Equations différentielles d’ordre 2 à coefficie nts constants
Pascal Lainé
Equations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants Exercice 1. Résoudre
′ 3′ 2 = 22 6 4 ′ 3′ = 2 ′ 3′ 2 = − ′ 3′ 2 = 36 − ′ 3′ 2 = ′ 2′ = 22− ′ 2′ 5 = 5c5 cos22 3sin22 ′ 2′ 5 = 4 6 cos 2 6 6 sin ′ = sin
Allez à : Correction : Correction exercice 1 Exercice 2. Résoudre Allez à : Correction : Correction exercice 2 Exercice 3. Résoudre
Allez à : Correction : Correction exercice 3 Exercice 4. Résoudre
Allez à : Correction : Correction exercice 4 Exercice 5. Résoudre
Allez à : Correction : Correction exercice 5 Exercice 6. Résoudre
Allez à : Correction : Correction exercice 6 Exercice 7. Résoudre
Allez à : Correction : Correction exercice 7 Exercice 8. Résoudre
Allez à : Correction : Correction exercice 8 Exercice 9. Résoudre
Allez à : Correction : Correction exercice 9 Exercice 10. Résoudre
1
Equations différentielles d’ordre 2 à coefficie nts constants
Allez à : Correction : Correction exercice 10 Exercice 11. Résoudre Allez à : Correction : Correction exercice 11 Exercice 12. Résoudre Allez à : Correction : Correction exercice 12 Exercice 13. Résoudre Allez à : Correction : Correction exercice 13
∈ℝ
′ 2′ 5 = −6cos6cos 3sin ′ 2′ 5 = −2cos2cos22 4sin22 ′ 3′ 2 = − 6 ′ 4 = cos
Exercice 14. Soit 1. Selon les valeurs de résoudre
2. Selon les valeurs de résoudre Allez à : Correction : Correction exercice 14
∈ℝ
Exercice 15. Soit 1. Selon les valeurs de résoudre
2. Selon les valeurs de résoudre Allez à : Correction : Correction exercice 15
′ 1 ′ = 0 ′ 1 ′ = ′ 1 ′ = 0 ′ 1 ′ = CORRECTIONS
Correction exercice 1.
′ ′ ′ 3 2 = 0 ′ 3 = 2= 0⇔ = 1 ou = 2 ′ =′ = 22 = 2 ∈ ℝ
Donc la solution générale de est est On cherche une solution particulière de la forme
On remplace cela dans
, pour tout
2
Pascal Lainé
Equations différentielles d’ordre 2 à coefficie nts constants
Pascal Lainé
′ 3′ 2 = 2 6 4 ⇔ 22 322 2 2 ==22 66 4 4 ⇔ 2 =661 2 2 22 3 3 2 = 2 6 4 ⇔ {26 332 2 2= 6= 4 = 1 ⇔ {26 6 3222= 6= 4 ⇔ { == 01 = 1 = 1 ′ ′ ′ 3 = 0 ′ 3 = 0 ⇔ = 0 ou = 3 ′ = 0 2 0 ′ =et =′ = 0 ′ 3′ = 2 ⇔ 3 = 2 ⇔ = 2 3 23 = = 2 3 ′ = ′ 3 = 2 = 23 ′ 3′ 2 = 0 ′ ′ 32= =0⇔ =1ou = 2 1 0 ′ = 1 1
On en déduit que Et la solution générale de
est :
Allez à : Exercice : Exercice 1
Correction exercice 2.
L’équation caractéristique de est est : La solution générale de est est :
est une solution simple de l’équation caractéristique et le degré du polynôme est donc il existe une solution particulière de de la forme
On remplace cela dans
Donc
Et la solution générale de
Remarque : Si on pose
alors
devient
Il s’agit d’une équation du premier ordre dont la solution est :
Il ne reste plus qu’à intégrer cette équation pour retrouver la solution générale ci -dessus. Allez à : Exercice : Exercice 2 Correction exercice 3.
