Latar Belakang Bilangan prima memiliki kekhususan dan peran penting yang tidak dimiliki bilangan lain. Selain itu, berbagai kontroversi rumus dan banyaknya bilangan prima juga belum dapat dijelaskan secara tuntas. Dengan adanya pernyataan di atas maka dari itu kami sebagai mahasiswa matematika terdorong untuk menyusun makalah yang berjudul Bilangan Prima dan Faktorisasi unggal.Sebelum mempelajari tentang !aktor prima maka terlebih dahulu akan dibahas apa itu bilangan Prima, sejarah bilangan prima, bilangan prima semu dan man!at dari bilangan prima. 1.
Pengertian Bilangan prima
Secara umum Bilangan Bilangan prima sering dide!inisikan dide!inisikan sebagai bilangan yang memiliki memiliki " !aktor atau dengan kata lain bilangan yang hanya habis dibagi dengan # dan bilangan itu sendiri. Dari dilihat perkembanga perkembangannya, nnya, pengertian pengertian bilangan prima dide!inisikan dide!inisikan sebagai bilangan bulat $ # yang hanya habis dibagi dengan # dan bilangan itu sendiri. Dari beberbagai usaha untuk mengkaji hubungan antara bilangan prima, dikenal pula dengan istilah bilangan prima kembar %twin primes&, dimana dimana ini merupakan pasangan bilangan prima yang yang memenuhi dan n ' " untuk n adalah bilangan prima. (ontoh ) * dan +, ## dan #*, " dan *#, dll. 2.
Sejarah dan perkembangan perkembangan bilangan prima
-anusia telah mengenal bilangan prima sejak +// S-. ulang 0shango yang ditemukan pada tahun #/ %sekarang disimpan di -usee d12istoire 3aturelle di Brussels& membuktikan hal tersebut. ulang 0shango memiliki * baris takik. Salah satu kolomnya memiliki ##, #*, #4, dan # takik, yang merupakan me rupakan bilangan5bilangan prima antara #/ hingga "/. -eskipun sedikit sekali man!aat yang diketahui, namun di awal masehi orang tetap mencari dan membuktikan bahwa suatu bilangan merupakan bilangan prima. Pada tahun *"+ S-, 6uclid membuktikan bahwa bilangan prima memiliki jumlah yang tidak terbatas. 6uclid juga membuktikan teorema dasar aritmatika. Di dalam teori bilangan, teori dasar arimatika menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih dari satu dapat dituliskan sebagai perkalian unik dari bilangan prima, misalnya * 7 " * 8 *# 8 #4" 9 #"//7 " : 8 *# 8 +" adalah dua contoh bilangan bilangan yang memenuhi teorema teorema bahwa bahwa bilangan5bilanga bilangan5bilangan n tersebut dapat dituliskan sebagai perkalian dari bilangan prima. Sebelum komputer ditemukan, perkembangan penemuan bilagan prima masih lambat karena orang orang belum belum merasak merasakan an man!aat man!aat dari bilang bilangan an prima. prima. Semua Semua bilang bilangan an prima prima $ " jelas jelas merupakan bilangan ganjil sehingga ppada jaman dahulu orang percaya bahwa untuk suatu bilangan prima n, maka " n ; # juga merupakan bilangan prima. 3amun pada tahun #+*, prima> Lukas Lukas menemukan syarat perlu dan cukupnya pada tahun #=4/ dan Lehmer mengujinya pada tahun
#*/. ?ji Lucas ; Lehmer ) untuk bilangan ganjil n,bilangan -ersenne " n5# adalah bilangan prima jika dan hanya jika "@n5#As%n5#& dengan s%n'#& 7 %s%n&& " ; " dan S%#& 7 :. Bilangan bulat p $# disebut bilangan prima bilamana tidak ada bilangan pembagi d terhadap p yang memenuhi syarat # d p. Dengan perkataan lain, bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu dan bilangan itu sendiri. sebuah bilangan bulat p $ # yang bukan bilangan prima disebut bilangan komposit %tersusun&. Sebagai contoh, ", *, + dan 4 adalah bilangan prima, sedangkan :, , =, dan adalah bilangan komposit. Perlu diperhatikan bahwa # bukan bilangan prima dan bukan pula bilangan komposit, sehingga # disebut satuan. Cadi, himpunan semua bilangna bulat positi! %bilangan asli& terbagi dalallm * himpunan bagian yang saling lepas, yaitu) a. 2impunan bilangan prima b. 2impunan bilangan komposit c. 2impunan bilangan satuan
