GUÍA DIDÁCTICA
UNIDAD
3
Ecuaciones Ecuacion es y sistemas sistema s 4
O S E
CONTENIDO
1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Su Suge gerrenc encias ias di didác dáctic ticas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3 Actividades de ref refuerzo uerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
*Esta programación y la concreción curricular de tu Comunidad Autónoma podrás encontrarlas en el CD Programación y en www.smconectados.com.
Ecuaciones y sistemas
Unidad 3
Programación de aula Unidad
3 Ecuaciones
y sistemas
En esta unidad se repasan y refuerzan todos los conceptos y técnicas sobre ecuaciones y sistemas adquiridos en los anteriores cursos de la Educación Secundaria. También se amplían estos procedimientos con otros nuevos como son la resolución de ecuaciones exponenciales, bicuadradas, logarítmicas, racionales y radicales, y los métodos de resolución de sistemas de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas. En el primer curso de la ESO se empieza a tratar la resolución de ecuaciones de primer grado. En este curso, los alumnos deben madurar y consolidar las técnicas de resolución iniciadas en cursos anteriores, adquirir nuevos conceptos relacionados con el tema y plantear y resolver con rigor problemas mediante ecuaciones y sistemas. El dominio de las operaciones básicas con polinomios y el desarrollo y reconocimiento de las igualdades notables, adquiridos en la unidad anterior, son imprescindibles para el correcto desarrollo de las técnicas de resolución de ecuaciones y sistemas, pues la transformación de expresiones algebraicas complejas en otras más sencillas es uno de los métodos más utilizados a lo largo de toda la unidad. A su vez, la factorización de polinomios, técnica estudiada en la anterior unidad, es una herramienta muy potente para resolver ecuaciones polinómicas. Por otra parte, consolidar estos conceptos y procedimientos es básico para el correcto desarrollo de la unidad posterior, referente a la resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones.
OBJETIVOS 1.
Resolver ecuaciones de distintos tipos: primer grado, segundo grado, bicuadradas, polinómicas, de grado mayor que dos, racionales, radicales, logarítmicas y exponenciales.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1.1
Resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
1.2
Hallar las soluciones de ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos, racionales, radicales, bicuadradas, logarítmicas y exponenciales.
COMPETENCIAS BÁSICAS
• Lingüística 2.
3.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Expresar en lenguaje algebraico distintos problemas en los cuales intervienen ecuaciones y sistemas, y resolverlos.
2.1
Aplicar distintos métodos, algebraicos y gráficos para resolver sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, y clasificarlos según sus soluciones.
2.2
Resolver sistemas de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas en los que aparecen expresiones de tipo cuadrático, logarítmico, exponencial…
3.1
Traducir enunciados de situaciones problemáticas que puedan resolverse con ecuaciones o sistemas, y buscar su solución.
• Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Tratamiento de la información y competencia digital
CONTENIDOS • Ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado • Ecuaciones completas e incompletas • Ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos • Ecuaciones racionales • Ecuaciones radicales • Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
2
• Calcular el número de soluciones de una ecuación de segundo grado según el signo del discriminante • Resolución algebraica y gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas • Resolver problemas de la vida cotidiana a partir del planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas
• Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
• Valoración positiva de la precisión, simplicidad y utilidad de las ecuaciones y sistemas para representar, comunicar o resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana
• Sistemas de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas
• Utilización adecuada del vocabulario y terminología algebraicos
Unidad 3
Ecuaciones y sistemas
Programación de aula
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1.
Conocimientos previos
Como se mencionó en la introducción, los temas de álgebra de polinomios tratados en los dos primeros cursos de la ESO y en las unidades anteriores de este curso, el dominio de los contenidos allí mostrados, junto con el estudio de las ecuaciones de primer grado y sistemas realizado en 3º de ESO, servirán de punto de partida para el desarrollo de este tema. 2.
Previsión de dificultades
Se prevén dificultades sobre todo en el estudio de las ecuaciones no lineales, tanto logarítmicas como exponenciales, y en la resolución de sistemas no lineales, los alumnos tendrán dificultades a la hora de elegir la estrategia adecuada para resolver dichos sistemas. Desde el punto de vista de la comprensión, las principales dificultades surgen a la hora de transcribir los enunciados de los problemas al lenguaje algebraico: hay alumnos que todavía tienen problemas para elegir las incógnitas, poner los datos del problema en función de ellas y plantear las correspondientes ecuaciones o sistemas. 3.
Vinculación con otras áreas
Las ecuaciones y sistemas de ecuaciones son herramientas básicas para la resolución de problemas de todo tipo. Lo anterior hace que se puedan escoger ejemplos de prácticamente todas las áreas curriculares, así como de situaciones relativas a la vida cotidiana y al entorno conocido del alumno. 4.