Donc la solution générale de
est est
Le second membre est le produit d’une constante (donc d’un polynôme de degré ) par une exponentielle avec , n’est pas solution de l’équation caractéristique de donc donc admet une solution particulière de la forme 3
Equations différentielles d’ordre 2 à coefficie nts constants
Pascal Lainé
− = ′ = − et ′ = − ′ 3′ 2 = − ⇔ − 3− 2− = − ⇔ 6 = 1 ⇔ = 16 = 16 − = 16 − ′ 3′ 2 = 0 ′ ′ 32= =0⇔ =1ou = 2 1 = 1 ′ 1 − = ′ = − − = − ′ =− − = 2 2 − ′ 3′ ⇔ 2 2 = 36−− 3 − 2 − = 36− = 636= 0 ⇔ == 65 ⇔ 6 5 6 6− = 36− ⇔ 55 66 = 6 5− = 6 5 5−
On remplace cela dans
Donc
Et la solution générale de
est
Allez à : Exercice : Exercice 3
Correction exercice 4.
Donc la solution générale de
est est
Le second membre est le produit d’un polynôme de degré par une exponentielle avec or n’est pas solution de l’équation caractéristique de donc donc admet une solution particulière de la forme
On remplace cela dans
Donc
Et la solution générale de
Allez à : Exercice : Exercice 4
Correction exercice 5.
est :
′ 3′ 2 = 0 ′ 4
,
Equations différentielles d’ordre 2 à coefficie nts constants
Pascal Lainé
′ 32= =0⇔ =1ou = 2 1 = 1 ′ 1 = = ′ =′ 2 = 2 2 = 2 2 44 2 2 2 = ′ 3′ ⇔ 2 4 = 22 2 2 3 2 2= 44 6 3 2 2 2 2 3 = ⇔2 3 3 2 1 2 = 1 = ⇔ 2 2 2 2 = ⇔ ⇔ 2 = 0 ⇔ { = 12 = 12 1 1 = 12 1 = 2 = 12 ′ 2′ = 0 2 1 = 0 ⇔ 1 = 0 ⇔ = 1 1 ′ ′ 1 = 2 − 0 ′ = 1 1 − = ′ = 2 − = 2− 2 ′ = (2 2 2− 2−) = 44 2 2− Donc la solution générale de
est est
Le second membre est le produit d’un polynôme de degré par une exponentielle avec , or est solution de l’équation caractéristique de donc donc admet une solution particulière de la forme
On remplace cela dans
Donc
Et la solution générale de
est :
Allez à : Exercice : Exercice 5
Correction exercice 6.
est une racine double de l’équation caractéristique de est :
donc la solution générale de donc
Le second membre est le l e produit d’une constante (donc d’un polynôme de degré ) par une exponentielle avec , est solution double de l’équation caractéristique de donc donc admet une solution particulière de la forme
5
Equations différentielles d’ordre 2 à coefficie nts constants
Pascal Lainé
′ 2′ =2 −⇔ = 2 2 2− ⇔ 444 424− 222=2 ⇔2=−1 − = − = − − = − ′ 2 ′ 5 = 0 ′ ′2 5 = 0 ⇔ = 1 2 ou = 1 1 2 − cos22 sin22 = = 2 2 ′ = =2sico cos2s2 si n 2 2 n 2 2 2cos 2 2 ′ = 4cos22 44 sisin22 ′ 2′ ⇔ 4cos 522 =5c5 cos422sin3si22 n2222si 2sin22 2cos22 225 si4ncos2222 =5c5 c4os422443si 5n22sin22 ⇔5 44 cos 5 = 5co5 coss22 3sin22 ⇔ 444 == 35 ⇔ == 11 = cos22 sin2 = − cos22 sin22 cos22 sin2
On remplace cela dans
Donc
Et la solution générale de
est :
Allez à : Exercice : Exercice 6
Correction exercice 7.
