Ex Amenes Re Sueltos

10

ń Evaluacion o

C.3. C.3. C.3.1. 1.

Ex´ amenes amenes resueltos Exam Examen en fina finall de jun junio io de de 2001 2001

´ CUESTION 1 El diagrama de radiaci´ on de una antena es uniforme en el sector angular 0 anto valdr´ a la directividad de la antena? θ π/ 2, 0 φ π/ 4 y fuera cero. ¿Cu´

≤

≤

≤ ≤

La intensidad de radiación on ser´ ser´ıa constante cons tante en 0 θ π/ 2, 0 φ π/4 e igual a la potencia total radiada entre el ángulo sólido olido correspondiente, que es 4 π/ 16 debido al reparto uniforme de potencia en ese sector. Es el mismo razonamiento que utilizamos para calcular K 0 . De modo que la direct dir ectivi ividad dad ser´ıa: ıa:

≤ ≤

≤ ≤

D (θ, φ) =

K = K 0

P

4π 16

P 4π

= 16

0

≤ θ ≤ π/2,

0

≤ φ ≤ π/4

También en se po podr dr´´ıa utiliz uti lizar ar un método eto do más general. Es posible relacionar las intensidades de radiación on a trav´ través es de: de: 1 K max K K max max max K 0 = K dΩ = dΩ = t(θ, φ)dΩ π 4π 4π 4π 4π K max 4 max 4π







Lo que nos permite encontrar la siguiente expresión para la ganancia: G =

K max max = K 0

4π Ω = = Ωe 4π t(θ, φ)dΩ



4π π

π

  4

0

0 sen(θ )dθdφ 2

=

4π π 4

= 16

(C.3.1)

Con este método etodo se po podr dr´´ıa encontrar la ganancia en diagramas de radiación algo más as complejos que el uniforme.

´ CUESTION 2 Se desea establecer un enlace a 100 a 100 MHz con polarizaci´ on horizontal entre dos puntos separados 1 km. km. Suponiendo aproximaci´ on de tierra plana y conductora perfecta, perfecta, ¿a qué altura colocar colocar´´ıa las antenas -las dos a la misma- sobre el suelo para obtener una interferencia constructiva entre la onda directa y la reflejada? En estas condiciones no tendremos onda de superficie aunque la frecuencia est´ e por debajo de los 150 MHz ya que con polarización horizontal este efecto es pequeño no y además as las antenas no estarán an situada si tuadass cerca ce rca del d el suelo s uelo en términos ermi nos de λ. Al usarse la aproximación on de tierra plana y conductora perfecta sabemos que el coeficiente de reflexión on horizontal será RH = 1 lo que significa que la onda incidente y reflejada estarán an en oposición on de fase. Para conseguir conseguir el primer máximo aximo

−

11

´ menes resueltos C.3 Examenes a resueltos

a la altura de las antenas, la diferencia de fase debida a la diferencia de caminos entre la onda directa y la reflejada debe ser de π o equivalentemente la diferencia de caminos será λ/2 de modo que se compense compens e el desfase producido por la reflexión on en el suelo con el desfase debido a la diferencia de caminos. 2

∆ = π

2h 3 → ∆l = λ2 ⇒ 1000 = ⇒ h = 2



1500 = 27, 38m 2

(C.3.2)

´ CUESTION 3 La superfi superficie cie equivale quivalente nte de una antena antena es 1 m2 independie independientemen ntemente te de la fre frecuencia. Al incrementar incrementar la frecuenc frecuencia ia de 12 de 12 GHz a 36 antos dB 36 GHz ¿en cu´ aumentar´ a la ganancia? Este fenómeno omeno aparece por ejemplo en las antenas parabólicas, en las que la superficie equivalente equivalente es proporcional proporci onal a la superficie sup erficie f´ısica, presentando la ganancia cierta independencia de la frecuencia. λ2 S eq eq = 4π

G

λ 1 f 2 ⇒ ∆G = 20 log log = 20 log log = 20 20 log 3 = 9, 5dB λ2 f 1

(C.3.3)

PROBLEMA 1 Un radioenlace a la frecuencia de 10 10 GHzconsta GHzconsta de un emisor y de un receptor situados a una altura de 500 m y separados separados 60 km. km. En el punto medio de la trayectoria se encuentra una monta˜ na de 445 445 m de altura. Entre el transmisor y rec receptor y sus antenas respectivas espectivas hay una gu´ gu´ıa de onda de 30 m de longitud. Considerando los efectos de difracci´ on y refracci´ on atmosf´ atm osférica, erica, calcular: calcul ar: Potencia de se˜ nal a la entrada del receptor. Relaci´ on S/N a la salida del receptor. Datos: Antena transmisora G = 40 dB. dB. Antena receptora G = 40 dB. dB. Potencia transmisor P transmisor transmisor = 1 W. Perdi Pe rdida dass gu´ıas ıa s Lguia = 0, 2 dB/m. Temperatura de ruido de la antena T a = 150 K. K. Temperatura ambiente T amb K. amb = 300 K. Ancho de banda B = 40 MHz. MHz. Figura de ruido del receptor F = 6 dB. dB. Radio medio de la Tierra R0 = 6370 km (ke = 4/3). bE = k = 1, 38 10−23 J/K. Constante de Boltzman

→ → → → → → → → → → → → → → → → → → → ·

x(d x) 2RT .

−

12

ń Evaluacion o

Para tener en cuenta los efectos de difracción y refracción on atmo a tmosf´ sférica, eri ca, debemo deb emoss calcular la diferencia efectiva de alturas entre la trayectoria del rayo directo y la montaña. na. Necesitamos calcular qu´ e tanto tanto por ciento ciento del radio de la primera zona de Fresnel está cubierto por la montaña. na. La refracción on atmosférica erica provoca la curvatura de los rayos y además tenemos que tener en cuenta la curvatura de la Tierra. Es posible englobar las dos curvaturas en un radio equivalente R = K R0 y considerar la trayectoria del rayo recta. En el punto donde está situada la montaña, na, la altura de esta protuberancia equivalente será: 30 · 103 · 30 · 103  bE = 4 3 2

· 3 · 6370 · 10 ≈ 53 m

(C.3.4)

 = 445 + 53 = 498 m y Luego la altura efectiva de la montaña na será de hobs + bE como las dos antenas están an a 500 m de altura la montaña na estará a h = 500

− (445 + 53) = 2 m

(C.3.5)

por debajo de la trayectoria recta del rayo. Observamos que es un valor positivo de modo que cuanto mayor sea h, tal y como podemos apreciar en la gráfica, gráfica, cada vez nos acercaremos más as a la condición on de espacio libre, al incrementarse la visibilidad. Con este valor de h = 2 m podemos encontrar el nivel de obstrucción de la primera zona de Fresnel h = R1

2



0, 03 30

· 1060 ··1030 · 10 3

3

3

=

2 √ 450 ≈ 0,1

(C.3.6)

Con este valor podemos acudir a la gráfica y leer lee r el valor de las pérdidas erdid as en e n exceso ex ceso,, que es de 5 dB . Tan sólo olo falta conocer el valor de la atenuación en espacio libre. AEL AE L = 32, 45 + 20 log f (MHz) 20 log log d(km) = 148 dB (MHz) + 20

(C.3.7)

13


Ahora estamos listos para calcular el balance de potencias y conseguir el valor de la potencia de señal nal recibida a la entrada del receptor P S Lguia + G AEL AE L Lex + G Lguia = S = P transmisor transmisor = 0 dBW 6 dB + 40 dB 148 dB 5 dB + 40 dB 6dB =

−

−

− −

−

−

−

−

−85 dBW

Para calcular Para calcular la potencia potencia de ruido ruido necesita necesitamos mos la temperatur temperaturaa equiv equivalen alente. te. Vamos a calcularla a la entrada del receptor: T a T amb amb (lg + lg lg = 1132 K

T e =

− 1) + T 0(F − − 1) ≈ 150 + 300(4 − 1) + 290(4 − 1) = 4

4

As´ As´ı que la potencia de ruido a la entrada entrada del receptor será:

−23 1132 4 104 pN = kT k T eq eq B = 1, 38 10

· · · · W ⇒ PN = −122 dBW S/N = −85 dBW − (−122 dBW) = 37 dB Luego la relación on S/N PROBLEMA 2 En la antena de cuadro de la figura, cada lado mide λ/2. Act´ ua como transmisora y tiene la siguiente distribuci´ on de corrientes:

 I1  I2  I3  I4



− −

Nota :

l/2 l/2

l/2 −l/2

ˆ cos kx = x ˆ cos ky = y ˆ cos kx = x ˆ cos ky = y

cos

πz π z  l

jk z z 

e

2π cos k2 l  dz = π 2 z

l

2

l

2

− kz

ˆ = ˆr sen θ cos φ + ˆ x θ cos θ cos φ φˆ sen φ ˆ = ˆr sen θ sen φ + ˆ y θ cos θ sen φ + φˆ cos φ ˆ = φˆ cos θ θˆ sen θ z

−

−

Obtener el vector de radiaci´ on en co coordena ordenadas das esféricas. ericas . Obtener los campos radiados en el plano XY, indicando polarizaci´ on. Diagrama de radiaci´ on en el plano XZ Se puede ver el problema como la superposicición de dos agrupaciones de dipolos, una pareja en el eje X y otra en el Y. En cartesianas la expresión del vector

14

ń Evaluacio

de radiación de un dipolo con l = λ/ 2 centrado en el origen y alineado con el eje X se consigue utilizando la transformada que acompaña el enunciado:  ele = x ˆ N

2k k2

−

kz λ cos kz2 4

La expresión para la agrupación de los dos dipolos paralelos al eje X valdrá  arr1 = x ˆ N

2k k2

−

kx λ jk y λ e cos 4 kx2



4

− e− jk

y

λ 4

 

ˆ =x

kx λ ky λ 4 jk cos sen 4 4 k 2 kx2

−

De un modo análogo para los dipolos alineados con el eje Y  arr2 = y ˆ N

2k k2

cos 2

− ky

ky λ 4

−

λ

λ

4

4

e jkx + e− jk x

=

ky λ kxλ −yˆ k24 jk cos sen − k2 4 4 y

El vector de radiación total será la suma de los dos anteriores. Pasando el resultado a esféricas tenemos: kx λ ky λ ky λ kx λ 4 jk 4 jk cos sen cos θ cos φ cos sen cos θ sen φ N θ = 2 k kx2 k 2 ky2 4 4 4 4 kx λ ky λ ky λ kx λ 4 jk 4 jk N φ = φ cos sen sen cos sen cos φ k 2 kx2 k 2 ky2 4 4 4 4

−

− −

− −

− −

La expresión del campo en el plano XY, se consigue particularizando para θ = π/2. Vemos que desaparece la componente en θ porque depende del cos θ. Es una polarización lineal. E φ =

− 120 r



cos(0, 5π cos φ) sen(0, 5π sen φ) cos(0, 5π sen φ) sen(0, 5π cos φ) + sen φ cos φ



En el plano XZ tenemos φ = 0 por lo que ky = 0. Observando el vector de radiación del primer apartado vemos que en él el diagrama de radiación valdrá t(θ, 0) = sen2(0,5π sen θ ). Tendrá forma de ocho y el m´ınimo estar´ a en la dirección del eje Z. Esta antena fue una de las primeras antenas directivas, sus propiedades la hacen muy interesante en radiogoniometr´ıa.

15

´ menes resueltos C.3 Exa

C.3.2.

Parciales 2002

´ CUESTION 1 Considere una antena formada por dos dipolos idénticos ortogonales, alineados con los ejes X e Y, que comparten los terminales de conexi´ on. ¿Cu´ anto valen las pérdidas de desacoplo de polarizaci´ on cuando sobre esa antena incide una onda circularmente polarizada proveniente de la direcci´ on Z? En general como la onda circular se puede descomponer como la superposición de dos polarizaciones ortogonales lineales, una paralela al vector de polarizaci´ on de la cruz de dipolos (que tiene polarización lineal) y otra ortogonal a la misma, se acoplará siempre la mitad de la potencia total máxima disponible en la onda circularmente polarizada. Es decir tendremos pérdidas de 3 dB. Se puede llegar a la misma conclusión calculando el coeficiente de desacoplo de polarización:

−

ˆr 2 = C p = eˆt e

| · |

´ CUESTION 2

 √ ±  √ ± ˆ x

ˆ y

ˆ x

2

ˆ j y 2



2

=

 ±  1

j

2

2

= 0,5 =

−3 dB

Un dipolo resonante tiene una resistencia de radiaci´ on de 70 Ω y una eficiencia de radiaci´ on de 0,95. ¿Cu´ anto vale su impedancia de entrada? La eficiencia de radiación se define como ηl = los datos del problema resulta que: 0, 95 =

P radiada P entregada

=

Rrad Rrad +RΩ , entonces

con

70 = 70 + RΩ

⇒ Z e = 70 + RΩ = 070 ≈ 73, 5 Ω , 95

al ser resonante su impedancia de entrada tiene parte imaginaria nula.

´ CUESTION 3 Una antena linealmente polarizada radia en una direcci´ on una intensidad de radiaci´ on de 20 W/sr ¿Cu´ anto vale en V/m el valor eficaz del campo eléctrico a 1 km de distancia?

E |2 2 | 1 K = 20 = r =⇒ |E | = η0

r

√

1 20 η0 = 20120 π 1000



≈ 86, 8 mV/m

16

ń Evaluacio

´ CUESTION 4  = (ˆ Una antena radia en la direcci´ on del eje Z un campo E x + 3ˆ y)e− jkz z . Diga c´ omo situar´ıa un dipolo receptor para recibir la m´ axima potencia. ( φ es el ´ angulo que formar´ıa con el eje x)

Tenemos polarización lineal en la onda recibida: para conseguir la máxima potencia el dipolo receptor debe situarse paralelo a la dirección en la que oscila el campo eléctrico creado por la dipolo transmisor, es decir contenido en un plano paralelo al XY y rotado un ángulo φ = arctan(3 /1) = 71, 6◦

´ CUESTION 5 Un dipolo se sit´ ua paralelo al suelo. Para favorecer su radiaci´ on en el plano H en la direcci´ on 45◦ con respecto al suelo, la altura m´ınima sobre el suelo debe ser... El plano H será el plano que contenga la dirección de máxima radiació n y la dirección del campo magnético radiado en la dirección de máxima radiación. En este caso es el plano que corta al dipolo por su punto medio y es perpendicular a la dirección en la que está alineado dicho dipolo. Suponiendo el suelo conductor perfecto, podemos substituir su efecto por un dipolo imagen paralelo al que ya ten´ıamos. La imagen se coloca simétricamente respecto al suelo y con corrientes desfasadas 180 ◦ respecto al dipolo inicial. El campo total será:  = E  el e jk z h e− jkz h = 2 j E  el sen(kz h) E





−

Como los elementos son omnidireccionales en el plano H, toda la directividad recae en el F A, Para favorecer el campo en la dirección θ = 45◦ necesitamos que sen(kz h) = 1, es decir que 2 π/λcos(45◦ ) hm´ın = π/2 = hm´ın 0,35λ

⇒

≈

PROBLEMA 1 Una agrupaci´ on receptora est´ a formada por 3 elementos puestos en forma de L sobre el plano (x,y). Los coeficientes de alimentaci´ on son los siguientes: a00 = 2 para el elemento en (0,0) y a01 = a10 = 1 para los otros dos elementos, situados en (0,d) y (d,0). Si el espaciado es d = λ/ 2 obtener: Fases progresivas para tener un m´ aximo de recepci´ on en θ, φ = 45◦ , 180◦ El factor de la agrupación tal como se describe ser´ıa:



jΨx

F A(Ψx , Ψy ) = 2 + e

|

jΨy

+ e



El máximo se alcanza cuando Ψ x = Ψy = 0 es decir: 2π λ Ψx = kx dx + αx = sen(45◦) cos(180◦ ) + αx = 0 = λ 2 2π λ Ψy = ky dy + αy = sen(45◦ ) sen(180◦) + αy = 0 = λ 2

√ ⇒ αx = π/ 2 rad ⇒ αy = 0 rad

17


La relaci´ on se˜ nal-interferencia cuando en el caso anterior aparece una inter ferencia en la direcci´ on θ = 30◦ y φ = 180◦ de igual amplitud que la se˜ nal deseada Como ambas señales tienen la misma amplitud, la relación se˜ nal-interferencia viene dada por la diferente respuesta del factor de agrupación para ambas señales. Suponemos que la señal deseada llega en la dirección del máximo de recepción.



F A(θ = 45◦ , φ = 180◦ ) S/I = 20log F A(θ = 30◦ , φ = 180◦ )

≈   4 3, 844

20 log

= 0, 346dB

F A(45◦, 180◦ ) = 4

√ j(π sen(30◦ ) cos(180◦ )+π/ 2) ◦ ◦ F A(30 , 180 ) = 2 + e + e j( √ j(−π/2+π/ 2 ) = |3 + e |= =

 

(3 + cos( π/ 2 + π/

−

√

2))2

2π

λ

sen(45◦ ) sen(180◦ ))

√



=

+ sen( π/ 2 + π/ 2)2

−

Las fases progresivas que colocar´ıan un nulo en la direcci´ on de la interferencia Se debe anular el factor de la agrupación para dicha dirección:





F A(Ψx , Ψy ) = 2 + e jΨx + e jΨy = 0

|

Luego Ψx = Ψy = π con lo cual tenemos dos ecuaciones para despejar las fases progresivas Ψx = π sen(30◦) cos(180◦) + αx = π = αx = 3π/ 2 rad Ψy = π sen(30◦) sen(180◦) + αy = π = αy = π rad

⇒ ⇒

Al cambiar las fases progresivas que encontramos en el primer apartado, ahora el máximo ya no estará en la misma dirección de antes.

PROBLEMA 2 Dise˜ nar una agrupaci´ on uniforme de cuatro elementos con un nulo en la direcci´ on opuesta al m´ aximo. Determinar los tres posibles dise˜ nos con un solo m´ aximo principal, que cumplan las condiciones impuestas anteriormente. Dibujar los diagramas de radiaci´ on en el espacio real. Como podemos apreciar en la figura, al tener una agrupación uniforme de cuatro elementos habrá tres nulos equiespaciados en el intervalo Ψ [0, 2π ] y como en todos los casos, máximos periódicos cada 2π . Al tener que trabajar con direcciones reales opuestas, nos fijan los valores de los extremos del margen visible, e indirectamente el desfase progresivo. Cada diseño obtenido admitir´ıa rotaciones y translaciones, pero estas transformaciones no se consideran diseños distintos al original del que provienen.

∈

18

ń Evaluacio

|FA(ª )|=

-2¼

-¼

-2¼

-¼

sen(4ª /2) sen(ª /2)

0

¼

2¼

ª

¼

2¼

ª

¼

2¼

ª

¼

2¼

ª

-®=kd=¼/4

-¼

-2¼

-®=kd=¼/2

-¼

-2¼

-®=kd=3¼/4

De los tres dise˜ nos anteriores, seleccionar el de mayor directividad y calcular para él la posici´ on de los ceros y la relaci´ on l´ obulo principal a secundario. El dise˜ no de mayor directividad es el tercero, en el que el haz principal se concentra más en la dirección del eje. La posición de los ceros se obtiene directamente del diagrama:

Ψc1 = Ψc2 = Ψc3 =

−π/2 = kd cos(θc1) + α = 34π cos(θc1) − 34π =⇒ θc1 ≈ 70, 5◦ −π π + 3π − 4 −π =⇒ θc2 = arc cos( 3π/4 ) = arc cos( 3π/4 4 ) ≈ 109, 5◦ −

3π = 2

⇒ θc3 = arc cos(

−3π + 3π 2

3π/ 4

4

) = arc cos(

−3π 4

3π/ 4

) = 180◦

En cuanto al nivel de lóbulo principal a secundario:

|

|

≈ 20 log |FFAA((0) 3π 4 ) |

NLPS

= 20 log (4 sen(3π/ 8)) = 11, 35dB

19


PROBLEMA 3 Una agrupaci´ on consta de cuatro dipolos infinitesimales paralelos entre s´ı orientados seg´ un Z. Los centros de los dipolos est´ an sobre el eje Y, espaciados uniformemente con distancia d, es decir en coordenadas (x,y,z) =(0,nd,0) con on de la agrupaci´ on es 1:2:2:1, el espaciado d = λ/2 n = 0, 1, 2, 3 La alimentaci´ y la fase progresiva nula. Dibujar el diagrama de ceros, F A( Ψ) en cartesianas y en el espacio real.

|FA(ª )|=

2cos(ª /2)sen(3ª /2) sen(ª /2)

sen(3ª /2) sen(ª /2) |2cos(ª /2)| -2¼

-¼

-2¼

-¼

0

0

¼

2¼

ª

¼

2¼

ª

Esta secuencia de coeficientes de alimentación se puede ver como la convolución de dos secuencias uniformes de distinta longitud: [1 2 2 1] = [1 1 1] [11]

∗

En el dominio de la frecuencia espacial discreta se puede ver como el producto de las transformadas de dichas secuencias: sen(3Ψ/2) sen(2Ψ/2) sen(3Ψ/2) F A(Ψ) = = 2 cos(Ψ/2) sen(Ψ/2) sen(Ψ/2) sen(Ψ/2)









El gráfico anterior se construye dibujando el producto de los factores de agrupación.

