FASE 4 - DISCUSIÓN RESOLVER PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LAS APLICACIONES DE LAS INTEGRALES INTEGRALES
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD CURSO: CÁLCULO INTEGRAL PROGRAMA INGENIERÍA AMBIENTAL
INTRODUCCIÓN
El siguiente trabajo colaborativo de CALCULO INTEGRAL aplicaremos los conocimientos adquiridos de la unidad 3, para la aplicación de las integrales también aprenderemos a hacer análisis de gráficas y el estudio de aplicación de integrales en la ciencia. El cálculo integral es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
DESARROLLO DE EJERCICIOS
Primera parte (punto 1 al 4) Cada ejercicio se debe resolver paso por paso, sin omitir ninguno, cuando se utilice una propiedad, definición o ley por favor enunciarla, así se fortalece el procedimiento utilizado.
Ejercicio 1. Encuentre el área de la región comprendida entre la curva f ( x)
x3
x 2
6 x y el eje X. El área se expresa en unidades de superficie.
Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio. Grafica
= 6 = 6
Igualando a cero, factorizando y despejando despejando a X para hallar los limites de la integral
6 = 0 6 = 0 33 22 = 0 =0 3=0 =3 2=0 = 2 = 2, 0 3
= ∫ = ∫ ∫ = ∫− 6 ∫ 6 6 6 0 = 4 3 2 2 4 3 2 30 0 = 4 3 3 2 4 3 3 30 0 0 2 2 = 4 3 3 ∗0 4 3 3 2 34 33 3 ∗ 3 04 03 30 = [0 164 83 3∗3 ∗ 4]4] [814 237 3∗3 ∗ 99 0] = 4 83 12 814 9 27 Utilizando la formula
pero como tenemos área sobre y de bajo del eje x pero
debemos hacer dos integrales y sumarlas donde a=-2, b=0 y c=3
= 163 634 = 136 634 = 21253 ≈ 21,08 EJERCICIO 2: Calcular el área de la región limitada por las curvas área se expresa en unidades de superficie.
= 2 = 4 e
. El
Despejando x tenemos
= 2 ; = 4 2 = 4 = 42;8==20 4 = 1 4 2 2 − − − − = 2 4 6 − = 88 1616 664 2 8 86 = 18
Hallamos la intersección entre ambas
Buscamos el área por medio de integrales
Por lo tanto, el área entre las curvas es 18
Ejercicio 3. Determine la longitud de de la curva curva
y
ln cos( x ) en el intervalo 0, 3
Por definición tenemos que la longitud de arco de una curva viene dada por la expresión:
= 1 ′ Siendo en nuestro caso:
= 0 = 3 = = 1 () = = = 1 ( ) = 1
Derivando la función obtenemos (Aplicando regla de la cadena):
Remplazando tenemos:
Aplicado la identidad tenemos: tenemos:
= = = tan sec{ c{ 30
= tan3 secsec 3 ((tann0 secc0 )) = (√ (√ 3 2)2) 0 11 = (√ (√ 3 2) ≈ 1.3169169 Ejercicio 4. La curva
y
1
x
2
entre
x
1 2
y
x
1
2
se hace girar alrededor del
eje x. Hallar el área de superficie del sólido resultante.
Tener en cuenta que: El área lateral (excluyendo los extremos) del sólido resultante es: b
S 2 f ( x) 1 ( f ' ( x))2 dx a
b
S 2 f ( x) 1 ( f ' ( x)) 2 dx a
= 1 = 1 // ` = 12 1 −2 ` = √1 / = 2 −/ 1 1 √1 / = 2 −/ 1 1 1 / 1 = 2 −/ 1 1 / 1 = 2 −/ 1 1
/ 1 = 2 −/ 1 √1 / = 2 −/
1 = 2 212 = 2 12 12 = 2
Segunda parte (punto 5 al 8) Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución utilizando diferentes técnicas, momentos y centros de masa.
Ejercicio 5. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por f ( x)
2 x2 , y
g ( x )
1 alrededor alrededor de la recta recta
y
1.
Sugerencia: Utilice el método de los discos para hallar el volumen del sólido y elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.
Aplicamos el siguiente método.
=1 =1 = 1 = 11 = = 0
Puesto que el eje de rotación es
, y la región está acotada entre
entonces bajamos toda la gráfica hasta que
,,
, coincida con el
es decir restamos 1 a las dos ecuaciones.
