Expressando analiticamente essa definição temos: FP1 = P2 P1 a distância do foco ao ponto P1 tem que ser igual à distância de P1 ao P2, isto é , a distância de qualquer ponto da curva à diretriz. p ( x − 0) 2 + ( y − ) 2 2 p ( x − 0) 2 + ( y − ) 2 2 das raízes
p ( x − x) 2 + ( y + ) 2 2
=
2 =
p ( x − x)2 + ( y + )2 2
p ( x − 0) 2 + ( y − ) 2 2
=
p2 2 2 x + y − py + 4
p2 2 = y + py + 4
x 2 + y 2 − py +
p2 4
=
p (x − x) 2 + ( y + ) 2 2
y 2 + py +
[MA1] Comentário: Distânci
aplicando a distância entre dois pontos
a entre dois Pontos no plano
2 elevamos ao quadrado para “escapar”
· Fórmula para calcular a distância entre dois pontos
resolvendo os parênteses
reduzindo os termos semelhantes Para saber mais vá à Virtualteca
p2 4
x2 = 2py
x2 = 2py
Equação Reduzida da Parábola
Observe o que necessitamos para determinar essa equação! Apenas a distância focal aparece como incógnita nessa equação, pois x e y é o ponto qualquer que sempre temos em uma equação de uma cônica. Exemplo 1: Determine vértice, foco, diretriz e eixo eixo de simetria simetria da parábola cuja equação 2 é dada por x = 12y É fundamental identificar que essa essa equação é de uma parábola que tem vértice na origem e eixo de simetria sobre eixo y. A partir daí devemos ter presente o formulário para esse caso:
3
V (0,0)
vértice
F(0, p/2)
foco
y = -p/2
equação da diretriz
x2 = 2py
equação da parábola
x = 0 equação do eixo de de simetria simetria
x2 = 12y x2 = 2py
y
2p=12 p=6 logo: V(0,0) vértice F (0, 3) foco
F
x
V
Diretriz
y = -3 diretriz x = 0 equação do eixo de simetria
Exemplo 2: Determine vértice, foco, diretriz e eixo de simetria da parábola cuja equação é dada por x2 = -8y Você deve iniciar sempre pela identificação da equação! Parábola com vértice em (0,0) e eixo de simetria sobre eixo y
4
Formulário:
V (0,0)
vértice
F(0, p/2)
foco
y = -p/2
equação da diretriz
x2 = 2py
equação da parábola
x2 = 2py x2 = -8y
2p = -8
p=-4
logo:
y
V(0,0) vértice F(0, p/2) y = - p/2
F (0, -2) foco y = 2 diretriz
Diretriz
x
V
F
x=0
equação de eixo de simetria
Observe esses dois exemplos! Podemos registrar se p > 0 parábola com abertura para cima se p < 0 parábola com abertura para baixo
5
y
y
p < 0 abertura para baixo
x
x
p > 0 abertura para cima cima
4. Equação da Parábola com vértice na origem dos eixos e eixo de simetria sobre eixo x Elementos dessa parábola V (0,0) vértice F(p/2, 0) foco P1(x,y) um ponto qualquer da curva P2(-p/2, y) um ponto sobre a diretriz x = -p/2 equação da diretriz y=0 equação do eixo de simetria
y
Diretriz
F x
6
Para encontrarmos a equação dessa curva devemos considerar um ponto genérico P1(x,y) e o ponto que determina a distância de P1 à diretriz que está representado na figura abaixo por P2.
