_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___
TEMA 1
Magnitud (Símbolo) Longitud (L) Masa (M) Tiempo (T) Intensidad de Corriente Eléctrica (I) Temperatura Termodinámica ( q) Intensidad Luminosa (J) Cantidad de Sustancia (N)
MAGNITUDES Y UNIDADES 1. Magnitudes físicas Una magnitud física es toda cantidad susceptible de medición y que describe convenientemente una propiedad física. Ej.: masa, fuerza, velocidad, volumen, etc.
Unidad (Símbolo) metro(m) kilogramo (kg) segundo (s) Amperio (A) Kelvin (K) candela (cd) mol (mol)
3.2. Unidades suplementarias suplementarias Mag Magnitu itud (Sím (Símb bolo) lo) Angulo plano ( j) Angulo sólido ( W)
2. Clasificación de las las magnitudes magnitudes 2.1. Por su origen · Magnitudes fundamentales: Son aquellas que se toman como base para establecer un sistema de unidades. Ej.: longitud (L), masa (M), tiempo (T). · Magnitudes derivadas: Son aquellas que se expresan en función de las fundamentales. Ej.: velocidad, volumen, etc.
Unida idad (Sí (Símbo mbolo) lo) Radián (rad) Estereorradián Estereorradián (sr)
3.3. Unidades derivadas: Se expresan en función de las unidades de base o de las suplementarias. Ej.: Velocidad ( v )
v=
2.2. Por su naturaleza · Magnitudes escalares: Son aquellas que quedan perfectamente definidas conociendo su valor numérico y la unidad respectiva. Ej. longitud, masa, volumen, temperatura, tiempo, trabajo, carga eléctrica, etc. · Magnitudes vectoriales: Son aquellas que quedan perfectamente definidas cuando de ellas se conoce su valor o intensidad, su dirección y sentido. Ej.: El desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el impulso, etc.
e t
v=
;
m s
4. Prefijos Existen además una serie de prefijos para formar múltiplos o submúltiplos de las unidades fundamentales. 4.1. Prefijos para formar múltiplos múltiplos Prefijo yota zeta exa peta tera giga mega kilo hecto deca
3. Sistema Internacional Internacional de Unidades Unidades (S. I. U.) La XI Conferencia Internacional de Pesas y Medidas en 1960 (París-Francia) amplía y perfecciona el sistema métrico, basado en tres unidades fundamentales (metro, kilogramo, segundo) creando un sistema de unidades fundamentales (básicas), denominada Sistema Internacional de Unidades (S. I. U.) o simplemente S. I. El S. I. tiene la siguiente estructura: 3.1. Unidades de base o fundamentales fundamentales Son las que se toman como base para definir todas las demás:
1
Símbolo Y Z E P T G M k h da
Factor 10 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 4.2. Prefijos para formar submúltiplos Pr ef efijo deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto
Sím bo bolo d c m u n p f a z y
Factor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24
Observaciones 1. La ecuación dimensional de números (diferente de cero) de ángulos, funciones trigonométricas, logaritmos y de constantes adimensionales es igual a la unidad. 2. El exponente exponente de una magnitud física es siempre una cantidad adimensional. (esto no significa que una magnitud física no puede aparecer en el exponente) F n = Correcto, si n es adimensional F nt = Solo es correcto si nt es una cantidad adimensional F t = Incorrecto, donde t = tiempo 3. La suma o diferencia de las mismas magnitudes da como resultado resultado las mismas magnitudes. Ej.: L+L=L L-L=L
Equiv al alenci a 0,1 0,01 0,001 0,000001 0,000000001 0,000000000001 0,000000000000001 0,---0,---0,----
5. Ecuaciones dimensionales dimensionales 5.1.
5.4. Aplicaciones de las las Ecuaciones Dimensionales Dimensionales Sirven para: 1. Comprobación de fórmulas. 2. Determinar las unidades de las magnitudes. 3. Conversión de unidades.
Ecuación Ecuación dimen dimension sional al: Son aquellas que sirven para expresar la relación existente entre las magnitudes derivadas y las magnitudes fundamentales o dimensiones. Ej.: Ej.: Hall Halla ar la E. D. de velo veloci cida dad d si v t = tiempo.
=
e t
, siendo e = espacio y
6. Problemas Tipo
Solución [V] Se lee: La ecuación dimensional de velocidad; [e] = L, [t] = T; luego: [V] = L/T [V] = L T -1
6.1. Hallar la E.D. de K, si: C = Velocidad. e = Diámetro. P = Presión. d = Densidad.
5.2. Forma general general de la ecuación ecuación dimensional: dimensional: En el S.I. tiene la siguiente forma. [x] = La Mb Tc Id qe Jf Ng x = magnitud derivada. a, b, c, d, e, f, g = constantes numéricas. 5.3.
C =
Principio de homogeneidad homogeneidad dimensional dimensional: Toda ecuación física correcta es dimensionalmente homogénea, esto quiere decir, que cada sumando de una fórmula física debe tener la misma ecuación dimensional. Ej. Sea: x = Vot + 1/2 at 2 Homogeneidad dimensional quiere decir: [x] = [Vot] = [1/2at 2]
PK 3 d e
6.2. Hallar la E. D. de a, en la siguiente ecuación: a 2 d1
= Sen60 ° (d + d 2 ) 2 ω
Donde: d, d1, d2 = Aceleración angular. w = Velocidad angular.
2
A. L 1 / 3 B. L 1 / 2 C. L 1 / 3 M D. L M 3 E. L3
A. T 2 B. T –1 / 2 C. T 3 / 2 D. T –3 / 2 E. T -2
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 6.3. Hallar “x + y + z” si la Potencia (P) viene dada por la siguiente ecuación: P = K w x r y d z A. 10 w = velocidad angular B. 15 r = radio C. 8 d = densidad D. 9 K = adimensional E. 16 6.4. Efectuar las siguientes conversiones: a) 108 km/h a m/s b) 30 g / cm 3 a kg / m3 c) 10 m3 /min a Lt/s d) 5 x 10 -3 Em a µm
5. Halle la ecuación dimensional de “C” en en la expresión: expresión: P
a) L, T
b) L, T
-1
2
R = A B logN
c) L, T
d) L , T
-1
-1
e) L , T
Determinar las dimensiones de “Q” para que la expresión “W” sea correcta dimensionalmente: W = 0,5 m Vα + Agh + BP Siendo: W = trabajo, m = masa, V = velocidad, g = gravedad, h = altura, P = potencia.
4.
MT
2
e) q
+
Sen 30º
d) L
d) M3 3 T
e)
b) M2 L-5
=
50 N Seny
-
e) 1
c) M2 L5
PW yB
d) M2 T -5
10. La ecuación ecuación dimensional de la resistencia eléctrica es: a) L M T2 I b) L M T -2 I d) L2 M T -3 I -2 e) L M T -2 I -2
α
MT
c) L1/2 T, T
C Senθ Senθ B N
9. La ecuación dimensional dimensional de la tensión eléctrica es: a) L M T -3 I b) L2 M T -3 I -1 3 -2 -1 d) L M T I e) L M T3 I2
= Aα · B c)
+
c) L-2
log N
a) L-1 T -5
3.
b)
b) L2
-2
Determinar la ecuación dimensional de la carga eléctrica: a) L T b) M T c) q T d) T I
a) M 2 T
R
8. Encuentre [B] si P = potencia, W = peso específico. -1
2.
Q
a) L-1
+ H2 )
-2
b) L-3/2 T, L1/2 T3/2 e) L-3/2 T, L3/2 T
7. Encuentre [R] si A = longitud.
M Senθ Senθ m ( K
N
a) L-1/2 T2, L1/2 T3/2 d) L-3/2 T, L T
Encontrar las dimensiones de K y C en en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta si M = momento de una fuerza, m = masa y H = altura. =
ù - 1ú ú û
2 mV 2Cθ E
6. Determinar las dimensiones de P y N para que la siguiente siguiente expresión sea dimensionalmente correcta si R = radio. ( 3 m/s - A ) 1 / 2 ( 4 m/s2 + Q2 ) 3 + P Q =
PROBLEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES
C
-
Siendo: V = velocidad, m = masa, E = energía, q = temperatura, P 0 = potencia. a) q b) q 2 c) q -1 d) M q e) M q -1
6.5. Determinar la unidad de Potencia en el S. I. Si P = W/t (W = Trabajo; t = tiempo)
1.
é = P0 ê e ê ë
11. En la ecuación homogénea, halle P1 y P2 = presiones, F = fuerza. x ( P1 - P2 )
M 2 T2
Si en vez de la masa (M), el trabajo (W) fuera considerado como magnitud fundamental, la ecuación dimensional de la densidad será: a) L-5 W T b) L-3 W T -2 c) L-5 W T 2 d) L W T 2 e) L 2 W -1 T
2
a) L
3
6 Senα Senα
b) L M
c) L
=
e) M T c) L M T I
c) L M T -3 I -2
[x]
siendo e = base de logaritmos,
Z· e
xyz
· y·F d) M
e) L T
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 12. Halle las dimensiones de “k” si D = densidad, a = aceleración. k T æ ö Wa ÷· y·a 10 Senα Senα · k = log N y · D ç1 - 5 ç ÷ è ø 2 -2 -2 -2 a) L M T b) L M T c) L M T d) L M2 T
18. Halle las dimensiones de “N” si I = distancia, t = tiempo. tiempo. X · UNI = log X · Sen(UT) a) L T2 e) L-1 M T -1
x
b) L-1 M T
c) L M -2 T
d) L M -1 T -2
c)
L /T
e) L M -1 T2
3
a) Cualquiera
A2
b) 37°
c) 60°
Vector:
e) L5 M
V
c) T/L
d)
T
L
d) 180°
e) 120°
Es un elemento matemático que presenta fundamentalmente tres características (ver Fig. 2.1.) módulo (3 unidades), dirección (recta OP) y sentido (segmento dirigido de O a P). Su utilidad en física es representar magnitudes vectoriales.
17. En la siguiente ecuación dimensionalmente dimensionalmente correcta, halle [x] si V = velocidad. A + 10 Senθ Senθ n 2 A x + Bx + C = L /T
-1
VECTORES
16. La potencia (P) requerida por una hélice viene dada por: P = k · R x · W y · Dz Siendo: k = adimensional, R = radio de la hélice, W = velocidad angular, D = densidad. Halle x, y, z. a) 5, 2, 1 b) 6, 3, 2 c) 4, 2,3 d) 1, 2, 5 e) 5, 3, 1
b)
e) L T
TEMA 2
1/ 2
a) L T2
L
Cosθ - B 3 = tanθ tanθ · A BCosθ
15. Halle [b] si r = densidad, R = radio, h = altura, altura, t = tiempo. tiempo.
a) L-3 M
T
20. Hallar “q” para que la ecuación sea dimensionalmente correcta:
14. Halle [B] si a, a 1 y a2 = aceleraciones, V = velocidad, P 1 y P2 = presiones, W = trabajo, g = gravedad, gravedad, t = tiempo. 3 k B ö Vt 2 ( a1 - a 2 ) t 2g( P2 - P1 ) W æ ç1 - 5 C ÷ = ÷ 5x a Senθ Senθ Bt ç è ø 3 -1 -1 -1 a) L M T b) L M c) L M T d) L T e) L-1 T3
c t ö æ b ρ = at - ç + 2÷ h R è ø b) L-4 M2 c) L-5 M2 d) L-4 M3
d)
T/L
19. En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, halle halle [B] si A = velocidad, T = tiempo. A x2 + B x + C P = 2 AT + BT + C -1 a) L b) L c) T d) T-1 e) L T
13. Halle [x] si a1 y a2 = aceleraciones, V = velocidad, P 1 y P2 = presiones, t = tiempo. ( a1 - a 2 ) t = 5 log N · ( P1 - P2 ) V a) L M T -1
b)
e) L T
Fig. 2.1.
-1
Para denotar un vector se puede utilizar cualquier letra del alfabeto con una flecha
® en su parte superior, por Ej.
r , o mediante dos letras, siendo la primera el origen ®
del vector y la segunda el extremo por Ej. OP
4
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ Magnitud de un vector: También denominado módulo, es la longitud en valor absoluto del segmento de recta que representa al vector, en Física ésta puede tener diferentes unidades como m/s, para velocidad y para la fuerza N, etc.
r
R
α =180-θ, cos α = cos (180- θ) = -cos θ
r
La magnitud de un vector R es representada por R ó
= R = A2 + B 2 - 2 AB cosa
R siempre positivo.
r
R
Igualdad de vectores: Dos o más vectores son iguales si las tres características: módulo, dirección y sentido son las mismas.
= R = A2 + B 2 + 2 AB cos θ
Y la dirección mediante La Ley de Senos, dada por el ángulo g :
Suma de vectores: Es necesario que para sumar dos vectores ambos representen la misma entidad física. Existen métodos gráficos y analíticos para adición de vectores. Entre los métodos gráficos se tiene el método del paralelogramo y el método del polígono mostrados en la Fig. 2.2.
Siendo: Sen α = Sen (180 -θ) = Sen θ Sin embargo, en el caso de la suma de más de dos vectores es de preferencia usar el método de componentes rectangulares mostrados más adelante en la presente balota. ®
®
Sustracción de Vectores: Dados dos vectores A y B que representan la misma ®
®
®
cantidad física, la diferencia A - B se define como la suma de A con el negativo ®
®
®
®
del vector B (- B) . Así tenemos: A - B
Fig. 2.2.
®
®
®
= A + (- B) = D
La magnitud del vector diferencia “ D” puede ser calculado mediante:
Método del paralelogramo paralelogramo La resultante est á dada por la diagonal.
D = A2 + B 2 - 2 AB cosq
Método del triángulo La suma es el segmento que completa el triángulo.
Y su dirección por la ley de Senos, calculando g graficamente en la Fig.2.3.
A
Método del polígono para sumar varios vectores La suma es el segmento que completa el polígono.
=
D
seng senq
Nota: En Física, cuando los vectores representan desplazamientos consecutivos la desplazamiento. resultante es denominada vector desplazamiento. ®
®
Analíticamente el módulo de la suma de dos vectores A y B ser calculado mediante la Ley de Cosenos.
®
Fig. 2.3.
®
(׀ A+ B ׀ ) puede
Multiplicación de un vector por un escalar: Dado un escalar m, real y un vector ® ® ® ® A , se puede obtener otro vector P = m A, de la misma entidad física de A .
5
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ ®
P lleva la misma dirección y es una contracción de A
Si m > 1
P lleva la misma dirección y es una dilatación de
®
. ®
P lleva dirección opuesta y es una dilatación de A ®
®
.
®
®
R = Rx i + Ry j
®
P lleva dirección opuesta y es una contracción de A
Si –1 < m < 0
.
®
®
Si m < -1
Método de Componentes Rectangulares para la Suma Vectorial: Para sumar vectores mediante este método analítico, se descompone cada uno de los vectores en sus componentes rectangulares x e y, para luego realizar independientemente la suma de las componentes (Rx) y las componentes (Ry). El vector suma, su magnitud y dirección están dados por:
®
Si 0 < m < 1
.
R = Rx
2
;
+ Ry2
;
-
q = tg 1 ( Ry / Rx)
®
Componentes de un vector en dos dimensiones: dimensiones: Dado un vector A en el plano ver Fig. 2.4, es factible, su descomposición en dos componentes rectangulares una sobre el eje “x” y la otra sobre el eje “y” de la siguiente forma: ®
®
PROBLEMAS DE VECTORES
®
A = A X + AY ®
A y = A senq ; Cómo puede deducirse inmediatamente de la Fig. 2.4.
= A cos q
La magnitud de A está dada por: A La dirección de A está dada por:
=
q
=
A x
2
Dos vecto vectores res dan dan como como result resultante ante máxima máxima 7 y como como resultan resultante te mínima mínima 1. 1. ¿Qué resultante darán si se suman siendo perpendiculares? a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7
2.
Determin Determine e el el módulo módulo de la resultan resultante te de los vectore vectoress mostrad mostrados. os. a) 1 2 b) 3 c) 5 105º 1 15º d) 6 e) 7 1
3.
