Revue Construction Métallique
CALCUL CALC UL D ’UNE PANNE Z ISO STA STATIQUE SOUS BAC ACIER, SANS LIERNES par Y. Galéa
1 – INTRODUCTION
Cette note technique est un exemple d’application de l’Article 10.1 – Poutres maintenues par des plaques – de la norme expérimentale française XP P 22-313 [1] à la vérification de la résistance d’une panne isostatique à profil en Z à bords tombés fixée sous un bac acier et sans liernes, lorsqu’elle est soumise à une charge uniforme soit descendante, soit ascendante, en présence d’un effort normal de compression modéré. Le bac est supposé avoir la rigidité et la résistance nécessaires pour admettre un maintien latéral de la semelle connectée (pour un tel calcul, voir [2]). L’étendue de cet exercice a été volontairement limitée à un cas très simple pour ne pas noyer le lecteur dans un entrelacs de considérations qui aurait été préjudiciable à la compréhension de procédures déjà assez opaques. L’étude de cas plus complexes comme une panne en continuité sur 3 appuis avec ou sans emboîtement fera l’objet d’une publication ultérieure. La méthodologie appliquée peut s’avérer pénalisante dans certains cas et iI peut être utile de rappeler en préambule la Note annexée à l’Article 1.1(4)P dans le chapitre 1 «Généralités» qui mentionne : « Dans le domaine des profilés et plaques formés à froid, on utilise couramment des produits de série pour lesquels le dimensionnement par calcul peut ne pas conduire à des solutions économiques, et il est donc souvent préférable d’utiliser le dimensionne- ment assisté par des essais. Des méthodes d’essais adaptées sont données dans l’Annexe A ». L’Article 1.1(5), lui, stipule que «les méthodes de dimensionnement par calcul ne s’appliquent que dans des gammes bien définies de caractéristiques de matériaux et de proportions géométriques pour lesquelles on dispose d’une expérience suffisante et d’une validation par essais ». ». À ce titre, un rappel des principales hypothèses à considérer dans le calcul présenté ci-après est fait en début de note. Après une présentation des données, les calculs sont développés pas-à-pas, en faisant référence aux articles concernés de la norme expérimentale. Bien entendu, le lecteur aura pris soin de se munir de ce document auparavant.
Y. GALÉA – Ingénieur au CTICM CENTRE TECHNIQUE DE LA CONSTRUCTION
INDUSTRIEL MÉTALLIQUE
Domaine de Saint-Paul, 78471 Saint-Rémy-lès-Chevreuse Cedex Tél.: 01-30-85-25-00 - Télécopieur 01-30-52-75-38 Construction Métallique, n° 3-2003
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TECHNIQUE ET APPLICATIONS
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2 – NOTATIONS
Les notations utilisées sont autant que possible celles de la XP P 22-313 [1]. Dimensions de section : qFd
θ c
2
b-a
a t h
b
: largeur largeur (hors (hors-tou -tout) t) de semelle semelle
h
: hauteur (hors-tout) (hors-tout) de la section section
c
: hauteur hauteur (hors(hors-tout tout)) du bord tombé tombé
t
: épaisseu épaisseurr de la tôle tôle
a
: distance de la fixation fixation au au plan de l’âme
θ
: angle angle du bor bord d tombé tombé
q Fd : charge de calcul calcul appliquée perpendicuperpendiculairement au bac : c
q Fd ,↓ : charge descendante q Fd ,↑ : charge ascendante
b
Fig. 1 – Dimensions de section
Remarque importante sur les axes
Les sections en Z ont la particularité, contrairement aux sections en C ou Σ, d’avoir des axes principaux y-y et z-z décalés angulairement par rapport aux axes de référence u-u et v-v (selon les notations de la XP P 22-313 [1]) – voir figure 2. Il y a bien entendu lieu d’en tenir compte lorsqu’il s’agit d’étudier une panne Z isolée dont la section est alors libre de tourner. Ici, la panne est fixée à un bac qui est supposé maintenir latéralement la semelle supérieure et l’on peut considérer que les actions normales à la toiture (les seules que l’on considère ici) «forcent» la panne à fléchir perpendiculairement au plan du bac. Aussi, on admettra dans cet article les axes de la figure 2b, en confondant les 2 systèmes d’axes et en les prenant parallèles aux parois principales. Mais on gardera les notations adoptées dans les formules de [1] pour ne pas dénaturer celles-ci et pour que le lecteur s’y retrouve plus aisément. Ainsi, M y,Sd et W eff,y seront en fait calculés par rapport à l’axe u-u. z
v z
v
y u
u
y u
y u
y
z v a) XP P 22-313
v z b) Dans cet article
Fig. 2 – Conventions d’axes
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Conventions de signes
D’une manière manière générale les charges charges et sollicitations sollicitations sont positives positives pour que cela soit plus simple pour le lecteur. Les signes sont adaptés dans les formules pour tenir compte du contexte, notamment dans les combinaisons de contraintes où ces dernières sont comptées positives en compression et négatives en traction.
