9.33. Al montar una bicicleta de varias velocidades, el ciclista puede seleccionar el radio de la rueda dentada trasera, que está fija al eje trasero. La rueda dentada delantera tiene 12.0 cm de radio. Si la rapidez angular de la rueda dentada delantera es de 0.600 rev/s, ¿qué radio tiene la rueda dentada trasera con la que la rapidez tangencial de un punto en el borde del neumático trasero es de 5.00 m/s? El neumático tiene 0.330 m de radio.
v =rw
v 5.00m/ s w= = =15.15 rad /s r 0.330 m w 2=0.600 rev /s=3.77 rad /s r=r 2
( ww )=2.99 cm 2
(
v =( 2.99∗10−2 m ) 15.15
rad =0.453 m/ s s
)
La velocidad lineal de la bicicleta es 5,50 m / s. 9.34. Cuatro esferas pequeñas, que pueden considerarse como puntos con masa de 0.200 kg cada una, están dispuestas en un cuadrado de 0.400 m de lado, conectadas por varillas muy ligeras (figura 9.29). Calcule el momento de inercia del sistema alrededor de un eje a) que pasa por el centro del cuadrado, perpendicular a su plano (que pasa por O en la figura); b) que biseca el cuadrado (pasa por la línea AB en la figura); c) que pasa por los centros de las esferas superior izquierda e inferior derecha y por el punto O. a)
r= √ ( 0.200 m ) + ( 0.200 m ) =0.2828 m 2
2
I =∑ m r 2=4 ( 0.200 kg ) ( 0.2828 m )2 =0.0640 kg ∙ m2 b)
r=0.200 m
I =∑ m r 2=4 ( 0.200 kg ) ( 0.200 m )2 =0.0320 kg ∙ m2 c)
r=0.2828m
I =∑ m r 2=2 ( 0.200 kg ) ( 0.2828 m )2 =0.0320 kg ∙ m2 9.35. Calcule el momento de inercia de cada uno de los siguientes objetos uniformes en torno a los ejes indicados. Consulte la tabla 9.2 si lo requiere. a) Una varilla delgada de 2.50 kg con longitud de 75.0 cm, alrededor de un eje perpendicular a ella y que pasa por i) un extremo, ii) su centro y iii) alrededor de un eje paralelo a la varilla y que pasa por ella. b) Una esfera de 3.00 kg con diámetro de 38.0 cm, alrededor de un eje que pasa por su centro, si la esfera i) es sólida y ii) es un caparazón hueco de pared delgada. c) Un cilindro de 8.00 kg con longitud de 19.5 cm y diámetro de 12.0 cm,
alrededor del eje central de un cilindro, si el cilindro es i) hueco de pared delgada y ii) sólido. a) i)
1 1 I = M L2= ( 2.50 kg ) ( 0.750 m)2=0.469 kg ∙m2 3 3
ii)
I=
1 1 M L2= (0.469 kg ∙m2 )=0.117 kg ∙ m2 12 4
iii) Para una varilla muy delgada, toda la masa es en el eje y
I =0
b) i)
2 2 2 2 2 I = M R = ( 3.00 kg ) ( 0.190 m) =0.0433 kg ∙ m 5 5
ii)
2 5 2 2 2 I = M R = ( 0.0433 kg ∙ m ) =0.0722 kg ∙ m 3 3
c) i)
I =M R2 =( 8.00 kg ) ( 0.0600 m )2=0.0288 kg ∙ m2 ii)
1 1 I = M R2= ( 8.00 kg ) ( 0.0600 m)2=0.0144 kg ∙ m2 2 2
9.36. Bloques pequeños de masa m están sujetos en los extremos y el centro de una varilla ligera de longitud L y masa despreciable. Calcule el momento de inercia del sistema alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por a) el centro y b) un punto a un cuarto de su longitud.
