INTRODUCCIÓN VECTORES
LAB DE FÍSICA I VECTORES
Vectores Algunas magnitudes físicas como el tiempo, la temperatura, la masa y otras que se verán en el curso de Física las identificamos con un número y una unidad sin preocuparnos por nada más. Otras sin embargo tienen una direccionalidad que no pueden ser descriptas por un solo número. Por ejemplo si quisiéramos establecer sin lugar a dudas la posición de una lámpara en una habitación, necesitaríamos decir: 1. A qué altura del techo (o piso se encuentra) 2. A qué distancia de la puerta se encuentra 3. A qué distancia de la pared adyacente a la puerta se encuentra. Es decir que se necesitan como mínimo tres números para determinar esa posición Otro ejemplo familiar es la velocidad, si decimos que un automóvil se mueve a una velocidad de 100 km./h en la Ruta que une. A con B no basta decir solamente esto sino necesitamos saber si va o vuelve. Necesitamos saber no solamente cuan rápido va sino también su dirección y hacia dónde. Una cantidad física para la cual nos alcanza un número para determinarla la llamamos escalar, mientras que a aquellas que se necesita más de un número para identificarlas (no solamente cuánto sino cuánto sino también la dirección en dirección en el espacio y hacia dónde va ) va ) las llamamos vectoriales. Podemos operar con escalares de la manera que estamos acostumbrados a realizar las operaciones aritméticas, sumar, multiplicar, dividir etc. Sin embargo, para combinar vectores se necesita determinar un conjunto distinto de operaciones. Porque en realidad podríamos pensar:- Bien!. Para determinar un vector si necesitan tres números entonces cada tres números tenemos un vector. No!!!, Para que estos tres números sean un vector deben estar asociados a un sistema de referencia (o coordenadas), de manera tal que si giramos el sistema de coordenadas, estos números se "retuercen" o se "mezclan" con leyes precisas que discutiremos enseguida.
Vector Desplazamiento Vamos a empezar por la cantidad vectorial más simple, el desplazamiento, que no es más que el cambio de posición de un punto a otro (Atención este punto puede ser un modelo que representa una partícula o un pequeño cuerpo que se traslada). El desplazamiento es un vector porque no solamente basta decir a qué distancia se movió sino en qué dirección. No es lo mismo salir de la puerta de casa y moverse 2 cuadras hacia la derecha que hacia la izquierda. El desplazamiento no es el mismo. El desplazamiento a menudo lo representamos por una sola letra mayúscula que aquí la mostraremos en negrita P, pero hay muchas otras maneras. En la Fig. 1 mostramos que el desplazamiento para ir de A hasta B es una línea recta que une estos puntos, empieza en A y termina en B dirigida hacia B. Cuando el cuerpo se mueve de manera que vaya y vuelva al punto inicial, el desplazamiento es cero. Es importante darse cuenta que el desplazamiento no está relacionado con la distancia
recorrida
Vamos a representar la magnitud de un vector (la longitud en el caso del desplazamiento) por la misma letra del vector perno no en negrita o bien: (Magnitud o módulo de P) = P = P Por definición el módulo de P es un escalar (un número) y siempre es positivo. Suponemos ahora que una partícula tiene un desplazamiento P, seguido por un desplazamiento Q. El resultado es el mismo que si se hubiera considerado partiendo del mismo punto inicial un único desplazamiento R como podemos ver en la figura.
Lo que en símbolos podemos expresar R = P + Q , a este vector se lo llama suma o resultante. Poner atención que aquí estamos sumando vectores y no es la simple suma algebraica de sus módulos sino que debemos tomar en cuenta sus direcciones. Podríamos preguntarnos si el desplazamiento es el mismo si hubiéramos considerado primero el desplazamiento de Q y luego el de P. ¿Cuál es la respuesta?. Veamos.