y
P2
distância
P1
distância Diretriz
p/2
V
p/2
F x
Considerando os pontos V(0,0) vértice F(p/2,0) foco x = - p/2 diretriz P1(x,y) um ponto qualquer da curva P2(-p/2,y) um ponto sobre a diretriz y = 0 equação de eixo de simetria Expressando analiticamente essa definição temos:
7
FP1 = P2 P1 a distância do foco ao ponto P1 tem que ser igual à distância de P1 ao P2, isto é , a distância de qualquer ponto da curva à diretriz. p ( x − ) 2 + ( y − 0) 2 2 p ( x − ) 2 + ( y − 0) 2 2 das raízes
p (x + )2 + (y − y )2 2
=
2 =
aplicando a distância entre dois pontos
p (x + ) 2 + ( y − y ) 2 2
p p ( x − ) 2 + ( y − 0) 2 = ( x + ) 2 + ( y − y ) 2 2 2 p2 p2 2 x 2 + y 2 − px + = x + px + 4 4 p2 p2 2 2 2 x + y − px + = x + px + 4 4
2 elevamos ao quadrado para “escapar”
resolvendo os parênteses
reduzindo os termos semelhantes
y2 = 2px
y2 = 2px
Equação Reduzida da Parábola
Exemplo 3: Determine vértice, foco e diretriz e eixo de simetria da parábola cuja equação é dada por y2 = 18x Você deve iniciar sempre pela identificação da equação! Parábola com vértice em (0,0) e eixo de simetria sobre eixo x apresenta o seguinte quadro: V (0,0)
vértice
F (p/2,0)
foco
x = - p/2
equação da diretriz
y2 = 2px
equação da parábola
8
y = 0 equação do eixo de de simetria simetria
5
4
3
2
1
F
V −6
−5 −5
−4 −4
−3 −3
−2 −2
−1 −1
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
y2 = 2px y2 = 18x
2p = 18 p = 9
p/2 = 9/2 Logo:
V(0,0) vértice F (p/2,0)
F (9/2,0) foco
x = - p/2 y=0
x = -9/2 diretriz
equação de eixo de simetria
Exemplo 4: Determine vértice, foco e diretriz e eixo de simetria da parábola cuja equação é dada por y2 = -16x Novamente consulte o quadro: V (0,0)
vértice
F (p/2,0)
foco
x = - p/2
equação da diretriz
y2 = 2px
equação da parábola
y = 0 equação do eixo de de simetria simetria 9
y2 = 2px y2 = -16x
2p = -16
p=-8
p/2 = - 4 Logo:
V(0,0) vértice 5
F (p/2,0)
F (-4,0) foco 4
x = - p/2 y=0
x = 4 diretriz
3
equação de eixo de simetria
2
1
F −6
−5 −5
−4 −4
V −3 −3
−2 −2
−1 −1
1
−1
−2
−3
−
Podemos nesse caso das parábolas cujo eixo de simetria coincide com o eixo das abscissas fazer a observação de sua abertura: se p > 0 parábola com abertura para direita direita se p < 0 parábola com abertura para esquerda
Atenção: Fica aqui a sugestão de dividir o estudo da parábola em duas aulas. A partir daqui teremos a aula 13 da semana se mana que vem!
10
2
3
4
5
6
As duas equações de parábola que se seguem apenas deslocam o vértice para um ponto qualquer dos eixos coordenados. 5. Equação da Parábola com vértice em um ponto qualquer dos eixos e eixo de simetria sobre eixo y A técnica que podemos utilizar utilizar para demonstrar essa equação é fazer a construção anterior, com vértice na origem e chamar esses eixos de auxiliares. Para entender, observe a construção abaixo: y’
y
y
Eixo de simetria
y’
y
P
F
x’
V
x’ x
Diretriz
0
x
x
Figura 1
Definindo o valor das coordenadas x e y temos: y’
y
y
Eixo de simetria
y’
y
P
F
y’ x’
V
k
0
x’ x
Diretriz
x h
x’
x
11
Na figura 1 temos a equação da parábola de centro (0,0) (0,0) cuja equação é Figura 2 2 x’ = 2py’ Na figura 2 onde acrescentamos os eixos xoy de translação teremos: x = x’ +h
y = y’ + k
isolando x’ e y’ teremos: x’ = x - h
y’ = y - k
onde h e k são as coordenadas do vértice nos eixos xoy, xoy, isto é: V (h,k) substituindo as igualdades acima na equação x’2 = 2py’ (x-h)2 = 2p(y-k)
(x-h)2 = 2p(y-k) Equação Reduzida da parábola cujo vértice está no ponto (h,k) e eixo de simetria é paralelo ao eixo y
Exemplo 5: Determinar a equação da parábola cujo vértice está no ponto (3,2), eixo de
simetria paralelo ao eixo y e cuja distância focal é 4u.c.