La solution générale de
est est :
Ici et n’est pas une racine de l’équation caractéristique, donc particulière de la forme
admet une solution
On remplace cela dans
Donc
Et la solution générale de
est :
Allez à : Exercice : Exercice 7
Correction exercice 8.
′ 2 ′ 5 = 0 ′ ′2 5 = 0 ⇔ = 1 2 ou = 1 1 2 = − cos22 sin22
La solution générale de
est est :
6
Equations différentielles d’ordre 2 à coefficie nts constants
Pascal Lainé
=1 1 = cos s i n ′ = c cos= scosinsisin sincos ′ = c cos= 2 cossinsin22sin cos ′ 2′ ⇔ 5 = 24cos6cos 22 62 sisnin 2(5(25(( coscos sin) sin) 5 22 62 62 sin222 =⇔ (4 62cos 5 ) 2 5) 5 cos = (4262cos 5222626 sin22 2 5 5) sin ⇔ ( (2442424222422222424))cossin 4 2 = 4 = 22= 6 = 4 6 cos 22 6 6 sin ⇔ 2222242422422 4 4 = 6 2 = 2 2 22 =1= 3 ⇔ 2 2 = 3 22 == 211 ⇔ 2 225 = =0 2 ⇔ == 10 2 2==33 ⇔ 2 2 ==24 22 22==33 ⇔ 2 112 ⇔ 2 5=10= 2 ⇔ 2=2= 2 ⇔ == 02 = c cos 2si n = − cos22 sin22 cos 2sin
Ici donc
et n’est pas une racine de l’équation caractéristique, est un polynôme de degré , admet une solution particulière de la forme
On remplace cela dans
Résolvons d’abord
On remet cela dans les deux autres équations
Donc
Et la solution générale de
Allez à : Exercice : Exercice 8
Correction exercice 9.
est :
′ = 0 ′ 7
Equations différentielles d’ordre 2 à coefficie nts constants
Pascal Lainé
1 = 0 ⇔ = ou = ′ = cos sin ′ = 1 = = cos sisi n ′ = c cos= si ncos si sincos s i n ′ = c cos= 2 cossin sisin2 2 sin cos 2 cos 2 sin cos sin ′ ⇔ = sin2 1 = = sin ⇔ 2co 2 coss 2sin = sin ⇔ { = 02 = 2 cos = cos sin 2 cos ′ 2 ′ 5 = 0 ′ ′2 5 = 0 ⇔ = 1 2 ou = 1 1 2 − cos22 sin22 = =′1 = 1 = 11 − cos si n = si ′ = −= cos−(si ncos − sinsincos ) ′ = −( cos sin) − s i n cos = −2cos 2cos 22 sisin La solution générale de
est est
et est solution de l’équation caractéristique de particulière de la forme
donc donc
amet une solution
On remplace cela dans
Donc
Et la solution générale de
est
Allez à : Exercice : Exercice 9
Correction exercice 10.
La solution générale de
et , donc
est est :
donc n’est pas une racine de l’équation l’équation caractéristique de admet une solution particulière de la forme
8
Equations différentielles d’ordre 2 à coefficie nts constants
Pascal Lainé
′ 2′ ⇔ −52cos = −2si 6cos6cosn3si n 2cos = 2−−6cos6(cos3si cosn sin) 5− cos sin 3coscoss3si 2 n2 =26co6 cos5 5ss3siinn ⇔= 6c6 cos22 3si 2 2n25 ⇔53co ⇔ 3 3==36 ⇔ ==12 2 cos si n = −2cos = − cos22 sin22 −2cos2cos sin
On remet cela dans
Donc
Et la solution générale de
est :
Allez à : Exercice : Exercice 10
′ 2 ′ 5 = 0 ′ ′2 5 = 0 ⇔ = 1 2 ou = 1 1 2 − cos22 sin22 = ′ = 1 = 2 = 1 2 = − cos22 si n22 ′ ′ − − − − − = cos−22 sisi n22 = 2 2 = 12 −+−+ −−−− − = 1 −+−+ = 2 = 2 = = 12 ′ = 12 12
Correction exercice 11.
