que la de la corrien luz del sol atravesando el vació, llega a te alterna. Para una corriente alterna si la superficie terrestre. nusoidal tenemos: • Las ondas electrom agnéticas están form a das por ondas del tipo sinusoidal, una co i _ Jo_ • s - J L l rrespondiente al vector del cam po eléctri et ‘ J l ' ^ ef “ 42 co ( É ) , y la otra al vector del campo • El valor máximo de la intensidad de co m agnético (B ), perpendiculares entre sí, rriente, viene dado por: y am bas transversales a la dirección de propagación de la onda, com o se aprecia io , max = ^¿D en la Fig. se alcanza cuando
siendo, "<2 0" la frecuencia de las oscila ciones naturales (oscilaciones no amorti guadas). 9. ONDAS ELECTROMAGNETICAS a) Definición Se llaman ondas electromagnéticas a las perturbaciones del campo eléctrico y magnético que se propagan en un medio material o en el vacío. Las ondas electro magnéticas ocurren como consecuencia de dos efectos: 1) Un campo magnético variable genera un campo eléctrico, 2) Un campo eléctrico variable produce un campo magnético. b)¿Cóm o se generan las ondas elec tromagnéticas?
• Los cam pos eléctrico y m agnético que forman la onda electrom agnética oscilan en fase, esto es, cuando la m agnitud de u na de ellas es m áxim a, la m agnitud de la otra tam bién es máxima. • Las ondas electrom agnéticas son seme jantes (independientem ente de cóm o se generan) y sólo se diferencian en su Ion gitud de onda y frecuencia. • En una onda electrom agnética plana, las m agnitudes de los cam pos eléctrico y magnético, están relacionados m ediante la velocidad de la luz "c" en el vació, así: E = cB
Física III 855 Las ondas electrom agnéticas transportan La velocidad de propagación de una on energía, más no materia, esta energía es da electrom agnética en un m edio diferen proporcional a la frecuencia de las oscila te del vacío, viene dado por: d o n e s electrom agnéticas. En la actuali v = Xf dad se realizan investigaciones para de term inar los posibles efectos nocivos de Com o, la frecuencia de la onda electro la radiación electrom agnética sobre la sa m agnética no cam bia (fo= f), entonces: lud. Hay sospechas que estos podrían mo dificar el A D N, generando m utaciones y - = ■ ^ > 1 => cánceres en los organism os vivos. v fX Las ondas electrom agnéticas transportan es decir, la onda electrom agnética tiene en erg ía y poseen cantidad de movim ien una m ayor longitud de onda en el vació, to lineal ( p ) y angular ( L ) . A sí, en la que en otro m edio diferente del vació. F ig.,se observa que la energía y cantidad de m ovim iento de la onda electrom agné d)E cuacion es de las ondas electro tica, producen la rotación de la placa m agnéticas m uy sensible y delgada P ara un cam po electrom agnético distante de las cargas eléctricas libres que lo pro ducen y de las corrientes m acroscópicas, estas ecuaciones son: dB V xE = — dt • Las ondas electrom agnéticas pueden ex perim entar los fenóm enos de reflexión, refracción, absorción, interferencia, di fracción, difusión y polarización c) V elocidad de propagación L a velocidad de propagación de una on d a electrom agnética en el vacío, viene da do por: c = X0.fo = 3 .1 0 8 m /s sie n d o ,"XQ"su longitud de onda, "f0 11 su frecuencia, y (c) la velocidad de la luz en el vacío. • La velocidad de la luz en el vacío depen de de la perm itividad eléctrica en el va cío (e0), y de la perm eabilidad m agnéti ca en el vacío ( p 0 ), así: c = [e0 |i 0r I/2 =3-108 m / s
V xH = — at V • B= 0
D = 0,
siendo É , B los cam pos eléctrico y mag nético, H la excitación m agnética y D el desplazam iento. • L a existencia de las ondas electrom agné ticas es una consecuencia directa de es tas ecuaciones llamadas ecuaciones de M axw ell. • Si el m edio es un dieléctrico hom ogéneo e isótropo libre de propiedades ferroeléc tricas o ferrom agnéticas el desplazam ien to es: D = s e 0É y el cam po magnético es: B = p p 0, y las ecuaciones de Max w ell, pueden escribirse, así: V xÉ =
- ull. . - ^ - ,
0 dt V • E = 0,
V x H = s s n— 0 dt V•H=0
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Inducción electromagnética La energía (W) contenida en un volumen siendo s y p la permitividad relativa y (V) del campo electrom agnético, viene la perm eabilidad relativa del medio, res dada por: pectivamente.
De las ecuaciones de Maxwell se deduce que ios vectores del campo electromag nético É y H y todas sus proyecciones sobre el eje de coordenadas cartesianas satisfacen en el medio homogéneo, isó tropo, no conductor la ecuación de onda en el vació: v
’e — y — = 0 c dt
V H
i d 2ú
f) Vector de Poynting Se llama así, al vector densidad de flujo de energía de la onda electrom agnética. Ahora, como la velocidad de transporte de la energía electrom agnética por ia on da monocromática es iguai a la veioci dad de fase de dicha onda v = c/^ /p s , en tonces el vector de Poynting es:
=
0
:2 dt
recordemos que en el vació s = p = 1, y c = I / > oE;
W = Jv S£„E2 d V = Jv P fl0H 2 dV
= , ExH r = w v=w v EH
la velocidad de la luz en el
vació.
P= Ü Ü (ÉxH )
e) Densidad de energía (w) Se define como la energía por unidad de volumen del campo electromagnético (w =E/V), así, para un medio isótropo linea! es la suma de Jas densidades de energía, correspondientes a los campos eléctrico E y magnético H , esto es: w = w E + W¡.| Wr- =
£SC 2 , PoP t >2 •E~ + H2
siendo e y p la permitividad relativa y la perm eabilidad relativa del medio. Como, E=cB, la expresión anterior tam bién, puede expresarse, así: w = ££0E 2 = P P 0H2 w =
7p^EH = ^-EH c
siendo, "c" la velocidad de la luz en el vació.
C
P = Ex H la magnitud del vector de Poynting nos mide la energía que transporta la onda en !a unidad de tiem po a través de una su perficie situada perpendicularm ente a la dirección de propagación de la onda. 10.ESPECTRO DE LA RADIACION ELECTROMAGNETICA. Se denomina espectro de la radiación e lectromagnética, al conjunto de diferen tes frecuencias y longitudes de onda que presentan las ondas electrom agnéticas, este espectro electrom agnético, se clasifi ca según sus frecuencias y longitudes de onda en: 1) Ondas de radio-frecuencia (RF) a)Definición Son las ondas electrom agnéticas, cuyas frecuencias van desde 3 H z hasta 300
Física III 857 GHz, y sus longitudes de onda desde 0,3 e) Utilización m h asta algunos kilóm etros. • U no de sus prim eros usos fue en el ámbi Este tipo de ondas incluyen la radiación to naval, para el envío de m ensajes en có de las lineas eléctricas, ondas de radio de digo Movse entre los buques y tierra o en tre buques. AM y FM y las de TV. • Las ondas de radiofrecuencia se utilizan b)P roducción com o portadoras para transportar, otras Las ondas de radio son generadas por os ondas de baja frecuencia com o las de so ciladores electrónicos, los que producen nido (ondas de audio-frecuencia produci corrientes eléctricas alternas cuya fre das por la voz, la m úsica y todo tipo de cuencia superan los 30 kHz, que al reco sonidos), que por sí solas son incapaces rrer por el conductor que hace función de recorrer largas distancias. de antena se generan las ondas de radio • En la actualidad, la radio ad opta muchas frecuencia que se propagan en el espacio otras fonnas, que incluyen redes inalám bricas, com unicaciones m óviles de todo c) E spectro de ra d io fre c u e n c ia (RF) tipo, así com o la radiodifusión. Por ejem Las diferentes frecuencias que form an el pío, sistem as telefónicos celulares dígita espectro de ondas de radio pueden clasifi les p ara uso cerrado (policía, defensa, carse en las siguientes bandas: am bulancias, etc). (ELF) 1) Frecuencia extra baja (SLF) 2) F recuencia super baja f) C aracterísticas (ULF) Frecuencia ultra baja 3) • En las transm isiones inalám bricas, al pro Frecuencia muy baja (VLF) 4) ceso de añadir señales de baja frecuencia (LF) 5) F recuencia baja o audiofrecuencia (com o las del sonido) (M F) 6) F recuencia m edia a una onda portadora de alta frecuencia (HF) 7) F recuencia alta se le denom ina "m odulación de la señal (VHF) 8) F recuencia muy alta de audio". M ediante este procedim iento (UHF) 9) F recuencia ultra alta una onda de radiofrecuencia que conten (SH F) 10) Frecuencia super alta ga señales de audio se puede m odular en (EHF) H ) Frecuencia extra alta am plitud (A m plitud M odulada-A M ) o d)¿A qué velocidad se propagan las ondas de radio (RF)? Las bandas ELF, SLF, U LF y VLF com parten el espectro de la AF (audioffe cuencia) que se encuentra entre 20 H z y 20 000 Hz aproxim adam ente. Sin em bar go, éstas se tratan de ondas de presión, com o el sonido, por lo que en un medio m aterial se desplazan a la velocidad del sonido (340 m/s). En tanto que las ondas de radiofrecuencia, al ser ondas electro m agnéticas se desplazan a la velocidad de la luz (3.108 m /s) y sin necesidad de un m edio material.
en frecuencia (Frecuencia M o d u lad aFM ). • D ebido a que las corrientes de alta fre cuencia no circulan p o r el interior de los conductores, sino por su superficie exter na, en la fabricación de antenas se em plean tubos m etálicos huecos. • M ientras más alta sea la frecuencia de la corriente que proporcione un oscilador, más lejos viajará p o r el espacio la onda de radio que parte de la antena transm iso ra, aunque su alcance m áxim o tam bién depende de la potencia de salida en va tios que tenga el transm isor. • El principio de recepción de ondas de ra
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Inducción electrom agnética resultados con el cáncer en seres hum a diofrecuencia es similar al de su transm i nos. T res estudios epidem iológicos re sión, por tanto, como la corriente que se cientes no encontraron evidencia convin induce en las antenas receptoras de on cente del increm ento dé riesgo de cáncer das de radio y televisión es una señal de o cualquier otra enferm edad debido al u alta frecuencia procedente de la antena so de teléfonos móviles. transmisora, estas también son huecas. • Stress: A lgunos científicos han reporta do otros efectos debido al uso de teléfo nos m óviles que incluyen cam bios en la actividad norm al del cerebro, en el tiem po de reacción y en los patrones de sue ño. Estos efectos son m ínim os y no tie nen aparente efecto sobre la salud. Más estudios se están llevando a cabo para g)Efectos en la Salud y accidentes confirm ar estos hallazgos. • Los campos de RF penetran los tejidos • A ccidentes: Las investigaciones han de expuestos a profundidades que dependen m ostrado claram ente un increm ento en el de la frecuencia, hasta un centímetro en riesgo de accidentes autom ovilísticos el caso de las frecuencias utilizadas por cuando los teléfonos m óviles (tanto los los teléfonos móviles. La energía de RF de tipo portátil com o los de m anos-li es absorbida en el cuerpo y produce ca bres) son utilizados m ientras se maneja. lentamiento, pero el proceso term orregu latorio normal, disipa este calor. 2) M icro-ondas • Al presente los resultados de las investí a) Definición gaciones realizadas sobre los riesgos po Son las ondas electrom agnéticas, cuyas sibles que representan las ondas de radio frecuencias van desde 109 Hz hasta para la salud son: 3.1 0 ” Hz, y sus longitudes de onda des • Cáncer: Las evidencias científicas actúa de 10'3 m hasta 0,3 m. A la región de las les indican que es improbable que la ex m icro-ondas se le llama tam bién UHF posición a campos de RF, como los emití (ultra high frecuency) frecuencias ultra dos por los teléfonos móviles y sus esta altas. ciones base, induzca o produzca cáncer. b)P roducción Varios estudios en animales expuestos a Las m icroondas pueden ser generadas de campos de RF similares a los em itidos varías formas, generalm ente divididas en por los teléfonos móviles no encuentran dos categorías: dispositivos de estado só evidencia de que la RF cause o estimule lido y dispositivos basados en tubos de tumores cerebrales. A pesar de que un es vacío. tudio realizado en 1997 encontró que los • L os dispositivos de estado sólido para campos de RF incrementan la tasa de ra m icroondas están basados en sem icon tones genéticamente manipulados que de ductores de silicio o arsenuro de galio, e sarrollan leucemia, las implicaciones de incluyen transistores de efecto campo estos resultados para la salud humana no (FET), transistores de unión bipolar es clara. Varios estudios vienen llevándo (BJT), diodos G unn y diodos IM PATT. se a cabo para confirmar este hallazgo y Se han desarrollado versiones especiali determinar cualquier relevancia de estos
Física III 859 zadas de transistores estándar para altas sarrollado prototipos de arm as que utili velocidades que se usan com únm ente en cen la tecnología de m icroondas para la aplicaciones de m icroondas. incapacitación m om entánea o permanen • Los dispositivos basados en tubos de va te de diferentes enem igos en un radio li cío operan teniendo en cuenta el m ovim i m itado. ento balístico de un electrón en el vacío • Tam bién, la tecnología de m icroondas es bajo la influencia de cam pos eléctricos o utilizada por los rádares, para detectar el m agnéticos, entre los que se incluyen el rango, velocidad y posición y otras carac m agnetrón, el K listrón, el T W T y el giro terísticas de objetos a grandes distancias; o en el máser. trón. c) A plicaciones Las m icroondas tienen m uchas aplicacio nes: radio y televisión radares, m eteoro logia, com unicaciones v ía satélite, medí ción de distancias, investigación de las propiedades de la m ateria o cocinado de alim entos. • En telecom unicaciones, las m icroondas son usadas en radiodifusión, ya que estas pasan fácilm ente a través de la atm ósfera con m enos interferencia que otras longi tudes de onda mayores. Tam bién hay más ancho de banda en el espectro de mi croondas que en el resto del espectro de radio. Usualm ente, las m icroondas son u sadas en program as inform ativos de tele visión para transm itir una señal desde una localización rem ota a una estación de televisión m ediante una cam ioneta es pecialm ente equipada. L a televisión por cable y el acceso a Internet vía cable coa xial usan algunas de las más bajas fre cuencias de microondas. A lgunas redes de telefonía celular tam bién usan bajas frecuencias de microondas.
• En la industria arm am entística, se han de
d )¿ C ó m o funcionan los hornos de m icroondas? Los hornos de m icroondas funcionan ex citando las m oléculas de agua de los ali m entos, lo que hace que vibren y produz can calor. Las m icroondas entran a tra vés de aberturas practicadas en la parte superior de la cavidad de cocción, donde un agitador las dispersa de form a homo génea p o r todo el horno. Las m icroondas no pueden penetrar en un recipiente de m etal para calentar la com ida, pero sí a traviesan los recipientes no m etálicos. e )¿ C ó m o se detecta la radiación de m icroondas? Las m icroondas pueden detectarse con un instrum ento form ado por un rectifica dor de diodos de silicio conectado a un am plificador y a un dispositivo de regis tro o una pantalla. L a exposición a las mi croondas es peligrosa cuando se produ cen densidades elevadas de radiación, co mo ocurre en los máseres. Pueden provo car quem aduras, cataratas, daños en el sistem a nervioso y esterilidad. T odavía no se conocen bien los posibles peligros de la exposición prolongada a m icroon das de bajo nivel. f) ¿Qué es m áser? Se llam a m áser a la luz coherente de Ion gitudes de onda y frecuencias correspon dientes a la banda de ondas radioeléctri
860 Inducción electrom agnética c)P ro ducción cas ultracortas, y cuyo funcionam iento Estas ondas son producidas por cuerpos se basa en el efecto de la radiación esti calientes y m oléculas. L a m ateria, p o r su m ulada en un medio activo. El m áser es caracterización energética em ite radia producido por un generador cuántico óp ción. En general, la longitud de o n d a don tico (GCO). de un cuerpo em ite el m áxim o de radia g)¿Es dañina la com ida calentada en ción es proporcional a ia tem p eratu ra de un horno de m icroondas? éste (Ley de W ien). De esta form a la roa En la actualidad se hacen investigacio yoría de los objetos a tem peraturas coti nes, para determ inar si la com ida envuei dianas tienen su m áxim o de em isión en ta en envases de plástico (PV C) y calen el infrarrojo. Los seres vivos, en especial tada utilizando el hom o de m icroondas los m am íferos, em iten una gran propor hace daño a la salud, pues, es probable ción de radiación en la parte del espectro que en el proceso de calentam iento de infrarrojo, debido a su calor corporal. los alimentos al calentarse el plástico en d )¿C óm o se detecta !a radiación de contacto con las grasas de los alim entos m icroondas? se liberen dem asiadas sustancias toxicas L a radiación infrarroja p u ed e detectarse llamadas dioxinas, las que en cantidades com o calor, para lo que, se em p lea el bo apreciables son sum am ente dañinas para (ómetro, el cual, es un instrum ento que la salud, Por lo que, se aconseja calentar capta la radiación p o r el aum ento de tem los alimentos en recipientes o envases de peratura producido en un d etecto r absor vidrio. bente. 3) Espectro infrarrojo e x p lic a c io n e s a) Definición • L os rayos infrarrojos se u tilizan p ara ob Son las ondas electrom agnéticas, cuyas tener im ágenes de objetos lejanos ocul frecuencias v an desde 3.1011 H z hasta tos por la brum a atm osférica, q u e disp er 4.1014 Hz, y sus longitudes de onda des sa la luz visible pero no la radiación in de 7,8.10‘7 m hasta 10'3 m. E sta región se frarroja. Hay dispositivos infrarrojos que subdivide en tres: el infrarrojo lejano, de perm iten v er objetos en la oscuridad. Es 10'3 m a 3.10'6 m, el infrarrojo medio, de tos instrum entos consisten b ásicam ente 3.10'5 m a 3.10‘6, y el infrarrojo cercano en una lám para que em ite un h a z d e ra que se extiende hasta alrededor de yos infrarrojos, a veces d enom inados luz 7,8.10'7. El nom bre de infrarrojo signifi negra, y un telescopio que recib e la radia ca por debajo del rojo pues su com ienzo ción reflejada por el objeto y la convierte se encuentra adyacente al color rojo del en una im agen visible. E n astro n o m ía se espectro visible. utilizan los rayos infrarrojos p ara estu diar determ inadas estrellas y nebulosas. b)C!asificación • Los infrarrojos tam bién se utilizan para La radiación infrarroja, según sus longi com unicar a corta distancia las com puta tudes de onda pueden clasificarse en: doras con sus periféricos. 1) Infrarrojo cercano (0,78-1,1 pm) • L a luz utilizada en la tran sm isió n d e in 2) Infrarrojo m edio (1,1 -15 pm ) form ación m ediante Abras ó p ticas es ge 3) Infrarrojo lejano (15-100 pin) neralm ente de infrarrojos.