Lembre! Você deve iniciar sempre pela identificação da equação! Parábola com vértice em (h,k) e eixo de simetria simetria paralelo ao eixo y apresenta o seguinte quadro: V (h,k)
vértice
F (h,k+p/2)
foco
12
y = k - p/2
equação da diretriz
(x-h)2 = 2p(y-k)
equação da parábola
Para determinar a equação da parábola precisamos precisamos de (h,k) e do p que nesse exemplo são dados, portanto substituindo (x-h)2 = 2p(y-k) 12
(x-3)2 = 2.4(y-2)
11 10
(x-3)2 = 8(y-2)
9
Equação Reduzida
8 7 6
resolvendo teremos: x2- 6x+9 = 8y-16 x2- 6x - 8y+25 = 0
5 4 3 2
Equação Geral
Diretriz −13 −1 2 −11 −1 0 −9
V
1
−8 −8
−7 −7
−6 −6
−5 −5
−4 −4
−3 −3
−2 −2
−1 −1 −1
1
2
3
4
5
6
−2
isolando y:
−3 −4 −5
2
x - 6x+9 = 8y-16
−6 −7 −8
x2- 6x+9 +16 = 8y
−9 −10
y=
x 2 - 6x + 25 8
Equação Explícita
Exemplo 6: Determinar a equação da parábola cujo vértice está no ponto (-1,4) e cujo foco está no ponto (-1,7).
V (h,k)
vértice
F (h,k+p/2)
foco
y = k - p/2 (x-h)2 = 2p(y-k)
equação da diretriz equação da parábola
13
7
8
9
10
11 11
12 12
13
14 14
V (h,k)
V( -1 , 4)
h = -1 k = 4
F (h,k+p/2)
F( -1 , 7)
k+p/2 = 7
4+p/2 = 7
p/2 = 7 – 4
p/2 = 3
p=6
Equação : (x-h)2 = 2p(y-k) (x+1)2 = 2.6(y-7) (x+1)2 = 12(y-7) Equação Geral Encontre a Explícita
6. Equação da Parábola com vértice em um ponto qualquer dos eixos e eixo de simetria sobre eixo x De forma análoga ao da parábola do item anterior podemos encontrar a equação nesse caso. Observe a parábola abaixo com vértice em um ponto qualquer segundo os eixos xOy. Nos eixos x’Oy’ a parábola tem vértice na origem y
y’
F V
x’
x
14
Figura 1
Figura 1 y’ y
P
y
y’
x’
F V
x’
h k
x
x
Figura 2
E na figura 2 onde fizemos a translação teremos: x = x’ +h
y = y’ + k
isolando x’ e y’ teremos: x’ = x - h
y’ = y - k
onde h e k são as coordenadas do vértice nos eixos xoy, xoy, isto é: V (h,k) substituindo as igualdades acima na equação y’2 = 2px’ (y-k)2 = 2p(x-h)
15
(y-k) 2 = 2p(x-h) Equação Reduzida da parábola cujo vértice está no ponto (h,k) e eixo de simetria é paralelo ao eixo x Observe que apenas houve a troca das variáveis variáveis x e y da equação anterior. O quadro abaixo servirá de consulta para esse caso.