Esquema general de la unidad
La unidad comienza haciendo un breve resumen de las ecuaciones de primer y segundo grado, y de las técnicas empleadas para resolverlas. Este contenido es familiar al alumno y no le supondrá ninguna dificultad. Posteriormente se pasa a estudiar las ecuaciones polinómicas de grado superior a dos, en particular las bicuadradas, las racionales y las ecuaciones con radicales, y finalmente, las exponenciales y logarítmicas. En todas estas se exigirá a los alumnos que pongan en práctica conocimientos matemáticos, como son las propiedades de los logaritmos o las operaciones con polinomios, tratados en unidades anteriores. La última parte del tema trata de la resolución de sistemas de ecuaciones. Se empieza por los lineales, repasando los métodos de igualación, sustitución y reducción, ya conocidos, así como la resolución gráfica. Por último, se trabajan los no lineales, empezando por aquellos con ecuaciones de segundo grado y finalizando por los sistemas logarítmicos y exponenciales, que, aunque nuevos, si se han comprendido los conceptos anteriores, no deben suponer ninguna dificultad para los alumnos. 5.
ECUACIONES Y SISTEMAS Ecuaciones Polinómicas
De primer grado De segundo grado De grado superior
Racionales Con radicales Exponenciales Logarítmicas
Resolución de sistemas
Temporalización
Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en siete sesiones: 1.ª Introducción: desarrolla tus competencias 2.ª Ecuaciones polinómicas de primero y segundo grado. Ecuaciones de grado mayor que dos y bicuadradas 3.ª Ecuaciones racionales y con radicales. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 4.ª Resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de segundo grado 5.ª Resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas 6.ª Actividades de repaso y consolidación 7.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ej ercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.
Ecuaciones y sistemas
Unidad 3
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Programación de aula
CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias de comunicación escrita, comunicación en una lengua extranjera y reflexión sobre el lenguaje.
Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabaja fundamentalmente la subcompetencia de razonamiento y argumentación.
Competencia para la interacción con el mundo físico Se trabajan las subcompetencias de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico al reflexionar sobre el grado de desarrollo tecnológico, y la de medio natural y desarrollo sostenible al preguntarse por las consecuencias de que dicho desarrollo se produzca rápidamente y sin control.
Competencia social y ciudadana El texto de entrada a la unidad y la primera actividad de la sección final de competencias posibilitan trabajar la subcompetencia de desarrollo personal y social, a través de la reflexión sobre la relación entre la expansión de las lenguas y la realidad histórica de los diferentes grupos humanos que las utilizan.
Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja así la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información. También se trata el uso de las herramientas tecnológicas, a través de la utilización del programa GeoGebra.
Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Las actividades de desarrollo creativo trabajan la subcompetencia de construcción del conocimiento.
Competencia de autonomía e iniciativa personal La realización de los trabajos de búsqueda de información y elaboración de conclusiones permite trabajar la subcompetencia de innovación.
Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate en relación con las actividades señaladas.
4
Unidad 3
Ecuaciones y sistemas
Programación de aula
TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.
COMPETENCIA
DESCRIPTOR
DESEMPEÑO
3. nivel de concreción
4.º nivel de concreción
SUBCOMPETENCIA
1. nivel de concreción 2.º nivel de concreción er
Comunicación escrita (lectura, escritura, interacción y mediación) en diferentes contextos
er
Conocer y comprender diferentes tipos de textos con distintas intenciones comunicativas.
– Interpreta y analiza textos matemáticamente.
Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.
– Elabora resúmenes e informes a partir de textos históricos y científicos.
Desarrolla tus competencias. Pon a prueba tus competencias. Actividades de contexto.
Pon a prueba tus competencias: Calcula e imagina, 3 – Conoce las relaciones entre el indoeuropeo y las lenguas actuales, especialmente las españolas.
Lingüística Comunicación en una lengua extranjera
Reconocer lenguas diferentes a la propia y valorar las lenguas como muestra de riqueza cultural.
Desarrolla tus competencias, II Pon a prueba tus competencias: Razona y descubre, 2 y 5 – Entiende los fundamentos de la glotocronología y su importancia en el estudio de las lenguas.
Desarrolla tus competencias, I Pon a prueba tus competencias: Razona y descubre, 1, 2 y 3 – Reconoce las lenguas como un patrimonio cultural.
Desarrolla tus competencias, III
Matemática
Interacción con el mundo físico
Social y ciudadana
Reflexión sobre el lenguaje
Tomar el lenguaje como objeto de observación y análisis.
Razonamiento y argumentación
Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención d e información.
Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico
Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.
Medio natural y desarrollo sostenible
Comprender la influencia de las personas en el medioambiente a través de las diferentes actividades humanas y valorar los paisajes resultantes.
Desarrollo personal y social
Conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo.
– Reconoce la importancia del árabe en la conformación actual del castellano.
Pon a prueba tus competencias: Razona y descubre, 4 – Razona para transcribir al lenguaje algebraico enunciados matemáticos o de la realidad.
