FACTORES DE PAGO UNICO
La relación de pago único se debe a que dadas unas variables en el tiempo,específicamente interés (i) y número de periodos (n), una persona recibe capitaluna sola vez, realizando un solo pago durante el periodo determinadoposteriormente. Para hallar estas relaciones únicas, sólo se toman los parámetros de valorespresentes y valores futuros, cuyos valores se descuentan en el tiempo mediante la tasade interés. A continuación se presentan los significados de los símbolos a utilizaren las fórmulas financieras de pagos únicos:, P: Valor presente de algo que se recibe o que se paga en el momentocero. F: Valor futuro de algo que se recibirá o se pagará al final del periodoevaluado. n: Número de períodos (meses, trimestres, años, entre otros) transcurridos entrelo que se
recibe y lo que se paga, o lo contrario; es decir, período de tiemponecesario para realizar una transacción. Es de anotar, que n se puede o nopresentar en forma continua según la situación que se evaluando. i : Tasa de interés reconocida por período, ya sea sobre la inversión o lafinanciación obtenida; el interés que se considera en las relaciones de pago únicoes compuesto. 1 Cálculo del Valor Futuro dado un Valor Presente
Para el cálculo del valor futuro dado un presente, es necesario conocer 3variables: Valor presente (P), interés (i) y número de periodos (n), con elfin de deducir la cuarta variable, que en este caso sería el valor futuro(F). Es decir, para la mayoría de los casos,es válido aseverar que conocidas los datos de tres variables podemosdeterminar el valor de la cuarta. A continuación se representa el modográfico para una mejor comprensión del concepto:
Se puede concluir que con el depósito hecho en el momento presente, amedida que se va liquidando el interés se originan nuevos saldos,gracias a la utilización del interés compuesto en la fórmula(capitalización de los intereses), la cual es: F ! P ( 1 i ) n n
Donde, la expresión matemática (1 i ) es el factor de la cantidadcompuesta de pago
único, el cual agrega valor a la cantidad P a lo largodel periodo, como se observa en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1: Suponga que solicita hoy un préstamo de $500, los cuales debenser pagados
en un periodo de 4 años, a una tasa de interés del 10% concapitalización anual. ¿Cuánto pagará al final del periodo cuatro? (1 i ) n
F
!
F
! 500
F
! 732.05
(1 0.10)
4
Adicionalmente, existe una expresión simbólica que representa estefactor, el cual se denota (F/P; i%, n ) y cuya lectura es: ³Encontrar unvalor futuro (F), dado un valor presente (P), a una tasa de interés (i) y a (n) períodos".
Bajo esta connotación la fórmula de valor futuro dado unvalor presente se puede escribir simbólicamente de la siguiente manera:
F ! P F / P , i , n
Si el ejemplo anterior se realiza directamente mediante la fórmula se plantea dela siguiente manera: F ! P F / P , i , n
2
500
( F / P ,10%, 4)
F
!
F
! 500
F
! 732 .05
(1.4641)
Cálculo del Valor Presente dado un Valor Futuro
La relación que vamos a detallar es inversa a la anterior, por lo tanto, lasvariables conocidas son el valor futuro (F ), la tasa de interés (i) y el número deperiodos (n) y la variable a encontrar es el valor presente (P). Con el fin de teneruna mejor visión del concepto, se presenta a continuación el modo gráfico de larelación:
La fórmula matemática de esta relación se denota de la siguiente manera:
P ! F
« ¬
» 1 i n ¼½ 1
En donde, la expresión (1 i) n es el factor de valor presente de un pagoúnico el cual desagrega valor a la cantidad F a lo largo del periodo parahallar el valor presente, para mayor ilustración realizar el siguienteejemplo: 2: Suponga que al final del periodo 3 se deben pagar $1.200, lapersona sabe que la tasa de interés que le asignaron fue del 8% anual, por tantoes necesario saber ¿Cuál es el monto a desembolsar la entidad financiera en elmomento para que la persona pueda pagar en el futuro el valor conciliado?
Ejemplo
«
P ! F ¬
» 1 i n ¼½ 1
« 1 » P !1200 ¬ 1 0.08 ¼½
3
P ! 952.59 La expresión simbólica que representa este factor esP !F (P / F , i %, n) y su lectura es: ³Encontrar un valor presente (P), dado un valor futuro (F), a una tasa de interés (i) y a (n) períodos ". Si el ejemplo anterior se realiza directamente mediante la fórmula se plantea dela siguiente manera: P ! F P / F , i , n P ! 1200 ( P / F , 8% , 3) P ! 1200 ( 0.7938) P ! 953 3
Cálculo del Número de Periodos
Con la relación de los pagos únicos, se puede determinar cuál es el número deperiodos necesarios en el momento que no haya ese dato pero se debe tener lasvariables de valor presente, valor futuro y la tasa de interés. La fórmula parahallarlo, se extrae de la ecuación F ! P ( 1 i ) n , en donde para despejar n seaplican logaritmos. Ejemplo 3: Felipe Sánchez le desembolsaron un préstamo de $52.000.000, elcual debe
pagar a una tasa de interés del 1.8% mensual y que al final del periododebe pagar $85.000.000, calcular ¿cuál es el periodo de tiempo requerido pararealizar la transacción descrita?
F ! P (1 i) 85 000 000
n
! 52
000 000
1
0.018
n
1.634615 ! (1.018) n Log 1.634615 ! n log 1.018 n ! 27.5 meses 4
Cálculo de la Tasa de Interés
Para hallar la tasa de interés bajo la cual se realizó una transacción, partiendo dela ecuación F ! P ( 1 i ) n y, utilizando una relación matemática. Ejemplo 4: A Lina Hoyos le otorgaron un préstamo por valor de $30.000.000para comprar
un vehículo, el cual debe pagar en 4 años y se conoce que al finaldel periodo debe pagar $42.000.000, calcular ¿cuál es la tasa de interésrequerida para realizar la transacción descrita? P ! F
« ¬
» 1 i n ¼½ 1
30 000 000 ! 42 000 000
0.714286 !
(1 i )
4
(1 i )
4
!
!
1 (1 i ) 4 1
0.714286
1.39999 1
(1 i ) ! (1.39999) 4 i
! 8.78
%
« 1 » ¬ (1 i ) 4 ¼ ½
Ejercicios Resueltos
1. Se sabe que por medio de un documento, María Escobar, se comprometió acancelar después de año y medio un valor de $2.650.000, a una tasa deinterés del 11,00% semestral. Hallar el valor inicial de la obligación de María. 2.
2. Sandra Betancur compra una casa por valor de $95 millones esperandovenderlo dentro de un año en $130 millones, se pide conocer, ¿cuál es la tasade interés mensual que rinde el dinero invertido?
3. Juan Carlos Sánchez tiene dos cuentas por cobrar, la primera dentro de 2meses por valor de $1.000.000 y la segunda por $2.000.000 dentro de 5meses. Simultáneamente, tiene que cancelar una deuda con 3 pagos de$500.000 cada una en los meses 4 y 6. Hallar el valor del saldo dentro de 7meses, si la tasa de interés es del 1,30% mensual.