20

ń Evaluacio

Los ceros de la agrupación se pueden encontrar buscando los ceros de las agrupaciones básicas. As´ı se obtiene el gráfico en el plano Z, que aparece a la derecha. Se puede deducir directamente del gráfico del F A(Ψ) en cartesianas.

ª ª

=

¼

= 2¼/3

Obtener la expresi´ on del campo radiado en cualquier direcci´ on del espacio.

− jkr kη e sen(3Ψy /2)  = E  elemento F A(Ψy ) = j ˆ E I l sen(θ ) cos(Ψy /2) θ 2π r sen(Ψy /2) Tomando como origen de coordenadas el centro de la agrupación y con: Ψy = k y d + αy = kd sen(θ) sen(φ) + 0 = π sen(θ ) sen(φ) Si mantenemos el origen inicial del sistema de coordenadas:

− jkr kη e  = j ˆ E I l sen(θ)(1 + 2e jΨy + 2e j2Ψy + e j3Ψy ) θ 4π r PROBLEMA 4 Nos han encargado realizar una medici´ on para comprobar si una emisora de FM (frecuencia 100 MHz) est´ a sobrepasando la P RA m´ axima que est´ a autorizada a radiar, que es concretamente P RA = 15 W. Se sabe que la antena emisora tiene su centro de radiaci´ on (o centro de fase) a una altura de 8 m sobre el suelo. Nuestro equipo de medici´ on consta de una antena receptora con una ganancia isotr´ opica de 1 dBi y un coaxial que conecta dicha antena al equipo de medida produciendo pérdidas por desadaptaci´ on de 6 dB y una atenuaci´ on de 0, 5 dB. La potencia recibida a 270 m de la antena emisora es 9 dBm. El centro de radiaci´ on de la antena receptora est´ a a 2 m sobre el suelo. Se usa polarizaci´ on horizontal y no hay desacoplo de polarizaci´ on.

−

Dar una cota m´ınima para el valor de la P RA que est´ a usando la antena de la emisora de FM. Para dar una cota m´ınima podemos usar el modelo de espacio libre, en el que se consideran las m´ınimas pérdidas posibles, las debidas únicamente a la propagación de una onda esférica. El modelo de espacio libre dar´ıa las m´ınimas pérdidas a no ser que se produzca una interferencia constructiva pero para que esto suceda, suponiendo que el suelo es el único obstáculo (no se menciona ninguno relevante), la distancia de enlace deber´ıa ser menor, de forma que la diferencia de caminos entre la onda directa y la reflejada fuera mayor de λ/6 = 50 cm (para que E/E 0 = 2 sen k∆l 2 > 1) y sin embargo encontramos que es de unos 12 cm. Además la onda de superficie es despreciable (polarización horizontal).

21


Las pérdidas por propagación en espacio libre serán: Lb = 32, 45 + 20 log(100) + 20 log(0 , 270) 0

El balance de potencias quedar´ıa como sigue:

≈ 61, 01 dB

PIRE = P r Gr + Lb + Lcable = 9 dBm 1 dBi + 61 , 01 dB + 6, 5 dB P RA = PIRE 2, 15 = 57, 51 dBm 2, 15 dB = 55 , 36 dBm = 344 W

−

−

0

−

−

−

Por lo tanto aplicando condiciones de espacio libre, la emisora está radiando por encima del nivel de potencia radiada aparente máxima autorizada. Suponiendo modelo de tierra plana y suelo conductor perfecto hacer una estimaci´ on para el valor de la P RA. En este caso añadimos las pérdidas en exceso debidas a la formación de la onda de espacio:



E 0 Lex = 20 log E

=

−

 

4πht hr 20log λd

=

−20 log

  4π 8 2 3 270

= 12, 1 dB

Dichas pérdidas se deben sumar a la PRA calculada en el apartado anterior, ya que son p´ erdidas en exceso, es decir las que exceden del valor que tenemos en espacio libre. P RA = 55, 36 dBm + 12, 1 dB = 67, 46 dBm

≈ 5, 57kW

Con este modelo, que es más realista que el anterior, obtenemos que la emisora sobrepasa por un amplio margen el valor autorizado.

PROBLEMA 5 El campo el´ ectrico producido por un transmisor a una distancia d m en un entorno microcelular puede expresarse en la forma E (µ V/m) = cte d−n Se han obtenido experimentalmente los siguientes valores de n:

·

n1 = 2, 1 para d d1 = 275 metros n2 = 4, 2 para d > d1

≤

La estaci´ on base radia una P IRE tal que el campo a 10 m es igual a 120 , 5 dB(µ on base. V/m). Calcule el campo a una distancia d = 340 m de la estaci´ Para resolver este problema es mejor trabajar con unidades logar´ıtmicas, que permiten tratar el modelo de forma lineal. El valor para el campo en el origen, ser´ıa la ordenada en el origen de la recta del primer tramo. E (10) = 120 ,5 = 20 log cte1

− 20 2,1 log(10) =⇒ 20log cte1 =

  

120,5 + 42

42

= 162, 5 dB(µ V/m)

22

ń Evaluacio

En la frontera entre los dos tramos el valor del campo será: E (275) = 162 , 5

− 42 log(275) ≈ 60, 05 dB(µ V/m)

Aplicando la condición de continuidad en la frontera de los dos tramos obtenemos el valor para la ordenada en el origen que corresponde a la recta del segundo tramo: E (275) = 60 ,05 = 20 log cte2

− 84 log(275) =⇒ 20log cte2 ≈ 265 dB(µ V/m)

Finalmente el campo a 340 m tendrá un valor: E (340) = 265

E(dBu)

− 84 log(340) ≈ 52, 35 dB(µ V/m)

265

La representación gráfica del proceso que hemos seguido para la resolución del problema se muestra en la figura de la derecha. Se pueden ver las dos rectas de las que hemos estado 162,5 hablando. En trazo grueso se presenta el tramo de recta que da el valor del campo en cada región y en trazo discontinuo 120,5 el resto. 60,05 52,35

20

20log(d)

PROBLEMA 6 Una emisora de radiodifusi´ on de FM, en 100 MHz, radia una P RA igual a 10 kW. La altura efectiva de su antena es 37, 5 m. Se supone un receptor con antena situada a la altura de referencia de 10 m y condiciones est´ andar ( 50 % ubicaciones, 50 % tiempo, ∆ h = 50 m). Se desea servir una zona circular de radio R = 20 km en ´ area rural. El campo m´ınimo utilizable es E umbral = 54 dB(µ V/m) Calcular la pérdida b´ asica de propagaci´ on a 20 km. Las pérdidas básicas por propagación son las que aparecer´ıan entre antenas isotrópicas ideales, es decir aquellas p´ erdidas que sólo tienen que ver con la propagación y no con las caracter´ısticas espec´ıficas de las antenas y sus sistemas de alimentación. Se pueden calcular como la suma de las p´ erdidas por atenuación en espacio libre y las pérdidas en exceso. En este caso las pérdidas por atenuación en espacio libre ser´ıan: Lb = 32, 45 + 20 log(100) + 20 log(20) 0

≈ 98, 5 dB

Las pérdidas en exceso se pueden leer directamente de las gráficas de la Rec-370. Se aprecia que hay una diferencia de 30 dB entre el valor del campo real y el de espacio libre, que se representa en la gráfica con trazos discontinuos.

23


Si no nos percatamos de que viene en la gráfica, es posible también sacar el valor del campo en espacio libre calculándolo directamente: E 02 PIRE = = η 4πd 2

⇒

1 E 0 = d



30 P RA 1, 64 = 0, 035 V /m

≈ 91 dB(µ V/m)

Para comparar este valor con el de la gráfica debemos quitarle 10 dB porque la gráfica está dada para un transmisor que utiliza una P RA = 1 kW en vez de P RA = 10 kW que hemos usado en el cálculo del campo. Podemos comprobar en la gráfica que efectivamente el valor para E 0 = 81 dB(µ V/m) a 20 km. Las pérdidas básicas por propagación serán: Lb = L b + Lex

≈ 98, 5 dB + 30 dB = 128, 5 dB

0

Indicar si es viable o no la cobertura deseada. Debemos comprobar si el campo a 20 km supera o no el umbral: E m = E c dB(µ V/m) + P RA dBkW = 50 + 10 = 60 dB( µ V/m)

Hemos tenido en cuenta que no hace falta hacer correcciones relativas a la ondulación del terreno, ni a la altura de la antena receptora. Como el campo umbral son 54 dB (µ V/m) s´ı que es viable la cobertura deseada. ¿Podr´ıa darse servicio a m´ as del 50 % de ubicaciones? Tenemos un margen de 60 54 = 6 dB(µ V/m) de modo que s´ı que se dar´ıa servicio a más del 50 % de ubicaciones.

−

24

ń Evaluacio

C.3.3.

Examen ordinario de junio de 2002

´ CUESTION 1 Un radioenlace a la frecuencia de 2, 2 GHz consta de un emisor situado a una altura h1 = 130 m y un receptor situado a una altura h2 = 80 m. La distancia del enlace son 40 km. Las pérdidas en exceso son causadas por un unico ´ obst´ aculo dominante de tipo arista afilada y son de 10 dB. Si cambiamos las alturas de las antenas de forma que el emisor esté a una altura h1 = 100 m y el receptor a h2 = 170 m las pérdidas siguen siendo de 10 dB. Considerando los efectos de difracci´ on y refracci´ on atmosférica ( K = 4/3) y radio medio de la Tierra R0 = 6370 km, calc´ ulese a qué distancia del emisor se encuentra dicho obst´ aculo y su altura.

m

h

m

7

0 m 3 1

0

0

h obs

0 1

1

hr

m 0 8

bE d1

d2 d=40 km

Primeramente dibujamos un esquema del enlace. Si la figura emplease el mismo factor de escala para ambos ejes ser´ıa 100 veces más alargada. En ella se representa la curvatura de tierra ficticia, que engloba la curvatura de la Tierra y la curvatura de los rayos debida a la refracción troposférica. De modo que podemos considerar que los rayos no se curvan. Dado que para los dos casos representados las pérdidas en exceso por difracción son las mismas, deducimos que el despejamiento h debe ser el mismo en los dos casos. Por tanto el obstáculo debe encontrarse en el punto donde se cruzan las trayectorias de los rayos. h1 +

h 2

− h1 d1 = h + h 2 − h1 d1 =⇒ d1 = 1

d

d

(h1 h1 )d = 10 km h2 h1 h2 + h1

− − −

El valor del despejamiento h debido a una pérdida en exceso de 10 dB se calcula leyendo en la gráfica que la obstrucción de la primera zona de Fresnel debe ser h/R1 = 1/3

−

h = R1

− 13 =⇒ h = − 13

 λ

d1d2 d1 + d2

≈ −10, 66 m

25


La curvatura y la altura de los rayos a la distancia d1 será: d1d2 h2 h1 hr = h 1 + d1 = 117, 5 m 17, 66 m d 2 K R0 Finalmente haciendo el balance de alturas, que aparece indicado en la figura, se obtiene la altura del obstáculo. bE =

−

≈

hobs = h r

− bE − h ≈ 117, 5 − 17, 66 + 10, 66 = 110, 5 m

´ CUESTION 2 En un cierto sistema radioel´ ectrico, se encuentra que el campo se distribuye perimetralmente con las ubicaciones seg´ un una ley gaussiana de media 35 dBu y desviaci´ on t´ıpica 8 dB. Si Z es una V.A. Gaussiana de media 0 y desviaci´ on t´ıpica 1 denotamos su densidad de probabilidad N (0, 1), y tenemos que P (z < 1, 76) = 0, 96, P (z < 1, 28) = 0, 1

−

Obtenga la densidad de probabilidad de la potencia recibida, en 900 MHz, sobre un dipolo λ/2. El campo expresado en decibelios tiene una distribución gaussiana. La potencia recibida se obtiene multiplicando el campo por una constante, es decir sumando una cantidad fija en decibelios. Por lo que su función de probabilidad es la misma gaussiana pero desplazada en esa cantidad fija, es decir será de la forma: N (P rmedia, 8) donde P rmedia = 10 log(

2 E medio

η

  35 20

Aef ) = 10 log

10 −6 120π

2



λ2 1 , 64 + 30 = 4π

−99, 15dBm

Porcentaje de ubicaciones que sobrepasan un umbral de 85 dBm. p(P r >

−

−85 dBm) = 1 − p[z < (−85 + 99, 15)/8] ≈ 1 − p(1, 76) ≈ 4 %

Margen necesario para una cobertura perimetral del 90 %. p(P r >

−85) = 90% = 1

 −

p z < −85−P8 rmedia



=

−85−P r

−1, 28 de donde despejamos P rmedia = −74, 76 dBm Luego el margen necesario es P rmedia − P rumbral = −74, 76 + 85 = 10 , 24dB ⇒

8

media

=

´ CUESTION 3 Un dipolo infinitesimal vertical, alineado con el eje z y centrado en el origen est´ a siendo utilizado como antena transmisora. Como antena receptora se utiliza una espira elemental plana situada en campo lejano en el semiespacio y > 0, con centro geométrico fijo en un punto del eje y . El plano que la contiene puede tener cualquier inclinaci´ on. ¿En qu´ e plano debe estar contenida la espira para optimizar la recepci´ on?. Representar también gr´ aficamente la respuesta.

26

ń Evaluacio

27


Para conseguir una recepción óptima hay que tener en cuenta la ganancia de las antenas y el desacoplo de polarización. La máxima ganancia se consigue siempre que el plano que contiene la espira contenga además al eje y. Si situamos la espira en el plano xz la ganancia ser´ıa nula. Para seleccionar ahora la inclinación necesaria estudiamos el desacoplo de polarización. En la figura se representa el campo eléctrico y magnético (con cabeza doble y de módulo algo menor, estrictamente la relación ser´ıa 120π ) que radiar´ıa cada antena como transmisora (para visualizar los vectores de polarización). Se ve que debido a la dualidad el eje de la espira debe ser ortogonal al del dipolo para conseguir la máxima potencia en recepción. También podemos razonar que en esta posición se maximiza la variación de flujo de campo magn´ etico que atraviesa la espira, por lo que la f.e.m inducida es máxima.

´ CUESTION 4 Una antena tiene una ganancia de 5 dBd (expresada utilizando un dipolo en opica). Expresar la ganancia λ/2 como referencia en vez de una antena isotr´ resultante cuando la referencia empleada es el dipolo infinitesimal. Podemos pasar primero a dBi y luego restar al resultado la ganancia en dBi del dipolo infinitesimal: K max K max K λ/2 K max = = K inf K λ/2 K max K inf

⇒ G = 5 dBd + 2, 15 − 10log1, 5 = 5, 39dBinf

PROBLEMA 1 Una antena radia una intensidad de 1, 3 W/sr en la direcci´ on de m´ axima radiaci´ on, con polarizaci´ on circular y a la frecuencia de 300 MHz. El diagrama de radiaci´ on de potencia normalizado es de la forma t(θ, φ) = sen(θ ) Calcular la m´ axima tensi´ on en circuito abierto que induce en un dipolo en nalando la disposici´ on y orientaci´ on del λ/2 situado a 1 km de aquella, se˜ dipolo. Para calcular la tensión en circuito abierto usamos por ejemplo el concepto de longitud efectiva, que se puede calcular para el dipolo en λ/2 como:



 



1 H 1 λ/4 2π λ lef = I (z )dz = I 0 cos z dz = I 0 −H I 0 −λ/4 λ π

≈ π1 m

También se podr´ıa calcular la longitud efectiva a partir del area efectiva conociendo la ganancia (1,64 u.n.) y la resistencia de radiación (73 Ω): 2

Aef =

2

2 lef η0

λ V η Dr = 0,131 m2; Aef = = = 4π 4Rrad E 2 4Rrad

⇒ lef =



Aef 4Rrad η0

28

ń Evaluacio

Necesitamos también el campo incidente en la antena receptora, que se puede obtener a partir de la intensidad de radiación. Usamos la dirección de máxima ganancia ( θ = π/2), para maximizar la tensión en circuito abierto. E 2 2 K = r = η0

⇒

√

1 E = K 120π r

Debido a que la polarización de la antena transmisora es circular y la de la receptora lineal, el coeficiente de desacoplo será C p = 1/2. Siempre que la antena receptora sea coplanar con el frente de onda localmente plano que llega desde la antena transmisora, es decir perpendicular a la dirección de máxima radiación la tensión recibida será máxima.

  λ C p = πr

V ca = E lef

K 120π 2

≈ 5 mV

Calcular la potencia radiada.

Se obtiene integrando la intensidad de radiación en un ángulo sólido que cubra todas la direcciones del espacio. P rad =



  2π

K dΩ =

4π

0

π

1, 3 t(θ, φ) sen(θ)dθdφ = 1, 3 π 2 W

0

PROBLEMA 2 Un monopolo de l ef = λ/ (2π ) a la frecuencia de 30 MHz, posee una impedancia de entrada de valor Z e = 41 + j 10 Ω, y su resistencia de radiaci´ on es Rr = 36 Ω. Actuando en recepci´ on se conecta a un amplificador de impedancia 50 Ω, ganancia 15 dB y factor de ruido F = 5. La temperatura de ruido externo de la antena es 105 K, la temperatura de funcionamiento del conjunto es T 0 = 290 K y el ancho de banda es 10 kHz. ¿Cu´ al ha de ser el campo incidente sobre la antena para tener a la salida del amplificador una relaci´ on se˜ nal-ruido de 10 dB? La potencia disponible en bornas de la antena, si la antena no tuviese pérdidas y no hubiese desadaptación ser´ıa: P Lmax

2 lef η E i2 V ca2 = = R 4 r 4Rr η

El coeficiente de desadaptación en este caso es: C a =

4Re RL = 0, 978 (Re + RL )2 + (X e + X L )2

Tenemos una antena no ideal y desadaptación luego la potencia de señal disponible en bornas de la antena será: 2 E i2 lef Rr 4Re RL S = P Lmax ηl C a = = 0, 015E i2 W 2 2 4Rr Re (Re + RL ) + (X e + Z L )

29


La potencia de ruido ser´ıa: N = kB [(T aηl + T amb(1

− ηl))C a + T 0(F − 1)] = 1, 195 10−14 W

Con lo cual el campo incidente vale: S 0, 015E i2 = = 10 = N 1, 19510−14

⇒ E i = 2, 8 µ V/m

Podemos observar que el coeficiente de desadaptación influye aproximadamente igual a la potencia de señal y de ruido, luego no cambia mucho la relación S/N. Si la se˜ nal recibida proviene de una reflexi´ on ionosférica, habiendo recorrido un camino total de 3000 km y sufrido una atenuaci´ on ionosférica de 10 dB, ¿cu´ anto ha de valer la PIRE m´ınima del transmisor, para asegurar en el receptor la relaci´ on se˜ nal-ruido anterior? La PIRE se define como el producto P r D = P e G PIRE 1 E i2 = = η 4πr 2 Lionosf

⇒ PIRE = 23, 72 W

PROBLEMA 3 Una estaci´ on base de telefon´ıa m´ ovil sistema GSM 1800 tiene una antena instalada a h 1 = 8 m de altura sobre la terraza de un edificio, la cual consta de un revestimiento impermeabilizante met´ alico y un forjado. El conjunto presenta una pérdida de transmisi´ on a las ondas igual a 50 dB en la frecuencia de 1800 MHz. El transmisor de la estaci´ on proporciona una potencia de 10 W y est´ a conectado a la antena por un cable cuya pérdida de inserci´ on es Lt = 2, 5 dB. La antena tiene una ganancia G = 16 dB y un diagrama de radiaci´ on dado por:

−

T (θ ) =

    −  − sen cv sen θ α cv sen θ α

2

con cv = 1, 392/ sen(θv /2), siendo θ el ´ angulo entre la horizontal y la direcci´ on ◦ del rayo, α el ´ angulo de inclinaci´ on de la antena (’down-tilt’), igual a 3 y θv la anchura de haz en el plano vertical, cuyo valor es 10◦ . A los efectos de comprobar la cumplimentaci´ on de la normativa sobre niveles de radiaci´ on electromagnética, que establece un l´ımite de densidad de flujo de potencia S = f /200 ( W/m2 ), siendo f la frecuencia en MHz, se desea evaluar esta magnitud en dos puntos: punto A, que corresponde a una vivienda situada en el ´ atico, bajo la antena a 4 m de la cubierta, y punto B a 12 m de la antena y h2 = 1, 6 m de altura. El coeficiente de reflexi´ on en el punto P es: R = 0, 85 e− jπ Se considerar´ a aplicable la condici´ on de campo lejano de la antena y propagaci´ on en espacio libre. Para simplificar se supondr´ a que la ganancia de la antena es la misma para las direcciones del rayo directo y del rayo reflejado y se calcular´ a para el valor medio de los ´ angulos θd y θr . Se pide:

30

ń Evaluacio

Intensidad de campo eléctrico ( V/m) equivalente al valor l´ımite de la densidad de flujo de potencia. 2

2

S = E /η = f /200 = 9 W/m

√ =⇒ E = 9120π ≈ 58, 25 V /m

Valor de la intensidad de campo en los puntos A y B.