3. Bilangan Prima Semu
Bilangan prima semu %pseudo prime& adalah blangan yang mendekatiE prima. Bilangan semu ini didapatkan dari teorema Little Fermat sebagai berikut ) Cika p adalah bilangan prima dan a adalah sembarang bilangan bulat, maka a@p 7 a%mod p& Secara khusus, jika a bukan !aktor p, maka a@%p5#& 7 #%mod p& eorema Litle Fermat ini memberikan pengujian yang baik untuk menentukan ketidakprimaan yaitu dengan memberikan bilangan bulan n $ #, maka dapat dipilih a $ # kemudian a@%p5#& 7 #%mod p& hitung jika hasilnya bukan #, maka n bukan bilangan prima. Sebaliknya, jika hasilnya 7 #, maka n mungkinE bilangan prima sehingga n disebut bilangan prima semu basis a. (ontohnya, untuk a 7 " dan n 7 *:#, maka "@%*:#5#&%mod *:#& 7 %"@#/&@*: %mod *:#& 7 %"@#/ mod *:#&@*: 7 #@*: mod *:# 7 # . kan tetapi *:# bukan bilangan prima karena *:# 7 ##G*#, sehingga *:# adalah bilangan prima semu basis ". Dari sebuah bilangan yang kuran dari "+ 8 #/@ terdapat lebih dari #/@ buah bilangan prima, akan tetapu hanya ada "#.=+* buah bilangan prima semu basis ". 2al ini berarti bahwa presentase bilangan prima semu jauh lebih sedikit dari bilangan prima. 4. Manfaat Bilangan Prima
Dewasa ini bilangan prima menjadi amat penting pada proses pengkodean dengan komputer. Salah satu tekniknya yang dikenal dengan enkripsi. 6nkripsi adalah suatu proses trans!ormasi data menggunakan perhitungan tertentu sehingga tidak dapat dibaca oleh orang lain kecuali bagi mereka yang telah mengetahui cara perhitungan tersebut. plikasi dari bilangan prima ini digunakan untuk kode5kode rahasa pada kartu - suatu bank, brankas, dll.
5. Masalah menarik dalam bilangan prima
da beberapa masalah menarik yang berkaitan dengan bilangan prima. Diantaranya yang dikemukakan (hristian Hodlbach %#=/ ; #4:&, dia mengatakan bahwa bilangan bulat genap yang lebiih besar dari " merupakan jumlah dari dua bilangan prima. 2al ini yang dikenal dengan nama conjecture Holdbach. Sebagai contoh : 7 " ' ", 7 * ' *, = 7 * ' +, #/ 7 * ' 4, #" 7 + '4, dan #: 7 * ' ##. Ialaupun konjektur Holdbach bisa dianggap benar, tetap saja tidak ada bukti yang bisa menyatakan kebenaran dari konjektur tersebut. Jarena itu banyak matematikawan yang berusaha untuk membuktikan bahwa konjektur tersebut salah, dengan cara mencari bilangan yang tidak memenuhi konjektur tersebut. kan tetapi banyak pula matematikawan yang berusaha untuk membuktikan bahwa konjektur tersebut benar. Seiring perkembangan teknologi komputer, jumlah bilangan Holdbach pun meningkat secara pesat. ercatat pada tahun #=, batas bilangan Holdbach sudah mencapai #/ #=. entunya ini merupakan sebuah angka yang luar biasa besar. Ialaupun begitu, tetap saja masih belum ditemukan sebuah bilangan pun yang tidak mengikuti konjektur Holdbach. Permasalahan lain yang ada dalam bilangan prima adalah sebagai berikut ) “Seorang wanita mengemukakan bahwa jika ia mengambil telur dari keranjang itu 2, 3, 4, 5, atau 6 selalu ada 1 yang tersisa. Tetai jika ia mengambil ! telur maka tidak ada yang tersisa. "ika keranjang itu daat memuat samai dengan 5## butir telur, beraa butir telur yang ia unya$% ?ntuk menyelesaikan permasalahan tersebut kita harus memahami bahwa Cika wanita itu mengambil