3 – LIMITES D’APPLICATION DE LA MÉTHODE – HYPOTHESES
On rappelle ci-après les limites d’application de la méthode telles qu’on peut les trouver dans la norme expérimentale XP P 22-313 [1], les paragraphes concernés de la norme étant indiqués en extrémité de ligne. q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
Profilé à section en Z, C, Σ ou similaires (§10.1.1) Mainti ntien lat latééral co conti ntinu sur sur une une semel emellle (i(ici su supér périeure) ure) (§10 §10.1.1) .1) Bac/plaque nervurée en acier fixé en creux creux d’onde (1/1 ou 1/2), dans la mesure où l’on a choisi ici de déterminer la rigidité de maintien par le calcul (§10.1.1) Appuis bloqués en rotation longitudinale et translations (appuis « à fourche ») (§10.1.1) 0,95mm р t cor р 8mm (t cor : épaisseur du métal nu) (§3.1.3(1)P I) b/t р 60 (Tableau 3.2) h/t р 500 (Tableau 3.2) 0,2 р c/b р 0,6 (§3.4(4)) Angle du bord tombé 45° р θ р 135° (§4.3.2.1(2)P) Pour le calcul de la rigidité élastique en rotation CD (§10.1.5.2(7)) – Largeur de la plage du bac à laquelle est fixée la panne р 120 mm – Épaisseur Épaisseur nominale de métal métal nu du bac у 0,66 mm – Dista Distanc ncee a ou (b-a) entre fixation et bord de semelle de contact у 25 mm
Hypothèses spécifiques à l’exemple q
q
q
q
panne isostatique sans lierne. charges transmises uniquement par la couverture (pas d’éléments directement accrochés sous la panne). rigidité et résistance du bac suffisantes pour un maintien latéral de la semelle connectée. effort normal de compression modéré. Le choix d’un effort normal modéré est imposé ici par le fait que certaines parties de la procédure de calcul ne sont applicables qu’avec cette hypothèse (voir en particulier §10.1.4.2(6)C de [1]), et que le 1/6e de hauteur d’âme rattachée à la semelle libre dans le modèle de calcul suppose cette âme en flexion simple. Aucun critère réglementaire n’étant donné pour apprécier cet effort, on pourra considérer ici à titre indicatif comme modéré un effort normal donnant dans la semelle libre libre une contrainte contrainte inférieure à 10 % de la contrainte due à la seule flexion de la panne.
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q
q
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bord tombé pleinement efficace (des calculs spécifiques seraient à faire selon le §4.3.2 de la norme). arrondis négligés dans le calcul des propriétés de section (des corrections seraient à apporter à certaines propriétés de sections conformément au §3.3.4(4)I de la norme).
Méthode générale de calcul appliquée
4
Parce qu’il n’a pas été choisi ici d’utiliser une analyse au second ordre pour vérifier la résistance de la semelle libre comme le permet §10.1.2, les vérifications sont faites en appliquant la méthode exposée en §10.1.3 et §10.1.4 pour tenir compte de la tendance de cette semelle libre à se déplacer latéralement en la traitant comme une poutre soumise à une charge latérale équivalente q h,Fd (voir figure 10.1 de [1]) issue de l’effet de la flexion latérale et de la torsion du profil.
4. – DONNÉES DE L’EXEMPLE
4,1. – Panne
Panne isostatique Longueur de la panne Nombre de fixations par mètre linéaire de panne (fixation dans chaque creux d’onde).
L=5m p = 5
4,2. – Dimensions de section (voir figure 1) Remarque : Pour permettre leur emboîtement, les pannes Z possèdent souvent des
semelles de largeur très légèrement différentes. Par souci de simplification, et parce que l’incidence d’une telle hypothèse est très minime sur les calculs, on considèrera ici que les semelles ont la même largeur.
Épaisseur nominale
t nom = 2 mm
Hauteur hors tout
h = 200 mm
Largeur semelle supérieure
b = 60 mm
Hauteur du bord tombé
c = 18 mm
Angle du bord tombé
θ = 90°
Distance fixation/âme
a = 30 mm
Arrondis négligés dans cet exemple.