Tx

B

P A

En el punto A: Lex = 50 dB = E = E 0 10−2,5 3, 1610−3 E 0 . El valor del campo en espacio libre ser´ıa E 0 = 1/r 30P et Gt (90◦). Necesitamos la ganancia:

⇒

≈

  

   ≈ 2

sen 15, 97 sen 87◦ ◦ ≈ 15, 97 =⇒ T (90 ) = 15, 97sen 87◦

1, 392 cv = sen(10◦/2) Finalmente: 3, 1610−3 E = r

2, 2210−4

3, 1610−3 ◦ 30P et Gt (90 ) = 30 2, 2 101−0,25+1,6−4 = 3, 2 10−4 V/m





12

En el punto B: lex = E/E 0 = 1 + R dddr e− j∆ , donde dd /dr es el cociente de distancias recorridas que normalmente se aproxima por la unidad, pero aqu´ı ser´ıa comparable a R. Ademá s ∆ = k (dr dd ) que calculamos sin aproximaciones también. dd 2π lex = 1 0,85 e− j∆ = 1,66 ∆= (h1 + h2 )2 + d2 (h1 h2)2 + d2 λ dr

|

|

−



Ahora la ganancia valdrá: θm = θ d +

( θr

 − −

− θd) ≈ 33◦ =⇒ T (θm) = 2

Finalmente: 1, 66 E = r



1, 66 30P et Gt (θm) = 13, 6



⇒ | − |       ≈ sen 15, 97sen 30◦ 15, 97sen 30◦

30 0, 015 101−0,25+1,6

¿Con qué m´ argenes se cumple la normativa?

2

0,015

≈ 1, 2 V/m

31


En campo en el caso de la vivienda situada en el ático alcanza el siguiente porcentaje de su valor cr´ıtico: 3, 2 10−4 100 58, 25

≈ 0,0005%

En el caso del punto de la terraza situado a 12 m de la antena: 1, 2 100 58, 25

≈

2%

32

ń Evaluacio

C.3.4.

Examen ordinario de septiempre de 2002

PROBLEMA 1 Una antena est´ a formada por dos dipolos cortos de longitud L = 0, 1 λ, situados ortogonalmente, con sus centros separados λ/4 y alimentados con corrientes de igual amplitud y fase. Dato: k = 1, 3810−23 J/K.

Obtener el vector de radiaci´ on en coordenadas cartesianas (1 punto).

      ˆr ˆ θ ˆ φ

=

sen(θ) cos(φ) sen(θ ) sen(φ) cos(θ )cos(φ) cos(θ) sen(φ) sen(φ) cos(φ)

cos(θ ) sen(θ) 0

−

−

    ˆ x ˆ y ˆ z

El vector de radiación se puede obtener como la superposición del efecto de cada uno de los dos dipolos cortos por separado, en primer lugar calculamos el vector de radiación para el dipolo centrado en el origen:  1 = N

 

·

 J1 ( r )e

jk rˆ r

V

∞

 δ (y  )e jk y dy  y

−∞

∞

dv  =





0,05λ

δ (x )e jkx x dx 

−∞

z  | |  ) zˆ e jk z dz  ≈ 1, 5I 0zˆ I 0 (1 − 0, 05λ −0,05λ z

La aproximación utilizada se basa en el conocido resultado de que en estas L y por tanto el vector de radiación antenas eléctricamente pequeñas λ depende del área bajo la curva de corriente sobre el hilo, ya que tenemos que  e jk z z = 1 + j kz z  + . . . 1 z  [ L/2, L/2] De modo que sólo tenemos que calcular el área de un triángulo de base L = 0, 1λ = 3 m y altura I 0

 ≈ ∀ ∈ −

En cuanto al segundo dipolo, el que está centrado en ( x = 0, y = λ/4, z = 0) y alineado con el eje x, tendremos un vector de radiación:  2 = N

  V

 J2 (r )e

·

jk rˆ r

 

dv =

0,05λ

x | |  I 0 (1 − x e jk x dx ) ˆ 0, 05λ x

−0,05λ ∞ λ jk y  ∞ jk z    ˆ δ (y − )e dy δ (z )e dz  ≈ 1, 5I 0 e jk x 4 −∞ −∞ y

z

y

λ 4

33


El vector de radiación pedido será la suma de ambos:



 = N  1 + N  2 = 1, 5I 0 zˆ + ˆxe jk y N

λ 4



Expresi´ on en coordenadas esféricas del campo eléctrico en condiciones de campo lejano. Indicar la polarizaci´ on de los campos radiados en las direcciones ˆ, y ˆ , zˆ (1 punto). de los ejes x

± ± ±

Pasando a coordenadas esféricas el vector de radiación:

 −

N r = 1, 5I 0 cos(θ) + sen(θ) cos(φ) e jk y N θ = 1, 5I 0 N φ =

λ 4



sen(θ ) + cos(θ )cos(φ) e jk y

−1, 5I 0 sen(φ) e jk

y

λ

λ 4



4

De modo que el campo eléctrico será:

−

µ e− jkr jk y λ E θ = jω , I θ θ φ e 1 5 0 sen( ) + cos( ) cos( ) 4π r λ µ e− jkr E φ = + jω 1, 5I 0 sen(φ) e jky 4π r donde ky = k sen(θ) sen(φ)

−

4



4

Particularizando para las direcciones correspondientes a los ejes ( f (r, ω) = µ e−jkr jω 4π r 1, 5I 0 ):  φ ky λ/4 E Dirección θ Paralelismo Pol. ˆ ˆ ˆz x π/ 2 f (r, ω) θ +ˆ 0 0 θ L. ˆ ˆ ˆ ˆz x π/ 2 π f (r, ω)θ 0 θ L. ˆ + j φ ˆ) φ ˆ ˆ ˆ, θ ˆ C.I. y π/ 2 π/ 2 π/ 2 f (r, ω)(θ x z +ˆ ˆ + j φ ˆ) φ ˆ x ˆ ˆ ˆ, θ ˆ C.I. y π/ 2 3π/ 2 π/ 2 f (r, ω)(θ z ˆ ˆ x ˆ θ f (r, ω)θ +ˆz 0 0 0 L. ˆ ˆ ˆz ˆ π f (r, ω)θ x 0 0 θ L. ˆ , zˆ la polarización el lineal, Simplemente comentar que en las direcciones x pues los dipolos no radian en la dirección de las corrientes que los recorren y ˆ la sólo uno de los dos aporta algo en estos casos. En el caso de la dirección y separación espacial de λ/4 produce un efecto parecido al de un desfase temporal en la alimentación de un cuarto de periodo, salvo en el sentido de las polarizaciones, ˆ y usando el desfase temporal ser´ıa que en nuestro caso es el mismo para y ˆ ya que según y en relaci´ contrario en la dirección +ˆ o n al de la dirección y el lado desde el que miremos, para reproducir la misma situación que tenemos tendr´ıamos que usar un desfase temporal un cuarto de periodo positivo y luego negativo al mirar desde el otro lado.

− −

−

−

−

−

− −  −  − ± ±

−

±

±

−

34

ń Evaluacion o

Si se alimenta cada uno de los dos dipolos cortos con una corriente de 1 A a una frecuencia de trabajo de 10 axima potencia transferible 10 MHz, MHz, calcular la m´ a la carga, P r , de un dipolo en λ/2 resonante, situado a 10 a 10 km de km de distancia ˆ y orientado seg´ ˆ en la direcci´ on y un x (1 punto). De los dos dipolos que forman la antena transmisora, el alineado con ˆz tiene una polarización on ortogonal a la de la antena receptora, por lo que no aportará nada. ˆ. Podemos contar sólo olo con el dipolo alineado con y 2



E |2 | P r = Aef r =



kη 1 λ2 1 Dr = 0, 277 µ W 1, 5I 0 η 120π 4π r 4π Tambi´ ambién en se puede calcular sin partir del apartado anterior utilizando que la resistencia de radiación on del dipolo corto es la cuarta parte de la del elemental y que su directividad vale lo mismo que la del elemental: 2

2 l π 80 λ PIRE = P r D = I 02 Rrad D = I 02 D = 2, 961 W 4 λ 1 V ca E l PIRE = = 30 = 9 mV ca ef r π V ca2 P r = = 0, 277 µ W 4Rrad Si el dipolo del apartado anterior se conecta a un amplificador de 20 dB de ganancia mediante mediante una l´ınea ınea adaptada de 3 dB de d e pérdidas erdida s a temperatura tem peratura T 0 = 290 K, K, y el factor de ruido del amplificador es F = 3 dB y su ancho de banda B = 10 kHz, kHz, obtener la relaci´ on S/N a la salida cuando la temperatura 8 de ruido de antena es T a = 10 K (1 punto). 2

√

| |

La potencia de ruido en bornas de la antena antena receptora receptora ser´ ser´ıa:



N = kB T a + T amb amb (L

≈

− 1) + T 0(F − − 1)L

0, 27710−6 S/N S/N = 10 log( ) 1, 3810−8

1, 3810−8 W

≈ 13dB

PROBLEMA 2 Para una agrupaci´ on triangular de 5 elementos (1:2:3:2:1) con espaciado d = λ/4 y fase progresiva α = π/ 2: Escribir el factor de la agrupaci´ on F A(Ψ). (Ψ). (1 punto).

−

La secuencia de coeficientes coeficientes de amplitudes amplitudes de alimentaci´ alimentaci´ on on se puede poner como la convolución on de dos distribuciones uniformes: [1 2 3 2 1] 3 = [1 1 1] 1 [1 1 1]2

∗

−→ − → F A3(Ψ)

= F A1(Ψ) F A2(Ψ) = sen( 32 Ψ) 2 = sen( Ψ2 )





35


Dibujar el m´ odulo del factor de la agrupaci´ on F A(θ) en el espacio real. (1 punto).

| |

|

|FA(ª )|

2¼

2¼

µ

ª

ª

PROBLEMA 3 Una antena con polarización on circular a izquierdas y ganancia de 10 dBd, transmite una potencia de 100 W a 60 MHz sobre un suelo conductor. La antena receptora se encuentra a 20 km del transmisor, tiene una ganancia de 20 dBi y polarización on circular a derechas. Las antenas están alejadas del suelo (el mecanismo predominante es la reflexión). on). A partir de la constantes constantes el´ ectricas ectricas del suelo se han obtenido los coeficientes de reflexión: on: Rv = 0, 8, Rh = 1. La diferencia de caminos entre el rayo directo y el reflejado es de 36 , 5 cm.

−

−

Calcular el valor de las pérdidas erdidas en exceso exceso del enlace (1 punto). Obtener la potencia disponible en la antena receptora (1 punto). Este problema está resuelto en clase.

CUESTIONES (2 puntos) de 20 km en condiciones de 1. Un 1. Un sistema de comunicaciones tiene un alcance de 20 espacio libre. La sensibilidad de receptor mejora en 6 dB dB.. Calcular el nuevo alcance si se deja fijo el resto de par´ ametros.

∼ 1/r2.

La dependencia con la distancia en condiciones de espacio libre es: P r De modo que: ∆P r = =

−6 dB ⇒ −6 dB = −20 log( log(C te · r0 ) + 20 20 log( log(r0) = −20 log( log(C te) ⇒ C te ≈ 2 =⇒ r = C te · r0 ≈ 40km

36

ń Evaluacion o

Es decir, como necesitamos recibir cuatro veces menos potencia, podemos incrementar la distancia de enlace al doble de su valor anterior. Qué area ´ efectiva posee un dipolo infinitesimal de 10 2. ¿ 2. ¿Q 10 cm de cm de longitud a una fre frecuencia de 10 10 MHz? MHz? λ2 302 Aef = D = 1, 5 = 107, 4 m2 4π 4π

de 50 mW, 3. Calcular 3. Calcular la PIRE de una antena que radia una potencia de mW, con directividad de 30 30 dB y eficiencia ´ ohmica de 0, 6. PIRE = P rad log(50) 0) + 30 30 = 47 dBm rad D = 10 log(5

4. Razonar 4. Razonar si la directividad de una agrupaci´ on de N antenas es el producto de la directividad de la antena base por el factor de la agrupaci´ on. Es fals falso. o. Un con contrae traeje jemp mplo lo evid eviden ente te:: Si se trat trataa de un unaa agru agrupa paci ci´ón de N antenas básicas asicas isotrópicas opicas (D=1) entonces: D =

4π F AM ax

  | 2π π 0 0

|

|2

F A(θ ) 2 sen(θ)dθdϕ

|

(C.3.8)

5. ¿La 5. ¿La potencia recibida por una antena en un medio natural puede ser mayor que la recibida en espacio libre? Explicar. S´ı, debido debido a la posibil posibilida idad d de inter interfer feren encia cia multitr ultitraayecto ecto const constru ructi ctiv va por ejemplo. on de potencia: cos2 (θ/2). 6. Diagrama 6. Diagrama de radiaci´ 2). La directividad es... 4π 4π = = π 2 (θ/ 2) sen( t θ, ϕ d ( ) Ω π θ dθ 2 cos se n( ) 4π 0 4π = = π 2π 0 cos2 (θ/2)2 sen( sen(θ/2) cos( cos(θ/2)dθ 4π 4π = = =2 π 2π 0 cos3 (θ/2)2 sen( sen(θ/2)dθ 4π cos4 (θ/2)/2]π0

D =

  



7. ¿Qu´ 7. ¿Qué teorema teorema permite calcular los campos campos radiados por una apertura a partir de corrientes ficticias? El teorema de equivalencia junto con el de unicidad. 8. ¿Existen 8. ¿Existen picos por atenuaci´ on atmo at mosf´ sférica erica a 22, 3 y 60 60 GHz? GHz? ¿P ¿Por or qué? e? S´ı, debido debid o a los fenómenos omenos de absorción on molecular de los gases atmosféricos. ericos. A 22,3 GHz y 60 GHz aparecen los primeros picos de atenuación asociados a las frecuencias de resonancia de las moléculas eculas de vapor de agua y de ox´ ox´ıgeno respectivamente.

37


C.3. C.3.5. 5.

Exam Examen en ord ordin inar ario io de de juni junio o de 200 2003 3

CUESTIONES (2,5 puntos) on de onda homog´ homogénea enea para para el k = k a partir de la ecuaci´ 1. Justificar 1. Justificar que   = 0 utilizando las propiedades de la transformada potencial vector ( ( 2 + k 2 )A de Fourier . Realizando la trasformada del operador:

|| ∇

∇2 + k2) ⇒ −kx2 − ky2 − kz2 + k2

(

 en general será no nulo entonces: Como A kx2

ky2

− − −

kz2

2

+ k = 0

−→ | k| =



kx2 + ky2 + kz2 = k

2. A 2. A una frecuencia de trabajo f una antena en recepci´ on (con impedancia de entrada en transmisi´ on de 50 Ω) entrega una potencia de 1 1 dBm a dBm a una carga de 50 Ω ¿Cu´ al es la tensi´ on que cae en la carga en en dBmV y qué tensi tensi´ ´ on tendr´ tendr´ıamos ıamos en los terminales de la antena en circuito circuito abierto? Como hay adaptación, on, la tensión on que cae en la carga será:

√

√

V L2 P ent V L = RP = 5010−29 0,1 = 0,251 [V] = 48 [dBmV] ent = R En cuanto la tensión on en circuito abierto, será el doble ya que la mitad de la tensión on suministrada por el generador equivalente de tensión será disipada en la resistencia interna: V ca ca = 2V L = 502 [mV]

−→

Alternativamente también en po podemos demos utilizar que ( P dis dis = P ent ent porque tenemos adaptación): on): V ca2 P dis V ca 4RP dis dis = ca = dis = 2V L 4R 3. Una 3. Una estaci´ on base entrega una potencia de 10 10 W a un cable con unas una s pérdidas erdida s de de 10 dB que alimenta a una antena transmisora de ganancia ganancia 12 dBd en la dire direcci´ cci´ on del receptor que tiene a su vez una antena de de 0 dBd y unas pérdidas erdidas en el cable de 2 dB eptor tiene tiene una sensib sensibili ilidad dad de 104 dB.. El receptor Determ inar las pérdidas erdidas b´ asicas de propagaci´ on m´ aximas permitidas. dBm. dBm. Determinar Las mayores pérdidas erdid as básicas asicas que puede soportar el sistema ser´ ser´ıan de:

−→ − →



−

Lb = P tx LcableTx + Ga + Gr LcableRx P r = tx = 40 dBm 10 dB + (12 (12 + 2,15) dBi + 2,15 dBi = 148,3 dB

−

−

−

−

− 2 dB − (−104) dBm =

(C.3.9)

erdidas por difracci´ on debidas a un obst´ aculo que obstruye la 4. Razonar 4. Razonar si las pérdidas l´ınea ınea de visi´ visi´ on directa de un enlace aumentan o disminuyen al disminuir la frecuen frecuencia. cia.

38

ń Evaluacio

En este caso el obstáculo obstruye la l´ınea de visión directa, por lo que el obstáculo va a cubrir en cualquier caso más de la mitad de la primera zona de fresnel. Si disminuimos la frecuencia, el radio de la primera zona de fresnel aumenta, por lo que el porcentaje de la primera zona de fresnel obstruida irá decreciendo y las pérdidas por difracción disminuirán. 5. En un reflector diédrico de 90 ◦ cu´ al es la separaci´ on optima ´ entre dipolo y arista. ¿Por qué? Será de λ/2, porque de este modo las dos imágenes que se formar´ıan en la vertical de la arista y que están en oposición de fase contribuir´ıan constructivamente en la dirección horizontal y la imagen en el plano horizontal también, por estar en fase y separada una longitud de onda. 6. Las comunicaciones ionosféricas presentan cambios importantes seg´ un sea de d´ıa o de noche. ¿Por qué? Ver apuntes on en una direcci´ on no depende de la dis7. ¿Por qué la intensidad de radiaci´ tancia a la antena? La intensidad de radiación en una dirección K (θ, φ) se define como: K (θ, φ) = r 2 (θ, φ)

P

P (θ, φ) ∝ r12

La densidad de potencia debe caer con el cuadrado de la distancia en espacio libre para que se conserve su integral de flujo sobre cualquier esfera centrada en la antena situada en campo lejano y por tanto se conserve la energ´ıa. ectrico prefijado a 8. Si queremos evitar que se sobrepase un valor de campo el´ una distancia fija de una antena en condiciones de campo lejano y en espacio libre, ¿cu´ al de estos tres par´ ametros se limitar´ıa y por qué?: la potencia radiada total, la ganancia o la PIRE Debemos fijar la PIRE, el campo ser´ıa (según la definición de directividad):

√

1 E = 30PIRE r

PROBLEMA 1 (2,5 puntos) Se tiene una densidad de corriente que expresada en coordenadas cil´ındricas δ (ρ)δ (φ) tiene la forma  en espacio libre. I 0 J = I 0 2πρ ˆ z [Am−2 ] para < z < tiene variaci´ on arm´ onica de frecuencia ω . La ecuaci´ on de ondas para el potencial vector es: 2   = µI 0 δ (ρ)δ (φ) ˆz = µ A + k 2 A J 2πρ  = A z ˆz = A 0H (2)(kρ ) zˆ. Donde A0 es una constante La soluci´ on es de la forma A 0 compleja.

−∞

∇

−

∞

−

39


z

Coordenadas cilíndricas

½

I 0

y y

z x x

Á

 (ρ,φ,z ) Obtener las expresiones para el campo magnético H Tenemos simetr´ıa cil´ındrica, por lo tanto hay invarianza en z y φ. Es decir ∂ ∂ que ∂z = ∂φ = 0. Además Aρ = A φ = 0  = 1 H µ

∇ × A = −

1 ∂Az ˆ φ = µ ∂ρ

(2)

−

A0 ∂H 0 ˆ kA0 (2) H 1 (kρ ) ˆ φ = φ µ ∂φ µ

j  = jω A   ) A Justificar que en un punto en ausencia de fuentes E ωµ (  (ρ,φ,z ) y aplicar dicha expresi´ on para econtrar E Tomamos el rotacional en ambos miembros de la ecuaci´ on de definición del potencial vector

−

− ∇ ∇·

1 µ  = 1 ( jω E µ

∇ × H

=

∇ × ∇ × A ∇ ∇· A ) − µ1 ∇2A

 por su valor según la ecuación de ondas en ausencia Solo queda substituir 2 A  : de fuentes y despejar E

∇

1  ) + 1 k 2 A  ( A µ µ 2 ω 1  = j  ) j µ A  E ( A ωµ ωµ

 = jω E

∇ ∇·

−

∇ ∇· −

En nuestro caso:  = E

=

∂Az 1 j jωA z ˆz ωµ ∂z (2) jωA z ˆz = jωA 0H 0 (kρ)ˆz

− −

∇  − −

(C.3.10)

Razonar si el flujo de densidad de potencia que atraviesa dos cilindros de altura ∆z de radios ρ1 y ρ2 en campo lejano se conserva

40

ń Evaluacio

En campo lejano tenemos una onda cil´ındrica, con simetr´ıa de revolución en torno al eje Z localmente plana y la densidad de potencia será: E 2 1 (ρ) = η ρ ˆ ) y por lo tanto sólo La densidad de potencia tiene dirección radial ( ˆz φ hay flujo sobre las paredes laterales de los cilindros, cuya superficie es 2 πρ ∆z , es decir proporcional a ρ, por lo tanto el flujo de densidad de potencia se conserva.

