Estruturas, Termos e Fórmulas, Diagrama Positivo e Modelo Canônico

Introduc˜ ao ao Estruturas Termos e F´ ormulas ormulas A no¸ c˜ c˜ a o de Modelo ao Diagrama positivo Modelo canˆ onico onico Refe Re ferˆ rˆ en cias enci as

Estruturas, Termos e Fórmulas, ormulas, Diagrama positivo e Modelo Canônico onico George H. Alvares Centro de Inform´ atica atica - CIn

20/08/2013


Motiva¸ c˜ c˜ ao ao

Motiva¸c˜ cão ao A Linguagem da Lógica ogica Proposicion Prop osicional al é insuficiente insufi ciente para a prática atica matemática. atica. Uma senten¸ca ca que generaliza ou particulariza propriedades sobre objetos ou rela¸c˜ coes o˜es entre objetos não ao pode ser tratada. Exemplo Consid Considere ere a senten¸ sente n¸ca: ca: todos os quadrados s˜ ao positivos osit ivos,, 9 ´ e um quadrado, quadrado, logo 9 ´ e positivo .



Motiva¸c˜ cão ao A Linguagem da Lógica ogica Proposicion Prop osicional al é insuficiente insufi ciente para a prática atica matemática. atica. Uma senten¸ca ca que generaliza ou particulariza propriedades sobre objetos ou rela¸c˜ coes o˜es entre objetos não ao pode ser tratada. Exemplo Consid Considere ere a senten¸ sente n¸ca: ca: todos os quadrados s˜ ao positivos osit ivos,, 9 ´ e um quadrado, quadrado, logo 9 ´ e positivo .



Motiva¸c˜ cão ao

Queremos expressar propriedades relativas a um conjunto de rela¸c˜ coes o˜es e fun¸c˜ coes o˜es sobre um dado dom´ dom´ınio de discurso, de forma que manipula¸c˜ coes o˜es possam ser feitas facilmente. Da´ Da´ı, fare fa remo moss de Estruturas o nosso ponto de partida.


Estruturas Subestruturas

Estruturas Defini¸c˜ cão ao (Estrutura) Uma estrutura A é um objet ob jetoo com as seguintes segu intes caract caracter er´´ısticas ısti cas:: 1

Um conjunto chamado de dom´ınio ou universo de A, representado por dom( dom(A).

2

Um conjunto de elementos de dom( dom(A) chamados elementos constantes ou destaques .

3

Para cada n ≥ 0, um conjunto de rela¸c˜ coes o˜es n-árias arias sobre ımboloss de rela¸ rela ¸c˜ cao ˜ . dom( dom(A), cada uma nomeada por s´ımbolo

4

Para cada n ≥ 0, um conjunto de fun¸c˜ coes o˜es n-´ arias arias sobre ımboloss de fu fun¸ n¸c˜ cao ˜ . dom( dom(A), cada uma nomeada por s´ımbolo

Introduc˜ ao Estruturas Termos e F´ ormulas A no¸ c˜ a o de Modelo Diagrama positivo Modelo canˆ onico Referˆ encias


Se A for uma estrutura e c, f e R forem, respectivamente, s´ımbolos de constante, fun¸cão e rela¸caõ de A, utilizamos cA , f A e RA para representar a constante, a fun¸ca˜ o e a rela¸caõ nomeadas por c, f e R em A.



O conceito de Assinatura

Defini¸cão (Assinatura) Seja A uma estrutura. A assinatura de A é especificada fornecendo-se: - O número de s´ımbolos de constantes de A; - Para cada n ≥ 0, o n´ umero de s´ımbolos de rela¸caõ n-´ aria e o n´ umero de s´ımbolos de fun¸caõ n-´ aria de A.



Normalmente, utilizamos o s´ımbolo L para representar assinaturas; Se uma estrutura A possui assinatura L, dizemos que A é uma L-estrutura; Duas estruturas são ditas de mesma assinatura se suas necessidades simbólicas forem idênticas.