Actividades 23, 28, 33, 34 y 65 a 80 Autoevaluación, 10 – Usa la escala de Kardashov y la fórmula de Sagan para valorar el desarrollo tecnológico.
Pon a prueba tus competencias: Calcula e imagina – Reflexiona sobre las consecuencias que puede tener sobre la Tierra su sobrexplotación para poder mantener el avance tecnológico.
Pon a prueba tus competencias: Calcula e imagina, 4 – Sabe que la expansión de las lenguas va unida a la historia de los pueblos que las hablan.
Desarrolla tus competencias Pon a prueba tus competencias: Razona y descubre, 2, 3 y 5 – Visita la página librosvivos.net.
Tratamiento de la información y competencia digital
Obtención, transformación y comunicación de la información
Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.
Uso de las herramientas tecnológicas
Hacer uso habitual de los recursos tecnológicos disponibles para aplicarlos en diferentes entornos.
Actividades 6 y 36. Paso a paso. Organiza tus ideas. Autoevaluación – Obtiene información o hace tareas en internet.
En la red. Desarrolla tus competencias, II y III Pon a prueba tus competencias – Utiliza GeoGebra para resolver gráficamente sistemas de ecuaciones.
En la red (página 54). Actividades TIC
Ecuaciones y sistemas
Unidad 3
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Programación de aula
EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación intercultural: actividades II y III, 76; Razona y descubre, 1 a 5 • Educación para el desarrollo: Calcula e imagina, 1 a 4
ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad. De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma. Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno: • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.
MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores
• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO – Unidades 5 y 6. Ecuaciones de primero y segundo grado. Sistemas • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO: N.º 3: Ecuaciones y sistemas s o c i f á r g o i l b i B
Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso
• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 4.º B de ESO – Unidades 3 y 4. Ecuaciones de primero y segundo grado. Sistemas de ecuaciones
SM
• Cuadernos de matemáticas. 4.º de ESO: N. os 2 y 3 – N.º 2. Polinomios y ecuaciones: unidades II a IV. Ecuaciones de primero y segundo grado. Sistemas de ecuaciones – N.º 3. Ecuaciones no lineales e inecuaciones: unidades I a III. Fracciones algebraicas. Ecuaciones no lineales. Sistemas • Cuaderno de matemáticas para la vida. 4.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas II
t e n r e t n I
SM
www.smconectados.com www.librosvivos.net
• Ecuaciones y sistemas en el proyecto Descartes: www.e-sm.net/4besomatprd08 , Otros
www.e-sm.net/4besomatprd09 y www.e-sm.net/4besomatprd10
Y en el proyecto ed@d: www.e-sm.net/4besomatprd11 s e l s a o i r r t e O t a m
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Unidad 3
• WIRIS: este programa en red resulta especialmente útil para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Ecuaciones y sistemas
Sugerencias didácticas Desarrolla tus competencias El tema propuesto en esta sección tiene un claro carácter lingüístico. La relación entre las diferentes lenguas y su evolución histórica debe inducir reflexión y debate en el alumnado de un país como España, que tiene una rica variedad lingüística. Es interesante que realicen las actividades propuestas, tanto las de aplicación matemática como las de investigación. Deben tomar conciencia del origen común de muchas lenguas tanto para fomentar en ellos el respeto hacia los demás, incluso si “hablan diferente”, como para que perciban las diferentes lenguas como una riqueza cultural de la humanidad.
1. Ecuaciones polinómicas • Para empezar conviene recordar el concepto de ecuación equivalente y solución de una ecuación. • Es aconsejable acostumbrar a los alumnos a comprobar la solución de una ecuación. • Para explicar los métodos de resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas, se puede resolver primero la ecuación mediante la fórmula general y después con el método específico, para que los alumnos aprecien la simplicidad y rapidez de estos métodos. Sin embargo, a partir de este momento, las ecuaciones de segundo grado incompletas se resolverán, no por la fórmula general, sino por estos métodos. • Se debe insistir en que cuando resuelvan un problema, no basta con que den el valor de la x . También deben interpretar la solución. • La resolución de ecuaciones de primero y segundo grado en las que intervienen paréntesis, denominadores, igualdades notables… presenta, con frecuencia, dificultades a los alumnos. Es posible que sea necesario resolver las primeras ecuaciones de este tipo en la pizarra utilizando las indicaciones que van dando los alumnos, para que ellos vean el proceso a seguir. • Las ecuaciones de grado mayor que dos suelen presentar bastantes dificultades a los alumnos, en especial, aquellas en las que hay que hacer un cambio de variable. Para facilitar su comprensión se deben realizar bastantes ecuaciones de este tipo, tantas como sean necesarias. • Se debe insistir en que cuando se resuelve una ecuación en la que se ha hecho un cambio de variable, al finalizar su resolución hay que deshacer el cambio. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
1 a 3, 40 a 43 y 65
Medio
4, 44 a 47, 68, 70, 75 y 76
Alto
5, 84 y 85
2. Valor absoluto. Intervalos y semirrectas • Las ecuaciones racionales no deben suponer una gran dificultad; no obstante, es bueno insistir en el paso de términos de un lado a otro de la igualdad.
