Física III Discusión N° 11 SOLUCION Biot-Savart y Ley de Ampère
PREGUNTAS. 1. Dos alambres fijos se cruzan entre sí perpendicularmente de modo que no se tocan en realidad, pero están cerca uno del otro, como se muestra en la figura 1. En cada alambre existen corrientes iguales i en las direcciones indicadas. ¿En qué región o regiones habrá un campo magnético neto cero nulo? [Pregunta 9.17 del Problemario de Física III].
Figura 1. Dos cables se cruzan perpendicularmente sin tocarse.
Utilizando la regla de mano derecha, puede obtenerse la dirección en que circulará el campo magnético
Figura 2. Regla de la mano derecha.
1
De modo que los campos para cada cable quedan del modo que se muestra en la figura 3.
Figura 3. Campos magnéticos para los cables según su orientación y sentido de corriente.
De forma más conveniente el campo se visualiza del modo que se muestra en la figura 4:
Figura 4. Campos magnéticos para los cables según su orientación y sentido de corriente.
Al combinar ambos campos estos se combinan del modo que se muestra en la figura 5.
2
Figura 5. Campos magnéticos para los cables cruzados. El campo sigue sentidos opuestos en las regiones II y IV, por lo que en estas regiones puede existir un campo neto nulo.
El campo magnético es igual a cero en las regiones de los cuadrantes II y IV, de forma más específica puede decirse que ⃑ se hace cero en los puntos sobre la diagonal (donde la distancia medida perpendicularmente a los cables es la misma) puesto que en estos puntos es donde las distancias entre los dos cables son iguales y de acuerdo a la ecuación: ̂
⃑
La magnitud será la misma, pero como se ha analizado anteriormente, el sentido del campo es opuesto, por lo que en estos puntos con seguridad el campo resultante será cero.
3
2. Se envía una corriente por un resorte conductor. El resorte se contrae como si lo hubieran comprimido. ¿Por qué? [Pregunta 9.13 del Problemario de Física III].
Figura 6. Corriente que pasa por un alambre en forma de resorte.
Para esta pregunta la respuesta puede provenir de diferentes análisis. Primero, y más sencillo, puede observarse que para cada espira (tramo en que el resorte da una vuelta completa), las espiras adyacentes llevan en todo punto el mismo sentido de la corriente, de modo que en equivalente existen N espiras cuyas corrientes van en la misma dirección. Gracias a los experimentos realizados se sabe que dos cables con corrientes que van en el mismo sentido sienten una fuerza de atracción. Esta fuerza de atracción hace que el resorte se comprima. También puede analizarse el campo magnético generado por una espira y encontrar la fuerza que sienten las espiras adyacentes (similar al ejercicio 1, con la salvedad que en este caso todas las corrientes van en el mismo sentido. El análisis de las fuerzas debe dejar en evidencia que todas las espitas se atraen entre sí.
4
3. Dos solenoides largos están uno dentro del otro sobre el mismo eje, como se muestra en la figura 7. Conducen corrientes idénticas pero en direcciones opuestas. Si no existe campo magnético dentro del solenoide interior a. ¿A qué puede decir con respecto a n, el número de vueltas de espira por unidad de longitud en los dos solenoides? b. ¿Cuáles de ellos, si alguno, tiene el valor más grande (de campo magnético)? [Pregunta P9.24 del Problemario de Física III].
Figura 7. Dos solenoides concéntricos.
Sabemos que B=µ0ni, en tanto que n=N/L. Y utilizando la regla de la mano derecha mostrada en la figura 8 se conoce que el sentido del campo magnético del solenoide pequeño es hacia la derecha. Mientras que el sentido del campo magnético del solenoide más grande es hacia la izquierda. Además se sabe, debido a la expresión del campo magnético antes presentada, que el campo es uniforme en el interior del solenoide. Tomando en cuenta lo antes dicho, el hecho que el campo magnético neto sea cero en el interior del solenoide pequeño, deberá atribuirse a que, puesto que los sentidos de los campos son opuestos, luego la magnitud del campo también debe de ser igual.
Figura 8. Regla de la mano derecha para solenoides.