Interpreta¸cão de uma Assinatura Seja L uma assinatura e A uma L-estrutura. Defini¸cão (Interpreta¸cão) Uma interpreta¸caõ de L em A é uma fun¸caõ que associa: 1

a cada s´ımbolo de constante c de L, um objeto cA do dom´ınio de A;

2

a cada s´ımbolo de rela¸caõ n-ária R de L, uma rela¸cão n-´ aria RA de A;

3

a cada s´ımbolo de fun¸caõ n-´ aria f de L, uma fun¸caõ n-ária de A.



O problema da subestrutura

Dadas duas estruturas, A e B, de mesma assinatura, sob quais condi¸co˜es podemos afirmar que A é subestrutura de B?




Obviamente, se B é subestrutura de A, então todos os elementos do universo/dom´ınio de B devem pertencer ao dom´ınio/universo de A, i.e., dom(B) ⊆ dom(A). Mas isso é suficiente?




Precisamos, também, considerar os outros componentes de uma estrutura: constantes, fun¸co˜es, predicados, e verificar se estes possuem relacionamentos entre si que justifiquem dizer que uma estrutura é subestrutura da outra. Para definir precisamente essa no¸caõ de preserva¸caõ de constantes, fun¸co˜es e rela¸co˜es vamos, inicialmente, ver ´ alguns conceitos de Algebra.



Homomorfismos Seja L uma assinatura e sejam A e B L-estruturas. Defini¸cão (Homomorfismo) Dizemos que h : dom(A) → dom(B) é um homomorfismo de A para B se as seguintes condi¸cões forem satisfeitas: 1

Para cada s´ımbolo de constante c de L, h(cA ) = cB ;

2

Para cada n > 0, cada s´ımbolo de rela¸caõ n-´ aria R de L e cada n-upla a1 , a2 ,...,an de dom(A), se (a1 ,...,an ) ∈ RA ent˜ ao (h(a1 ),...,h(an )) ∈ RB ;

3

Para cada n > 0, cada s´ımbolo de fun¸cão n-´ aria f de L e cada n-upla a1 , a2 ,...,an de dom(A), h(f A (a1 ,...,an )) = f B (h(a1 ),...,h(an )).



Imersão

Seja L uma assinatura e sejam A e B L-estruturas. Defini¸cão (Imersão) Dizemos que um homomorfismo h de A para B é uma imersão se h for injetora e satisfaz a versão mais forte da condi¸caõ (2) : Para cada n > 0, cada s´ımbolo de rela¸caõ n-´ aria R de L e cada n-upla a1 , a2 ,...,an de dom(A), (a1 ,...,an ) ∈ RA se e somente se (h(a1 ),...,h(an )) ∈ RB ;



Outros conceitos Defini¸cão (Isomorfismo) Um isomorfismo é uma imersão sobrejetora. Se existir um isomorfismo de A para B, dizemos que A e B são isomorfas. Defini¸cão Um homomorfismo de A em A é chamado endomorfismo. Defini¸cão Um isomorfismo de A em A é chamado automorfismo.



Fun¸cão inclusão

Defini¸cão (Fun¸caõ inclusão) Sejam X e Y conjuntos tais que X ⊆ Y . Uma fun¸c˜ ao inclus˜ ao de X em Y é uma fun¸caõ f : X → Y tal que f (x) = x . c˜ ao identidade ´ Note que a fun¸ e um caso particular da fun¸cão inclusão, onde X = Y .



Subestruturas

Seja L uma assinatura e sejam A e B L-estruturas. Defini¸cão (Subestrutura) ao Se dom(A) ⊆ dom(B) e a fun¸caõ inclus˜ i : dom(A) → dom(B) for uma imersão, dizemos que A é uma subestrutura de B ou que B é uma extens˜ ao de A e utilizamos a nota¸caõ A ⊆ B.


A menor subestrutura de


A

Dados: Uma estrutura A; um conjunto X qualquer, tal que X ⊆ dom(A). Pergunta-se: qual a menor subestrutura de A que contém X ?



Defini¸cão (A menor subestrutura) 

Seja A a estrutura que procuramos. 

Inicialmente, note que, da enumera¸caõ acima, X ∈ dom(A ) e as constantes de A devem ser as mesmas de A. Da´ı, fazemos dom(A ) = X ∪ {c | c é uma constante de A}. 



