Fase 4: Actividad Actividad grupal 3 - Post Tarea Tarea 1. Dado Dado el conj conjun unto to S = {u {u 1 u!" donde u 1 = #$ 1% & u! = #-3 -!%. De'uestre (ue S genera a )!. SOLUCION.
Por definici definición ón
los vectore vectores s
i^ =( 5,1 ) y j=(−3, −2 ) generan a ^
)!
ya que el
conjunto S se define como CONJUNO !"N"#$%O# %" & u= { u1 , u2 } u=u 1 ( 5,1 ) + u2 (−3, −2 ) 'a que cualquier vector se (uede escri)ir !. Dado Dado el conj conjun unto to * = {v {v 1 v ! v 3" de+inido en ) 4. Donde * 1 = #-1 ! -3 $% * ! = #, 1 ! 1% * 3 = #! , 1 -!%. Deter'inar si los vectores de * son lineal'ente independientes.
SOLUCION Planteamos la ecuación vectorial 2 + ¿ c 3 v 3=0
c 1 v 1+ c2 v ¿
%eterminamos que el sistema tenga solamente una solución trivial c 1 ( −1,2,−3,5 )+ c 2 ( 0,1,2,1 ) + c 3 ( 2,0,1,−2 ) =0
O)tenemos el sistema de ecuaciones
−c1 + 0 c 2 + 2 c 3=0 2 c1 + c2 + 0 c 3= 0
−3 c 1 + 2 c 2+ c 3=0 5 c 1+ c2 +(− 2) c 3= 0
#esolvemos #esolvemos el sistema* sistema* escri)iendo escri)iendo las ecuaciones ecuaciones a su forma matricial a(licamos a(licamos el m+todo de !auss,Jord-n convirtiendo en una matri triangular
( |) −1 2 −3 5
0 1 2 1
2 0 1 −2
0 0 f 2 = f 1∗(−2 )−f 2 0 0
0 −3 5
( |) ( |) −1
f 4= f 1∗( −5 ) − f 4
0 0 0
−1
f 4= f 2∗1 −f 4
( |) −1
0 0 0
0 1 0 0
0 1 2 1
2 4 −5 8
0 1 2 1
2 4 1 −2
0 0 f =f 1∗3 − f 3 0 0
( |) −1 0 0 5
0 1 2 1
2 4 −5 −2
0 0 0 0
|) ( ) ( |)
(
0 −1 0 0 f 3= f 2 ∗2− f 3 0 0 0 0
2 0 −4 4 0 f 4 = f 3 ∗ −13 0 13 4 0
−1
−4
0 0 0
0 1 0 1
2 4 −13 8
0 1 0 0
0 0 0 0
2 4 −13 0
0 0 0 0
"ncontramos que el sistema es inconsistente entonces la /nica solución es trivial c 1=c 2= c3 =0
!.1.
Los elementos del conjunto & son linealmente inde(endientes
Sea el conjunto * = {u 1 u ! u 3 " de+inido en )3. Dnde u 1 = #4!1% u!
= #!-$% & u 3 = #1-!3%. Deter'inar si los vectores de * son lineal'ente independientes
de
lo
contrario
identi+icar
la
co'/inacin
correspondiente.
Planteamos la ecuación vectorial 2 +¿ c 3 v 3=0
c 1 v 1+ c2 v ¿
%eterminamos que el sistema tenga solamente una solución trivial c 1 ( 4,2,1 )+ c 2 ( 2,6, −5 ) + c 3 ( 1,−2,3 ) =0
O)tenemos el sistema de ecuaciones
lineal
4 c1 + 2 c 2 + c 3=0
2 c1 + 6 c2 +(−2 ) c 3=0
c 1+ ( −5 ) c 2 +(3 ) c 3=0
#esolvemos el sistema*
escri)iendo las ecuaciones a su forma matricial a(licamos el
m+todo de !auss,Jord-n convirtiendo en una matri triangular
(
4 2 1
|)
3 6 −5
(
4 f 1= f −f 3 0 4 0 1∗1
(
1 0 4 1∗1 − f 2 0 −2 0 f 2 =f 2 3 0 1
3 9/2 −23 / 4
3 9 /2 −5
|)
1 0 −23 −5 / 2 0 f 3 = f 2∗ 18 11/ 4 0
Los elementos del conjunto *
| )
1 0 −5 / 2 0 3 0
( )
(
4 − f 3 0 0
3 9 /2 0
|)