Simbólicamente se puede expresar R = Q + P que resulta igual a P + Q, es decir que la suma vectorial obedece la propiedad conmutativa. Por lo tanto la resultante es la misma La figura anterior sugiere una representación gráfica de la suma vectorial que la conocemos por la regla del paralelogramo. Los vectores P y Q se llevan al mismo punto, de la "cabeza’ de P se traza una recta paralela a Q y se hace lo mismo desde la "cabeza’ de Q trazando una paralela a P. La intersección de ambas conjuntamente con P y Q genera un paralelogramo y el vector resultante R es la diagonal del mismo. Cuando dos vectores son paralelos (o antiparalelos,) el vector resultante es la suma (o resta) de las magnitudes de los vectores correspondientes. Para sumar más de dos vectores , debemos primero encontrar el vector suma de cualquier par de vectores y ese vector resultante sumarlo con el siguiente y así sucesivamente. En la siguiente figura se muestra la suma de tres vectores P. Q y S . Los vectores P y Q se suman primero dando como resultado T y luego éste se suma con S para obtener la resultante R . Es decir que R = (P + Q)+ S = T + S
Alternativamente R = P + (Q + S) = P + U.
Si bien nosotros en el ejemplo utilizamos la regla de suma considerándolos de a pares, para encontrar la resultante, podríamos también sumarlos directamente armando un polígono, llevando la "cola" de un vector a la cabeza del otro, manteniendo siempre su dirección y sentido de manera tal que se forme un polígono, que se cierra cuando la "cabeza" del último vector a ser sumado se une con la "cola "del primero. Tengan en cuenta que estas sumas se pueden realizar independientes del sistema de coordenadas. Una cantidad vectorial puede ser multiplicada por un escalar, en este caso el vector resultante de tal multiplicación tiene la misma dirección que el vector original. Por ejemplo, si queremos multiplicar el vector P por un número cualquiera, digamos 2, el vector resultante tendrá el doble de la magnitud (o módulo) pero la dirección es la misma. También este escalar podría ser una magnitud física. La ecuación tan conocida de F = m a, al vector aceleración a se lo multiplica por un escalar m (que es un número pero tiene unidades de masa) y el resultado es la fuerza F cuya dirección es la misma que la aceleración a. Si el escalar es un número negativo el vector resultante tiene la misma dirección pero sentidos opuestos y si por supuesto ese escalar es cero el resultado es obvio. También podemos pensar este tipo de producto como lo que podemos llamar operación Chicle. Si el escalar es un número mayor o igual que 1 el módulo del vector resultante es mayor (se estira), si el escalar está entre cero y uno, el módulo es menor (se acorta), si es negativo invierte el sentido y si es cero..... no hay más vector. A partir del caso especial de multiplicación por – 1, lo que obtenemos es un vector de la misma magnitud y dirección que el original pero con sentido contrario (-1)P = -P, lo que nos permite definir la resta entre vectores es decir: P – Q = P + (-1) Q = R
Componentes de un Vector El sumar o restar vectores gráficamente nos permiten tener una idea de las magnitudes, direcciones y sentido de los vectores resultantes, pero medir en un diagrama como esos puede resultar incómodo, más aún se pierde precisión. Por eso es conveniente llevar a cabo la descomposición del vector en sus componentes. Para aclara lo que llamamos componentes, vamos a comenzar con un sistema de coordenadas rectangulares (cartesiano) como el que se muestra en la figura 2. Decimos que la componente x del vector P es la sombra que el vector hace sobre el eje x y la llamamos Px, mientras que la componente y de P es la sombra sobre el eje y Py. De manera tal que la suma vectorial de ellos resulta el vector P.
P = Px + Py Por definición como cada componente está en la dirección de los ejes coordenados solamente se necesita un solo número para describir cada uno. Cuando la componente del vector apunta en la dirección +x, nosotros definimos un número Px que sea el módulo de Px, si el vector apunta en la dirección – x, entonces definimos un número negativo - Px recordando siempre que el módulo de un vector siempre es positivo. Lo mismo podemos definir para Py. Tanto Px como Py se llaman las componentes del vector P.
