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Mstpa Malick
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Document créé le 29 octobre 2015
Lien vers les soluti solutions ons des exercice exercicess
Lien vers le cours de ce chap chapitre itre
Chapitre 5 Techniques d’analyse (intégration) 5.1 5.1 Calc Calcul ulss de prim primit itiv ives es
Primitivation par développement et linéarité
Exercice Exerc ice 5.1.1 () Calculer les primitives :
1)
x − 1
1)
√ x
dx
2)
√ x (1 − x) dx 2
3)
3
(1 − √ x)
2
√ x 3
dx
Exercice Exerc ice 5.1.2 () Calculer les primitives :
1−
1
√ x 3
2
dx
2)
2
x +
1 x2
2
dx
x √ x +d√ x−1
3)
3)
sin x dx
Primitivation par changement de variable simple
Exercice Exerc ice 5.1.3 () Calculer les primitives :
1)
1)
1)
sin x dx
3
sin x cos x dx
2)
2)
x dx (a2 + x2 )3
cos2 x
Exercice Exerc ice 5.1.4 () Calculer les primitives :
2 5
x(1 + x ) dx
x
2
√
1 + x3 dx
3)
tan x dx
Exercice Exerc ice 5.1.5 () Calculer les primitives :
2)
cos3 x
dx x(1 + ln x)3
3)
dx x ln x ln(ln x)
Exercice Exerc ice 5.1.6 () Calculer les primitives : 1)
arcsin x √
1 − x2
dx
2)
dx √ x cos √ x 2
3)
x dx
√
1 − x4
4)
cos x dx 2 − cos2 x
5.1 Calculs de primitives
Chapitre 5 : Techniques
d’analyse (intégration)
Primitivation par changement de variable indiqué
Exercice 5.1.7 () En utilisant le changement de variable t = x + sin x, calculer
cos2 x2 d x x + sin x
Exercice 5.1.8 () En utilisant le changement de variable t =
√
x + 1, calculer
√ x dx
x + 1
Exercice 5.1.9 () En utilisant le changement de variable t = sin x − cos x, calculer
sin x + cos x 2 − sin2x
dx
Exercice 5.1.10 () En utilisant le changement de variable t =
1 x
, calculer
dx x(xn + 1)
Exercice 5.1.11 () En utilisant le changement de variable t
√ = ex
− 1, calculer
ex dx √ (3 + ex ) ex − 1
Exercice 5.1.12 () 1
En utilisant le changement de variable t = x − (avec x > 0), calculer x
√
x2 + 1
x x4
2
−x
+1
dx
Primitivation par parties
Exercice 5.1.13 () En utilisant une primitivation par parties, calculer
x2 arctan x dx
Exercice 5.1.14 ()
En utilisant une primitivation par parties, calculer cosln x dx
Exercice 5.1.15 () En utilisant une primitivation par parties, calculer
dx cos4 x
earcsin x dx
Exercice 5.1.16 () En utilisant une primitivation par parties, calculer
Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
mathprepa.fr
Page 2
5.2 Intégration sur un segment
Chapitre 5 : Techniques
d’analyse (intégration)
5.2 Intégration sur un segment
Intégration par développement et linéarisation
Exercice 5.2.1 ()
Calculer l’intégrale I =
π
2
0
cos8 x dx
Exercice 5.2.2 () dx √ . 1 + x2 + 1 − x2
1
Calculer l’intégrale I =
−1
√
Intégration de fonctions périodiques
Exercice 5.2.3 () Calculer l’intégrale I =
dx (avec a > 0). a2 cos2 x + sin2 x
π
0
Exercice 5.2.4 () 3π
Calculer l’intégrale I =
Exercice 5.2.5 (
)
0
Calculer les intégrales I =
sin x sin2x sin3x dx.
2π
0
Exercice 5.2.6 (
x dx
2π
0
1 + 3 cos2 x
.
)
Calculer les intégrales I n =
dx et I = 1 + 3 cos2 x
π
2
0
sin(2n + 1) t dt et J n = sin t
π
2
0
sin2 nt dt sin2 t
Intégration par changement de variable
Exercice 5.2.7 () 1
Calculer l’intégrale I =
1/3
(x − x3 )1/3 x4
dx.
Exercice 5.2.8 () Calculer l’intégrale I θ =
Exercice 5.2.9 (
)
0
π
2
dx (avec θ ∈] − π, +π [) 1 + cos θ cos x
1 + √ x 1
Calculer l’intégrale I =
Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
0
1+
√ x dx. 3
mathprepa.fr
Page 3
5.2 Intégration sur un segment
Chapitre 5 : Techniques
d’analyse (intégration)
Exercice 5.2.10 () Calculer l’intégrale : J =
π
2
0
cos7 x dx
Exercice 5.2.11 () Calculer l’intégrale : K =
Exercice 5.2.12 (
0
π
4
tan7 x dx.