P

∝

− ×

Encontrar el valor de la constante compleja A0 . La solución más rápida consiste en utilizar la ley de Ampère del mismo modo que se usó en la bicónica: 2π 2π kA 0 2 j 4 j   H I 0 = l´ım d = l´ım H φρdφ = ρdφ = A 0 ρ→0 ρ→0 0 µ kπρ µ 0







La otra posibilidad es utilizar un desarrollo análogo al que utilizamos en el problema de simetr´ıa esférica: la ecuación de ondas, si únicamente tenemos componente Az quedar´ıa: δ (ρ)δ (φ) 2 Az + k 2Az = µI 0 2πρ Para encontrar A0 podemos integrar la ecuación anterior: δ (ρ)δ (φ) 2 Az + k 2 Az ds = µI 0 ds πρ 2 S S Aplicamos el teorema de la divergencia al primer sumando del primer miembro, que queda:

∇

−

 ∇

 ∇

2

Az ds =

S

 −

 ∇· ∇

( Az ) ds =

S

 ∇

 ∇ π

ˆ d = Az n

·

C

ˆ ρdφ Az ρ

−π

·

Si hacemos que C sea una circunferencia de radio ρ 0 entonces, debemos utilizar el valor de Az para kρ pequeños: π π π ∂Az 2 j ˆ ρdφ = Az ρ ρdφ = A0 ρdφ = A04 j ∂ρ πρ −π −π −π El segundo sumando del primer miembro si S es el c´ırculo de radio ρ0 0: ρ π ρ π 2 j 2 2 k Az ds = k Az ρdφdρ = A0 k 2 ln(kρ )ρdφdρ = π S 0 0 −π −π ρ 2 ρ2 ρ →0 2 2 j ρ = A0 k ln(ρ) 0 (C.3.11) π 2 4 0 En cuanto al segundo miembro:

 ∇





·

  0

−

→

 −   −  − → 0

  −

J ds = µ

S

0

0

−µI 0

Igualando el primer y segundo miembro:

−A04 j = −µI 0 =⇒ A0 = − j µI 4 0

−

→

41


PROBLEMA 2 (2,5 puntos) Sea una agrupaci´ on de 3 dipolos en λ/2 paralelos orientados en la direcci´ on del eje x, como muestra la figura. La alimentaci´ on de la agrupaci´ on es 1:2:1, el espaciado es λ/2 y la fase progresiva nula. x 0

1

I 0

2

I1

I 2

z

y d

d

Dibujar el diagrama de ceros, F A(Ψ) y el factor de la agrupaci´ on en el espacio real. Se puede tratar como una agrupación binómica o como triangular:

|

P (z ) = (1 + z )2

|

⇒ |F A(Ψ)| = |2 cos(Ψ/2)|2

Las representaciones gráficas son muy similares a las de los ejercicios. Obtener la directividad del factor de la agrupaci´ on (suponiendo elementos isotr´ opicos). Al ser el espaciado λ/2: (1 + 2 + 1) 2 16 8 D= 2 = = 1 + 22 + 12 6 3 Obtener la expresi´ on del campo radiado en cualquier direcci´ on del espacio. El campo será:  = E  0 F A(θ, φ) = E  0 (1 + 2e jΨ + e j2Ψ ) E

donde : Ψ = k z d + α = π cos(θ)

El campo de un elemento centrado en el origen será: µ e− jkr  ˆ ˆ ˆ E0 = jω (Aθ θ + Aφ φ) = jω N x (cos(θ )cos(φ)θ 4π r Donde el vector de radiación es:

−

−

λ

 = N x x ˆ = I 0 x ˆ N

   4

−

con kx = k sen(θ) cos(φ)

λ 4

cos

π x

λ/2

jk x x

e

cos dx = 2I 0 k k2

− sen(φ)φˆ )

 kx λ 4 kx2

−

ˆ x

42

ń Evaluacio

Utilizando la gr´ afica de impedancias mutuas entre dipolos paralelos, calcular la impedancia de entrada de cada dipolo. En la gráfica para impedancias mutuas de dipolos paralelos se puede leer: Z 11 = Z 22 = Z 33 = 73 + 43 j [Ω]

Z 12 = Z 21 = Z 23 = Z 32 =

−12,5 − 30 j [Ω]

Z 13 = Z 31 = 4 + 18 j [Ω]

Las impedancias de entrada de cada dipolo serán: Z e

3

Z e

2

V 1 I 1Z 11 + I 2 Z 12 + I 3 Z 13 = = 52 + j [Ω] I 1 I 1 V 2 I 1Z 21 + I 2Z 22 + I 3 Z 23 = = = 60,5 + 13 j [Ω] I 2 I 2

= Z e = 1

(C.3.12)

Calcular la directividad de la agrupaci´ on de dipolos. La potencia radiada total valdrá: P rad = I 12 Re( Z e )+ I 22 Re(Z e )+ I 32 Re(Z e ) = I 02(52+22 60,5+52) = 346I 02 [W] 1

2

2

La densidad de potencia en la dirección de máxima radiación (φ = 90◦, θ = 90◦): I η 2 4 2πr E 2max 480I 02 = = max = η η πr 2 Finalmente:

P

  0

| |

D =

P max = P rad 4πr 2

480I 02 πr 2 346I 02 4πr 2

= 5,55

PROBLEMA 3 (2,5 puntos) Se quiere dise˜ nar una antena parab´ olica con una relaci´ on f /Da = 0,25 y que trabaje a la frecuencia de 12 ,5 GHz. El alimentador, situado en el foco de la antena, es una bocina piramidal ´ optima. Dentro de las especificaciones del diagrama de radiaci´ on del reflector parab´ olico se imponen un ancho de haz a 3dB de 3 ◦ en los dos planos (E y H) y un decaimiento de la iluminaci´ on en bordes del reflector de 20 dB.

−

Obtener un valor aproximado de la directividad del reflector. D

≈ ∆θ41 π∆θ2 =

4π

= π 2 3 180

 

4583 = 36 ,6 [dB]

Si la antena tiene una eficiencia total del 70 % ¿Cu´ al debe ser el di´ ametro del reflector que consigue la directividad calculada en el apartado anterior? El área efectiva será: λ2 Aef = D = 0,21 [m2] 4π

43


Por otra parte:

Da 2 Aef = A aperturaηt = π 0,7 2 De ambas expresiones para el área efectiva podemos despejar el valor del diámetro de la apertura del reflector

 



0,21 = 61,8 [cm] 0,7π

Da = 2

Para la f /Da propuesta ¿Cu´ al debe ser el decaimiento en bordes provocado por el alimentador? β 1 = f /Da = 0,25 = cotg 4 2

⇒

τ =

−20 = 20 log

f r

β = 90◦

+10 log t(β ) = 20 log(0,5) +10 log t(β ) =

⇒ t(β ) = −14dB

  



−6

cos2 (β/2)

Obtener las dimensiones de la boca de la bocina (A, B) y de las transiciones de la gu´ıa a la boca ( LE , LH ) En términos del campo en el plano H el decaimiento en los bordes dará una lectura en la gráfica: kA sen(90◦) 5,8λ − 0,9 10 = 0,18 ⇒ = 5,8 ⇒ A = = 4,4 [cm] 14 20

2 En términos del campo en el plano E :

π

kB sen(90◦) 5,4λ − 0,9 10 = 0,18 ⇒ = 5,4 ⇒ B = = 4,1 [cm] 14 20

2

π

En cuanto a las transiciones: A2 LH = = 2,7 [cm] 3λ

B2 LE = = 3,5 [cm] 2λ

(C.3.13)

44

ń Evaluacio

∂ Az φ ∇· A = ρ1 ∂ρ∂ (ρAρ) + 1ρ ∂A + ∂φ ∂z

∇2A =

∇

2

Aρ φ − ρ22 ∂A − ∂φ ρ2

Aρ

 ∇ −   ˆ + ρ

2

Aφ

2 ∂Aρ ρ2 ∂φ

− Aρ2φ



ˆ + ( φ

∇2Az )ˆz

1 ∂ ∂ Ψ 1 ∂ 2Ψ ∂ 2 Ψ ρ ( Ψ) = + 2 2 + 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z ∂ Ψ 1 ∂ Ψ ˆ ∂ Ψ ˆρ + ˆz Ψ= φ + ∂ρ ρ ∂φ ∂z

2

∇ Ψ = ∇· ∇ ∇

 ∇· ⊂⊃ ·    ∇ ×     ∼  dv = A

 n ˆ ds A

V

S

ˆ φ

ˆ ρ

ρ ∂ ∂ρ

 = A

∂ ∂φ

 ∇·

 ds = A

S

 C

 n ˆ d A

·

ˆ z

ρ ∂ ∂z

∇ × ∇ × A = ∇(∇· A ) − ∇2A

Aρ ρAφ Az

(2) H 0 (kρ )

kρ

(2) H 0 (kρ )

(2) kH 1 (kρ )

(2) H 1 (kρ )

=

(2)

∂H 0 (kρ ) = ∂ρ

−

kρ peque˜ no

− 2π j ln(kρ)

kρ peque˜ no

2 j 1 π kρ

→

→

∼=

∼=

θ θ x = 2f tan z = f 1 tan2 2 2 sen(θ) cos(φ) sen(θ ) sen(φ) cos(θ ) sen(θ) = cos(θ )cos(φ) cos(θ) sen(φ) sen(φ) cos(φ) 0

      ˆr ˆ θ ˆ φ

2 j − jkρ e πkρ

→grande



−

 −       −

πz  jkz z  2π cos k2z l e dz = cos l l πl kz2 −l/2



l/2



2

2

−

ˆ x ˆ y ˆ z

45


C.3.6.

Examen ordinario de septiembre de 2003

CUESTIONES (2,5 puntos) 1. Dos dipolos cortos, ortogonales, centrados en el origen y orientados seg´ un los ejes x e y respectivamente, est´ an alimentados con la misma amplitud y un desfase relativo de 90◦ . ¿Cu´ al es el valor de la relaci´ on axial de la onda ◦ ◦ radiada en la direcci´ on φ = 0 , θ = 60 ? ¿Por qué? RA = 20 log(1/ cos60◦ ) 6 dB  = I 0 (ˆ N x 2

± j yˆ)



≈

N θ = I 2 (cos θ cos φ j cos θ sen φ) = N φ = I 2 ( sen φ j cos φ) = j I 2 0

0

−

±

±

±

I 0  2 cos60

◦

0

2. La se˜ nal de una emisora de FM a la frecuencia de 100 MHz llega a un dipolo en λ/2 con una intensidad de 1 mV/m . ¿Cu´ al es la tensi´ on inducida en circuito abierto, suponiendo adaptaci´ on de polarizaci´ on? V ca = E lef = λ/π 1 mV

| |

≈

3. Al cargar una antena eléctricamente muy corta, con una carga capacitiva en el extremo, la variaci´ on relativa m´ as significativa ¿se produce en la reactancia de entrada, o m´ as bien en la resistencia de radiaci´ on? ¿Por qué? La corriente de un dipolo muy corto puede cambiar como mucho de triangular a uniforme, duplicando el área bajo la curva de corriente. La directividad ha de mantenerse constante, por lo que el área efectiva también. La longitud efectiva se hace como mucho el doble (doble área bajo la curva) por lo tanto la resistencia de radiación como mucho será cuatro veces mayor. Sin embargo debido al alargamiento equivalente, en la reactancia de entrada se dan variaciones relativas más importantes. 4. ¿Cu´ al es el nivel de l´ obulo principal a secundario (NLPS) para una agrupaci´ on bin´ omica transversal de cinco elementos espaciados 3λ/4?

20log



F A(0) F A(kd)



= 20log



4

2 2 cos(3π/ 4) 4

|

|F A(Ψ)| = |2 cos(Ψ/2)|4



≈ 12 dB |

(C.3.14) (C.3.15)

5. ¿Cu´ al es la relaci´ on entre la directividad del dipolo doblado y la directividad del dipolo sin doblar? ¿Tienen el mismo valor o bien una tiene valor doble que la otra? Explicar Tienen la misma directividad (ver teor´ıa) 6. En un reflector parab´ olico al aumentar la relaci´ on f /Da , manteniendo constante el par´ ametro Da y el alimentador, razonar si en general la eficiencia de desbordamiento aumenta o no La eficiencia de desbordamiento empeora porque el ángulo sólido bajo el que el alimentador ve la parábola disminuye

46

ń Evaluacio

nar mediante la transformaci´ on de Riblet (x = a cos(Ψ) + b ) una 7. Para dise˜ agrupaci´ on de 7 elementos espaciados (λ/4), ¿qué grado seleccionar´ıa para el polinomio de Chebychev? Razonar. Necesito un polinomio que proporcione 7 coeficientes: e jΨ + e− jΨ x = a cos(Ψ) + b = a + b 2 T 0(x) = 1 proporciona un coeficiente. T 1(x) = x proporciona tres coeficientes. T 2(x) = 2x2 1 proporciona cinco coeficientes. T n (x) = 2xT n−1(x) T n−2 (x) luego al incrementar n una unidad aparecen dos coeficientes para dos antenas nuevas en los extremos de la agrupación. En general T n (x) proporciona 2 n + 1 coeficientes. Luego n = 3

−

−

8. ¿El factor de agrupaci´ on F A(Ψ) depende del espaciado entre los elementos de la agrupaci´ on? ¿Por qué? No, porque es la transformada de Fourier discreta de la secuencia de coeficientes de alimentación 9. La imagen de una corriente magnética paralela a un plano conductor eléctrico perfecto es “paralela y del mismo sentido”, o bien “paralela y de sentido opuesto”? Razonar Es paralela y del mismo sentido, de tal forma que se cumplan las condiciones de contorno en el plano y se anulen las componentes tangenciales de campo el´ ectrico en dicha superficie al eliminar el conductor y se anulen las componentes de campo magn´ etico ortogonales al conductor. Por ejemplo, la figura muestra gráficamente la idea para campo lejano. Otras representaciones gráficas más generales vienen en teor´ıa. M

M

H’ E’

< >

E H M’

10. Para un campo radiado por una antena centrada en el origen de coordenadas  = j k ˆr A  ? Razonar ¿es cierta la expresi´ on H µ

×

Tenemos una onda TEM que se aleja del origen, esto implica que ( E θ = ηH φ ,  = jk/µ(Aθ φ ˆ Aφ θ ˆ). Si substituimos E φ = ηH θ ). El enunciado propone H la segunda en la primera llegamos a que E θ = jωA θ , E φ = jωA φ , lo cual es falso. Deber´ıa llevar un signo menos.

−

−

47


PROBLEMA 1 (3 puntos) Se tiene una antena cuya intensidad de radiaci´ on viene dada por la expresi´ on:



K (θ, φ) =

K max θ π/ 3 en otro caso 0

≤

la antena induce polarizaci´ on circular a izquierdas. Se dispone un enlace sobre suelo liso y conductor eléctrico perfecto, en el que la antena descrita anteriormente se utiliza como transmisora y se emplea como receptora una antena isotr´ opica con la misma polarizaci´ on. Los centros de fase de las dos antenas est´ an a la misma altura h sobre el suelo, y se supone que la separaci´ on d entre las antenas es suficientemente grande para que las aproximaciones que dependan de este hecho sean adecuadas. Obténgase la ganancia de la antena transmisora. Suponemos que la eficiencia de la antena es 1. G = D =

4π 2π



π/3 0

sen(θ)dθ

=4

≈ 6 dBi

(C.3.16)

Calc´ ulese la potencia disponible en la antena receptora sobre el enlace referido si la potencia entregada a la antena transmisora es P t . Suponiendo el plano conductor sobre el plano XZ y propagación hacia z + Lex

− C p =

20 log

= 20 log

 ||  | | | · |  · E 0 ˆt eˆr E e

ˆ) x j y (ˆ 2

− √

= 1

ˆ )+( x ˆ + j y ˆ )e−j ∆ x+ j y (ˆ 2

−√

 

= 0 dB

Como podemos apreciar el rayo reflejado (método imágenes) es rechazado en la antena receptora por tener polarización ortogonal. P r = 10 log(4P t )

− AEL

(C.3.17)

PROBLEMA 2 (3 puntos) Se tiene una antena de apertura cuadrada sobre un plano conductor el´ ectrico perfecto ilimitado. En dicha apertura, el campo el´ ectrico es constante e igual a ˆ , salvo en la parte central donde el campo se anula. E 0 y

48

ń Evaluacio

y

E 0 x z

a b

Calc´ ulese el campo eléctrico de radiaci´ on.  s = M

Lx =

−2ˆn × E = 2ˆxE y

   −

ky b kx b sen sen 2 2E y b2 kx b 2 ky b 2 2

(C.3.18)

 

kx a 2 sen 2 2E y a kx a 2

sen

ky a 2 ky a 2

(C.3.19)

Suponemos aperturas eléctricamente grandes.

− jkr e  = j ˆLx sen φ + φ ˆ Lx cos θ cos φ) [V/m] E (θ 2λr

(C.3.20)

Obténgase la potencia radiada suponiendo que en la apertura los campos se comportan como en una onda plana. E y |2 2 | (b − a2) P rad = η

[W]

(C.3.21)

Calc´ ulese la directividad de la antena en la direcci´ on de m´ axima radiaci´ on.

D =

4π λ2

  |

  S a E y dx dy

S a

2



2

E y | dx dy 

=

4π 4π 2 A = (b ef λ2 λ2

− a2)

(C.3.22)

PROBLEMA 3 (1,5 puntos) Sea un reflector parab´ olico para recepci´ on de TV-SAT, a una frecuencia de 12 GHz. El alimentador es una boca de gu´ıa cuyo diagrama aproximamos por el de una apertura elemental.

49


Diagrama del alimentador :



1 + cos(θ) tf (θ, φ) = 2

    β

 

2

2

θ   2  Df (θ )tan dθ Eficiencia total : ηT = cot 2 0 1 Otros datos : Da = 1 m f /Da = 0,4 f /Da = 4tan(β/2) β 2

Calcular la eficiencia total. Despejamos β = 64◦ . Tenemos la fórmula, sólo necesitamos la directividad del alimentador desnormalizada Df (θ, φ) = D f t f (θ, φ) y operar... Df =

4π =3 t d (Ω) Ω 4π f

ηT = (4 0,4)23 (0,5cos(β )



− 0,5)2 ≈ 0, 6

Obtener el valor de la directividad del reflector D( θ ,φ). D =

4π 4π A = 0,6π 0,52 ef 2 2 λ 0,025

≈ 9475 ≈ 40

[dBi]

(C.3.23)

¿Cu´ al es el ancho de haz a 3 dB?

−

D

≈ ∆θ42π ⇒ ∆θ−3dB = −3dB

 ≈ 4π D

2◦

(C.3.24)

50

ń Evaluacio

C.3.7.


CUESTIONES (2,5 puntos) 1. ¿Cu´ al de las siguientes afirmaciones sobre una agrupaci´ on Hansen-Woodyard, comparada con la longitudinal ordinaria equivalente, (mismo n´ umero de elementos, espaciado y amplitud de corrientes), es en general incorrecta? a) La directividad es mayor b) El haz principal es m´ as estrecho c) El campo radiado en la direcci´ on del m´ aximo es mayor d) El NLPS es menor La tercera es falsa. Ver en los apuntes la explicación. anto vale el ´ area efectiva de un dipolo elemental de 10 cm de longitud a 2. ¿Cu´ una frecuencia de 10 MHz? λ2 302 1 ,5 = 107, 43 m2 Aef = D = 4π 4π

nal de 150 MHz. 3. Una apertura elemental cuadrada, de lado 1 cm, recibe una se˜ ¿Cu´ anto vale su ´ area efectiva? D =

Ω = Ωeq

4π

  2π π 0 0

t(θ, φ)sen(θ )dθdφ

=

4π 1+cosθ 2 sen(θ )dθdφ 2

    2π π 0 0

=3

λ2 22 Aef = D = 3 1 m2 4π 4π 4. Si un dipolo de 5 cm se utiliza primero a f 1 = 3 MHz y luego a f 2 = 6 MHz. Discutir si: a) D2 = 2D1

b) Aef 2 = A ef 1 /4

≈

c) Rrad2 = R rad1 /4

d) lef 2 = 2lef 1

La directividad es constante por ser un dipolo el´ ectricamente pequeño a ambas frecuencias. El Aef λ2D por tanto Aef 2 /Aef 1 = λ 22/λ21 = f 12 /f 22 = 0,25 Las longitudes efectivas son iguales porque son el área bajo la curva normalizada de corriente. 2 /Rrad as´ı que Rrad2/Rrad1 = A ef 1/Aef 2 = 4 El Aef lef

∝ ∝

5. La calidad de voz de un sistema de comunicaciones m´ oviles es aceptable cuando la potencia recibida en los terminales del receptor m´ ovil es de 104 dBm. Encontrar la m´ axima pérdida b´ asica de propagaci´ on para el sistema si la potencia del transmisor en la estaci´ on base es de 30 W y est´ a conectado a la antena mediante un cable de 15 dB de pérdidas, la ganancia de la antena de la estaci´ on base es de 6 dBi, la ganancia de la antena del m´ ovil es de 0 dBi y los cables de alimentaci´ on hacia el receptor tienen unas pérdidas de 2 dB.