Agora, nos resta preservar as rela¸co˜es e fun¸co˜es. Para as tanto, verificamos, para cada elemento x de dom(A ), quais os elementos de dom(A) estão relacionados a x e os adicionamos ao dom(A ), bem como os resultados das aplica¸co˜es de todas as fun¸co˜es de A a x. 







A nota¸caõ utilizada é A =< X >A e a leitura é: A é a menor subestrutura de A que contém X .


Termos Substitui¸ c˜ ao de Vari´ aveis por Termos Semˆ antica de Termos F´ ormulas Semˆ antica de F´ ormulas Substitui¸ c˜ ao sobre f´ ormulas atˆ omicas

Introdu¸caõ Para formalizar tanto a sintaxe quanto a semântica da Lógica de Predicados numa dada assinatura, vamos come¸car definindo: Termos da assinatura: express˜ oes constru´ıdas a partir

de variáveis e constantes, aplicando-se os s´ımbolos de fun¸cão e que servem para representar objetos. oes F´ ormulas atˆ omicas da assinatura: express˜ constru´ıdas a partir de termos e s´ımbolos de rela¸caõ e que servem para representar enunciados atômicos.



Termos Defini¸cão (Conjunto de Termos(TERM )) Seja L uma assinatura. O conjunto dos termos de L é definido indutivamente da seguinte forma: (i) Toda variável é um termo; (ii) todo s´ımbolo de constante de L é um termo; (iii) se f for um s´ımbolo de fun¸caõ n-´ aria de L e t1 , t2 ,...,tn forem termos de L, então f (t1 , t2 ,...,tn ) é um termo; (iv) nada mais é um termo de L.



Note que o conjunto dos termos de uma assinatura é, no final das contas, o fecho indutivo do conjunto χ =Vari´ ˜es aveis ∪ Constantes sob o conjunto F de fun¸co que geram novos termos a partir dos s´ımbolos de fun¸caõ de L e dos s´ımbolos auxiliares ( e ). Da´ı, toda afirma¸cão generalizadora sobre termos pode ser provada por indu¸caõ sobre χ+ .



Termos fechados

Defini¸cão (Termos fechados) Um termo fechado de uma dada assinatura L é um termo de L que n˜ ao contêm variáveis. Intuitivamente, os termos fechados são aqueles que, dada uma interpreta¸caõ de L numa determinada estrutura, o valor-verdade desse termo, nessa estrutura, pode ser determinado imediatamente.



Substitui¸cão em Termos

A opera¸cão de substitui¸cão de variáveis por termos de uma dada assinatura toma como entrada um termo e uma lista das vari´ aveis nele contidas, al´ em dos termos que deverão ser colocados no lugar dessas variáveis conforme a ordem especificada. Nota¸ c˜ ao: t(x1 , x2 ,...,xn )[s1 /x1 ,s2 /x2 , ...,sn /xn ] indica a opera¸ca õ

de substitui¸caõ sobre o termo t que produz um termo idêntico a t, exceto que no lugar das ocorrências de xi , colocamos o termo si .



Semântica de Termos Defini¸cão Dada uma assinatura L, uma L-estrutura A e uma interpreta¸caõ de L em A, a semântica de um dado termo de t de L é definida recursivamente da seguinte forma: (i) se t for uma variável x, a semântica de t, ainda indefinida, é simplesmente xA ; (ii) se t for uma constante c, a semântica de t é o objeto representado por cA , conforme a interpreta¸cão dada; (iii) se t for um termo da forma f (t1 , t2 ,...,tn ), então a semântica de t é dada por f A (t1 , t2 ,...,tn ), onde A A tA , t ,...,t ao os valores semânticos dos termos n s˜ 1 2 t1 , t2 ,...,tn , conforme a interpreta¸cão dada.