1 0 −5 / 2 0 −4 / 9 0
son linealmente inde(endientes ya que la matri nos
muestra que el sistema es inconsistente
3. Dado el conjunto S = {u 1 u !" donde u1 = #1 0 3% & u! = #- 2 $%. Deter'inar si S es o no una /ase de P 3.
Solución S es Una )ase del es(acio vectorial & si se cum(le I.
S genera &
II.
S es linealmente inde(endiente
alcula'os S genera *:
x =( x 1 , y 1 )
Sea el vector
c 1 v 1+ c 2 v 2 = x
de P3 luego
rem(laamos
c 1 ( 1 – x 3 ) + c 2 (− x + 5 ) =( x 1 , y 1 ) → ( 1 c 1 , x 3 c1 ) + (− x c 2 , 5 c 2) =( x 1 , y 1 )
O)tenemos
1 c1 − x c 2= x 1 y x 3 c1 + 5 c 2= y 1
Calculamos determinante A =
(
1 −1
)
−1 Det ( A )=5 −( 1 )= 4 5
%eterminante de la matri de coeficientes es diferente de cero* el sistema tiene solución /nica. "ntonces se (uede concluir que S genera P3. S es lineal'ente independiente:
Planteamos el sistema 1 c1 − x c 2=0 y x 3 c 1 + 5 c 2=0
A =
(−
1 1
|)
−1 0 f 2 = f 1∗(−1 )−f 2 5 0
(
1 0
|)
−1 0 4 0
La matri nos muestra que el sistema es inconsistente* con la solución es la trivial c 1=c 2=0
S es linealmente inde(endiente
Se demuestra las dos condiciones* entonces se (uede concluye que el conjunto S es )ase de P3
4. Dada la 'atri
Solución.
[
−2
5
3 1
−2 1
]
−1 −4 5allar el rango de dic6a 'atri. −5
(
−2
5 −2 1
A = 3
( (
−2 3 1
−2 0 0
1 5 −2 1
−1 −4 −5
)
0+todo de !auss Jord-n
)
(
−1 −2 3 − − f 2 0 −4 f 2 =f 1∗ 2 −5 1
( )
)
−1 −11 / 2 f 3 =f 2∗ −11 / 2
5 11 / 2 7/ 2
( )− 7
11
)
−1 −1 3 −f −11 / 2 f 3 = f 1∗ 2 −5
5 11/ 2 1
(
−2
f 3 0 0
5 11 / 2 0
( )
)
−1 −11/ 2 −2
La matri escalonada tiene 1 filas diferentes de cero el rango2$341 $. Dados los vectores u = -i 2 7j
&
v = -i 2 7j es correcto a+ir'ar (ue el
vector 8 = -11i - 7j es una co'/inacin lineal de u & v9 usti+i(ue su respuesta. Solución5 •
w =− λ ´u− μ ´v
(−11 ,−9 )= λ ( 6,9 ) + μ (−1,9 ) Planteamos el sistema de ecuaciones5 −11=6 λ − μ
−9=9 λ + 9 μ #esolvemos m+todo de sustitución %es(ejamos λ
(
6 9
| )
() (
−1 −11 f 2 = f 1∗ 9 −9
3 2
− f 2
6 0
6allamos μ
−15 2
μ =
15 2
= μ =1 −11=6 λ −1 (−1)
6allamos λ
−11=6 λ + 11 −11−1= 6 λ + 1−1
−12 =6 λ →
−12 6
= λ →−2
| )
−1 −11 15 / 2 15 / 2
&erificamos w =−11 i−9 j
•
(−11 ,−9 )=−2 ( 6,9 ) −1 (−1,9 )=−11, −9
$.1.
7 si es com)inación lineal de u y v
Sea el conjunto ; = {
espacio vectorial con+or'ado por las 'atrices cuadradas