I =mr
2
a)
1 I =2 m(L /2)2= m L2 2
b) 2
2
I =2 m(L / 4) +m(3 L/4) =
1 11 2 2 m L ( 2+9 )= m L 16 16
9.37. Dos esferas pequeñas están pegadas a los extremos de una barra uniforme de 2.00 m de longitud y masa de 4.00 kg. Las esferas tienen masa de 0.500 kg cada una y se pueden tratar como masas puntuales. Calcule el momento de inercia de esta combinación en torno a cada uno de los ejes siguientes: a) un eje perpendicular a la barra que pasa por su centro; b) un eje perpendicular a la barra que pasa por una de las esferas; c) un eje paralelo a la barra que pasa por ambas esferas; d) un eje paralelo a la barra que está a 0.500 m de ella. a)
I =I ba + I es = I=
1 L M ba L2 +2 mes 12 2
2
()
1 ( 4.00 kg )( 2.00 m )2+ 2 ( 0.500 kg )( 1.00 m )2=2.33 kg ∙ m2 12
b)
1 1 I = mba L2 +mes L2= ( 4.00 kg )( 2.00 m )2 + ( 0.500 kg )( 2.00 m )2=7.33 kg ∙ m2 3 3
c)
I =0
d)
I =mba d 2 +2 m es d 2=M tot d 2= (5 . 00 kg )( 0.500 m )2=1.25 kg ∙ m2 9.38. El bastón de una bastonera es un cilindro metálico delgado de masa M y longitud L. Cada extremo tiene una tapa de hule de masa m, que puede tratarse como partícula en este problema. Calcule el momento de inercia total del bastón alrededor del eje de giro usual (perpendicular al bastón y por su centro).
I =I rod+ 2 I cap
I=
1 1 1 ML ²+2(m)(L /2)²=( M + m) L ² 12 12 2
9.39. Una rueda de carreta (figura 9.30) tiene un radio de 0.300 m y la masa de su borde es de 1.40 kg. Cada rayo, que está sobre un diámetro y tiene 0.300 m de longitud, tiene una masa de 0.280 kg. ¿Qué momento de inercia tiene la rueda alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular a su plano? (Use las fórmulas de la tabla 9.2.)
I =MR ²=(1.40 kg )( 0.300 m) ²=0.126 kg ⋅m ² 1 8 I 2 =8( M L2)= (0.280 kg)(0.300 m)²=0.0672 kg ⋅m ² 3 3 I =I + I 2=0.126 kg ⋅m²+ 0.0672 kg ⋅m²=0.193 kg ⋅ m² m R ²=(3.64 kg)(0.300 m)²=0.328 kg ⋅ m ² 9.40. Un disco uniforme con radio R se corta a la mitad de manera que la mitad que queda tiene masa M (figura 9.31a). a) ¿Cuál es el momento de inercia de esta mitad alrededor de un eje perpendicular a su plano por el punto A? b) ¿Por qué su respuesta al inciso a) resultó igual que si se tratara de un disco completo de masa M? c) ¿Cuál sería el momento de inercia de un cuarto del disco de masa M y radio R alrededor de un eje perpendicular a su plano que pasa por el punto B (figura 9.31b)? a)
1 I = (2 M ) R ²=MR ² 2
b) La misma masa M se distribuye de la misma manera como una función
de la distancia desde el eje. c)
1 1 1 I = ( [2 M ]R ²)= MR ² 2 2 2 10.41. Los brazos estirados de un patinador que prepara un giro pueden considerarse como una varilla delgada que pivotea sobre un eje que pasa por su centro (figura 10.49). Cuando los brazos se juntan al cuerpo para ejecutar el giro, se pueden considerar como un cilindro hueco de pared delgada. Los brazos y las manos tienen una masa combinada de 8.0 kg; estirados, abarcan 1.8 m; y encogidos, forman un cilindro con 25 cm de radio. El momento de inercia del resto del cuerpo alrededor del eje de rotación es constante e igual a 0.40 kg∙m². Si la rapidez angular original del patinador es de 0.40 rev/s, ¿cuál es la rapidez angular final?
10.42. Una clavadista sale del trampolín con los brazos hacia arriba y las piernas hacia abajo, lo que le confiere un momento de inercia alrededor de su eje de rotación de 18 kg∙m². Luego, ella forma una pequeña bola, reduciendo su momento de inercia a 3.6 kg∙m² y gira dos revoluciones completas en 1.0 s. Si no se hubiera encogido, ¿cuántas revoluciones habría girado en los 1.5 s que tarda en caer desde el trampolín al agua? El número de revoluciones se hace en un momento determinado es proporcional a su velocidad angular. La velocidad angular escondido está (3.6 kg ⋅ m²) / (18 kg ⋅ m²). Si se hubiera metido, habría hecho (2 rev) (3.6 kg ⋅ m²) (18 kg ⋅ m²) = 0.40 rev en el último 1.0 s, por lo que habría hecho (0.40 rev) (1.5/1.0) = 0.60 rev en el total de 1.5 s. 10.43. Una tornamesa de madera de 120 kg con forma de disco plano tiene 2.00 m de radio y gira inicialmente alrededor de un eje vertical, que pasa por su centro, a 3.00 rad/s. De repente, un paracaidista de 70.0 kg se posa suavemente sobre la tornamesa en un punto cerca del borde. a) Calcule la rapidez angular de la tornamesa después de que el paracaidista se posa en ella. (Suponga que puede tratarse al paracaidista como partícula.) b) Calcule la energía cinética del sistema antes y después de la llegada del paracaidista. ¿Por qué no son iguales estas energías?
