DESARROLLO DE LA GUIA Problema
La compañía donde usted trabaja ha realizado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el fin de prevenir fallas y proteger la alta inversión realizada, el presidente de la compañía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la existencia de alguna falla. Para el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se requiere conocer de forma precisa el modelo matemát matemátii co del equipo industrial; de esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su modelo matemático; en caso contrario es posible que la máquina esté presentando fallas. A continuación, se presenta un diagrama simplificado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada el voltaje de armadura del motor
aplicada ( ) y como variable de salida la velocidad de rotaci ): rotaci ón del motor ( ):
Los parámetros físicos a tener en cuenta son:
∗ ∗∗ ∗
Momento de inercia del rotor =0.01 =0.01
2
Constante de fricción viscosa del motor =1 Constante de fuerza electromotriz Constante torque del motor
=0.01 =0.01
=0.01 /
/
Resistencia eléctrica =1 Inductancia =0.5
En la Etapa 1 se deberá encontrar el modelo matemático en el dominio del tiempo y analizar la controlabilidad y la observabilidad del proceso.
En la Etapa 1 se deberá encontrar el modelo matemático en el dominio del tiempo y analizar la controlabilidad y la observabilidad del proceso.
DESARROLLO Lluvia de ideas :
Bajo el análisis propuesto. Entiendo que es necesario tratar de modelar el nuevo instrumento adquirido por la empresa para entender el comportamiento del sistema y posteriormente trabajar con un posible diseño para un sistema de monitoreo, para esto se deben aplicar conocimientos que han sido base de materias anteriores. Dentro de los conocimientos previos pueden estar lo que tiene que ver con el comportamiento de los elementos electrónicos como son resistencias, condensadores, fuentes de corriente y bobinas, así como su representación a través de ecuaciones diferenciales. La situación que nos presenta, se trata de la implementación de un sistema para elevar la productividad de la empresa, un sistema que nos permita proteger y prevenir de posibles fallas, con el propósito de que la inversión realizada no se exponga a riesgos. Debemos conocer el modelo matemático del equipo industrial para poder realizar las operaciones de revisión y prevención. Dentro de estos conocimientos previos puedo destacar términos conocidos como: Listado de conceptos conocidos.
-Resistencia: Propiedad que poseen algunos materiales de oponerse al paso de la corriente. Esta propiedad se mide en Ohmios. -Frecuencia: Magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo. La unidad de medida es el Hertz (Hz).
-Sensor : Dispositivo capaz de transformar una magnitud física como, presión, caudal, temperatura, entre otras. -Sistema de Control: Conjunto de dispositivos encargados de implementar ciertas estrategias con el objetivo de lograr un resultado. -Sistemas Dinámicos: Sistema que nos permite conocer el comportamientos y evolución en el tiempo. -Señal: ente físico, a través del cual, un dispositivo interactúa con su entorno. -Estabilidad: Es una noción que describe un sistema capaz de seguir un comando de entrada. -Ecuaciones Diferenciales: ecuaciones que contienen las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes. -Sistema no Lineal: sistema físico que no puede ser representado mediante ecuaciones diferenciales de primer orden. -Constante de tiempo: valor de tiempo propio de un sistema, el cual representa la rapidez con la cual este puede responder ante cambios en su entrada. -Modelamiento matemático: tipo de modelos científicos que se emplea para algún tipo de fórmula matemática para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos. -Constante: valor de tiempo permanente que no puede modificarse. Lis tado de conceptos des conocidos .
-Retardo -Función de transferencia -Observabilidad -Error estado estacionario -Capacitancia Hipótesis: A través de las ecuaciones diferenciales entender el comportamiento del
sistema, al tener elementos como bobinas se puede co mportar como un sistema de primer orden y se pueden trabajar en el dominio del tiempo. Para encontrar el dominio en el tiempo creo que es mejor encontrar la solución a través de la
representación de los elementos en La-place y luego a través de la transformada inversa encontrar su ecuación diferencial en el dominio del tiempo. No linealidad de saturación: Para señales de entrada pequeñas, la salida de un
elemento de saturación es proporcional a la entrada. Para señales mayores de entrada, la salida no se incrementa proporcionalmente y finalmente para valores muy elevados de las señales de entrada, la salida se mantiene constante No linealidad de zona muerta: En un elemento de zona muerta o no-linealidad de
umbral, no hay salida para entradas que caen dentro de la amplitud de zona muerta Linealidad de ley cuadrática : Cuando un objeto se somete a un aumento
proporcional en tamaño, su nuevo volumen es proporcional al cubo del multiplicador y su nueva superficie es proporcional al cuadrado del multiplicador. Controlabilidad: Se dice que un sistema es controlable en el tiempo t0 si se puede
transferir desde cualquier estado inicial
(0)
a cualquier otro estado, mediante un
vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito. Se dice que un sistema es observable en el tiempo t0 si, con el sistema en el estado
(0),
es
posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito. Kalman introdujo los conceptos de controlabilidad y observabilidad, que juegan un papel importante en el diseño de los sistemas de control en el espacio de estados. Observabilidad: Se dice que el sistema es completamente observable si el estado
(0)
se determina a partir de la observación de y(t) durante un intervalo de tiempo
finito, t0mt m t1. Por tanto, el sistema es completamente observable si todas las transiciones del estado afectan eventualmente a todos los elementos del vector de salida. El concepto de observabilidad es útil al resolver el problema de reconstruir variables de estado no medibles a partir de variables que sí lo son en el tiempo mínimo posible. En esta sección, se tratan sólo sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Por tanto, sin pérdida de generalidad, se supone que t0%0. El concepto de observabilidad es muy importante porque, en la práctica, la dificultad que se encuentra con el control mediante realimentación del estado.