Dados los los vectore toress
®
Siendo los módulos de las componentes vectoriales A X y AY : A x
1.
+ A y 2
æ Ay ö ÷ è Ax ø
tg -1 ç
r
Fig. 2.4. ®
r
®
®
a) 50 b) 60 c) 70 d) 75 e) 85
vector unitario está dado por m A = A / A Los vectores unitarios en las direcciones “x” e “y” positivas del plano cartesiano son ®
r
7A - 4B .
Vector unitario: Es aquel cuya magnitud es la unidad, dado un vector A , su
®
denotados por i y j ver Fig.2.5. 4.
®
®
®
r
r
r
r
Halle el vector vector result resultant ante, e, módulo módulo de la resulta resultante nte y direcc dirección ión de de la resultan resultante te del sistema de vectores mostrados en la figura: a) - 8 i + 8 j ; 8 2 ; 135 ° b) 8 i - 8 j ; 8 2 ; 45° 10 37º 4 c) - 8 i - 8 j ; 8 2 ; 135 ° 60º d) 8 i + 8 j ; 8 2 ; 135 ° 4 e) - 8 i + 8 j ; 9 2 ; 135 ° r
r
r
r
r
r
r
2 3
6
r
2A - 3B
r
r
Fig. 2.5
r
tal que 3A + 2B = 30 y 2A - 3B = 25. Determinar
3A + 2B
r
A = A X i + AY j
r
60º
r
Así el vector A puede escribirse como:
r
AyB
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___
5.
6.
Los Los mód módul ulos os de dos dos ve vector ctores es son son 5 y estos forman 82º entre sí. a) 26 b) 5 c) 3 3 d) 2 7 e) 29
2
, halle el módulo de la resultante si
9.
r
r
75º
15º θ
10
La dirección del vector a) 225° d) 90°
12.
Dete Determin rmine e el el mód módulo ulo de la result resultan ante te:: a) 3 2 b) 19 c) 4 d) 2 5 e) 17
r
r
r
i r
r
r
r
r
r
r
r
r
III. i - j - k = a) I y II d) Todas
c) 45°
r
r
r
r
AyB
si PQRS es un cuadrado.
P
Q
2 1
r
A x r
r
r
r
r
S
r
B
R
2
13.
3 3
b) II y III e) Ninguna
2 1
e) x = (2 - 2 ) (A + B) r
r
+ j + k =
2 1
d) x = (2 - 2 ) (A - B) r
r
r
2 1
- 3) es: b) 135° e) 315°
en función de los vectores
c) x = (3 - 2 ) (A + B) r
Si i ; j ; k son los vectores unitarios correspondientes a los ejes rectangulares, se cumplirá que: I. i + j + k = 3 II.
1
r
r
A = (3;
b) x = (2 + 2 ) (A - B) r
3
1 r
Halle el vector
a) x = (2 + 2 ) (A + B)
120º
c) III
11.
r
1
8.
r
Los módulos de dos vectores son 5 y 4 unidades, el módulo de su resultante está comprendido entre: a) 4 y 5 b) 1 y 5 c) 4 y 9 d) 1 y 9 e) 0 y 5
e) 45° 7.
r
10.
c) 37° d) 53°
r
r
r
Dado Dadoss 3 vecto vectores res en el plan plano, o, hall halle e el el ángulo ángulo “ q” de manera que la suma de estos sea cero. a) 20° 8 b) 22°
r
Si se cumple que A = r B, la afirmación falsa es: I. Si r > 0, A y B tienen la misma dirección. II. Si r = -1, A y B son opuestos. III. A y B no pueden ser perpendiculares. a) I b) II d) I y II e) Ninguna
c) I y III
7
Un vector vector horizontal forma 143º con otro otro vector de 15 unidades. unidades. Determinar Determinar el módulo de dicho vector de tal manera que la resultante mínima. a) 15 b) 10 c) 8 d) 9 e) 12
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___
14.
Si la máxima resultante de 2 vectores es 10 2 y cuando hacen 120º su resultante es 5 2 . ¿Cuál será la magnitud de su resultante cuando los vectores formen 90º entre sí? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
15.
Dos vectores
r
r
AyB
forman entre sí un ángulo de 45º, si el módulo de
. ¿Cuál es el módulo de
6
30º con a) 2 6 b) 3 2 c) 3 d) 2 3 e) 6 2
r
R = A + B
r
B
es
si se sabe que forma un ángulo de
r
r
r
r
r
r
r
r
r
El ángulo entre dos vectores de 10 y 20 unidades de longitud cuando su resultante forma un ángulo de 30° con el vector mayor es: a) 30° b) 45° c) 60° d) 37° e) 53°
20.
En el plano (x;y) una una fuerza F = Fx i + Fy j tiene la componente
r
r
r
b)
8i
c)
8i
d)
r
r
4i
r
C
r
B
r
- 4j
37°
53°
A
r
r
componente Fy = x. En cual de los siguientes puntos (x;y) la fuerza menor ángulo con el eje x a) ( 3; 1) b) (1; 3 ) c) ( 3; 0) d) (1; 1) e) ( 2 ; 1)
r
D
r
+ 8j r
r
Fx
= y, la
r
r
+ 4j
r
e) - 8 i - 4 j 17.
y su
19.
cumpla: A + B = C + D - E a) - 8 i + 4 j
r
“Elizabeth” realiza tres desplazamientos consecutivos, de tal manera que el módulo de su desplazamiento total es cero. El primer desplazamiento es de 60 m hacia el Oeste, el segundo es de 80 m hacia el Norte. Encuentre la magnitud y la dirección del tercer desplazamiento a) 100 m hacia el Nor -Oeste b) 100 m hacia el Nor -Este c) 100 m hacia el Sur -Este d) 100 m hacia el Oeste e) 10 m hacia el Sur -Este
r
Sabiendo que A = 3, B = 5, C = 10, D = 6, halle el vector E para que se
r
A+B
18.
A?
r
16.
r
r
ángulo de 120° con el eje “x”. Hallar la magnitud del vector dirección respectiva. a) 3 2m; 90° b) 3 2 m; 0° c) 2 3m; 90° d) 2 3m; 45° e) 2 3m; 0°
r
El vector A tiene un módulo de 2 m y su dirección forma un ángulo de 60° con el eje “x”. El vector B tiene un módulo de 2 m y su dirección forma un r
8
r
F
hace el
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___
TEMA 3
Velocidad promedio ( v ) Es la razón del desplazamiento desplazamiento de una partícula ( ∆x) y el intervalo de tiempo ( ∆t).
MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN Sistema de referencia: Es un objeto que se le supone fijo en el origen ( O) de un sistema de coordenadas, desde el cual se realizan mediciones.
v
=
D x x f - xi = Dt t f - t i
Rapidez: Es la magnitud de la velocidad de una partícula. Siste Sistema ma de refer referen encia cia en una una dime dimens nsión ión
Siste Sistema ma de refer referen encia cia de dos dimensiones
Movimiento unidimensional con velocidad constante
Partícula: Es un objeto al que no se le considera dimensiones y es tomado como puntual.
Es un movimiento en línea recta y la velocidad es constante en magnitud y dirección.
Trayectoria: Es una línea recta o curva que describe una partícula en un sistema de referencia, su movimiento se le conoce completamente si se conoce su posición en todo momento en el espacio.
xo : posición de la partícula en t = 0 (inicial) x : posición de la partícula en el instante t (final) La velocidad promedio es: v = D x Dt En este movimiento el valor de la velocidad promedio en todo instante, es el mismo que el de la velocidad, por ser constante: v = v Entonces:
Desplazamiento: Es el cambio de posición de una partícula.
v=
Δ x = x f - xi
D x
es positivo si x f
x f = posición final
D x
es negativo si
Dt
=
x - xo t - 0
=
x - xo t
══ >
x - xo = vt
══ >
x = x o + u t
A este resultado se le denomina función posición -tiempo.
> xi xi > x f
xi = posición inicial
D x
El valor absoluto del desplazamiento es la distancia recorrida por la partícula en el intervalo de tiempo t. | D x |= d ══ > d = u t
9
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ Gráfica de la función posición – tiempo Esta gráfica en un sistema de coordenadas xt es una línea recta y su pendiente está dada por
D x Dt
Donde: xo : posición de la partícula en t = 0 (inicial) x : posición de la partícula en t (final)
y ésta representa la velocidad.
vo : velocidad de la partícula en t = 0 (inicial) v : velocidad de la partícula en t (final) En este movimiento, el valor de la aceleración promedio en cualquier instante es el mismo que el de la aceleración: _
Entonces:
Gráfica de la función velocidad – tiempo Como la velocidad es constante, su gráfica en el sistema de coordenadas vt es una recta paralela al eje de las abscisas. El área bajo la recta es la distancia recorrida por la partícula.
Luego: De aquí:
a=a Dv v - vo v - vo = = a= Dt t - o t v - vo = at
v = vo
+ at
(1)
Esta ecuación es la función velocidad – tiempo y permite determinar la velocidad en cualquier instante de tiempo t. Se puede expresar la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo, como la media aritmética de la velocidad inicial ( vo ) y la final ( v ) porque la velocidad varía linealmente en el tiempo.
_
Aceleración promedio ( a ) Es la razón del cambio de velocidad ( ∆v) y el intervalo de tiempo ( ∆t).
Dv v f - vi a= = Dt t f - t i
_
vo
=
v
v
2 _
Como:
x - xo
= v t
Entonces:
x - x o
=(
vo
Movimiento unidimensional unidimensional con aceleración constante
+v 2
)t
(2)
Si la ecuación (2) se reemplaza en la (1) se obtiene:
Es el movimiento en el el que la trayectoria es una línea recta y la aceleración es constante en magnitud y dirección.
v0
+
x - x o
=(
x - xo
v
10
vo
+ vo + at
)t
2
= vo t +
at 2 2
(3)
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___
Si t =
v - vo a
Gráfica de la función aceleración – tiempo Esta gráfica es una línea recta paralela al eje de las abscisas porque la aceleración es constante.
se reemplaza en la ecuación (2), se obtiene:
x - x o
x - x o
v
(
=
=
+
v2
vo v - vo )( ) a 2
- vo 2
(4)
2a
Gráfica de la función velocidad – tiempo La función v = vo + at es lineal
De la ecuación (3) obtenemos la función posición – tiempo en el movimiento unidimensional con aceleración constante.
x = x o
+ v o t +
at 2
Movimiento acelerado
2
Sabemos que І∆ x І = І x-x0 І = d (distancia recorrida por la partícula), luego:
d = (
vo
+v
2
)t
(5)
d = v ot +
at 2 2
(6)
d =
v2
-
vo
2a
2
Movimiento desacelerado (7)
Si a > 0 el movimiento es acelerado. Si a < 0 el movimiento es desacelerado.
En la gráfica, la pendiente representa la aceleración:
Gráfica de la función posición – tiempo Debido a que la función x = xo + vo t + parábola.
at 2 2
tg θ = a
Objetos que caen libremente Un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba y otro que se lanza verticalmente hacia abajo, experimenta la misma aceleración que un objeto que se deja caer desde el reposo. Todo objeto que esta en caída libre, se mueve afectado por su propio peso. Su aceleración es la de la gravedad con dirección vertical hacia abajo y de magnitud constante (g = 9,8 m/s 2) en las proximidades de la superficie terrestr e, por lo que sus ecuaciones cuando son lanzados hacia abajo son:
es cuadrática, su gráfica es una
v = vo + gt
11
h=(
vo
+v 2
)t
h = vot +
gt 2 2
h=
v2 - vo 2 g
2
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ Y cuando son lanzados hacia arriba son:
h=(
vo + v
2
2
)t
h = v ot -
gt 2
h=
v
2
-
4. Una manzana cae de un árbol y llega al suelo suelo en un segundo. ¿Cuál es su velocidad al llegar al suelo? ¿A qué altura se encontraba antes de caer? 2 (g = 10 m/s ) a) 10 m/s, 4 m b) 8 m/s, 6 m c) 4 m/s, 8 m d) 10 m/s, 5 m e) 2 m/s, 4 m
vo 2
- 2 g
5. Identificar la afirmación incorrecta: a) La velocidad mide los cambios de posición de un móvil a través del tiempo. b) En el movimiento rectilíneo, el desplazamiento desplazamiento y la velocidad son siempre colineales. c) Si la velocidad es constante la trayectoria es necesariamente rectilínea. d) Una aceleración aceleración nula implica una velocidad uniformemente variada. e) En un movimiento desacelerado la aceleración actúa en contra de la velocidad.
Cuando un objeto se lanza verticalmente hacia arriba, el tiempo en alcanzar la máxima altura y la altura máxima son :
0 = vo
- gt ®
t =
vo g
2
; hmax =
v
- vo
2
®
- 2 g
h max
=
vo
2
2 g
PROBLEMAS
PROBLEMAS DE MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION
1. Una partícula que se mueve en el eje x con aceleración constante tiene una rapidez V1, en el instante t = 0 y en el instante t su rapidez es V 2. Determinar la 3 t . rapidez de la partícula en el instante 2 V +V V -V a) 1 2 b) 1 2 c) V1 + V2 2 2
d)
3V2 - V1 2
e)
1.
Indique que la verdad verdad (V) (V) o falseda falsedad d (F) de las las sigui siguient entes es propo proposici sicione ones: s: I. La velocidad media es un vector paralelo al vector desplazamiento II. La rapidez media es igual al al módulo de la velocidad velocidad instantánea III. La velocidad i nstantánea es un vector paralelo a la aceleración instantánea a) VVV b) VFF c) VFV d) FFV e) FFF
2.
El movim movimien iento to horiz horizonta ontall está está desc descrito rito por por la sigui siguient ente e ley: ley: x = t2 + 1 Halle el módulo de la velocidad media para el intervalo t = 0 s y t = 1 s en m/s. a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
3.
Con rapide rapidezz constan constante te “V” un ciclis ciclista ta recorre recorre una una pista pista cuadrad cuadrada, a, encuen encuentre tre el módulo de la velocidad media cada vez que el ciclista recorre dos lados consecutivos. a) V 2 b) V 2 / 2 c) V 2 / 3 d) V 3 e) V 3 / 3
3(V1 + V2 ) 2
2. Un auto que se desplaza hacia el Norte a 70 km/h pasa junto a otro auto que viaja hacia al Sur a 70 km/h. ¿Los dos autos viajan con la misma rapidez? ¿Viajan con la misma velocidad? 3. En 5 segundos la velocidad velocidad de un auto que se mueve en línea recta aumenta de 72 km/h a 144 km/h, en el mismo tiempo un camión que parte del reposo alcanza la velocidad de 72 km/h en línea recta. ¿Cuál de los dos tiene mayor aceleración? ¿Cuál es la aceleración de cada uno de ellos? a) Ambos tienen la misma aceleración; 6 m/s 2 b) Ambos tienen la misma aceleración porque tienen el mismo cambio de rapidez; 4 m/s 2 c) El auto tiene mayor aceleració aceleración; n; 2 m/s 2 y 4 m/s2 d) El camión tiene mayor aceleración; 2 m/s 2 y 4 m/s 2 e) El auto tiene menor aceleración; 4 m/s 2 y 5 m/s 2
12
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 4.
La ley ley de de un un movim movimien iento to rectil rectilíne íneo o es: es: x=mt2 + b t + c 2 Su aceleración es 6 m/s , su velocidad mínima es 2 m/s y partió de x = 3 m. La ley será: a) 3t 2 + t + 3 b) 2t 2 + 2t + 3 c) 3t 2 + 2t + 3 d) t2 + 2t + 2 e) t 2 + 3t + 2
5.
Una partí partícula cula cuya veloci velocidad dad es es de 10 m/s desvía desvía su su velocid velocidad ad en en 60º 60º conservando su rapidez, si la maniobra dura 5 s, encuentre el módulo de la aceleración media producida. a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3 m/s2 d) 4 m/s2 e) 5 m/s2
6.