−

51


Expresar el campo incidente en la antena que en condiciones de adaptaci´ on de polarizaci´ on produce esa se˜ nal en dB µ V/m. Lb = P t Lt + Gt + Gr LR P R = = 44,77dBm 15dB + 6dB + 0dB

−

− −

− 2dB + 104dBm = 137,77dB P r + Lr = −102dBm ≈ 0,063pW 4πηP a 4π 2 1200,06310−12 = [V/m] P a ⇒ E = λ2 D λ2 20 log E [V/m] · 106 (C.3.25)

−

P a = 2

E Aef = η E [dB µ V/m] =





PROBLEMA 1 (4,5 puntos)





En marzo el Arianne 5 lanz´ o al espacio la sonda Rosetta, que har´ a un viaje de 10 a˜ nos hacia el cometa Churyumov-Gerasimenko. ANTENA SOBRE EL COMETA ANTENA EN ÓRBITA

Dipolo A

L=200 km

Mástil secundario de fibra de carbono. Sujeta las dos cruces ¸/4 ¸/8

y

Dipolo activo 3 ¸/2

0,2¸

z Reflector 2 ¸/2

Dipolo B 0,2¸

x 10

º

10

º

Dipolo activo 1 ¸/2

Mástil primario de fibra de carbono, elemento estructural, no radia. Sujeta la antena a la nave. Reflector 4 ¸/2

El experimento Consert utilizar´ a una antena constituida por dos cruces de dipolos en λ/2. El dipolo 1 es paralelo al eje Z , mientras que el dipolo 3 deber´ıa ser

52

ń Evaluacio

paralelo al eje X , formando un ´ angulo de 90◦ con el m´ astil secundario y otro también de 90◦ con el dipolo 1. Los dipolos reflectores 2 y 4 son paralelos a los dipolos 1 y 3 respectivamente, de los que est´ an separados una distancia λ/4. Por un problema en el despliegue de la antena, el dipolo 3 y el reflector 4 aunque consiguen formar el ´ angulo de 90◦ con el m´ astil secundario, se quedan con 10◦ de inclinaci´ on respecto al plano XY. El dipolo 1 tiene una corriente de entrada I 1 , mientras que el dipolo 3 tiene una corriente de entrada del mismo m´ odulo pero retrasada en fase 90◦ . De la nave no tripulada saldr´ a otra m´ as peque˜ na, Philae, cuya misi´ on es aterrizar sobre la superficie del cometa para estudiarlo. Esta segunda nave supondremos que posee otra cruz de dipolos de longitud 0,2λ cada uno. Encontrar la impedancia de entrada del dipolo 1. Teniendo en cuenta que su reflector est´ a cortocircuitado y suponiendo que ´ unicamente hay acoplo entre dipolos paralelos 2 z 12 z 12 V 1 = z 11I 1 + z 12I 2 I 2 = I 1 Z ent = z 11 77 + 71 j Ω 0 = z 12 I 1 + z 22I 2 z 22 z 22



−

⇒

−

1

≈

Calcular la expresi´ on del campo eléctrico radiado por la antena en orbita ´ en caso de que el despliegue de la antena hubiera sido correcto (dipolos forman)−cos(kH ) do cruces perfectas). Dato: N 0z (kz ) = 2kI 1 cos(kz H para un dipolo de k −kz longitud total 2H centrado en el origen y alineado con el eje Z. λ I 2 λ  = (ˆ ˆ N 0z (kx )) e jky + e− jk y N zN 0z (kz ) j x I 1 2



−

2

8

8





e− jkr λ I 2 λ E θ = jkη [sen(θ)N 0z (kz ) + j cos(θ )cos(φ)N 0z (kx )] e jky + e− jk y I 1 4πr e− jkr λ I 2 λ E φ = kη sen(φ)N 0z (kx ) e jky + e− jk y 4πr I 1



8

8



8

8



Calcular la potencia disponible en el dipolo corto vertical A considerando como en el apartado anterior, que el despliegue hubiera sido correcto para la antena en ´ orbita. Dato: se entregan 50 W al dipolo 1, igual que al dipolo 3. Distancia 200 km. Frecuencia de trabajo 90 MHz 2

|E θ| η

2



2

8

2

30 50 ηI 12 77 = 2 2 2,41 = 2,41 π (200 103 )2 4π r E θ 2 λ2 Aef = 1,5 68,2 dBm η 4π

k η I 2 − j π λ 2 j λπ λ N e e λ = (0) + 0z 2 2 I 1 16π r 2



8

| |

≈ 374pW/m2 ⇒ P dis = P

≈

≈−

¿Cual ser´ıa el retardo de propagaci´ on desde la antena en ´ orbita hasta la situada sobre el cometa respecto a la situaci´ on de espacio libre cuando el rayo atraviesa el n´ ucleo del cometa diametralmente (di´ ametro Dc km) si la permitividad media del n´ ucleo es  y el medio es no magnético? L Dc Dc  τ = + c c

−

√

53


Calcular la expresi´ on del campo eléctrico radiado por la antena en orbita ´ considerando el error de despliegue de 10◦ indicado anteriormente. ¿El error en el despliegue de la antena en ´ orbita modificar´ a la direcci´ on de m´ axima radiaci´ on? Razonar λ λ I 2 kx = k x cos(10◦) + kz sin(10◦) F A(ky ) = e jk y + e− jky I 1 8

8

e− jk r E θ = jkη [sen(θ)(N 0z (kz ) jN 0z (kx ) sen(10◦ )) + 4πr + j cos(θ) cos(φ) cos(10◦ )N 0z (kx )]F A(ky ) e− jkr E φ = kη cos(10◦) sen(φ)N 0z (kx )F A(ky ) 4πr La dirección de máxima radiación sigue siendo la misma porque los diagramas de radiación de los dipolos en λ/2 tienen simetr´ıa de revolución respecto al eje con el que están alineados. El eje Y sigue siendo la dirección ortogonal a ambos dipolos en la que ambos radian la máxima potencia.

−

¿Cu´ al deber´ıa ser el valor del vector de polarizaci´ on de la antena receptora situada sobre el cometa, manteniendo los dipolos A y B ortogonales entre s´ı, para conseguir acoplo de polarizaci´ on con la antena en ´ orbita mal desplegada? ˆr = e

− j sen(10◦)) − j xˆ cos(10◦) ⇒ eˆt = ê∗ r 2 2 ◦ ◦ |1 − j sen(10 )| + cos(10 )

ˆ(1 z



PROBLEMA 2 (1,5 puntos) Una estaci´ on transmisora central se comunica con otras cuatro estaciones fijas que est´ an a la misma distancia de la central, pero en direcciones separadas 90 ◦ . Se piensa construir una antena transmisora compuesta por dos monopolos verticales sobre tierra. Vista desde el aire Estaciones fijas

Monopolos verticales

Primer Caso

Monopolos verticales

Segundo caso

Elegir el espaciado de la agrupaci´ on y la diferencia de fase necesaria para conseguir la m´ axima se˜ nal en las cuatro estaciones bajo el supuesto de que la

54

ń Evaluacio

|FA(ª )|

-¼

-2¼

¼

ª

2¼

ª

45 ª ®=-¼

base de los monopolos ha sido construida sobre la diagonal formada por esas cuatro estaciones fijas . 0 = kd cos(90◦) + α F A(Ψz ) = 2 cos(Ψz /2) α = 0 d = λ 2π = kd cos(0◦ ) + α

|

| |



|⇒

Repetir el apartado anterior suponiendo que el eje de la agrupaci´ on en vez de estar alineado con la diagonal, est´ a sobre la recta que divide el cuadrado en dos rect´ angulos iguales . λ 0 = kd cos(45◦ ) + α F A(Ψz ) = 2 cos(Ψz /2) α π d = = 2π = kd cos(135 ◦ ) + α 2

|

| |



|⇒ −

−

√

PROBLEMA 3 (1,5 puntos) En un reflector parab´ olico TV-SAT, a la frecuencia de 12 GHz, se utiliza una relaci´ on f /Da = 1/(4 tan(β/2)) = 0,4 con Da = 1 m. El alimentador se desplaza Da en direcci´ del foco una distancia d on perpendicular al eje de simetr´ıa de revoluci´ on de la par´ abola. Calcular las diferencias de fase en los extremos de la apertura respecto a las fases cuando el alimentador est´ a en el foco.



∆φ

≈ ±kd sen(β )

Aproximando la distribuci´ on de fases en la apertura por una recta con los valores extremos calculados en el apartado anterior, obtener la relaci´ on entre el desplazamiento del alimentador y la direcci´ on del m´ aximo del diagrama de radiaci´ on de la antena. d sen(β ) ∆θ arctan Da /2

≈





55


Si se desean recibir con un mismo receptor parab´ olico dos satélites que, vistos desde la tierra, est´ an separados un ´ angulo de 12◦ ¿Qué configuraci´ on de antena adoptar´ıa? d

≈±

Da tan(6◦ ) = 2sen(β = 64◦)

±5,8cm

6

µ

3 d

¯

d cos(µ)=d sen(¯ )

6

Aproximación de rayos paralelos 6

56

C.3.8.

ń Evaluacio


CUESTIONES (2,5 puntos) 1. Obtener los valores del ´ area efectiva y la longitud efectiva de un dipolo corto de 10 cm de longitud a una frecuencia de 300 MHz. λ2 12 1,5 = 0, 12 m2 Aef = D= 4π 4π 1 /2 lef = I (z  )dz  = 5 cm I 0 −/2



2. Una antena tiene una ganancia de 5 dBd. Expresar la ganancia en dBi. 5dBd = 5 + 2 ,15 = 7,15dBi 3. En un enlace en espacio libre, se reciben 17 dBm en condiciones de adaptaci´ on de polarizaci´ on en un dipolo en λ/ 2 a 100 MHz ¿cu´ al es el campo eléctrico incidente? E 2 λ2 4,7 − P r = 10 E 80mV/m = 1,64 η 4π

−

⇒ ≈

4. ¿Qué es la eficiencia de desbordamiento de una antena parab´ olica? Ver teor´ıa. 5. Atenuaci´ on por espacio libre expresada en dB a 2 km de la antena, para una frecuencia de 900 MHz. AEL = 32,45 + 20 log(900) + 20 log(2)

≈ 97,5dB

PROBLEMA 1 (2,5 puntos) Una antena est´ a formada por 3 dipolos elementales situados de la siguiente manera: z y I 1

I 1

I 0

x `0

`1

d

`1

d

Los tres elementos radian la misma potencia P t [W] y las corrientes tienen la 2 misma fase. La resistencia de radiaci´ on del dipolo elemental es Rrad = 80π 2 λ



57


Expresi´ on del campo eléctrico radiado por la antena. (1,5 puntos)

− jkr kη e  = jωA θ θ ˆ = j ˆ E sen(θ) [I 0 0 + 2 I 1 1 cos(kx d)] θ 4π r

−

¿Cu´ al es la directividad D(θ, φ) de la antena? (1 punto) P rad = P rad 0

|E |

k2 η 2

2

η0 P rad 4πr 2

42 π 2 r2

=

η0

32 I 02 20

9 = 2 ( λ )

3I 02 80π 2 4πr 2

0

2

⇒

1

⇒ I 0220 = I 1221



9 1 + 2 cos(k sen(θ )cos(φ)d) D(θ, φ) = sen(θ )2 2 3



2

PROBLEMA 2 (2,5 puntos) Se considera la agrupaci´ on de aperturas mostrada en la figura, constituida por 9 elementos igualmente excitados. El valor del campo sobre cualquiera de las aper = E 0 y ˆ. turas es constante e igual a E y

d

x a a

d

E 0 d

d

Sup´ ongase que los campos sobre las aperturas se comportan como ondas planas y que d > a Calcular el campo eléctrico de radiaci´ on lejano. (1,5 puntos) F A(kx , ky ) = (1 + 2 cos(ky d))(1 + 2 cos(kx d))

− jkr e kx a ky a  = j ˆ + cos(φ)φ ˆ E (1 + cos(θ ))E 0a2sinc sinc F A(kx , ky ) sen(φ)θ 2λr 2π 2π Determinar la directividad de la antena en la direcci´ on de m´ axima radiaci´ on. (1 punto)



2 2E 0 a

2

| | E

D=

2λr

max

η P rad 4πr 2

 

=



2

9

η E 02 2 9 η4πr 2a

=

4π 2 9a λ2

(C.3.26)

58

ń Evaluacio

PROBLEMA 3 (2,5 puntos) Dise˜ nar una agrupaci´ on transversal de tres elementos, espaciados λ/4, cuyos l´ obulos secundarios estén a un nivel de 20 dB respecto al principal.

−

Obtener las corrientes en las antenas(1,5 puntos) Usamos la transformación de Riblet x = a cos(Ψ)+ b y el polinomio de Chebychev T 1 (x) = x . T 1(x0 ) = 1 0 x0 = 10 a + b = 10 10 = a cos(0) + b x = 1 = a cos(π/ 2) + b b = 1 a = 11

−

⇒

⇒

⇒

− ⇒

⇒

Luego los coeficientes son [5,5 -1 5,5] Si se mantiene el valor de las corrientes y los desfases, dibujar el diagrama de radiaci´ on que resultar´ıa al disminuir el espaciado a λ/6. (1 punto) |FA(ª)|=|11 cos(ª )-1| 12 10

-¼

ª

¼/3

¼ µ


59

60

ń Evaluacio

C.3.9.


CUESTIONES (2,5 puntos) un los 1. Dos dipolos cortos, ortogonales, centrados en el origen y orientados seg´ ejes x e y respectivamente, est´ an alimentados con la misma amplitud y un desfase relativo de 95 . ¿Cu´ al es el valor de la componente E z en el punto x = 0, y = 0, z = 1000λ? Detallar. E z = E r en (x = 0, y = 0, z = 1000λ) y es nulo por ser campo lejano. o

2. Una antena lineal de longitud 10λ tiene una distribuci´ on uniforme de corriente. Si se hace doble la longitud de dicha antena manteniendo la distribuci´ on de corriente uniforme, razonar cu´ al de las siguientes afirmaciones es falsa: a) La directividad se hace aproximadamente el doble b) La longitud efectiva se hace aproximadamente el doble on se hace aproximadamente el cu´ adruple c) La resistencia de radiaci´ d) El ancho de haz a -3 dB se hace aproximadamente la mitad E El ancho de haz ∆ θ− 3dB se hace aproximadamente la mitad, porque el margen visible de la transformada es el doble (se puede hacer un dibujo de comproE H bación o calcularlo numéricamente). Como D 4π/ (∆θ− 3dB ∆θ−3dB ) la directividad se hace también el doble aproximadamente. La longitud efectiva es el área bajo la curva normalizada de corriente que efectivamente se duplica. Como el área efectiva es proporcional a la directividad, se hace doble también, 2 por lo que como Aef lef /Rrad , la Rrad se duplica, no se hace el cuádruple.

≈

∝

on 3. Una onda cil´ındrica (es decir, suponemos invarianza respecto a la direcci´ del eje del cilindro) con el eje de simetr´ıa de revoluci´ on superpuesto al eje z, presenta un diagrama de radiaci´ on omnidireccional idéntico en cada plano z=cte. Dicha onda es reflejada en campo lejano por un cilindro parab´ olico también invariante respecto z: en cada corte a z=cte, presenta siempre la misma par´ abola con el foco situado sobre el punto (x=0, y=0, z=cte). ¿Cu´ al es del decaimiento de la iluminaci´ on en los bordes de la apertura del reflector? τ = 20log

 E 

a

E a

 

√ 1r = 20 log 1 √ f

 

= 10 log

f r

cos2 ( θ2 )

4. ¿Cu´ al es el espaciado entre los elementos de la agrupaci´ on que hace optimo ´ el empleo de la transformaci´ on del Dolph? ¿Por qué? Ver apuntes 5. ¿Por qué existe impedancia mutua no nula para los dipolos en λ/2 colineales cercanos si el campo radiado en la direcci´ on del eje de los dipolos es nulo? Porque el campo cercano en esa dirección tiene componente radial no nula

61


PROBLEMA 1 (2 puntos) Se define el Factor de Antena como la relaci´ on entre el campo eléctrico de una onda plana (cuya polarizaci´ on est´ a adaptada respecto a la de la antena) incidente sobre la antena y la tensi´ on que cae en la impedancia de carga. El analizador de espectros con entrada adaptada a 50 Ω mide dicha tensi´ on, que en nuestro caso es de 60 dBµ V a la frecuencia de trabajo que es 500 MHz. ¿Cu´ al es el valor del Factor de Antena si la directividad de la antena que estamos empleando es de 8,1 dBi, la eficiencia de radiaci´ on es del 50% y en los terminales de la antena hay adaptaci´ on a la carga de 50 Ω?(1 punto) Aef =

P disp

|E |

2

η0

|V | out

⇒ Aef ηdesadηrad =

RL E 2 η0

| |

2

⇒ |V |E out| | =



η0

≈ 9 m−1 Aef ηdesadηrad RL

Valor del campo eléctrico de la onda plana incidente suponiendo adaptaci´ on de polarizaci´ on (0,5 puntos)

|E | = V out + F A = 60 dBµ V + 20 log(9) dB(m−1) ≈ 79dB(µ V/m)

Si estamos en situaci´ on de espacio libre y aumentamos la distancia a la antena transmisora al doble de la actual en la misma direcci´ on y sentido respecto a la antena transmisora en los que est´ abamos antes, ¿cu´ al es la medida para la tensi´ on que da ahora el analizador de espectros? (0,5 puntos) Segú n la fórmula de Friis la potencia recibida cae con el cuadrado de la distancia, as´ı que la tensión recibida será la mitad, es decir unos 54 dB µ V aproximadamente

PROBLEMA 2(3 puntos) Considere dos dipolos de longitud λ/2 situados horizontalmente sobre un plano conductor eléctrico perfecto ilimitado que coincide con el plano xy, tal y como se muestra en la figura. La altura h sobre el plano conductor del dipolo superior es igual a λ. z I 1

LdT

h λ/2

terminales

λ/4 I 2 y

x plano conductor perf ecto ilimitado

62

ń Evaluacio

Considerando la presencia del plano conductor perfecto ilimitado: Vector de radiaci´ on en funci´ on de I 1 suponiendo I 2 = I 1 (1,5 puntos) N 0z (kz ) = 2kI 1

cos(kz H ) k 2 kz2

F A(θ, φ) = 2 j (sen(kz λ) + sen(kz λ/2))

−





 = N 0z (ky )F A(θ, φ) θ ˆ cos θ sen φ + φ ˆ cos φ N

Direcci´ on de m´ axima radiaci´ on suponiendo I 2 = I 1 (0,5 puntos) El diagrama de radiación del elemento centrado en el origen tiene simetr´ıa de revolución en torno al eje y , con la dirección de máximo ortogonal a dicho eje. El factor de agrupación presenta simetr´ıa de revolución respecto al eje z . Por el principio de multiplicación de diagramas, el máximo se encuentra pues en el plano XZ y por tanto ky = 0 porque φmax = 0, φmax = π . Entonces tenemos que maximizar sen(2 α) + sen(α) donde α = k z λ/2 = π cos(θ). d (sen(2α) + sen(α) ) = 0 dα 2 cos(α)2 2sen(α)2 + cos(α) = 0

⇒ 2 cos(2α) + cos(α) = 0 ⇒ 4cos(α)2 +√ cos(α) − 2 = 0 −1 + 33 arc cos

− √ −1 ± 33 ⇒ αmax = cos(α) = 8

   ≈ 8

θmax = arc cos

αmax π

72, 67o

(C.3.27)

A partir de ahora consideraremos los dos dipolos en espacio libre, sin la influencia del plano conductor: Calcular la impedancia de entrada de cada uno de los dos dipolos teniendo en cuenta los efectos mutuos entre ellos (0,5 puntos) Por simetr´ıa V 1 = V 2 e I 1 = I 2 as´ı que tenemos: V 1 = I 1Z 11 + I 2 Z 12 = I 1 (Z 11 + Z 12)

⇒ Z 1 = V I 11 = Z 2 = 60 + j 14 Ω

Explicar c´ omo hacer resonante cada dipolo sin variar mucho la resistencia de radiaci´ on(0,25 puntos) Por ejemplo podemos poner un condensador en serie en la base de cada dipolo. Tambi´ en podemos acortar un poco los dipolos. Suponiendo que hemos conseguido hacer resonar los dipolos sin cambiar la resistencia de radiaci´ on, ¿cu´ al ser´ıa la impedancia caracter´ıstica de los tramos de LdT en λ/4 para que en los terminales hubiera adaptaci´ on a 600 Ω? (0,25 puntos) Al ser la conexión en paralelo, a la entrada de cada uno de los tramos debo ver 1200 Ω para que el paralelo de los dos sea 600 Ω: Z 0 =



Z in Z L =

√

1200 60

≈ 268Ω

63


PROBLEMA 3 (2,5 puntos) Se considera la agrupaci´ on de aperturas mostrada en la figura, constituida por 4 elementos igualmente excitados. El valor del campo sobre cualquiera de las aper = E 0 y ˆ turas es constante e igual a E y

d

x a a

d

E 0 d

d

Sup´ ongase que los campos sobre las aperturas se comportan como ondas planas y que d > a Calcular el campo eléctrico de radiaci´ on suponiendo el punto de observaci´ on infinitamente alejado (1 punto) e− jkr kx a ky a  ˆ + cos(φ)φ ˆ E0 = j (1 + cos θ )E 0 a2sinc sinc sen(φ)θ 2λr 2π 2π  total = 2 cos(ky d)2 cos(kx d)E  0 E





Determinar la directividad de la antena en la direcci´ on de m´ axima radiaci´ on en la situaci´ on anterior (0,5 puntos) Iluminación uniforme Aef = A geom: 4π D = 2 4a2 λ Considerando la distancia d lo suficientemente grande como para aplicar la condici´ on de campo lejano a una distancia d de cada apertura, ¿cu´ al ser´ıa la componente E y total en el punto (x=0,y=0,z=d)? (1 punto) d para poder aplicar campo lejano a una Al hacer crecer d, dejando a distancia d el campo total será la superposición de los 4 campos radiados.



n=3

E y =



 0(θ = 55o, φ = 45o + n90o , r = E

n=0

√ jkd 3 − e

√

ˆ = 3d2 ) y

·

a sen55o cos 45o a sen55o sen 45o = 4 j (1 + cos 55 )E 0 a sinc sinc λ λ λd 2 3 [cos(55 o) sen(45o)2 + cos(45o)2]

√

o

2

64

ń Evaluacio

C.3.10.