telur dari dalam keranjang ", *, :, +, atau maka # tersisa. -aksudnya adalah bahwa jika banyaknya telur dibagi oleh ", *, :, +, atau , sisanya #. Jita juga mengetahui bahwa jika ia mengambil 4 maka tidak ada sisa. 2al ini berarti banyaknya telur adalah kelipatan 4. khirnya kita mengetahui bahwa keranjang itu dapat memuat sampai +// butir telur. Jita harus menemukan banyaknya telur di dalam keranjang. Suatu cara untuk menyelesaikan masalah ini adalah menda!tar semua kelipatan 4 antara 4 dan +// kemudian memeriksa mana dari bilangan5bilangan itu yang mempunyai sisa # jika dibagi oleh ", *, :, +, atau . (ara lain adalah kita menggunakan pendekatan sisaE. -isalkan banyaknya telur adalah n. Cika n dibagi oleh " sisanya adalah #. 2al ini berakibat %n ; #& akan dapat dibagi oleh ". Begitu pula *, :, +, dan juga dapat dibagi oleh %n ; #&. Jarena " dan * membagi n ; #, bilangan " dan * muncul di dalam !aktorisasi prima dari %n ; #&. Jita tahu bahwa :A%n5#& mengakibatkan "A%n5#&. Sehingga dari in!ormasi :A%n5#& dan "A%n5 #&, kita dapat simpulkan bahwa "@" muncul di dalam !aktorisasi prima %n ; #&. Jarena +A%n5 #&, + muncul di dalam !aktorisasi prima %n ; #&. A%n5#& tidak menyediakan in!ormasi baru karena " dan * adalah !aktor prima dari %n ; #& telah kita dapatkan. Sekarang, %n ; #& dapat juga mempunyai !aktor ; !aktor prima lain. Lambangkan hasil kali !aktor ; !aktor prima lain ini dengan k, kita mempunyai n ; # 7 "K".*.+.k 7 /k, di mana k adalah suatu bilangan asli, dan demikan n 7 /k ' #. Sekarang kita menemukan semua kemungkinan nilai untuk n di dalam bentuk /k ' # lebih kecil dari +// dan menentukan bilangan yang mana yang dapat dibagi oleh 4.
Jarena n 7 /k ' # dan k adalah bilangan asli sebarang, kita substitusikan k 7 #, ", *, ke dalam n 7 /k ' #. Dari substitusi itu itu kita perolweh nilai5nilai n yang lebih kecil dari +//, yaitu #, #"#, #=#, ":#, */#, *#, :"#, :=#. Diantara nilai5nilai ini, hanya */# yang dapat dibagi oleh 4. Dengan demikian */# adalah jawaban atas masalah di atas. 6. Faktrisasi Prima
Faktorisasi prima adalah suatu teknik pembentuk bilangan menjadi bentuk perkalian dimana !aktor5!aktornya merupakan bilangan prima. ?ntuk menentukan suatu !aktorisasi prima dari suatu bilangan yang diberikan, pertama5tama kita harus menuliskan kembali bilangan itu sebagai bilangan ; bilangan yang lebih kecil. Jemudian, !aktorkan kedua bilangan tersebut sampai seluruh !aktor5!aktornya adalah bilangan prima. Perhatikan contoh berikut ) *+/ 7 *+ . #/ 7 4 . + . +. " 7 4 . . " Prosedur menumukan !aktorisasi prima dari suatu bilangan dapat juga menggunakan pohon !aktor dan tabel. Dari pencarian suatu !aktorisasi prima dapat kita beberapa si!at khusus dari bilangan prima antara lain
1& Setia bilangan komosit daat ditulis sebagai suatu erkalian bilangan rima dalam satu danhanya satu 'ara. Si!at # di atas dikenal pula sebagai teorema dasar aritmatika. eorema ini merupakan dasar %pendekatan algoritmik& untuk menemukan !aktorisasi prima dari suatu bilangan. Sebagai contoh, Perhatikan bilangan "/. Jita mulai dari bilangan prima terkecil, ", dan kita periksa apakah " adalah pembagi itu, jika tidak maka kita coba dengan bilangan prima yang lebih besar berikutnya dan periksa keterbagiannya oleh bilangan prima ini. Sekali kita dapat menemukan bilangan prima yang dapat membagi suatu bilangan bulat yang diberikan, kita harus menemukan hasil bagi bilangan bulat yang diberikan oleh suatu bilangan prima itu. Selanjutnya kita periksa apakah bilangat prima itu dapat