La solution générale de
donc
est est :
et donc est une racine de l’équation caractéristique de admet une solution particulière de la forme
,
Là, on a un problème, est un produit de trois termes, la dérivée est la somme de trois termes qui eux-mêmes sont le produit de trois termes, la dérivée la somme de neuf termes qui euxmêmes sont le produit de trois termes, certes on pourrait arranger et en en regroupant des termes et en mettant en facteur mais il vaut mieux utiliser l’exponentielle complexe.
On pose alors
9
Equations différentielles d’ordre 2 à coefficie nts constants
Pascal Lainé
′ = 12 112 1 12 = 2 2 × 2 ′ 2′ ⇔ 15 =−2cos2cos2 ×122 4si n 2 2 2 2 = 2−2cos122cos224si n12225 12 ⇔= 12−(2cos2(cos224si 2n22 2 2( ) 5) ⇔= 12−2cos2cos224si 2n 225 2 2 2 5 = 0 ′ 2′ −5 = −2cos2cos22 4si 1 n22 ⇔ 12 22 2 2 == −2cos2cos22coscos2222 4sisi4sisi44 nn2222 ⇔⇔ (2 (((2 1 )1) = −2cos2cos22 4sisi4 n22 2 1= =42−−+−+coscos22 sin(1 221 22 1) = 2− 2 (Acos2222si 4sinn2222 cos ) == 4−−(4cos cos4cos4cos2222si n 2 2 4sin22 ) ′ 2′ −5 = −2cos2cos22 4sisi4 1 n22 ⇔ 12 ((22 1) 2 ⇔cos2 s4cos == 2co2 coss2cos222cos4si22 n422sin ⇔222co 224cos 2 2 4si n 2 2 2si n 2 2 = 2co2 coss22 4sin22 ⇔ 22 == 42 ⇔ == 21 = −2cos 2cos22 sin22
On remet cela dans
Comme
Il reste à calculer la partie réelle de
Par conséquent
Donc
Et la solution générale de
est :
10
Equations différentielles d’ordre 2 à coefficie nts constants
Allez à : Exercice : Exercice 11
12 = −
Pascal Lainé
= − =cos−22( 2 2sincos2222 −2cos 2cos sin2222)sin22
′′ 33′′ 22 == 6− ′ 3′ = − ′ = − ′ = − ′ 3′ 2 = − ⇔ − 3− 2− = − ⇔ 6 = 1 ⇔ = 16 = 16 − ′ ′ 6 1 = 3 2 = 6 ′ = = 0 ′ 3′ 22=6 = 66 ⇔ 00 = 33 2 = 6 ⇔ 22 3 3 2 = 66 ⇔ 33 2 2 = 0 ⇔ { = 92 9 = 3 2 ′ 3′ 2 = − 6 1 9 = = 6 − 3 2 ′ 3′ 2 = − 6 1 9 = 6 − 3 2 ′ 4 = 0 4 = 0 = 2 = 2 ′ 4 = 0 = cos22 sin22
Correction exercice 12. On appelle une solution particulière de On appelle
une solution particulière de
n’est pas solution de l’équation caractéristique donc il existe une solution particulière de de la forme
Ce qui entraine que
et
ce que l’on remplace dans l’équation
est un polynôme de degré donc il existe une solution particulière de
Ce qui entraine que
et
de la forme
, ce que l’on remplace dans l’équation
On solution particulière de
est
Et la solution générale de
est
Allez à : Exercice : Exercice 12
Correction exercice 13. L'équation caractéristique de générale de est
est
, ses racines est
11
et et
, la solution
Equations différentielles d’ordre 2 à coefficie nts constants
Pascal Lainé
coscos = ++ = cos22cos sin cos = = cos22 ′ = 4 = = 18 ′ 4 = cos22 ′ = 00 22 = 2′ 4 = cos22 4 = 0 = cos22 sisi n22 ′ = c cos= 2222 si n 2 2 2si 2si n 2 2 2cos 2 2 cos 2 2 2 2 s i n 2 2 42si 4n22sin2222 ′ = 2sisi2 =n 4 22 2422cos 22sin224 2 cos22 12 cos22 ′ 4⇔ =4 4 4 4 cos 2 2 4 4 4 s i n 2 2 4 cos 2 2 sisi n 2 4 = 0 = 0 = 12 cos22 ⇔ 4co 1 4 coss22 4sin22 = 2 cos22 ⇔ { 4 = 12 ⇔ { = 18 ′ 4 = cosos = sin22 = = 18 8 sin22 = cos22 sin22 18 8 sin22 1 = 0 = 1 Δ = 1 4 = 1 2 4 = 1 2 =1 = 1 n’est pas de la forme
donc donc il faut linéariser
, c’est-àc’est-à-
dire
On pose
On appelle
et
une solution particulière de
de la forme
, la théorie veut qu’il existe une solution particulière
, mais il est clair que
Est une solution particulière.