5
Como el campo depende de la corriente, la cual es la misma en ambos solenoides, y de n, se tiene lo siguiente:
Es decir, que el número de vueltas por unidad de longitud de ambos solenoides debe ser la misma. Por otro lado, como ya se había mencionado, los campos deben ser iguales para que el campo neto en el interior del solenoide pequeño será cero. De modo que ninguno de los campos magnéticos es más grande que el otro en magnitud.
6
4. Las líneas de campo magnético no tienen principio ni final. Utilice esto para explicar por qué es razonable que el campo de un solenoide toroidal esté confinado en su interior, pero un solenoide recto debe tener algo de campo en su exterior. [Pregunta P9.8 del Problemario de Física III].
Como puede verse en la figura 8, todo el campo magnético debe atravesar el solenoide en una misma dirección en su interior. Como todo el campo debe siempre circular (no tiene principio ni fin), esto lleva a pensar que el campo que sale por el norte magnético y regresa al polo sur desde el exterior. La figura 9 muestra el campo magnético de un solenoide. Como puede observarse, el campo magnético se concentra principalmente en el interior del solenoide, siendo el campo externo muy pequeño como para ser considerado.
Figura 9. Campo magnético de un solenoide.
En la figura 10 se muestra el campo magnético de un solenoide toroida.
Figura 10. Campo magnético de un solenoide toroidál.
En este caso el campo magnético sigue una trayectoria cerrada dentro del toroide, por lo que no hay contradicción con lo antes expresado. 7
5. Analice las analogías y diferencias entre la Ley de Gauss y la Ley de Ampère. [Pregunta P9.20 del Problemario de Física III]. La ley de ampère dice que la circulación del campo magnético en una trayetoria cerrada es igual a la constante de permeabilidad magnética multiplicada por la corriente encerrada. Ley de Ampère: ∮ ⃑⃑
⃑
Por otro lado la Ley de Gauss: ∯⃑
⃑
Analogías:
Ambas leyes incluyen una constante en el lado derecho de la ecuación.
Se trata de integrales cerradas. Por un lado la Ley de Ampère tiene un trayecto cerrado, mientras que la ley de gauss tiene una superficie cerrada.
Ambos, tanto el trayecto amperiano como la superficie gaussiana son imaginarios.
Ambas leyes involucran un producto punto vectorial.
El resultado de las integrales está fuertemente relacionado con lo que está encerrado dentro de la figura imaginaria.
Ambas expresiones tienen como respuesta un valor escalar.
Diferencias: Por un lado, en ley de Ampère la integral de línea mide Circulación. Mientras que la ley de Gauss mide Flujo a través de una integral de superficie. En la ley de Ampère la constante de permeabilidad magnética se encuentra en la parte superior de la ecuación, mientras que en la ley de Gauss, la constante de permisividad Eléctrica se encuentra en el denominador. La ley de Gauss está relacionado con campo eléctrico y es más útil en una situación de electrostática. La Ley de Ampère está relacionado con campos magnéticos y es más útil en situaciones de electrodinámica.
8
EJERCICIOS 1. Tres cables paralelos tiene cada uno una corriente I en la dirección que se muestra en la figura 11. Si la separación entre los cables adyacentes es d, calcule la magnitud y la dirección de la fuerza magnética neta por unidad de longitud en cada cable. [Ejercicio E9.15 del Problemario de Física III].
Figura 11. Calcule la fuerza magnética sobre cada cable.
Para calcular la fuerza que hay en cada cable hay que saber cuál es el campo magnético que genera cada uno de ellos. En la Figura 12 se ilustra cómo puede deducirse la dirección del campo magnético. Debe considerar que aquí solo se muestran las líneas más cercanas, pero en realidad el campo magnético está ocupando todo el espacio. Así, los dos cables inferiores sentirán que el campo magnético del primero es entrando a la página. Los dos cables superiores sentirán que el campo magnético del último es saliente de la página. Y el al analizar el campo que genera el cable del medio, el superior sentirá un campo entrante a la página, mientras que el cable inferior sentirá que el campo es saliente.
9
Figura 13. Comportamiento del campo magnético de cada cable (en realidad se ubica en todo el espacio, aquí solo se muestran las líneas más cercanas.)
