!

CASO 21 R' R(

F −W 1 j R2 j 2 R6 3

R1

5?

i−

√ 5 R6 3

j

− R 1 i


L

(

− R1+

2 R6 3

)(

i + R2 −

√ 5 R6 3

)

−W 1 j

(

F = − R1 +

2 R6 3

)(

i + R 2−

√ 5 R6 3

)

−W 1 j = ⃗0

Te0eos tres i0c/0itas − R 1+

R2−

2 R 6 3

√ 5 R 6 3

= 0 ; R1 =

2 R 6 3

… … … … … … … … … … … … …( 3 )

−W 1=0 ; R2=

√ 5 R 6 3

+ W 1 … … … … … … . ( & )

DC! 5ara el cili0dro ?

CASO 2' R$ R%

F −W 2 j R4 i

−8 R5 13

R3 L

57

i−

√ 105 R 5 13

j

R3 j

(

R 4 −

) (

8 R 5 13

i + R3−

√ 105 R5 13

)

−W 2 j


(

F = R 4−

R 4 −

R 4 =

R3−

R 3=

8 R 5 13

8 R5 13

)(

i + R 3 −

√ 105 R5 13

)

−W 2 j =⃗0

=0

8 R 5

. . … … … … … … … … … … … … … … … … . (c )

13

√ 105 R 5 13

√ 105 R 5 13

−W 2=0

+ W 2 . . … … … … … … … … … … … ... ( ' )

DC! 5ara el cili0dro C Y

X R5

R6 W3

5


CASO 23

F −W 3 j

R%

8 R 5

i+

13

R(

−2 R6 3

L

(

8 R 5 13

√ 105 R 5 13

i+

−

√ 5 R6 3

2 R6 3

j

j

)( i+

√ 105 R5 √ 5 R6 13

+

3

(

∑ F =

8 R 5 13

R 5=

−

2 R6 3

13 R 6 12

8 R5 13

−

2 R6 3

)( i+

√ 105 R5 √ 5 R 6 13

+

3

)

−W 3 j =⃗0

=0

. … … … … … … … … … … … … … … … … … .. . ( e )

√ 105 R5 √ 5 R6 13

)

−W 3 j

+

3

−W 3= 0 . . … … … … … … … … … … … . ( 6 )

De las dos >ltias ecuacio0es se tie0e

R6=

R 6=

5

12 W 3 4 √ 5 + √ 105

12∗700 19.191

= 437.71 N


R 5=

13∗ 437.71 12

=474.186 N

De *a @ *9 se tie0e lo siuie0te R1=

R 1=

R 2=

R 2=

R 4 =

R 3=

R 3=

2 R 6 3 2∗ 437.71 3

√ 5 R 6 3

=292 N ; %ori+on73! 3r3 e! ci!in'ro A

+ W 1

√ 5∗437.71 + 175 =501 N ; 8er7ic3! 3r3 e! ci!in'ro A 3

8 R 5 13

=

8∗474.186

√ 105 R 5 13

13

= 292 N ; %ori+on7 3! 3r3 e! ci!in'ro B

+ W 2

474.186 ∗√ 105 13

+ 275=649 N ;8er7ic3! 3r3e! ci!in'roB

E0to0ces se tie0e lo 5edido

$.11&. !as tres
?0


F?  *- 1'%i  '%j  1J N FC  *- 'i M 'j M 3J N Sustituir este sistea de
SO!"C#N GECTOR#A! CA)O

r

C

F

F A

8 i + 10 k

(−250 i 9 200 j + 300 k ) N

F B

8 j + 10 k

(−125 i + 250 j +100 k ) N

−1700 i−1250 j + 1000 k

F C

8 i + 15 j

(−200 i 9 200 j 9 300 k ) N

−4500 i + 2400 j +1400 k

−575 i−150 j + 100 k

−4200 i −3750 j + 800 k

∑

2000 i −4900 j −1600 k

F =−575 i −150 j + 100 k C =( −4200 i −3750 j + 800 k ) ⃗

?1

cm∗ N ∗m 100 cm

*El 5ar C


C =−42 i −37.5 j + 8 k

E0to0ces | F |=25 √ 581 N

+allareos los á0ulos directores de la
θ x =cos

( ) F x F

−1

θ y = cos

−1

θ +=cos

(

= cos−1

( )

=cos−1

( )

(

F y

F

F +

F

=cos−1

)=

−575 25 √ 581

(

−150 25 √ 581

−100 25 √ 581

162.6 °

)=

)=

104.4 °

80.04 °

+allareos los á0ulos directores del 5ar C. −1

θ x =cos

56.9

−1

θ y = cos

−1

θ +=cos

( )= −42

137.6 °

( )= −37.5 56.9

( )= 8

56.9

131.2 °

81.9 °

%.&$. "0a 8ertical está soetida a u0 sistea de caras ue se 5uede re5rese0tar 5or el diaraa de cara de la siuie0te )ura. Deteri0ar la resulta0te R de este sistea de caras distri9uidas @ locali=ar su recta so5orte res5ecto al a5o@o e0 el 5u0to O.

?


SO!"C#N:

F i =('yi

?


,

3

0

0

3

∫ ('yi4R =∫ 500 cos ( 6 ) 'yi=500∫ cos :y6 'yi :y

R=

(

R= 500 sin

R=500 sin

R=

3000

:

0

( ) )=

( )

( )

:y 6 3 : 3 6 : 0 6 i 500 sin i −500 sin i 6 : 0 6 : 6 :

()

: 6 6 x 500 3000 = i= i 2 : : :

i = 95.54 i

POR OENTO DE F"ERA 3

3

∫

∫

0

0

y c jxRi= y j x F i= y j x 500cos

3

∫

y c jxRi= y j x 500cos 0

( ) :y 6

( ) :y 6

'yi

'yi

y 3

−(¿ ¿ c xR ) k =−500∫ y x cos ¿

y c xR =500

y c x

3000

y c x

?<

:

6

:

(

=

(

6 y sin

:

=500

18

:

−

(

( )+ : 6

6 x 3sin

36 2

:

0

:

)

( ) :y 6

'yk

( ) :y

36cos

6

2

:

( )+ : 2

36cos

( )=

4 y c = 3−

6

:

2

:

)

3 0

( )− : 2

6 x 0sin ( 0 )

:

−

36cos ( 0 ) 2

:

)

=500

(

18

:

−

36 2

:

)

1.09


ESTATICA

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