• Se han de proponer ejemplos de ecuaciones radicales en las que una de las soluciones, al sustituir en la ecuación, no la verifique. Así, los alumnos comprobarán que en este tipo de ecuaciones es obligatorio sustituir la solución. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
8
Medio
9, 10, 48 y 49
Alto
82 y 83
3. Ecuaciones logarítmicas • Conviene recordar a los alumnos qué es un logaritmo y sus principales propiedades, antes de comenzar a resolver ecuaciones logarítmicas. • Se debe insistir en que es necesario comprobar la solución, puesto que hay valores de la x que no satisfacen la ecuación. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
12
Medio
13, 14, 50 y 51
Alto
15, 16 y 81
4. Ecuaciones exponenciales • Antes de comenzar con el desarrollo del epígrafe, conviene repasar brevemente las propiedades de las potencias. Para ello es muy útil que los alumnos realicen un cuadro con las principales propiedades. • Hay que insistir a los alumnos en que no hay diferencias entre que un exponente sea un número o una variable a la hora de aplicar las propiedades. • Se recordará a los alumnos que cuando se acabe de resolver este tipo de ecuaciones, si se ha utilizado un cambio de variable, hay que deshacerlo. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
18 y 52
Medio
19, 20, 53 y 72
Alto
79
5. Resolución analítica de sistemas de ecuaciones lineales • Para introducir los sistemas es bueno plantear un ejemplo en el que intervengan dos incógnitas y razonar con los alumnos por qué para resolver este tipo de situaciones son necesarias dos ecuaciones. • Insistir en que dar un valor de x y un valor de y es una única solución. Por lo general, los alumnos consideran que dar estos dos valores es dar dos soluciones distintas. • Generalmente, los alumnos entienden con facilidad los métodos de resolución de sistemas. Sin embargo, tienen problemas al realizar las manipulaciones previas para que las ecuaciones sean de la forma ax + by = c. Ecuaciones y sistemas
Unidad 3
7
Sugerencias didácticas
• Es importante que los alumnos se den cuenta de la conveniencia de analizar el sistema para decidir cuál será el método más apropiado para resolverlo.
ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
21, 22, 54 y 55
Medio
23, 56, 57 y 74
ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
37y38
Medio
39, 63 y 64
Alto
79 y 86
Organiza tus ideas 6. Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales • Para explicar la resolución gráfica de sistemas es conveniente repasar brevemente cómo se representan funciones, en especial, las funciones lineales. Relacionar las ecuaciones que intervienen en los sistemas con las funciones lineales y, por consiguiente, las ecuaciones con las propiedades de estas funciones.
ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
26 y 27
Medio
58
Alto
28
7. Sistemas de ecuaciones de segundo grado • Los sistemas de ecuaciones de segundo grado se pueden resolver por sustitución. • Si ambas ecuaciones son de segundo grado, se puede plantear a los alumnos el hecho de que por sustitución o reducción se obtiene una ecuación sencilla de la que se consiguen soluciones aplicando cualquiera de las técnicas vistas anteriormente. • También se puede hacer notar a los alumnos que, en ciertos sistemas de ecuaciones de segundo grado, se puede recurrir a las identidades notables y de esta manera simplificar el sistema.
ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
30, 66 y 67
Medio
31 a 35, 59 a 61, 69, 71, 73 y 77
Alto
62, 78 y 80
8. Sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas • Es importante hacer ver a los alumnos que estos sistemas se resuelven con un cambio de variable. • Debido a lo anterior, habrá que recordarles que cuando se acabe de resolver este tipo de ecuaciones hay que deshacer el cambio. • La mayoría de las dudas procedimentales que tienen los alumnos al resolver estos sistemas son debidas a que no han comprendido bien las ecuaciones anteriores. En caso de que tengan muchos problemas en la resolución de este tipo de sistemas es conveniente que practiquen las técnicas tratadas en los epígrafes anteriores. 8
Unidad 3
Ecuaciones y sistemas
• Se propone un esquema con los contenidos básicos de la unidad, tratando con especial interés los métodos de resolución de ecuaciones y sistemas. Estos son los conceptos y técnicas que los alumnos deben conocer y mane jar al término de la unidad. La memorización de conceptos, como la fórmula que permite obtener las soluciones de una ecuación completa de segundo grado, facilitará enormemente el manejo de situaciones que se proponen en las actividades finales. Los alumnos no solo deben conocer las técnicas de resolución de ecuaciones y sistemas, sino que también deben memorizar las definiciones de los principales conceptos, como son ecuación, sistemas de ecuaciones o solución de una ecuación o sistema. El estudio de las definiciones aquí propuestas ayudará a ampliar el vocabulario y la terminología propios del álgebra. • Se puede indicar a los alumnos que hagan su propio resumen basándose en el que aquí aparece. Deberán completar su esquema con un ejemplo práctico en todos los apartados. • Como una actividad que sirva para que trabajen el esquema-resumen, los alumnos pueden asignar las actividades realizadas en la unidad a los distintos contenidos presentados en el resumen. Sería suficiente con que encontraran dos o tres ejemplos de actividades para cada apartado. De esta forma se les obliga a repasar el trabajo realizado y a reflexionar sobre los conceptos y procedimientos adquiridos. • Una segunda actividad de interés puede ser que los alumnos completen el resumen tanto con otros contenidos presentes en el tema, pero no incluidos en este esquema, como con contenidos de cursos anteriores relacionados, pero no tratados explícitamente en el tema.
