MÉTODO DE ENERGIA/TEOREMA ENERGIA/TEOREMA DE CASTIGLIANO – VIGAS VIGAS
210 =160×10
1) Determinar a energia de deformação para a viga abaixo. Em seguida, determinar (b) a deflexão no ponto e (c) a rotação no ponto . Considere , , , e .
= 2 = 10 . = 2 = O método de energia aplicado a vigas nos diz que:
= ∫ 2 Onde:
– Energia de deformação; – Função de momento na viga; – Módulo de elasticidade do material; – Momento de inércia da seção
transversal.
a) Iniciando pela energia de deformação, temos:
=5 0≤ ≤2 =25 =2×10× 1 18 → =20+2 2 ≤ ≤ 4 =400 80+4 OBS: A análise dos momentos realizada acima, foi feita partindo da ponta de balanço. Assim:
1 1 = 4 ∫25 + ∫ 400 80+4 2 1 1 400 = 4 5 + 2 3 40 +4
1 1 400 400 4 400 400 2 = 4 52 + 2 [ 3 40 404 + 44 3 40 402 + 42]
2744 10552 = 480 + 21 (23728 ) ∴ = 3 3 3 Como:
=210 =210×10 ⁄² 1 =160×10 =160×10 ×(1000) =160×10− Temos:
= 3×210×1010552 ×160×10− → =104,68×10− → =104,68 . OBS: Devemos lembrar que a energia de deformação associada à deformação de flexão da barra.
é denotada por
e corresponde a energia
b) Para a determinação da deflexão, utilizaremos o Teorema de Castigliano modificado: O método de Castigliano aplicado a vigas nos diz que:
=∫( )() Onde:
– Deflexão; – Carga aplicada; – Função de momento na viga; – Módulo de elasticidade do material; – Momento de inércia da seção transversal.
Para a determinação de deflexão pelo teorema de Castigliano, é obrigatória a presença de uma carga concentrada no ponto de interesse. No nosso caso, a carga fictíc ia foi aplicada no ponto .
Daí:
=5 0≤ ≤2 1 =0 =10×2×1182 ∴ =20+2+2 2 =+2
1 1 = 2 ∫ 5 × 0+ ∫ 20+2+2 × +2 1 = ∫ 20 + 424+4+4
1 20 = 3 + 3 21 2 +4+4 1 20 = 3 21 +4 1 20 4 20 2 = [ 3 214 +44 3 212 +42] ∴ = 388 3
Como é uma força fictícia, utilizada apenas como recurso par a obtenção da deflexão, seu valor é zero, portanto:
Daí:
388 → =3,85×10− → =3,85 = 3×210×160 c) Para a determinação da rotação, utilizaremos o Teorema de Castigliano modificado: O método de Castigliano aplicado a vigas nos diz que:
=∫( )() Onde:
– Rotação; – Momento aplicado; – Função de momento na viga; – Módulo de elasticidade do material; – Momento de inércia da seção transversal.
Para a determinação da rotação pelo teorema de Castigliano, é obrigatória a presença de um momento aplicado no ponto de interesse. No nosso caso, já existe um momento aplicado nesse ponto, portanto, não será necessário utilizar momento fictício. Chamaremos o momento de por . Logo:
18
=5 0≤ ≤2
=0 =10×2× 1 → =20+20 2 ≤ ≤4 =1 Daí:
1 1 = 2 ∫ 5 0+ ∫ 20+20 1 1 = ∫ 2020+ → = 1 10 20+ = 1 80+42 ∴ = 80+2
=18 116 → =3,45×10− = 210×160 Como
, temos:
Verificando os resultados no FTOOL, obtemos:
DISCUSSÕES:
Observamos que podemos desenvolver o problema de forma literal ou numérica. A solução literal fornece um volume muito grande de cálculos, porém facilita a detecção e correção de eventuais erros cometidos. Já a s olução literal é mais simples, mas não permite detectar erros, ou seja, se o resultado final estiver errado, só nos restará iniciar o exercício novamente. Caberá ao aluno res olver da maneira que lhe parecer mais confortável.