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4,3. – Acier
Profilé réalisé par pliage à froid de tôles d’acier S350GD+Z275 galvanisé à chaud en continu et conformes à la norme NF EN 10147, avec certificat de réception «3.1.B» conformément à la norme NF EN 10204 sur la tôle et le profilé (conditions du §2.2(3)PI sur les tolérances supposées également satisfaites). Limite d’élasticité de base
f yb = 350 MPa
(tableau 3.1)
Résistance à la traction
f u = 420 MPa
(tableau 3.1)
Module de Young
E = 210 000 MPa
Coefficient de Poisson
ν = 0,3
Module de cisaillement : G =
E 2 (l + ν)
5
G = 80770 80 770 MPa MPa
Épaisseur du revêtement zinc (cumulée sur les 2 faces) t rev = 0,04 0,04 mm
(§3. (§3.1. 1.3( 3(5) 5)I) I)
Épaisseur de métal nu
t cor = t nom – t rev
t cor = 1,96 1,96 mm
(§3. (§3.1. 1.3( 3(5) 5)I) I)
Épaisseur de calcul
t = t cor
t = 1,96 mm
(§3.1.3(4)I)
4,4. – Coefficients de sécurité
Compte tenu de la tôle utilisée pour former le profil (conditions du §2.2(3)PI satisfaites), les coefficients de sécurité sont les suivants : Relatif à la résistance en section
γ M 0 = 1,0
(§2.2(3)PI)
Relatif aux instabilités
γ M 1 = 1,0
(§2.2(3)PI)
Relatif aux vérifications d’état limite de service
γ M,ser = 1,0
(§2.3(3)P)
4,5. – Propriétés Propriétés mécaniques mécaniques de section section brute du du profil Z
Aire de section brute
Ag = 6,82 cm2
Module élastique de section brute / yy yy
W el,y = 40,84 cm3
Inertie de flexion de section brute / uu uu
I u = 404,4 cm4
4,6. – Propriétés Propriétés mécaniques mécaniques de la « semelle semelle libre + 1/6 de l’âme »
Inertie /zz
I fz = 11,04 cm4
Rayon giration /zz
i fz = 2,284 cm
Module élastique /zz relatif au bord côté âme
W fz,a = 4,47 cm3
Module élastique /zz relatif au bord côté bord tombé
W fz,b = 3,32 cm3
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4,7. – Charges sous la combinaison d’état limite ultime
Les charges exercées sous la combinaison d’état limite ultime la plus défavorable sont (toutes valeurs positives ) : Charge descendante (normale à la toiture)
q Fd ,↓ = 300 daN/m
Charge ascendante (normale à la toiture)
q Fd ,↑ = 200 daN/m
Effort normal de compression
N Sd = 300 daN
6 4,8. – Charges sous la combinaison d’état limite de service
Les charges exercées sous la combinaison d’état limite de service la plus défavorable sont (toutes valeurs positives ) : Charge descendante (normale à la toiture)
q′Fd,↓ = 210 daN/m
Charge ascendante (normale à la toiture)
q′Fd,↑ = 140 daN/m
4,9. – Propriétés mécaniques de section efficace
Paramètre de nuance d’acier : ε =
ͱ ⒓ 235 f yb
ε = 0,819
4,91. – Section en compression pure (§4.2(4))
L’élancement réduit se calcule par l’expression : – λ p =
b p / t t 28,4εǰ˭˭ k σ
(§4.2(4))
4,911. – Semelles comprimées
On rappelle qu’on suppose ici le bord tombé efficace (à vérifier selon § 4.3.2 de la norme). Largeur de paroi : b p = b – t nom
b p = 58,0 mm
Coefficient de voilement (compression pure) : D’où
k σ = 4 (tableau 4.1) – λ p = 0,636 Ͻ 0,673
Donc
pas de réduction des semelles
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(§3.3.4)
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4,912. – Âme comprimée
Largeur de paroi : b p = h – t nom
b p = 198, 198,00 mm (§3. (§3.3. 3.4) 4)
Coefficient de voilement (compression pure) : D’où
(tableau 4.1) k σ = 4 – λ p = 2,171 Ͼ 0,673
Donc
réduction de l’âme
Pour simplifier tout en se plaçant en sécurité, on admet ici que la paroi travaille à une γM 1. Donc le coefficient de réduction de l’âme est obtenu contrainte maximale égale f yb / γ par : – λ – 0,22 ρ = p – ρ = 0,414 (§4.2(4)) λ 2p 4,913. – Aire efficace de la section Z en compression
Aeff = Ag – (1 – ρ)t (h – t nom )
Aeff = 4,55 cm2
4,92. – Section en flexion pure (§4.2(4)) 4,921. – Semelle comprimée
On rappelle qu’on suppose ici le bord tombé efficace (à vérifier selon § 4.3.2 de la norme). Largeur de paroi : b p = b – t nom