On appelle
une solution particulière de
Ici
est solution de l’équation caractéristique de
solution particulière de
, donc il existe une
de de la forme
Ce qui entraine que
Ce que l’on remplace dans l’équation
Donc
, par conséquent une solution particulière de
Et la solution générale est :
Allez à : Exercice : Exercice 13
Correction exercice 14. 1. L’équation caractéristique est Si
, le discriminant vaut
alors il y a une racine réelle double
, la solution de l’équation est : est :
12
est est :
Equations différentielles d’ordre 2 à coefficie nts constants
Pascal Lainé
= ≠ 1 = 1 1 = et = 1 1 = 1 2 2 = ≠2 = ′ = 2 et ′ = 4 ′ 1 ⇔′ 42 21 = = ⇔1 ⇔4= 11 22 = 2 1 = 2 =1 = ≠1 ≠ 2 2 1 = =2 = ′ ′ = 2′ = 2 et ′ = 2 222 = 4 4 3 ⇔ 4424 =3 32 ⇔ 444224= 1 ⇔3 224 662 2 24 4 3 =3 = 1 ⇔ =1 = 1 = 0 = 1 Δ = 1 4 = 1 2 4 = 1 2 =1 = =1 ≠ 1 = 1 1 = et = 1 1 = 1 2 2 = ≠2 = ′ = 2 et ′ = 4
Si
alors il y a deux racines réelles distinctes
La solution de l’équation est 2. Si
, il existe une solution particulière de la forme
Donc
En remplaçant dans l’équation
Par conséquent
Si
la solution générale est
Si
et
Si
, il existe une solution particulière de la forme
la solution générale est
Donc
Par conséquent
Dans ce cas la solution générale est Allez à : Exercice : Exercice 14
Correction exercice 15. 3. L’équation caractéristique est
, le discriminant vaut
Si
alors il y a une racine réelle double
, la solution de l’équation est : est :
Si
alors il y a deux racines réelles distinctes
La solution de l’équation est 4. Si
, il existe une solution particulière de la forme
Donc
13
Equations différentielles d’ordre 2 à coefficie nts constants
Pascal Lainé
′ 1 ⇔′ 42 21 = = ⇔1 ⇔4= 11 22 = 2 12 = =1 = ≠1 ≠ 2 1 = 2 =2 = ′ ′ = 2′ = 2 et ′ = 2 222 = 4 4 3 ⇔ 4424 =3 32 ⇔ 444224= 1 ⇔3 224 662 2 24 4 3 =3 = 1 ⇔ =1 =
En remplaçant dans l’équation
Par conséquent
Si
la solution générale est
Si
et
Si
, il existe une solution particulière de la forme
la solution générale est
Donc
Par conséquent
Dans ce cas la solution générale est
Allez à : Exercice : Exercice 15
14