)
Soit f une application continue sur R. On pose g (x) = Montrer que g est dérivable sur
R et
b
a
f (x + t)cos t dt.
calculer g .
Intégration par parties
Exercice 5.2.13 () 1
Calculer l’intégrale I =
0
x ln x dx. (x2 + 1)2
Exercice 5.2.14 () 1
Calculer I λ,n =
0
xλ lnn x dx (λ > 0, n
∈ N).
Exercice 5.2.15 () Pour tout entier n, calculer I n =
0
π
2
2n
sin x dx et J n =
π
0
x sin2n x dx.
Exercice 5.2.16 () On pose
I nm
1
=
0
xm (1
− x)n dx, où m et n sont deux entiers naturels.
m 1. Trouver une relation entre I nm et I nm+1 1 . En déduire I n .
2. Calculer J nm =
2
0
3. En déduire K n =
Exercice 5.2.17 ( Calculer I (a) =
a
1
a
−
π
sin2m+1 x cos2n+1 x dx (Changement de variable x = arcsin
√
t)
π
2
0
sin2n+1 x dx.
)
ln x d x pour tout a > 0. 1 + x2
Intégration par astuce
Exercice 5.2.18 (
)
Calculer l’intégrale I =
Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
0
π
4
cos x dx. cos x + sin x mathprepa.fr
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5.3 Équations différentielles y + a(x)y = b (x)
Chapitre 5 : Techniques
Exercice 5.2.19 (
)
Calculer l’intégrale I =
Exercice 5.2.20 (
)
π
2
0
cos3 x dx. cos3 x + sin3 x
π
Calculer l’intégrale I =
4
0
Exercice 5.2.21 (
)
Calculer l’intégrale I =
1
−1
d’analyse (intégration)
ln(1 + x) 1
ln(1 + tan x) dx et J =
0
1 + x2
dx.
arctan ex dx.
5.3 Équations différentielles y + a(x)y = b(x) Exercice 5.3.1 () Résoudre l’équation différentielle : (2 + x)y = 2 − y
Exercice 5.3.2 () Résoudre l’équation différentielle : xy + 2y = cos x.
Exercice 5.3.3 () Résoudre l’équation différentielle : (1 + x)y + y = (1 + x)sin x.
Exercice 5.3.4 () Résoudre l’équation différentielle : x3y
2
− x y = 1.
Exercice 5.3.5 () Résoudre l’équation différentielle : 3xy
− 4y = x.
Exercice 5.3.6 () Résoudre l’équation différentielle : y + y = sin x + 3 sin 2x.
Exercice 5.3.7 () Résoudre l’équation différentielle : 2x(1 − x)y + (1 − 2x)y = 1 sur ]0, 1[.
Exercice 5.3.8 () Résoudre l’équation différentielle : x(x + 1) y + y = arctan x.
Exercice 5.3.9 () Résoudre l’équation différentielle : x(x2 − 1)y + 2y = x ln x − x2 .
Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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5.4 Équations différentielles du 2 ordre
Chapitre 5 : Techniques
nd
d’analyse (intégration)
5.4 Équations différentielles du 2nd ordre Exercice 5.4.1 () Résoudre l’équation différentielle : y
− 2y
+ 2y = xe x .
− 4y
+ 4y = 2(x − 2)ex .
− 4y
+ 13y = 10 cos 2x + 25 sin 2x.
Exercice 5.4.2 () Résoudre l’équation différentielle : y
Exercice 5.4.3 () Résoudre l’équation différentielle : y
Exercice 5.4.4 () Résoudre l’équation différentielle : y + y = cotan x.
Exercice 5.4.5 () Résoudre l’équation différentielle : y + 3y + 2y =
x
− 1e 2
x
x
−
.
5.5 Équations d’ordre 2 à coefficients non constants Exercice 5.5.1 () Résoudre l’équation différentielle : y
−
6x +
1 x
y + 8 x2 y = x 4 (poser u = x 2 ).
Exercice 5.5.2 () Résoudre x(1 − 2 ln x)y + (1 + 2 ln x)y
− x4 y = 0 (chercher une solution de la forme y = x α).
Exercice 5.5.3 () Résoudre l’équation différentielle : x2y
− 2xy
+ 2y = 2 + 2x3 sin x (poser u = ln x).
Exercice 5.5.4 () Résoudre l’équation différentielle : x(x + 1)y homogène de la forme y = x α ).
− y − 2 y
= 3x2 (chercher une solution de l’équation
Exercice 5.5.5 () 2
2
Résoudre l’équation différentielle : x y + 4xy + (2 − x )y = 1
u poser y = 2 . x
Exercice 5.5.6 () Résoudre l’équation différentielle : (x2 + 3)y + xy
− y = 1 (chercher les solutions polynomiales).
Exercice 5.5.7 () Résoudre l’équation différentielle : xy
Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
− 2y − xy = 0 (dériver deux fois).
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