Seña Señale le la la verd verda ad (V) (V) o fal false seda dad d (F): (F): I. Si un móvil tiene rapidez constante tendrá velocidad constante. II. En el MRU la velocidad media es es paralela al desplazamiento. III. Velocidad constante implica rapidez constante. a) VVV b) FFF c) VFV d) FVV e) FVF
7.
Cuando Cuando un tren viaja a 60 km/h km/h llega llega a la estac estación ión sigu siguient iente e con una hora hora de de retraso mientras que para llegar con 20 minutos de adelanto debe marchar a razón de 90 km/h. ¿Cuál será su velocidad normal de transito en km/h? a) 65 b) 70 c) 75 d) 80 e) 85
8.
Un homb hombre re senta sentado do ve que una colu columna mna de de militare militaress se acerc acerca a con una velocidad de 1,8 km/h, al pasar junto a él, en un minuto cuenta 21 militares. ¿Qué distancia separa a los militares? a) 1,0 m b) 1,5 m c) 2,0 m d) 2,5 m e) 3,0 m
9.
Dos móviles móviles parten parten desde desde un un mismo mismo punto punto sigu siguien iendo do traye trayectori ctorias as perpendiculares entre sí con velocidades de 6 m/s y 8 m/s. ¿Después de que tiempo ambos móviles estarán distanciados 200 m? a) 2 s b) 5 s c) 10 s d) 15 s e) 20 s
10.
Dos móviles “A” y “B” parten simultáneamente con velocidades constantes de 10 y 20 m/s respectivamente desde un mismo punto en el mismo sentido. A 1800 m en el mismo instante otro móvil “C” sale al encuentro de A y B en sentido opuesto con una velocidad constante de 30 m/s. ¿Al cabo de qué tiempo el móvil “B” equidistará de los móviles “A” y “C”? a) 10 s b) 20 s c) 30 s d) 15 s e) 25 s
13
11.
Con aceleración constante un móvil duplica su velocidad velocidad en 10 s, ¿En cuánto tiempo volverá a duplicar su velocidad? a) 10 s b) 14 s c) 16 s d) 20 s e) 22 s
12.
La velocidad de un automovilista es “V”, a un segundo de haber haber frenado ha recorrido 35 m y luego de 3 segundos más el auto se detiene. Halle “V”. a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s d) 40 m/s e) 50 m/s
13.
Una partícula con MRUV recorre 15 m en 1 s. ¿Qué espacio espacio recorrerá la partícula en el segundo siguiente si la aceleración es de 4 m/s 2? a) 16 m b) 19 m c) 21 m d) 23 m e) 25 m
14.
Cuando un móvil con MRUV MRUV recorre 100 m, su velocidad se duplica. ¿Qué distancia adicional debe recorrer el móvil para que su velocidad vuelva a duplicarse? a) 100 m b) 200 m c) 400 m d) 300 m e) 800 m
15.
Un ómnibus ómnibus se encuentra detenido y hacia él corre un pasajero pasajero con velocidad constante de 8 m/s, en el instante en que se halla a 32 m, el ómnibus parte con aceleración constante moviéndose en la misma dirección y sentido que el pasajero. Halle la máxima aceleración que podrá tener el ómnibus con la condición de que el pasajero lo alcance. a) 0,5 m/s 2 b) 1,0 m/s 2 c) 1,5 m/s2 d) 2,0 m/s 2 e) 3,0 m/s 2
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 16.
Desde una altura de 60 m se lanza verticalmente hacia arriba arriba un proyectil con velocidad “V” llegando a Tierra con velocidad “2V”. Halle el tiempo de vuelo. 2 (g = 10 m/s ) a) 2 s b) 4 s c) 6 s d) 8 s e) 10 s
17.
Un cuerpo es es abandonado desde una altura 4,9 m cayendo a 16 m de la base de un poste. Si Jurgen situado en el extremo superior del poste escucha el impacto después de 18/17 segundos de haber sido soltado el cuerpo, calcular la longitud de dicho poste. Considere que la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s. a) 11 m b) 12 m c) 13 m d) 14 m e) 15 m
18.
Dentro de un ascensor cuando un hombre lanza una moneda a 6 m/s verticalmente hacia arriba, esta retorna en 1 s. ¿Qué aceleración podrá tener el ascensor y hacia donde la moneda fue lanzada? a) 2,2 m/s 2 (¯) b) 2,0 m/s2 () c) 2,0 m/s2 (¯) d) 2,0 m/s 2 (®) e) 2,2 m/s2 ()
19.
20.
partícula P, denominado vector posición cuyas componentes son la abscisa X y la ordenada Y es decir: ®
®
®
r = x i + y j
Vector desplazamiento desplazamiento El vector desplazamiento de una partícula que se mueve de un punto P a un punto ® Q es es igual a la diferencia entre su vector posición final ( r f ) y su vector posición ® ® inicial ( r i ). Se representa por ∆ r
Un aerostato aerostato asciende verticalmente a razón constante de 72 km/h, km/h, cuando se ubica a 60 m del suelo del aerostato se suelta una piedra. ¿A qué altura del suelo se ubicará el aerostato en el instante en que la piedra toque el suelo? (g = 10 m/s 2) a) 160 m b) 140 m c) 200 m d) 180 m e) 120 m
Entonces: →
→
→
∆ r = r f - r i
Sobre una tabla lisa inclinada en 30º se lanza paralelamente a la tabla una una pelota con una rapidez de 10 m/s. Halle la distancia máxima que sube la 2 pelota. (g = 10 m/s ) a) 5 m b) 10 m c) 4 m d) 8 m e) 12 m
Vector velocidad promedio La velocidad promedio de una partícula durante el el intervalo de tiempo
TEMA 4 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
®
Vector posición En el movimiento en dos dimensiones la posición de la partícula se determina mediante un vector que se orienta del origen del sistema de coordenadas hacia la
El vector velocidad promedio apunta en la dirección de
14
®
D r V P = Dt ®
es la razón entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo:
D t = t f - ti
D r , por ser Dt > 0
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ Vector aceleración promedio La aceleración promedio de una partícula que se mueve de P a Q en el intervalo de tiempo D t = t f - ti, es el cambio del vector velocidad intervalo de tiempo D t , o sea:
®
®
Donde: ®
®
D v = v f - v i
v0
en dicho
Siendo: v f el vector velocidad en el instante
®
r 0
t f , cuya dirección es tangente a la
son los componentes del vector velocidad inicial (t = 0) :
®
®
= v0 x i + v0 y j
x0 , y0
®
Dv a p = Dt
®
v0 x,v0 y
son los componentes del vector posición inicial (t = 0) : ®
®
= x 0 i + y 0 j
Cuya magnitud es ;
El vector velocidad en el instante t es:
trayectoria en el punto Q y vi el vector velocidad en el instante t i cuya dirección es tangente a la trayectoria en el punto P.
®
®
®
v = v x i + v y j
v
Movimiento bidimensional bidimensional con aceleración constante
®
Es aquel movimiento en el plano xy, en el cual el vector aceleración: ®
a
®
El vector posición en el instante “ t ” se expresa:
®
®
= v x 2 + v y 2 ®
r = x i + y j
= a x i + a y j , mantiene constantes su magnitud y su dirección, por lo tanto sus
componentes a x , a y son constantes. Es posible aplicar las ecuaciones del
Movimiento de proyectiles
movimiento unidimensional con aceleración constante a los componentes v x y v y de la velocidad en el instante t , y a los componentes x, y de la posición en el instante t y se obtiene:
v x
= v ox + a x t
(I)
v y
= v oy + a y t
Si desde el origen de un sistema de coordenadas xy se lanza un proyectil con una ®
=
®
+
®
v0 x i v0 y j que forma un ángulo θ con el eje +X y se velocidad inicial v 0 ignora la resistencia del aire, el proyectil en todo instante de su movimiento esta sujeto a una aceleración constante que es la aceleración de la gravedad g, cuyas componentes son:
(II)
a x
= 0, a y = - g
Luego es posible aplicar las ecuaciones I, II, III y IV a dicho movimiento haciendo : 2
x = xo
+ vox t +
a x t 2
xo = yo
2
(III)
y = y o
+ voy t +
a y t 2
(IV)
15
= 0, a x = 0, a y = - g ,
luego del reemplazo se obtiene :
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___
v x = v0 x x
= v0 xt
v y y
= v0 y - gt v0 y t -
=
(VI)
(VI) de la trayectoria corresponde a una parábola. La ecuación
(VII)
(V)
Altura máxima y alcance horizontal Cuando el proyectil alcanza su altura máxima v y (VIII)
obtiene t =
v = v x
+ v y
2
tiene dirección
v0 y
x . Si la ecuación VII se despeja t = y se reemplaza en la vOX
v0 x
) x - (
g 2vox
y
2
) x 2
, Siendo
= (tg q ) x - (
tg q
v0 y
v 0 y v 0 x
= 0 , luego de la ecuación VII se
v0 y
2
2 g
ó 2
hmax
=
) x 2
en la ecuación VIII se obtiene :
g
hmax =
ecuación VIII se obtiene la ecuación de la trayectoria:
y = (
2vo cos2 q
tiempo necesario para alcanzar la altura máxima. Si se
g
®
v = v x i + v y j
El vector velocidad en cualquier instante t es tangente a la trayectoria y magnitud: 2
®
v0 y
reemplaza t =
v0 y = v0SenӨ ®
g 2
(VII)
De la figura se deduce:
v0 x = v0CosӨ
y = (tg q ) x - (
(V)
gt 2
2
= v 0 cos q Þ
v 0 x
Como
Þ
=
2
v0 sen q 2 g
El alcance horizontal (R) se obtiene haciendo y = 0 en la ecuación VIII y se deduce que:
g ) x 2 2 2 v ox
R
16
=
2 v 0 y v 0 x
g
con
t =
2v0 y
g
que es tiempo para alcanzar (R)
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ La magnitud de la velocidad lineal es igual al producto del radio por la velocidad angular. En el movimiento circular uniforme al ser constantes v y r , w también es constante. Además, en este movimiento se cumplen las siguientes relaciones.
2
También se puede deducir que : R es cuando q
=
v 0 sen 2q g
. El mayor valor posible de R
= 45 ° y sen 2q = 1 .
Finalmente, se puede demostrar que: tg q =
4 hma x
v
R
Movimiento circular uniforme Es aquel movimiento en el cual la trayectoria de la partícula es una circunferencia y la magnitud de la velocidad lineal o tangencial es constante. Radio vector: Es un vector que se orienta del centro de la circunferencia a la partícula. Revolución: Es una vuelta completa de la partícula en rotación. Periodo (T): Es el tiempo que emplea la partícula en efectuar una revolución. Frecuencia ( f ): Se define como la inversa del periodo e indica el número de revoluciones por unidad de tiempo. Tambien se puede escribir como: 1 f = T Si T se mide en segundos, la unidad de f es el Hertz (Hz).
ac
2p T
T = Periodo.
=
v2 r
ó
ac
= r w
2
Movimiento circular con aceleración angular constante Es aquel movimiento circular en el cual la velocidad angular cambia uniformemente en el tiempo por por efecto efecto de la aceleración angular constante. En este movimiento la aceleración angular esta dada por:
w - w 0 ; donde w 0 = velocidad angular t inicial (t = 0); w = velocidad angular final (t), a =
q
Se mide en rad/s.
Relación entre las velocidades lineal y angular s s La magnitud de la velocidad lineal es v = y q = t r q r q pero = w Þ v = r w v= t t
T
w =
Aceleración angular (a ) Se define como la rapidez con que cambia la velocidad angular en el tiempo.
Velocidad angular (w ( w )): Se define como el desplazamiento angular por unidad de tiempo.
t
2p r
Aceleración centrípeta (ac) Cuando una partícula describe un movimiento circular uniforme la dirección de la velocidad lineal cambia en el tiempo. Este cambio es producido por la aceleración centrípeta que es un vector perpendicular a la velocidad lineal dirigido al centro de la circunferencia cuya magnitud es:
Desplazamiento Desplazamiento angular (q ): Es el ángulo barrido por el radio vector y se mide en radianes.
w =
=
t = intervalo de tiempo. La unidad de a es rad
s 2
Þ s = r q Þ
17
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ Las ecuaciones del movimiento circular con aceleración angular constante son análogas a las ecuaciones del movimiento unidimensional con aceleración constante. w0 + w q =( )t
w = w 0 + a t
2
2
q = w0 t +
at
2
2
q=
3.
Con un un ángulo ángulo de de elevaci elevación ón de 53º cierto cierto misil es es lanzad lanzado o con una una velocid velocidad ad de 200 m/s. ¿Qué velocidad tendrá el misil al cabo de 10 s? (g = 10 m/s 2) a) 30 5 m/s b) 20 5 m/s c) 40 5 m/s d) 50 5 m/s e) 60 5 m/s
4.
Se lanza lanza un un proyec proyectil til con con una una velocid velocidad ad inic inicial ial de 90 m/s m/s y ángulo ángulo de elevación de 60º contra un plano inclinado que hace un ángulo de 30º con el horizonte. Hallar el alcance a lo largo del plano inclinado. (g = 10 m/s 2) a) 450 m b) 225 m c) 270 m d) 540 m e) 810 m
5.
Determin Determine e la altura altura de un un edificio edificio sabi sabiend endo o que cuando cuando desd desde e su azote azotea a se lanza horizontalmente un proyectil con una velocidad de 10 m/s, éste cae a 20 m del pie del edificio. a) 20 m b) 19,6 m c) 10 m d) 9,8 m e) 18 m
6.
Bajo una una inclina inclinación ción de de 53º, 53º, una pelota pelota elást elástica ica es es lanzada lanzada con con una veloc velocidad idad de 50 m/s rebotando en la pared como se muestra en la figura. Halle “x”. (g = 10 m/s2) a) 15 m
2
w - wo
2a
q = desplazamiento angular. Si a > 0 el movimiento es acelerado. Si a < 0 el movimiento es desacelerado.
PROBLEMAS DE MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES 1.
Un proyec proyectil til es dispa disparado rado en en una supe superfic rficie ie horizon horizontal tal con con una velo velocida cidad d inicial 30 i + 20 j (m/s). Determinar la altura máxima y el alcance horizontal. (g=10 m/s2) a) 20 m, 160 m b) 80 m, 120 m c) 40 m, 120 m d) 40 m, 60 m e) 60 m, 180 m r
2.
r
b) 10 m c) 20 m d) 12 m e) 5 m
En el el instante instante t = 0 una una partícu partícula la que se mueve mueve en el el plano plano xy tien tiene e una una velocidad 30 i - 20 j (m/s) y en el instante instante t = 5 s, su velocidad está dada dada por 80 i + 60 j (m/s). Determinar la aceleración de la partícula. a) 10 i + 16 j (m/s 2 ) b) 10 i + 8 j (m/s 2 ) c) - 10 i - 16 j (m/s 2 ) d) 10 i - 8 j (m/s 2 ) e) 10 i - 16 j (m/s 2 ) r
r
7.
r
r
r
a) 30°
r
r
r
80 m
Hállese “ α” sabiendo que la esfera en el desprendimiento parabólico emplea 2 s para caer. (g = 10 m/s 2)
r
r
x
r
α
b) 60°
r
r
c) 45°
30 m
r
d) 37° e) 53° 10 m
18
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 8.
B
En el el diag diagra rama ma V = 50 m/s, m/s, halle halle “H”. “H”. (g = 10 m/s 2)
a) p/3 rad/s b) 3p rad/s c) 9p rad/s d) p/9 rad/s e) p/5 rad/s
a) 55 m b) 10 m c) 25 m
45º
Los puntos periféricos de una rueda se desplazan desplazan a razón de 10 m/s en tanto que los puntos ubicados a 2 m de la periferia se desplazan a 6 m/s. Halle el radio de la rueda. a) 2 m b) 4 m c) 3 m d) 5 m e) 2,5 m
15.
Determinar la velocidad lineal de los puntos ecuatoriales de un planeta de radio “R” debido a su respectiva rotación considerando que en dicho planeta el día dura “T”. a) 2R/T b) 2pR/T c) 2pRT d) pR/T e) R/T
16.