V (h,k)
vértice
F (h+p/2 , k)
foco
x = h - p/2
equação da diretriz
(y-k)2 = 2p(x-h)
equação da parábola
Exemplo 7: Determinar a equação da parábola cujo vértice está no ponto (-5,1) , eixo de
simetria paralelo ao eixo x e cuja distância focal é 3u.c. (y-k)2 = 2p(x-h) (y-1)2 = 2.3(x+5) (y-1)2 = 6(x+5) Equação Reduzida y2-2y +1 = 6x+30
y 12 11 10
2
y -2y -6x-29 = 0
9
Equação Geral
8 7 6 5
isolando x teremos:
4 3
2
y - 2y - 29 = 6x
2 1
−9
−8 −8
−7 −7
−6
−5 −5
−4 −4
−3
−2 −2
−1 −1
x 1
2
3
4
5
6
7
−1 −2 −3 −4 −5
16
8
9
10
11 11
12 12
13 13
x=
y2 - 2y - 29 Equação Explícita 6
7. Determinação de vértice, foco e diretriz da parábola Quando temos a equação da parábola na forma explícita podemos encontrar seus elementos comparando-a à equação de 2° grau. Você pode observar que a forma fo rma explícita da equação da parábola pode ser expressa por : y = ax2+ bx + c
eixo de simetria paralelo ao eixo y
x = ay2+ by +c
eixo de simetria paralelo ao eixo x
Vamos primeiramente fazer a comparação da primeira primeira equação com a de 2° grau y = ax2+ bx + c (x-h)2 = 2p(y-k) x2-2hx+h2 = 2py - 2pk isolando y 2py - 2pk = x2-2hx+h2 2py = x2-2hx+h2+2pk y=
x 2 - 2hx + h 2 + 2pk comparando com 2p
y = ax2+ bx + c Equação
Termo em x2
x 2 - 2hx + h 2 + 2pk 2p 2 y = ax + bx + c
1 2p
y=
Termo em x −
a
2h 2p
b
Termo Independente h 2 + 2pk 2p c
Igualando os termos das duas equações teremos: 1 =a 2p
1 = 2pa 2pa = 1
p=
1 distância focal 2a 17
−
2h =b 2p
−
h p
=
b
-h = bp
h = -bp h = -b
1 2a
h=-
b 2a
abscissa do vértice
podemos encontrar a ordenada do vértice substituindo o valor da abscissa na equação e encontrando seu respectivo valor de y, isto i sto é, k.
Exemplo 8: Determine vértice, foco e diretriz e eixo de simetria da parábola de equação x 2 + 2x + 1 12 Continuamos com o primeiro passo estabelecido estabelecido desde a primeira solução: y=
Identificar a equação que temos: V (h,k)
vértice
F (h,k+p/2)
foco
y = k - p/2
equação da diretriz
Para fornecer as respostas temos apenas que encontrar h, k k ee p Iniciando por p: distância focal p =
1 2a
abscissa do vértice : h = -
p=
b 2a
substituindo na equação y = encontraremos encontraremos k y=
1 1 = 1 1 2 12 6
=
6
2 h = - 12 1 2 12
=
2 12 1 6
=
2 6 12 . = = −1 12 1 12
x 2 + 2x + 1 12
x 2 + 2x + 1 12 18
y=
( −1) 2 + 2.( −1) + 1 12
y 12 11 10
0 y= =0 12
9 8 7 6 5
k=0
4
F
3 2
Substituindo no quadro teremos V (h,k) vértice V (-1,0)
1
−9
−8 −8
−7 −7
−6
−5 −5
−4 −4
−3
−2 −2
−1 − V1
x 1
2
−1 −2 −3
F (h,k+p/2)
foco
F (-1 , 0+3) F (- 1 , 3)
−4 −5 −6
y = k - p/2
equação da diretriz
y=0-3
y = -3
−7 −8
Exemplo 9: Determine vértice, foco e diretriz e eixo de simetria da parábola de equação x=
y 2 + 6y + 21 4
Quadro dessa equação: V (h,k)
vértice
F (h+p/2 , k)
foco
x = h - p/2
equação da diretriz
distância focal p =
1 2a
p=
1 1 = 1 1 2 4 2
=
2
b 2a
6 k=- 4 1 2 4
substituindo na equação x =
y 2 + 6y + 21 4
abscissa do vértice : k = -
encontraremos h
=
6 4 1 2
= −
6 2 12 . = − = −3 4 1 4
19
3
4
5
6
7
8
9
1 0
11
12 12
13 13
y 2 + 6y + 21 x= 4 ( −3) 2 + 6.( −3) + 21 x= 4
y 8
7
6 5
4
12 4 h=3
3
x=
2
1
x −9
−8 −8
−7
−6 −6
−5 −5
−4 −4
−3
−2 −2
−1 −1
1
2
3
4
−1
Substituindo no quadro teremos V (h,k) vértice V (3, -3)
−2
−3
−4
F (h+p/2 , k)
foco
−5
F (3+1 , 3) F ( 4 , -3)
−6
−7
x = h - p/2
equação da diretriz
x = 3 -1
x=2
−8
20
F V
5
6
7
8
9
