Home
Add Document
Sign In
Register
exercices-chap05
Home
exercices-chap05
bb...
Author:
Mstpa Malick
18 downloads
371 Views
354KB Size
Report
DOWNLOAD .PDF
Recommend Documents
No documents
Document créé le 29 octobre 2015
Lien vers les soluti solutions ons des exercice exercicess
Lien vers le cours de ce chap chapitre itre
Chapitre 5 Techniques d’analyse (intégration) 5.1 5.1 Calc Calcul ulss de prim primit itiv ives es
Primitivation par développement et linéarité
Exercice Exerc ice 5.1.1 () Calculer les primitives :
1)
x − 1
1)
√ x
dx
2)
√ x (1 − x) dx 2
3)
3
(1 − √ x)
2
√ x 3
dx
Exercice Exerc ice 5.1.2 () Calculer les primitives :
1−
1
√ x 3
2
dx
2)
2
x +
1 x2
2
dx
x √ x +d√ x−1
3)
3)
sin x dx
Primitivation par changement de variable simple
Exercice Exerc ice 5.1.3 () Calculer les primitives :
1)
1)
1)
sin x dx
3
sin x cos x dx
2)
2)
x dx (a2 + x2 )3
cos2 x
Exercice Exerc ice 5.1.4 () Calculer les primitives :
2 5
x(1 + x ) dx
x
2
√
1 + x3 dx
3)
tan x dx
Exercice Exerc ice 5.1.5 () Calculer les primitives :
2)
cos3 x
dx x(1 + ln x)3
3)
dx x ln x ln(ln x)
Exercice Exerc ice 5.1.6 () Calculer les primitives : 1)
arcsin x √
1 − x2
dx
2)
dx √ x cos √ x 2
3)
x dx
√
1 − x4
4)
cos x dx 2 − cos2 x
5.1 Calculs de primitives
Chapitre 5 : Techniques
d’analyse (intégration)
Primitivation par changement de variable indiqué
Exercice 5.1.7 () En utilisant le changement de variable t = x + sin x, calculer
cos2 x2 d x x + sin x
Exercice 5.1.8 () En utilisant le changement de variable t =
√
x + 1, calculer
√ x dx
x + 1
Exercice 5.1.9 () En utilisant le changement de variable t = sin x − cos x, calculer
sin x + cos x 2 − sin2x
dx
Exercice 5.1.10 () En utilisant le changement de variable t =
1 x
, calculer
dx x(xn + 1)
Exercice 5.1.11 () En utilisant le changement de variable t
√ = ex
− 1, calculer
ex dx √ (3 + ex ) ex − 1
Exercice 5.1.12 () 1
En utilisant le changement de variable t = x − (avec x > 0), calculer x
√
x2 + 1
x x4
2
−x
+1
dx
Primitivation par parties
Exercice 5.1.13 () En utilisant une primitivation par parties, calculer
x2 arctan x dx
Exercice 5.1.14 ()
En utilisant une primitivation par parties, calculer cosln x dx
Exercice 5.1.15 () En utilisant une primitivation par parties, calculer
dx cos4 x
earcsin x dx
Exercice 5.1.16 () En utilisant une primitivation par parties, calculer
Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
mathprepa.fr
Page 2
5.2 Intégration sur un segment
Chapitre 5 : Techniques
d’analyse (intégration)
5.2 Intégration sur un segment
Intégration par développement et linéarisation
Exercice 5.2.1 ()
Calculer l’intégrale I =
π
2
0
cos8 x dx
Exercice 5.2.2 () dx √ . 1 + x2 + 1 − x2
1
Calculer l’intégrale I =
−1
√
Intégration de fonctions périodiques
Exercice 5.2.3 () Calculer l’intégrale I =
dx (avec a > 0). a2 cos2 x + sin2 x
π
0
Exercice 5.2.4 () 3π
Calculer l’intégrale I =
Exercice 5.2.5 (
)
0
Calculer les intégrales I =
sin x sin2x sin3x dx.
2π
0
Exercice 5.2.6 (
x dx
2π
0
1 + 3 cos2 x
.
)
Calculer les intégrales I n =
dx et I = 1 + 3 cos2 x
π
2
0
sin(2n + 1) t dt et J n = sin t
π
2
0
sin2 nt dt sin2 t
Intégration par changement de variable
Exercice 5.2.7 () 1
Calculer l’intégrale I =
1/3
(x − x3 )1/3 x4
dx.
Exercice 5.2.8 () Calculer l’intégrale I θ =
Exercice 5.2.9 (
)
0
π
2
dx (avec θ ∈] − π, +π [) 1 + cos θ cos x
1 + √ x 1
Calculer l’intégrale I =
Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
0
1+
√ x dx. 3
mathprepa.fr
Page 3
5.2 Intégration sur un segment
Chapitre 5 : Techniques
d’analyse (intégration)
Exercice 5.2.10 () Calculer l’intégrale : J =
π
2
0
cos7 x dx
Exercice 5.2.11 () Calculer l’intégrale : K =
Exercice 5.2.12 (
0
π
4
tan7 x dx.
)
Soit f une application continue sur R. On pose g (x) = Montrer que g est dérivable sur
R et
b
a
f (x + t)cos t dt.
calculer g .