Física III 861 ya que la rapidez con que em ite energía excede la rapidez con que la absorbe. C uando alcanza el equilibrio térm ico, la rapidez de em isión y la de absorción son iguales. Del m ism o modo, dos cuerpos E jem p lo : El m otor de un avión genera que se encuentran en el vacío y a distin o ndas infrarrojas. tas tem peraturas, tienden a llegar al equj. • La teledetección m ediante fotografía in librio term odinám ico m ediante la radia frarroja aérea y orbital se em plea para ción. observar las condiciones de la cosecha y • En ingeniería la term ografía es un méto el daño por insectos y enferm edades en do de im presión y copiado m uy popular grandes zonas agrícolas, así com o para antes de la invención de las fotocopiado localizar depósitos minerales. ras. L a im presión term ográfica consiste • En la industria, la espectroscopia de in en el calentam iento puntual de tintas es frarrojos se utiliza para el análisis e in peciales, consiguiendo un efecto tridj vestigación de m etales y aleaciones, y la m ensional especial a un costo muy bajo. fotografía infrarroja se em plea para me jo ra r y optim izar la calidad de los produc tos. • M ediante placas fotográficas o recepto res de im agen sensible a los infrarrojos se obtienen term ogram as (espectro elec trom agnético del calor) de la totalidad o p aite del cuerpo, que en m edicina es la m edida del calor corporal em itido por la piel. A lgunos tipos de cristal líquido sen sibles al calor se pueden aplicar sobre la piel proporcionando una lectura directa, Las variaciones de la tem peratura cutá nea dependen, entre otros factores, del núm ero de vasos sanguíneos y de su cer cania a la superficie corporal. Las imáge nes anorm ales pueden indicar una enfer m edad. U n punto caliente de form a anor mal puede indicar el desarrollo de un cán cer, m ientras que un punto frío de forma anorm al puede indicar un bloqueo del to rrente sanguíneo com o el producido por u n a trom bosis. f) Interacción de la radiación térm ica con los cuerpos T odos los cuerpos em iten y absorben ra diación de su entorno. Si el cuerpo está más caliente que su entorno, se enfriará,
4) Luz o espectro visible a) Definición Se llam a luz a la radiación visible dei es pectro electrom agnético que podem os captar con nuestros ojos, las frecuencias de estas ondas electrom agnéticas están entre 4 .10!4 Hz y 8 .I0 14 Hz, en tanto sus longitudes de ondas están entre 7 ,8 .10‘7 m y 3,8.10"7 m. b)C om posición de la luz La lu z blanca se com pone de los diferen tes colores del arco iris: violeta, azul, ver de, Am arillo, naranja y rojo. En realidad existen tres colores prim arios: rojo, ver de y azul, que al m ezclarse en diferentes proporciones dan lugar a todos los de más colores. Si se m ezclan en las mis mas cantidades producen luz blanca. c )¿ C ó m o se produce la iuz? L a luz es producida por átom os y molé culas com o resultado del m ovim iento in tem o de sus com ponentes, principalm en te los electrones de las capas atómicas. Es decir, los electrones en los átom os, pa san de una órbita hacia otra, em itiendo u absorbiendo cierta cantidad de fotones, (luz).
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Inducción electrom agnética pero si del otro. d)Característícas Las principales características de la luz son: • Se propaga a partir de la fuente em isora en todas las direcciones posibles y en for ma de ondas perpendiculares a la direc ción de propagación. Distintas longitu des de onda proporcionan a nuestros o jo s diferentes sensaciones de color. La luz se propaga, sin detenerse, a través de la atm ósfera y aún en ausencia de ella. • En una sustancia de com posición unifor Se trazan dos rayos desde el extrem os su me, la luz viaja en línea recta, en tanto, perior de la fuente de luz; uno pasa por no baya un obstáculo que los desvié. La el borde superior del objeto 0 (rayo A) y propagación en linea recta se puede apre el otro, po r el borde inferior (rayo B). Se ciar en los rayos de Sol, cuando atravie repite la m ism a operación desde el extre zan una atmósfera turbia, por ejemplo so mo inferior del foco de luz (rayos C y bre niebla. Otro ejemplo, es la formación de sombras, siendo esta, una silueta oscu D). • La zona com prendida entre los rayos A y ra con la forma del objeto. D estará en sombra. • La luz se desplaza en el vació con una ra • Las zonas superior e inferior, com prendí pidez de c=3.108 m/s. En el aire se mué das entre los rayos C y A y entre los ra ve ligeramente con una menor rapidez, y yos D y B, respectivam ente, estarán en más lentam ente en sustancias más densas penumbra. como el agua o e! vidrio. • Este fenómeno de sombra y penum bra es • La luz está com puesta por paquetes de e el que se presenta en los eclipses de Sol nergia llamados fotones, que originan y Luna. cambios químicos y reacciones eléctricas en los organismos vivos. Cuanto más in • En un eclipse de Sol, en las que la Luna tensa es la luz, más fotones contiene. se interpone entre el Sol y la Tierra, la zona de som bra es muy reducida debido e)Rayo de luz al pequeño tam año de la Luna. En la zo Se llama rayo de luz a la línea recta que na de la Tierra donde se proyecta la som representa simbólicamente la dirección bra, el día se oscurecerá hasta parecer de de propagación de la luz. noche por unos instantes y se observará un eclipse total de Sol. Sin em bargo, en f) Som bras, penumbras y eclipses la zona de penum bra sobre la T ierra se Si un foco, grande o pequeño, de luz se verá un eclipse parcial de Sol. encuentra muy lejos de un objeto se pro duce sombras nítidas. • Si un foco grande se encuentra cercano al objeto, se formará sombra donde no llegen los rayos procedentes de los extre mos del foco y penumbra donde no lie gen los rayos procedentes de un extremo
g)Fenóm enos de la luz Los fenóm enos ondulatorios que puede experim entar la luz son: reflexión, refrac ción, absorción, interferencia, difracción, difusión, polarización y birrefringencia.
Física III 863 h )E sp e ctro visible b) Espectro ultravioleta S e llam a espectro visible al conjunto de D e acuerdo a los efectos que la radiación valores que adoptan las frecuencias y Ion ultravioleta produce sobre los seres vi g itudes de onda de la luz. vos se pueden diferenciar tres zonas en el espectro de la misma en función de su • Los colores que perciben el ojo hum ano longitud de onda, estos son: dependen de la frecuencia (ó longitud de onda) de la onda electrom agnética. . U ltravioleta C (UVC) • L a sensibilidad de! ojo tam bién depende E ste tipo de radiación ultravioleta es la de la longitud de onda de la luz; está sen de m enor longitud de onda, cubre toda la sibilidad es m áxim a para longitudes de parte ultravioleta m enor de 290 m u, es le o n da de 5,6.10~7 m. tal para todas las form as de vida de núes tro planeta y en presencia de la cual no • L a visión es el resultado de señales trans sería posible la vida en la T ierra tal y co m itidas al cerebro po r dos elem entos pre sentes en una m em brana llam ada retina, mo la conocem os actualm ente, es total, la cual, se encuentra en el fondo del ojo; mente absorbida por el ozono, de modo estos elem entos son los conos y bastón que en ningún caso alcanza la superficie cilios. terrestre. • U ltravioleta B (UVB) Entre las radiaciones UVA y UVC está C olor v 10“4, U O "7 , la radiación U V B con u n a longitud de on (Hz) (m) da entre 280 y 320 nm , m enos letal que la segunda, pero Peligrosa. G ran parte de violeta 3,90 - 4,55 7,69 - 6,59 esta radiación es absorbida por el ozono, 4,55 - 4,92 6 ,5 9 -6 ,1 0 azul pero una porción considerable alcanza la tierra en su superficie afectando a los se verde 4,92 - 5,77 6 ,1 0 - 5 ,2 0 res vivos produciendo adem ás del bron ceado, quem aduras, envejecim iento de am arillo 5 ,7 7 -5 ,9 7 5 ,2 0 -5 ,0 3 piel, conjuntivitis, etc. C ualquier daño a la capa de ozono aum entará la radiación naranja 5 ,9 7 -6 ,2 2 5,03 - 4,82 UVB. Sin em bargo, esta radiación está rojo 6,22 - 7,80 4 ,8 2 - 3 ,8 4 tam bién lim itada por el ozono troposfé rico, los aerosoles y las "Nubes. • U ltravioleta A (UVA) • Los conos son activos a la luz intensa, y L a radiación U V A , con m ayor longitud sensibles a los colores, m ientras los bas de onda que las anteriores entre 400 y toncillos nos perm iten v er con poca luz 320 nm , es relativam ente inofensiva y pa (oscuridad), y son insensibles a los coIo sa casi en su totalidad a través de la capa res. de ozono. Este tipo de radiación alcanza los efectos de la radiación ultravioleta B 5) Rayos ultravioletas pero m ediante dosis unas 1000 veces su a) D efinición periores, característica que la convierte Son las ondas electrom agnéticas, cuyas en la m enos perjudicial. Hay realizar la a frecuencias van desde 8.1014 H z hasta claración de que la radiación ultravio 3 .1 0 17 H z, y sus longitudes de onda van leta A alcanza la tierra con una intensi desde 6 .1 0 '10 m hasta 3 ,8 .10'7 m.
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Inducción electrom agnética colorantes, vitam inas, aceites naturales, dad muy superior a la UVB por lo tanto etc...se vuelven fluorescentes en presen es recomendable protegerse. cia de luz ultravioleta, es decir, parecen c)Producción brillar. Las m oléculas de esas sustancias • Son producidas por átomos y m oléculas absorben la radiación ultravioleta invisi en descargas eléctricas. Por ejemplo, el ble, adquieren energía, y se desprenden Sol es una fuente rica de radiación ultra del exceso de energía em itiendo luz visj violeta, la que hace posible el bronceado ble. £1 cuarzo es transparente a toda la de la piel. gam a de rayos ultravioleta. • Las lámparas fluorescentes producen ra • La utilización del fenóm eno de flúores diación UV a través de la ionización de cencia perm ite verificar la autenticidad gas de mercurio a baja presión. Un recu de antigüedades y billetes, pues es un mé brimiento fosforescente en el interior de todo no invasivo y no destructivo de exa ios tubos absorbe la radiación U V y la m inación. L íquidos fluorescentes se apli convierte en luz visible. can a estructuras m etálicas ilum inadas • Parte de las longitudes de onda em itidas con una luz negra. D e este modo, rajadu por el gas de mercurio están en el rango ras y otros defectos pueden ser fácilmen UVC. Ua exposición sin protección de la te identificados. piel y ojos a lámparas de mercurio que • La astronom ía ultravioleta se realiza con no tienen un fósforo de conversión es su la ayuda de detectores m ontados en saté mámente peligrosa. lites artificiales que proporcionan datos • Otras fuentes de radiación UV son las sobre objetos estelares inaccesibles des lámparas de xenón, las lámparas de deu de la superficie de la Tierra. íerio, las lámparas de haluro m etálico y • En ciencia forense, la luz negra se usa pa la lámpara halógena. ra detectar rastros de sangre, orina, se m en y saliva (entre otros), causando que ^A p licacio nes estos líquidos adquieran fluorescencia. • L a atmósfera terrestre protege a los orga U sando esta m ism a técnica, algunos re nismos vivos de la radiación ultravioleta porteros han revelado la falta de higiene del Sol. Si toda la radiación ultravioleta en las habitaciones de los hoteles, o man procedente del Sol llegará a la superficie chas en ropa que de otra m anera serían de la Tieira, acabaría probablem ente con m ás difíciles de detectar. la mayor parte de la vida en el planeta. • L a radiación ultravioleta con longitudes L a capa de ozono de la atm ósfera absor de onda m enores a 300 nm se em plea pa be casi toda la radiación ultravioleta de ra esterilizar superficies dado que m ata a baja longitud de onda y gran parte de la las bacterias y los virus. Las tram pas de alta longitud de onda. m oscas ultravioleta se usan para elim inar • Gran parte de la vitamina D que las per pequeños insectos voladores. E stos insec sonas y ios animales necesitan para man tos son atraídos a la luz UV para luego tenerse sanos se produce cuando ia piel ser elim inadas por shock eléctrico, o atra es irradiada por rayos ultravioleta. pados después de tocar la tram pa. • M uchas sustancias se com portan de for • E n espectrofotom etría, m ediante el espec ma distinta cuando se les expone a luz ul troscopio U V /V IS (de ultravioleta/visi travioleta que cuando se les expone a luz ble) se usa am pliam ente para analizar es visible, Por ejemplo, algunos m inerales
Física III 865 b)C lasificación • Ravos-X duros.- Se llaman así a los de e )¿ E s peligroso la radiación ultra m enor longitud de onda, que están más violeta? próxim os a la zona de rayos gamma. • En los seres hum anos, la exposición a ra • Ravos-X blandos.- Se llaman así a los ra diación ultravioleta de longitudes de on yos-X form ados por una m ezcla de mu da m enores a los 310 nm puede producir chas longitudes de onda diferentes entre quem aduras, una exposición prolongada si. durante años puede provocar cáncer en c) Producción la piel, envejecim iento de ésta, irritación, • T anto la luz visible com o los rayos-X se arrugas, m anchas o perdida de elastici producen a raíz de las transiciones de los dad. electrones atóm icos de una órbita a otra. • La radiación UV es altam ente mutageni La luz visible corresponde a transiciones ca, o sea, que induce a m utaciones. En el de electrones exteriores y los rayos-X a A DN provoca daño al form ar dim eros de transiciones de electrones interiores. pirim idinas (generalm ente dim eros de ti • En el caso de Ja radiación de frenado, los m ina) que acortan la distancia normal rayos-X se producen por el frenado o de del enlace, generando una deform ación flexión de electrones libres que atravie de la cadena. san un cam po eléctrico intenso. • Los rayos-X se producen siem pre que se f) ¿Q ué es el agujero de ozono? bom bardea un objeto m aterial con elec Se llam a agujero de ozono a la zona de trones de alta velocidad. G ran parte de la la atm ósfera terrestre donde se producen energía de los electrones se pierde en for reducciones anorm ales de la capa de ozo m a de calor, el resto produce rayos-X al no, fenóm eno anual observado durante la provocar cam bios en los átom os del blan prim avera en las regiones polares y que co com o resultado del impacto. es seguido de una recuperación durante el verano. El contenido en ozono se mide en U nidades D obson, kilogram os por me d) C aracterísticas tro cúbico. • Los rayos-X em itidos no pueden tener u Sobre la A ntártida la pérdida de ozono na energía m ayor que la energía cinética llega al 70%, m ientras que sobre el Arti de los electrones que los producen. co llega al 30%. Este fenóm eno se debe • La radiación em itida no es m onocrom a a las condiciones m eteorológicas extre tica, pues, está form ada por una am plia m as que sufre el continente Antártico. gam a de longitudes de onda. • El espectro de energía es continuo y dis 6 )R a yo s -X creto, y no dependen de la naturaleza del a) D efinición blanco. Son las ondas electrom agnéticas, cuyas • L a absorción de rayos-X por una sustan frecuencias van desde 3.10 17 Hz hasta cia depende de su densidad y m asa ató 5 .1 0 19 Hz, y sus longitudes de onda van mica. Cuanto m enor sea la m asa atóm ica desde 6.10 '12 m hasta 10'9 m. Cuanto me del m aterial, más transparente será a los ñor es la longitud de onda " V de los ra ray o s-X de una longitud de onda deter yos-X , m ayor es su energía y poder de m inada. penetración. tructuras quím icas.
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Inducción electrom agnética dad de ionización de los rayos-X mono e x p lic a c io n e s en la salud crom áticos es directam ente proporcional • Cuando se irradia el cuerpo hum ano con a su energía. Esta propiedad proporciona rayos-X, los huesos (formado po r ele un m étodo para m edir la energía de los mentos de masa atómica mayor que los rayos-X . El contador G eiger m ide la en e r tejidos circundantes) absorben la radia gía de los rayos-X a partir de la ioniza ción con mayor eficacia, por lo que pro ción que producen. ducen sombras más oscuras sobre una placa fotográfica, permitiendo hacer el h) Difracción diagnostico de posibles fracturas o lesio Los rayos-X pueden difractarse al atra nes de los huesos. vesar un cristal, o ser dispersados por él, • En la actualidad se utiliza radiación de y a que el cristal esta form ado p o r redes neutrones para algunos tipos de radiogra de átom os regulares que actúan como re fía, y los resultados son así los inversos. des de difracción muy finas. Los diagra Los objetos que producen som bras oscu mas de interferencia resultantes pueden ras en una imagen de rayos-X aparecen fotografiarse y analizarse para deterrm casi siempre claros en una radiografía de nar la longitud de onda de los rayos-X in neutrones. cidentes o la distancia entre los átomos • Se debe mencionar que un exceso de ra del cristal, según cual de los datos se des yos-X produce daños en tejidos y orga conozca. nismos vivos, como resultado de los pro cesos químicos que inducen, es por esta i) Interacción con la m ateria razón que los rayos-X se utilizan en el Los rayos-X al interactuar con la materia tratamiento del cáncer. pueden experim entar los siguientes efec tos: > Efecto fotoeléctrico C uando un cuanto de radiación o fotón correspondiente a la zona de rayos-X del espectro electrom agnético choca contra un átom o, puede golpear un electrón de una capa interior y expulsarlo del átomo. f) Fluorescencia Si el fotón tiene m ás energía que la nece Los rayos-X también producen flúores saria para expulsar el electrón, le transfe cencía en determinados materiales, como rirá esta energía adicional en form a de e el platinocianuro de bario o el sulfuro de nergía cinética. E ste fenóm eno, llamado cinc. Si se sustituye la película fotográ efecto fotoeléctrico, tiene lugar principal fíca por uno de estos m ateriales fluore m ente en la absorción de rayos-X de baja centes, puede observarse directam ente la energía. estructura interna de objetos opacos. Es ta técnica se conoce como fluoroscopía. > Efecto C om pton Es una m anifestación im portante de la ab g)lonización sorción de rayos-X de m enor longitud de onda. C uando un fotón de alta energía Otra característica importante de los ra yos-X es su poder de ionización, que de choca con un electrón, am bas partículas pueden ser desviadas form ando un ángu pende de su longitud de onda. L a capacj
Física III 867 lo con la trayectoria de la radiación inci b)P roducción dente de rayos-X. El fotón incidente par • Son fuentes de em isión de rayos gam m a te de su energía cede al electrón y sale los m ateriales radiactivos (algunos natu del m aterial con u na longitud de onda rales y otros hechos por e! hom bre en plantas nucleares). m ás corta. Estas desviaciones acom paña das por un cam bio en la longitud de on • L os rayos gam m a se producen en la des d a se conocen com o dispersión de Com p excitación de un nucleón de un nivel ex citado a otro de m enor energía y en la de ton. sintegración de isótopos radiactivos, es > E fecto de producción de pares tos procesos se dan en los reactores nu E ste fenóm eno se produce cuando se irra cleares y en los grandes aceleradores de dian elem entos de m asa atóm ica elevada partículas que se utilizan para estudiar la con rayos-X de m uy alta energía. Cuan com posición de la m ateria. do un fotón de alta energía penetra en la • L os rayos gam m a se producen en fenó capa electrónica cercana al núcleo, pue m enos astrofísicos de alta energía com o de crear un par de electrones, uno con explosiones de supem ovas o núcleos de carga negativa y otro con carga positiva galaxias activas. En astrofísica se deno (llam ado positrón). La producción de pa m inan GRB (explosiones de rayos gam res es un ejem plo de la conversión de e ma) a fuentes de rayos gam m a que duran nergía en masa. El fotón necesita una e unos segundos o unas pocas horas sien nergía de al m enos 1,2 M eV para propor do sucedidos por un brillo decreciente de cionar la m asa del par. Si el fotón inci la fuente en rayos-X durante algunos dente posee más energía de la necesaria días, O curren en posiciones aleatorias para La producción del par, el exceso de del cielo y su origen perm anece todavía energía se cede al par de electrones en en discusión científica. En todo caso form a de energía cinética. Las trayecto constituyen los fenóm enos más energéti rias de las dos partículas son divergen eos del U niverso. tes. • E xisten varios procesos físicos en los que se generan rayos gam ma. Entre ellos 7) Rayos gam m a se pueden nom brar lo s siguientes: L a colisión de u n a partícula de alta ener a )D efín ic ió n gía con otra partícula. S on las ondas electrom agnéticas, cuyas - El aniquilam iento de una partícula a tra frecuencias van desde 3.1 0 18 H z hasta vés de la colisión con su propia antipar m ás de 3.1022 H z, y sus longitudes de on tícula. d a van desde 10'14 m hasta 10'10 m. Esta L a descom posición radiactiva de un ele radiación es la más energética del espec mentó. tro electrom agnético así, los rayos gam - L a aceleración de una partícula cargada, m a pueden tener un m illón o más de ve ces la energía de los fotones de la luz vi sible. D ebido a las altas energías que po seen, los rayos gam m a constituyen un ti p o de radiación ionizante capaz de pene trar en la m ateria m ás profundam ente que la radiación alfa o beta.
c)A plicacio n es • D ada su alta energía pueden causar gra ve daño al núcleo de las células, p o r lo que son usados para esterilizar equipos m édicos y preservar los alim entos, matan do los virus y bacterias.