Así la reducimos a calcular calcular el volumen que es generado generado al rotar el área sombreada de azul (Ver figura 2) al rededor del eje X Entonces utilizamos la fórmula correspondiente. Antes hallamos los cortes de la parábola.
= 11
Con el eje X.
1 = 0 ⇔ = 1 = 1
Calculamos el volumen de la siguiente manera
= −
= −1 = −1 2 2 =
= 1156
3 5
Ejercicio 6: La región acotada por la gráfica de = 2 − 2 y por el eje x gira alrededor del eje y. Calcule el volumen del solido resultante (ver figura)
Hallaremos el radio de la sección seleccionada
= ∗ ℎ = ∗ = = ; = 2 22 ;
= 2 :: 22 ; 4 4 ; ± = ± 4 4 4, ; ∗ = ∗ + = 4 ∗ ; ; : = 1 ; ≠ 1 + ∗ 4 4 4 ∗ 2 1 = 4 3 ; = 3 = 3 4, ;; 4 ∗∗ , = 4 ∗ + = 4∗4 ∗ , = ∗ , = + , ≔ 4 1 ,; 5 = 43 5 22 ; 22 4 4 ∗0 ∗ 0 0 →lim 3 5 , : 3 0 5 = 0, 4 4 ∗ 2 2 16 , : 2 = 3 5 15 , →lim 3 5 = .
3
Calculamos los límites:
Ejercicio 7. Una varilla de longitud 60 cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al cuadrado de su distancia a uno de los extremos, es decir
( x)
R x
2
para R una constante. Si la densidad en el extremo más pesado es de 7200 g/cm, halle su masa total y centro de masa (C e). ( x ) = unidades de masa por unidad de longitud. b
Considerar el centro de masa: C e
M y m
x ( x) dx
a b
( x) dx a
∗ ∫ = ∫ ∫ = ∫ 4 6060 = 3 606000 60 6 0 = 43 606000 4 04 6 0 = 630 03 = 3.72.240.000000 = 45 Ejercicio 8. Hallar el centroide de la región limitada por las gráficas de
y
x
y
y
, entre x = 0 y x = 4. Considerar las fórmulas del centroide de la región en el plano:
1 2
x
b
Ce( x )
M y A
x[ f ( x) g ( x)]dx
a b
1 ; Ce( y )
[ f ( x ) g ( x)]dx
b
Ce( x )
A
x[ f ( x) g ( x)]dx
a b
[ f ( x) g ( x)]dx
/ 12 ∫ = ∫ / 12 / 12 ∫ = ∫ / 12 2 1 4 = 523 164 040 2 1 4 4 5 6 = 23 4 14 4 a
A
[ f 2
2
a b
;
( x ) g 2 ( x )]dx
[ f ( x) g ( x)]dx a
a
M y
M x
b
2 1 32 3 2 64 6 4 6 5 = 23 8 14 1616 64 3 2 3 5 = 163 4 32 = 1543 = 85 1 Ce( y )
M x A
b
[ f 2
2
( x) g 2 ( x)]dx
a b
[ f ( x) g ( x)]dx
1 1 ] [ ∫ 2 2 = ∫ / 12 1 1 ∫ 2 4 = 43 1 1 1 4 = 2 2 4312 0 1 1 1 4 4 = 2 2 43 12 1 1 1 1 6 6 4 2 2 12 = 43 1 16 8 = 2 43 3 1 8 2 3 = 43 a
4 = 343 = 1 = , Tercera parte (punto 9 al 12) Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la física (trabajo y movimiento), en la hidráulica (bombeo ( bombeo de líquidos), en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales.
Ejercicio 9. Una pelota de tenis se lanza verticalmente hacia abajo desde una altura de 54 pies con una velocidad inicial de 8 pies/seg. ¿Cuál es la velocidad de impacto si la pelota golpea en la cabeza a una persona de 6 pies de estatura?
Considerar : hacia abajo).
Solución En este caso Luego,
= 32 / /,
s s (0)= 54 pies y
0 = 8 / /
= 32, 0 = 54 = 32 32 = 32 0 = 8 = 8 = 32 8
Velocidad inicial
(la pelota se lanza
que la pelota se lanza hacia abajo,
encontramos
0 = 8.