Una polea que gira inicialmente a razón de 3600 RPM es frenada desacelerando a 4 p rad/s2 hasta detenerse totalmente. ¿Cuántas vueltas realizó la volante hasta detenerse? a) 400 b) 800 c) 450 d) 900 e) 225
17.
Dos ruedas empiezan a girar simultáneamente, la primera gira a 25 p rad/s y la segunda parte del reposo y gira acelerando a 10 p rad/s2. ¿Después de qué tiempo habrán realizado igual número de vueltas? a) 400 b) 800 c) 450 d) 900 e) 225
18.
En un MCUV se puede afirmar: I. ω y α son colineales II. ω y a son ortogonales III. ω y v son colineales a) I b) II c) III
r
V
En un plano plano horiz horizon onta tal,l, un un cab cabal allo lo corre corre a 10 5 m/s, este al frenar bruscamente expele al jinete de modo que cae en el terreno a 10 2 m delante del caballo. ¿A qué altura viajaba el jinete? (g = 10 m/s 2) a) 1,7 m b) 1,8 m c) 1,9 m d) 2,0 m e) 2,1 m
10.
¿En cuánto tiempo una piedra lanzada desde el el borde de un edificio de 108 m de alto con una velocidad de 20 m/s y un ángulo de elevación de 37º llegará hasta el piso? (g = 10 m/s 2) a) 4 s b) 6 s c) 8 s d) 10 s e) 12 s
11.
Con respecto al MCU podemos afirmar: I. La velocidad angular no siempre es perpendicular al plano de rotación II. El módulo de la velocidad angular es directamente proporcional a la frecuencia III. La velocidad es constante a) FFF b) FVF c) FVV d) VVF e) VVV
13.
0
14. 53º
9.
12.
40º
H
d) 15 m e) 35 m
A
Las partículas parten simultáneamente con períodos períodos de 20 s y 30 s. ¿Al cabo de qué tiempo logran cruzarse por segunda vez? a) 6 s b) 12 s c) 18 s d) 21 s e) 25 s Determine la velocidad angular angular de la partícula si esta emplea 5 s para para viajar de A hacia B.
19
r
r
r
r
r
r
d) I y II
e) Todas
19.
Halle la aceleración aceleración angular en un MCUV si en 3 segundos segundos el disco gira 180 rad siendo 108 rad/s su velocidad angular al cabo de este tiempo. 2 2 2 a) 32 rad/s b) 34 rad/s c) 36 rad/s d) 38 rad/s 2 e) 40 rad/s 2
20.
Observando un movimiento curvilíneo puede apreciarse que en cierto instante el vector velocidad mide 10 m/s y forma 53º con la aceleración. Si el módulo de la aceleración lineal es de 5 m/s 2, halle el radio de giro en ese instante. a) 5 m b) 10 m c) 15 m d) 20 m e) 25 m
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___
TEMA 5
Tercera ley de Newton: Esta ley responde a la pregunta de cómo interactúan los cuerpos: “Si dos cuerpos interactúan entre si las fuerzas que actúan sobre ellos tienen la misma magnitud y direcciones opuestas”
DINÁMICA Parte de la mecánica que estudia la relación entre las interacciones de los cuerpos y los cambios en su estado de movimiento.
®
F 12 = Fuerza ejercida por el cuerpo 1 sobre el cuerpo 2. ®
Fuerza: Es toda causa capaz de producir aceleraciones o deformaciones en los cuerpos. Para que existan fuerzas deben estar presentes dos cuerpos por lo menos interactuando entre sí.
F 21 = Fuerza ejercida por el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1. Se cumple: F 12 = F21 y vectorialmente F 12 = -F21
Masa inercial: La masa de un cuerpo es una medida cuantitativa de su inercia, es decir, de la respuesta del cuerpo a una fuerza externa que se manifiesta mediante la oposición del cuerpo a cambiar su velocidad. La masa de un cuerpo es constante cuando su velocidad es mucho menor que la velocidad de la luz. La unidad de la masa es el kilogramo.
Peso (W): Es la fuerza gravitacional con que la Tierra atrae los cuerpos. Como la Tierra comunica a los cuerpos una aceleración de magnitud “g”. La magnitud del peso es: W = mg
Leyes del movimiento de Newton Las leyes de Newton no son de validez universal, pero encuentran aplicación práctica en las Ciencias Naturales. Estas leyes se cumplen en sistemas de referencia inerciales, o sea aquellos sistemas que mantienen constante su velocidad.
Su dirección hacia el centro de la Tierra.
Fuerzas de fricción o de rozamiento: Cuando dos superficies están en contacto aparecen fuerzas tangenciales que se oponen al movimiento relativo de una superficie respecto de las otras, denominadas fuerzas de fricción.
Primera ley de Newton: “Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo con velocidad constante cuando la fuerza neta neta que actúa sobre el el cuerpo es cero”
a) Fuerzas de fricción estáticas: Se presentan entre dos superficies en reposo. Su magnitud varía desde cero hasta un valor máximo. Cuando el cuerpo en contacto esta por moverse, la magnitud de la fuerza estática máxima (f e max) es proporcional a la normal (N)
Segunda ley de Newton: Esta ley define la relación cuantitativa entre la fuerza proveniente de las interaccionas y el cambio de movimiento de los cuerpos. “Todo cuerpo sometido a la acción de una fuerza neta “F” adquiere una aceleración “a” en la misma dirección de la fuerza, cuya magnitud es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza e inversamente proporcional a la masa “m” del cuerpo”. ®
a
®
=
F m
®
f e max = μe N Donde: μe = Coeficiente de fricción estático.
®
Þ F = m a
La magnitud de F es F = ma; La unidad S.I. de la fuerza en el Newton (N) = kg
m
s 2
20
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ b) Fuerzas de fricción cinéticas: Se presentan entre dos superficies en movimiento relativo. La magnitud de la fuerza de fricción cinética es proporcional a la normal. f c = μc N
3. Si el conjunto de partículas se deja en en libertad, halle la tensión “T”. No existe fricción. (g = 10 m/s 2) a) 20 N
μc = Coeficiente de fricción cinético. μc < μe => f c < f e
b) 60 N c) 100 N d) 80 N e) 79 N
Segunda ley de Newton aplicada al movimiento circular: La segunda Ley de Newton se aplica al movimiento circular mediante la ecuación:
4. Un automóvil de 1300 kg es es remolcado por otro automóvil de igual masa, por medio de un cable que se encuentra en forma horizontal con respecto a la pista. Cuando los automóviles poseen una aceleración de 0,5 m/s 2, el coeficiente de fricción cinético entre las ruedas y la pista es de 0,03. Determine la tensión en el cable. (g = 10 m/s 2) Desprecie la fuerza de fricción del aire. a) 650 N b) 1000 N c) 1040 N d) 689 N e) 260 N
∑Fr = mac
Siendo: ∑Fr = suma de fuerzas radiales. ac = aceleración centrípeta = V 2 / R
PROBLEMAS 1. En la figura se muestran dos bloques de masa m 1 = 2 kg, m 2 = 4 kg, sobre una superficie sin fricción. Si se aplica una fuerza F = 30 N al bloque m 1, calcular: a) La aceleración de los bloques y b) La tensión en la cuerda. a) 3m/s2, 30 N b) 5m/s2, 30 N c) 6m/s2, 20 N d) 5m/s2, 20 N e) 2m/s2, 10 N
5. En la figura se muestran una piedra de 4 kg unido a una cuerda de 2 m de longitud, que gira en una circunferencia vertical. Si la piedra en “A” tiene una velocidad de 8 m/s, en “B” es 10 m/s, en “C” es 20 m/s, en “D” es 15 y q = 60°. Calcular las tensiones en la cuerda en los puntos A,B,C y D. (g = 10m/s 2) A
a) 88 N, 160 N, 840 N, 450 N
B
b) 80 N, 160 N, 800 N, 400 N
2. Hallar la aceleración con que se desliza el bloque de 20 kg por el plano inclinado áspero si una fuerza de rozamiento de 80 N se opone al movimiento. (g=10m/s 2) a) 1 m/s2 b) 3 m/s2 c) 50 m/s2 m d) 2 m/s2 e) 4 m/s2
θ
c) 88 N, 840 N, 160 N, N, 450 N D
d) 80 N, 160 N, 840 N, 400 N e) 88 N, 180 N, 840 N, 450 N C
37º
21
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PROBLEMAS DE DINAMICA
5. Se deja deslizar una moneda observándose que llega al llano en 2 s. Halle el coeficiente de fricción cinético entre la moneda y el plano inclinado. (g = 10 m/s2) a) 0,500
1. Evalúe la fuerza horizontal “F” de modo que el cajón de 10 kg se deslice con una aceleración constante de 5 m/s 2. Considere mK = 0,4. a) 89,2 N b) 90,2 N F c) 88,2 N d) 87,2 N e) 79,2 N
b) 0,250 c) 0,125 d) 0,750 37º
2. Un trineo de 10 kg reposa sobre un lago congelado ( mK = 0,2 0,2). Hall Halle e la aceleración que adquiere el trineo cuando es jalado con una fuerza de 50 N cuyo ángulo de elevación es de 37º. (g = 10 m/s 2) a) 1,6 m/s 2 b) 2,6 m/s 2 c) 3 m/s2 d) 4,6 m/s 2 e) 5,6 m/s 2
e) 0,375 6. Una vagoneta acelera horizontalmente con 7,5 m/s 2 observándose que el hilo del péndulo se establece con un ángulo constante “ q”. Hállese “ q”. (g = 10 m/s 2) a) 37° b) 53° c) 45° d) 30° e) 74°
3. En el piso de un ascensor detenido se encuentra encuentra una balanza sobre la cual se ha depositado un bloque, en esta situación la lectura de la balanza es de 98 N. Un instante después el ascensor inicia su movimiento y la balanza marca 117,6 N. ¿El ascensor se eleva o desciende? ¿Cuál es su aceleración? a) Sube con una aceleración de 1,96 m/s 2 b) Baja con una aceleración de 1,96 m/s 2 c) Sube con una aceleración de 2 m/s 2 d) Baja con una aceleración de 2,2 m/s 2 e) Sube con una aceleración de 2,5 m/s 2
7. Un muchacho que pesa 250 N en en una balanza, se pone de cuclillas en ella y salta repentinamente hacia arriba. Si la balanza indica momentáneamente 550 N en el instante del impulso. ¿Cuál es la máxima aceleración del muchacho en este proceso? (g = 10 m/s 2) a) 10 m/s 2 b) 12 m/s 2 c) 8 m/s2 d) 6 m/s2 e) 9 m/s2
4. Cerca de la superficie terrestre un globo aerostático de masa total (incluyendo el el gas que infla el globo) “M” baja verticalmente con una aceleración “a”. ¿Qué masa debe arrojarse desde el globo de manera que el globo pueda subir verticalmente con aceleración “a”? a) d)
Ma g+a 3Ma g+a
b) e)
Ma 2(g + a)
c)
10 m
8. ¿Qué aceleración máxima podrá tener un atleta sobre un horizonte rugoso, si se considera un coeficiente de rozamiento estático “ m” entre los zapatos del atleta y el horizonte? a) g/m b) m/g c) mg d) 2g/m e) m/2g
2Ma g+a
4Ma g+a
22
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 9. ¿Con qué fuerza, un acróbata de 60 kg debe abrazar un poste cilíndrico vertical para que logre descender con una aceleración constante de 2,8 m/s 2? El coeficiente de fricción cinética entre el hombre y el poste es 0,6. a) 500 N b) 700 N c) 900 N d) 420 N e) 400 N
14. Un pequeño balde con contenido de agua es atado a una cuerda de 2,45 m y se provoca una rotación vertical. ¿Qué velocidad debe tener el balde en su parte más alta tal que el agua no derrame? a) 5 m/s b) 6,9 m/s c) 5,9 m/s d) 7,9 m/s e) 4,9 m/s
10. Una persona se encuentr a parada sobre una balanza la c ual está sobre una patineta, ésta se desliza por una pendiente lisa. Cuando está bajando, la balanza marca 300 N, si el peso de la persona es de 500 N, calcular la aceleración. (g = 10 m/s 2) a) 9 m/s2 b) 5 m/s2 c) 2 m/s2 d) 3 m/s2 e) 4 m/s2
15. Cuando un chasqui de 60 kg cruzaba un puente colgante con una rapidez de 5 m/s, ¿Con qué fuerza presionaban sus pies sobre el puente en la parte más baja suponiendo un radio de curvatura de 50 m en tal posición? a) 610 N b) 614 N c) 618 N d) 622 N e) 620 N
11. Un automóvil cuya masa es 1500 kg viaja a una velocidad de 90 km/h por una autopista plana y recta, si es llevado uniformemente al reposo en 10 s, ¿Cuál es la aceleración que experimenta dicho automóvil? a) 2,5 m/s 2 b) 1 m/s2 c) -2,5 m/s2 d) -25 m/s2 e) 25 m/s2
16. Un péndulo de masa “m” se aparta del punto de equilibrio de modo que la cuerda del péndulo forma un ángulo “ q” con la vertical, en tal lugar el péndulo es soltado, en ese instante halle la fuerza que tiempla la cuerda. a) mg Senq b) mg Cosq c) mg tgq d) mg Ctgq e) mg Secq
12. Un coche ingresa a una pist a circular de 10 m de radio con coeficientes de rozamientos entre sus llantas y la pista de 0,4 y 0,5. Hállese la máxima velocidad de ingreso del coche de modo que sus llantas no resbalen hacia afuera en la curva. a) 7 m/s b) 8 m/s c) 9 m/s d) 10 m/s e) 6 m/s
17. Un bloque de 3 kg de masa sube a partir del reposo por un plano inclinado sin rozamiento por acción de una fuerza “F” paralela al plano, recorriendo una distancia de 10 m en 2 s. Determine la magnitud de dicha fuerza “F”. (g = 10 m/s2) a) 15 N b) 9 N c) 10 N F d) 39 N 53° e) 30 N
13. Mediante una cuerda de 4 m de longitud se hace girar una masa de 4 kg en un plano vertical, si cuando la cuerda hace 37° con la vertical, la masa tiene una velocidad de 12 m/s. Determine la tensión en la cuerda en tal posición. Considere la ubicación más alta. (g = 10m/s 2) a) 100 N b) 110 N c) 112 N d) 115 N e) 120 N
r
23
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___
TEMA 6
18. Un hilo se utiliza para mantener una esfera de 50 g describiendo un movimiento de trayectoria circunferencial en un plano vertical y con un radio de 40 cm. Si el hilo se rompe cuando la fuerza de tensión en él excede los 2 N. determine con qué rapidez angular puede girar la esfera antes de que el hilo se rompa. a) b) c) d) e)
ESTÁTICA Equilibrio: Es un caso particular del movimiento donde las aceleraciones lineal y angular son iguales a cero: a = 0, α = 0.
ω = 5 5 rad/s ω > 5 5 rad/s
Primera condición de equilibrio: equilibrio: Un cuerpo está en equilibrio de traslación cuando la fuerza neta es cero. Esto significa que el cuerpo está en reposo o en movimiento rectilíneo con velocidad constante.
ω < 5 5 rad/s ω £ 5 5 rad/s ω = 5 3 rad/s
®
F Neta
19. Un camión cuya rapidez de viaje es de 10 m/s lleva en su plataforma una carga carga de 2 toneladas. ¿Con qué fuerza presionará la carga sobre la plataforma cuando el camión se encuentre en la cima de un puente convexo de 50 m de radio esférico? a) b) c) d) e)
, en dos dimensiones S Fx = 0, S Fy = 0
Momento de torsión o torque de una fuerza: Es la medida de la tendencia de una fuerza a hacer girar un cuerpo alrededor de un eje, la magnitud del momento de torsión o torque se define por medio de la expresión:
16500 N 15000 N 15600 N 16000 N 15500 N
t = Fd Donde: t = momento de torsión de F. d = brazo de momento (brazo de palanca) que es la distancia perpendicular del eje a la línea de acción de la fuerza. El torque t es (+) si F tiene tendencia a producir rotación en el sentido antihorario y el torque t es (-) si F tiene tendencia tendencia a producir rotación en el el sentido horario.
