Defenisi 2 (fungsi Euler Phi-Function digunakan dalam teorema Euler. Meskipun namanya menggunakan kata phi namun fungsi ini sama sekali tidak menggunakan nila
. Penggunaan phi semata-mata
untuk “fungsi” Euler phi function
adalah fungsi yang menghitung banyaknya bilangan bulat
koprima dengan contoh
Karena dari sepuluh bilangan kurang dari atau sama dengan 10: 1,2,3,4,5,6, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 7,8,9,10 terdapat 4 bilangan yang koprima dengan 10 yaitu 1,3,7,9
Berikut adalah teorema-teorema yang perlu diperhatikan dalam Euler Phi-Function: Teorema Pertama
Untuk n bilangan prima, selalu berlaku Contoh: ******
Teorema Kedua Untuk
bilangan prima dan
bilangan bulat positif, selalu berlaku
atau ekuivalen dengan contoh
*******
Teorema Ketiga
Phi function adalah fungsi multiplikatif. Untuk m dan n saling relatif prima (koprima), maka
contoh
******
yang
Kalau repot dengan seluruh rumus diatas, pakai saja konsep di bawah merupakan faktorisasi prima dari bilangan bulat n, maka
contoh
*******
Ingat bahwa
selalu bernilai genap untuk
Fungsi phi-euler Kita tahu teorema kecil fermat menyatakan Untuk sebarang bilangan bulat dan bilangan prima
yang coprime ke
berlaku
Nah..sekarang bagaimana jika modulusnya tidak prima, composite, apakah teorema kecil fermat masih berlaku? Tidak, sebgai contohnya jika kita ambil dan , apakah Tidak karena 15 tidak membagi . Akan tetapi ada cara memodifikasi teorema kecil fermat sehingga tetap berlaku meskupun modulusnya tidak prima. Teorema fermat yang udah dimodifikasi inilah yang disebut teorema euler. Nah..sebelum membahas teorema euler akan saya bahas mengenai fungsi euler-phi Definisi: Fungsi phi-euler, adalah fungsi pada bilangan asli yang didefinisikan sebgai berikut adalah banyaknya bilangan pada yang coprime ke karena ada 4 bilangann asli yang kurang dari 8 yang coprime ke 8 ke-4 bilangan
Contoh:
tersebut adalah 1,3,5,7. Teorema
kerna semua bilangan pada
1.
Jika
prima maka
2.
Jika
prima dan
coprime ke 11.
maka
Bukti 1. Jika artinya
prima
maka
semu
2. Ada elemen pada himpunan ke jika hanya jika dapat dibagi oleh Ada sebanyak
bilangan
pada
coprime
ke
,
itu
. Elemen pada himpunan tersebut tidak coprime . Elemen pada himpunan yang dapat dibagi oleh adalah
elemen yang tidak coprime ke
sebanyak Definisi: Sistem residu tereduksi mod bilangan
maka banyaknya elemen yang coprime ke
(reduced residue system mod ) adalah himpunan bilangan-
Yang memenuhi 1.
Jika
maka
2.
Untuk setiap
coprime ke
Dengan demikian Sistem residu tereduksi mod ke dan
Contoh: Lemma: Diberikan
merepresentasikan bilangan-bilangan yang coprime
keduanya merupakan sistem residu tereduksi mod dan
adalah Sistem residu tereduksi mod
1. Untuk semua bilangan bulat merupakan sistem residu tereduksi mod . 2. Jika coprime tereduksi mod . Akibat: Diberikan
ke
coprime ke dan sebarang bilangan sistem residu tereduksi mod . Contoh:
maka
maka
dan
merupakan
bulat
maka
, sistem residu tereduksi mod
kita kalikan sistem yang awal dengan 25 diperoleh terakhir Selanjutnya kita bahas teorema euler Teorema Euler: Setiap bilangan bulat
sistem
adalah Sistem residu tereduksi mod
merupakan sistem residu tereduksi mod
bilangan diperoleh
, berlaku:
residu , jika
merupakan . tmabahkan
pada setiap
lainnya, Kita tahu 6 coprime ke 25, jika istem residu tereduksi mod
lainnya,
juga merupakan sistem residu tereduksi mod dan
bilangan bulat positif yang coprime ke
maka
Perhatikan jika prima maka , teorema euler berubah menjadi teorema kecil fermat. Dengan demikian kita bisa menganggap teorema euler sebagai generalisasi teorema kecil fermat.
Bukti: Ambil
dan
termuat di
adalah Sistem residu tereduksi mod
, diasumsikan
.
Karena dan coprime maka juga merupakans sistem residu tereduksi mod Kedua sistem tersebut haruslah mempunyai hasil perkalian modulus yang sama
Karean setiap
coprime ke
, jika dikalikan kedua sisi dengan atau dengan kata lain
diperoleh
,
MENGENAL EULER PHI-FUNCTION Euler Phi-Function sering disebut juga sebagai Euler totient function. Dalam bahasa Indonesia, kita dapat menyebutnya dengan fungsi phi atau fungsi totient. Meskipun fungsi ini memiliki nama phi, namun fungsi ini dalam perhitungannya sama sekali tidak menggunakan phi ( ) yang bernilai 1,61803399.. Sebaliknya, fungsi ini hanya memperhitungkan bilangan integer. Alasan mengapa dinamakan fungsi phi adalah karena fungsi ini menggunakan lambang phi ( ).
Phi function
Note,
dan
Definisi phi function adalah fungsi yang mengitung banyaknya integer yang memenuhi syarat: dan koprima.
dikatakan koprima jika
untuk
.