Para calcular las fuerzas en cada uno se ocupa la expresión
⃑
la figura 14. Y recordando que para un cable recto con corriente ⃑
Figura 14. Ejes utilizados para el ejercicio 1.
10
⃑ con los ejes mostrados en ̂.
Al analizar el primer cable (el superior) y utilizando la información de la figura14:
⃑
⃑
⃑ ̂
⃑
̂
̂ ̂
̂
̂
̂
̂ ̂ (
) ̂ ̂
Al analizar el segundo cable (ubicado al medio de los otros dos) y utilizando la información de la figura14:
̂
⃑
⃑
⃑ ̂
⃑ ̂ ̂
̂
̂ ̂
̂ ̂ ⃑
11
Al analizar el primer cable (el superior) y utilizando la información de la figura14:
⃑
⃑
⃑ ̂
⃑
̂
̂ ̂
̂
̂ ̂
̂ ̂ ( ̂
)
̂
12
2. Por el cable largo y recto AB de la figura 15, circula una corriente de 14.0 A. Por la espira rectangular, cuyos lados largos son paralelos al cable, circula una corriente de 5.00 A. Encuentre la magnitud de la fuerza neta ejercida por el campo magnético del cable sobre la espira. [Ejercicio E9.25 del Problemario de Física III].
Figura 15. Determine la fuerza magnética que hace el cable sobre la espira.
Primero se analiza el cable AB con el sentido de su corriente y el campo que produce con la regla de la mano derecha para cables con corriente. El campo magnético producido por el cable estaría entrando a los laterales de la espira de la manera que se muestra en la figura 16:
14.0 A
Figura 16. Distribución del campo magnético en los tramos verticales
13
En la parte superior e inferior de la espira, el campo provocado por el cable AB variaría con el inverso de la distancia, de la manera que se muestra en la figura 17:
Figura 17. Distribución del campo magnético en las espiras superior e inferior. Este varía con el inverso de la distancia.
La fuerza magnética en los alambres o secciones de las espiras se pueden calcular con la regla de la mano derecha (Ley de Lorenz), las fuerzas resultantes se muestran en la figura 18:
14
Figura 18. Distribución de fuerzas en la espira.
Como puede observarse, la magnitud y dirección de las fuerzas en las secciones superior e inferior de la espira son iguales, pero de sentido contrario, por lo tanto, se anulan entre sí. Las fuerzas presentes en las secciones izquierda y derecha de la espira son fuerzas desiguales en sentido, pero no se anulan ya que la sección izquierda de la espira se encuentra más cercana a la fuente perturbadora (el cable AB) por lo tanto, esta fuerza es mayor que la de la sección derecha, y provocará el movimiento de la espira hacia el cable AB. Magnitud de la fuerza magnética. La fuerza magnética se calcula de la siguiente manera: ⃑
∫
⃑
∫
El campo magnético es uniforme en las secciones izquierda y derecha de la espira (aunque en magnitud los campos son distintos, son constantes en las secciones a evaluar) por lo tanto, puede sacarse la integral de la ecuación: ⃑
⃑
⃑
⃑
Como las direcciones de las fuerzas son conocidas en las secciones evaluadas, también pueden simplificarse los productos cruz para la evaluación de las fuerzas:
El campo magnético para ambas secciones se calcula de la siguiente manera: 15
Y se sustituye en la fórmula:
16
3. Ocho alambres cortan la página perpendicularmente en los puntos mostrados en la figura 5. Un alambre denotado por el entero K (K=1,2,…, 8) conduce una corriente ik=ki0 . Para aquellos con k impar la corriente sale de la página; para los de k par entra a la página. Evalúe ∮ ⃑⃑
⃑
a lo largo de la trayectoria cerrada en la dirección que se
muestra. [Ejercicio E9.49 del Problemario de Física III].
Figura 5. Aplique la ley de Ampère.
En la tabla 1 se muestran los alambres que se encuentran dentro de la trayectoria en color verde.
Tabla 1. Muestra los cables que están encerrados dentro de la trayectoria amperiana.