b p = 58,0 mm
(§3.3.4)
Coefficient de voilement (compression pure) :
(tableau 4.1)
D’où
k = 4 – λ p = 0,636
Donc
pas de réduction de la semelle
σ
Ͻ
0,673
4,922. – Âme fléchie
Largeur de paroi : b p = h – t nom
b p = 198, 198,00 mm (§3. (§3.3. 3.4) 4)
Coefficient de voilement (flexion pure) : D’où
k = 23,9 (tableau 4.1) – λ p = 0,888 Ͼ 0,673
Donc
réduction de l’âme
σ
Pour simplifier tout en se plaçant en sécurité, on admet ici que la paroi travaille à une γM 1. Donc le coefficient de réduction de l’âme est obtenu contrainte maximale égale f yb / γ par : – λ – 0,22 ρ = p – ρ = 0,847 (§4.2(4)) λ 2p
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4,923. – Propriétés de la section Z efficace en flexion pure
Le tableau 4.1 de la norme permet de calculer les largeurs efficaces de l’âme pour ψ = – 1 : q
q
8
q
Largeur b e 1 liée à la semelle comprimée : b e 1 = 0,4 ρ (h – t nom )/2
b e 1 = 33,5 mm
Largeur b e 2 liée à l’axe neutre : b e 2 = 0,6 ρ (h – t nom )/2
b e 2 = 50,3 mm
(tableau 4.1)
Les semelles restent pleinement efficaces.
Le calcul (non détaillé ici) des propriétés de section efficace donne : Inertie de flexion de section efficace / uu uu
I u,eff = 393,9 cm4
Module élastique efficace en flexion / yy yy – Semelle comprimée
W eff,y,c = 38,75 cm3
Module élastique efficace en flexion / yy yy – Semelle tendue
W eff,y,t = 40,88 cm3
Selon le sens de la charge et la semelle étudiée, c’est l’une ou l’autre valeur de W eff,y qui sera utilisée dans les critères de vérification de résistance.
4,10. – Limite d’élasticité pour les vérifications de résistance en section
Les vérifications de résistance en section font intervenir f y et non f yb . Le §3.1.1(6)P stipule que f y peut être pris égal à f yb ou f ya , où f ya est la limite d’élasticité moyenne augmentée définie en §3.1.2(2)P pour tenir compte de l’écrouissage dû aux pliages. Pour prendre f y = f ya , les conditions du §3.1.2(3)P doivent être remplies, ce qui n’est pas le cas ici puisque Aeff Ͻ Ag . Donc,
f y = f yb = 350 MPa
5. – VÉRIFICATIONS SOUS CHARGES DESCENDANTES
5,1. – Vérifications à faire
Flèche sous charge d’état limite de service selon §7 de [1] Résistance en section selon §10.1.4.1 Si semelle libre comprimée : critères de stabilité selon §10.1.4.2 (non considéré ici parce que semelle libre supposée tendue car effort extérieur de compression faible). q
q
q
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5,2 – Vérification de flèche
La flèche de la panne isostatique, dans le plan perpendiculaire à la toiture, est donnée par δ↓ =
′ ,↓L4 5q Fd 384EI u,eff
(on se place en sécurité ici en considérant la section efficace à l’ELU, sachant que la norme permet de la considérer à l’ELS). Selon §7.3(3)I, on doit vérifier δ↓ р
L 200
§7.3(3)I
ou, ce qui revient au même, le critère δ Γ δ,↓ = ↓ р 1,0 L /200 Ainsi, on obtient successivement :
δ↓ = 20,66 mm Γ δ,↓ = 0,826 Ͻ 1,0 OK
5,3. – Résistance des sections transversales – Application de 10.1.4.1 5,31. – Coefficient de sécurité sur la résistance
γ M = γ M 0 si (Aeff = Ag ) ou si (W eff,y = W el,y et N Sd = 0)
(§10.1.4.1(2))
γ M1 dans les autres cas
Donc ici :
γ M = γ M1 = 1,0
5,32. – Calcul de la charge fictive q h,Fd,↓ h,Fd,↓ pour charges descendantes
qFd,↓
k h, h,↓.qFd,↓ = qh,Fd,↓ Fig. 3 – Charge latérale sous charge descendante
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La charge latérale agissant sur la semelle libre et résultant de la torsion et de la flexion latérale est donnée par : q h,Fd ↓ = k h, ↓ . q Fd ,↓
(§10.1.4.1(3))
avec : k h, ↓ =
10
b 2ht 4I u
k h,↓ = 0,0872
D’où
(figure 10.3a)
q h,Fd ,↓ = 26,17 daN/m
Remarque : En fait, la semelle libre étant ici tendue (effort extérieur de compression modéré), le calcul de q h,Fd ,↓ est inutile car le moment de flexion latérale M f,z,Sd ,↓ engendré dans la semelle est alors pris égal à zéro (voir 5.3.4 ci-
dessous).