De la figura 2 encontramos además que:
Px = P cos Py = P sen Estas componentes son los lados de un triángulo rectán gulo y la hipotenusa tiene magnitud P. El módulo de P y su dirección están relacionadas con sus componentes como:
tg = PY / PX Para encontrar la dirección de P, es decir el ángulo , primero se calcula la tg por medio de la ecuación anterior y luego, se encuentra la función inversa de la tangente. Es decir que = arctg (PY / PX ), noten que el signo de depende de los signos de las componentes. Si una componente en negativa el ángulo será negativo, lo que significa que la dirección del vector se encontrará en el cuadrante correspondiente como lo vimos en la Fig.3. En este punto vale la pena aclarar para que no haya ambigüedades en la determinación de , sabiendo que al definir cos y sen podemos calcular para 0 < 2 . Cuando se planteen un problema, pueden expresar un vector P, ya sea por sus componentes Px , Py como por su módulo, P , y por su dirección . Las componentes de un vector cambian si uno cambia el sistema de coordenadas, más aún las componentes de un vector respecto de un sistema fijo de coordenadas cambian si cambia su módulo, su orientación o ambos. Esto lo veremos en la sección siguiente.
Vectores Uni tarios o Versores Los vectores a menudo se expresan en términos de vectores unitarios llamados versores. Estos versores son vectores sin unidades, de módulo uno y se utilizan para expresar las direcciones de los vectores, pero no tienen otra significación física. Se usan simplemente porque son muy convenientes para expresar las direcciones del espacio.
Por ejemplo, para las coordenadas cartesianas, utilizaremos los vectores i, j, y determinar las direcciones x, y, y z respectivamente. Estos versores forman un conjunto ortogonal como se muestra en la figura
k para
En la notación de vectores unitarios el vector P, que está en el plano xy lo podemos escribir: P = Px i + Px j Ahora vamos a ver cómo podemos aplicar esto a la suma de vectores. Tenemos dos vectores P y Q que están en el plano xy, y queremos obtener el vector resultante R . Como antes R = P + Q . A cada uno de ellos los podemos escribir en función de los versores como: P = Px i + Px j, y Q = Qx i + Qx j. Sumamos componente a componente, puesto que el vector resultante R = R x i + R x j donde: R x = Px + Qx R y = Py + Qy Es decir que R = (Px + Qx) i + (Py + Qy) j El módulo de R y el ángulo que forma el vector resultante con el eje x, (dirección) la calculamos como antes:
Otra vez hay que tener en cuenta los signos de las componentes cuando se usa el método algebraico o el geométrico. Estrategia para operar con vectores Cuando se tienen dos o más vectores que deben ser sumados o restados, recordar que: Seleccionar el sistema de coordenadas o Dibujar cada vector y darle un nombre o o
Encontrar las componentes de cada vector
o
Usar el teorema de Pitágoras para encontrar el mó dulo del vector resultante
Usar la función trigonométrica adecuada para encontrar la dirección del vector resultante., es decir el ángulo que forma con el eje
EXPERIENCIA Nº 2 PRACTICA Nº 1 DETERMINACION DE FUERZAS RESULTANTES COMPOSICION DE FUERZAS
LAB DE FÍSICA I VECTORES
1. OBJETIVO.
Determinar el sentido y la magnitud de la fuerza resultante Fr, que compensa dos fuerzas distintas, F1, F2 de distinto sentido. Registrar la fuerza por peso de una masa con dos dinamómetros, que forman un ángulo determinado entre si y con respecto a la vertical .
2 . EQUIPOS Y MATERIALES:
Pie Estático Varilla soporte 600 mm Varilla soporte con orificio, 100 mm Nuez doble Dinamómetro, 1N Dinamómetro, 2N Soporte para dinamómetros Platillo para pesos de ranura, 10g Peso de ranura, 10g Sedal Tijeras Disco graduado.