Propuesta metodológica y obtención de información
En esta fase el estudiante procederá a localizar, organizar, analizar e interpretar la información de diversas fuentes, con el fin de entender los conceptos desconocidos de la fase anterior. Luego, deberá sugerir cuál sería la metodología que se debe emplear para dar solución a las tareas de la etapa. Metodología que se debe emplear
Basándonos en el uso de la MATEMATICA para lograr los resultados procedemos: • Comparamos los modelos resultantes para la simulación de circuitos del tipo LC
Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales. Dicho modelo matemático proviene de las leyes de Kirchhoff: 1. la suma de las corrientes hacia (o desde) cualquier punto es cero. Ley de nodos 2. alrededor de cualquier trayectoria cerrada la suma de las caídas de voltaje instantáneas en una dirección específica, es cero. Ley de mallas en este caso, como queremos encontrar un valor (la corriente i(t) ), en un circuito cerrado o malla utilizaremos para modelar el circuito la ley de mallas. Para esto recordamos como representamos matemáticamente, en circuitos eléctricos, a los inductores y las resistencias, así como las definiciones de caídas de voltaje para cada elemento. Se deben realizar 5 tareas teóricas y 1 tarea práctica.
1. E xpres e el modelo matemátic o del s is tema no lineal mediante una ecuación diferencial.
El modelado matemático del motor de corriente continua requiere de dos ecuaciones, una ecuación mecánica y otra ecuación eléctrica. Estas ecuaciones están acopladas y se basan en las Leyes de la dinámica y de Kirchhoff, respectivamente. Por una parte, la ecuación mecánica modela principalmente el movimiento del rotor, y por otra parte la ecuación eléctrica modela lo que ocurre en el circuito eléctrico del inducido. Al aplicar una tensión Vi al inducido, circula por él una corriente Ii, y debido a esta corriente, por el rotor, se inducirá una fuerza co ntra electromotriz (ley de Lenz “toda
corriente se opone a la causa que la produce”) cuyo valor vendrá determinado por la expresión: Siendo
= × () = () + () () = () + ()
la constante de fuerza contra-electromotriz. Aplicando la ley de Ohm, la
tensión útil será:
Reemplazando
2. Exprese el modelo matemático del sistema no lineal en el espacio de estados mediante variables de estados.
Para este análisis partimos de la ecuación no lineal hallada
() + () + () = () + () + () = == (()) ̇ = () = + () [̇̇ ] = 0 0 + 0() = 10
Reduciendo un poco la ecuación
Definiendo la matriz de estado
Iniciando la matriz
3. Cuando la entrada del sistema es constante ( ) = =5 estabiliza en una velocidad de rotación
( )= =10
/
. Exprese el modelo
matemático linealizado mediante una ecuación diferencial.
Reemplazando los valores
∗∗ () + () + () = () + () + () = () + 2 () + 20 = 2() () + 2 () + 20 = 2()
Constante de fricción viscosa del motor =1
Resistencia eléctrica =1 Inductancia =0.5
, el sistema se
4. Exprese el modelo matemático linealizado en el espacio de estados mediante variables de estados.
() = () ̇̇ = = 2 10 = ̇ 2= 10 5. Determine la controlabilidad y la observabilidad del sistema lineal.
Controlabilidad
Analizando
Donde
= + ̇ = ̇ =2 10 ==102
La controlabilidad
== 10 0 = … 1 1 =1
Con la ayuda de Matlab podemos analizar que el rango de la matriz es 1 y el orden (n) es 1, lo que nos indina que el sistema es controlable. Observabilidad
== ++ = − = = 1
Prácticas:
Utilice MATLAB® para simular el sistema no lineal y grafique la salida del sistema
cuando se aplica una entrada constante ( ) = =5 , durante los primeros 2 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario, esto es, el voltaje de alimentación del circuito cambia de 5 a 6 durante 3 segundos más. De manera que la simulación dura 5 segundos.
CONCLUSIONES
El análisis de sistemas es muy importante ya que se aprende a conocer matemáticamente el funcionamiento de un sistema y realizar futuros controles y mejoramientos sobre dichos comportamientos
Matlab es una herramienta que nos permite realizar simulaciones de estos sistemas y encontrar en modo grafico como se ve el comportamiento en frecuencia y en el tiempo.
El manejo las técnicas ingenieriles para comprender y determinar la relación existente entre una variable de entrada, como en este caso el voltaje aplicado por la fuente eléctrica, sobre una variable de salida, es un aspecto vital que facilita mucho la solución de un problema y nos garantiza obtener un resultado altamente confiable.
BIBLIOGRAFIA
Sendoya Lozada diego Fernando, (2007) Sistemas dinámicos .
Universidad
Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Neiva 2007 Katsuhiko Ogata, Ingeniería de control moderna .
Tercera edición PEARSON
Madrid. MÓDULO SISTEMAS DINÁMICOS Diego Fernando Sendoya Losada Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD. http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_bloques_de_modelo_matem%C3%A1tic o