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Inducción electrom agnética tam bién verán reducida su intensidad a • Debido a la capacidad de penetrar en los tejidos, los rayos gam m a tienen un am la mitad por 6 cm de horm igón o 9 cm de plio espectro de usos m édicos, como la tierra com pacta. realización de tom ografias y radiotera e)A b so rció n de rayos gam ma pias. Sin embargo, com o forma de radia Cuando un rayo gam m a pasa a través de ción ionizante, pueden provocar cambios la m ateria, la probabilidad de absorción moleculares, pudiendo tener efectos can en una capa fina es proporcional a la del cerígenos si el ADN es afectado. gadez de dicha capa, lo que lleva a un de • A pesar de las propiedades cancerígenas, crecim iento exponencial de la intensidad los rayos gamma tam bién se utilizan para dado por: el tratam iento de ciertos tipos de cáncer. En la técnica llamada cirugía gam m a I(d) = I0e ^ d knife, múltiples rayos gam m a concentra dos son dirigidos hacia células cancero siendo, p = q a el coeficiente de absor sas. Los rayos son em itidos desde distin ción, m edido en cm”1, "rj" el núm ero de tos ángulos para focalizar la radiación en átom os por cm 3 en el material, " a " el es el tum or m inim izando los daños a los tejí pectro de absorción en cm 2 y "d" la del dos vecinos. gadez del material en cm. • Se utilizan con mucha frecuencia en la in vestigación astronóm ica, para identificar f) Interacción con la m ateria nuevas partículas y cuerpos celestes; y es Pasando a través de la m ateria, la radia tudiar las interacciones de la radiación ción gam m a principalm ente ioniza de cósmica con los cuerpos celestes. Así, la tres form as, produciéndose tres efectos, radiación de alta energía de los rayos los cuales son: gamma nos proporciona im portante y > E fecto F oto eléctrico : C onsiste en la ex nuevos datos sobre las estrellas, los pul pulsión del electrón de un átom o, debido sares o los agujeros negros en los que tie a que este recibe la energía de un fotón, nen lugar los procesos energéticos que gam m a. La energía cinética del fotoeléc pueden emitirla. trón resultante es igual a la energía del • Los detectores de rayos gam m a se utili fotón gam m a incidente m enos la energía zan para revisar (escanear) las m ercan de enlace del electrón. El efecto fotoeléc cías en los contenedores que ingresan a trico es el m ecanism o de transferencia de los puertos y aeropuertos vía m arítim a o energía dom inante para rayos-X y foto área. nes de rayos gam m a con energías por de bajo de 50 keV , pero es m enos importan d)Protección te a energías más elevadas. Los rayos gamma por ser muy energe > E fecto C o m p to n : Se llam a así, a la ex ticos representan un peligro para la sa pulsión que experim enta un electrón en lud del hombre. Para protegerse de los ra el átom o, debido a la energía que gana el yos gam m a se utilizan cuerpos o blinda electrón en su interacción con un fotón jes de alto número atóm ico y alta densi gamma. Con la energía restante del fotón dad de m asa, los blindajes m ás utilizados original se em ite un nuevo fotón gam m a son hechos de plomo. Por ejem plo, los ra de baja energía con una dirección de em i yos gam m a que requieren 1 cm de plomo sión diferente a la del fotón gam m a in d para reducir su intensidad en un 50%
Física til 869 dente. La probabilidad del efecto Com p les de partículas (cascada atm osférica ex ton decrece según la energía del fotón se tensa) que al viajar a velocidades mayo increm enta. El Efecto Com pton se consj. res que la de la luz en el aire, generan ra dera que es el principal m ecanism o de ab diación de C herenkov. Esta radiación es sorción de rayos gam m a en el rango de e detectada en la superficie de la T ierra me nergía interm edio entre 100 keV a 10 diante el telescopio de Cherenkov. M eV, un rango de energía que incluye la i) Radiación Cherenkov m ayor parte de la radiación gam m a pre Es una radiación de tipo electrom agné sente en una explosión nuclear, El efecto tico producida por el paso de partículas Com pton es relativam ente independiente en un m edio a velocidades superiores a de núm ero atóm ico del material absor las de la luz en dicho medio. La veloci bente. dad de la luz depende del m edio y alean > C re a c ió n d e p are s: Debido a la interac za su valo r m áxim o en el vacío. El valor ción de la fuerza de Coulom b, en la ve de la velocidad de la luz en el vacío no cindad del núcleo, la energía del fotón ¡n puede superarse pero sí en un medio en cidente se convierte espontáneam ente en el que ésta es menor. la m asa de un par electrón-positrón. Un • La radiación Cherenkov es un tipo de on positrón es la antipartícula equivalente a da de choque que produce el brillo azula un electrón; tiene la m ism a m asa de un do característico de los reactores nuclea electrón, pero tiene una carga p ositiva de res. Este es un fenóm eno sim ilar al de la igual fuerza que la carga negativa de un generación de una onda de choque cuan electrón. La energía excedente del equ[ do se supera la velocidad del sonido. En v alente a la m asa en reposo de las dos ese caso los frentes de onda esféricos se partículas (1,02 M eV) aparece com o e superponen y forman uno solo con form a nergía cinética del par y del núcleo. El cónica. D ebido a que la luz tam bién es positrón tiene una vida muy corta (sobre una onda, en este caso electrom agnética, 10-8 segundos). Al final de su periodo, puede producir los m ism os efectos si su se com bina con un electrón libre. Toda velocidad es superada. la m asa de estas dos partículas se con • L a radiación C herenkov sólo se produce vierte entonces en dos fotones gam m a de si la partícula que atraviesa el m edio está 0,51 MeV de energía cada uno. cargada eléctricam ente, com o por ejem pío, un protón. Para que se produzca ra 9 ) ¿En qué se diferencian los rayos diación C herenkov el m edio debe ser un gam m a de los rayos-X? L os rayos gam m a se diferencian de los dieléctrico. Es decir; debe estar formado por átom os o m oléculas capaces de verse rayos-X en su origen, debido a que estos afectados por un cam po eléctrico. Por últim os se producen a nivel extranuclear, por fenóm enos de frenado electrónico. tanto, un protón viajando a través de un m edio hecho de neutrones, por ejemplo, h )¿E xisten partículas que viajan a uno em itiría radiación Cherenkov. na velocidad m ayor que la de la • El efecto Cherenkov es de gran utilidad luz en el aire? en los detectores de partículas en la que Si existen, pues, los rayos gam m a de e esta radiación es usada com o trazador, nergía por encim a de unos m iles de M.eV particularm ente en los detectores de neu al incidir en la atm ósfera, producen mi trinos de agua pesada.
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Inducción electrom agnética nes), causando num erosas ionizaciones j) Radiación ionizante en una distancia corta. Son radiaciones con energía necesaria • E sta rapidez para repartir energía la con para arrancar electrones de los átomos. vierte en una radiación poco penetrante C uando un átom o queda con un exceso que puede ser detenida p o r una sim ple de carga eléctrica, ya sea positiva o ne hoja de papel sin em bargo no son inofen gatíva, se dice que se ha convertido en sivas y a que pueden actuar en los lugares un ión (positivo o negativo). Entonces son radiaciones ionizantes los rayos X, en que se depositan ya sea por redim en tación o por inhalación. las radiaciones alfa, beta y gam ma. Las radiaciones ionizantes pueden provocar i) R adiación beta reacciones y cam bios quím icos con el E sta radiación es producida por la em j material con el cual interaccionan. P or e sión del núcleo de un átom o radioactivo jem plo, son capaces de rom per ios enla natura] o artificial, de las partículas beta, ces quím icos de las m oléculas o generar las que pueden ser un electrón (o un posi cam bios genéticos en células reproduc trón) o un antineutrino electrónico (o un toras. neutrino electrónico); o la captura por parte de un núcleo radioactivo de un elec , <4adiación alfa vtrón. P or tener las partículas beta carga Esta radiación es producida por la 'e m i y m asa muy pequeña, reaccionan menos sión del núcleo de un átom o radioactivo de Jas partículas alfa, que son dos proto frecuentem ente con la m ateria que las al nes y dos neutrones, es decir, núcleos de fa pero su poder de penetración es mayor helio. L a em isión de este tipo de radia que en estas (casi 100 veces más pene ción ocurre en general en átom os de ele trantes). Son frenadas por m etros de aire, m entos m uy pesados, com o el uranio, el una lám ina de alum inio o unos cm. de a torio o el radio, El núcleo de estos áto gua. mos tiene bastantes más neutrones que • E ste tipo de radiación se origina en un protones y eso los hace inestables. Al e proceso de reorganización nuclear en m itir una partícula alfa, el átom o cambia que el núcleo em ite un electrón, ju n to la com posición de su núcleo, y queda con una partícula no usual, casi sin ma transform ado en otro con dos protones y sa, denom inada antineutrino que se lleva dos neutrones menos, Esto se conoce co algo de la energía perdida por el núcleo. mo transm utación de los elem entos. Así Com o la radiactividad alfa, la beta tiene por ejem plo, cuando el uranio 238 cuyo lugar en átom os ricos en neutrones, y sue núm ero atóm ico Z=92, em ite una partícu len ser elem entos producidos en reaccio la alfa, queda transm utado en un átomo nes nucleares naturales, y m ás a menudo, de torio 234, cuyo núm ero atóm ico es de en las plantas de energía nuclear. Cuan Z=90, do un núcleo expulsa una partícula beta, • Dado que estas partículas son muy pesa un neutrón es transform ado en un pro das y tienen doble carga positiva les per tón. EJ núcleo aum enta así en una unidad m ite interactuar con casi cualquier otra su núm ero atóm ico, Z, y por tanto, se p artícula con que se encuentre incluyen transm uta en el elem ento siguiente de la do los átom os que constituyen el aire T abla Periódica de los Elem entos. (cuando penetra en un centím etro de aire • Si una partícula beta se acerca a un nú puede producir hasta 30 000 pares de io cleo atóm ico, desvía su trayectoria y pier
Física III 871 de parte de su energía (se "frena"). L a e dad fija de energía, que viene dado por: nergía que ha perdido se transform a en rayos-X . E ste proceso recibe el nom bre E=— K de "R adiación de F renado".O tra intere sante reacción ocurre cuando una partí siendo "h" la constante de Planck, "c" cula beta colisiona con un electrón posi la velocidad de la luz en el vació, y " V tivo. En este proceso, am bas partículas la longitud de onda. Esto difiere de lo se aniquilan y desaparecen, liberando e que ocurre con las ondas clásicas, que nergía en form a de rayos gamma. pueden ganar o perder cantidades arbitra rias de energía. Para la luz visible, la e m )C ascada atm osférica nergía portada por un fotón es de alrede Una cascada atm osférica es un proceso dor de 4 .10'19 julios; esta energía es sufí cuántico de alta energía que se desarrolla cíente para excitar un ojo y dar lugar a la en la atm ósfera terrestre cuando un rayo visión cósm ico prim ario penetra en esta. • A dem ás de energía, los fotones están aso Hay dos tipos de cascadas atm osféricas: ciados a una cantidad de m ovim iento, y las cascadas electrom agnéticas, induci tienen polarización. Siguen las leyes de das por rayos gam m a o leptones (general la m ecánica cuántica, lo que significa m ente electrones o positrones) y las cas que a m enudo estas propiedades no tie cadas hadrónicas, iniciadas po r la interac nen un valor bien definido para un fotón ción de un hadron cósmico de alta ener dado. En su lugar se habla de las proba gía (generalm ente un protón) con un nú bilidades de que tenga una cierta pola cleo de la atmósfera. rización, posición, o cantidad de movimi ento. Por ejem plo, aunque un fotón pue n) Fotón de excitar a una m olécula, a m enudo es En física m oderna, el fotón es la partí im posible predecir cuál será la m olécula cula elem ental responsable de las mam excitada. festaciones cuánticas del fenóm eno elec trom agnético. Es la partícula portadora de todas las formas de radiación electro m agnética, incluyendo a tos rayos gam ma, rayos-X , luz ultravioleta, luz visible, luz infrarroja, m icroondas, y ondas de ra dio. El fotón tiene una m asa invariante cero, y viaja en el vacío con una veloci dad constante "c ” . Com o todos los cuan tos, el fotón presenta tanto propiedades de partícula com o de onda (dualidad on da-partícula). Se com porta como una on da en fenóm enos com o la refracción que tiene lugar en una lente, o en la cancela ción por interferencia destructiva de on das reflejadas; sin em bargo, se com porta com o una partícula cuando interacciona con la m ateria para transferir u na cand
o)R adíoactividad L a radioactividad es un fenóm eno físico natural, por el cual algunos cuerpos o e lem entos quím icos llam ados radiactivos em iten radiaciones que pueden utilizarse para im prim ir placas fotográficas, ioni zar gases, producir fluorescencia, atrave sar cuerpos opacos a la luz ordinaria, etc. D ebido a esa capacidad se las suele deno m inar radiaciones ionizantes. Las radia ciones em itidas pueden ser electrom agné ticas en form a de rayos-X o rayos gam ma, o bien partículas, com o pueden ser núcleos de Helio, electrones o positrones protones u otras. La radiactividad es una propiedad de los
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Inducción electrom agnética m ica presente en la tabla periódica es un isótopos que son "inestables", Es decir valor que tiene en cuenta la abundancia que se m antienen en un estado excitado natural de cada isótopo. A sí, por ejemplo en sus capas electrónicas' o nucleares, siendo la abundancia del Protio 99,9855 con lo que para alcanzar su estado fun % y la del D euterio 0,0145% el valor pre dam ental deben perder energía. Lo hacen senta en la tabla será de [0,0999855x en em isiones electrom agnéticas o en emi 1,007 urna. + 0,000145x2,014 urna] = siones de partículas con una determ inada 1,0071 urna. energía cinética. Esto se produce varían do la energía de sus electrones (emitien p )¿Q ué es la resonancia m agnética do rayos X), sus nucleones (rayo gam nuclear o RMN? ma) o variando el isótopo (al em itir des E s una técnica desarrollada para el análi de el núcleo electrones, positrones, neu sis espectroscópico de sustancias. En la trones, protones o partículas más pesa RM N se coloca una sustancia en un cam das), y en varios pasos sucesivos, con lo po m agnético intenso que afecta al espin que un isótopo pesado puede term inar de los núcleos atóm icos de algunos isó convirtiéndose en uno m ucho más ligero, topos de elem entos com unes. D espués se como el Uranio que con el transcurrir de hace pasar a través de la sustancia una ios siglos acaba convirtiéndose en plomo onda de radio que reorienta los núcleos. La radiactividad puede ser: C uando se desconecta la onda, los nú > N atural: m anifestada por los isótopos cíeos liberan un pulso de energía que pro que se encuentran en la naturaleza. porciona inform ación sobre la estructura > A rtificial: m anifestada por los radioisóto m olecular de la sustancia y que puede pos producidos en transform aciones arti ser transform ado en una imagen median ficíales. te técnicas inform áticas. L a RM N se con • Es aprovechada para la obtención de e virtió tam bién en una herram ienta de nergía, usada en m edicina (radioterapia y diagnóstico para obtener im ágenes de te radiodiagnóstico) y en aplicaciones in jid o s del interior del cuerpo hum ano más dustriales (m edidas de espesores y densi precisas que las logradas m ediante tom o dades entre otras). grafía axial com puterizada. La RM N no im plica radiactividad ni ningún otro tipo p)lsótopos de radiación ionizante, y es una técnica Se llama así a los átom os que tienen el de exploración no superada para obtener m ism o núm ero atóm ico, pero diferente imágenes del cerebro, la cabeza y el cue masa atómica. Es decir, contienen el mis lio. mo núm ero de protones pero difieren en el num ero de neutrones. Com o ejemplo, tendríam os e! Hidrógeno y sus 3 isóto pos, el Protio, el D euterio y el Tritio. En tanto que los 3 tienen el m ism o número atóm ico, al poseer un sólo protón en el núcleo, en el Protio existe su correspon diente neutrón, en el D euterio existe un segundo y en el T ritio un tercero, con lo que cada isótopo difiere en form a ere cíente en su m asa atómica. La m asa ató
11.FEN O M EN O S O N D U LA TO R IO S 1) R eflexión a) Definición Es el cam bio de dirección que experim en ta el rayo de luz (o una onda de sonido) en la superficie de separación de dos me dios (interfase), de tal foim a que e! fren te de onda regresa al m edio en el que fue generada.