Fórmula atômica

Defini¸cão (Fórmulas atômicas) As fórmulas atômicas de uma assinatura L s˜ ao expressões no seguinte formato: (i) Para todo s´ımbolo de rela¸caõ n-´ aria R de L, se t1 , t2 ,...,tn forem termos de L, então R(t1 , t2 ,...,tn ) é uma f´ ormula atômica de L. (ii) Para todos os termos t1 e t2 de L, t1 = t2 é uma f´ ormula atômica de L



Senten¸ca atômica

Defini¸cão (Senten¸ca atômica) Uma senten¸ca atômica é uma fórmula atômica de L que n˜ ao contêm variáveis.



Semântica de Fórmulas Defini¸cão Seja L uma assinatura e A uma L-estrutura. Se φ é uma senten¸ca de L, a semântica de φ em A, para uma dada interpreta¸caõ de L em A é dada por: (i) Se φ for da forma R(t1 , t2 ,...,tn ), então φA é verdadeira sse a tupla de elementos t1 , t2 ,...,tn pertencer a` rela¸cão RA ; (ii) Se φ for da forma t1 = t2 , então φA é verdadeira sse tA 1 e tA ao exatamente o mesmo objeto do universo de A. 2 s˜



Substitui¸cão em Fórmulas Suponha que φ(t1 , t2 ,...,tn ) seja uma fórmula atômica que contenha uma ou mais ocorrências das variáveis x1 , x2 ,...,xk . A opera¸cão de substitui¸cão das ocorrências das variáveis x1 , x2 ,...,xk em φ por termos s1 , s2 ,...,sk produz uma fórmula atômica idêntica a φ, exceto que todas as ocorrências de xi são substitu´ıdas por si . Nota¸ cao: ˜ φ(t1 , t2 ,...,tn )[s1 /x1 ,s2 /x2 , ...,sk /xk ]





Substitui¸cão em Fórmulas(cont.)

Como, efetivamente, as variáveis residem nos termos, escrevemos a substitui¸caõ na forma: φ(t1 [s1 /x1 , ...,s /x ], t2 [s1 /x1 , ...,s /x ],...,tn [s1 /x1 , ...,s /x ]) k

k

k

k

k

isto é, as substitui¸cões são passadas para os termos.

k




Seja A uma estrutura de assinatura L e φ uma senten¸ca atˆ omica de L. Defini¸cão (Modelo de uma senten¸ca atômica) Dizemos que A é um modelo de φ se existir uma interpreta¸caõ de L em A, tal que φA seja verdadeira. Defini¸cão (Contra-modelo de uma senten¸ca atômica) Dizemos que A é um contra-modelo de φ se existe uma interpreta¸caõ de L em A tal que φA é falsa.


Diagrama positivo

Seja L uma assinatura e seja A uma L-estrutura. Defini¸cão (Diagrama Positivo) O conjunto de todas as senten¸cas atômicas de L que são verdadeiras em A, sob pelo menos uma interpreta¸cão de L em A, é chamado de diagrama positivo de A. Nota¸caõ: diag + (A).


Ideia Conjunto =-fechado Lema do Modelo Canˆ onico Modelo canˆ onico

Ideia

Dado um conjunto de senten¸cas atômicas, queremos construir uma estrutura na assinatura dessas senten¸cas que seja modelo para todas essas, i.e., de forma que, em pelo menos uma interpreta¸caõ da assinatura na estrura, todas as senten¸cas sejam verdadeiras.



Ideia

Para construir essa estrutura, precisamos definir as suas 4 componentes: dom´ınio, constantes, rela¸co˜es e fun¸cões.



Conjunto =-fechado Defini¸cão (Conjunto =-fechado) Seja L uma assinatura, A uma L-estrutura e T o conjunto de todas as senten¸cas atˆ omicas de L que são verdadeiras em A, i.e., T = diag + (A). T possui as seguintes propriedades: i Para todo termo fechado t em L, a senten¸ca atômica t = t pertence a T . ii Se φ(x) é uma fórmula atômica de L e a senten¸ca s = t pertence a T , então φ(s) ∈ T se e somente se φ(t) ∈ T . O conjunto T de senten¸cas atômicas e chamado =-fechado em L.



Lema do Modelo Canônico

Lema Seja L uma assinatura e T um conjunto =-fechado de senten¸cas atˆ omicas de L. Existe uma L-estrutura A tal que T ´ eo diagrama positivo de A.