Actividades • Los problemas ayudan a dar un contenido de cercanía y utilidad a los conceptos matemáticos desarrollados. Todos los problemas propuestos en la sección cumplen al cien por cien con este principio proporcionando contextos variados al profesor. • Si se dispone de tiempo, se puede profundizar algo más en los contextos de algunos problemas, propiciando análisis y reflexiones sobre contenidos no matemáticos.
Pon a prueba tus competencias RAZONA Y DESCUBRE. GLOTOCRONOLOGÍA
La actividad continúa el tema comenzado en la apertura de la unidad. Por tanto, su realización debe ayudar al alumnado a reforzar y aumentar su conocimiento sobre la evolución histórica de las lenguas en España, Europa y el mundo.
Sugerencias didácticas
Puntos que deberían destacarse son: • La influencia del árabe en las lenguas que se hablan en la Península. • La lengua es un instrumento de colonización y de globalización: desde los ejemplos del griego y el latín hasta los del castellano y el inglés. CALCULA E IMAGINA. LA CIVILIZACIÓN DEL FUTURO
recursos naturales. Este tema lleva siendo uno de los más importantes desde la Revolución Industrial y conviene abordarlo desde diferentes aspectos: • La explotación de los recursos naturales. • El efecto sobre el medioambiente y la vida del planeta. • El desarrollo económico y tecnológico, y la división que este crea en el mundo.
La actividad permite inducir en la clase una reflexión sobre la estrecha relación entre el desarrollo tecnológico y los
En la página 16 presentamos una matriz de evaluación que el profesor puede utilizar para evaluar el grado de consecución de las competencias básicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Además, en www.smconectados.com puede descargar una aplicación informática que le facilitará esta tarea.
Ecuaciones y sistemas
Unidad 3
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Actividades de refuerzo Unidad
3
Ecuaciones y sistemas
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Las dificultades con las que se encuentran los alumnos son principalmente dos: • Plantear problemas de ecuaciones y sistemas. – Los alumnos deben hacer un esquema con los datos del problema. – Inculcar la idea de extraer los datos y esquematizarlos. Una vez que hayan extraído la información relevante del problema, han de ser capaces de plantearlo sin la necesidad de tener que volver a leer el enunciado. – Insistir en que nombren las incógnitas del problema claramente. Es decir, qué es la x y, en su caso, la y. También tienen que razonar que si tenemos una incógnita, será suficiente con plantear una ecuación, y si hay dos incógnitas, es necesario plantear dos ecuaciones. – Una vez que hayan resuelto el problema, hay que insistir en que comprueben si el resultado cumple las condiciones requeridas y que extraigan una conclusión. – La resolución de un problema nunca debe terminar dando un valor de la x y, en su caso, de la y , sino que deben interpretar los resultados. • Resolver ecuaciones con radicales, logarítmicas y aquellas en las que haya que hacer un cambio de variable para resolverlas. – Antes de resolver ecuaciones radicales, logarítmicas y aquellas en las que haya que hacer un cambio de variable, es conveniente repasar las propiedades de los logaritmos, potencias y raíces. – Recordar a los alumnos que, en el caso de que se utilice un cambio de variable, se debe deshacer este cambio una vez se haya resuelto la ecuación. – Insistir en la necesidad de comprobar las posibles soluciones, pues estas no siempre satisfacen la ecuación.
ACTIVIDAD DE GRUPO Dominó de ecuaciones
Para esta actividad se necesita recortar varias cartulinas en fichas de tamaño semejante al de los naipes de una bara ja. La pizarra se dividirá en dos partes. Cada alumno escribirá en una mitad de la pizarra una ecuación, y en la otra mitad, su solución. La clase se dividirá en grupos de cuatro o cinco alumnos. Cada grupo deberá realizar las fichas del dominó. Para ello, en cada tarjeta escribirán una ecuación de la pizarra y, aleatoriamente, a su lado escribirán una solución. Recordar que no se pueden repetir ni los planteamientos ni las soluciones. Una vez terminadas las fichas, cada grupo intentará colocarlas una tras otra.