Bilangan integer positif yang lebih kecil atau sama DAN relatif prima dengan suatu bilangan lain yang diberikan disebut bilangan totatif. Oleh karenanya, fungsi ini disebut juga sebagai fungsi totient. =======================================================================
Untuk lebih jelasnya mengenai fungsi phi ini, maka sebaiknya kita gunakan contoh. Contoh 1: Sesuai definisi, maka karena gcd(1,1) = 1. Contoh 2: Dari enam bilangan: 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, terdapat 2 bilangan yang koprima dengan 6 yaitu 1 dan 5. Contoh 3: Dari sembilan bilangan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9, terdapat 3 bilangan yang memiliki faktor dengan 9, yaitu 3, 6, dan 9 Jadi, terdapat 6 bilangan yang koprima dengan 9. Contoh 4: Dari dua belas bilangan: 1, 2, 3, ... , 11, 12, terdapat 8 bilangan yang memiliki faktor dengan 12, yaitu 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, dan 12. Jadi, terdapat 4 bilangan yang koprima dengan 12. Dapat dikatakan juga: Banyaknya bilangan totatif dari 12 adalah 4. Untuk bilangan-bilangan awal, kita dapat membuat tabelnya sbb:
Sekarang, kita akan membahas property unik dari
.
Teorema 1 Untuk
Contoh 5:
bilangan prima
Dari bilangan 1, 2, 3, ... , 13 terdapat 1 bilangan yang memiliki faktor dengan 13, yaitu 13. Jadi, terdapat 12 bilangan yang koprima dengan 13. Contoh 6: Ingat bahwa 97 adalah bilangan prima.
Teorema 2 Untuk
bilangan prima dan
positif integer
atau dapat ditulis:
Contoh 7: Dari bilangan 1, 2, 3, 4, ... , 121, terdapat 11 bilangan yang memiliki faktor dengan 121, yaitu 11, 22, 33, 44, ... , 121. Jadi, terdapat (121 - 11) = 110 bilangan yang koprima dengan 121. Contoh 8: Dari bilangan 1, 2, 3, 4, ... , 125, terdapat 25 bilangan yang memiliki faktor dengan 125, yaitu 5, 10, 15, 20, ... , 125. Jadi, terdapat (125 - 25) = 100 bilangan yang koprima dengan 125.
Teorema 3 Phi Untuk
function dan
adalah
fungsi
multiplikatif.
saling relatif prima (koprima), maka
ILUSTRASI Anggap dan , maka suatu bagan seperti di bawah:
Bilangan yang Dari bagan
diberi di
warna atas,
BUKTI: . Kita akan mencacah bilangan 1, 2, 3, ... , 36 dalam
biru kita
adalah bilangan yang tahu bahwa
BUKTI: dapat digambarkan dalam bentuk seperti di bawah:
koprima
dengan
36.
(Lihat Dari barisan 1, 2, 3, ... Kita tulis kembali baris ke- , yaitu: Karena dengan
,
memiliki faktor dengan . Otomatis, semua
kolom ... , ,
,
misalkan
memiliki
pertama) dengan .
faktor
, maka semua elemen barisan di atas juga memiliki faktor elemen tersebut juga memiliki faktor dengan .
Karena kita ingin memperhitungkan bilangan yang koprima dengan barisan yang koprima dengan .
, maka kita tinjau
--- Anggap dan koprima. Kita tulis kembali baris sbb: Karena dan koprima, maka semua elemen di baris tersebut merupakan sistem komplit residu modulo . (Lihat teorema di kotak biru di bawah ). Oleh karenanya, di baris tersebut pasti terdapat bilangan yang koprima dengan . Sistem komplit residu modulo adalah kumpulan integer elemennya akan menghasilkan kelas sisa yang berbeda-beda Contoh: 1,
2,
3,
-1, 3, 7, Perhatikan bahwa: -1 4 mod 5 , __ 3 Apakah Jawab:
(-10,
4,
5
10,
16
3 mod 5 , __ 7
7, 18, bukan,
22,
merupakan
sistem
merupakan 2 mod 5 , __ 10
30, 32, karena
jika
komplit
sistem
komplit
0 mod 5 , __ 16
1 mod 5
46, 65) merupakan sistem jumlah elemennya
yang tiap dibagi oleh .
residu
5.
residu
5.
komplit residu hanya
9? 8.
Apakah (-10, 7, 18, 22, 30, 32, 46, 65, 73) merupakan sistem komplit residu 9? Jawab: bukan, karena dan . (kelas sisanya sama)
Teorema Jika dan dan
adalah jika adalah adalah integer, maka:
sistem positif
komplit integer
residu dimana
modulo ,
juga merupakan sistem komplit residu modulo BUKTI: Asumsikan bahwa ada dua elemen yang kongruen, maka:
(Lihat SINI ) Karena Namun, karena kita tahu bahwa mungkin ada kelas
, maka:
sisa
adalah sistem komplit modulo, maka tidak yang sama antar dan .
Kontradiksi dengan asumsi awal, maka tidak ada dua elemen yang kongruen modulo .■ demikian, merupakan sistem komplit modulo
. Dengan
Karena terdapat baris yang koprima terhadap DAN di setiap baris tersebut terdapat elemen yang koprima dengan , maka dapat disimpulkan bahwa: TERBUKTI ■
Contoh 9:
Contoh 10:
Rumus Cepat merupakan faktorisasi prima untuk positif integer maka
BUKTI:
TERBUKTI ■
Contoh 11:
Contoh 12:
Teorema 4 selalu bernilai genap untuk BUKTI: Anggap Dari
. (faktorisasi prima), maka teorema
Perhatikan bahwa Terdapat satu saja
2,
kita
tahu
selalu genap untuk setiap
bahwa , kecuali untuk
yang bernilai genap mengakibatkan TERBUKTI ■
. DAN
juga bernilai genap.
.