CUESTIONES (2,5 puntos) 1. Un dipolo corto centrado en el origen est´ a alineado con el eje z . ¿Cu´ al es el valor de la componente E x en el punto x = 0, y = 0, z = 1000λ? Detallar. El diagrama de radiación del dipolo corto es t(θ, φ) = sen2 (θ ) y por lo tanto el campo radiado en la dirección θ = 0 es nulo 2. En una agrupaci´ on uniforme de 9 elementos, si se desconecta el elemento central, ¿cu´ anto empeora el nivel del l´ obulo principal a secundario expresado en dB?

 

sen F A0 (Ψ) = sen

 

9Ψ 2 Ψ 2

F A1(Ψ) = F A0(Ψ)

9 NLPS 0 NLPS 1 = 20 log F A0( 2π 9 1 , 5)

−

 −

 

−1

8 20 log F A0 ( 2π 9 1 , 5)

 − ≈ 1

4, 55dB

3. ¿Qué decae m´ as r´ apido con la distancia al propagarse en espacio libre en una zona muy alejada de la fuente en términos de la longitud de onda, una onda esférica o una onda cil´ındrica? ¿Por qué? La superficie de un frente de onda esférico es proporcional a la distancia al centro al cuadrado, mientras que un frente de onda cil´ındrico es proporcional al radio. Al tratarse de ondas TEM la densidad superficial de potencia decae a mayor ritmo con la distancia en el caso esférico 4. Al acercar un dipolo a un plano conductor eléctrico perfecto paralelo a él, razonar si su impedancia de entrada tiende a: a) Z 11 b) 2Z 11 c) 0 d) No var´ıa Tiende a cero ya que en el l´ımite lo que hacemos es cortocircuitar el dipolo 5. ¿Cu´ al de estas expresiones para el campo lejano es incorrecta? Razonar  =  a)E r = jωA r b)E θ = jωA θ c)E φ = jωA φ d)E Φ jω A Resulta fácil darse cuenta de que la expresión incorrecta es la a) ya que en campo lejano, y puesto que tenemos campos TEM, la componente radial del campo eléctrico debe ser nula, sin embargo la componente radial del potencial vector podr´ıa no serlo. El resto de las expresiones son las vistas en teor´ıa y, por tanto, correctas.

−

−

−

−∇ −

PROBLEMA 1 (3 puntos) Utilizamos como antena receptora un dipolo de longitud λ/2 que se sit´ ua paralelo, a una distancia d = λ/2, de la arista de un diedro de dos semiplanos conductores eléctricos perfectos, que forman un angulo ´ de 90 ◦. El dipolo es paralelo al eje Z, centrado en x = λ/2, y = 0, z = 0. Los semiplanos est´ an situados

65


)−cos(kH ) en φ = 45◦. Dato: N 0z (kz ) = 2kI m cos(kz H para un dipolo de longitud k −kz total 2H centrado en el origen y alineado con el eje Z.

±

2

2

Expresi´ on para el vector de radiaci´ on del dipolo, incluyendo el efecto de los planos conductores. (1 punto) N r = N 0z (kz )2 [cos(kx λ/2) N θ =

− cos(ky λ/2)] cos(θ)

−N 0z (kz )2 [cos(kxλ/2) − cos(ky λ/2)] sen(θ)

Obtener los campos radiados en todo el espacio. (0,5 puntos)  = 60 j E

e− jkr

E θ ˆ  H = φ η

r

I m

cos

  π 2 cos θ

sen θ

2 [cos(kx λ/2)

− cos(ky λ/2)] θˆ

Calcular la impedancia de entrada. (0,5 puntos) Z 11 = 73 + 43 j Z 12 = Z 14 = 25 + j Z 13 = 4 + 18 j Z = Z 11 + Z 13 Z 12 Z 14 = 127 + 59 j [Ω]

−

−

−

Calcular la directividad. (0,5 puntos) D =

|E |

2

max

η P rad 4πr 2

=

|

60I m 4

r

2

|

η I m Re(Z ) 4πr 2 2

= 15, 12 = 11, 8 dB

En la direcci´ on del eje X, en espacio libre, a una distancia de 1 km, se encuentra un transmisor que radia hacia nuestro dipolo con una PIRE de 1 kW, ¿cu´ al es la potencia disponible en nuestra antena receptora si la frecuencia de trabajo son 600 MHz? (0,5 puntos) Suponemos adaptación de polarización y ausencia de pérdidas P IRE λ2 P = D = 23, 9 µ W 4πr 2 4π

PROBLEMA 2 (2 puntos) Se pretende dise˜ nar una bocina piramidal con una apertura de B = 10λ en el plano E. La bocina es alimentada por una gu´ıa rectangular en la que se propaga el modo TE10. Si hacemos las diferencias de camino m´ aximas respecto al centro de la apertura igual a 0, 25λ en el plano E y 0,375λ en el plano H. Determinar la profundidad L de la bocina (altura de la pir´ amide) (0,5 puntos) LE = 50λ ∆ = 0, 25λ = (5λ) 2LE 2

⇒

66

ń Evaluacio

Calcular la apertura A de la bocina en el plano H (0,5 puntos) LH = LE ; A = λ 150 ∆ = 0, 375λ = (0,5A) 2LH 2

√

⇒

Encontrar el ancho de haz a 3dB en los planos E y H (1 punto) Como estamos en el caso óptimo, la ca´ıda a -3 dB se producirá con amplitud x tal que: x x = 0, 64 20log = 3 dB 0, 9 De modo que en las gráficas podemos encontrar para qué valores de abscisa tenemos x = 0, 64 por ordenada en cada plano:

−

 

Plano H : u

Plano E : u

≈ 2, 2 = ≈ 1, 5 =

−

kA sen

⇒

  ⇒   ∆θ−3dBH 2

2

kB sen

∆θ−3dBE 2

≈ 6, 5o

∆θ−3dBH

⇒ ∆θ−3dB ≈ 4, 5o

2

E

PROBLEMA 3 (2,5 puntos) Se considera una agrupaci´ on transversal (broadside) uniforme con un n´ umero de elementos N 1. La longitud total de la agrupaci´ on L = (N 1)d es grande frente a la longitud de onda, donde d es la distancia de separaci´ on entre los elementos.



−

Encontrar una aproximaci´ on para el ancho de haz a -3 dB de la agrupaci´ on en funci´ on de su longitud L y de la longitud de onda de trabajo λ. (1 punto) En este caso cerca del origen, el factor de agrupación se puede aproximar por una sinc, que vemos gráficamente que presenta una ca´ıda a mitad de potencia en el 44 % de la distancia al primer nulo. Si asumimos que la agrupación está alineada con el eje Z Ψ−3dB = kd cos θ−3dB

 − 

π 2π L cos 2 λ N 1

−

∆θ−3dB 2 ∆θ−3dB sen 2

≈ ≈

 ≈

2π N 2π 0, 443 N λ 0, 443 L 0, 443

⇒ ∆θ−3dB ≈ 0, 886 Lλ rad

Dibujar el factor de agrupaci´ on y el diagrama de radiaci´ on en el espacio real si N = 5 y d = λ/ 2 (1 punto) Ver teor´ıa ¿Cu´ al ser´ıa el desfase progresivo α que habr´ıa que aplicar entre los elementos para convertir la agrupaci´ on en longitudinal (endfire)?. Dibujar el diagrama de radiaci´ on (0,5 puntos) Ver teor´ıa

67


C.3.11.


CUESTIONES (2,5 puntos) 1. Tenemos tres dipolos de longitud L=2H cada uno, paralelos al eje Z, centrados sobre el eje X y equiespaciados. Los tres tienen corrientes idénticas en m´ odulo pero la corriente del dipolo central est´ a en oposici´ on de fase: I 1 = I 2 = I 3. La autoimpedancia de cada antena es Z 11 = Z 22 = Z 33 = 100Ω y las impedancias mutuas son Z 12 = Z 32 = 40Ω y Z 13 = 10Ω. ¿Cu´ al es la resistencia de radiaci´ on de cada antena? V 1 = I 1Z 11 + I 2 Z 12 + I 3Z 13 = I 1 (Z 11 Z 12 + Z 13) = I 1 50 Rrad , = 50Ω V 2 = I 1Z 21 + I 2 Z 22 + I 3Z 23 = I 2( Z 12 + Z 22 Z 32 ) = I 2 20 Rrad = 20Ω V 3 = I 1Z 31 + I 2 Z 32 + I 3Z 33 = I 3 (Z 13 Z 32 + Z 33) = I 3 50

−

−

− − −

 

−

1 3 2

on el´ıptica 2. Una antena embarcada en un satélite de telemetr´ıa tiene polarizaci´ a derechas con una relaci´ on axial de 7 dB. La estaci´ on terrestre tiene polarizaci´ on el´ıptica a derechas con una relaci´ on axial de 1,5 dB. Determinar el valor m´ aximo posible para las pérdidas de desacoplo de polarizaci´ on. Explicar brevemente qué es la rotaci´ on de Faraday. E max E max RA1 = 7dB = 20 log = 10 2, 24 E m´ın E m´ın E max E max 1, 19 RA2 = 1, 5dB = 20 log E m´ın E m´ın El caso más desfavorable ocurre al ser ortogonales los ejes mayores de las dos elipses, supondremos el origen de coordenadas en el sat´ elite con el eje Z apuntando a la base terrestre:

| |

 −  

1

1

1

1

1

1

 ≈ 2

·



7 20

1

ˆ j 2, 24 ˆ y 1, 19 ˆ x + j y ˆ∗2 2 = C p = eˆ1 e 0,81 2 2 2, 24 + 1 1, 19 + 1 La rotación de Faraday está explicada en teor´ıa.

| · |

ˆ x

| ⇒ | | ≈ | | | | | ⇒ | | ≈ | | | | 1

⇒ L = 10 log C 1 p ≈ 0,9dB

3. Al dise˜ nar una agrupaci´ on lineal uniforme de N elementos, se desean evitar los l´ obulos de difracci´ on en el diagrama de radiaci´ on. Teniendo en cuenta que el valor de la direcci´ on del m´ axima radiaci´ on del array en el espacio real es θmax . ¿Cu´ al es el espaciado relativo a la longitud de onda d/λ entre los elementos para que no aparezcan los l´ obulos de difracci´ on en el diagrama? Debemos imponer la condición de que como máximo aparezca un periodo del factor de agrupación en el margen visible. Como el punto Ψ = 0 está incluido en el diagrama esto significa que α = kd cos θmax y por tanto: d 2π 1 kd + α d(1 + cos θmax ) 2π 2π λ λ 1 + cos θmax También se acepta como solución dejar fuera del diagrama cualquier punto que forme parte en el factor de agrupación del lóbulo de difracción:

−

| | ≤ ⇒

kd + α

| | ≤ 2π −

|

2π = 2π (1 N

| ≤ ⇒ ≤ d λ

|

N 1 N

−

− 1/N ) ⇒ ≤ 1 + cos |θmax|

|

68

ń Evaluacio

nar una apertura circular plana. ¿Cu´ al es el m´ınimo di´ ametro 4. Se desea dise˜ necesario para conseguir una directividad de 30 dBi?. ¿Qué tipo de distribuci´ on de campo en la apertura se corresponder´ıa con este valor de directividad? Explicar. Dado que es una directividad elevada se trata de una apertura grande respecto a la longitud de onda. En ese caso el mayor rendimiento se obtendrá con eficiencia de iluminación igual a la unidad, es decir con iluminación uniforme, con lo que el área geométrica coincidirá con el área efectiva: Aef = A geo ηilu = π

  Da 2

2

λ2 = D 4π

⇒

λ Da = π



30 10

10 [m]

 = E 0e− jkx[(1 + 3 j )ˆ y + on axial de la siguiente onda plana E 5. Dar la relaci´ (2 j )ˆz]. ¿Cu´ al es la potencia diponible en un dipolo elemental centrado en el origen y alineado con el eje Y?

−

ˆ + j zˆ y 1 + 3 j + 2 j + 1 2 + 5 j ˆ ∗ = E 0 [(1+3 j )ˆ  R E R = E y+(2 j )ˆ z] = E 0 = E 0 2 2 2 ˆ j ˆz y j 1 + 3 j 2 j 1  L ˆ ∗ = E 0 [(1+3 j )ˆ E L = E y + (2 j )ˆ z] = E 0 = E 0 2 2 2 La relación axial de esta onda el´ıptica polarizada a derechas será:

· √ − − · √

·

√ − − √

−

·

√ √

√ 29 + 1 E R | + |E I | | RA = 20 log |E R| − |E I | = 20log √ 29 − 1 ≈ 3, 3 dB

La potencia disponible en el dipolo elemental ser´ıa:

|E |2 Aef C p = |E 0(1 + 3 j )|2 λ2 1, 5[W] 120π

η

4π

PROBLEMA 1 (3 puntos) Una antena Franklin est´ a construida con un hilo de longitud total 9 λ/2 doblado como se muestra en la figura (  = λ/4). Las corrientes en el hilo doblado se suponen las mismas que habr´ıa en un hilo de la misma longitud sin doblar. Dato: )−cos(kH ) N 0z (kz ) = 2kI m cos(kz H para un dipolo de longitud total 2H centrado en k −kz el origen y alineado con el eje Z. 2

2

`

`

` `

`

` `

`

` ` `

z

` ` `

69


Obtener la distribuci´ on de corrientes de un dipolo ordinario de brazo H = on ortogonal al dipolo. (0,5 9λ/4. Calcular la longitud efectiva en la direcci´ puntos) I (z ) = I m sen(k (H z )) z H

−| |

| |≤

La longitud efectiva será la misma que en un dipolo en λ/2 porque los tramos I (z) z 9λ 4

−H = −

9λ 4

−H =

adicionales de corriente se compensan entre s´ı: 9λ 4



λ





λ

1 sen(kz ) 2 λ cos(kz )dz = = = [m] ef = I 0 cos(kz )dz = I 0 − λ k −λ −λ k π 4

9 4

4

4

4

Dibujar la distribuci´ on de corrientes que contribuyen a la radiaci´ on de la antena Franklin. Es importante tener en cuenta que en los stub la separaci´ on entre los hilos paralelos es muy peque˜ na frente a la longitud de onda y se comportan como una l´ınea de transmisi´ on.(0,5 puntos) I (z)

−H = −

5λ 4

H =

5λ 4

z

Calcular el vector de radiaci´ on y la longitud efectiva.(1 punto) N θ =



 

cos( π2 cos(θ)) kz λ 2I 0 1 + 2 cos k sen θ 2

−

 (θ = π/2) N  ef = = I 0



+ 2 cos (kz λ)

−5 πλ θˆ [m]

Donde kz = k cos θ . Obsérvese que se ha multiplicado por 5 la ef Un dipolo de longitud 2H = λ/2 paralelo al eje Z est´ a centrado en el punto x = 0, y = 100λ, z = 0 obtener el valor de la tensi´ on inducida en dicho dipolo por la antena Franklin. (1 punto) µ e− jkr e− jkr ˆ  ˆ ˆ E = E θ θ = jω N θ (θ = π/2, φ = π/2)θ = 300 j I 0 θ [V/m] 4π r r

−

V ca =

300 j I 0 e− jk100λ [V] ⇒ |V ca | ≈ I 0 [V] − ef · E = πλ 100 λ

70

ń Evaluacio

PROBLEMA 2 (2,5 puntos) Dise˜ nar una agrupaci´ on bin´ omica transversal de cuatro dipolos cortos paralelos al eje Z y centrados en el eje X en x = d/2, 3d/2 con d = λ/ 2

±

±

Encontrar los coeficientes de excitaci´ on, el factor de la agrupaci´ on y la expresi´ on de los campos eléctricos en cualquier direcci´ on del espacio.(1,5 puntos) Los coeficientes se extraen de un binomio de 4 sumandos: [1 3 3 1]



          3

Ψx F A(Ψx) = 2cos 2

kd sen θ cos φ = 2cos 2

3

 = E θ θ  0 F A(Ψx ) = ˆθ j ωµ e− jkr I 0 sen(θ ) 2cos kd sen θ cos φ ˆ = E E 4πr 2 2

3

[V/m]

 0 E

Redise˜ nar la agrupaci´ on anterior para convertirla en una de Chebychev con un nivel de l´ obulos secundarios de -40 dB, obteniendo los coeficientes de excitaci´ on.(1 punto) arg ch 100 x0 = ch 3 3



≈    −   

Ψ T 3(x0 cos(Ψ/2)) = 4 3cos 2

Los coeficientes son por tanto [1

3

8 3

Ψ 3 3cos 2 8 3

 



3Ψ Ψ = 27 cos +72 cos 2 2

1]

PROBLEMA 3 (2 puntos) Tenemos una apertura cuadrada de lado  con iluminaci´ on uniforme. Est´ a situada sobre el plano XY y centrada en el origen. Calcular el ´ area efectiva si  λ y se trata de una apertura elemental. (1 pt) Al ser una apertura pequeña en términos de λ no podemos aplicar la expresión de la ηilu .



λ2 λ2 Aef = D= 4π 4π

λ2 4π = t d (Ω) Ω 4π 2π 4π



4π

λ2 2 = 3 [m ] 2 π 4 sen θdθ

   π 0

1+cos θ 2

 y H  radiados en todo el espacio y dibujar el diagrama Calcular los campos E de radiaci´ on. (1 punto)  x ˆ y η = Z 0. El diagrama de radiación es un cardioide. Con iluminación E



−jkr E θ = ηH φ = jE 0 2 e2λr (1 + cos θ )cos φ −jkr E φ = ηH θ = jE 0 2 e2λr (1 + cos θ)sen φ

−

−



 2 E

| | = t(θ, φ) = |E |2máx



1 + cos θ 2



2

71


C.3.12.


CUESTIONES (2,5 puntos) on uniforme 1. Una antena centrada en el origen posee una intensidad de radiaci´ en la regi´ on 0 θ π/ 3, 0 φ < 2π y nulo en el resto de direcciones. Calcular la directividad D(θ, φ) para cualquier direcci´ on.

≤ ≤

≤

4π Ω D= = = t θ, φ d ( ) Ω Ω e 4π



4π

4π = =4 π π 0 sen(θ )dθdφ

  2π 0

3

ˆ + j y ˆ que se propaga en la er = x 2. Una onda plana con polarizaci´ on circular  direcci´ on y sentido de las z decrecientes incide sobre un dipolo corto centrado ˆ . ¿Cu´ en el origen de coordenadas y alineado con el vector zˆ + x anto valen las pérdidas por desacoplo de polarizaci´ on? Razonar. Puesto que la antena receptora tiene polarización lineal y la transmisora polarización circular se acoplará la mitad de la potencia máxima disponible, es decir tendremos unas pérdidas de -3 dB. 2

ˆ1 eˆ2 = C p = e

| · |

 √

ˆ + j y ˆ x 2



2

· (ˆx + ˆz)

= 0,5

⇒ −3dB

3. Se tiene una agrupaci´ on uniforme de N antenas, siendo N muy grande. ¿Es cierto que el nivel del primer l´ obulo secundario adyacente al principal del factor de agrupaci´ on est´ a aproximadamente 10log10 (9π 2/4) [dB] por debajo de éste? Adm´ıtase, como hip´ otesis simplificadora, que cada m´ aximo secundario se encuentra aproximadamente en medio de dos nulos consecutivos. Al estar el máximo del lóbulo secundario entre dos nulos consecutivos, sabiendo que los nulos están cada 2π aximo secundario estará en N , el primer m´ 2π N 1, 5.