20. Un bloque se desliza sin fricción desde el reposo hacia abajo por un plano inclinado que hace un ángulo de 45° con la horizontal. Cuando se desliza sobre otro plano que tiene las misma inclinación que el anterior pero con un coeficiente de fricción “ m” también partiendo desde el reposo, el tiempo empleado en recorrer la misma longitud es el doble. Calcular el valor de “ m”. a) b) c) d) e)
®
= å F = 0
1/2 3/5 3/4 1/8 2/3
Segunda condición de equilibrio: Un cuerpo está en equilibrio de rotación cuando la suma de los momentos de torsión de todas las fuerzas que actúan sobre él respecto de cualquier eje es cero. St = 0
24
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___
PROBLEMAS
5. La figura muestra una viga de 60 N que es mantenida en equilibrio como se muestra en la figura. Si la tensión en la cuerda es 20 3 N. ¿Cuál es el valor del ángulo α? a) 60° b) 37° c) 53° d) 45° e) 30°
1. Para el sistema mostrado en la figura, hallar las tensiones T 1 y T2, si g = 10 m/s². a) b) c) d) e)
45 N, 75 N 50 N, 60 N 80 N, 100 N 50 N, 50 N 40 N, 60 N
PROBLEMAS DE ESTÁTICA 1. Determinar la fuerza horizontal “F” necesaria para mantener en equilibrio el cuerpo de peso W = 9 N, tal como se muestra en la figura: a) 9 N 37° b) 15 N F c) 12 N d) 10 N e) 13 N W
2. En la figura, hallar la tensión tensión T 2. Si T1 = T3 y T2 = 2T1. (g = 10 m/s²) a) b) c) d) e)
100 N 360 N 80 N 36 N 200 N
2. Un cuerpo de peso P ha sido suspendido suspendido por cuerdas como se muestra en la figura. Si las tensiones T 1 = 90 N, T 2 = 60 N y T3 = 120 N, hallar el peso P. a) 300 N b) 220 N c) 210 N d) 250 N e) 340 N
3. La figura muestra una viga de peso despreciable sobre la que que actúa un sistema de fuerzas ¿Cuál es el valor de las reacciones en los apoyos A y B? a) b) c) d) e)
10 N y 50 N 20 N y 30 N 15 N y 45 N 27,5 N y 32,5 32,5 N 5N y 5,5 N
T2
37° T1
T3
P
3. Hallar el torque resultante respecto del punto A del sistema de fuerzas mostrado en la figura. Si F 1 = F2 = 10 N y F3 = 20 N. Despreciar el peso de la viga. a) 158 Nm F3 F2 b) 130 Nm A 53 ° c) -150 Nm 3m 3m 2 m d) -158 Nm e) 150 Nm F1
4. La figura muestra una viga ABC de sección sección uniforme y 50 N de peso peso apoyada en B, el extremo C se halla sometido a la tensión de un cable. Si el sistema está en equilibrio ¿Cuál es la tensión en el cable? (g = 10 m/s²) a) b) c) d) e)
53°
60 N 45 N 75 N 30 N 65 N
4. La barra homogénea de la figura pesa 100 N y el cuerpo W = 200 N. Encontrar la tensión T en la cuerda para que el sistema esté en equilibrio. a) 212,5 N T b) 262,5 N 53 ° c) 220,5 N L d) 170,5 N L e) 190,5 N 5 W
25
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 5. La viga de masa despreciable y las cuerdas sostienen un peso W = 40 N. Hallar la componente horizontal que ejerce la pared sobre la viga. a) 20 3 N 30 ° b) 40 N c) 40 3 N
9. En el sistema mostrado en la figura, determinar el valor mínimo de M para que el sistema se encuentre en equilibrio, si el coeficiente de fricción estático entre M y la superficie es 0,4. a) 20 kg b) 50 kg
60 °
d) 10 3 N e) 20 N
d) 40 kg
W
P
10. Calcular el módulo de la fuerza horizontal F para que el bloque de 60 kg suba con velocidad constante. (g = 10 m/s 2) a) 350 N F b) 550 N c) 450 N d) 225 N 37° e) 900 N
Q
11. En la figura, determinar la reacción normal en A si la fuerza de fricción estática entre la esfera y la pared tiene el mismo módulo de la tensión en la cuerda y la masa de la esfera es 9 kg. (g = 10 m/s 2) a) 75 N b) 30 N
8. El soporte de la figura está constituido por una cuerda horizontal y una viga de masa despreciable de 2 m de longitud. Calcular la fuerza ejercida por la pared sobre la viga cuando se suspende el cuerpo de peso W = 120 N. a) 8 0 N 1
37°
c) 40 N d) 60 N
T
A
e) 80 N
b) 80 3 N 120 N
m = 20 kg
e) 10 kg
7. Sobre una viga homogénea de 10 m de longitud y 40 N de peso actúa el sistema de fuerzas indicado en la figura. Hallar la reacción en A. a) 50 N 100 N 200 N 50 N b) 40 N 6 m 2 2 c) 100 N A B d) 310 N e) 80 N
c)
45 °
c) 30 kg
6. Encontrar el peso del bloque Q para que el sistema mostrado en la figura se encuentre en equilibrio. La cuerda AB es horizontal y P = 32 N. a) 24 N 53° 37° b) 30 N c) 18 N d) 32 N e) 20 N
M
12. Un peso W = 600 N cuelga de una estructura y la fuerza F = 300 N actúa en el punto medio de BC como muestra la figura. Encontrar la tensión en el cable AB. a) 1100 N B 4m C b) 1000 N
W
d) 120 3 N e) 40 3 N
c) 1200 N d) 1050 N e) 1080 N
26
5m
A
53°
W
F
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 13. En la figura, si la barra homogénea homogénea pesa 9 N y está en en equilibrio en la posición mostrada, siendo la pared lisa y el piso rugoso, hallar las componentes de la reacción en B. A a) 5 N y 8 N b) 6 N y 8 N 53° c) 6 N y 9 N d) 4 N y 6 N B e) 8 N y 7 N
17. La figura muestra una faja que ha equilibrado un tronco de peso W apoyándose en una pared lisa. Si la tensión en la faja es 50 N, determinar el peso W y la reacción de la pared. a) 20 N, 60 N b) 20 N, 80 N 37° c) 30 N, N, 80 N d) 40 N, 60 N e) 40 N, N, 80 N
14. En el sistema mostrado en en la figura, la barra barra homogénea y el el bloque pesan 120 N y 50 N respectivamente y el sistema se encuentra en equilibrio. Calcular el ángulo “ q”. a) 53° b) 37°
18. Si el bloque de la figura de masa 5 kg se encuentra en estado estado de movimiento inminente cuando la tensión en la cuerda es 20 N, hallar el coeficiente de fricción estático entre el bloque y la superficie. (g = 10 m/s 2) a) 0,4
2θ
b) 0,3
c) 30° d) 60°
37°
c) 0,2
θ
d) 0,5
e) 45°
37°
e) 0,8
15. Hallar la ubicación de la resultante del sistema de fuerzas mostrado en la figura respecto del punto A si el peso de la barra homogénea es 20 N. a) 6,45 m 60 N b) 5,15 m 40 N c) 6,15 m 8m 2 d) 7,25 m B A e) 8,25 m
19. Una viga de peso despreciable se encuentra en equilibrio equilibrio como muestra la figura con un cable y una fuerza horizontal F = 30 N aplicada en su punto medio. Encontrar la fuerza de fricción entre la viga y el piso. a) 20 N b) 15 N
16. Una barra homogénea de 60 kg de masa y 6 m de longitud se encuentra en equilibrio. Si el peso W = 900 N, determine la reacción normal en A que experimenta la barra. a) 600 N 53 ° b) 900 N c) 1200 N d) 1500 N B e) 2000 N A
F
c) 30 N d) 10 N e) 5 N
W
27
45°
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 20. La esfera de la figura de masa 6 kg está apoyada en una superficie superficie vertical rugosa y una superficie oblicua lisa. Si la reacción normal en A es 21 N, encontrar la fuerza de fricción estática en A. a) 28 N b) 20 N A c) 32 N d) 30 N B e) 40 N 37°
y que para ángulos agudos y obtusos el trabajo es positivo y negativo respectivamente. La unidad en el SI de W es el joule (J), J = Nm.
El producto escalar de dos vectores Dados dos vectores A y B, como muestra la Fig. 7.2 se define el producto e scalar ®
®
A y B : r
r
A · B = ABCos q
TEMA 7
Fig. 7.2 ®
®
Los vectores i y j se encuentran siempre sobre los ejes X e Y respetivamente. Se cumple respecto a estos vectores unitarios lo siguiente:
TRABAJO Y ENERGÍA
® ®
® ®
® ®
i . i = j . j = 1
Trabajo efectuado por una fuerza constante El trabajo realizado por una fuerza constante actuando sobre un cuerpo es el producto del componente de esta fuerza en la dirección del desplazamiento por la longitud de dicho desplazamiento. Ver Fig. 7.1
® ®
i . j = j . i = 0
;
Esto debido a que la magnitud de los mismos es la unidad y el ángulo entre ellos es 0° si son iguales y 90° si son ortogonales. Ejemplo: Dados los vectores en el plano:
W = F (Cosq ) s = FsCosq
® ®
®
æ è
®
®
®
A =A x i + A y j ®
y ®
öæ øè
®
®
B = B x i + B y j ®
®
ö ø
A· B =ç A x i + AY j ÷ç B x i + BY j ÷ = A x B x + AY BY Haciendo referencia a la definición de producto escalar y a la relación fundamental de trabajo este concepto se puede redefinir:
Fig. 7.1 Donde: W: es el trabajo realizado por la fuerza constante “F”. F: es la magnitud de la fuerza vectorial “F”. S : la magnitud del desplazamiento “s”. q : el ángulo que hace F con la dirección de s (0º< q <180º) Es importante observar que cuando:
q =0
Þ
q = 90° Þ
®
®
W = F · s
Es bueno notar que si sobre un cuerpo, actúan concurrentemente muchas fuerzas, F en la ecuación anterior, es la suma vectorial de todas las fuerzas y el trabajo se denomina trabajo neto.
Energía cinética y el teorema del tr abajo y la energía Si un cuerpo de masa m, sometido a una fuerza neta F, cambia su velocidad en un tramo de su recorrido de v i a vf . el trabajo realizado es evaluado de la siguiente forma:
W = Fs W=0
28
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___
Dado que F = ma y a
=
v 2 f
- v2i
2d
®
®
W = (-mg j ) · (yf - yi) j = -mg yf + mgyi A la cantidad mgy, se denomina energía potencial gravitacional “U”. Entonces si Ui = mgyi y Uf = mgyf son las energías potenciales inicial y final del cuerpo, el trabajo realizado por el peso del cuerpo es: Wmg = - Uf + Ui = - (Uf - Ui); Uf - Ui = DU Entonces: W mg = - DU
siendo d la distancia recorrida. Ver Fig. 7.3.
Ahora, si consideramos el gráfico mostrado en la Fig. 7.5, en la posición y i el cuerpo tiene una velocidad v i y en la posición y f su velocidad es v f .
Fig. 7.3
æ v 2 f - v 2 i ö ÷÷ è 2d ø
Entonces: F = m çç De aquí:
W neto = Fd = m
v
2
f
- v2i 2
=
mv
2
2
f
-
mv
2
i
2 Fig. 7.5
Donde: K =
mv 2
Como por un lado W = D K = Kf - Ki y por otro otro Wmg = - D U = Ui - Uf , al descender el cuerpo, siendo el trabajo el mismo se tiene:
, se denomina energía cinética, su unidad en el SI es la misma 2 que del trabajo. Así, entonces: W neto neto = K f f - K i i =
Kf - Ki = Ui - Uf
D K
ó
Ki + Ui = Kf + Uf
Es decir que la suma de la energía cinética más la energía potencial gravitacional en cualquier punto de su trayectoria es constante. A este resultado se denomina conservación de la energía mecánica, E = K + U. A las fuerzas, como el peso, las cuales conservan la energía cinética más potencial (pudiendo ser esta última no sólo de origen gravitacional), se denominan fuerzas conservativas.
Este último resultado se denomina Teorema del Trabajo y la Energía, y se enuncia: "El trabajo neto al desplazarse un cuerpo es igual al cambio de su energía cinética"
Energía mecánica y su conservación Un cuerpo mantenido a una altura determinada respecto a una superficie de referencia, almacena energía denominada “energía potencial gravitacional”. Si se desea determinar la energía potencial del cuerpo al caer libremente de una posición y i a y f ; ver Fig. 7.4; es sólo calcular el trabajo realizado por el peso del cuerpo al descender tal recorrido.
Cambios en la energía mecánica cuando se presentan fuerzas no conservativas Fuerzas no conservativas (FNC) son aquellas que producen cambios en la energía mecánica, un ejemplo de tales fuerzas es la fuerza de fricción. En tales casos, el trabajo realizado por tales fuerzas es: WFNC = Ef - Ei = D E = D K + DU Siendo W FNC, trabajo realizado por la fuerza no conservativa, i y f son los estados inicial y final.
Fig. 7.4
29
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 5. Una partícula de 2 kg de masa, que se mueve en el plano xy , efectúa un
PROBLEMAS
®
®
®
®
®
®
desplazamiento S = i + j m debido a una fuerza F = 5 i +6 j (N) desde desde un
1. Un bloque de 5 kg es desplazado horizontalmente hacia la derecha por una fuerza horizontal de 25 N. Si el coeficiente de fricción cinético es 0,1 hallar el trabajo neto luego de recorrer 10 m. (g = 10m/s 2) a) 100 J b) 150 J c) 200 J d) 250 J e) 300 J
®
®
punto donde su velocidad fue 3 i + 4 j (m/s). Calcular su energía cinética y su velocidad al culminar el tramo recorrido. a) 36 J, 6 m/s b) 25 J, 5 m/s c) 16 J, 4 m/s d) 4 J, 2 m/s e) 49 J, 2 m/s
2. Sobre un bloque de masa de 2 kg actúa un conjunto de fuerzas concurrentes como muestra la fig. Determinar el trabajo neto realizado por la fuerza neta al desplazarse al bloque horizontalmente 5 m, sobre una superficie sin fricción. (Cos37º » 4/5) a) 5 J
6. Un cuerpo de 1 kg de masa es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Determinar la energía potencial con referencia al punto de lanzamiento en: a) El punto de lanzamiento b) A la mitad de la trayectoria y c) En el punto más alto de la trayectoria (g = 10m/s 2) a) 0 J, 50 J, 100 J b) 10 J, 20 J, 40 J c) 0 J, 100 J, 200 J d) 5 J, 2 J, 4 J e) 20 J, 50 J, 100 J
b) 50 J c) 10 J
7. Una partícula realiza la trayectoria mostrada en la figura. Determinar la velocidad en B y la altura alcanzada en C, tal que su velocidad sea la mitad de la velocidad en el punto B. (Despreciar la fricción con la trayectoria) a) 4 gR ; 3 R/ 2
d) 25 J e) 30 J
b)
3. Una fuerza de 10 N actúa sobre una partícula partícula ubicada en el origen del plano xy como muestra la fig. Como consecuencia de la aplicación de dicha fuerza, la partícula realiza un desplazamiento dado por el vector ( 2 i - j ) 2 (m). Calcular el trabajo realizado. a) 5 J b) 15 J c) 10 J d) 5 2 J e) 10 2 J r
gR ; R
c) 2 gR ; 3 R/ 2
r
d) 4 gR ; R/ 2 e) 2 gR ; R/ 2
8. Desde la base de un plano inclinado de 37º, se lanza un bloque hacia arriba, deslizándose 5 m hasta detenerse debido a la fricción con el plano. Determinar la velocidad con que se lanzó el bloque ( m k = 0.5). Usar Sen37º = 3/5, g = 10m/s 2
4. Un bloque de 8 kg de masa es desplazado desplazado horizontalmente hacia la derecha, desde el reposo, por una fuerza horizontal constante de 16 N. Determinar la velocidad adquirida luego de recorrer 4 m. (Suponer que no hay fricción) a) 8 m/s b) 2 m/s c) 1 m/s d) 4 m/s e) 6 m/s
5 m/s a) b) 1 m/s c)
2 m/s
10 m/s d) e) 10 m/s
30
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___
PROBLEMAS DE TRABAJO Y ENERGIA
5. El bloque de 5 kg mostrado en la figura, experimenta un desplazamiento de (8 i + 6 j ) m, sobre el plano inclinado, si F = 56 i + 42 j (N). Determine el trabajo neto (en J) en ese desplazamiento. a) 400 b) 300 c) 700 d) 500 e) 100 r
1.