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.
Si llamamos x al precio de las hamburguesas e y al precio de los refrescos, se plantea el sistema: 3 x + 2 y = 12 2 x + 4 y = 12 Resolviendo se tiene que la hamburguesa cuesta 3 €, y el refresco, 1,50 €.
2.
Llamando x e y a las dimensiones del campo, se plantea el sistema: 2 x + 2 y = 140 x 2 + y 2 = 2500
Se resuelve y se obtiene que las dimensiones del campo son 30 y 40 m. 3.
Se plantea la ecuación:
4.
a) Al resolver la ecuación x +13 − x = 1 se obtienen
como posibles soluciones x = 3 y x = −4. Pero al sustituir estos valores en la ecuación inicial, solo x = 3 la satisface. Luego la única solución es x = 3. b) Haciendo un cambio de variable, x 2 = t, se tiene que t = 4 y t = −1. Luego las soluciones son x = ±2. c) Al resolver esta ecuación se obtiene como resultado x = 0 y x = 4. Al sustituir, 0 no satisface la ecuación
(pues 0 no pertenece al dominio de definición de ln x ). La única solución es x = 4. d) Transformando la ecuación en 2 x 2−1 + 2 x + 2 x 21 = 112. Haciendo el cambio de variable 2 x = t, se resuelve la ecuación de primer grado 0,5t + t + 2t = 112 y se obtiene la solución t = 32 = 25. Por tanto, x = 5.
42 + x = 3(10 + x ) Resolviendo se tiene que han de pasar 6 años para que la edad del padre sea el triple que la del hijo.
En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.
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Unidad 3
Ecuaciones y sistemas
Más recursos en tu carpeta
ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad
3
Ecuaciones y sistemas
1.
Calcula el precio de una hamburguesa y un refresco:
2.
Halla las dimensiones de un campo sabiendo que la diagonal mide 50 metros, y el perímetro, 140.
Resuelve este problema siguiendo estos pasos. • Haz un dibujo del campo y da un nombre a la longitud de los lados. (Por ejemplo, x e y). • Como tenemos dos incógnitas, para hallarlas necesitamos plantear dos ecuaciones. Averigua qué datos nos da el enunciado para plantear dos ecuaciones. • El perímetro del campo es de 140 m. Recuerda qué es el perímetro de una figura y plantea la primera ecuación. ¡Ya tienes la primera ecuación del sistema! • Dibuja la diagonal del campo. ¿Recuerdas algún resultado matemático que relacione la diagonal de un rectángulo y los lados? Piensa que se forma un triángulo rectángulo… ¡ya tienes la segunda ecuación! • Resuelve el sistema planteado. • Interpreta los resultados. Es decir, la resolución del problema debe terminar diciendo: “Las dimensiones del campo son _____ y _____ m”. 3.
Un padre tiene 42 años, y su hijo, 10. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple que la del hijo?
Existen problemas de ecuaciones en los que hacer una tabla con los datos facilita bastante su resolución, como, por ejemplo, este. Llamamos x a los años que van a pasar para que la edad del padre sea el triple que la del hijo. Para resolver este problema construimos una tabla:
Padre
Edad actual
Edad dentro de 3 años
42
42 + 3
Edad dentro de 5 años
Edad dentro de x años
Hijo
Completa la tabla y, usando la última columna, plantea la ecuación. Cuidado, no olvides los paréntesis. 4.
Mi abuela se ha ido de vacaciones y me ha encargado dar de comer a sus pajaritos. Me ha dejado 4 bolsitas con la comida de cada uno, pero yo no sé lo que come cada uno. Como a mi abuela le gustan mucho los acertijos, me ha dejado uno para que adivine qué bolsita corresponde a cada pájaro. 4
5
± 2
lnx 3 – lnx = ln (4x )
3
+ 13 –
x
2
1
x –
+2 +2 x
4
x
x
+1
x
=1 = 112
– 3x 2 – 4 = 0
También me ha dejado una nota que dice: “Sin resolver las ecuaciones, asigna a cada pájaro su bolsita y, después, resuélvelas para comprobar que no te has equivocado”. ¿Qué bolsita darías tú a cada pájaro?