PLAN A
CURVA
Física III 873 > Reflexión d ifu sa.- En este tip o de Tefle xión, cuando un haz de luz incide en una superficie áspera o granular es reflejada en todas direcciones debido a las irregu laridades m icroscópicas de la superficie de separación y por esta razón no se for m a ninguna 'imagen', L a form a exacta de la reflexión depende de la estructura de la superficie.
b)Leyenda R.i rayo incidente rayo reflejado R.r ángulo de incidencia 6. ®r N
ángulo de reflexión perpendicular (norm al) a la su perficie pulida.
c) Leyes d e la reflexión 1) E l rayo incidente, rayo reflejado y ñor m al, se encuentran en un m ism o plano 2) El ángulo de incidencia es igual al ángu lo de reflexión, esto es:
d)C !asificación L a reflex ió n de la luz puede ser de dos ti pos dependiendo de la naturaleza de la superficie de separación, a saber: especu lar (com o en un espejo) o difusa (cuando no se conserva la im agen, pero se refleja la energía). > R eflexión especular.- L a superficie don de se refleja la lu z es perfectam ente lisa (espejos, agua en reposo) y todos los ra y os reflejados salen en la m ism a direc ción.
e) Retrorreflexión L a retrorreflexión es la capacidad que tie nen algunas superficies que por su estruc tura pueden reflejar la luz de vuelta ha cia la fuente, sin que im porte el ángulo de incidencia original, este com portami ento se p uede observar en un espejo, pe ro únicam ente cuando éste se encuentra perpendicular a la fuente, es decir, el án guio de incidencia es igual a 90°. Se pue de construir un retrorreflector sim ple co locando tres espejos ordinarios de form a que todos sean perpendiculares entre si (un reflector esquinero). L a im agen que se produce es igual a la im agen producj da por un espejo pero invertida. Tal cp m o se observa en la figura, la com bina ción de las diferentes superficies hace que el h az de luz sea reflejado de vuelta a la fuente.
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Inducción electrom agnética h)¿En que caso la fase de la onda Si a una superficie se le aplica una peque reflejada puede invertirse? ña capa de esferas reflectivas es posible L a fase de la onda reflejada puede inver obtener una superficie con una c a p a d tirse cuando la superficie de separación dad lim itada de retrorreflexión. El mis mo efecto se puede obtener si se dota a es entre un m edio dieléctrico y un m edio conductor, o entre dos m edios dieléctri las superficies con una estructura sim ilar a pequeñas pirám ides (reflexión esquine COS. ra). En ambos casos, la estructura interna i) ¿ P o r qué vem os los objetos? de la superficie refleja la luz que incide Podem os ver los objetos que nos rodean sobre ella y la envía directam ente hacia porque la luz que se refleja en ella llega la fuente. E ste tipo d e superficies se uti hasta nuestros ojos. lizan para crear las señales de tránsito y las placas de los autom óviles, en este ca j) ¿Qué es la reflexión selectiva? so particular no se desea una retrorrefle Con relación a la calidad de la luz refle xión perfecta, pues se quiere que la luz jada, existen dos tip o s adicionales de re retom e tanto hacia las luces del vehículo flexión, ellas son: que emite el haz de luz com o a los ojos 1) A crom ática de la persona que lo v a conduciendo. Se llam a así, a la reflexión en la que se
f) Reflexión acoplada com pleja La luz se refleja exactam ente en la direc ción de la fuente de donde proviene de bido a un proceso óptico no lineal. En es te tipo de reflexión, no solo se invierte la dirección de la luz, tam bién se invierte el frente de la onda. U n reflector acoplado se puede utilizar para rem over aberracio nes en un haz de luz, reflejándola y ha ciéndola pasar de nuevo p o r el dispositi vo óptico que causa la aberración. g)¿De qué depende la cantidad de luz reflejada? La cantidad de luz reflejada por un cuer po depende de: 1)La naturaleza de la superficie (com posi ción. estructura, densidad, color, entre o tras características). 2) La t\ itura de la superficie (plana, rugo sa, i\ guiar irregular, opaca, pulida, etc...) 3) La 1' ngitud de onda de la luz, y de si es tá o ; o polarizada. 4) El ángulo de incidencia de la luz sobre la superficie.
reflejan por igual todas las longitudes de onda. L os tres casos típicos de superfl cies reflectoras acrom áticas se denom i nan: N egras: C uando el porcentaje de refle xión es cero. G rises: C uando el porcentaje de refle xión es del 50 % en todas las longitudes de onda. B lancas: El porcentaje de reflexión es del 100 % en todas las longitudes de on da. 2) Crom áticas Se llam a así, a la reflexión en la que no se reflejan por igual todas las longitudes d e onda, hay un predom inio de unas so bre otras dando com o resultado una radia ción crom ática. k) R eflexión de neutrones M ateriales que reflejan neutrones, com o por ejem plo el B erilio, son utilizados en reactores nucleares y en arm as atóm icas. En las ciencias físicas y biológicas, la re flexión de neutrones es utilizada p ara de term inar la estructura y com posición in te m a de un material.
Física III 875 ondas acústicas cuando pasan de un m e L as ondas sísm icas producidas po r terre dio m aterial a otro de diferente densidad de masa. m otos o p o r otras fuentes tales com o ex plosiones, pueden ser reflejadas por ca b) Leyenda pas dentro de la Tierra. El estudio de las R.i rayo incidente ondas sísm icas reflejadas en las profundi R.R rayo refractado d ades ha dado a los sism ólogos la oportu ángulo de incidencia e i n idad d e determ inar las capas que confor ángulo de refracción m an la estructura de la Tierra. El estudio.* N perpendicular (norm al) a la su de las ondas sísm icas reflejadas de poca perficie que divide los medios. profundidad se utiliza en sism ología por
í) R eflexión sísm ica
reflexión que estudia la corteza de la Tie rra en general, y en particular para encon trar posibles yacim ientos de petróleo o gas natural. m )C apas antirreflectantes S o n capas hechas de m ateriales o sustan cias com o por ejem plo N itruro de Sili ció, que absorben gran parte de la radia ción de luz incidente; por lo que es utili zada en los com ponentes de los sistem as ó p ticos y en dispositivos optoelectróni eos com o los detectores de radiación. 2) R efracción a) D efinición
c) Leyes de la refracción 1)E1 rayo incidente, el rayo refractado y Ja norm al, están en un m ism o plano. 2) Si los rayos de luz son m ocrom áticos, se cum ple la ecuación conocida com o la ley de Snelh n^ sen0¡ = n R s e n 0 R siendo, " n / , "n R " los índices de inci dencia y refracción, respectivam ente. Tam bién, la ley de Snell puede expresar se del m odo siguiente:
nR
Vr
siendo, " n j" , " n R " los índices de refrac ción de los m edios de incidencia y re fracción, y " v ,", "vR " las velocidades del rayo de luz en dichos m edios.
E s el cam bio de dirección que experim en ta una onda al pasar de un m edio mate rial a otro diferente. L a refracción de la lu z se produce cuando la lu z pasa de un m edio de propagación a otro con una d ensidad óptica diferente, por ejemplo del aire al vidrio. La refracción del soni do es la desviación que experim entan las
d)ln d ice de refracción (n) E l índice de u n a sustancia hom ogénea transparente se define com o la razón de la velocidad de la luz en el vacío "c" a la velocidad de la luz "v" en el m edio trans párente, es decir:
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Inducción electrom agnética presión resulta de observar que los mo siendo,"X 0 " y "k " las longitudes de on dos fundam entales en una fibra óptica tie da de la luz en el vacío y en el m edio res nen un índice m odal más cercano al ín pectivam ente. dice de refracción del núcleo. • El índice de refracción de un m edio ho m ogéneo es una m edida que determ ina f) Aplicaciones la reducción de la velocidad de la luz al L a propiedad refractiva de un m aterial es propagarse por un medio. De form a más la propiedad más im portante de cual precisa, el índice de refracción es el cam quier sistem a óptico que usa refracción. bio de la fase por unidad de longitud, es E s un índice inverso que indica el grosor to es, el núm ero de onda en el m edio (k) de los lentes según un poder dado, y el será (n) veces m ayor que el núm ero de poder dispersivo de los prism as. Tam onda en el vació (k0). bién es usado en la quím ica para determ i • El índice de refracción m ide la densidad nar la pureza de los quím icos y para la óptica de un m edio transparente. renderización de m ateriales refractantes • El índice de refracción es una m agnitud en los gráficos tridim ensionales en com física adim ensional m ayor que 1. putadoras. e )ín d ic e de refracción efectivo En una guía de ondas (por ejemplo fibra óptica) el índice de refracción efectivo determ ina el índice de refracción que ex perim enta un m odo de propagación en ra zón a su velocidad de grupo. La constan te de propagación de un m odo que se pro paga por una guía de ondas es el índice e fectivo por el núm ero de onda del vacío: (3 = ne fk 0 = n ef —
Nótese que el índice efectivo no depende sólo de la longitud de onda sino también en el m odo en que la luz se propaga. Por esta razón es que tam bién es llam ado ín dice modal. • El índice de refracción efectivo puede ser una cantidad com pleja, en cuyo caso la parte im aginaria describiría la ganan cia o Jas pérdidas de la luz confinada en la guía de ondas. • N o debe confundirse con la idea que el índice efectivo es una m edida o prom e dio de la cantidad de luz confinada en el núcleo de la guía de onda. Esta falsa im
g )R eflexión interna total Se llam a reflexión interna total al fenó m eno en el que un rayo de luz, al pasar de un m edio de índice de refracción (n¡) hacia otro m edio de índice de refracción m enor (na), se refracta de tal m odo que no es capaz de atravesar la superficie en tre am bos m edios (interfase) reflejando se com pletam ente.
N¡>Nr
En la Fig., para rayos de luz que inciden con ángulos m enores que el ángulo críti co ( 0 < 0 C), la luz se refleja y refracta (rayo 1), y para rayos de luz que inciden con ángulos m ayores o iguales que el án guio crítico ( 0 > 0 C) la luz se refleja to talm ente (rayos 2, 3 y 4). • E ste fenóm eno solo se produce para án
877 Física ill gulos de incidencia superiores a un cier siendo, n¡ y nR los índice de refracción de los m edios con n R>n,. E sta ecuación to valor crítico (0c)- P ara ángulos mayo es resultado de la aplicación de la ley de res la luz deja de atravesar la superficie y Snell para un ángulo de refracción igual es reflejada internam ente de m anera to a 90°. tal. L a reflexión interna total solam ente ocurre en rayos viajando de un m edio de i) Apertura num érica alto índice refractivo hacia m edios de me ñor índice de refracción. • L a reflexión interna total se utiliza en fi bra óptica para conducir la luz a través de la fibra sin pérdidas de energía. En u na fibra óptica el m aterial interno tiene un índice de refracción más grande que el m aterial que lo rodea. El ángulo de la Es un indicador del ángulo m áxim o con incidencia de la luz es crítico para la ba que un haz de luz puede ingresar a una se y su revestim iento y se produce una fibra óptica para que se produzca la re reflexión interna total que preserva la e flexión total interna: n erg ía transportada po r la fibra. • En aparatos de óptica se prefiere utilizar A N = s e n 0 = [ n f - n ^ ' /2 la reflexión total en lugar de espejos me talizados. Com o ejem plo de utilización siendo, (nO el índice de refracción de la de la reflexión total en aparatos com unes parte interna d e la fibra óptica, y (n2) el encontram os el pentaprism a de las cáma índice de refracción del m edio externo ras fotográficas réflex. (aire o vació), y com o se observa a ma yor apertura num érica, m ayor ángulo de h )A ngulo crítico (0C) aceptancia (0).
Se llam a ángulo crítico al ángulo m íni m o de incidencia ( 0 ) para el cual se pro duce la reflexión interna total de los ra yos de luz. E l ángulo de incidencia se m i de respecto a la norm al (N) de la sepa ración de los m edios, y viene dado por:
lc = sen“ 1(— ) n,
j) R efracción de ondas de radio El fenóm eno de la refracción es un fenó m eno que se observa en todo tipo de on das. E n el caso de las ondas de radio, la refracción es especialm ente im portante en la ionosfera en la que se producen u na serie continua de refracciones que per m iten a las ondas de radio viajar de un punto del planeta a otro. k) R efracción de ondas sísm icas O tro ejem plo de refracción no ligado a ondas electrom agnéticas es el de las on das sísm icas. L a velocidad de propaga ción de las ondas sísm icas depende de la densidad del m edio de propagación y, por lo tanto, de la profundidad y de la com posición de la región atravesada por
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Inducción electrom agnética rillo. Un cuerpo es blanco cuando refleja las ondas. Se producen fenóm enos de re todos los colores y negro cuando absor fracción en los siguientes casos: be todos los colores. L os cuerpos negros 1) Refracción entre la transición entre dos se perciben gracias a que se reflejan difu capas geológicas, especialm ente entre el sám ente parte de la luz de lo contrario no manto y el núcleo. serían visibles. 2) En el manto, por pequeñas desviaciones de la densidad entre capas ascendentes 3) D ifusión de la luz menos densas y descendentes, más den a) C oncepto sas. Este fenóm eno se presenta cuando la luz ¿) ¿Por qué se produce el esp ejis atraviesa un m edio diferente del vacío, mo? este es el caso de m edios gaseosos, ya Los espejismos son producidos por un ca sean gases lim pios o con partículas en so extremo de refracción, denom inado re suspensión. Según el m odelo de Lorentz, flexión total. al pasar una onda lum inosa a través del gas, se producen oscilaciones forzadas m )¿Por qué el cielo se ve azul? en los átom os y/o m oléculas del mismo, Los rayos solares, al pasar por la atm ós em itiéndose ondas secundarias. E stas on fera colisionan con las partículas consti das secundarias portan una parte de la e tuyentes (moléculas, iones, etc...) dando nergía de la onda principal, lo cual con lugar a la em isión de ondas secundarias tribuye, ju n to con la absorción, a la ate (Difusión) que al propagarse en todas las nuación de la energía de la radiación in direcciones, producen nuevas ondas se cidente. G racias a la difusión de la luz ve cundarias. Estas ondas secundarias son m os los objetos cuando u n a parte de esa de longitudes de ondas pequeñas, o sea, luz reflejada en todas las direcciones lie una m ezcla de azul y violeta lo que da co ga a nuestros ojos. mo resultado el color azul del cielo. L a visuaiización de partículas suspendí n)¿A qué se deben los colores de das en un cuarto oscuro en el que incide los objetos? luz por un agujero, la apariencia azul del Los colores de los objetos se deben a dos cielo despejado, el blanco de las nubes y causas diferentes, que son: el rojo del Sol al atardecer son conse 1) Colores por transm isión: A lgunos ma cuencias de la difusión de la luz. teriales transparentes absorben toda la ga b)D lspersión de la luz m a de los colores m enos uno, que es el Se llam a así al fenóm eno que se presenta que permiten que se transm ita y de color debido a la relación de dependencia que al material transparente. Por ejem plo, un existe entre el índice de refracción de la vidrio rojo es rojo porque absorbe todos sustancia y las longitudes de onda (X) de los colores m enos el rojo. las ondas lum inosas. 2) Colores por reflexión: La m ayor parte de L a luz de distintas longitudes de onda; los materiales pueden absorber ciertos co es decir, la luz de diferentes colores, no lores y reflejan otros. El color o los colo se refracta p o r igual en la superficie de res que reflejan son los que percibim os separación entre dos m edios transparen como el color del cuerpo. Por ejemplo, tes, por ejem plo entre el vació y una sus un cuerpo es am arillo porque absorbe to dos los colores y sólo se refleja el ama tancia dada. Así, para cada sustancia con
Física III 879 d)P rism a creta el índice de refracción (n) es una función de la longitud de onda, esto es: D ispositivo de vidrio que se utiliza para observar la descom posición de la luz en n = f l^ ) los colores del arco iris, que van desde el rojo hasta el violeta, cuando se refracta a • El fenóm eno de difusión está intim am en través del prism a, este fenóm eno recibe te relacionada con la de difracción y con el nom bre de dispersión y se debe a que la dispersión. la velocidad de la luz en un m edio cual quiera v aría con la longitud de onda (el c) D ensidad óptica índice de refracción de un m edio y por L a densidad óptica para una determ inada tanto la velocidad de la luz en el mismo longitud de onda es una expresión de la depende de la longitud de onda). Cada transm itancia del elem ento óptico, esto color tien e una longitud de onda distinta. es, cuanto m ayor es la densidad óptica, A sí, para un m ism o ángulo de inciden m enor es la transm itancia. cia, la luz se refracta con ángulos distín L os m edios más refrirtgentes son aque tos para diferentes colores, com o se apre lias en la que la luz se propaga a m enor cia en la Fig. velocidad, se dice tam bién que tienen ma yor densidad óptica. E n general, la refringencia de un m edio v a asociada a su densidad de masa, pues, (1) la lu z encontrará m ayor cantidad de mate (2 ) (3) ria en su propagación en el m edio. Así, a m ayor densidad óptica, m enor velocidad de propagación de la luz. L a densidad óptica es la absorción de ele ( l) r o jo , (2) am arillo, (3) azul m entó óptico por unidad de distancia, pa e )A rc o iris ra u n a longitud de onda dada, esto es: El arco iris es u n a consecuencia de la dis persión de la luz del sol cuando se refrac D O l = ^ r = - ^ loS io T = | l ° g |o ( y ) ta y se refleja en las gotas de agua de llu via. El color rojo es el que m enos se re fracta y se encuentra en la p arte exterior siendo, " í" el espesor de la m uestra, la del arco. "T0 " intensidad de la luz incidente, "I" la intensidad de la luz transm itida, "T " la transm itancia. M ientras m ás alta es la densidad óptica m ás corta es la transm itancia. El ozono com o el vapor, absorben radia ción en un determ inado rango de longitu des de onda, dism inuyendo el porcentaje de la radiación que atraviesa la atm ósfe ra, por lo tanto, aum entando la densidad óptica.
f) Efecto invernadero Se llam a así al calentam iento que experi m enta la atm ósfera terrestre, debido a que este absorbe la luz infrarroja (IR) procedente del suelo, evitando una perdí da de calor hacia el espacio exterior, co mo consecuencia el suelo y el clim a te rrestre adquieren u n a m ayor tem peratura de la que pudieran estar si no existiese es te efecto.