3. MONTAJE : Arma el sistema según la figura 1. Calibra los dos dinamómetros en posición de uso, y colócalos en los soportes, junto con las nueces. Toma un trozo de sedal de unos 35cm y hazle un lazo en cada extremo, y otro justo en el centro. Coloca un lazo en cada uno de los ganchos de los dinamómetros y cuelga el platillo para pesas en el lazo central, con una carga total de 100 gramos.
Coloca a la misma altura las nueces dobles (5 cm del extremo superior) que sujetan los dinamómetros. Coloca el disco graduado de forma que su centro coincida con el punto en el que esta colgada la masa, y la dirección de la fuerza por peso coincida con uno de los ejes(fig 2). Desplaza el dinamómetro de 1N en su soporte hasta que los ángulos que forman las fuerzas F1 y F2 con la vertical sean iguales.
Separando o uniendo, paso a paso las dos mitades del pie estativo, ve formando, aproximadamente, los ángulos dados en la tabla 1. Lee en cada paso los ángulos 1 y 2 , y las fuerzas F1 y F2 y anota los valores en la tabla 1.
SEGUNDO EJERCICIO Partiendo de la posición inicial, varia la altura del dinamómetro de 1N paso a paso . Pon aproximadamente, los ángulos 1 dados en la tabla 2 Lee de nuevo en cada paso los dos ángulos y las fuerzas, anota los valores en la tabla 2
HOJA DE EVALUACION Nº. 2: PRACTICA Nº 1 COMPOSICIÓN DE FUERZAS
LAB DE FÍSICA I VECTORES
Resultado de las medidas: M = 100 gr. Fg = 1N Tabla 1
1
20 30 40 50
2
F1
F2
FR
F1
F2
FR
20 30 40 50
Tabla 2.
1
2
40 55 70 90 115 Evaluación. 1.Calcula
a partir de 1 + 2 y completa las dos tablas.
2. En una hoja aparte traza un paralelogramo de fuerzas para cada una de tablas. Para ello toma una cota de 1N = 10cm. Y determina gráficamente a partir de los diagramas las resultantes FR, y anota sus valores en las tablas. 3. Compara los valores de las resultantes FR obtenidos gráficamente con el
peso que cuelga. Que conclusión sacas? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
4. Calcula con la formula de la ley del coseno el valor de FR para varios valores
de
, escogidos al azar.
_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 5. ¿Es posible obtener un vector resultante menor que los vectores que constituyen su suma? Explique. _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 6. ¿Que diferencia existe entre una cantidad vectorial y una cantidad escalar? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 7. Resuelva el siguiente ejercicio utilizando transportador y a escala. Un grupo de tipógrafos para realizar un estudio de suelos, trazo los siguientes desplazamientos; A = (60m, 50º), B = (30m, 0º), C = (20m, 300ª). Calcule usted cual sería el vector desplazamiento resultante utilizando el método del polígono.
8. Resuelva el siguiente ejercicio realizando el diagrama respectivo. Un hombre sigue la siguiente ruta para realizar sus caminatas matutinas. De su casa recorre cuatro cuadras al este, tres cuadras al norte, tres cuadras al este, seis cuadras al sur, tres cuadras al oeste, tres cuadras al sur, dos cuadras al este, dos cuadras al sur, ocho cuadras al oeste, seis cuadras al norte, y dos cuadras al este. Que tan lejos se encuentra de su casa. Presente su diagrama.
9. Observe la siguiente figura y de solución al ejercicio. Un pintor todos los años se sienta en su silla como lo muestra la figura del lado izquierdo. El pintor pesa 500N y la cuerda tiene una tensión de ruptura de 300N. Un día al pintor le toco realizar su labor cerca de un asta bandera y coloco la silla como lo muestra la figura del lado derecho, amarrando el extremo libre de la cuerda al asta, cambiando la posición tradicional que tenia. Diga usted porque al pintor le toco adelantar sus vacaciones. Explique su respuesta verbalmente y haga una demostración matemática.
10. Cuales son sus observaciones y conclusiones con respecto a la experiencia realizada _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________