5,33. – Moment maxi à mi-portée
Dans le plan perpendiculaire au bac, donc par rapport à l’axe y-y, le moment maximal est : M y,Sd,↓ y,Sd,↓ =
q Fd ,↓L2 8
M y,Sd,↓ y,Sd,↓ = 937,5 daN.m
5,34. – Moment latéral M f,z,Sd,↓ f,z,Sd, ↓ dans la semelle libre
Sous charge descendante, et en présence de l’effort de compression N Sd relativement faible ici, la semelle libre de la panne est tendue dans une très large partie centrale de la travée où le moment de flexion est maximal. Donc :
M fz,Sd,↓ fz,Sd,↓ = 0
(§10.1.4.1(5))
5,35. – Vérification de résistance de la semelle supérieure (comprimée et maintenue)
Selon §10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est : σmax, Ed, s , ↓ =
M y,Sd ,↓ N Sd f y + р W eff,y,c Aeff γ M
(Expression (10.3a))
ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ R,s,↓ R,s,↓ =
σmax,Ed,s ,↓ γM f y / γ
р
1,0
On obtient ainsi successivement :
σmax,Ed,s,↓ max,Ed,s,↓ = 248,5 MPa Γ R,s,↓ R,s,↓ = 0,710 Ͻ 1,0
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OK
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5,36 5,36.. – Vérification de résistance de la semelle inférieure (tendue et libre)
(§10.1.4.1(2))
Selon §10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (traction prépondérante et M f,z,Sd,↓ f,z,Sd,↓ = 0) :
Έ
σmax,Ed,i,↓ max,Ed,i,↓ = –
M y,Sd ,↓ N Sd + W eff,y,t Aeff
Έ
р
f y γ M
(§10.1.4.1(2))
ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ R,i ↓ =
σmax,Ed,i ,↓ γM f y / γ
р
11
1,0
On obtient ainsi successivement :
σmax,Ed,i,↓ max,Ed,i,↓ = 222,7 MPa Γ R,i,↓ R,i,↓ = 0,636 Ͻ 1,0
OK
6. – VÉRIFICATIONS SOUS CHARGES ASCENDANTES
6,1. – Vérifications à faire q
q
q
Flèche sous charge d’état limite de service selon §7 de [1]. Résistance en section selon 10.1.4.1. Critères de stabilité de semelle libre selon 10.1.4.2.
6,2. – Vérification de flèche
La flèche de la panne isostatique, dans le plan perpendiculaire à la toiture, est donnée par : δ↑ =
′ ,↑L4 5q Fd 384EI u,eff
(on se place en sécurité ici en considérant la section efficace à l’ELU, sachant que la norme permet de la considérer à l’ELS). Selon §7.3(3)I, on doit vérifier δ↑ р
L 200
(hypothèse adoptée ici)
ou, ce qui revient au même, le critère Γ δ,↑ =
δ↑ L /200
р
1,0
Ainsi, on obtient successivement :
δ↑ = 13,8 mm Γ δ,↑ = 0,551 Ͻ 1,0
OK
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6,3. – Résistance des sections transversales – Application de 10.1.4.1 6,31. – Coefficient de sécurité sur la résistance
γ M = γ M 0
si (Aeff = Ag ) ou si (W eff,y = W el,y et N Sd = 0) dans les autres cas.
γ M 1
Donc ici :
12
(§10.1.4.1(2))
γ M = γ M 1 = 1,0
6,32. – Calcul de la charge fictive q h,Fd,↑ h,Fd,↑ pour charges ascendantes
qFd,↑ a
k h, h,↑.qFd,↑ = qh,Fd,↑ Fig. 4 – Charge latérale sous charge ascendante
La charge latérale agissant sur la semelle libre et résultant de la torsion et de la flexion latérale est donnée par : q h,Fd,↑ h,Fd,↑ = ͉k h,↑͉ . q Fd,↑ Fd,↑
(§10.1.4.1(3))
avec : b 2ht a k h,↑ = – 4I u h
si Ͼ 0 : q h,Fd ,↑ a le sens indiqué à la figure 4 et le contact panne-bac se fait du côté de l’âme de la panne si Ͻ 0 : q h,Fd ,↑ a le sens inverse de celui indiqué à la figure 4 et le contact panne-bac se fait du côté du bord extérieur de semelle de la panne.