Inducción electrom agnética O T ransparentes: Se llam a así a las sustan • La pequeña contribución del ozono (mo cias o m ateriales que perm iten que la luz lécula 0 3) al “efecto invernadero”, es o se propague en su interior en una misma casionada por la presencia del ozono en el aire urbano altam ente contam inado en dirección, volviendo a salir de ellos, y ab sorbiendo muy poco la luz visible. Ejem regiones cercanas al suelo, pío de estos m edios son el vidrio, el a • El efecto invernadero ayuda a m antener gua, alcohol, cuarzo, etc.... la T ierra a tem peraturas cóm odas para la 2) O pacos: Se llam a así a las sustancias o vida, pero esta es una situación con un m ateriales que perm iten que la luz sea ab balance muy delicado. En el últim o me sorbida o reflejada pero no transm itida a dio siglo, la quem a de com bustibles fósi les, carbón y petróleo, h a increm entando través de ellos. P or tanto, no se ven im á genes a través de ellos. Ejem plo de estos continuam ente el contenido atm osférico m edios son el cartón, cerámica, etc.. de C 0 2. L a tem peratura prom edio de la 3) T ranslúcidos: Son aquellas sustancias o Tierra tam bién se ha increm entado, y m ateriales que absorben o reflejan par este increm ento se cree que es debido al cialm ente la luz y perm iten que se propa aum ento de C 0 2. gue parte de ella, pero la difunden en dis g)¿ P o r qué se pierde el ozono? tintas direcciones. Por tanto, no se ven i El ozono que se encuentra a grandes altu m ágenes nítidas a través de ellos. Ejem ras se pierde debido a la presencia del pío de estos m edios son la tela fina, el pa cloro, producido en los gases refrigeran peí cebolla, etc... tes que se pierden, en los dispositivos de L os m edios opacos absorben fuertem en aires acondicionados, refrigeradores, bo te la luz visible de cualquier frecuencia tes de aerosol y tam bién en algunas apli de m odo que sólo pueden ser atravesadas caciones industriales. Com o estos gases por la luz lám inas muy delgadas de estos son muy estables pueden perm anecer en m ateriales, por ejem plo, los m etales, m a la atm ósfera po r m uchos años, y al llegar dera, rocas, etc.,. a la estratosfera sus m oléculas son divi D ebe aclararse que existen m edios que didas por la luz ultravioleta desprendien son transparentes para determ inadas fre do cloro. D ebido al daño que ocasionan cuencias pero que son opacos para otras. estos gases a la capa de ozono, su uso es Tal es el caso del vidrio que es transpa tá siendo descontinuado y prohibido. rente para la luz visible pero opaco para la luz ultravioleta. 4)A bsorción de la luz
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a) Definición La absorción de la luz es el fenóm eno que consiste en la transform ación de la e nergía lum inosa en otro tipo de energía (calor) al propagarse la luz en una sus tancia cualquiera. b)M edios Las sustancias y/o m ateriales según su com portam iento en presencia de la luz, se clasifican en m edios transparentes, o pacos y translúcidos'.
c)M ecan ism o El fenóm eno de absorción de la luz se debe a que el cam po electrom agnético de esta le cede energía a los átom os y/o mo léculas que forman el medio. Parte de es ta energía, m ediante choques es cedida a otros átom os y/o m oléculas vecinos, au m entando el m ovim iento caótico de es tos y, por tanto, aum entando la tem pera tura del medio. C uando la radiación de la luz incide so
Física III 881 bre los cuerpos se dan los procesos cono la estratosfera, 17 % es absorbida por el cidos com o fotolisis y fotosíntesis. vapor de agua en la troposfera com o ra diación infrarroja, de m odo que a la su d )F o to lis is perficie terrestre llega el 47 % de la ra Se llam a así a la ruptura de enlaces quí diación solar, de esta radiación 25,8 % m icos debido a la incidencia de 1a luz, o es absorbida por el agua de los océanos, riginando una disociación de m oléculas, 0,2 % es absorbida p o r las plantas y 21 en este proceso se basa la fotosíntesis. % es absorbida por el suelo. E n la actualidad se sigue investigando en la p osibilidad de aplicar la fotolisis al a h )¿ Q ué es el ojo hum ano? gua, con el objetivo de obtener d e m odo El ojo hum ano es un com pleto instrum en to óptico gracias al cual podem os perci sencillo y barato hidrogeno que puede u tilizarse com o com bustible de los m oto bir todos los fenóm enos vistos hasta aho ra. res de com bustión interna de los autom viles. i) Defectos de la vista Se llam a ojo “em étrope” al ojo norm al, e) Fo to sín tesis E n un proceso m ediante el cual las plan es decir, aquel que enfoca bien los obje tas, algas y algunas bacterias captan y uti tos lejanos y cercanos. Los defectos más lizan la energía de la luz para transfor com unes de la vista son: m ar la m ateria inorgánica de su m edio ex 11 M io p ía: Se produce en ojos con un globo te m o en m ateria orgánica que utilizaran ocular anorm alm ente grande, el cristali p ara su crecim iento y desarrollo. no no enfoca bien la im agen de los ob L os organism os capaces de realizar este je to s lejanos, la im agen se form a delante p ro ceso se denom inan fotoautótrotos y de la retina y no en su superficie, Los adem ás son capaces de fijar el C 0 2 at m iopes ven borrosos los objetos lejanos, m osférico. Salvo e n algunas bacterias, pero bien los cercanos. Este defecto se en el proceso de la síntesis se producen corrige con lentes divergentes, que trasla dan la im agen más atrás. liberación de oxígeno m olecular hacia la 2") H ioerm etropía: E l globo ocular es más atm ósfera. pequeño de lo norm al y la im agen de los f) A b so rció n resonante objetos cercanos se forman detrás de la S e dice q ue se h a producido absorción re retina. Los hiperm étropes ven mal de cer sonante, cuando la frecuencia de oscila ca pero bien de lejos. E ste defecto se co ción de los átom os y/o m oléculas del me rrige usando lentes convergentes. d io es casi igual a la de las ondas de luz 31 A stigm atism o incidente. Es un defecto m uy habitual que se debe a deform aciones en la curvatura de la cór g )R e fle x ió n y abso rció n de la luz nea. L a visión no es nítida. s o la r sob re la tierra C u ando la luz del sol después de recorrer 5) Interferencia 150 m illo n es de kilóm etros llega a la at a) Definición m ó sfera terrestre es reflejada el 28 % de Se denom ina interferencia a la superposi la radiación solar, 3 % de la radiación u¡ ción sim ultánea en una región del espa trav io leta es absorbida por el ozono en ció de dos o más ondas de igual o parecí
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Inducción electrom agnética am plitud (A i-A 2) como m uestra la Fig. da frecuencia. El principio de superposi. ción de ondas establece que la m agnitud del desplazam iento ondulatorio en cual quier punto del m edio es igual a la sum a de los desplazam ientos en ese m ism o punto de todas las ondas presentes. Por ejem plo, los colores del arco iris que se observan en una burbuja de ja b ó n son de bidas al fenóm eno de interferencia de las ondas de luz. Las ondas d e luz refleja d)lnterferenc¡a destructiva das en la superficie interior de la burbuja Se produce interferencia destructiva interfieren con las ondas de esa m ism a cuando dos ondas en desfase se superpo longitud reflejadas en la superficie exte nen, restándose sus am plitudes (A (, A2) rior. En algunas de las longitudes de on dando com o resultado una onda de me da, la interferencia es constructiva, y en ñor am plitud (Ai -A2) com o m uestra la otras destructiva. Com o las distintas Ion Fig. gitudes de onda de la luz corresponden a diferentes colores, la luz reflejada por la Ai burbuja de ja b ó n aparece coloreada.
b)G ene ración • Se pueden generar de varias form as la in terferencia ondulatoria, así, cuando una onda se superpone a su onda reflejada se genera una onda estacionaria. • O tra form a de interferencia se encuentra en el m ovim iento ondulatorio confinado a una región del espacio de una cuerda fí ja por sus extrem os, un líquido en un ca nal, una onda electrom agnética en una ca vidad metálica, etc....La interferencia en estos casos da com o resultado ondas esta donarías.
e) E xperim ento de Young Con está experiencia Thom as Y oung en 1802, dem ostró por vez prim era el fenó m eno d e la interferencia de ondas lumi nosas, para lo cual utilizó com o fuente lu m iñosa la luz solar. F
c) Interferencia constructiva Se produce interferencia constructiva cuando dos ondas en fase se superponen, sum ándose sus am plitudes (A ,, A2), dan do com o resultado una onda de mayor
• M ediante el experim ento de Y oung se de
F ís ic a III
m uestra, tam bién, el com portam iento on du lato rio que posee la luz. • L os d ispositivos utilizados en el experi m entó, consisten básicam ente de dos lá m inas la prim era de una sola rendija "S" y la segunda d e dos rendijas "S j" y "S2 " u n a fuente d e luz m onocrom ática (de u n a sola frecuencia o longitud de onda) co herente, y u na p antalla (F) tal com o se o b serv a en la Fig. • L as o n das de luz al pasar por "S" se di fractan, a su vez, estas ondas al incidir sobre las rendijas "S j" y '' 8 2 ", producen la interferencia, las cuales se observan en la p antalla "F" com o franjas obscuras e ilum inadas, las franjas oscuras se aso cian a la interferencia destructiva, y las franjas ilum inadas a la interferencia cons tructiva. f) H olografía E s una técn ica avanzada de fotografía, que consiste en crear im ágenes tridim en sionales de los objetos basados en el fe nóm en o de la interferencia de las ondas de luz. P ara esto se utiliza un rayo láser, q u e g raba m icroscópicam ente una pelícu la fotosensible. Esta, al recibir la luz des d e la p erspectiva adecuada, proyecta una im agen en tres dim ensiones. • E n la h olografía, a diferencia de lo que o curre en el m étodo fotográfico com ún, se registran, po r m edio de una em ulsión fo to sen sible, no sólo las relaciones entre las am plitudes (o sus cuadrados, es decir, las in tensidades) de las ondas lum inosas difundidas po r las distintas partes peque fías de la superficie del objeto, sino tam bién entre las fases de estas ondas. f) H olo gram a Se llam a hologram a de un objeto, a la fi gura de interferencia fijada en la placa fo tográfica, después de revelada.
883
6) D ifracción de la luz • Se denom ina así a las desviaciones en sus trayectorias que experim entan las on das de luz, cuando pasan por el borde de la abertura de una pantalla, o colisionan con un objeto, que puede ser un alambre o disco, com o m uestra la Fig.
ONDAS PLANAS
ONDAS D IFRACTADAS
P ara que la difracción sea notoria la Ion gitud d e o n d a (L) debe ser m enor que el tam año de la abertura (b). L a difracción es un fenóm eno caracteris tico de la naturaleza ondulatoria de la luz L a difracción no es posible observar a sim ple vista, pues la m ayoría de los ob je to s o aberturas son m ucho m ayores que la longitud de onda de la luz, cuya magni tud es del orden de 5.10 ' 7 m. L a difracción es un fenóm eno de tipo in terferencial, es decir, es la superposición de ondas coherentes entre sí. P ara onda de luz de longitud d e onda (L) que inciden perpendicularm ente sobre una abertura m uy angosta de ancho (b), Fig., los rayos difractados interfieren des tructivam ente para: b se n 0 = nA.
(n = ±1, ± 2, ± 3,...) PANTALLA
884
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
7) Polarización de la luz L a luz em itida por fuentes com unes, es un conjunto de m uchos trenes de ondas plano polarizados, cuyos vectores de campo eléctrico E oscilan a lo largo de todas las posibles direcciones perpendi culares al rayo.
• Se denom ina analizadores a los dispositi vos que se utilizan para determ inar el ca rácter y el grado de polarización de la luz, en general los polarizadores tam bién se utilizan com o analizadores
8) Birrefringencia R.R
En la Fig., el rayo de luz ingresa al papel y É es perpendicular al mismo. • L a luz se denom ina natural o no polariza da si en ella no predom ina ninguna de las direcciones indicadas de las o sc ila d o nes. • En la luz natural el vector cam po eléctri co E oscila en todas las direcciones en forma rápida y desordenada en el plano perpendicular al rayo de luz. • A la luz cuyo vector de campo eléctrico É oscila en una dirección predom inante se le denom ina luz parcialm ente polariza da, la cual se considera estar form ada por luz natural y luz linealm ente polariza da, que se propagan en una m ism a direc ción. • Se denom ina polarización de la luz a la separación de la luz linealm ente polariza da de la luz natural o parcialm ente pola rizada. Esto se consigue haciendo uso de dispositivos especiales llamados polariza dores. • El funcionam iento de los polarizadores se basa en la polarización de la luz al re flejarse y refractarse en la superficie de separación (interfase) de dos m edios die léctricos diferentes o en los fenóm enos de birrefringencia.
Se denom ina birrefringencia o doble re fracción al fenóm eno en la cual el rayo que incide sobre una superficie de cristal se desdobla en dos rayos refractados lj nealm ente polarizados de m anera perpen dicular entre si com o si el m aterial tuvie ra dos índices de refracción distintos, co mo m uestra la Fig., para el cristal de es pato de islandia. • L a prim era de ias dos direcciones sigue las leyes norm ales de la refracción y se llam a rayo ordinario; la otra tiene una ve locidad y un índice de refracción varia bles y se llam a ra yo extraordinario. Am bas ondas están polarizadas perpendicu larm ente entre sí. E ste fenóm eno sólo puede ocurrir si la estructura del m aterial es anisótropa. Si el m aterial tiene un solo eje de anisotropía, (es decir es uniaxial), la birrefringencia puede form alizarse a signando dos índices de refracción dife rentes al m aterial p ara las distintas polari zaciones. L a birrefringencia está cuantificada por la relación: An = n e - n
0
siendo, n0, ne los índices de refracción para las polarizaciones perpendicular (ra
F ís ic a Hl
yo ordinario) y paralela al eje de anisotro p ía (rayo extraordinario), respectivam en te. • L a birrefringencia puede darse tam bién en m ateriales m agnéticos, pero v a ria d o n es sustanciales en la perm eabilidad m ag n ética de m ateriales son raras a las fre cuencias ópticas. El papel de celofán es un m aterial birre frin g ente com ún. El fenóm eno de birrefringencia no se da en cristales cúbicos regulares.
885
b )P u lso de onda U n pulse es un perturbación que experi m enta un m edio o estado físico que dura un corto intervalo de tiem po y de exten sión lim itada. U n a característica princi pal de un pulso es que tiene un principio y un final. E jem plos de pulso son:
12. EFE C TO D O P P LE R a )V e lo c id a d d e grupo (vg) • El p ulso de la Fig., no es arm ónica, pues, su am plitud no es constante. • L a velocidad de grupo es la velocidad con la que se desplaza un pulso.
• P ara un m edio no dispersivo ni absorven te la v elocidad de fase coincide con la de grupo. • P ara un m edio dispersivo, la velocidad d e p ropagación depende de la longitud de o nda (frecuencia), y la velocidad de grupo, viene dada por:
siendo, (v) la velocidad de propagación d e la onda sinusoidal, (k) el núm ero de onda. • L as ondas de am plitud m odulada (pul sos) se u tilizan para transm itir señales electrom agnéticas.
1) U na sacudida b ru sca (subida y bajada de la m ano) aplicada en el extrem o de una cuerda ten sa produce un pulso de una onda m ecánica que se propaga a lo largo de la cuerda, de izquierda a derecha. 2) El sonido de un disparo es un pulso de u na onda de sonido que se propaga en el espacio, en todas las direcciones. 3) U n flash o destello lum inoso es un pulso de u na onda de luz, etc... • Se debe decir que un pulso es producido por u n a sola vibración (efecto perturba dor), en tanto, una onda es producida por una serie sucesiva de vibraciones, por lo que, un pulso no es precisam ente una on da. c) Pulso electrom agnético Se llam a pulso electrom agnético (PEM ) a la em isión de energía electrom agnética de alta intensidad en un breve p eríodo de tiem po. E sta em isión de radiación elec trom agnétíca puede ser resultado de una gran explosión nuclear o un cam po mag nético que fluctúa intensam ente causado por la fuerza de em puje del efecto Com g ton en electrones y fotoelectrones de los fotones dispersados en los m ateriales del aparato electrónico o explosivo, o a su a¡ rededor. L os cam pos eléctricos y magné ticos resultantes pueden interferir en sis
886 In d u cció n e le c tro m a g n é tic a dos, en la investigación de la form ación tem as eléctricos y electrónicos provocan de fenóm enos atm osféricos (cícíones, tor do picos de tensión que pueden dañarlos. bellinos, huracanes, e tc ...) Los efectos no suelen ser importantes - E n la espectroscopia, el efecto D oppler más allá del radio de explosión de la se utiliza en el trazado de los m ovím ien bom ba a no ser que ésta sea nuclear o es tos estelares, tam bién, para estim ar la ma té diseñada específicamente para produ sa de las estrellas o la edad del universo cir una onda de choque electromagnéti (usando la ley de H ubble). O en el estu ca. dio de la expansión de universo. • En el caso de una explosión nuclear o un - En el control del transito vehicular, se u impacto de asteroide, la mayor parte de tiliza p ara determ inar la velocidad de los la energía del pulso electromagnético se vehículos autom otores, m ediante disposi distribuye en la banda de frecuencias de tivos que utilizan este efecto. entre 3 H z y 30 kHz. - En la industria se utiliza en el control de d) Efecto Doppler procesos industriales y optim ización de 1) Concepto la producción en el ram o textil, papelero Se llama efecto Doppler la variación de y de em presas fabricantes de cables, en la frecuencia de las ondas de sonido o de tre otros. luz emitidas por una fuente (F), registra - E n la m edicina, este efecto m ediante la da por un receptor (R), debida al movi técnica de ultrasonidos, se utiliza para la miento relativo de la fuente de ondas y elaboración de radiografías de algunos del receptor. Este efecto explica por qué, órganos internos del cuerpo hum ano. cuando una fuente de sonido de ffecuen - En el transporte aéreo, se utiliza en los ra cia constante avanza hacia el receptor, el dares, para determ inar la posición de los sonido parece más agudo (de mayor fre aviones. cuencía), mientras que si la fuente se ale - Se utiliza en la interpretación de espec ja parece más grave (de menor frecuen tros, así, en el espectro del hidrogeno se cia). En el caso del espectro visible de la encuentra que las líneas espectrales tie radiación electromagnética, si el objeto nen u na estructura fina debida a tres cau se aleja, su luz se desplaza a longitudes sas: la form a elíp tica de las órbitas de los de onda más largas, desplazándose hacia electrones, el espín del electrón y el es el rojo. Si el objeto se acerca, su luz pre pin del protón, y el efecto D oppler debi senta una longitud de onda más corta, do al m ovim iento relativo de las partícu desplazándose hacia el azul. Esta desvia las constituyentes del hidrógeno atóm ico ción hacía el rojo o el azul es muy leve y m olecular. incluso para velocidades elevadas, como 3) Efecto D o pp ler acústico las velocidades relativas entre estrellas o Com o la velocidad de la fuente (F) res entre galaxias, y el ojo humano puede pecto del receptor (R), o viceversa es mu captarlo, solamente medirlo indirecta cho m enor que la velocidad de la luz en mente utilizando instrumentos de preci sión como espectrómetros. el vacio (c), el efecto D oppler acústico se estudia dentro de los lím ites de la físi 3)Aplicaciones ca clásica, los casos que se presentan pa - Se utilizan dispositivos láser por efecto ra la frecuencia de las ondas de sonido Doppler para medir la velocidad de flui registrada por el receptor son:
F ís ic a III
> P rim er caso El receptor (R) está en reposo respecto de un m edio gaseoso (o líquido), y la fuente (F) se aleja de él con la velocidad v¡ a lo largo de la recta que los une, co
887
L a frecuencia registrada p o r el receptor " f " es m enor que la frecuencia de las os cilaciones de la fuente "f 0
m o se m uestra en la Fig.