Corrientes que Entran 2 4 6 8
Corrientes que Salen 1 3 5 7
Utilizando la regla de mano derecha se observa que el campo magnético de los cables que salen van en el mismo sentido que la trayectoria amperiana propuesta (anti horario) de modo que el producto punto se volverá +1, mientras que los campos magnéticos de los cables que entran van en sentido contrario (horario) de modo que el producto punto se convertirá en -1. Se considera también que la magnitud de la corriente del K-esimo cable es iK= Ki0. Esta información se muestra en la tabla 2.
17
Tabla 2. Muestra las corrientes que están encerrados dentro de la trayectoria amperiana.
Corriente que entra -2 i0 -6 i0
Corriente que sale 1 i0 3 i0 7 i0 ∑=11 i0
∑= -8 i0
Evaluando la ley de Ampere: ∮ ⃑⃑
⃑
Conociendo que
Entonces: ∮ ⃑⃑
⃑
∮ ⃑⃑
⃑
18
4. Una hoja infinita de corriente. Ciertos conductores largos y rectos con secciones transversales cuadradas por los que circula una corriente I están colocados uno al lado del otro de modo que forman una hoja infinita de corriente (véase la figura 6). Los conductores se encuentran sobre el plano xy, están paralelos al eje y y la corriente en la dirección +y. Existen n conductores por metro de longitud medidos a lo largo del eje x. a. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del campo magnético a una distancia a por debajo de la hoja de corriente? b. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del campo magnético a una distancia a por encima de la hoja de corriente? [Ejercicio E955. del Problemario de Física III].
Figura 6. Determine el campo arriba y debajo de la hoja infinita de corriente.
19
Se inicia por deducir la dirección del campo magnético. Esto se hace utilizando la regla de la mano derecha.
Figura . Regla de la mano derecha. Es de notar que las componentes verticales se terminan eliminando entre sí, al ser la hoja infinita en las direcciones x y y.
Figura . Ilustración del campo magnético obtenido analíticamente.
A partir de esto se debe de crear la mejor trayectoria amperiana, es decir, donde el producto punto se convierte en 1, -1 o 0. En este sentido se buscará que la trayectoria amperiana sea ya sea, paralela, anti paralela o perpendicular al campo magnético. Bajo esta idea se traza la siguiente trayectoria amperiana.
20
Figura . Trayectoria amperiana.
∮⃑ ∫⃑
∫⃑
∫⃑
∫⃑
Como los tramos 2 y 4 atraviesan ambos regiones en donde el campo magnético es discontinuo, deben separarse formalmente en otros dos tramos cada uno: tramo 2superior, 2inferior, 4superior y 4inferior. ∫⃑
∫
̂
∫
̂
∫ ⃑
∫
∫
̂
∫ ⃑
̂
∫
∫
̂
∫⃑
̂
∫ ⃑
∫
̂
∫
̂
∫ ⃑
∫
∫
21
̂
̂
∫
∫
̂
̂
De ahí que como cos(0°)=1 y cos(90°)=0, resulta que para el tramo 2 y el tramo 4 la circulación será cero. Mientras que ∫ De modo que al realizar las integrales resulta lo siguiente (nótese que lo que sucedió es que los tramos 2 y 4 se volvieron 0, mientras que los tramos 1 y 3 se volvieron BL):
Despejando para el campo magnético:
Luego solo queda encontrar el valor de la corriente encerrada. Para esto hacemos uso de las variables que presenta el enunciado. Recordamos que cada cable transporta una corriente I, mientras que la densidad de cables por unidad de longitud es n De modo que si queremos saber cuántos cables hay en una longitud L dada, debemos hacer: ⁄ )
(
Luego, la corriente encerrada será el número de cables encerrados en la trayectoria amperiana multiplicado por la corriente que transporta cada cable:
Sustituyendo este resultado en la expresión encontrada para el campo magnético se obtiene:
Este campo magnético será el que existe tanto arriba como debajo de la hoja infinita de carga. Como la expresión no depende de la distancia hasta la hoja, puede aseverarse que la magnitud del campo será la misma en todo el espacio por encima y por debajo. Vectorialmente el campo solo cambia en sentido, puesto que en la parte superior se dirigirá en dirección de debajo llevará una dirección en
.̂
22
,̂ mientras que por