Ici, on obtient :
k h,↑ h,↑ = – 0,0628 Ͻ 0
Donc : le contact panne-bac se fait du côté du bord extérieur de semelle de la panne et q h,Fd ,↑ a le sens inverse de celui indiqué à la figure 4. Charge latérale :
q h,Fd,↑ h,Fd,↑ = 12,55 daN/m
6,33. – Moment maxi à mi-portée
Dans le plan perpendiculaire au bac, donc par rapport à l’axe y-y, le moment maximal est : M y,Sd,↑ y,Sd,↑ =
q Fd ,↑L2 8
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M y,Sd,↑ y,Sd,↑ = 625 daN.m
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6,34. – Moment latéral M f,z,Sd,↑ f,z,Sd, ↑ dans la semelle libre 6,341. – Calcul de la rigidité élastique C D en rotation (§10.1.5.2) CD
13
Fig. 5 – Ressort de maintien de la panne en rotation
L’encastrement en rotation conféré par le bac à la panne est modélisé par un ressort en rotation de rigidité totale C D calculée par : C D =
1 1/ C CD,A + 1/ C CD,C
(§10.1.5.2(1))
où : C D,A
rigidité en rotation de l’assemblage entre le bac et la panne,
C D,C
rigidité en rotation correspondant à la rigidité de flexion du bac.
La rigidité C D,C peut être calculée selon le §10.1.5.2(3) ou §10.1.5.2(4). Ici, conformément à §10.1.5.2(8) et dans la mesure où la rigidité élastique totale est principalement influencée par la valeur de C D,A et par la déformation de section transversale de la panne (voir rigidité K B plus loin en 6.3.4.2), on néglige l’effet de C D,C . Donc : C D = C D,A
La rigidité C D,A peut être calculée selon le §10.1.5.2(5) ou §10.1.5.2(7), ou en alternative, déterminée par essais (§10.1.5.2(9)). On choisit ici d’appliquer le §10.1.5.2(7) dans la mesure où les conditions imposées sont respectées, à savoir : – la largeur largeur de la plage du du bac au travers travers de laquelle laquelle la panne panne est fixée n’est n’est pas supésupérieure à 120 mm, – l’épaiss l’épaisseur eur nominale nominale de métal métal nu t du bac est au moins de 0,66 mm, – la distance distance a ou b-a entre l’axe l’axe de la fixation fixation et le bord de la semelle semelle autour duquel tourne la panne est au moins de 25 mm. C D,A = 130 130 . p Nm/m/rad
(§10.1.5.2(7))
où p est le nombre de fixations bac-panne par mètre linéaire de panne. Ici p = 5. Donc :
C D,A = 650 Nm/m/rad
Il en découle :
C D = 650 Nm/m/rad
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TECHNIQUE ET APPLICATIONS
Remarque : On peut remarquer qu’en supposant le §10.1.5.2(5) applicable ici pour calculer C D,A (on suppose : espacement des nervures Ͻ 185 mm et largeur de
plage du bac fixée à la panne Ͻ 40 mm, diamètre des rondelles = 16 mm, …), on trouverait 936 Nm/m/rad, donc une valeur un peu plus favorable. En effet, selon l’équation (10.17a), b a 100
2
C D,A = C 100
(§10.1.5.2(5))
avec b a = largeur de la semelle de la panne (en mm), donc : b a = 60 mm Ͻ 125 mm
14
C 100 est lu dans le tableau 10.3. Pour une fixation dans chaque onde, on aurait C 100 = 2 600 Nm/m/rad, Nm/m/rad, et donc C D,A = 936 Nm/m/rad.
6,342. – Calcul de la rigidité élastique latérale K par unité de longueur (§10.1.5.1)
K Fig. 6 – Ressort latéral de semelle libre
Le maintien élastique latéral conféré à la semelle libre de la panne par le reste du système (reste de la section de la panne, fixation, bac) est modélisé par un ressort latéral agissant au niveau de la semelle libre et de rigidité K calculée par : 1 1 1 1 = + + K K A K B K C
(§10.1.5.1(1))
où : K A rigidité latérale correspondant à la rigidité en rotation de l’assemblage bac-panne, K B rigidité latérale résultant de la déformation de la section transversale de la panne, K C rigidité latérale résultant de la rigidité de flexion du bac.