membagi bilangan yang merupakan hasil bagi itu. Cika demikian, kita ulang proses itu9 jika tidak kita coba dengan bilangan prima yang lebih besar berikutnya, *, dan periksa apa * membagi hasil bagi itu. Jita tahu bahwa "/ dibagi oleh " hasilnya #*/. Jita lanjutkan prosedur ini, #*/ dibagi oleh " hasilnya +. Dengan bilangan prima berikutnya yang lebih besar dari " yang dapat membagi +, yaitu +, diperoleh + dibagi oleh + hasilnya #*.. Bilangan5bilangan prima di dalam !aktorisasi prima suatu bilangan disajikan dalam da!tar dengan urutan naik dari kiri ke kanan dan jika suatu bilangan prima muncul dalam suatu hasil kali lebih dari satu kali maka digunakan notasi pangkat. Dengan demikian, !aktorisasi prima dari "/ ditulis sebagai "@" . + . #*. Perhatikan bilangan =. Bilangan = mempunyai pembagi #, ", :, dan =. Faktorisasi prima dari = adalah "*. Pembagi5pembagi ini dapat ditulis dalam bentuk bilangan pangkat dari ") "/, "#, "", dan "*. Jita dapat menggeneralisasi untuk sebarang bilangan prima p mempunyai pembagi5pembagi dalam bentuk bilangan berpangkat sebagai berikut) Pembagi5pembagi p@n adalah p@/, p@#, p@", , p@n Sebagaimana kita lihat, ada n ' # pembagi dari p@n
?ntuk bilangan seperti ": yang mempunyai !aktorisasi prima "@*.*@# , kita tahu bahwa "@* dan *@# adalah pembagi5pembagi ":. Jita juga tahu bahwa : . " atau = adalah pembagi ":. Proses penentuan banyaknya pembagi diatas dapat digeneralisasikann dalam si!at selanjutnya yakni ) 2& "ika (aktorisasi rima suatu bilangan n adalah n ) 1*+1 . 2*+2 . 3*+3 m*+m, maka banyaknya embagi n adalah -+1 1& -+2 2& -+3 1& -+m 1& (ontoh # ) •
entukan semua pembagi dari #"
•
entukan semua pembagi dari *":
Cawab ) •
Faktorisasi prima dari #" adalah "@:. * . #. da + . " . " atau "/ pembagi. Pembagi ; pembagi "@: adalah #, ", :, =, dan #. Pembagi5pembagi * adalah # dan *. Pembagi5pembagi # adalah # dan #. Dengan demikian, pembagi5pembagi #" adalah #, ", :, =, #, *, , #", ":, :=, #, *=, 4, #+", */:, +4, ##:, ""=, :+, dan #".
•
Faktorisasi prima dari *": adalah "@" . *@:9 dan ada #+ pembagi. Pembagi5pembagi "@" adalah #, ", dan :. Pembagi5pembagi *@: adalah #, *, , "4, dan =#. Dengan demikian, pembagi5pembagi *": adalah #, ", :, *, , #", , #=, *, "4, +:, #/=, =#, #", dan *":.
Dalam menentukan !aktorisasi dari suatu bilangan seperti =#"4, amati bahwa membagi =#"4, atau =#"4 7 k, di mana k adalah suatu bilangan bulat. Jarena =#"4 7 k, k adalah suatu !aktor dari =#"4 dak k 7 =#"4 M . -asalah ini secara umum dituangkan dalam si!at berikut ini *& /isalkan d # dan n #. "ika d adalah (aktor dari n maka n0d adalah (aktor dari n . -isalkan p adalah !aktor prima terkecil dari bilangan n. Dengan menggunakan si!at *, nMp adalah suatu !aktor dari n, dan karena p adalah !aktor terkecil dari n, kita peroleh p 7 nMp. Cika p 7 nMp maka p@" 7 n. Hagasan ini selanjutnya dirangkum menjadi si!at berikut ini. : & "ika n adalah suatu bilangan komosit maka n memunyai suatu (aktor rima sedemikian sehingga *2 ) n. Si!at : ini dapat digunakan untuk membantu menentukan apakah suatu bilangan yang diberikan itu termasuk bilangan prima atau bilangan komposit. Sebagai contoh, perhatikan bilangan #/. Cika #/ adalah bilangan komposit maka #/ harus mempunyai suatu !aktor prima p sedemikian sehingga p@" 7 #/. Bilangan5bilangan prima yang dikuadratkan tidak melewati #/ adalah ", *, +, dan 4. Jita tahu bahwa ", *, +, dan 4 masing5masing bukan merupakan !aktor dari #/. Dengan demikian #/ adalah bilangan prima. rgumen ini membawa kia pada si!at berikut.