Intégration par parties
Exercice 5.2.13 () 1
Calculer l’intégrale I =
0
x ln x dx. (x2 + 1)2
Exercice 5.2.14 () 1
Calculer I λ,n =
0
xλ lnn x dx (λ > 0, n
∈ N).
Exercice 5.2.15 () Pour tout entier n, calculer I n =
0
π
2
2n
sin x dx et J n =
π
0
x sin2n x dx.
Exercice 5.2.16 () On pose
I nm
1
=
0
xm (1
− x)n dx, où m et n sont deux entiers naturels.
m 1. Trouver une relation entre I nm et I nm+1 1 . En déduire I n .
2. Calculer J nm =
2
0
3. En déduire K n =
Exercice 5.2.17 ( Calculer I (a) =
a
1
a
−
π
sin2m+1 x cos2n+1 x dx (Changement de variable x = arcsin
√
t)
π
2
0
sin2n+1 x dx.
)
ln x d x pour tout a > 0. 1 + x2
Intégration par astuce
Exercice 5.2.18 (
)
Calculer l’intégrale I =
Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
0
π
4
cos x dx. cos x + sin x mathprepa.fr
Page 4
5.3 Équations différentielles y + a(x)y = b (x)
Chapitre 5 : Techniques
Exercice 5.2.19 (
)
Calculer l’intégrale I =
Exercice 5.2.20 (
)
π
2
0
cos3 x dx. cos3 x + sin3 x
π
Calculer l’intégrale I =
4
0
Exercice 5.2.21 (
)
Calculer l’intégrale I =
1
−1
d’analyse (intégration)
ln(1 + x) 1
ln(1 + tan x) dx et J =
0
1 + x2
dx.
arctan ex dx.
5.3 Équations différentielles y + a(x)y = b(x) Exercice 5.3.1 () Résoudre l’équation différentielle : (2 + x)y = 2 − y
Exercice 5.3.2 () Résoudre l’équation différentielle : xy + 2y = cos x.
Exercice 5.3.3 () Résoudre l’équation différentielle : (1 + x)y + y = (1 + x)sin x.
Exercice 5.3.4 () Résoudre l’équation différentielle : x3y
2
− x y = 1.
Exercice 5.3.5 () Résoudre l’équation différentielle : 3xy
− 4y = x.
Exercice 5.3.6 () Résoudre l’équation différentielle : y + y = sin x + 3 sin 2x.
Exercice 5.3.7 () Résoudre l’équation différentielle : 2x(1 − x)y + (1 − 2x)y = 1 sur ]0, 1[.
Exercice 5.3.8 () Résoudre l’équation différentielle : x(x + 1) y + y = arctan x.
Exercice 5.3.9 () Résoudre l’équation différentielle : x(x2 − 1)y + 2y = x ln x − x2 .
Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
mathprepa.fr
Page 5
5.4 Équations différentielles du 2 ordre
Chapitre 5 : Techniques
nd
d’analyse (intégration)
5.4 Équations différentielles du 2nd ordre Exercice 5.4.1 () Résoudre l’équation différentielle : y
− 2y
+ 2y = xe x .
− 4y
+ 4y = 2(x − 2)ex .
− 4y
+ 13y = 10 cos 2x + 25 sin 2x.
Exercice 5.4.2 () Résoudre l’équation différentielle : y
Exercice 5.4.3 () Résoudre l’équation différentielle : y
Exercice 5.4.4 () Résoudre l’équation différentielle : y + y = cotan x.
Exercice 5.4.5 () Résoudre l’équation différentielle : y + 3y + 2y =
x
− 1e 2
x
x
−
.
5.5 Équations d’ordre 2 à coefficients non constants Exercice 5.5.1 () Résoudre l’équation différentielle : y
−
6x +
1 x
y + 8 x2 y = x 4 (poser u = x 2 ).
Exercice 5.5.2 () Résoudre x(1 − 2 ln x)y + (1 + 2 ln x)y
− x4 y = 0 (chercher une solution de la forme y = x α).
Exercice 5.5.3 () Résoudre l’équation différentielle : x2y
− 2xy
+ 2y = 2 + 2x3 sin x (poser u = ln x).
Exercice 5.5.4 () Résoudre l’équation différentielle : x(x + 1)y homogène de la forme y = x α ).
− y − 2 y
= 3x2 (chercher une solution de l’équation
Exercice 5.5.5 () 2
2
Résoudre l’équation différentielle : x y + 4xy + (2 − x )y = 1
u poser y = 2 . x
Exercice 5.5.6 () Résoudre l’équation différentielle : (x2 + 3)y + xy
− y = 1 (chercher les solutions polynomiales).
Exercice 5.5.7 () Résoudre l’équation différentielle : xy
Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
− 2y − xy = 0 (dériver deux fois).
mathprepa.fr
Page 6
×
Report "exercices-chap05"
Your name
Email
Reason
-Select Reason-
Pornographic
Defamatory
Illegal/Unlawful
Spam
Other Terms Of Service Violation
File a copyright complaint
Description
×
Sign In
Email
Password
Remember me
Forgot password?
Sign In
Our partners will collect data and use cookies for ad personalization and measurement.
Learn how we and our ad partner Google, collect and use data
.
Agree & close