Conformément au §10.1.5.1, on néglige 1/ K KC car K C généralement très grande par rapport à K A et K B . Donc : 1 1 1 = + K K A K B
(§10.1.5.1(2))
La rigidité K peut être : – soit déterminée par essais conformes aux dispositions du Chapitre 9 et de l’Annexe A, – soit calculée selon §10.1.5.1(4).
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TECHNIQUE ET APPLICATIONS
La deuxième alternative est choisie ici. K est donnée par : K =
1 4(1 – ν2)h2(hd + e ) h2 –––––––––––––––––––––––––––––––– + ––––– Et 3 C D
(§10.1.5.1(4))
où hd est la hauteur développée de l’âme. Ici : hd = h – t nom e
e = a
hd = 198 mm,
si panne en contact avec le bac du côté de l’âme de la panne,
e = 2a + b si panne en contact avec le bac du côté du bord extérieur de la semelle de la panne.
Ici, sous charge ascendante, le contact panne-bac se fait du côté du bord extérieur de semelle de la panne (voir §6.3.2 de cet article). Donc :
e = 120 mm
et, on calcule :
K = 0,011 N/mm/mm
6,343. – Coefficient R d’appui latéral élastique
Ce coefficient R est utilisé pour le calcul du coefficient de correction βR pour le maintien élastique effectif, lui-même nécessaire au calcul du moment fléchissant latéral M fz,Sd,↑ fz,Sd,↑ selon §10.1.4.1(5). R =
KLa4 π4EI fz
(§10.1.4.1(7))
où La distance entre liernes, ou, en cas d’absence de ces dernières, portée L de la panne. Ici, pas de liernes, donc : La = L
La = 5 m
et, il vient :
R = 3,047
6,344. – Moment latéral M fz,Sd,↑ fz,Sd,↑ dans la semelle libre (ici, elle est comprimée)
Selon §10.1.4.1(5), le moment latéral M fz,Sd,↑ fz,Sd,↑ dans la semelle libre comprimée compte tenu du maintien latéral élastique peut être calculé par : M fz,Sd,↑ fz,Sd,↑ = βR . M 0,fz,Sd,↑ fz,Sd,↑
(§10.1.4.1(5))
où M 0,fz,Sd,↑ fz,Sd,↑ moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique, βR
coefficient de correction pour le maintien élastique effectif.
Les expressions de M 0,fz,Sd,↑ fz,Sd,↑ et βR sont fixées à l’aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon
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TECHNIQUE ET APPLICATIONS
isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant isostatique, c’est le premier cas du tableau qui gouverne et l’on a : M 0,fz,Sd,↑ fz,Sd,↑ =
βR =
q h,Fd ,↑La2 8
1 – 0,0225R 1 + 1,013R
donc
M 0,fz,Sd,↑ fz,Sd,↑ = 39,22 daN.m
donc
βR = 0,2279
et l’on peut calculer :
M fz,Sd,↑ fz,Sd,↑ = 8,94 daN.m
16 6,35. – Vérification de résistance de la semelle supérieure (tendue et maintenue)
Selon §10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est :
Έ
σmax,Ed,s ↑ = –
M y,Sd ,↑ N Sd + W eff,y,t Aeff
Έ
р
f y γ M
(Expression (10.3a))
ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ R,s,↑ R,s,↑ =
σmax,Ed,s ,↑ γM f y / γ
р
1,0
On obtient ainsi successivement :
σmax,Ed,s,↑ max,Ed,s,↑ = 146,3 MPa Γ R,s,↑ = 0,418 Ͻ 1,0
OK
6,36. – Vérification de résistance de la semelle inférieure (comprimée et libre)
(§10.1.4.1(2))
On a vu ci-dessus en 6.3.2 que le contact panne-bac se fait du côté du bord extérieur de semelle de la panne et q h,Fd,↑ h,Fd,↑ a le sens inverse de celui indiqué à la figure 4 (k h,↑ Ͻ 0). La contrainte de compression ramenée par M fz,Sd,↑ fz,Sd,↑ se calcule donc en faisant intervenir W fz,b . La vérification à effectuer est : σmax,Ed,i,↑ max,Ed,i,↑ =
M y,Sd ,↑ N Sd M fz,Sd,↑ + + fz,Sd,↑ W eff,y,c Aeff W fz,b
р
f y γ M
(Expression (10.3b))
ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ R,i,↑ R,i,↑ =
σmax,Ed,i,↑ max,Ed,i,↑ γM f Y / γ
р
1,0
On obtient ainsi successivement :
σmax,Ed,i,↑ max,Ed,i,↑ = 194,8 MPa Γ R,i,↑ = 0,557 Ͻ 1,0
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OK
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TECHNIQUE ET APPLICATIONS
6,4. – Résistance de la semelle libre au flambement – Application de §10.1.4.2 6,41. – Longueur de flambement de la semelle libre (§10.1.4.2(6))
Selon §10.1.4.2(6), sous charge ascendante et en présence d’un effort normal de compression faible, la longueur de flambement de la semelle libre peut être calculée par : ᐉfz
= 0,7L0 (1 + 13,1R 01,6)–1,125
avec L0 = L pour une panne isostatique, donc
§10.1.4.2(6)
17
L0 = 5 m
et à condition que 0 Ͻ R 0 Ͻ 200, avec : R 0 =
KL04 π4EI fz
§10.1.4.2(6)
Rappel :
K = 0,011 N/mm/mm
Donc :
R 0 = 3,047
On peut alors calculer :
ᐉfz
= 2,027 m
– 6,42. – Élancement réduit λ fz de la semelle libre
Selon §10.1.4.2(2) λ 1 = π .