Defini¸cão Seja L uma assinatura e X o conjunto de todos os termos fechados de L. Vamos definir uma rela¸cão ∼ sobre X da forma: s ∼ t se e somente se s = t ∈ T .



Vamos demonstrar que ∼ é uma rela¸caõ de equivalência. Proof. (i) Da condi¸cão (i) da defini¸caõ anterior, ∼ é reflexiva. (ii) Assuma que s ∼ t; da´ı, s = t ∈ T . Seja φ(x) a fórmula x = s; φ(s) é s = s que, pela condi¸caõ (i), pertence a T ; logo, pela condi¸caõ (ii), T também contém φ(t) que é t = s. Portanto, t ∼ s, e ∼ é simétrica. (iii) Assuma que s ∼ t e t ∼ r. Seja φ a fórmula s = x. Da hipótese, φ(t) e t = r estão em T . Da´ı, por (ii), T também contém φ(r), que é s = r. Logo, s ∼ r, e ∼ é transitiva.



∼

Para cada termo fechado t, seja t a classe de equivalˆ encia de t sob ∼; e seja Y o conjunto de todas as classes de equivalˆ encia t para cada t ∈ X . Vamos definir uma estrutura A com dom(A) = Y .

∼



Para cada constante c de L, fazemos cA = c ; ∼

Para cada s´ımbolo de fun¸caõ n-´ aria f de L, definimos f A por f A (s1 , s2 ,...,sn ) = (f (s1 , s2 ,...,sn )) . ∼

∼

∼

∼

Precisamos verificar que essa defini¸cão é segura. Proof. Suponha que si ∼ ti para cada 1 ≤ i < n. Através de n aplica¸co˜es do item (ii) da defini¸caõ anterior à senten¸ca f (s1 , s2 ,...,sn ) = f (s1 , s2 ,...,sn ) e usando o item (i) da mesma defini¸caõ, chegaremos à conclusão f (s1 , s2 ,...,sn ) = f (t1 , t2 ,...,tn ). Da´ı, f (s1 , s2 ,...,sn ) = f (t1 , t2 ,...,tn ) , que demonstra que a defini¸caõ é segura. ∼

∼



Para cada s´ımbolo de rela¸cão n-´ aria R de L, tomamos RA por: (s1 , s2 ,...,sn ) ∈ RA se e somente se R(s1 , s2 ,...,sn ) ∈ T . ∼

∼

∼

Proof. Essa defini¸cão é justificada da mesma maneira que a anterior. Com isso, completamos a defini¸cão da estrutura A.



Agora que já constru´ımos uma estrutura que satisfaz à descri¸caõ dada, vamos mostrar que ela é homomórfica a qualquer outra estrutura que também satisfa¸ca essa descri¸caõ. Defini¸cão Seja B uma outra estrutura que também satisfaz a descri¸caõ dada. Seja h uma fun¸caõ de A para B, h : A → B, tal que: h(t ) = tB ∼

Afirmamos que h é um homomorfismo.





Proof. (i) Preserva as constantes: da defini¸caõ de h, h(c ) = cB . ∼

(ii) Preserva as rela¸co˜es: suponha que (t1 ,...,tn ) ∈ RA . Como B t1 = tB ` descri¸caõ, 1 ,...,tn = tn , e R(t1 ,...,tn ) pertence a B B temos que (tB ı, (h(t1 ),...,h(tn )) ∈ RB . 1 ,...,tn ) ∈ R . Da´ ∼

∼

∼

∼

∼

∼

(iii) Preserva as fun¸co˜es: da constru¸cão de A, sabemos que: f A (t1 ,...,tn ) = (f (t1 ,...,tn )) . Logo, h((f (t1 ,...,tn )) ) = f (h(t1 ),...,h(tn )). ∼

∼

∼

∼

∼

∼

∼



Chamamos a estrutura A, resultante da constru¸cão dada anteriormente, de modelo canˆ onico do conjunto de senten¸cas T dado.

Estruturas, Termos e Fórmulas, Diagrama Positivo e Modelo Canônico

Recommend Documents