5& "ika n adalah suatu bilangan bulat lebih besar dari 1 dan tidak daat dibagi oleh sebarang bilangan rima maka n adalah bilangan rima. (ontoh ) Periksalah apakah *4 adalah bilangan prima atau komposit Cawab ) Bilangan5bilangan prima p yang mengakibatkan p@" 7 *4 adalah ", *, +, 4, ##, #*, #4, dan #. Jarena adalah ", *, +, 4, ##, #*, #4, dan # masing5masing bukan merupakan !aktor dari *4 %silahkan periksa N&, disimpulkan bahwa *4 adalah bilangan prima. !. "elipapatan Persekutuan #erke$il %"P"&
JPJ merupakan kelipatan paling kecil dari gabungan beberapa bilangan. da beberapa cara mencari JPJ antara lain ) #&
-enggunakan 2imounan Jelipatan Persekutuan
(ontoh ) •
entukan JPJ dari bilangan = dan #"
Jelipatan = 7 O=, #, ":, *", :/, :=, Jelipatan #" 7 O"#, ":, *, :=, /, 4", . Jelipatan persekutuan dari = dan #" 7 O ":, :=, Cadi JPJ dari = dan #" adalah ": •
entukan JPJ dari #+ dan "/
Jelipatan #+ 7 O#+, */, :+, /, 4+, /, #/+, #"/, Jelipatan "/ 7 O"/, :/, /, =/, #//,#"/, Jelipatan persekutuan dari #+ dan "/ 7 O/, #"/, . Cadi JPJ dari #+ dan "/ adalah / •
entukan Jelipatan #+ 7 O#+, */, :+, /, 4+, /, #/+, #"/,
Jelipatan "/ 7 O"/, :/, /, =/, #//,#"/, Jelipatan persekutuan dari #+ dan "/ 7 O/, #"/, . Cadi JPJ dari #+ dan "/ adalah /
"&
-enggunakan Pohon Faktor
?ntuk mencari JPJ dengan menggunakan pohon !aktor dibutuhkan langkah5langkah berikut ) •
Buatlah pohon !aktor dari kedua bilangan yang dicari JPJ5nya.
•
ulis !aktorisasi primanya.
•
Jalikan semua !aktorisasi prima
•
Cika satu bilangan terdapat di lebih dari satu pohon, ambillah bilangan dengan pangkat yang tertinggi.
*&
-enggunakan abel
?ntuk mencari JPJ dari beberapa bilangan dengan menggunakan tabel pertama yang harus dilakukan adalah membuat tabel untuk mencari !aktoriasi prima dari bilangan yang akan cari JPJ5nya, kemudian kalikan semua !aktor primanya. '. Faktr Persekutuan #erbesar %FPB&
FPB merupakan !aktor paling besar dari gabungan beberapa bilangan. Dalam mencari FPB dari beberapa bilangan ada beberapa cara antara lain #&
-enggunakan 2impunan Faktor Pesekutuan
(ontoh ) •
entukan FPB dari bilangan #= dan ":
Faktor #=
7 O#, ", *, , , #=
Faktor ":
7 O#, ", *, :, , =, #", ":
Faktor persekutuan dari #= dan ": 7 O #, ", *, Cadi FPB dari #= dan ": adalah •
entukan FPB dari bilangan 4+ dan #"/
Faktor 4+ 7 O#, *, +, #+, "+, 4+ Faktor #"/ 7 O#, ", *, :, +, , =, #/, #", #+, "/, ":, */, :/, /, #"/ Faktor persekutuan dari 4+ dan #"/ 7 O#, *, :, #+ Cadi FPB dari 4+ dan #"/ adalah #+
•
entukan FPB dari bilangan *, := dan 4"
Faktor *
7 O#, ", *, :, , , #", #=, *
Faktor :=
7 O#, ", *, :, , =, #", #,":, :=
Faktor 4"
7 O#, ", *, :, , =, , #", #=, ":, *, 4"
Faktor persekutuan dari * dan := 7 O#, ", *, :, , #" Cadi FPB dari *, :=, dan 4" adalah #" "&
-enggunakan Pohon Faktor
0kutilah langkah5langkah berikut untuk mencari FPB dari beberapa bilangan )
*&
•
Buatlah pohon !aktor dari kedua bilangan yang dicari FPB5nya.