·

≈ 20 log

NLPS



|F A(0)| |F A( 2πN · 1, 5)|



9(π )2 = 20 log( 2N ) = 10 log( ) 4 3π N

Por lo que se comprueba que la expresión es correcta para valores de N elevados. N sen( 2π 2π 1 2N N 1, 5 2 ) F A( 1, 5) = = = 1,5 3π N 3π sen( 2π ) 2N N 2

|

·

| |

·

· | ·

4. En los reflectores parab´ olicos el ´ area efectiva es proporcional al ´ area f´ısica e independiente de la frecuencia dentro de un rango de frecuencias razonable. Para disminuir las pérdidas por propagaci´ on en espacio libre, ¿debemos usar las frecuencias altas o las bajas dentro de ese rango? Razonar. Las pérdidas por atenuación Lb son proporcionales a las pérdidas en espacio libre AEL que vienen definidas como:

72

ń Evaluacio

AEL = 32,45 + 20 log(f (M Hz )) + 20 log(d(Km))dB

Por lo tanto interesa hacer el término relativo a la frecuencia lo más pequeño posible , es decir, trabajar con frecuencias bajas. on con un satélite desde la superficie terrestre 5. ¿Ser´ıa posible una comunicaci´ si el satélite est´ a en ´ orbita geoestacionaria y se utiliza onda larga? ¿Por qué? Un satélite en órbita geoestacionaria (GEO) permanece más o menos estacionario respecto un punto fijo de la tierra y trabaja en bandas de frecuencias altas, entorno a 10-30 GHz por lo que trabaja con longitudes de onda pequeñas, ondas cortas, siendo inviable en este caso la comunicación con ondas largas.

PROBLEMA 1 (2,5 puntos) En los 8 v´ ertices de un cubo de lado igual a λ/4 y centrado en el origen, se ˆ . En cada uno colocan 8 dipolos cortos. Cada uno de estos dipolos es paralelo a x de los 8 vértices del cubo se encuentra el centro de uno de los dipolos. Calcular el vector de radiaci´ on de esta agrupaci´ on de ocho dipolos cortos si est´ an alimentados por corrientes en fase y de valor I 0 (1 punto)  y H  radiados? (0,5 puntos) ¿Cu´ al es la expresi´ on de los campos E

¿Cu´ al ser´ıa la fase relativa que se aplicar´ıa a cada elemento para tener un m´ aximo de radiaci´ on en la direcci´ on ˆz y un nulo en la direcci´ on zˆ? Justificar (1 punto)

−

PROBLEMA 2 (2,5 puntos) Tenemos una agrupaci´ on lineal con coeficientes de alimentaci´ on reales y positivos [1 2 3 2 1]. Las antenas est´ an situadas sobre el eje Y con una separaci´ on d = λ/ 2 entre ellas. Calcular el m´ odulo del factor de agrupaci´ on(0,5 puntos) Vemos que se trata de una agrupación triangular y, por tanto, su factor de agrupación es: 2 sen 64 Ψ F A(Ψ) = 2 sen Ψ2

|

|

     

Representar el diagrama de radiaci´ on si se trata de una agrupaci´ on transversal (fase progresiva nula) de antenas isotr´ opicas (1 punto) Representando el módulo del factor de agrupación en cartesianas y polares podemos ver la distribución de los lóbulos en el espacio:

73


Rehacer el diagrama de radiaci´ on si se da la circunstancia de que los 3 elementos centrales se apagan y la alimentaci´ on queda as´ı: [1 0 0 0 1] (1 punto)

En este caso el módulo del factor de agrupación queda:

|F A(Ψ)| =



j4Ψ

1 + e

 

j2Ψ

= e



∗ (e− j2Ψ + e j2Ψ) = |2 ∗ cos(2Ψ)|

Representando en cartesianas y polares:

74

ń Evaluacio

PROBLEMA 3 (2,5 puntos) Una apertura grande en términos de λ en forma de rombo, con ejes mayor y menor de longitud a y b respectivamente, est´ a centrada el origen y situada sobre  0 con polarizaci´ el plano XY. Tiene iluminaci´ on uniforme E on lineal paralela al eje mayor del rombo, situado sobre el eje X . Se pide: Hacer un dibujo de la apertura y del sistema de coordenadas. Calcular el  radiado en la direcci´ campo E on del m´ aximo y la potencia total radiada por la apertura (0,5 puntos) Calcular la directividad y el area ´ efectiva(1 punto)  radiado en todo el espacio por la apertura(1 punto) Expresi´ on del campo E

75


C.3.13.


CUESTIONES (2,5 puntos) 1. La impedancia mutua entre dos dipolos en λ/2 colineales pr´ oximos entre s´ı es distinta de cero (ver la gr´ afica en el reverso) a pesar de que el campo radiado es nulo en esa direcci´ on para este tipo de antena. ¿C´ omo es posible esto? Porque al tratarse de una separación pequeña no nos encontramos en codiciones de campo lejano. 2. Una antena de hilo alineada con el eje Z radia ondas cil´ındricas en espacio libre dentro de la zona de interés. En condiciones de adaptaci´ on de polarizaci´ on, si se duplica la distancia de la antena receptora al origen de coordenadas, alejando ésta en la direcci´ on θ = 30◦ ¿Qué atenuaci´ on se observa en el campo respecto a la posici´ on inicial? 3. En un enlace en espacio libre con adaptaci´ on de polarizaci´ on, conozco la directividad de una de las dos antenas en la direcci´ on de interés ( D1 = 1, 5) pero tengo que averiguar también la directividad de la otra ( D2 ). Resulta que si alimento con corriente I 0 la primera antena descubro que tengo la misma tensi´ on en circuito abierto en la segunda antena que si alimento la segunda antena con corriente I 0 y mido la tensi´ on en circuito abierto en la primera. Sin conocer el valor concreto de la tensi´ on, ¿con este experimento puedo conocer D2? Razonar y dar el valor de D2 si es posible. 4. En un enlace en espacio libre, tenemos como transmisor un dipolo infinitesimal y como receptor un dipolo de longitud λ/2. Est´ an paralelos y centrados en z = 0 y z = 1000λ respectivamente. ¿Cu´ al es la potencia disponible en el dipolo receptor expresada en dBu si la corriente de entrada al transmisor es I 0 = 0,1 A? 5. Al origen de coordenadas llega un campo eléctrico radiado que llega desde una ˆ + j 3ˆz)/ 11). x + y antena muy alejada con la siguiente polarizaci´ on eˆ = (ˆ ¿Podemos saber en qué direcci´ on se encuentra la antena emisora en condiciones de espacio libre? Razonar y calcular la direcci´ on si es posible.

√

PROBLEMA 1 (1.5 puntos) A una frecuencia de trabajo de 100 MHz se emplea como antena una espira de 4, 5 cm de radio. Aunque en un primer momento el aspecto es el de una espira normal, se descubre que en la parte diametralmente opuesta a los terminales de alimentaci´ on hay un corte que impide que la espira se cierre.

76

ń Evaluacio

Represente las corrientes en la antena de forma aproximada y calcule el vector de radiaci´ on(1 punto) Si la antena est´ a centrada en el origen y situada sobre el plano XY, ¿habr´ a campos radiados en la direcci´ on θ = 0?. Razonar comparando con una espira elemental.(0,5 puntos)

PROBLEMA 2 (3 puntos) Una agrupaci´ on broadside de 5 antenas isotr´ opicas tiene un diagrama de radiaci´ on con un ancho de haz entre nulos de 60◦ y otros nulos en las direcciones que forman 33◦ con el eje del array. El espaciado es λ/2 Obtenga el polinomio de la agrupaci´ on a partir de los ceros, utilizando el método de Schelkunoff (1 punto) ¿Cu´ al es el factor de la agrupaci´ on?(1 punto) Calcule la directividad(0.5 puntos) Obtenga el factor de la agrupaci´ on si se apaga la tercera antena(0.5 puntos)

PROBLEMA 3 (3 puntos) La antena de apertura mostrada en la figura se abre sobre un plano conductor eléctrico perfecto. Tiene forma rectangular y se conoce la distribuci´ on del campo magnético en ella, observ´ andose que es constante en cada uno de los rect´ angulos menores en que aquella se divide. El vector del campo est´ a contenido en la apertura y la direcci´ on correspondiente en cada uno de esos rect´ angulos menores se indica en la figura, siendo en unos casos paralela al eje X y en otros paralela al eje Y. Calc´ ulese el campo eléctrico de radiaci´ on de la apertura y particular´ıcese para el plano ZX. (1 punto) Obténgase la potencia radiada por la apertura (0.5 puntos) Ded´ uzcase la expresi´ on de la directividad sobre el plano ZX y calc´ ulese la directividad de la antena en la direcci´ on de m´ axima radiaci´ on. (1 punto) Con el fin de medir experimentalmente el comportamiento con la polarizaci´ on de la antena, se dispone un dipolo infinitesimal que puede girar en un plano perpendicular a la direcci´ on de llegada de las ondas, como puede verse en la

77




 











 

 

 



 

 

 

 

figura. Por simplicidad s´ olo se mide en el plano ZX. Justif´ıquese cuantitatiα (indicado en la figura) se obtiene un vamente para qué valores del angulo ´ m´ aximo y un m´ınimo de la se˜ nal medida en el dipolo, y ello para valores del ◦ ◦ angulo θ = 0 y θ = 45 (0.5 puntos) ´

78

ń Evaluacio

C.3.14.


CUESTIONES (2,5 puntos) 1. ¿Cu´ al es el valor de la directividad de una antena que posee un diagrama de radiaci´ on uniforme para 30◦ θ 150◦ , 0◦ φ 360◦, con valor nulo en el resto de direcciones? Trabajamos con la expresión general de la directividad y los ángulos expresados en radianes.

≤ ≤

D=

4π Ω = = t θ, φ d ( ) Ω Ω e 4π



≤ ≤

4π 5π 6

  2π 0

π 6

sen(θ )dθdφ

=

4π

2π [

∗

√ 3 2

+

√ 3 2

]

≈ 1,555

2. Una espira elemental centrada en el origen y contenida en el plano XZ ,  = est´ a bajo la influencia de una onda plana que se puede expresar como E ˆ . ¿Cu´ e jkz y al es la m´ axima potencia que es capaz de entregar esta antena al receptor? ¿Se puede conseguir m´ as potencia girando la espira? 3. ¿Es posible que un campo radiado en espacio libre desde el origen de coorde = x ˆ e jkx en campo lejano para puntos nadas tenga la siguiente expresi´ on: E situados lejos del origen sobre el eje X ?. Seg´ un la expresión indicada el campo eléctrico ser´ıa m´ınimo en el origen e ir´ıa aumentando a medida que vamos avanzando en x crecientes , por lo que  = x ˆ e− jkx . la expresión correcta ser´ıa E al es el grado del polinomio de Chebyshev que hay que utilizar para re4. ¿Cu´ alizar una s´ıntesis de coeficientes para 8 antenas usando la transformaci´ on de Dolph? Sustituyendo la forma x = x0 cos( Ψ2 ) en los polinomios de Chebychev de distintos órdenes vemos que un polinomio de grado n nos genera N +1 antenas. De modo que el polinomio que tenemos que usar es el de grado n = N 1 y para este caso es el de grado 7.

−

olica? 5. ¿Qué significa la eficiencia de desbordamiento en una antena parab´ Es la relación entre la potencia radiada que llega al reflector procedente del alimentador situado en el foco y la potencia total radiada por el alimentador.

PROBLEMA 1 (3 puntos) A una frecuencia de trabajo de 100 MHz se emplea como antena transmisora un dipolo de longitud total 3λ/4. Represente la corriente en la antena de forma aproximada y proporcione una expresi´ on anal´ıtica para la misma (1 punto) Si la antena est´ a centrada en el origen y es paralela al eje Z, ¿Habr´ a campos radiados en la direcci´ on θ = 0? Razonar(0,5 puntos)

79


¿Cu´ al es el valor de la resistencia de radiaci´ on ( Rrad ) que usar´ıamos en el circuito equivalente de la antena en transmisi´ on si sabemos que cuando el m´ aximo de la distribuci´ on espacial de corriente sobre los brazos de la antena tiene valor I max tenemos una potencia radiada de valor P rad ? (0,5 puntos) A continuaci´ on empleamos la antena en recepci´ on: ¿Cu´ al es el valor de la longitud efectiva (en la direcci´ on de m´ axima radiaci´ on) de la antena? (0,5 puntos) ¿Cu´ al es la tensi´ on en circuito abierto en dicha antena al recibir la siguiente  = ˆze jkx [ V/m ]? (0,5 puntos) onda plana: E

PROBLEMA 2 (3 puntos) Se considera una agrupaci´ on bin´ omica endfire (longitudinal) centrada en el origen y compuesta por 5 dipolos infinitesimales de logitud , paralelos al eje X , con sus centros de fase alineados sobre el eje Y . El espaciado entre elementos es de λ/2 Obtenga el polinomio de la agrupaci´ on(0,5 puntos) Represente el diagrama de radiaci´ on en el plano ZY (1 punto) Proporcione la expresi´ on general de los campos radiados(1 punto) Obtenga el polinomio de la agrupaci´ on si se apagan las tres antenas centrales(0,5 puntos)

PROBLEMA 3 (1,5 puntos) Un paraboloide de revoluci´ on se alimenta en el foco con una antena de diagrama de radiaci´ on: D(θ, φ) =



6cos2(θ) 0

≤ ≤ π2

0 θ θ > π2

Calcular la eficiencia de desbordamiento en funci´ on de β (0,5 puntos)

ηs =

1 4π

2π β

 

Df (θ)sen(θ )dθdϕ =

0

0

1 4π

2π β

 

6cos2 (θ )sen(θ )dθdϕ

0

0

Como la directividad es proporcional a la densidad de potencia radiada en una dirección, podemos evaluar la integral anterior de la siguiente forma: ηs =

1 2π 4π

β



6cos2(θ)sen(θ )dθ =

0

β



3cos2(θ)sen(θ)dθ =

0

80

ń Evaluacio



cos3 (θ ) = 3( ) 3

−

β

=1 0

− cos3(β )

Dado que hay que limitar el espacio de interés de radiación, este resultado será válido en el intervalo: 0 β π2

≤ ≤

Calcular la eficiencia total en funci´ on de β (0,5 puntos)

    β

β ηtotal = η ilu ηs = 2ctg 2( ) 2

·

2

D(θ ) tg ( θ2 )dθ

0

·

β

D(θ )sen(θ)dθ

0

β ctg ( ) 2 2

   β

  ·   √ 

 

1 2π 4π

θ 2 β D (θ )cos(θ )tg ( )dθ = ctg 2 ( ) 2 2

0

Haciendo el cambio: cos θ = cos2 2θ β ηtotal = 6 ctg 2( ) 2

·

β

β = 6 ctg 2 ( ) 2

·

β = 6 ctg 2( ) 2

·

β = 6 ctg 2( ) 2

·

0

β

0

0

β = 6ctg ( ) 2

θ (2cos2( ) 2

0

θ 2 6cos(θ)tg ( )dθ 2

0

− 1) · tg( θ2 )dθ

 

2

=

2

θ θ 2cos2 ( ) tg( ) 2 2

·

θ 2cos2( ) 2

β

β = 6ctg 2( ) 2 2

β

       · ·  

D(θ )sen(θ)dθ =

− sen2 θ2 = 2 cos2 2θ − 1

  0

β

β

·

sen( θ2 ) cos( θ2 )

− tg( 2θ )dθ −

 

= 2

sen( θ2 ) dθ θ cos( 2 )

 

=

2

θ θ 2sen( ) cos( ) 2 2

−

      

sen( θ2 ) dθ θ cos( 2 )

θ θ 2sen2 ( ) + 2 ln(cos( )) 2 2

=

β 2

=

0

β β 2 2sen ( ) + 2 ln(cos( )) = 2 2 2

β 2 β 2 β = 24ctg ( ) sen ( ) + ln(cos( )) 2 2 2

2

 

81


Por tanto, se concluye que: ηtotal

Intervalo de validez: 0





β β β = 24ctg 2( ) sen2( ) + ln(cos( )) 2 2 2

≤ β ≤ π2

2

Si se selecciona una f /Da = 0,45, ¿cu´ ales son las dimensiones del reflector ( f , D ) para obtener una directividad de 30 dBi a 9 GHz? (0,5 puntos) ctg ( β 2 ) f 0, 45 = = Da 4

→ ctg( β 2 ) = 1,8 → tg( β 2 ) = 0,5556 → → β = 58◦

4π ηtotal Ageo λ2 Da 58 2 2 58 2 58 24ctg ( ) sen ( ) + ln(cos( )) π 2 2 2 2 D = 103 =

4π

→ 3 · 10 2 · 9 · 10

  8



9

103 =

1 9

·

→

      2

Da 4π 1 2 2 s en π 24 (29) + ln(cos(29)) tg2(29) 2 10−2

· 4π = 1 · 10−2 · 0,8 · π 9

·

·

  Da 2



2

=

1 9

·

31,5 2 2 D , D = 7088 11 a a 10−2 4

· ·

2

=

· → Da = 0,376m

Por tanto: Da = 0,376m

= 103

→ f = 0,45 · Da → f = 0, 17m

82

ń Evaluacio

C.3.15.


CUESTIONES (2,5 puntos) 1. Calcular la directividad de una antena situada en el origen que emite uni formemente en cualquiera de las direcciones contenidas en un ´ angulo s´ olido delimitado por un cono cuyo vértice se encuentra en el origen. La generatriz del cono forma un ´ angulo de 30◦ con su altura y no se radia nada hacia el exterior de dicho cono. D=

4π π

  2π 0

dφ

0 sen(θ )dθ 6

=

2 1

D = 11,74dB

−

√ 3 2

≈ 14,9

2. En condiciones de espacio libre y de campo lejano, si suponemos la antena de la pregunta anterior, ¿ser´ıa posible que la densidad de potencia radiada tuviera un flujo no nulo a trav´ es de las paredes del cono? ¿El diagrama de radiaci´ on seguir´ıa siendo independiente de la distancia si esto fuera posible? Explicar. 3. Calcular la longitud efectiva de un dipolo elemental de longitud . La longitud efectiva es el área bajo la curva de la distribución de corriente en el dipolo. Al tratarse de un dipolo elemental, sabemos que dicha distribución es de tipo rectangular y el área bajo la curva en este caso coincide con la longitud . lef =  4. Razonar si aumenta o disminuye la eficiencia de desbordamiento de una parab´ olica si aumenta la relaci´ on f /Da Si aumenta la relación f /Da quiere decir que la distancia focal aumenta, que el diámetro de apertura disminuye, o las dos cosas. En estos casos, el foco está alejado de la parábola y esta tiene una curvatura menor, por lo que las pérdidas por desbordamiento aumentan (se pierde mucha energ´ıa al no incidir todos los rayos en la parábola), disminuyendo la eficiencia de desbordamiento. 5. ¿A frecuencias muy bajas es interesante alcanzar una buena eficiencia de radiaci´ on de la antena para conseguir disminuir el nivel de ruido del sistema en recepci´ on? ¿Por qué?

PROBLEMA 1 (1,5 puntos) Consideramos un medio material homogéneo donde:  s´  y no de H  D olo depende de E  s´  y no de E  B olo depende de H

83


con par´ ametros constitutivos equivalentes en forma de tensores diagonales complejos: µ] = [¯

 

µx +

x σM jω

0 0

0 µy + 0

0 y σM

jω

0 µz +

z σM

jω

 

[¯] =

 

x +

x σE jω

0 0

0

0 y σE

y + jω 0 σz 0 z + jωE

 

Este medio material presenta simetr´ıa de revoluci´ on en torno al eje X. Esto nos va a permitir simplificar la expresi´ on anterior: µ] = µ 0 [¯

 

a 0 0 0 b 0 0 0 b

 

[¯] =  0

 

c 0 0 0 d 0 0 0 d

 

El resto del problema y su soluci´ on se expresar´ a en funci´ on de “ a ,b,c,d” que son n´ umeros complejos que siguen representando los mismos elementos que en las definiciones iniciales. µ] o m´ ¿Qué relaci´ on tiene que haber entre [¯] y [¯ as concretamente entre “ a ,b,c,d” para que este medio esté adaptado a la impedancia intr´ınseca del vac´ıo? ¿C´ omo clasificar´ıas este medio (Opciones: is´ otropo, anis´ otropo, bianis´ otropo o bi-is´ otropo)? Justificar (0,5 puntos)

Partiendo de la ecuaci´ on de Amp` ere-Maxwell en forma diferencial obtener la ecuaci´ on de ondas para el campo magnético dentro de este medio, suponiendo que la soluci´ on se puede expresar como superposici´ on de ondas planas. Usar las propiedades de la transformada de Fourier. (0,5 puntos) En x > 0 tenemos un semiespacio completamente relleno de material de este tipo, en x 0 tenemos un semiespacio vac´ıo. Asumimos que tenemos una onda plana incidente que se propaga desde el vac´ıo hacia este medio y cuyo plano de incidencia es z = cte (asumimos invarianza en la direcci´ on del eje Z). En esta situaci´ on, ¿Cu´ al es la relaci´ on entre k0 = 2π/λ , kx y ky en el vac´ıo (zona x on entre k0, kx y ky dentro del 0)? ¿Cual es la la relaci´ medio material (zona x > 0)?. (Pista para esta ´ ultima pregunta: descomponer  = H z zˆ o bien el problema en soluciones transversales, es decir o bien H  = E z z ˆ. (0,5 puntos) E

≤

≤

PROBLEMA 2 (3 puntos) Tenemos una agrupaci´ on de 7 antenas isotr´ opicas alimentadas en fase, con una distancia de separaci´ on entre los elementos d = λ/2 y con coeficientes de alimentaci´ on [1111111]. Calcular razonadamente la expresi´ on anal´ıtica del FA(Ψ) . Deducir la posici´ on de los nulos del FA(Ψ) en cartesianas y realizar el dibujo. Dibujar el diagrama de radiaci´ on en polares indicando en qué direcci´ on se radiar´ a la m´ axima potencia en relaci´ on al eje donde est´ an alineados los centros de fase de las antenas. (1 punto)

|

|

|

|

84

ń Evaluacio

Suponiendo que las siete antenas pasan a ser 7 dipolos elementales colineales: alineados todos sobre el eje Z; con los centros de fase también distribuidos sobre el eje Z. ¿Cu´ al es la expresi´ on para el campo eléctrico radiado? (1 punto) ¿C´ omo quedar´ıa la expresi´ on del factor de la agrupaci´ on FA(Ψ) si se elimina la antena central?(0,5 puntos)

|

|

Qué fase progresiva se deber´ıa usar para inclinar el l´ obulo principal 45◦ desde la posici´ on que ocupaba cuando la fase progresiva era nula. Representar gr´ aficamente. (0,5 puntos)

PROBLEMA 3 (3 puntos) λ abierta en un plano de Una antena de tipo ranura con  = λ/2 y con a conductor eléctrico perfecto indefinido est´ a alimentada conectando en sus bordes largos una l´ınea de transmisi´ on coaxial que genera una campo iluminante en la  = x ˆ E 0 cos(ky ) para y apertura paralelo al lado corto de la ranura: E /2, x a/2.