Si el bloque bloque de de 5 kg descie desciende nde por por el plano plano indicado cado con veloci velocidad dad cons constan tante, te, identifique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones, cuando el bloque se mueve desde (1) hasta (2): I. El trabajo del peso vale 2000 J II. El trabajo de la reacción del plano sobre el bloque vale – 2000 J III. El trabajo neto vale cero a) VVV b) FVF c) FFV d) VFV e) FFF
2.
Determin Determine e el traba trabajo jo de la fuerza fuerza consta constante nte F = 50 50 N al traslad trasladar ar la peque pequeña ña esfera desde el punto A al pun to B sobre la superficie curva. a) 180 J b) 125 J c) 100 J d) 250 J e) 150 J
3.
Si el rozamie rozamiento nto entre entre el bloque bloque y el piso piso es de 10 N, deter determine mine el el trabajo trabajo mínimo (J) de la fuerza F cuando arrastra el bloque 3 m en el piso. a) 25 J b) 30 J c) 35 J d) 40 J e) 45 J
4.
Un bloq bloque ue está está obl oblig igad ado o a move moverse rse sobre sobre el plan plano o xy por cualquiera de las trayectorias trayectorias (1), (2) y (3). Entre dos puntos A y B siendo F = 5 j (N) una de las fuerzas sobre el bloque. Escogiendo la ruta, entre (1), (2) y (3), que le permita a esta fuerza hacer el mayor trabajo, calcule el valor de este trabajo (en J). a) 75
r
r
r
6. ¿Qué trabajo se debe hacer sobre una roca de 50 kg inicialmente en reposo para que empiece a rodar con una velocidad de 2 m/s? a) 100 J b) 110 J c) 120 J d) 130 J e) 140 J 7. Si se desprecia todo tipo de rozamiento, ¿Qué trabajo (en J) realiza la fuerza no conservativa F vertical que levanta la cadena de 10 kg de masa y cuya longitud es 4 m, inicialmente en reposo como se encuentra en la figura, cuando es desplazado hasta el instante en que el último eslabón abandona la superficie con una velocidad de 10 m/s? a) 1800 F b) 1200 c) 500 d) 700 e) 350 8. A partir del reposo se deja caer un cuerpo de 1 kg kg con una energía energía de 200 J ¿Cuál será su rapidez (en m/s) en el instante en que su energía potencial sea el doble de su energía cinética? a) 9,2 b) 10,3 c) 11,5 d) 12,1 e) 13,4 9. Se deja caer un objeto desde una altura de 21 m. ¿A qué altura altura durante su caída la energía cinética será el doble que su energía potencial? (g = 10 m/s 2) a) 5 m b) 7 m c) 14 m d) 16 m e) 8 m
b) 35 c) 20 d) 15 e) 0
31
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 10.
En la figura se muestra un bloque de 0,5 kg que desciende sobre la rampa lisa. Calcule F (en N), si parte del reposo en A y pasa por B con una rapidez de 20 m/s. a) 5,0 b) 2,5 c) 10 d) 12,5 e) 15
11.
Un bloque de 3 kg empieza a moverse sobre el plano inclinado desde la posición mostrada. ¿Qué velocidad en m/s tiene al final del recorrido en la parte horizontal de longitud igual a la del plano inclinado? Asuma que el coeficiente de fricción entre el bloque y las superficies vale 0,2. a) 1,04 b) 1,14 c) 1,34
12.
13.
14.
15. Determine el trabajo (en J) J) realizado por F para elevar el bloque una altura de 10 m, si para levantar el bloque m se requiere una fuerza F = 40y + 100. a) 1500 b) 2000 c) 2500 d) 3000 e) 3500 16. Un pequeño cuerpo es soltado desde A e ingresa a una cavidad esférica de radio R = 8 m, para luego ingresar desde B a un plano inclinado donde m = 1/4. Se desea averiguar en qué punto C definido por “h” se detendrá el cuerpo. Considere q = 37° y g = 10 m/s 2. C a) 3 m O
A
d) 1,54
b) 6 m
e) 1,74
Sobre una partícula de 2 kg y rapidez de 3 m/s, actúa una fuerza como se muestra en la figura. Halle la energía cinética máxima, en J. a) 22,5 b) 32,5 c) 41,5 d) 31,5 e) 21,5
h
c) 2 m
Un auto tiene una velocidad de 144 km/h, al aplicar los frenos sus ruedas se bloquean y desliza sobre la pista hasta detenerse, calcule el trabajo de la fricción (en kJ) para cuando su rapidez sea tan solo de 5 m/s. Masa del auto 1000 kg. a) -787,5 b) 432,25 c) 785,5 d) -432,25 e) 12 1242,25
d) 4 m e) 5 m
θ
μ
B
17. Los ejes del gráfico mostrados están a la misma escala y representan la energía cinética y la energía potencial de un cuerpo. De acuerdo a esto indique Verdadero (V) o Falso (F):
F (N)
10 5 5
9
I. Si α = 45º la energía mecánica del cuerpo se conserva II. Si α = 19º la energía mecánica del cuerpo es igual a 87,5 J III. Si α = 45º la energía mecánica del cuerpo es igual a 100 J
x (m)
3
-5
Una esferita de masa 2 kg parte desde y = 100 m con una rapidez de 3 m/s deslizándose sin fricción sobre la superficie parabó lica. Determine la energía cinética cuando se encuentra en x = -2 m. a) 20 b) 900 c) 2000 d) 1689 e) 4222,5
a) b) c) d) e)
32
VVV VFV VFF FVV FFF
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 18.
19.
TEMA 8
Al soltar un cuerpo, demora demora 2 s en en llegar al piso, aproximadamente. aproximadamente. ¿Cuánto tiempo (en s) transcurre desde que se le suelta hasta el instante en que su energía cinética es 0,75 veces su energía potencial? a) 1,3 b) 1,4 c) 1,5 d) 1,6 e) 1,7
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 1. Movimiento armónico simple simple (MAS) (MAS) Es aquel movimiento periódico y oscilatorio de un cuerpo a través de una línea recta, que se produce por una fuerza recuperadora y que matemáticamente se describe mediante las funciones trigonométricas Seno y Coseno (Armónico). El objeto con MAS, oscila entre dos posiciones extremas, durante un tiempo indefinido sin perder energía mecánica.
Un objeto de 4 kg es soltado desde 20 m de altura, al llegar al piso su r
velocidad es - 15 j (m/s). ¿Qué trabajo realizó la fuerza de fricción del aire (en J)? a) 350 b) 450 c) -350 d) -450 e) -225 20.
2. Fuerza recuperadora recuperadora de un resorte Si consideramos un resorte en sus tres posiciones características, el resorte ejerce una fuerza recuperadora o restauradora, que trata que éste recupere su longitud original.
Desde la posición “A”, se suelta un péndulo de masa “m”. Determine la energía cinética en la posición “B”. a) mg l cos2 θ b) mg l cos θ c) mg l d) mg l (cos θ - cos 2 θ) e) mg l (cos2 θ - cos² θ)
Ley de Hooke: La fuerza deformadora o restauradora es proporcional a la deformación (x). F = - Kx
K = Constante de fuerza del resorte. x = Deformación.
El MAS se puede considerar como la proyección de un movimiento circular uniforme a lo largo de su diámetro.
33
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ Elementos del MAS
3.4. Periodo (T)
·
Oscilación Oscilación simple (A – A’ )
·
Oscilación doble o completa (A –A’ – A)
·
Período (T)
·
Frecuencia (f) f =
·
Elongación (x) :
1 , f T
=
1 s
(A) En función de a:
F = m. a
3. Ecuaciones del MAS Cuando una masa unida a un resorte ejecuta un MAS, su desplazamiento “x”, su velocidad “v” y su acelera leraci ció ón “a” “a”, varía rían perió riódica icamen mente cumpliéndose las siguientes ecuaciones:
A 2
V = -ωA Sen ωt
,
V =+ω A Vmax = ωA
amáx = + ω2A
,
x a
- x 2
(x = 0)
x A
k m
km = m a.
Ù
a=
4p 2 x f
2
Þ
T = 2 p
m k
Frecuencia angular.
1 2
KA2
3. Un cuerpo ejecuta un MAS con un amplitud amplitud 2 m y frecuencia angular p rad/s. Determinar a) El desplazamiento ; b) La velocidad, c) La aceleración en t = 0,25s Rptas: a) 1 m b) - p m/s c) - p 2m/s2
- x 2
Cos ωt =
ω=
Ù F=kx Þ
2. Un cuerpo de masa m cuelga del extremo extremo de un resorte y oscila verticalmente con un periodo de 4 s. Al adicionar al cuerpo una masa de 0,5 kg el nuevo periodo de oscilación es 5 s. ¿Cuál es el valor de la masa m? a) 8/5 kg b) 8/7 kg c) 8/3 kg d) 8/11 kg e) 8/9 kg
4. Una masa de 2 kg cuelga de un resorte. Cuando se añade una masa de 0,2 kg al resorte, este se alarga 2 cm más. Si se quita el cuerpo de 0,2 kg y se hace oscilar el sistema, determinar el período del movimiento. a) 0,89 s b) 0,70 s c) 0,60 s d) 0,50 s e) 1,00 s
3.3. Para la la aceleración aceleración a MAS = ax (Componente x de la aceleración centrípeta) a = -ω2A Cos ωt
t
T = 2 p
1. Al suspender en un resorte un cuerpo cuerpo de 39,2 N el el alargamiento es de 10 cm ¿Cuál será el periodo de oscilación del cuerpo? a) 0,4 s b) 0,5 s c) 0,6 s d) 0,7 s e) 0,8 s
A 2
Þ
PROBLEMAS TIPO
3.2. Para la velocidad (V) Sen ωt =
2p
3.5. Energía del oscilador oscilador armónico armónico simple: E =
3.1. Para la elongación (x) x = A Cos q x = A Cos wt Donde A es la amplitud y corresponde a la elongación máxima.
,
Ù ω=
(B) En función de la masa:
(Hertz)
*
VMAS = V x = V
a = ω2.x
,
a = ω2x
34
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___
PÉNDULO SIMPLE
3. Propiedades en el péndulo Para pequeñas amplitudes (0º Ð q £ 15°) los periodos de oscilación son iguales (Isocronismo). El periodo de oscilación de un péndulo es independiente de la masa pendular. El plano de oscilación del Péndulo es invariable. Para dos péndulos, sus períodos de oscilación son directamente proporcionales
1. Péndulo simple Es un sistema físico constituido por una masa puntual “m”, suspendida por un hilo inextensible de longitud “L” que puede oscilar alrededor de su posición de equilibrio en un plano vertical por influencia del peso de la masa pendular, con un movimiento que es aproximadamente Armónico Simple. Sus elementos son los del MAS.
a las raíces cuadradas de sus respectivas longitudes: T 1 = T 2
Para un mismo péndulo en diferentes puntos de la Tierra sus periodos son inversamente proporcionales a las raíces cuadradas de las aceleraciones de la gravedad: T 1 = T 2
2. Análisis del movimiento pendular
t = p
Para pequeñas amplitudes del ángulo “ q ” el arco “S” es casi rectilíneo rectilíneo y se x x puede hacer que : S @ x , entonces Senq = . Luego mg = Kx y m = L L L k g
= 2 p
t = p
f =
1 T
g
L
L g
Entonces: L =
2
g t . 2 p
Si t = 1 s
L =
g p 2
Longitud de un
PROBLEMAS TIPO
k
L
g 1
Péndulo de segundo.
Sabemos que: T = 2p m
T
g 2
4. Aplicación Una de las principales aplicaciones del péndulo es para medir el tiempo, para lo cual se usa un péndulo de segundos, es decir un péndulo cuyo tiempo de oscilación simple sea de un segundo
La fig. muestra una masa “m” sujeta a una cuerda de longitud “L”. Las fuerzas que obran sobre “m” son su peso “mg” y la tensión “T” en la cuerda. El peso se descompone en F 1 y F2; F1 se anula con la Tensión T y la fuerza recuperadora es F2. Entonces : T = F1 = mg Cos q , F2 = Fr = -mg Sen q Ù Fr = - Kx Þ mg Sen q =kx
Entonces :
L1 L2
1. ¿Qué longitud debe tener un péndulo simple simple para que su frecuencia sea de 2 2 p 150 osc/min? (g = m/s ) a) 0 ,0 ,02 m b) 0,03 m c) 0,04 m d) 0,05 m e) 0,06 m
Periodo del Péndulo
2. Un péndulo simple de 8 m de longitud oscila con un período de 2 s. Si Si el periodo se duplica. ¿Cuál será la longitud del péndulo? a) 30 m b) 31 m c) 33 m d) 32 m e) 29 m
Semiperiodo
g
3. El periodo de oscilación de un péndulo simple es disminuye en un 10%, determinar su nuevo periodo. a) 5 s b) 4 s c) 3 s d) 2 s
; f = 1 g Frecuencia 2p L
35
10
s. Si su longitud e) 1 s
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 4. La frecuencia de un péndulo péndulo simple es de 6 Hertz, luego es llevado llevado a la Luna, en donde la gravedad es la sexta parte que de la Tierra. ¿Cuál es el valor de la frecuencia en la Luna en Hertz? a) 3 b) 2 c) 6 /6 d) 3 /3 e) 6
5.
5. Se tiene un péndulo en el interior de un ascensor que sube con una aceleración de 6 m/s 2. ¿Cuál es el periodo periodo del péndulo, si L = 4m y g = 10 m/s 2? a) p / 2 s b) p s c) p / 4 s d) 2 s e) 1,5 s
6.
PROBLEMAS DE MAS 1.
Hallar ar el perio periodo do de de una MAS si se sabe sabe que la relac relación ión entre entre la máxi máxima ma aceleración y su máxima velocidad es de 4 p. a) 0,8 s b) 0,4 s c) 0,5 s d) 0,2 s e) 0,6 s
3.
Una peque pequeña ña esfer esfera a tiene tiene un un MCU MCU de 10 cm cm de radio radio y gira a 20 RPS. RPS. Su Su proyección en el plano horizontal realiza oscilaciones armónicas. ¿Cuál es la velocidad máxima de dicha proyección? a) 5 p m/s b) 1 p m/s c) 3 p m/s d) 4 p m/s e) 2 p m/s
4.
a) T
b) T
c) T
d) T
e) T
11
10
8
9
12
Un siste sistema ma masa-re masa-resort sorte e oscila oscila horizon horizontal talmen mente te según según la ecuació ecuación n x = 4 Cos (2 pt) cm ¿Cuánto tiempo en segundos, demora la masa en recorrer la mitad de la distancia entre la posición inicial y la posición de equilibrio? a) 1 s
Un oscila oscilador dor armón armónico ico tiene tiene por posici posición ón en en función función del del tiempo tiempo la que que señala señala la ecuac cuació ión n x = 10 Sen Sen (20t (20t). ). Si x está stá en cm y t en s, encue ncuent ntre re la aceleración máxima. a) 4000 cm/s 2 b) 1000 cm/s 2 c) 3000 cm/s 2 d) 2000 cm/s 2 e) 400 cm/s 2
2.
Una partíc partícula ula realiz realiza a un movimie movimiento nto armón armónico ico simple simple habien habiendo do iniciado iniciado su movimiento en el instante t = 0 partiendo desde su equilibrio. ¿Qué fracción del periodo ha transcurrido en el instante en que la partícula se encuentra por primera vez a una distancia igual a la mitad de la amplitud desde su posición de equilibrio?