Ecuaciones y sistemas
Unidad 3
e l b a i p o c o t o f a n i g á P
11
Actividades de ampliación Unidad
3
Ecuaciones y sistemas
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Las actividades de ampliación aquí propuestas van dirigidas, por una parte, a que los alumnos manejen con total soltura la resolución de cualquier tipo de ecuación tratada a lo largo de la unidad y, por otra, a resolver problemas y cuestiones con un grado de dificultad en los enunciados. En ocasiones será necesario guiar a los alumnos en la resolución de problemas con pistas, pero siempre deben ser ellos mismos los que, con estas pautas, los planteen y resuelvan. Se tiene que pretender que estos alumnos resuelvan los problemas y ejercicios con todo el rigor matemático posible. Por ejemplo, cuando resuelvan ecuaciones, sistemas o problemas, se les puede pedir que indiquen los pasos a seguir con una frase corta. La resolución de estas actividades no debe ser nunca una serie de cuentas, puestas unas tras otras, sino que deben presentar breves explicaciones de los pasos seguidos.
ACTIVIDAD DE GRUPO Planteamiento y ecuaciones
Preparamos una diapositiva con dos columnas, en la primera se propondrán enunciados de problemas relacionados con los contenidos vistos en clase, y en la segunda, las ecuaciones que hay que obtener para resolver las soluciones (esta segunda columna estará desordenada de manera que no se correspondan los enunciados con las ecuaciones), y la proyectamos mediante un cañón. Los alumnos observarán la diapositiva y deberán asociar cada enunciado con la ecuación que corresponda y resolverlas para obtener las soluciones lo más rápido posible. Se premiará a aquellas personas que consigan encontrar la mayor cantidad de ecuaciones correctas en el menor tiempo.
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.
2.
a) x = −2; x =
2 3
d) x = 5
b) x = 1; x = −3
e) x = ±2; x = ±
c) x = −3; x = −1
f) x = 1
4.
2 5.
Tiene dos soluciones distintas, pues ∆ > 0, ya que b > 0 y −4ac > 0, porque a > 0 y c < 0.
a
< 0, pues c < 0 y a > 0.
c) Puede ser a = 4, 5, 6 o 9 6.
−b
a
7.
Al final van 25 amigos.
8.
Los sumandos son 29 y 122.
9.
El lado desigual mide 8 cm, y los otros, 5 cm.
> 0, pues b < 0 y a > 0.
3. x ( x − 48)
= 2 x ⇒ x 2 − 50 x = 0 ⇒ x = 0 y x = 50. Solo es válida esta última, pues no puede tener cero años (ya que él mismo responde).
Se encontrarán a las 13.06 aproximadamente. A 167,15 km de Madrid y 162,85 km de Zaragoza.
Tiene mayor valor absoluto la solución positiva porque x 1 + x 2 =
a) Es compatible si a ≠ 3 b) Debe ser a = 7
Las soluciones tienen distinto signo porque c
10.
En el derecho lleva 3,10 €, y en el izquierdo, 1,90 €.
En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.
12
Unidad 3
Ecuaciones y sistemas
5 = 0
Operando se obtiene: x 2 − x − 1 = 0 2
x 1 x 2 =
1+ 5 1− x − La ecuación es: x − 2 2
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ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 1.
3
Ecuaciones y sistemas
Resuelve las siguientes ecuaciones. a) b) c) d)
(
3)
x x −
2 x +
4
6
−
( x + 2)2 5
(
x x−
+
2)
4
2( x +1)2
=
9 x
−
2
−9
4
2 x −1 +
=
(3 x −2)2
=
8
x −
2
6
+
( x + 3)2 2
−1
1 9 +
1 5
x −1 = 5
e) ( x 2 − 1)2 − 4( x 2 − 1) + 3 = 0 f) 72
x −
2.
2
−
7
x −
2
−
42 49
=
0
Demuestra que la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0, con a > 0, b < 0 y c < 0, tiene dos soluciones reales y de distinto signo. Indica cuál es la solución que tiene mayor valor absoluto.
Como ayuda, recuerda la relación existente entre las raíces de una ecuación de segundo grado y los coeficientes de la ecuación. 3.
Preguntada una persona por su edad, contestó:
“Si multiplico mi edad por la edad que tenía hace 48 años, obtengo el doble de mi edad actual”. ¿Cuál es la edad de la persona? 4.
Halla una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros y cuyas raíces sean:
5.
Dada la ecuación: 2ax − 6 = x (a + 3)
1+ 5 1− 5 y 2 2
a) Halla los valores de a para que la ecuación tenga solución. 3
b) ¿Cuánto ha de valer a para que la solución sea ? 2
c) Halla los valores de a para que la ecuación tenga por solución un número natural. 6.
A las 11.15 sale un coche de Zaragoza a Madrid a 90 kilómetros por hora. Media hora más tarde sale un coche de Madrid a Zaragoza a 120 kilómetros por hora. Sabiendo que de una ciudad a otra hay 330 kilómetros, calcula a qué hora y en qué punto se cruzarán los coches.
7.
Un grupo de amigos organiza una excursión a la playa. Alquilan un autobús y deben pagar 15 euros cada uno. A última hora, dos de ellos fallan, y entonces cada uno debe poner 1,20 euros más.
Calcula el número de amigos que finalmente van a la excursión. 8.