•
ulis !aktorisasi primanya.
•
Pilihlah bilangan pokok yang sama pada kedua !aktorisasi prima.
•
Cika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, ambillah bilangan prima dengan pangkat yang terendah. -enggunakan abel
?ntuk mecari FPB dari beberapa bilangan dengan menggunakan tabel, langkah pertama yang harus dilakukan adalah membuat tabel untuk mencari !aktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB5nya. Jemudian berilah tanda !aktor prima yang sama.
Sumber (
nglin, I.S. %#:&. -athematics) (oncise 2istory and Philosophy, Springer5Qerlag, 3ew Rork. (hris, (. J.%"//*&. he Largest Jnown Prime by Rear Brie! 2istory.http())***.utm.edu)resear$h)primes)largest.html . kses, "+ november "/#". (anjorin, F. %#":&. 2istory o! 6lementary -athematics with 2ints on -ethods o! eaching. London) he -acmillan (ompany. 6vans, P.C. %#4/&. -athematics (reation and Study o! Form (ali!ornia)ddison Iesley. 6ves, 2.%#:&.n 0ntroduction to the 2istory o! -athematics. 3ew Rork) 2olt,
3aga, S.D.%#=/&. Berhitung Sejarah dan Perkembangannya. Cakarta) P Hramedia 1(onnor, C.C. and
1. Bilangan Berlimpah ( Abundant Numbers) Jika sebuah bilangan dengan jumlah pembagi sejatinya lebih dari bilangan itu sendiri disebut bilangan berlimpah. Misalnya, pembagi sejati 24 adalah dan 1+2+3+4++!+12"3 adalah bilangan berlimpah karena 3#24. 2. Bilangan Berkekurangan (Defcient Numbers) Jika jumlah pembagi sejati sebuah bilangan kurang dari bilangan itu sendiri, maka bilangan itu disebut berkekurangan. Misalnya, 1 adalah bilangan berkekurangan karena jumlah pembagi sejatinya adalah 1+2+4+!"1$1. 3. Bilangan %empurna (Perect Numbers) %ebuah bilangan disebut sempurna apabila jumlah pembaginya sama dengan bilangan itu sendiri. Misalnya, adalah bilangan sempurna karena pembagi adalah 1,2 dan 3 serta 1+2+3". 4. Bilangan Mungil (cute numbers) Jika sebuah bilangan kuadrat dapat dibagi ke dalam n kuadrat pada paling banyak dua ukuran berbeda, maka n disebut bilangan mungil. Misalnya 4 dan 1& adalah bilangan mungil. '. Bilangan %etengah %empurna (semiperect numbers) %ebuah bilangan setengah sempurna apabila sama dengan jumlah sebagian pembagi sejatinya. Misalnya, misalnya 1! adalah bilangan setengah sempurna karena pembagi sejati 1! adalah dan 3++"1!. %ebuah bilangan setengah sempurna yang merupakan jumlah dari semua pembagi sejatinya disebut bilangan sempurna. . Bilangan Berbahagia (happy numbers)
%ebuah bilangan yang jumlah kuadrat angkaangkanya pada akhirnya berjumlah satu disebut bilangan berbahagia. Misalnya 2&3 adalah bilangan berbahagia, karena + + "13, + "1&, + "1. *. Bilangan arsis (narcissistic numbers) %erang narsis jika tertarik kepada dirinya sendiri, sebuah bilangan narsis nampaknya sedikit terpusat pada dirinya juga. %ebuah bilangan narsis adalah sebuah bilangan yang sama dengan sebuah pernyataan yang menggunakan angka yang sama. Misalnya 3" 3- . adangkadang sebuah bilangan narsis dide/enisikan sebagai bilangan yang sama dengan jumlah angkaangkanya yang berpangkat tertentu. 0ebih khusus, sebuah bilangan dengan n angka sama dengan jumlah angkaangkanya yang berpangkat tertentu. 