4
d) 1 s
8
e) 1 s
5
7
¿Despu ¿Después és de qué qué interv intervalo alo de de tiempo tiempo de empezad empezado o el MAS MAS de una una partícu partícula, la, su elongación equivale a los cuatro quintos de la amplitud de su movimiento? Se sabe que el periodo del MAS es de 54 s. Considerar que la partícula inicia su movimiento cuando su elongación es máxima. Asumir 37º = p/5. a) 5,3 s b) 5,8 s c) 5,4 s d) 6,0 s e) 5,2 s
8.
Se aplica aplica una fuerza fuerza F = 30x 30x sobre sobre un un cuerpo cuerpo de 6 kg de masa, masa, donde donde “x” “x” es la posición en metros y F se mide en Newton. Determinar si el movimiento producido es una MAS, y si lo es, calcular su período. 5
b) 1p s 5
c) 2p s 4
d) 2p s 5
e) 2p s 6
9.
Al suspen suspender der una masa masa de 2 kg de de un resorte, resorte, este este se se estira estira 10 cm. Si Si el resorte comienza a oscilar con una amplitud de 8 cm, hallar el periodo de 2 oscilación de este oscilador armónico y su energía total. (g=10 m/s ) a) 0,54 J b) 0,64 J c) 0,74 J d) 0,66 J e) 0,84 J
10.
Un bloque de 200 g de masa cuelga de un resorte ligero cuya constante de fuerza es 20 N/m. El bloque es jalado hacia abajo 10 cm a partir de su posición de equilibrio. El tiempo, en segundos, que tarda en pasar por el punto de equilibrio por primera vez luego de ser soltado es: p p s ; s 5 20 p p d) s ; s 7 20
a)
36
c) 1 s
6
7.
a) 3p s
Un siste sistema ma oscila oscila armó armónica nicamen mente te con con una frecue frecuencia ncia de de 20 Hz y una una amplitud de 4 m. Determine la ecuación del movimiento con respecto a su posición en cualquier instante “t”. Considerar una constante de fase de 30º. a) 4 Sen (20 pt + p/6) b) 4 Sen (10 pt + p/6) c) 2 Sen (20 pt + p/5) d) 4 Sen (20 pt + p/5) e) 4 Cos (20 pt + p/6)
b) 1 s
p p s ; s 4 10 p p e) s ; s 4 15
b)
c)
p p s ; s 5 15
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___
11.
a) 12.
13.
p 10
s
p b) s 4
p c) s 5
p d) s 7
π ö æ ÷m 2 ø è æ π ö 4 Senç 5t + ÷ m è 2 ø π ö æ 0 ,2 Senç10t + ÷ m 2 ø è π ö æ 4 Senç 6t + ÷ m è 2 ø æ π ö 0 ,2 Senç 5t + ÷ m è 2 ø
0 ,4 Senç10t +
Un cuerpo de 2 kg está suspendido de un resorte. Si se aplica una fuerza adicional de 10 Newton, el resorte se alarga 5 cm. ¿Cuál es el periodo si se le suelta?
b)
p e) s 8
c)
Una masa de 5 kg sometida a un MAS, realiza 3 oscilaciones por segundo. segundo. Calcular el valor de la fuerza recuperadora para una elongación de 5 cm. a) 88,5 N b) 85,7 N c) 87,7 N d) 86,7 N e) 88,7 N
d) e)
Un reloj de péndulo de 3 s de periodo periodo es llevado a una mina y se observa que se adelanta 10 s cada 10 min, su nuevo periodo es: a) 3,95 s b) 2,92 s c) 2,90 s d) 3,00 s e) 2,95 s
17.
Un péndulo simple de 2,5 m de longitud oscila con una amplitud de aproximadamente 15 cm. Calcular la velocidad en el punto más bajo de su movimiento. (g = 10 m/s 2) a) 20 cm/s b) 30 cm/s c) 25 cm/s d) 10 cm/s e) 15 cm/s
18.
Un reloj de péndulo que señala un tiempo exacto exacto en la superficie superficie terrestre donde g = 980 cm/s 2, retrasa 10 s al día en un punto (R T = 6400 km) situado sobre una montaña. Determinar la altura del punto. a) 1 km b) 2 km c) 1 km d) 4 km e) 3 km 80
14.
Un reloj de péndulo hecho en la tierra es llevado a un planeta x donde la gravedad es 4 veces mayor que en la Tierra. Después de 1 hora en la tierra el reloj en el planeta x marcará: a) 1 h b) 1 h c) 1 h d) 3 h e) 1 h 2
15.
16.
3
4
2
V=0 Liso 2 kg
80
20.
Para la ecuación ecuación de la posición en en función del tiempo, donde donde x está en cm cm y t en s, determine la amplitud y el periodo de oscilación:
æ è
a) 8 cm; p/30 s b) 10; p/10 s c) 10; p/15 s d) 5; p/30 s e) 5; p/10 s
K = 200 N/m
37
81
Para la ecuación ecuación de la posición en en función del tiempo, donde donde x está en cm y t en s, determine la amplitud y el periodo de oscilación: x = 6 Sen (20t) a) 6 cm; p/20 s b) 6; p/10 s c) 3; p/5 s d) 3; p/10 s e) 6; p/5 s
x = 10Cosç 30t +
Al bloque que se muestra, se le desplaza 40 cm hacia la derecha y se le suelta. Determine la ecuación de su movimiento, x = ?
a)
81
19.
5
Un cuerpo cuelga del extremo de un resorte y oscila verticalmente con el periodo de 2 segundos. Al aumentar la masa del cuerpo en 1,0 kg, el nuevo periodo es de 3 segundos. ¿Cuál es el valor de la masa inicial? a) 0,7 kg b) 0,4 kg c) 0,8 kg d) 0,5 kg e) 0,2 kg
81
p ö
÷
3 ø
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___
TEMA 9
Presión (P): Si sobre una superficie se aplica una fuerza, esta produce una presión que es directamente proporcional a la componente normal de la fuerza e inversamente proporcional al área de la superficie a la cual se aplica la fuerza.
MECÁNICA DE FLUIDOS
P =
F N
El término fluido se aplica a los líquidos y a los gases por la propiedad que tienen de fluir, es decir deformarse indefinidamente. Los fluidos por esta propiedad adoptan la forma del recipiente que los contienen. Los líquidos tienen volumen definido y las fuerzas de cohesión entre sus moléculas son débiles. Los gases no tienen volumen definido y tratan de ocupar el máximo volumen posible debido a la gran energía cinética de sus moléculas. Desde el punto de vista mecánico los fluidos no pueden soportar una fuerza aplicada en un punto como ocurre con los sólidos. Para que un fluido soporte una fuerza se debe aplicar por medio de una superficie. A la fuerza aplicada por medio de una superficie se le denomina presión.
Densidad ( ρ) Es la masa de un cuerpo contenida en la unidad de volumen.
ρ =
m V
La unidad SI de la densidad es el kg/m 3
å F = 0 Y
La densidad relativa ( )r de los sólidos y líquidos, es la densidad de cuerpo expresado en relación a la densidad del agua.
=
=
mg V
Pero
r =
m V
=
N m2
Þ
PA
=
P 0 A + ρ Ahg
De aquí:
P = P 0 + r gh
r Donde: P O = Presión atmosférica.
r agua
P O = 1,01 x 10 5 Pa = 1 atm (a nivel del mar)
Peso específico ( P P e) El peso específico de un cuerpo es el peso de la unidad de volumen.
P e
A
Þ P a
Variación de la presión en la profundidad profundidad En la figura se considera un líquido de densidad “ r ” en reposo reposo y abierto en la atmósfera. En el líquido se selecciona un cilindro imaginario de área de la sección A” que se extiende desde la superficie hasta una profundidad “ h”. transversal “ A La fuerza en la cara superior del cilindro es PoA, en la cara inferior PA y el peso del Vg, como el cilindro está en equilibrio se cumple: cilindro es mg = r Vg,
Donde m = masa, V = volumen
r r
La unidad SI de presión es el Pascal (Pa)
P = presión absoluta. r gh = presión que ejerce el fluido. A la diferencia P - P O se le denomina presión manométrica. Luego la presión absoluta a una profundidad “h” debajo de la superficie de un líquido abierto a la atmósfera es igual a la presión atmosférica más la presión que ejerce el líquido a dicha profundidad.
P e = r g
38
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ Principio de Pascal (Ley de Pascal) “La presión ejercida en el punto de un líquido encerrado, se transmite a todos los puntos del líquido en todas las direcciones y con el mismo valor”. Una aplicación de la ley de Pascal es la prensa hidráulica, que es un dispositivo constituido por dos cilindros y dos pistones con émbolos deslizantes, en uno de los cuales se coloca una carga que se desea elevar y en el otro (en el de menor diámetro) se aplica la fuerza correspondiente. En la hidráulica se cumple:
P 1 = P 2 P 1 F 1 A1
=
F 1 A1
=
Ù P 2 =
¿Cuál ¿Cuál es la presi presión ón total total en en atmósfe atmósferas ras a 80 80 m de profu profund ndidad idad en en el mar, mar, si un barómetro en la superficie indica 75 cm de mercurio? Considere 5 2 2 3 1 atm = 10 N/m ; g = 10 m/s ; densidad del agua de mar = 1,1 x 10 kg/m3 a) 9,82 atm b) 98,2 atm c) 14,205 atm d) 10,505 atm e) 105,05 atm
3.
Se vierte vierte cierto cierto liqui liquido do en en un tubo en U cuyas cuyas ramas ramas vertical verticales es son son exactamente de igual diámetro, luego en la rama izquierda se vierte cierta cantidad de agua y se observa que el nivel más bajo del liquido está a 38,5 cm y el superior a 41,6 cm y el nivel superior del agua está a 80,7 cm, todos ellos medidos con respecto a la parte inferior del tubo en U. ¿Cuánto vale la densidad relativa de dicho liquido? a) 9,6 b) 10,6 c) 11,6 d) 12,6 e) 13,6
4.
¿Cuál ¿Cuál es la presión presión total total sobre sobre el el fondo fondo del del cilindro cilindro most mostrado rado que tiene tiene 2 líquidos de densidades r1 y r2 con: 2r1 = r2 = 1200 kg/m 3 y 1,2b = a = 0,6 m? a) 0,94 N/cm 2 Tapa b) 9,4 N/cm 2 ρ1 a c) 9,6 N/cm 2 ρ2 d) 9,6 N/m 2 b e) 0,95 N/cm 2
F 2 A2
F 2 A2
Principio de Arquímedes (Ley de Arquímedes) “Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido estático experimenta una fuerza vertical dirigida hacia arriba, denominada empuje o fuerza de flotación cuya magnitud es igual al peso de fluido desalojado”. El Empuje (B) es la resultante de todas las fuerzas que el fluido aplica sobre el cuerpo. Empuje = Peso del fluido desalojado (
B
B = W fd
}
}
W fd )
= W fd
5.
PROBLEMAS DE MECANICA DE FLUIDOS 1.
2.
Sobre Sobre una plata plataform forma a actúa actúa una una fuerza fuerza unifo uniformeme rmemente nte dist distribu ribuida ida de 100 N tal como se muestra en la figura. Determine la presión que se ejerce sobre el 2 piso si la plataforma pesa 80 N y tiene un área de 40 cm . a) 6 x 10 4 Pa b) 8 x 10 4 Pa 37° F c) 12 x 10 4 Pa 4 d) 4 x 10 Pa e) 7 x 10 4 Pa
39
Respec Respecto to al princ principio ipio de de Pasca Pascal,l, indique indique verdad verdadero ero (V) (V) o falso falso (F) (F) las siguientes proposiciones: I. El Principio de Pascal no es aplicable aplicable a los gases II. En la prensa hidráulica, la presión es directamente proporcional al tamaño de las áreas de sus émbolos III. El Principio de Pascal es es aplicable solo en en fluidos incompresibles a) VVV b) FFF c) VFV d) FVF e) FVV
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 6.
Un tubo tubo en en U de ramas igua iguales les cont contiene iene mercurio. mercurio. ¿Qué ¿Qué altura altura de agua agua se se debe verter en una de las ramas para que el mercurio en la otra rama se 3 eleve en 1 mm?. La densidad del mercurio es 13,6 g/cm . a) 27,2 mm b) 29,2 mm c) 31,2 mm d) 33,2 mm e) 35,2 mm
7.
¿Qué peso peso contien contiene e un depó depósito sito de de vidrio vidrio que que al flotar flotar en en agua agua desalo desaloja ja 0,04 m 3 de éste líquido, se sabe que el depósito vacío pesa 230 N? (g = 10 m/s2) a) 140 N b) 150 N c) 160 N d) 170 N e) 180 N
8.
La figura figura muestra muestra un un pedaz pedazo o de mader madera a flotan flotando do en el agua: agua: Si el sistema stema se acelera hacia arriba, el volumen sumergido del pedazo de madera: a) Disminuye b) Aumenta c) Permanece constante d) Aumenta o disminuye e) Falta información
9.
¿Con qué acelera aceleración ción ascie asciende nde una gota de agua agua en en un recipie recipiente nte de mercurio? (g = 10 m/s 2) 2 2 2 2 a) 116 m/s b) 126 m/s c) 136 m/s d) 146 m/s e) 100 m/s 2
10.
Un cuerpo pesa 1,2 1,2 kg y reposa dentro de un fluido ( r = 0,8 g/cm 3) y ocupa un volumen de 500 cm 3. Halle la deformación del resorte si K = 10 N/cm. a) 0,8 cm b) 0,8 m c) 8 cm d) 0,5 cm e) 0,5 m
40
11.
Dos esferas de igual volumen tiene pesos de 30 N y 70 N, se encuentran en estado de flotación unidos mediante un resorte (K = 10 N/cm). Halle la deformación del muelle. a) 2 cm b) 3 cm c) 4 cm d) 5 cm e) 1 cm
12.
Un oso polar que pesa 770 kg flota sobre un trozo de hielo, conforme el el hielo se derrite, ¿Cuál será el volumen mínimo de hielo a fin de que el oso polar no se moje las garras? Considere que la densidad relativa del agua salada es 1,03 y la densidad relativa del hielo es 0,92. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
13.
Un trozo de madera flota en en un líquido de densidad D manteniendo 2/3 de su volumen sumergido en el líquido. Determine la densidad del trozo de madera a) 3D/2 b) D/3 c) 2D/3 d) 3D e) D
14.
Un objeto pesa en el aire 20 N y sumergido completamente en en el agua 5 N. ¿Cuál es su densidad en g/cm 3? a) 1/4 b) 1/2 c) 3/4 d) 4/3 e) 4
15.
Los cuerpos de la figura tienen dimensiones a, b y C, y la misma sección transversal “axb”. Sus densidades se relacionan mediante: r1 = r2 = 2r3 < rAGUA. Si estos cuerpos se dejan flotar en el agua (con el lado C vertical), vertical), la relación entre entre los volúmenes sumergidos sumergidos V 1, V2 y V3 respectivamente, es: a) V1 > V2 > V3 b) V1 > V3 > V2 3 1 c) V1 = V2 > V3 C = 2L C = 2L 2 C=L d) V1 = V2 = V3 e) V1 > V2 = V3
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 16.
Una esfera esfera homogénea de volumen “V” flota en el límite de dos líquidos que no se mezclan entre sí. La densidad del líquido superior es “ r1” y la del líquido inferior es igual a “ r2”. La densidad de la esfera es “ r” y además se cumple que r1 < r < r2. ¿Qué parte del volumen de la esfera está en el líquido superior? a) r 2 b) r 1 c) r 2 - r r - r 1 r - r 2 r 2 - r 1 r 1 - r r - r 1 d) e) r 1 - r 2 r 2 - r 1
17.
Se muestra un un cilindro de base “b” flotando en un líquido de peso específico “g”. Halle el trabajo para hundir lentamente el cubo a ras del nivel libre del líquido. a) 0,5 g b h 2 h b) g b h 2 c) 2 g b h 2 d) 3 g b h 2 e) 4 g b h 2
20.