Descompón el número 151 en dos sumandos, de manera que dividiendo el mayor entre el menor se obtenga 4 de cociente y 6 de resto.
9.
La altura de un triángulo isósceles es de 3 centímetros. Halla las dimensiones del triángulo, sabiendo que el lado desigual es 3 centímetros mayor que los otros lados.
10.
Pablo lleva 5 euros en monedas repartidas en los dos bolsillos de su pantalón. Si pasa 60 céntimos del bolsillo derecho al izquierdo, llevará la misma cantidad en ambos. ¿Cuánto lleva en cada bolsillo?
Ecuaciones y sistemas
Unidad 3
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PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad
Ecuaciones y sistemas
3
APELLIDOS:
NOMBRE:
FECHA:
1.
CURSO:
Indica el grado de las siguientes ecuaciones y resuélvelas. 1
2 x + 3
2
10
a) (3 x +1)− b) 2.
x( x − 3)
2
+
+1=
x( x − 2)
4
=
3x 5
−
2(x −1)
c)
4
x(3 x −1)
x = 2
b)
x
+
x −1
3 2
−
x −1
2 2
x −2 x +1
x (x +1)
2
=
3 8
+
x + 4
2
=1
c) ln x 3 − ln x = ln (2 x + 15)
Realiza un cambio de variable para resolver las siguientes ecuaciones. b) 4 x
−
2
+
4 x
−
1
+
4 x = 42
Resuelve los siguientes sistemas y clasifícalos según el número de soluciones. a) Por el método de reducción. x +1
y −1
3
2
−
b) Por el método de sustitución.
=1
3( x − 1) + 3( y + 4) = 2(3 x + y ) − 9 x
7 x − 4( x + y ) = 4 5.
8
+
d) 1 − x ( x − 3) = 3( x − 1)
8
a) 2 x 4 − 40 x 2 + 128 = 0 4.
4( x +1)
Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 2 x + 8 +
3.
GRUPO:
2
−
y
3
=3
Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico y clasifícalo según el número de soluciones.
3 x − 2 y = 6 x + 4 y =
6.
Resuelve el siguiente sistema por el método de igualación y clasifícalo según el número de soluciones. −6 x + 2 y =
x −
7.
9
30
1 y = −5 3
Resuelve el siguiente sistema.
3 x − 2 y = 1 x 2 + y 2 =
8.
Resuelve los siguientes sistemas. a) log x + log y = 5 log x 2 + log y 3 = 13
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14
25
b) 2 x + 2 y = 12 3 ⋅ 2 x + 2 y = 28
9.
Las dos cifras de un número suman 10. Si restamos a este número el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, obtenemos 18. Calcula dicho número.
10.
Calcula la altura de una pirámide cuadrangular de arista 6 centímetros y de lado de la base 4 centímetros.
Unidad 3
Ecuaciones y sistemas
Propuesta de evaluación Unidad
3
Ecuaciones y sistemas
SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1.
a) Primer grado. 13 x + 12 = x − 5; x =
7 −
12
b) Segundo grado. 3 x − 15 x = 0; x = 0, x = 5 2
c) Segundo grado. 4 x 2 + 4 x − 15 = 0; x =
5
−
2
, x =
3 2
d) Segundo grado. − x 2 + 4 = 0; x = ± 2
2.
a) x = 4 b) x = 2 o −3 c) x = 5 o −3
3.
a) Haciendo el cambio x 2 = t se tiene la ecuación 2t2 − 40t + 128 = 0, luego t = 16 o 4, y, por tanto, x = ± 4 o ±2. 5
b) Haciendo el cambio 4 x = t se tiene que 4 −2t + 4−1t + t = 42. Luego t = 32 y, por tanto, x = . 2
4.
a) La solución del sistema es x = 8, y = 5. Es compatible determinado. b) La solución del sistema es x = 6, y = 0. Es compatible determinado.
5.
3 Las rectas se cortan en el punto 3, . 2
Y
Es compatible determinado. 1
O
6.
1
Al despejar las x e igualar se obtiene: y 3
−
5
1 =
1
X
y 5 , luego es compatible indeterminado. −
3
7.
−33 −56 Las soluciones ( x , y ) del sistema son: (4, 3) y , 13 13
8.
a) Haciendo el cambio t = log x y u = log y obtenemos que t = 2 y u = 3, luego x = 100, y = 1000. b) Haciendo el cambio t = 2 x y u = 2 y obtenemos que t = 8 y u = 4, luego x = 3, y = 2.
9.
Si el número es xy , las ecuaciones a resolver serán: x + y = 10; (10 x + y ) − (10 y + x ) = 18. Al resolver obtenemos x = 6, y = 4. El número es el 64.
10.
La altura es de 5,29 centímetros.
Ecuaciones y sistemas
Unidad 3
15
SOLUCIONARIO
4
O S E