0ebih khusus, sebuah bilangan dengan n angka sama dengan jumlah angkaangkanya berpangkat n. Misalnya, 3*1 adalah bilangan narsis karena 3*1" dan 4*4 juga bilangan narsis karena !. Bilangan alindrm ( palindromic numbers) %ebuah plindrm adalah kata yang sama baik dibaa dari kiri maupun kanan, misalnya nn atau kayak. Bilangan plindrm, seperti !! dan 14&41 mempunyai angka yang sama baik dibaa dari kiri maupun dari kanan. . Bilangan bersahabat (amicable numbers) ua bilangan disebut bersahabat apabila jumlah pembagi sejati bilangan pertama sama dengan bilangan kedua dan juga sebaliknya jumlah pembagi sejati bilangan kedua sama dengan bilangan pertama. Misalnya, 22& dan 224 adalah dua bilangan bersahabat. embagi sejati 22& adalah yang jumlahnya . %elanjutnya, kita memeriksa pembagi sejati 224, yaitu dan jumlahnya . engan demikian, kedua bilangan itu bersahabat. 1&. Bilangan %sial (sociable numbers) Bilangan ssial seperti bilangan bersahabat, tetapi bilangan ssial dalam kelmpk yang lebih besar. embagi sejati dari bilangan pertama dalam sebuah kelmpk jumlahnya sama dengan bilangan kedua, pembagi sejati bilangan kedua jumlahnya sama dengan bilangan ketiga, dan seterusnya. embagi sejati bilangan terakhir dalam kelmpk jumlahnya sama dengan
bilangan pertama. Bilangan ssial enderung besar, sehingga sulit didapatkan tanpa menggunakan kmputer. %atu nth kelmpk bilangan ssial adalah 124, 142!!, 1'4*2, 14'3 dan 1424. 11. Bilangan Berpla (fgurate numbers) Bilangan dari titik dalam sebuah susunan titiktitik yang berjarak sama disebut bilangan berpla. Misalnya 5itiktitik dapat disusun dalam dimensi satu, dua, tiga atau lebih. 6da banyak jenis bilangan berpla, misalnya bilangan plygn (polygonal numbers) dan bilangan tetrahedral (tetrahedral numbers). 12. Bilangan lign ( polygonal numbers) %ebuah bilangan plign adalah bilangan titik yang berjarak sama diperlukan untuk menggambar sebuah bilangan berpla. Barisan bilangan plign berdasarkan pada plign tersarang. 7nthnya 5erdapat banyak jenis berbeda dari bilangan plign, mulai dengan bilangan kuadrat dan bilangan segitiga. 13. Bilangan uadrat (square numbers) Bilangan kuadrat adalah hasil perkalian sebuah bilangan dengan dirinya sendiri. 8ni adalah sama dengan kuadrat sempurna ( perect squares) "1, "4, " dan seterusnya. uadrat dari ' adalah 2' dan bekerja dari belakang, kita mengatakan bah9a akar kuadrat dari 2' adalah '. Beberapa gambar bilangan kuadrat diberikan sebagai berikut. 14. Bilangan ubik (cube numbers) Bilangan kubik adalah hasil dari perkalian sebuah bilangan dengan dirinya sendiri dua kali "1, "!, "2* dan seterusnya. ubik dari 4 adalah 4 dn bekerja dari belakang, kita mengatakan bah9a akar pangkat tiga dari 4 adalah 4. Jika kita menggunakan balk bentuk kubik (kubus) untuk membangun sebuah kubik lebih besar, banyaknya balk yang diperlukan adalah sebuah bilangan kubik. Misalnya, kita akan membangun kubik 1& m dengan menggunakan kubik 1 m kita membutuhkan 1&&& kubik. 1'. Bilangan 5etrahedral (tetrahedral numbers) Bilangan tetrahedral adalah satu jenis bilangan berpla yang diperleh dengan menghitung banyaknya titik berjarak sama yang diperlukan untuk membangun sebuah tetrahedrn. 5etrahedrn adalah piramid dengan dasar segitiga.
1. Bilangan %egitiga (triangular numbers) %ebuah bilangan segitiga adalah banyaknya titik yang diperlukan untuk menggambar sebuah segitiga. 8ni adalah satu jenis bilangan berpla. Beberapa gambar bilangan segitiga yang pertama diberikan sebagai berikut :umus bilangan segitiga ken adalah 5(n)"n(n+1);2. 1*. Bilangan 6neh (weird numbers) %ebuah bilangan aneh (tidak 9ajar) apabila berlimpah tetapi tidak setengah sempurna, misalnya *& adalah bilangan aneh. embagi sejati *& adalah dan , tetapi *& tidak sama dengan jumlah beberapa pembagi sejatinya.