TEMA 10
}
18.
TEMPERATURA Temperatura: La temperatura es una magnitud escalar que indica de manera directa el grado de movilidad de las moléculas de un cuerpo, es decir, que la temperatura de un cuerpo está relacionada con la energía cinética promedio por molécula. Termómetros Son instrumentos que sirven para definir y medir la temperatura de un sistema. El tipo más común de termómetro, es el de mercurio. Este termómetro está basado en que el cambio de temperatura produce cambios en los volúmenes del mercurio y del vidrio; pero debido a que la dilatación del mercurio es mayor que la del vidrio se produce una variación en la longitud de la columna liquida, la cual sirve para medir la temperatura. Escala centígrada o Celsius Esta escala termométrica se construye en base a dos puntos fijos que son el punto de fusión del hielo y el punto de ebullición del agua a la presión atmosférica normal de (P 0 = 1,01 ´ 105 Pa = 1 atmósfera). Al punto de fusión del hielo se le atribuye la temperatura de 0 oC y al punto de ebullición del agua 100 oC, luego se divide el intervalo entre estos puntos en 100 pequeños intervalos iguales correspondiendo a cada uno 1 oC, después esta graduación se extiende por debajo de 0 oC y por encima de 100 oC.
Una prensa hidráulica es accionada mediante una palanca como como se indica en la figura. Hallar la fuerza “P” con la condición que la carga Q = 3000 N se pueda elevar con velocidad constante. Además se cumple que A 2 = 10 A1; a = 3b. a) 70 N P
b) 80 N c) 50 N
a
b
Q
d) 75 N e) 60 N 19.
Un bloque de masa “m” y densidad 0,5 g/cm 3 es abandonado sobre el plano inclinado. Despreciando toda forma de rozamiento, determinar la aceleración del bloque si q = 37° y g = 10 m/s 2. θ a) 4 m/s2 2 b) 5 m/s c) 6 m/s2 m d) 7 m/s2 e) 8 m/s2
La figura muestra una esfera de volumen 2 litros y densidad densidad 0,4 g/cm 3 sumergido totalmente en el agua por acción de la cuerda PQ. Determine la tensión en dicha cuerda. (g = 10m/s 2) a) 6 N b) 8 N c) 10 N P d) 12 N e) 9 N Q
41
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ Escala Kelvin o escala absoluta centígrada En esta escala su cero corresponde al llamado cero absoluto ( -273 oC) que es aquella temperatura en la cual la energía cinética promedio por molécula es igual a cero, y cuyos intervalos de 1 o son iguales a los de la escala centígrada la unidad de temperatura en esta escala se denomina Kelvin (K) y se tiene que 1 K = 1 oC. El segmento gráfico muestra la relación entre las escalas Kelvin y Centígrada:
a = Coeficiente de dilatación lineal Si en la ecuación D L = Li a DT se reemplaza D L = L f - Li se obtiene: L F = Li (1 + a ∆T ) a es oC -1 ó K-1 La unidad de a es Dilatación superficial Es el cambio de área que experimentan aquellos cuerpos en las cuales dos de sus dimensiones son las principales, debido a cambios de temperatura. En la dilatación superficial se cumple:
D A = Ai b DT Donde:
D A = A f - Ai
Ti
Para convertir grados centígrados a Kelvin se usa la relación T K = T C + 273 ;
D A = Cambio de Área A f = Área final
donde T K = temperatura en Kelvin y T C = temperatura en oC. La relación para las conversiones entre las diferentes unidades es:
°C 5
=
= Área inicial ΔΤ = T f - T i (Cambio de temperatura) b = Coeficiente de dilatación superficial y b = 2a Si en la ecuación D A = Ai b DT se reemplaza Δ A = A f - Ai se obtiene: Ai
K - 273 ° F - 32 = 5 9
Tf
Dilatación lineal Es el cambio de longitud que experimentan los cuerpos lineales al producirse cambios en su temperatura. Experimentalmente se demuestra que el cambio de longitud (D L) es proporcional al cambio de temperatura (DT ) y a la longitud
A F = Ai (1+ β (1+ β ∆T) ∆T)
inicial Li o sea: D L = Li a DT
Dilatación cúbica o volumétrica Es el cambio de volumen que experimentan aquellos cuerpos en los cuales sus tres dimensiones son las principales, debido a los cambios de temperatura. Los líquidos y gases se dilatan volumétricamente.
Donde:
D L = L f - Li (Cambio de longitud) L f = Longitud final Li = Longitud inicial ΔΤ = T f - T i (Cambio de temperatura) Τ f = Temperatura final Τ i = Temperatura inicial
Se verifica que
DV = V i g DT , Donde DV = V f - V i
DV = Cambio de Volumen Ti
42
= Volumen final V f = Volumen inicial DT = T f - T i (Cambio de temperatura)
V f
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___
Tf
g = Coeficiente de dilatación cúbica o volumétrica g = 3a Si la ecuación
DV = V i g DT
4o Para n y V constantes:
se reemplaza en
P nR P P = = K Þ i = f T V T i T f
DV = V f - V i se obtiene V F = V i (1+ γ ∆T) ∆T) PROBLEMAS
Ecuación de estado del gas ideal Se considera un gas de masa “m” confinado en un recipiente de volumen “V” a una presión “P” y temperatura absoluta Kelvin “T”. Una ecuación que interrelaciona estas cantidades se denominan ecuación de estado. Un gas de baja densidad recibe el nombre de gas ideal. La mayoría de gases a la temperatura ambiente y a la presión atmosférica se comportan como gases ideales. La ecuación de estado del gas ideal se expresa como: PV=nRT Donde: P = presión, V = volumen, T = temperatura absoluta (Kelvin), n = número de moles, n =
m M
1.
Un termó termómetr metro o con escala escala arbit arbitraria raria tiene tiene como como punto punto de de fusión fusión del hielo hielo -20o y como punto de ebullición del agua 180 o, cuando en este termómetro se lee 60 o ¿Cuánto vale dicha temperatura en la escala centígrada y en la de Kelvin? a) 30oC, 303 K b) 20oC, 293 K c) 40oC, 313 K o o d) 10 C, 283 K e) 50 C, 323 K
2.
Se cons construye truyen n dos dos escalas escalas termomé termométric tricas as A y B de tal tal mane manera ra que que 304 304 oA o o o equivalen a 60 B y –40 B corresponden a 4 A. Encontrar: a) Una fórmula de conversión de B a A y b) La temperatura en la que la lectura de ambas escalas es la misma. a) A = 3B + 124; –62 o b) A = 3B – 124; 62o c) A = 2B + 4; -4o d) A = 4B + 15; -5o e) A = 3B + 120; -60o
3.
Determ Determinar inar el el increme incremento nto de de temper temperatur atura a de las barra barrass A y B para para que que sus sus extremos se junten ( a A = 2 ´ 10 -3 °C -1 , a B = 1 ´ 10 -3 °C -1 ). Suponer que únicamente se dilatan las barras. a) 50 oC b) 100 oC c) 150 oC d) 125 oC e) 25 oC
4.
Un vas vaso o de vidrio vidrio cuya cuya cap capac acida idad d es es de 1000 1000 cm cm 3 se encuentra completamente lleno de mercurio a 0 oC. Cuando el vaso y mercurio se calientan a 100 oC se derrama 15,5 cm 3 de mercurio. Si el coeficiente de dilatación lineal del vidrio es 9 ´ 10 -6 oC-1, hallar el coeficiente de dilatación cúbica del mercurio. a) 15,5 ´ 10 -5 °C-1 b) 16,5 ´ 10-5 °C -1 c) 18, 2 ´ 10-5 °C -1
donde: m = masa molar, M = masa que se expresa expresa gramo por mol
(g/mol) o kilogramo por mol (kg/mol), R = constante universal de los gases. En el SI:
R = 8,31
J mol K
Si la presión se expresa en atmósferas ( atm) y el volumen en litros ( l ): ):
R = 0 ,082
atm l mol K
De la ecuación de estado del gas ideal se define: 1o Para n constante:
P V T
= nR = K Þ
P iV i P f V f = T i T f
2o Para n y T constantes: PV = nRT = K Þ P iV i = P f V f 3o Para n y P constantes:
V nR V V = = K Þ i = f T T T i T f
d) 16,3 ´ 10 -5 °C -1
43
e) 12,2 ´ 10-5 °C-1
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 5.
Un recipi recipient ente e contie contiene ne hidró hidrógen geno o a la presi presión ón de 2 atm y a la temper temperatur atura a de 300 K. Si el volumen del recipiente es 200 cm 3, determinar la masa de hidrógeno contenida en el recipiente (M = 2g /mol). Usar R = 0,08 a) 0,02 g
6.
b) 0,03 g
c) 0,04 g
d) 0,05 g
III. El cero absoluto, es la temperatura de una quietud molecular absoluta a) VVV b) FFF c) VFV d) FVF e) FFV
atm l mol K
5.
Un termóme termómetro tro de de mercur mercurio io tiene tiene una una esca escala la que que marca marca 0ºX 0ºX cuan cuando do la la temperatura es de -20ºC y marca 240ºX, para 100ºC ¿Cuántos ºX corresponde a 37ºC? a) 37° b) 57° c) 114° d) 740° e) 94°
6.
Un termó termómet metro ro con escala escala arbitra arbitraria ria tiene tiene como punto punto de ebullici ebullición ón del agua agua 130º y como punto de fusión del agua –40º, cuando con este termómetro se mide la temperatura de un cuerpo da como resultado 55º ¿Cuál es esta temperatura en ºC? a) 55,8°C b) 35,5°C c) 46,6°C d) 78,6°C e) 32,3°C
7.
Halla Hallarr a cua cuanto ntoss grad grados os ºM ºM equ equiva ivale len n 60ºA 60ºA en en el gráfico mostrado: a) 160 b) 99,3 c) 210 d) 240 e) 280
e) 0,01 g
Una masa de helio ocupa un volumen de 240 cm 3 en determinadas condiciones. Si su presión se triplica y su temperatura Kelvin se reduce a la mitad, ¿Cuál es el nuevo volumen? a) 10 cm3 b) 20 cm3 c) 30 cm 3 d) 40 cm3 e) 50 cm3
PROBLEMAS SOBRE TEMPERATURA 1.
2.
3.
4.
Señale (V) si es verdadero o (F) si es falso: I. La temperatura es una medida de la energía total cinética de traslaci ón de las moléculas de una sustancia II. A mayor altitud disminuye la temperatura de ebullición ebullición de los líquidos III. La temperatura de un cuerpo es independiente de su masa porque solo depende de la velocidad y la masa de cada una de sus moléculas a) FFF b) VVV c) VVF d) FVV e) VFV Señale (V) si es verdadero o (F) si es falso: I. El gradiente vertical vertical de temperatura temperatura se registra en en la TROPOSFERA II. Hay el doble de energía cinética molecular en 2 kg de agua hirviente hirviente que en 1 kg III. Un alumno CEPRUNSA, pone 1 kg de agua durante cierto tiempo sobre una llama y su temperatura aumenta 2ºC. Si pone 2 kg de agua durante el mismo tiempo sobre la misma llama, su temperatura solo aumentara 1ºC a) FVF b) FVV c) VVV d) FFF e) FFV
8.
3
2
b) 4 °L c) 7 °L æ 2 ö d) log çç ÷÷ °L è 3 ø e) 26 °L
Señale (V) si es verdadero o (F) si es falso: I. La temperatura, mide el grado de agitación agitación molecular de un cuerpo cuerpo II. La unidad de la temperatura en el SI es el el KELVIN
44
°A
300
360
500
α
160
200
40
-20
β
°
°
°
3d
q
d
log8 (T +1)
b
1
2
0
°L
-1
9.
°I
Hallar Hallar la temp tempera eratura tura T, T, en el el sistema sistema de de escala escalass creado creado por por los espe especiali cialistas stas de Física del CEPRUNSA. L E Y a)
Señale (V) si es verdadero o (F) si es falso: I. Un cambio de temperatura de 1ºC es mayor que un cambio de temperatura de 1ºF II. Cuando la temperatura temperatura en la escala escala Celsius es igual a la temperatura en la escala Fahrenheit, se tiene una temperatura de 233 K. III. El agua puede hervir a 0ºC a) FVF b) FFV c) FVV d) VVV e) FFF
°M
2
0
h
Cuando Cuando aume aumenta nta la la temper temperatu atura ra de una una sustan sustancia cia,, sus molé molécula culass o átomos átomos se mueven con más rapidez y en promedio, se alejan entre sí. El resultado es: a) Una dilatación b) Una fricción c) Una fuerza cualquiera d) Una presión e) Una iluminación
_________________________________________________________________FÍ _____________________________________ ____________________________FÍSICA_____________ SICA___________________________________________ _______________________________________________________ _________________________ ___ 10.
11.
Señale (V) si es verdadero o (F) si es falso: I. El vidrio PYREX se dilata aproximadamente la tercera parte que el vidrio ordinario al aumentar la temperatura II. El avión supersónico CONCORDE es 20 cm más largo cuando está en vuelo III. El agua al calentarse de 0ºC a 4ºC, su volumen disminuye a) FFV b) VVF c) VVV d) FFF e) FVF
a) b) c) d) e)
Si una varilla aumenta su temperatura en en 100ºC ¿En qué porcentaje aumenta aumenta su longitud? ( aVARILLA = 5 x 10 -5 °C -1) a) 0,2% b) 0,3% c) 0,4% d) 0,5% e) 0,6%
12.
Cuando la temperatura de un alambre se eleva en 200ºC se alarga en 2%. 2%. Halle el coeficiente de dilatación lineal del alambre en º C. a) 10 -4 b) 10 -6 c) 10 -8 d) 2 x 10 -4 e) 3 x 10 -3
13.
Una varilla de cobre a 4ºC tiene la misma longitud que una varilla varilla de aluminio a 8ºC. Hallar la temperatura final a la cual ambas tendrán la misma longitud final. ( aCu = 10 x 10 -5 °C -1 y aAl = 15 x 10 -5 °C -1) a) 7°C b) 9°C c) 16°C d) 20°C e) 26°C
14.
Se instalan rieles de acero ( a = 1,2 x 10 -5 °C -1) de 100 m de longitud cuando la temperatura es 10ºC. Si la máxima temperatura que se espera es de 30ºC. ¿Cuál debe ser el espacio entre los rieles? a) 0,024 ,024 m b) 0,012 ,012 m c) 0,00 0,009 9m d) 0,06 ,06 m e) 0,12 0,12 m
15.
Se construye un cubo de lado a = 10 cm, con varillas metálicas de tal manera que ante un cambio de temperatura de 100ºC su volumen aumenta en 1/8, respecto al volumen correspondiente a la temperatura inicial. Hallar “ g” de las varillas en 1/ºC. a) 1/8 b) 3/8 c) 1/24 d) 1/240 e) 1/2400
16.
Un recipiente de volumen interno Vo tiene sus paredes de un material de coeficiente de dilatación lineal α, el cual contiene un liquido al tope, de coeficiente de dilatación lineal 2 α. Hallar el incremento de temperatura del sistema para que se derrame el 1% del volumen líquido.
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1 100α 100α 1 200α 200α 1 300α 300α 1 400α 400α 1 500α 500α
17.
La placa cuadrilátera mostrada, al ser calentada en 200ºC, aumenta su superficie en 0,0272 cm 2. Halle el aumento porcentual de su superficie. (a placa es desconocido) a) 0,14% b) 0,68% c) 1,73% d) 2,01% e) 2,14%
18.
En el el diagrama se muestra la longitud de una barra versus su temperatura. temperatura. Halle el coeficiente de dilatación lineal de la barra. Considere que tan 2° = 0,035. L (m) a) 2 x 10 -4 °C -1 -4 -1 b) 3 x 10 °C 2° 70 c) 4 x 10 -4 °C -1 d) 5 x 10 -4 °C -1 T (°C) e) 6 x 10 -4 °C -1