10.44. Una puerta de madera sólida de 1.00 m de ancho y 2.00 m de alto tiene las bisagras en un lado y una masa total de 40.0 kg. La puerta, que
inicialmente está abierta y en reposo, es golpeada en su centro por un puñado de lodo pegajoso con masa de 0.500 kg, que viaja en dirección perpendicular a la puerta a 12.0 m/s justo antes del impacto. Calcule la rapidez angular final de la puerta. ¿Es apreciable la aportación del lodo al momento de inercia?
Haciendo caso omiso de la masa del lodo en el denominador de la expresión anterior da ω = 0.225 rad s, por lo que la masa del lodo en el momento de inercia no afecta a la tercera cifra significativa. 10.45. Un bicho de 10.0 g está parado en el extremo de una barra delgada uniforme que inicialmente está en reposo en una mesa horizontal lisa. El otro extremo de la barra pivotea en torno a un clavo incrustado en la mesa, y puede girar libremente sin fricción. La masa de la barra es de 50.0 g, y su longitud de 100 cm. El bicho salta en dirección horizontal, perpendicular a la barra, con rapidez de 20.0 cm/s relativa a la mesa. a) Calcule la rapidez angular de la barra inmediatamente después del salto del insecto retozón. b) Calcule la energía cinética total del sistema inmediatamente después del salto. c) ¿De dónde proviene la energía? a)
10.46. Suponga que un asteroide que viaja en línea recta hacia el centro de la Tierra fuera a estrellarse contra nuestro planeta en el ecuador y se incrustaría apenas por debajo de la superficie. En términos de la masa terrestre M, ¿cuál tendría que ser la masa de dicho asteroide para el día que se vuelva 25.0% más grande de lo que actualmente es como resultado del choque? Suponga que el asteroide es muy pequeño en comparación con la Tierra y que ésta es un todo uniforme.
10.47. Una barra metálica delgada y uniforme, de 2.00 m de longitud y con un peso de 90.0 N, cuelga verticalmente del techo en un pivote sin fricción colocado en el extremo superior. De repente, una pelota de 3.00 kg, que viaja inicialmente a 10.0 m/s en dirección horizontal, golpea la barra 1.50 m abajo del techo. La pelota rebota en dirección opuesta con rapidez de 6.00 m/s. a) Calcule la rapidez angular de la barra inmediatamente después del choque. b) Durante el choque, ¿por qué se conserva el momento angular pero no el momento lineal?
(b) No hay pares desequilibrados sobre el pivote, por lo momento angular se conserva. Pero el pivote ejerce una desequilibrada fuerza externa horizontal en el sistema, por lo que el momento lineal no se conserva. 10.48. Dibuje una vista superior del giróscopo de la figura 10.32. a) Dibuje flechas rotuladas para
ω , ⃗L , ⃗τ ⃗
y Dibuje
d⃗ L
producido por
⃗τ . Dibuje
⃗L +d ⃗ L . Determine el sentido de precesión examinando las direcciones de ⃗L ⃗ ⃗ y L +d L . b) Invierta la dirección de la velocidad angular del rotor y repita todos los pasos del inciso a). c) Mueva el pivote al otro extremo del eje, con la misma dirección de velocidad angular que en el inciso b), y repita todos los pasos. d) Con el pivote como en el inciso c), invierta la velocidad angular del rotor y repita todos los pasos.
10.49. El rotor (volante) de un giróscopo de juguete tiene una masa de 0.140 kg. Su momento de inercia alrededor de su eje es 1.20 ×
−4
10
kg ·
m2. La masa del marco es de 0.0250 kg. El giróscopo se apoya en un solo pivote (figura 10.50) con su centro de masa a una distancia horizontal de 4.00 cm del pivote. El giróscopo precesa en un plano horizontal a razón de una revolución cada 2.20 s. a) Calcule la fuerza hacia arriba ejercida por el pivote. b) Calcule la rapidez angular en rpm con que el rotor gira sobre su eje. c) Copie el diagrama e indique con vectores el momento angular del rotor y la torca que actúa sobre él.
(c) Si la cifra en el problema se ve desde arriba, precesión y
⃗L
⃗τ
es en la dirección de la
es a lo largo del eje del rotor, lejos del pivote.