• Si la fuente (F) se acerca con una velo cidad Vj, al receptor (R) en reposo a lo Para un tiem po igual al período T 0 de sus oscilaciones, la fuente recorrerá u na dis ta n cia igual a ViTo^Vj/fo, siendo f 0 la fre cuencia de las oscilaciones de la fuente (claxon de la com bi). E n la Fig., la dife rencia de las longitudes de onda cuando la fuente (F) está en m ovim iento "A,", y cuando está en reposo "A0" es: A - A0 = VjT0 A = A0 + VjTq = (v + vJT q A = (v + v , ) / f 0 siendo, "v" la velocidad de fase de la on da en el medio. A sí, la frecuencia de la onda registrada p or el receptor (R) es:
largo de la recta que los une, la frecuen cia de las ondas de sonido, registrada por el receptor, viene dada por: f . _
L a frecuencia registrada p o r el receptor " f " es m ayor que la frecuencia de las os cilaciones de la fuente "f0". • Ahora, si la dirección del vector veloci dad de la fuente vj form a un ángulo ar bitrario "0 " con la recta que u n e a la fuente (F) con el receptor (R), la expre sión anterior se escribe así: f = 1
f _ v = fp A l + ( V |/ v )
&—
l- tv j/v )
&______ —(v, co s 0 /v )
> Segundo caso
Ahora, si la dirección del vector veloci dad de la fuente V] form a un ángulo arbi trario " 0 " con la recta que une a la fuen te (F) con el receptor (R), la expresión anterior se escribe así:
l + (V|COS0/v)
El receptor (R) se acerca con u n a veloci-
888
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
a ta fuente (F) en reposo respec
• Si la dirección de la velocidad v 2 del re
to de un m edio gaseoso, a lo largo de la recta que los une. E n la Fig., la longitud de la onda en el m edio es A=A.0=v/f0. Pero la velocidad de propagación de la onda con respecto al receptor es v+v2, de m odo que la frecuen cia del de sonido registrada por el recep to r (R) es:
ceptor form a un ángulo ”0 " con la recta que une al receptor con la fuente, la ex presión anterior se escribe así:
dad v 2
V + V'»
v->
f= -p -= (l+ -)f XQ v
0
f = ( l - ~ c o s 0 )fo v
> Tercer caso L a fuente (F) y el receptor (R) se acercan (o alejan) entre si con velocidades \] y v 2 respecto del m edio gaseoso (o fluí do), a lo largo de la recta que los une.
La frecuencia " f Mregistrada por el recep to r es m ayor que la frecuencia de las os cilaciones de la fuente "f0 ". Si la dirección de la velocidad v 2 del re ceptor form a un ángulo ”0 " con la recta que une al receptor con la fuente, la ex presión anterior se escribe así: f =
(1
+ — co s0 ) f o v
A plicando el principio de superposición al prim er y segundo caso, se encuentra que la frecuencia registrada por el recep tor (R) es: 1 ¿ ÍV t / v )
f =
Si el receptor (R) se aleja con una veloci dad v 2 de la fuente (F) en reposo respec to de un m edio gaseoso, a lo largo de la recta que los une, la frecuencia de las on das de sonido registrada por el receptor (R), viene dada por:
-]fo
l + ( v ,/v )
siendo, "v" la velocidad la velocidad de fase de la onda en el medio. • Si los vectores velocidad v, y v 2 , for man ángulos
01
y
0 2,
con la recta que u
ne al receptor con la fuente, la expresión anterior, se escribe asi: _
l ± ( v 2/v )c o s e 2 f 1+ ( V | /v )c o s 0 j
f = V - v2 _ ,i v2 = a ~ — )f0 V
L a frecuencia " f " registrada po r el recep tor es m enor que la frecuencia de las os cilaciones de la fuente "f0".
0
4) Efecto D oppler electrom agnético Si la fuente lum inosa y el receptor de on das lum inosas se desplazan uniform e m ente con respecto a un sistem a inercial de referencia, la frecuencia observada (f)
889
F ís ic a III
de la luz está relacionada con la frecuen cia (f0) observada en este sistem a están do inm óviles la fuente em isora y el obser vador, m ediante la relación: f _ f [ l~ (v /c )2] 0 1
i/2
+ ( v /c ) eos
f < f0 , X > > Si la fuente (F) y el observador (R ) se a
cercan el uno hacia el otro, tiene:
0
= 180°, se
0
siendo, ( 0 ) el ángulo entre la línea de ob servación y la dirección del m ovim iento de la fuente con respecto al observador, m edido en el sistem a de coordenadas re lacionado con el observador, (v) la m ag n itu d de la velocidad del m ovim iento re lativo de la fuente em isiva, y (c) la velo cidad de la luz en el vació. f> f0 , X
siendo,(R ) el receptor y (F) la fuente de la ondas lum inosas, que se traslada con v elo cid ad (v) a lo largo del eje X, y S, S 5 lo s sistem as de coordenadas cartesianas el prim ero fijo y el segundo m oviéndose ju n to a la fuente. C as o s particu lares > Si la fuente (F) y el observador (R) se ale ja n el uno del otro, 0 = 0 o, se tiene: f < f 0 , X > X0 <<: E fecto tran sv ersal D o p p ler>:>
> Para, 0 = t i / 2 ó 8 = 3 tc/2 y v « c , se tie n e que f = f0 , X = XQ , y no se observa el efecto Doppler. > Para, cosQ = - [ 1 - (1 - p 2 ) ] 1 / 2 y v « c no se observa el efecto D oppler, siendo ((3= v/c).
890
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
P R O B L E M A S
P R O P U E S T O S
01. Fig.01, el conductor rectilíneo de longitud t= \ 0 cm se desplaza con velocidad v=15 m/s perpendicularm ente al campo m agnético uniform e de B=0,1 T de inducción. H allar el valor de la fuerza electrom otriz ( ^ ) inducida en el conductor. a) 0,11 V
b) 0,13 V
c) 0,15 V
d ) 0 ,1 7 V
e )0 ,1 9 V
02. E n la Fig.02, la barra delgada de Im de longitud g ira en un cam po m agnético de magni tud B=0,05 T, alrededor de un eje que pasa por uno de sus extrem os y es paralelo al campo m agnético. H allar el flujo de inducción m agnética (3>) que atraviesa la barra en cada vuelta. a) 0,151 W b
b) 0,153 W b
c ) 0 ,1 5 5 W b
B
I
d )Ü ,1 5 7 W b x x
®
X
x \
X
e ) 0 ,1 5 9 W b x
/ ’ /x
X
X
X
Fig.01
X
X
X
X
X
X^.-'X
X
X -,-..X
x
B X\ X
/X
X
Fig.02
03. Se coloca una bobina de N =200 vueltas y de R=0,10 m de radio perpendicularm ente a un campo magnético uniform e de B -0 ,2 T. H allar el valor de la fuerza electrom otriz (£,) inducida en la bobina si en 0 , 1 s se duplica la m agnitud del cam po magnético. a) l ic V
b) 2n V
c) 3 n V
d ) 47t V
e) 5ti V
04. P or un solenoide de excitación m agnética H = I6 .1 0 3 A/m y longitud í =100 cm, circula una corriente de intensidad i= 40 A. H allar el valor de la fuerza electrom otriz (£,) indu cida en el solenoide si se ubica en un cam po cuyo flujo m agnético varia 600.10'8 W eber /m 2 en cada segundo. a) 2,0 mV
b) 2,2 mV
c) 2,4 mV
d) 2,6 mV
e) 2,8 mV
05. U na espira circular conductora, de área A =100 cm 2 se h alla en un cam po m agnético um forme de inducción igual a B=1 W b/m2. El plano de la espira es perpendicular a la d[ rección del campo m agnético. H allar valor m edio de la fuerza electrom otriz (£) de in ducción que se crea en la espira si gira un ángulo de 180° en 0 , 0 1 s. a)
1 V
b) 2 V
c) 3 V
d)
4 V
e) 5 V
Física III 891 06. En la Fig.03, la espira de área A =500 cm 2 y resistencia eléctrica R =10 Q se acerca hacia un imán fijo, aum entando el flujo m agnético a través de ella a razón de 0,2 Wb/s. . iullar la intensidad de corriente inducida en la espira. a) 10 m A
b) 20 mA
c) 30 mA
d) 40 m A
e) 50 mA
07. U na bobina de N = 300 espiras y área A = 100 cm 2 gira en un cam po m agnético de magni tud B=0,5 W b/m2 a co =1 800 rev/m in. ¿Cuál es el valor m áxim o de la fuerza electrom o triz generada? a) 50 ti V
b) 60 tt V
c) 70 tt V
d) 80 tt V
e) 90 tt V
08. En la Fig.04, al interrum pir el circuito de la izquierda, respecto del sentido de la corrien te inducida en el circuito de la derecha, indique la afirm ación verdadera (V) o correcta F ).
I)
H orario
a)
V FF
II) A ntihorario b) FV F
r
m i-
c) FFV
III) N o hay corriente d) V V F
e) VFV
U J J I, v e?
IM A N
R
Fig.03 09.
Fig.04
En la Fig.05, al cerrar el circuito de la izquierda, respecto del sentido de la corriente e léctrica inducida en el circuito de la derecha, indicar las afirm aciones verdaderas (V) o falsas (F): I) H orario II) A ntihorario III) N o hay corriente a) V FF
b) FVF
c) FFV
d) VVF
e) VFV
R
Fig.05
Fig.06
10. En la Fig.06, el circuito rectangular se m ueve con velocidad "v " , alejándose del alam bre, respecto del sentido de la corriente eléctrica inducida en el circuito, indicar las afir m aciones verdaderas (V ) ó falsas (F)
892___________
Inducción electromagnética____________________ II)
I) Horario a) VFF
b) FVF
A ntihorario c) FFV
III) N o hay corriente d) V V F
e) VFV
11. En la Fig.07, el disco de cobre de radio r=20 cm gira perpendicularm ente a las líneas de de un campo magnético de B=1 T a razón de f=50 rev/s. H ab ar la intensidad de corrien te que circula a través de la resistencia de R - 4 Q. a) 1,51 A
b) 1,53 A
0 ) 1 ,5 5 A
d) 1,57 A
e) 1,59 A
12. En la Fig.08, la inducción m agnética que pasa través de la espira perpendicularm ente al plano que lo contiene, varía de acuerdo con la relación: O b = 6 12 + 7 1 + 1, donde "t" esta dado en segundos. H allar la fuerza electrom otriz (£) inducida en la espira de área A=10 cm2, p arat= 2 s. (m = 10‘3) a) 31 mW b
b) 33 mW b
c) 35 m W b
d) 37 m W b
e) 39 mW b
X X % X X
Fig.07
Fig.08
13. Un alambre de longitud i = 50 cm, es perpendicular a un cam po m agnético uniform e de m agnitud B - 4 T, y se mueve con velocidad v = 40 cm /s form ando un ángulo 0 = 37° con el campo m agnético. H allar la fuerza electrom otriz (£,) inducida en el alambre. a) 0,12 V
b) 0,24 V
c) 0,36 V
d) 0,48 V
e) 0,60 V
14. U n imán moviéndose con velocidad de v=2 cm /s sobre el eje de una bobina de N =100 espiras se aleja 10 cm, cam biando el flujo a través de la bobina de 300 W b a 280 Wb. H allar el valor de la fuerza electrom otriz (£) inducida en la bobina. a) 300 V
b) 350 V
c) 400 V
d) 450 V
e) 500 V
15. U na barra de cobre de longitud £ - 40 cm se m ueve perpendicularm ente a un campo magnético de magnitud B = 0,5 T con velocidad de m agnitud v = 20 cm/s. H allar la fuer za electrom otriz inducida en la barra, (m = 10 3) a) 10 mT
b) 20 m T
c) 30 m T
d) 40 m T
e) 50 mT
16. El flujo magnético que pasa a través de) área de una espira es:
Física III a) 1 V
b) 2 V
c)
3V
893
d) 4 V
e) 5 V
17. El flujo m agnético a través de un circuito constituido por dos espiras que conducen una corriente de intensidad i = 2 A es B = 0,4 Wb. H allar la fuerza electrom otriz (£,) auto inducida en el circuito, si la corriente se duplica en 0,2 s. a) I V
b) 2 V
c)
18. H allar el coeficiente de autoinducción
3V
d) 4 V
e) 5 V
de un solenoide de N =100 espiras, longitud
£ = 5 cm y área de sección transversal A = 5 cm 2. ( p 0 = 4^.10-7 H /m , p = 10‘6) a) IOtc p H
b) 20 ti p H
c) 3Ü7i p H
d) 40 tc p H
e) 50 ji p H
19. Un avión vuela con velocidad de v=360 km /h form ando un ángulo de 0 = 37° con un cam po m agnético de m agnitud B =10'8 T . H allar la diferencia de potencial entre las pun tas de las alas, cuya longitud es de £ = 25 m. ( p = 10 '5) a) 10 pV
b) 15 pV
c) 20 pV
d) 25 pV
e) 30 pV
20. E n un instante dado, por una bobina de N -2 0 espiras, y coeficiente de autoinducción L =l 5 H, circula una corriente de intensidad i = 4 A. H allar el flujo, m agnético que pasa a través del área de la bobina. a) 1 W b
b) 2 W b
c) 3 W b
d) 4 Wb
e) 5 Wb
21. H allar la inductancia por unidad de longitud de un cable coaxial de radios interno a=2 m m y externo b=4 mm. ( p 0 = 4 n .l0 “7 H /m ; n = 10‘9)
a) 131 — m
b) 133 — m
c) 135 — m
d) 137 — m
e)
139 — m
22. Un solenoide de longitud £ = 50 cm, y sección transversal de área A=2 cm 2 tiene una in ductancia L = 2.10'7 H. ¿A qué intensidad de corriente la densidad espacial de la energía del cam po m agnético en el interior del solenoide será igual a W0=10'3 J/m 3? a) 1 A
b) 2 A
c) 3 A
d) 4 A
e) 5 A
23. Se tiene un toroide de N =500 vueltas , área de la sección transversal rectangular A=40 cm" y radios interno y externo r=15 cm ; R -2 0 cm, respectivam ente. H allar la inducían cia del toroide. ( p 0 = 4tc.10“7 H /m ) a) 1,10 m H
b) 1,12 mH
c) 1,14 mH
d) 1,16 m H
e ) l sl8 m H
24. ¿C uántas espiras tiene una bobina de inductancia L= 0,001 H, si a la intensidad de co rriente i = 1 A, el flujo m agnético a través de la bobina es
350
b) 400
c) 450
d) 500
e)
550
894________________ Inducción electromagnética_______________________ 25. En un campo magnético uniform e de m agnitud B=500 Gs, gira una varilla de longitud i = 1 m a una velocidad angular constante co = 2 0 rad/s. El eje de giro pasa por el extre mo de la varilla y es paralelo a las líneas del cam po m agnético. H allar la fuerza electro motriz (£) de inducción en los extrem os de la varilla. (1 G s=10'4 T) a) 0,1 V
b) 0,2 V
c) 0,3 V
d) 0,4 V
e) 0,5 V
26. ¿Cuántas espiras de un conductor tiene el arrollam iento en una sola capa de una bobina, cuya inductancia es L = 0,001 H ? E l diám etro de la bobina es D =4 cm, el diám etro del conductor es d = 0,6 mm. Las espiras se tocan unas a otras. ( p 0 = 47t. 10
H /m )
a) 360
e) 400
b) 370
c) 380
d) 380
27. En la Fig.09, eí alam bre de longitud £ = 20 cm se m ueve con velocidad v=4 m/s en la dj rección de la corriente de intensidad i = 2 A. H allar la m agnitud de la fuerza electrom o triz(4) en los extrem os de la varilla. ( p 0 = 4n.] 0-7 H /m ; a = 4 c m ; 0 = 37°) a) 2,51 pV
b) 2,53 pV
c) 2,55 pV
d) 2,57 pV
e) 2,59 pV
28. Una resistencia R=104 O y un condensador se conectan en serie y súbitam ente se les a plica un potencial de V =10 voltios. Si el potencial a través del condensador aum enta a 5 V en 1 p s . H allar la capacidad del condensador. (p = 1 0 ',z) a) 140 pF
b) 142 pF
c) 144 pF
d) 146 pF
e) 148 pF
29. En un campo magnético uniform e de m agnitud B -0 ,8 T , gira uniform em ente una espira cuadrada de área A =150 cm 2 a una velocidad angular
b) 0,18 V
c) 0,09 V
d) 0,27 V
e) 0,36 V
30. Se tiene un solenoide con núcleo de hierro de perm eabilidad m agnética p = 3581, de longitud i = 50 cm, sección transversal de área A = 10 cm 2 y núm ero de espiras N = 1 000. Hallar la inductancia de este solenoide, si por el arrollam iento del m ism o circula una co rriente de intensidad i = 1 A. a) 1,0 H
b) 3,0 H
c) 5,0 H
d) 7,0 H
e) 9,0 H
31. En un solenoide de longitud £ = 50 cm se introduce un núcleo de hierro cuya función B=f(H) se desconoce. El núm ero de espiras por unidad de longitud es n=400, el área de su sección transversal A =10 cm2. Si por el solenoide circula u n a corriente de intensidad i = 5 A, y el flujo m agnético a través de su sección transversal es
b) 62 m H
c) 64 m H
d) 66 mH
e) 68 mH
32. La densidad de energía asociada a determ inada onda electrom agnética de una sola fre
895
F ís ic a lli
cuencia es w = 10'7 J /m \ H allar la m agnitud del cam po m agnético, (nano n—10”9) a) 350
nW b
b) 352
nW b
m
c) 354
nW b
nr
d) 356
nW b
m
e) 358
n r
nW b n r
33. U n solenoide largo de longitud í = 50 cm tiene N =500 vueltas de alam bre y sección transversal de área A - 10 cm 2, hallar su inductancia. Si se reduce la corriente a través del solenoide de 10 A a cero en 0,1 s, determ inar la fuerza electrom otriz (£,) prom edio durante este tiempo. a) 620 pH ; 62,0 mV b) 622 pH ; 62,2 mV c) 624 pH ; 62,4 mV d) 626 pH ; 62,6 m V e) 628 pH ; 62,8 mV 34. U na bobina de resistencia R = 60 O y inductancia L = 30 H se conecta a una batería de fuerza electrom otriz 8 = 5 0 V a través de un interruptor. ¿En qué tiempo la corriente en la bobina alcanza la cuarta parte de su valor de equilibrio? a) 0,10 s
b) 0,12 s
c) 0,14 s
d) 0,16 s
e) 0,18 s
35. Se tiene un circuito R-L, indique qué fracción de la corriente eléctrica se alcanza des pués de transcurrido 4 constantes de tiempo. a) 0,90 s
b) 0,92 s
c) 0,94 s
d) 0,96 s
e) 0,98 s
36. En la Fig.10, la barra de cobre se m ueve sobre unas vías conductoras con una velocidad "v" paralela a un alam bre recto, largo, que transporta una corriente "i". H allar la fuerza electrom otriz "e" inducida en la barra, sabiendo que: v=5 m/s, i = t A, a = l cm y b=20 cm. a) 1 p V
b) 2 p V
c) 3 p V
d) 4 p V
e) 5 p V
I-
Fig.09
Fig.10
37. Por un alam bre largo y recto, de radio R = 0,5 cm, circula una corriente total uniforme de intensidad i0 = 2 A. H allar la energía m agnética por unidad de longitud almacenada en el alam bre. a) 0,1 p j/m
b) 0,2 p J /m
c) 0,3 p J/m
d) 0,4 p j/m
e) 0,5 p J/m
38. H allar la densidad de energía m agnética en el centro de una espira cuadrada de lado a=20 cm, que conduce corriente eléctrica de intensidad i = 2 A. ( p 0 = 4 tu. 10'7 H/m)
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
896
a) 51 p J/m
b) 53 p J/m
c) 55 pJ /m
d) 57 p j /m3
e) 59 p J/m 3
39. En la F ig .ll, el alam bre rígido doblado en form a de sem icircunferencia de radio R=10 cm gira con frecuencia f=4 rev/s en un cam po m agnético uniform e B - 2 T, ¿Cuál es la corriente inducida m áxim a cuando la resistencia interna del m edidor "M " es R m“ 40 m O y el resto del circuito tiene una resistencia que puede ignorarse? a)
tc
A
b) 271 A
c) 3 tí A
d) 4 n A
e) 5 ti A
40. Un electrón de carga q = l,6 .l0 '19 C, m asa me= 9,1.10 31 kg, gira en órbita circular de ra dio R = 5.10'10 m alrededor de un protón fijo de carga q = l,6 .1 0 '19 C, m asa m P= l,6 .1 0 '27 kg. H allar la densidad de energía en la posición del protón. ( p 0 = 471. 10"7 H/m) a) 821 J/m3
b) 823 J/m 3
c) 825 J/m 3
d) 827 J/m 3
e) 829 J/m3
41. U na bobina toroidal de resistencia R -4 0 Q , se conecta a una batería. La corriente alean za la m itad de su valor de equilibrio i0 = 4 A, después de t= 0,01 s. H allar la energía a] m acenada en el campo magnético. a) 4,0 J
c) 4,4 J
b) 4,2 J
d) 4,6 J
e) 4,8 J
42. En la Fig.l 2, se m uestra una barra de cobre que se m ueve con velocidad v=5 m /s parale lo al alambre recto largo que conduce una corriente i= l A. H allar la fuerza electrom o triz inducida en la barra, sabiendo que: a -1 cm y b=20 cm. ( p o=47i,10'7 A/m) a) 9,41 pV X 1
b) 9,43 pV X X x
c) 9,45 pV
d) 9,47 pV
e) 9,49 pV
x
I t=c>
Fig. 12 43.