– λ fz =
ͱ ⒓ E f yb
ᐉfz
i fz λ 1
λ 1 = 76,95
(§10.1.4.2(2))
λ fz = 1, 1,153
(§10.1.4.2(2))
6,43. – Coefficient de flambement (§6.2.1(2)P)
On applique ici le §6.2.1(2)P. Selon le tableau 6.2, la courbe de flambement «a», c’est-àdire un facteur d’imperfection : α = 0,21. et l’on peut calculer : – – φ = 0,5[1 + α (λ fz – 0,2) + λ fz 2]
φ = 1,265
(§6.2.1(2)P)
1 р 1 – φ + (φ2 – λ fz 2)0,5
χ = 0,560
(§6.2.1(2)P)
χ=
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6,44. – Vérification de la semelle inférieure (comprimée, libre) au flambement
(§10.1.4.2(1))
La contrainte de compression ramenée par M fz,Sd,↑ fz,Sd,↑ se calcule en faisant intervenir W fz,b (voir ci-dessus en 6.3.6). Selon §10.1.4.2(1), et en introduisant une notation de contrainte amplifiée par le flambement σF,Ed,i ,↑ dans la semelle inférieure, la condition à vérifier est : σF,Ed,i ,↑ =
18
1 M y,Sd ,↑ N Sd M fz,Sd ,↑ + + χ W eff,y,c Aeff W fz,b
р
f yb γ M 1
(§10.1.4.2(1))
ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γ F,i,↑ F,i,↑ =
σF,Ed,i ,↑ γM 1 f yb / γ
р
1,0
On obtient ainsi successivement :
σmax,Ed,i,↑ max,Ed,i,↑ = 326,7 MPa Γ F,i,↑ = 0,933 Ͻ 1,0
OK
7. – RAPPEL DES RÉSULTATS ET CONCLUSION
La vérification des différents critères conduit aux résultats suivants : – sous charge descendante
– sous charge ascendante
Γ δ,↓ = 0,826 Ͻ 1,0
OK
Γ δ,↑ = 0,551 Ͻ 1,0
OK
Γ R,s,↓ R,s,↓ = 0,710 Ͻ 1,0
OK
Γ R,s,↑ R,s,↑ = 0,418 Ͻ 1,0
OK
Γ R,i,↓ R,i,↓ = 0,636 Ͻ 1,0
OK
Γ R,i,↑ ,i,↑ = 0,557 Ͻ 1,0
OK
Γ F,i,↑ F,i,↑ = 0,933 Ͻ 1,0
OK
La panne est donc satisfaisante.
Ces vérifications sont normalement à compléter par la vérification des conditions d’appuis aux extrémités de la panne (assemblages, résistance aux réactions d’appui, …), en fonction des dispositions constructives adoptées.
8. – RÉFÉRENCES
|1| XP P 22-313 – Eurocode 3 « Calcul des structures en acier » – Partie 1-3 : « Règles générales – Règles supplémentaires pour les profilés et plaques à parois minces formés à froid » – avec son Document d’Application Nationale – Mars 1998. |2| A. Bureau – « Stabilisation des pannes en profilé laminé par un bac acier – Vérifica- tion du bac par les recommandations de la CECM » – Revue Construction Métallique – N° 4 1991 – CTICM.
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