En consecuencia,
Encontramos
Cuando
=0
= 32 32 8 = 16 16 8 = 54 = 54 = 16 8 54 = 6 822 3 2 = 0 = = 56 /
sabemos que
donde la última ecuación implica
Al simplificar obtenemos
entonces
entonces la velocidad de la pelota
cuando golpea a la persona es
Ejercicio 10: Para estirar un resorte de 50 cm se requiere una fuerza de 130 Newton. Encuentre el trabajo realizado para estirar el resorte 20 cm más allá de su longitud natural (sin estirar). Utilizamos la ley de Hooke, la cual Establece que cuando un resorte se estira o se comprime, más allá de su longitud natural, la fuerza restauradora elástica ejercida por el resorte es directamente proporcional a la magnitud del alargamiento (o acortamiento).
Remplazamos
130 1=300.50k N k = 0.5 = 260 m
la
x =x0. =50kxmts; cuando F = 130N
formula
(F=kx)
y
despejamos
el
valor
k.
20 cm va a ser igual a tener 15, W = 260xdx = 130x | = 256 = 5.2 Joules El trabajo realizado al estirar el resorte 20cm mas halla de su longitud natural es de 5.2 Joules Esto es el valor que vamos a utilizar para hallar el trabajo realizado.
Ejercicio 11. Las funciones de la oferta y la demanda de cierto producto están dadas por
52 2x y
S x
D x
100
2
x . Determine
el excedente del consumidor y del
productor, suponiendo que se ha establecido el equilibrio del mercado.
= 52 2 = 100 = 52 2 = 100 100 2 52 = 0 2 48 = 0 8 6 = 0 8=0 = 8 6=0 =6
Igualando la demanda y oferta para encontrar el punto de equilibrio
Tomamos el valor positivo de x para Q=6 y hallamos el valor de P reemplazando en ecuación de oferta o demanda
6 = 5252 2626 6 = 5252 12 6 = 64 = 6 = 6464
Obteniendo un
Excedente del consumidor
= ∗ = 100 664
= 100 3 60 384 6 0 = 10010066 3 10100000 3 384 = 600 72 384384 = 144 = ∗ = 664 664 52 2 2 = 384 5252 60 = 384 52526 6 1520 0 = 384 312312 36 = 384 348 = 36 2 6√ (2 6√ )) = 2 4 4 = 2 4 5000 9 = 29 449 5000 5000 =
Ejercicio 12: Se estima que dentro de x meses la población de cierta ciudad cambiará a
una razón de
personas por mes. Si la población actual es de 5000 personas, ¿cuál
será la población dentro de 9 meses?
CONCLUSIONES
Con los compañeros compañeros de de grupo se llego a la conclusión de que la la integral es de gran importancia y que desempeña un papel esencial e importante ya que la ciencia y la tecnología moderna sencillamente serían imposibles sin ella. Las leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas e integrales y es por ello la importancia que tienen las integrales.
Las ciencias ciencias exactas exactas o ciencias duras duras son una expresión expresión derivada derivada de una forma de clasificar las ciencias, es decir todas las acciones que llevamos a cabo, estas ciencias explican los conocimientos utilizados en lenguaje matemático. En este tipo de ciencias la precisión es una de las cosas más importantes, ya que un error de cálculo puede ocasionar problemas. Por ejemplo las construcciones de edificios que se observan en las grandes ciudades. El cálculo consiste en calcular en general superficies curvilíneas o sea, el área entre la gráfica de una función y el eje “x”.
Todo esto nos va a llevar a la aplicación del cálculo integral para realizar las obras más grandiosas y más exactas que se puedan, esto está relacionado con las demás ramas como la sociología, economía, literatura, informática, que se les conoce como ciencias exactas, y es muy importante que las ciencias exactas y el cálculo integral se relacionen entre sí para sacarle más provecho a todas las cosas por hacer y mejorar las que ya existen.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Ortiz, C. F. J., & Ortiz, C. F. J. (2014). Cálculo integral . México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Recuperado Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/read .co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&docID= er.action?ppg=1&docID=1104 1104 6762&tm=1460996791877 Robayo, F. (2016, abril, 10). Aplicaciones de la integral en en las ciencias. [Video]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596 http://hdl.handle.net/10596/7134 /7134