Un alam bre rectilíneo muy largo de radio R=0,2 cm conduce una corriente de inten sidad i=2 A. H allar la energía alm acenada en el cam po m agnético en un volum en de Ion gitud í = 20 cm que se extiende entre a= 0,5 cm y b = l,0 cm. (nano n = 10'9) a) 55,1 nJ
b) 55,3 nJ
c) 55,5 nJ
d) 55,7 nJ
e) 55,9 nJ
44. Se desea form ar un circuito L-C resonante a la frecuencia de 1600 H z con una bobina de inductancia L=4 mH . H allar el valor de la capacidad del condensador. a ) 2 ,4 1 p F
b ) 2 ,4 3 p F
c ) 2 ,4 5 p F
d ) 2 ,4 7 p F
e) 2 ,4 9 p F
Física III
897
45. En la Fig. 13, a = l,0 cm, b=8,0 cm, t = 30 cm , y la corriente en el alam bre dism inuye u niform em ente de 3 A a cero en 1,0 s. Si no existe corriente inicial en la espira de resis ten cia R= 0,02 Q . H allar la corriente inducida en la espira rectangular. (p=10'6) a) 19,0 p A
b) 19,2 pA
c) 19,4 pA
d) 19,6 pA
e) 19,8 pA
46. U n condensador de capacidad C =10 pF y inductancia L se conectan en serie con una ba tería de fem de frecuencia f=60 H z. Con un voltím etro se m ide 100 V en el condensador y 150 V en la bobina inductora. H allar la inductancia L de la bobina. a) 1,00 H
b) 1 .0 2 H
c) 1 ,0 4 H
d) 1 ,0 6 H
e) 1 .0 8 H
47. Un toroide "d elg ad o " de radio m edio R m=15 cm tiene n=100 vueltas por centím etro y á rea transversal S=4 cm 2. H allar la inductancia del toroide. (m=10‘3) a) 47,0 m H
b) 47,2 m H
c) 47,4 m H
d) 47,6 m H
e) 47,8 mH
48. E n la Fig.13, a = l,0 cm, b=8,0 cm , i = 30 c m , y la corriente en el alam bre dism inuye u niform em ente de 30 A a cero en 1,0 s. Si no existe corriente inicial en la espira de resis ten cia R = 0,02 O . H allar la energía transferida a la espira en el tiem po de 1,0 s. a) 780 pJ
b) 782 pJ
c) 784 pJ
d) 786 pJ
a
p e
»
—
e) 788 pJ
m
- i
ti -
Fig.13
Fig.14
49. D os alam bres de cobre (D = 0,127 cm ) largos y paralelos, transportan corrientes de inten sidad i = 10 A en sentidos opuestos, sus centros se encuentran separados 2,0 cm. H allar flujo por m etro de conductor que existe en el espacio entre los ejes de estos dos alam bres. a) 10 pW b/m
b) 11 pW b/m
c) 12 pW b/m
d) 13 pW b/m
e) 14 pW b/m
50. E n la Fig.14, en el circuito que presenta una bobina de inductancia L -2 4 H y resistencia R = 120 Q , se cierra el interruptor "S" en t = 0 s y se aplica una tensión constante de ^o~36 V. H allar el tiem po para el cual la corriente alcanza el 80 % de su valor de equi librio. a)
0 ,1 6 s
b)
0 ,2 0 s
c)
0 ,2 4 s
d ) 0 ,2 8 s
e) 0 ,3 2 s
898
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
51. U na bobina de inductancia L=0,2 H y resistencia R=10 Q está conectada en serie con u n condensador de capacidad C y una fuente de corriente alterna (C.A) de ^=110 V y f= 60 H z. H allar el valor de la capacidad del condensador. a)
34,0 pF
b) 34,4 pF
c) 34,8 pF
d) 35,2 pF
e) 35,6 pF
52. E n la Fig. 15, el alam bre de longitud ¿ = 1 0 cm, m asa m -2 0 0 g y resistencia R=2 m Q desliza sin fricción a lo largo de dos rieles paralelos de resistencia ignorable y conecta dos en su extrem o final por una tira conductora paralela al alam bre y sin resistencia, for m ando el alam bre y los rieles un ángulo 0 = 53° con la horizontal y a través de esta re gión existe un cam po m agnético uniform e B - 2 T . H allar la velocidad del alambre, (g=10 m /s2) a) 0,14 m /s
b) 0,18 m /s
c) 0,22 m /s
d) 0,26 m /s
e) 0,30 m/s
53. En la F ig.16, un alam bre se dobla en tres segm entos sem icirculares de radio r=10 cm, cada segm ento form a un cuadrante de circunferencia contenidas en los planos X Y , XZ y YZ, si existe un campo m agnético uniform e en la dirección X, que aum enta a un rit mo de 3.10'3 T/s. H allar la m agnitud de la fuerza electrom otriz (£,) en la espira de alam bre. a) 20,6 pV
b) 21,6 pV
c) 22,6 pV
d) 23,6 pV
e) 24,6 pV
54. Se tiene un toroide de N = 800 vueltas, radíos interno y externo r, = 4 m y r2 = 8 cm y sección transversal rectangular de área S = 8 cm 2. H allar la inductancia (L) del toroide. a) 1,71 m H
b) 1,73 m H
c) 1,75 m H
d ) l,7 7 m H
e ) I ,7 9 m H
55. U n solenoide de inductancia L=15 m H y resistencia R= 20 Q se conecta a una batería de £,= 6 V de resistencia interna despreciable. H allar la energía alm acenada en el solé noide, después de cerrarse el interruptor y haber alcanzado la corriente el 10 % de su va lor de equilibrio. a) 6,71 pJ
b) 6,73 pJ
c) 6,75 pJ
d) 6,77 pJ
e) 6,79 pJ
56. Un alam bre largo conduce una corriente uniform e de intensidad i = 2 A . H allar la ener gía m agnética por unidad de longitud alm acenada al interior del alambre.
Física III a) O,] pJ/m
b) 0,2 jaJ/m
c) 0,3 p J/m
899
d) 0,4 pJ/m
e) 0,5 pJ/m
57. E n la Fig. 17, se conectan en serie una bobina, una resistencia y un condensador, con una fuente de corriente alterna (C.A) de valor eficaz V ef =50 V, si © = 50 rad/s, L= 0,04 H , C = 0,02 p F y R=4 Q . H allar el valor de la corriente eficaz (ief) en el circuito e léctrico. a) 50,1 p A
b) 50,3 p A
c) 50,5 pA
d) 50,7 pA
e) 50,9 pA
58. L a resistencia de un solenoide es R =80 Q y su constante de tiem po es to= 0,05 s. H allar el valor de su inductancia. a) 1 H
b) 2 H
c) 3 H
d) 4 H
e) 5 H
59. Se coloca una bobina de área S=3 cm 2, núm ero de vueltas N =50 dentro de un solenoide que conduce una corriente de intensidad i(t) —5 sen(200.t) y cuyo cam po m agnético a su interior es B (t) = 0,5 sen (200.t). H allar la inductancia m utua cuando el eje de la bobi na form a 37° con el eje del solenoide.(m =10'3) a) 1,0 m H
b) 1,2 m H
c) 1,4 m H
d) 1,6 mH
e)
1,8 mH
60. En los extrem os opuestos de un alam bre circular de radio a=20 cm, resistencia R= 0,02 H ubicado en un cam po m agnético uniform e de m agnitud B=1 T se aplican fuerzas i guales y opuestas deform ándolo hasta obtener un par de alam bres rectos paralelos, en un intervalo de tiem po At = 0,02 s. H allar el trabajo realizado en la deform ación. a) 39,40 J
b) 39,42 J
c) 39,44 J
d) 39,46 J
e) 39,48 J
L
c Fig.17
Fig.18
61. E n la Fig.18, por las crem alleras m etálicas paralelas unidas por dos condensadores de capacidades C=6 pF situadas en un plano horizontal, puede moverse, sin fricción el a lam bre de m asa m =100 g y longitud i = 10 cm, adem ás: B=2 T y F= 0,2 N. H allar la a celeración que adquiere el alam bre, despréciese las resistencias de las crem alleras y el a lambre. a) 1 m /s2
b) 2 m /s2
c) 3 m /s2
d) 4 m /s2
e) 5 m /s2
62. En la Fig.19, las espiras circulares de radios R¡=1 m m y R2=2 mm, se encuentran en pía
900___________________
Inducción electrom agnética________________________
nos paralelos, y conducen corrientes eléctricas de intensidades ii=0,5 A y i2~ l,0 A . Ha lla r la inductancia mutua. ( f t 0 = 4n.l0~7 A / m , d=10 cm, iM O '15) a) 9,89 fH
b) 1,89 fH
c) 3,89 fH
d) 5,89 fH
e) 7,89 fH
63. D em ostrar que la autoinductancia de un cable coaxial de radios interno "a" y externo " b " y lo n g itu d viene dado por: L = (p 0 /2 7 t)¿ £ n (b /a ). 64. Demostrar que la autoinductancia de una línea de transm isión de corriente eléctrica for mada por dos conductores radios ” R ” y de longitud m uy grande expresión: L = (p 0 /7 t)^ ¿ n (d /R ).
viene dado por la
65. En la Fig.20, el disco m etálico delgado compacto de radio R=10 cm que gira con una ve locidad angular constante de co = 20 rad/s, está conectada al circu ito eléctrico mediante unos contactos corredizos. La resistencia del disco es m uy pequeña comparada con la re sistencia externa Ro=200 O . H a lla r la cantidad de calor disipada por unidad de tiem po en la resistencia " R 0 " . (1 e V = l,6 0 2 .1 0 '19 J, m = 9 ,U 0 '31 kg, e = -l,6 .1 0 '19 C) a) 103,8 peV
b)2Ü 3,8peV
c) 303,8peV
d )4 0 3 ,8 p e V
e) 503,8peV
i
66. E n la Fig.21, por el a n illo m etálico de radio R =10 cm, colgado mediante alambres fle x i bles para una corriente eléctrica de intensidad i= l,5 A . E l a n illo está situado en un cam po magnético horizontal uniform e de m agnitud B=3 T . H a lla r la tensión interna en el a n illo . a) 0,1 N
b) 0,2
N
c )0 ,3 N
d ) 0 ,4 N
e ) 0 ,5 N
67. En la Fig.22, el c ilin d ro m etálico de radio R -1 0 cm gira alrededor de su eje con una ve locidad angular constante de co = 40 rad/s. E l campo magnético uniform e es paralelo al eje de simetría del cilin d ro . ¿Para que valor del campo magnético, no surge un campo e léctrostático? (e --l,6 .1 0 "19 C, me=9,1.10'31 kg, n=10'9) a) 0,23 nT
b) 0,43 nT
c )0 ,6 3 n T
d) 0,83 nT
e ) l,0 3 n T
68. En la Fig.22, el cilin d ro m etálico de radio R=10 cm gira alrededor de su eje con una ve locidad angular constante de co = 40 rad/s. E l campo magnético uniform e es paralelo al
901
Física lli
eje de simetría del c ilin d ro y de dirección opuesta al que aparece en la Fig. H a lla r la in tensidad del campo eléctrico, si la m agnitud del campo magnético es B - 1 0 '!0 T . n=10'9 a) 1,31 nN /C
b ) 3 ,3 ln N /C
c )5 ,3 1 n N /C
d )7 ,3 1 n N /C
e )9 ,3 1 n N /C
69. U n a n illo metálico de radio " R " se encuentra en un campo magnético perpendicular al plano que contiene al anillo, y cuya m agnitud, viene dado por: B = k t , siendo " k " una constante y " t " el tiem po. H a lla r la magnitud del campo eléctrico en ia espiral.
a) kR 70.
c) kR /4
b) kR/2
d) 2kR
e) 3 kR/4
En la Fig.23, por las cremalleras verticales paralelas A B y C D , unidas por la resistencia R = 2 0 , puede deslizarse sin fric c ió n , el conductor m etálico de longitud l = 10 cm, masa m =50 g y resistencia despreciable. E l sistema se halla en un campo magnético uniform e de m agnitud B=5 T , perpendicular al papel. H allar: (g=10 m/s2) I) L a m agnitud de la velocidad uniform e de caída del alambre, desprecie la fricción. a) 1 m/s II)
b) 2 m/s
c) 3 m/s
d) 4 m/s
e) 5 m/s
L a intensidad de la corriente eléctrica inducida en el alambre.
a) 0,2 A
b) 0,4 A
c)0,6A
d)0,8A
e)l,0A
I I I ) ¿El sistema electromecánico es conservativo?
B
I - - • 'R 0 r
81
Wi R Fig.23
71.
R
D Fig.24
En la Fig.24, las mitades del a n illo de alambre de radio R=10 cm, tienen resistencias de R i= 1 0 Q y R2= 2 0 f i. El a n illo se encuentra en un campo magnético perpendicular al pía
902
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
no que contiene al anillo, y cuya m agnitud varía según: B = B 0 + k t , siendo "t" el tiem po, B0= l T y k=2 T/s constantes. Hallar: I) L a fuerza electrom otriz inducida en el anillo. a) 60,8 m V
b) 62,8 m V
c) 64,8 m V
d) 66,8 mV
e) 68,8 mV
II) L a intensidad de la corriente eléctrica inducida en el anillo. a ) 2 ,lm A
b )2 ,4 m A
c ) 2 ,7 mA
d) 3,0 mA
e ) 3 ,3 m A
III) L a diferencia de potencial eléctrico entre los puntos de unión "a" y " b " . a) 9,5 mV
b ) 1 0 ,5 m V
c ) ll,5 m V
d) 12,5 mV
e )1 3 ,5 m V
d) 33,3 m N /C
e) 34,3 mN/C
IV) L a m agnitud del cam po electrostático en el anillo. a) 30,3 m N /C
b )3 1 ,3 m N /C
c) 32,3 m N /C
V) La m agnitud del cam po eléctrico originado por la variación temporal del cam po m agnético. a) 0,1 N /C
b) 0,2 N/C
c) 0,3 N /C
d) 0,4 N /C
e) 0,5 N/C
72. En la Fig.25, el cilindro hueco de radios interior a - 4 cm, exterior b=8 cm, espesor h=2 cm y resistividad eléctrica p = 1,69.10'8 D .m , está en un cam po m agnético en la direc ción del eje A , y cuya m agnitud, viene dado por: B = k t , siendo "t" e! tiem po, y k=3,38.10~5 T /s una constante. H allar la intensidad de la corriente inducida en el cilin dro. a) 40 mA
b) 42 mA
c) 44 mA
d) 46 mA
3a
3a
B
tí
®
Fig.25
e) 48 mA
a
Fig.26
73. E n la Fig.26, el alam bre AB de longitud a -2 0 cm, em pieza a deslizarse sobre la espira rectangular m etálica fija, con una rapidez constante de v=4 cm /s. L a resistencia por uni dad de longitud de la espira y el alam bre es a = 5,4.10'3 Q / m . L a espira se encuentra en un cam po m agnético uniform e de m agnitud B = 2.10'3 T. H allar la intensidad de co rriente que circula po r el alam bre A B , para el instante en que este ha recorrido la distan cia "a".