−

| |≤

| | ≤





  





Obténgase razonadamente la densidad de corriente superficial equivalente en la ranura (0,5 puntos) Calc´ ulese el campo eléctrico y magnético de radiaci´ on en funci´ on de θ y de φ. Particular´ıcese para el plano ZX. (1 punto) ¿Cual es el valor de su longitud efectiva? (0,5 puntos) ¿Qué directividad tiene la antena? (0,5 puntos) Raz´ onese el valor de la potencia disponible en un dipolo elemental situado en ˆ . (0,5 puntos) on y (x = 0, y = 0, z = d ) y alineado en la direcci´

85


C.3.16.


CUESTIONES (2,5 puntos) axima de una antena sea D=0,5? Razonar. 1. ¿Es posible que la directividad m´  = [ j x ˆ + (2 j + 1)ˆ y]e jkz , calcular la componente circular 2. Dada la onda plana E a izquierdas y circular a derechas. Clasificar el tipo de polarizaci´ on.

3. Calcular la longitud efectiva de un dipolo corto de longitud . Teniendo en cuenta la forma triangular de la distribución de corriente en el dipolo corto y sabiendo que la longitud efectiva es el área bajo la curva de corriente, se puede determinar directamente que la longitud efectiva del dipolo corto es  lef = 2 4. ¿Cu´ al es la relaci´ on entre el desplazamiento Doppler m´ aximo y el tiempo de coherencia del canal? 5. Un canal plano en frecuencia ¿es dispersivo en tiempo? Razonar.

PROBLEMA 1 (3 puntos) 









  



Considere una antena formada por un dipolo centrado en el origen y paralelo al eje Z y un dipolo par´ asito cortocircuitado, ambos de longitud  = λ/ 2, y separados una distancia d = λ/ 4. Calcule la impedancia de entrada de la antena (1 punto) Calcule el campo eléctrico radiado por la antena (1 punto) ˆ . A partir de Calcule la longitud efectiva de la antena en la direcci´ on y  = ella obtenga la tensi´ on en circuito abierto que induce una onda plana E ê− jky [mV/m] (0,5 puntos) z

−

86

ń Evaluacio

Para conectar la antena a un coaxial de Z 0 = 75Ω, se emplea un balun, (circuito adaptador de l´ıneas balanceadas a no balanceadas), consistente en una l´ınea de transmisi´ on impresa en un substrato de constante dieléctrica r = 2,2. Calcule la dimensi´ on a de la figura. La frecuencia de trabajo es de 400 MHz (0,5 puntos)

PROBLEMA 2 (1,5 puntos) Una agrupaci´ on broadside de 5 antenas tiene un diagrama de radiaci´ on con un ancho de haz entre nulos de 60◦ y otros nulos en las direcciones que forman 33◦ con el eje del array. El espaciado es λ/2. Obtenga el polinomio de la agrupaci´ on a partir de los ceros, utilizando el método de Schelkunoff (1 punto) ¿Cu´ al es el factor de la agrupaci´ on? (0,5 puntos)

PROBLEMA 3 (3 puntos) Una apertura de lado  situada en el plano XY tiene una distribuci´ on de amplitud seg´ un X y seg´ un Y que vienen dadas por la figura, con una polarizaci´ on ˆ . La distribuci´ lineal seg´ un x on de fase se supone uniforme. 

 

 

 



 

 



Hallar el diagrama de radiaci´ on normalizado en el plano E y en el plano H (1 punto) Calcular los campos eléctricos y magnéticos radiados (1 punto) Calcular la eficiencia y la directividad de la apertura, y compararlas con las de una distribuci´ on uniforme (1 punto)

87


C.3.17.


CUESTIONES (2,5 puntos) 1. Explicar si en el vac´ıo, en condiciones de campo lejano, los campos radiados pueden tener componentes no nulas en la direcci´ on de propagaci´ on de la energ´ıa. Explicar.  o H  en la dirección de propagación de la onda implican Componentes E transmisi´ on de energ´ıa en la dirección de avance. La onda EM es una onda transversal y la dirección de avance obedece a una onda longitudinal. Se puede ver con el siguiente ejemplo: si se tira una piedra al agua, se forman frentes de onda en las direcciones transversales a la ca´ıda de la piedra, pero no se forman frentes de onda en la dirección de la ca´ıda de la piedra (ni en profundidad ni verticalmente). 2. ¿La directividad D(θ, φ) de una antena puede ser mayor que 4 en todas las direcciones (θ, φ) comprendidas en un ´ angulo s´ olido mayor que π ? Razonar. Sabemos de antemano que: 4π Ω t(θ, φ)dΩ

D (θ, φ) = t(θ, φ) Si Ω > π Por tanto:

⇒



≤ |tmax(θ, φ)| = 1

D(θ, φ) =

4π Ω=π t(θ, φ)dΩ



4π 4π = Ωeq Ω=π dΩ

≤



≤ 4ππ = 4

Se concluye que la directividad no puede ser mayor que 4 para esta situación. obulos de difracci´ on en teor´ıa de agrupaciones. 3. Explicar qué son los l´ Los lóbulos de difracción se corresponden con máximos periódicos del factor de agrupación F A(Ψ) que caen dentro de la ventana de radiación. No olvidemos que los máximos de F A(Ψ) se dan cada 2 π (por la periodicidad del factor de agrupación. Mientras que la ventana de radiación está comprendida entre [ kd + α, kd + α].

|

|

|

|

−

on el´ıptica 4. Una antena embarcada en un satélite de telemetr´ıa tiene polarizaci´ a derechas con una relaci´ on axial de 6 dB. La estaci´ on terrestre tiene polarizaci´ on el´ıptica a derechas con una relaci´ on axial de 3 dB. Determinar el valor m´ aximo de las pérdidas de desacoplo de polarizaci´ on.

⇒ R,A, = 2 = E E mmá´ınx

20 log(R,A,) = 6dB

E ma´x = 2E m´ın

Asumimos zˆ como la dirección de propagación y una antena trasmisora.

88

ń Evaluacio

eˆr =

x 2ˆ

− j yˆ √ 5

⇒ R,A, = 1,41 = E E mmá´ınx

20 log(R,A,) = 3dB eˆt =

x y ˆ + j 1,41ˆ 2,98

√

Con esto se calcula Cp:

→ Cp =









j yˆ x y 2 − ˆ + j 1,41ˆ 2 + 1,41 2 √ 5 · √ 2,98 = √ 3,865 = 0,7804

x 2ˆ

Se obtiene un resultado elevado del coeficiente de polarización Cp ya que, aunque estamos considerando el peor caso en cuanto al desacoplo de polarización,ambas polarizaciones tienen el mismo sentido (son a derechas). Por u ´ ltimo, 1 L = 10log = 1dB Cp

 

5. Calcular la diferencia de caminos entre el rayo directo y el rayo reflejado en el modelo de tierra plana, bajo la hip´ otesis de que las alturas de las antenas sobre el suelo son mucho menores que la distancia entre el transmisor y el receptor.

PROBLEMA 1 (2 puntos) Partimos de la expresi´ on de una onda plana en un medio zurdo (permitividad  y permeabilidad µ negativas):  = E  0 e− j β  E

· r

 = H  0 e− j β  H

· r

Utilizando las ecuaciones de Faraday y Ampère-Maxwell deducir que el ´ındice de refracci´ on de un medio zurdo es negativo. (1 punto) Explicar gr´ aficamente como se refractar´ıa una onda plana con incidencia oblicua al pasar desde el aire hacia este tipo de medio cuando la interfaz de separaci´ on es plana e ilimitada. (0,5 puntos) Discutir si el dibujo anterior contradice el principio de Fermat. (0,5 puntos)


89

PROBLEMA 2 (3 puntos) Tenemos 5 dipolos infinitesimales colineales iguales, todos ellos paralelos al eje Z, de longitud  y con sus centros de fase situados sobre el eje Z a las alturas z = nλ/ 2 para n = 0, 1, 2, 3, 4 Calcular los coeficientes de alimentaci´ on de las antenas para tener una agrupaci´ on de Chebychev con un nivel de l´ obulos secundarios de -30 dB respecto al l´ obulo principal. Realizar gr´ aficos indicando los pasos que se ejecutan. (1 punto) Calcular razonadamente la expresi´ on anal´ıtica del campo eléctrico radiado en el caso de que se apague inesperadamente el elemento central (1 punto) Con el elemento central apagado, calcular la tensi´ on en circuito abierto en un dipolo de brazo H = λ/ 4, paralelo al eje Z y con el centro de fase situado sobre el eje X a una distancia x = 1000m desde el origen. Suponiendo que el array presenta una corriente normalizada para obtener coeficientes de alimentaci´ on unitarios en los extremos de la agrupaci´ on y con una frecuencia de trabajo de 100 MHz. (1 punto)

PROBLEMA 3 (2,5 puntos) Tenemos una apertura cuadrada de lado  con iluminaci´ on uniforme y polarˆ . Est´ izaci´ on lineal seg´ un x a situada sobre el plano XY y centrada en el origen, con los lados paralelos a los ejes. Calcular la directividad en la direcci´ on zˆ si  << λ (1 punto) Calcular directividad en la direcci´ on ˆz si  >> λ (0,5 puntos) Manteniendo  >> λ se bloquea la apertura en el centro por una apertura circular de radio 0,1. Siendo ambas grandes en términos de la longitud de onda. ¿Cu´ antos dB disminuye la directividad por causa del bloqueo? (1 punto)

90

ń Evaluacio

C.3.18.


CUESTIONES (2,5 puntos) 1. Calcular la directividad de una antena que emite uniformemente en las direcciones comprendidas en un octante de una esfera imaginaria centrada en la antena y no radia nada en el resto La directividad es: D=

4π = t θ, ϕ d ( ) Ω 4π



4π



K (θ,ϕ) 4π K max

dΩ

=

4π

 

π/2 π/2 K (θ,ϕ) 0 0 K max

sen(θ) dθdϕ

Un octante se puede representar por la siguiente figura, donde se observa que tanto θ como ϕ varian desde 0 hasta π/ 2.

Figura C.1: Diagrama de radiación Dado que en el enunciado nos dice que emite uniformemente en todas las direcciones, la intensidad de radiación máxima es máxima en todas las direcciones del octante, por lo que: K (θ, ϕ) = 1 K max

El ángulo sólido es: dΩ = sen (θ) dθdϕ

Por lo tanto la directividad queda: D =

4π

 

π/2 π/2 0 0

sen(θ) dθdϕ

=

4π =8 π/ 2

Sabiendo que la directividad es una relación entre densidades de potencia, de las cuales una se refiere a la de una antena que emite igual en todas direcciones y la otra a un área limitada. Si el área limitada es una octava parte de la superficie de la que emite por igual en todas direcciones, es lógico que la cantidad de potencia concentrada en un menor area es mayor, en concreto 8 veces mayor, siempre y cuando la emisión de intensidad de radiación sea uniforme en el área dada.

91


on de la polarizaci´ on entre 2. Calcular el coeficiente de pérdidas por desadaptaci´  = (3ˆ ˆ )e jkz y una antena que radiar´ıa con polarizaci´ y j x la onda: E on circular a izquierdas en la direcci´ on zˆ si se usara para emitir en vez de recibir. j x ˆ Del enunciado sabemos que êr = 3ˆy√ −10 . Se trata de una polarización eliptica a derechas. Para conseguir una polarización circular a izquierdas como nos pide el enun− j xˆ . ciado tenemos: êt = yˆ√ 2

−

Figura C.2: Sistema de polarización Calculamos el coeficiente de pérdidas por desadaptación: 2

C p = eˆr eˆt =

| ∗ |

 √ −  3

1 20

2

=

4 20

3. Explicar el concepto de polarizaci´ on cruzada. Poner alg´ un ejemplo con antenas de apertura. La radiación en la polarización especificada por el fabricante se llama polarización de referencia o copolar. En realidad, la pureza de la polarización no es perfecta y parte de la potencia se radia con la polarización ortogonal a la deseada, a esto se le llama polarizaci´ on contrapolar cruzada. Además, el cociente de las potencias radiadas en ambas polarizaciones se conoce como discriminaci´ on de polarización cruzada. Un buen ejemplo con antenas de apertura son los reflectores parabólicos. Esta configuración ha sido ampliamente utilizada por razones de sencillez y econom´ıa, pero sus inconvenientes están relacionados con la situación del alimentador delante del reflector responsable del problema del bloqueo de la radiación; este bloqueo produce una pérdida de directividad y un aumento de los lóbulos secundarios y de los niveles de polarización cruzada. También podr´ıamos comentar como ejemplo la bocina reflectora. 4. Enumerar las ventajas e inconvenientes generales que presenta la tecnolog´ıa de antenas de tipo parche. Ventajas:

92

ń Evaluacio

Ligereza y dimensiones reducidas. Sencillez de fabricación mediante tecnolog´ıa de circuitos impresos. Buenas caracter´ısticas aerodinámicas. Se pueden imprimir sobre superficies curvadas. Pueden formar agrupaciones con facilidad. Inconvenientes: Poco ancho de banda en general, excepto para geometr´ıas complejas. El rendimiento puede se bajo debido a pérdidas en diel´ ectricos, ondas de superficie en la interfaz aire-dieléctrico y pérdidas en las l´ıneas de alimentación. Es dif´ıcil obtener pureza en la polarización. 5. Explicar qué son las zonas de Fresnel y la importancia de su obstrucci´ on en la propagaci´ on de ondas electromagnéticas. Las zonas de Fresnel son regiones que aparecen debido al fenomeno de difracción. Son anillos concéntricos que resultan de la intersección entre los elipsoides de Fresnel y un plano cualquiera perpendicular a la trayectoria entre transmisor y receptor. La importancia de su obstrucció n en la propagació n de ondas electromagnéticas se ve al observar como los focos provocados van creando sucesivamente zonas de interferencia constructiva y destructiva. As´ı, se puede ver como las contribuciones de los focos secundarios contenidos en la primera zona de Fresnel (anillo con menor radio) contribuyen todos en fase, los de la siguiente corona (radio inmediatamente superior) en contrafase, y as´ı se intercalan sucesivamente. El efecto que esto tiene en la atenuación, se percibe en la gráfica 6.11, donde se observa como hasta que el obstaculo no ocupa 0.6 veces el radio de la primera zona de Fresnel la atenuación oscila en torno a 0 dB. A partir de ese punto obstrucciones mayores provocarán atenuaciones cada vez mayores.

PROBLEMA 1 (3 puntos) Tenemos una antena formada por 3 dipolos lineales de longitud λ/2 paralelos entre s´ı y paralelos a zˆ. Los centros de los tres dipolos forman un tri´ angulo equil´ atero de lado 2λ/ 3 sobre el plano XY . Dos de los tres centros est´ an sobre el eje X y equidistan del origen. Las corrientes de entrada de los dipolos son idénticas en m´ odulo y fase, se denotar´ an por I 0 .

√

Calcular la expresi´ on del campo eléctrico radiado (1 punto) Lo primero que tenemos que notar es que la distribución de corrientes va a ser sinusoidal ya que la longitud del dipolo es λ/2.

93


Por otra parte, de la teor´ıa sabemos cual es el vector de radiación para un dipolo en λ/2 siuado en el origen cuya corriente tenga unitario + ˆz.



−

cos(kH )  0 = ˆz2I 0 cos kH cos(θ ) N k sen2(θ ) Dado que los 3 dipolos son pararlelos al eje z y el unitario de corriente siempre es +ˆz (corrientes en fase) el problema se resuelve simplemente aplicando translaciones. El vector de radiación de la agrupación será la superposición de los vectore de radiación.  = N  A + N  B + N  C N Dipolo A: λ jk x √ − ˆ +ky y ˆ )( −λ x ˆ j kr j(kx x     NA = N0z e = N0z e ) = N0z e 01

3

3

Dipolo B: ˆ +ky y ˆ )( λ ˆ j kr j(kx x x     0z e jk x √ NB = N0z e = N0z e )=N λ

02

Dipolo C:

3

3

 C = N  0z e j kr = N  0z e j(kx xˆ +ky yˆ )(λˆy) = N  0z e jk y λ N 03

Por tanto: λ λ  = N  0z (e− jk x √ + e jkx √ + e jk y λ ) = N  0z (e jk y λ + 2 cos(kx λ ) N 3

 = ˆz2I 0 N

√ 3

3



−

cos kH cos(θ ) cos(kH ) jk y λ λ e k ( + 2 cos( ) x k sen2 (θ ) 3

√

Expresamos en esféricas y obviamos la componente radial:  = N

−θˆ sen(θ)2I 0 cos



−

kH cos(θ ) cos(kH ) jk y λ λ e k ( + 2 cos( ) x k sen2 (θ ) 3

√

Finalmente:  = E θ θ ˆ = ˆθ j E

jkr



−

cos kH cos(θ ) cos(kH ) jk y λ kη e λ e k sen(θ )2I 0 ( +2 cos( ) x k sen2 (θ ) 4π r 3

√

Calcular la potencia radiada por la antena en funci´ on de I 0 (1 punto) Para calcular la potencia radiada por la antena podr´ıa pensarse en envolver a la antena en una esfera y calcular el flujo de potencia a través de ella. No obstante dado que la expresión es muy compleja se hace uso del método alternativo basado en determinar la impedancia de entrada. V = I 0 Z 11 + I 0 Z 12 + I 0Z 13 = I 0 (Z 11 + Z 12 + Z 13)

⇒ I V 0 = Z e1 = Z 11 + Z 12 + Z 13

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ń Evaluacio

Por tanto Z 11 = 73+43 j ; Z 12 = 15+6 j ; Z 13 = 15+6 j . Como además sabemos que por reciprocidad: Z 11 = Z 22 = Z 33Z 12 = Z 21 = Z 32 = Z 23Z 13 = Z 31

Z e1 = 73 + 43 j + 30 + 12 j = 103 + 55 j

La potencia radiada es es en este caso: P rad = 3I 02 Re(Z en ) = 3I 0 2103

Calcular la directividad de la antena (1 punto) Para calcular la directividad: E max|2 | D = P rad 4πr 2

Puesto que las direcciones de máxima radición son θ = ϕ = π2 : kx = k sen(θ )cos(ϕ) = 0ky = k sen(θ )sen(ϕ) = k = 2

|E max| D =

η π

103

2π 9

k2η2 21 I = 4 3 2 2 0 k (4π ) r

= 1,145

⇒ D(dB ) = 0,67dB

PROBLEMA 2 (2,5 puntos) Tenemos dos antenas isotr´ opicas con los centros de fase situados sobre el eje a situado en z = 0 y el segundo en z = d. Se emplea una fase Z . El primero est´ progresiva α. ¿Qué valor de distancia y fase progresiva ( d, α) se puede usar para conseguir un m´ aximo de radiaci´ on hacia zˆ y un unico ´ nulo de radiaci´ on en la direcci´ on ˆ. Justificar y obtener gr´ z aficamente el diagrama de radiaci´ on (1 punto)

−

Suponiendo α = 0, si se quiere evitar la presencia de nulos en el diagrama de radiaci´ on ¿cu´ al es el rango de valores posibles para d? (1 punto) Se a˜ naden otras dos fuentes isotr´ opicas de modo que el polinomio de la agrupaci´ on pasa a ser 1 + z + z 3 + z 4. Dibujar la situaci´ on de los ceros en el plano complejo y deducir el factor de agrupaci´ on F A(Ψz ) (0,5 puntos)

Ex Amenes Re Sueltos

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