F ís ic a III
a) 1,5 m A
b ) 2,0 m A
c) 2,5 raA
903
d )3 ,0 m A
e) 3,5 mA
74. En la Fig.27, el conductor utilizado en el circuito eléctrico, tiene una resistencia por u nidad de longitud de a = 5,4.10 '3 Q / m , y se encuentra en un cam po m agnético, cuya m agnitud, viene dado por: B = k t , siendo " t » el tiem po y k = 5 .l0 ’3 T/s. H allar la intensi dad de corriente eléctrica, que circula por el conductor BC. (a=20 cm) a) 7,2 mA
b) 7,6 mA
c) 8,0 mA
d) 8,4 m A
e) 8,8 mA
75. Un anillo m etálico de radio R=20 cm, se encuentra en un plano perpendicular al eje X si tuado en la posición x - 1 0 cm. P or el anillo circula una corriente eléctrica de intensidad i=2 A, en sentido antihorario m irando desde el origen 0. I) H allar la fuerza ejercida sobre el anillo por un cam po m agnético radial que diverge del origen, dada por: B = k r / r 3, siendo "r" la distancia radial, y "k " una constante. a) -41 k i (N)
b) 41k i (N)
c )-4 5 k i(N )
d )4 5 k i(N )
e ) - 4 7 k i( N )
II) H allar la m agnitud de la fuerza con la que se extiende el anillo. a) l,5 8 k (N)
b) 3,58k (N )
c )5 ,5 8 k (N )
d )7 ,5 8 k (N )
e )9 ,5 8 k (N )
III) H allar el flujo del cam po m agnético que pasa por la superficie que encierra el ani llo. a) lOk W b
b) 12k W b
c)1 4 k W b
d )1 6 k W b
e )1 8 k W b
76. A sum iendo que el radio del electrón es R = l,8 8 .1 0 '15m, su carga eléctrica q = -l,6 .1 0 '19 C, y que se m ueve lentam ente en trayectoria rectilínea con una rapidez constante "v". (H 0 =47c.lO_7A/m, c = l / . ^ s 7 ) I) E stim ar la energía m agnética externa al electrón. a ) 1 ,5 v 2.10"31 J
b ) 4,5v2.10‘31 J
c ) 5 ,5 v ll0 31 J
d) 7,5v2.10'31 J
e ) 9,5v2.10_3lJ
c )5 ,1 .1 0 31kg
d) 7 J . 1 0 31 kg
e) 9,1.1o'31 kg
d) 8,82.10'15 m
e)4,82.10'16m
II) E stim ar la m asa del electrón. a) l^ l.lO 31 kg
b) 3,1.10‘31 kg
III) E stim ar el radio clásico (rc) del electrón. a) 2 ,8 2 .1 0 15 m
b) 4 ,8 2 .1 0 15 m
c) 6 ,8 2 .1 0 15 m
77. D em ostrar que en cierta región 31 en ausencia de corriente eléctrica (1 = 0 ), el campo m agnético B es derivable de un potencial escalar (V), la cual, satisface la ecuación de Laplace. 78. D em ostrar la ley de A m pere en su form a diferencial V x B = p 0J , siendo B el campo m agnético y J la densidad de corriente eléctrica.
904
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
79. D em ostrar que una partícula de carga eléctrica "q" que se m ueve lentam ente con una velocidad "v" (no relativista), crea en el espacio que lo rodea un cam po m agnético B y un cam po eléctrico É , relacionados entre si por: B = v x É / c 2 , siendo "c" la velocidad de la luz en el vació. 80. D em ostrar la ley de Faraday-H enry en su form a diferencial V x E = - Ó B /S t, siendo B el cam po m agnético y É el cam po eléctrico. 81. H allar el potencial vectorial m agnético Á a una distancia r=r0/6 de un filam ento rectilí neo de longitud infinita que conduce una corriente eléctrica de intensidad i=4 A, siendo "r0 " la distancia referencial, para el cual A = 0 . a) l,1 4 p 0í
c) 2 ,1 4 p 0?
b ) U 4 p oe
d) 2 ,1 4 ji o0
e) 4,14(i0r
82. En la Fig.28, hallar el potencial vectorial m agnético Á correspondiente a una lámina plana infinita contenida en el plano XY, que conduce una corriente eléctrica uniform e de densidad j = j j . b ) ^ | x - x 0|j
a ) ^ | x - x 0|J
B
B ®
¡r/2
c ) ^ ¡ z - z „ |]
Mo Mo d ) ^ | z - z 0|J e ) ^ | y - y 0|]
E
B n
Fig.27 83. En cierta región 31 del espacio las com ponentes de la excitación m agnética en coorde nadas esféricas son: H r = a ( R 2 / 3 - r 25 )c o s 0 , H 0 = a ( 3 r 2 / 5 - R 2 /3 )s e n 0 y H f O , pa ra r < R , H r = (2 a R 5 / I 5 r 3 c o s 0 , He = ( a R 5/ Í 5 r 3) s e n 0 ,
= 0 para r > R . Hallar:
I) La densidad de corriente eléctrica j asociada a H , para r < R . a) 0
acr „ h) — r 471
c)
acr 4;r
0
acr d) — * 4 tt
II) L a densidad de corriente eléctrica j asociada a H , para r > R .
„ acr e) r 2n
Física III
905
84. U na esfera de radio " R ” está m agnetizada uniform em ente, eí vector de m agnetización M , está en la dirección del eje Z positivo. Hallar: I) El potencial escalar m agnético (V), al interior y exterior de la esfera. II) El cam po de inducción m agnética ( B ) , al interior y exterior de la esfera. 85. E n la Fig.29, en la región cerca al centro del anillo de radio R=10 cm , existe un campo m agnético variable B , el cual, crea en el anillo una fuerza electrom otriz inducida de va lor £ = 180,7 p V . La resistencia por unidad de longitud de los conductores es a = 5 ,4 .1 0-3 Q / m . H allar la intensidad de corriente eléctrica que indica el am perím etro A. a) 1 mV
b) 2 mV
c) 4 mV
d) 6 mV
e) 8 mV
86. En la Fig.30, una bobina rectangular de "N " vueltas, longitud "a" y ancho "b ", gira con u na frecuencia " f " en un cam po m agnético uniform e " B " . T) Probar que en la bobina se genera una fem inducida, cuya expresión viene dado por: %= 2% f.N .b.a B sen(27r.t) =
sen(27if.t)
E ste es el principio de operación de los generadores de corriente alterna. II) ¿C uántas vueltas por unidad de área, debe tener un generador, para que girando con u n a frecuencia de f -6 0 rev/s en un cam po m agnético de m agnitud B -0 ,5 T, la fuerza electrom otriz inducida en el generador sea de £ = 150 voltios? a) 0,5 vuel.m 2
b) 0,6 vuel.m 2
c )0 ,7 v u e l.m 2
d )0 ,8 v u e l.m 2
e) 0,9 vuel.m2
87. E n la Fig.31, el freno electrom agnético con “corriente de vórtice” consiste en un disco de conductividad a = 5 ,8 1.107 S/m y espesor t= l cm que gira en torno a su eje de sime tría y un cam po m agnético de m agnitud B=0,5 T, perpendicular al plano del disco, y que pasa a través de la superficie cuadrada de lados a=2 cm, situada a una distancia r=5 cm de 0. H allar la m agnitud del torque que tiende a dism inuir la rotación del disco cuan do su velocidad angular instantánea es co = 40 rad/s. a) 5,01 N .m
b) 5,21 N .m
c) 5,41 N .m
d) 5,61 N .m
e) 5,81 N .m
88. En la Fig.32, la barra M N hace contacto con dos rieles m etálicos M P y N Q separados 50 cm situados en un cam po uniform e de m agnitud B=1,0 T perpendicular al plano de la página. L a resistencia total del circuito M N PQ es R =0,4 Q.
906
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
i) ¿Cuál es la m agnitud y el sentido de la fem inducida en la barra cuando se m ueve ha cía la izquierda con una rapidez de v -8 ,0 m/s? a )4 V (M Ñ ) II)
b) 4 V (Ñ M )
c )6 V (M N )
d )6 V (Ñ M )
e )8 V (M N )
H allar la m agnitud de la fuerza que se requiere para m antener a la barra MN en mo vim iento.
a) 2 N
b) 3 N
e) 6 N
d) 5 N
c) 4 N
III) C om parar el ritm o con el cual la fuerza F realiza trabajo m ecánico con el ritm o de aum ento de la energía térm ica en el circuito. a) lO J/s
d) 40 J/s
c) 30 J/s
b) 20 J/s
X
x
e) 50 J/s xB
M
X
p
50cr i
'T
X X
X
x
X
x
x
x N
*Q
Fig.32 89. E n la Fig.33, una espira circular de una vuelta de alam bre de radio r= 10 cm, y resis tencia despreciable esta conectado a una resistencia de R = 1 0 Q . La sección transversal de la espira se encuentra en un cam po m agnético, cuya dependencia tem poral se mués tra. I) R epresentar la gráfica de la fuerza electrom otriz inducida a través del resistor. II) R epresentar la gráfica de la corriente "i" a través del resistor "R ". III) R epresentar la gráfica del ritm o de generación de energía térm ica en el resistor.
C 3
Fig.33
t
Fig.34
90. E n la Fig.34, las espiras de alam bre situados en planos paralelos tienen el m ism o eje. La distancia "x " entre los centros de las espiras es m ucho m ayor que el radio "R " de la es pira m ayor y con una rapidez constante v = d x /d t (con "x" aum entando).
907
F ís ic a lii
I)
H allar el flujo m agnético
com o función de "x " a través del área delim itada
por la espira pequeña. II) H allar la dirección de la corriente inducida en la espira pequeña si v>0. III) H allar el sentido de la corriente inducida en la espira. 91. En la Fig.35, la barra m etálica M N de longitud t = 16 cm reposa en el cilindro hueco de radio R=10 cm. El cam po m agnético es paralelo al eje del cilindro y aum enta con res pecto al tiem po con una rapidez de d B /d t = 0,5 T/s. H allar la fuerza electrom otriz indu cida en la barra. a) 1,6 mV
b) 2,0 mV
c) 2,4 mv
d) 2,8 mV
e) 3,2 mV
92. En la Fig.36, la resistencia de R = 2 Q situada en la varilla M N de longitud i = lOcm y m asa m =40 g, puede deslizarse sobre la arm adura m etálica de resistencia despreciable, conectada a la batería de fem = 1 2 V. El cam po m agnético uniform e es perpendi cular al plano horizontal que contiene a la arm adura, y su m agnitud es de B=0,5 T. I) H allar la m agnitud de la fuerza m agnética ejercida sobre la varilla. a) 0,1 N
b) 0,2 N
c) 0,3 N
d) 0,4 N
e) 0,5 N
II) H allar la rapidez con la que se desliza la varilla M N , sobre la arm adura en t=0,01s a) 6,0 cm /s
b) 6,5 cm /s
c) 7,0 cm /s
d) 7,5 cm /s
e) 8,0 cm/s
III) H allar la intensidad de corriente inducida al cerrarse la llave S, en el instante t=0,01s a) 1,675 mA
b ) 1,475 mA
c) 1,075 mA
d) 1,875 mA
e) 1,275 mA
Fig.36 93. Por un solenoide muy largo de sección transversal circular de radio R=5 cm que está a rrollado con n=300 vueltas de alam bre por centím etro, inicialm ente circula una co rriente eléctrica de i0—2,4 A. L a corriente se reduce linealm ente a 0 A en 0,04 s. Hallar: I) L a m agnitud del cam po eléctrico a una distancia de r=4 cm del eje del solenoide.
a )3 0 n ok |
b )3 2 ^ 0k ^
'
c ) 3 4 ^ k £
d) 3 6 n 0 k |
e )3 8 n 0k ^
908
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
IT) L a m agnitud del cam po eléctrico a una distancia de r=8 cm del eje del solenoide. N a )2 0 p ok ^
c
III)
N c ) 2 4 Mok' ■u
c
N d )2 6 n 0k -
N e) 2 8 p 0 k —
L a m agnitud del cam po eléctrico a una distancia de r=5 cm del eje del solenoide.
N a )4 5 p 0k — 94.
N b) 2 2 ju0 k — ' ' u C
N b) 5 0 p o k —
N c )5 5 p 0k —
N d) 6 0 Hok - ^
14 e ) 6 5 n 0lc ~
El flujo magnético que pasa por cada una de las "N " vueltas de una bobina es la c o m e n te eléctrica que circula por la bobina es "i I) D em ostrar que la inductancia de la bobina es L = N O b / i . II)
Si la inductancia de la bobina estrecham ente arrollada es L=10 mH. ia bobina tiene 10 vueltas y la corriente es de i=2 mA, hallar el flujo que atraviesa la bobina.
a) 1 pW b
b) 2 pW b
c )3 p W b
d) 4 pW b
e) 5 pW b
95. En la Fig.37, por el conductor de longitud t = 50 cm que se encuentra sobre el eje X, cir cula una corriente eléctrica de intensidad i=2 A. H allar el trabajo que se debe hacer para rotarlo a velocidad constante y ubicarlo sobre el eje Y, en presencia del cam po magnéti co uniform e de m agnitud B=3 T. a) 0,88 J
b) 1,18 J
d) 1 ,7 8 J
c) 1,48 J
e) 2,08 J
B (T)
H(A/ro)
Fig.37
Fig.38
96. Con un alam bre de longitud í = 20 m se construye un solenoide de longitud l 0 = 10 cm. El diám etro del solenoide D es m ucho m enor que su longitud l Q. H allar la inductancia del solenoide. ( p 0 = 47t.l0-7 A /m , m =10’3) a) 0,1 m
b ) 0 ,2 m
c) 0,3 m
d) 0,4 m
e) 0,5 m
97. En la Fig.38, la curva de B vs H, corresponde al núcleo de hierro colado de una bobina de radios interno r - 7 cm, externo R=9 cm y sección transversal cuadrada de lado a=2 cm. H allar el flujo m agnético "O " a través del núcleo, si la fuerza m agnetom otriz (fm m ) de la bobina es F=500 A.
Física III a )1 2 0 p W b
b )1 3 0 p W b
c )1 4 0 jiW b
909
d )1 5 0 jiW b
e )1 6 0 |jW b
98. U na bobina toroidal delgada tiene radio R = 15 cm y sección transveisal circular de área A=4 cm “. su devanado prim ario es de n[=75 vueltas/cm y el secundario de n 2=40 vuel tas/cm . Suponiendo que el secundario se enrolla directam ente sobre el devanado del pri mario. H allan I) La inductancia (Lt) propia del devanado primario. a) 20,7 mH
b )2 2 ,7 m H
c )2 4 ,7 m H
d )2 6 ,7 m H
e )2 8 ,7 m H
d) 7,6 mH
e ) 8 ,6 m H
II) La inductancia (L2) propia del devanado secundario. a )4 ,6 mH
b) 5,6 m H
c ) 6 ,6 m H
III) La inductancia m utua
b ) 1 3 ,2 m H ’
c )1 4 ,2 m H
d )1 5 ,2 m H
e )1 6 ,2 m H
IV) Probar directam ente que entre las inductancias.se cumple que: M = -y/LjL2 . 99. Se tiene dos bobinas de " N ,", "N 2 " vueltas y coeficientes de inductancia "L j", "L 2 ". I) Probar que si las bobinas se conectan en serie m uy alejadas una de otra a una batería de íém la inductancia equivalente del sistem a es L = Lj + L 2 . II) P robar que si las bobinas se conectan en paralelo muy alejadas una de otra a una ba tería de fem
la inductancia equivalente del sistem a es L-5 = Lj* + L 2' .
100.En coordenadas esféricas, las com ponentes del vector j de la corriente orbital co n den sidad espacial m edia que circula en el átom o de hidrógeno excitado, son: jr = j 0 = 0 y j^ = ( l/2 .3 s ) ( e h r 3 /T im a7) e _2r/3a sen30 , siendo m = 9,l ,10'31 kg, e ^ ó . l O ' 19 C , la m asa y caiga del electrón, a = 0 ,5 .l0 '10 m el radio de B hor, , h= 6,6.10'34 J.s la constante de Planck. H allar la m agnitud de la intensidad m agnética ( H ) en el origen de coordenadas, engendrada por esta corriente oibital. a )3 4 5 kA /m
b )3 5 5 kA /m
c)3 6 5 kA /m
d )3 7 5 kA/m
e )3 8 5 k A /m
101.Probar que para determ inar el cam po m agnético B en un punto P en cierta región del espacio ¿B, se debe m edir las velocidades v s, v-, en dicho punto de dos movimientos di ferentes de una partícula de carga "q ", y las fuerzas m agnéticas Fj, F ejercidas sobre ella. Para e l caso de velocidades perpendiculares entre si, la expresión del cam po magné tico, viene dado por: B = (F¡ x v ] ) / q v 2 + (F 2 x v2 • v, / q v 2 v2) v 2 .
910
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
S=
S O L U C IO N A R IO Solución: 01 • Representem os a la barra después de ha ber recorrido una distancia "x " . -
x
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
.(5 — t t/i
£ = N ( r r R 2) ( 2 'B ° B^-) t-t0
e
- H X
n .a
= ( 2 0 0 ) ( ti 0 ,1 0 2) [ (2)(Q o 2i)J o( ° ' 2)-]
B
*
La m agnitud de la fueiza electrom otriz (e) inducida, viene dado pon AO
A( B .t.x)
At
At
i
At
©
O = B.S = B .n J 2
=>
Luego, el v alor de la f.e.m (e) inducida en el solenoide es:
Solución: 02 • El flujo de inducción m agnética, que pa sa a través de la barra en cada vuelta e s :
AO
(d )
S olución: 04 • El núm ero de vueltas (N) del solenoide hallam os de la fórmula de la excitación m agnética, así:
= (0,1)(10.1(T2)(15) * e = 0,15 V
= 4 n voltios
H =íít C
Ax s = B.C.(— ) = B i.v At e
e
8=
i
(16.10 (1) 40
At
(600.10
* e = 2 ,4 0 .10-3 V
)
©
S olució n : 05 • La fem (s) inducida en la espira, viene dado por la ley de Faraday: AO 8=— At 8 = —B A (
0 -0 t-t0
eos 0 - eos ( t- t
8 = -(l)(1 0 0 .1 0 -^ )(CQS7t- C - O-S -^) 0 ,0 1 - 0 * 8 = 2 voltios
Ol
911 Física III rriente, se oponga al aum ento del flujo del S o lu ció n : 06 cam po m agnético extem o B , que esta sa • Prim ero hallem os la fuerza electrom otriz liendo del papel, com o se aprecia en la Fig, inducida en la espira: Acp „ „ Wb e = ------ = 0 , 2 -----At s s©
L uego, la corriente inducida en la espira es . _ g _ 0,2 W b /s
'-R -
ion ,B
* i = 0,02 A
S o lu ción: 07 • El v a lo r m áxim o de la fem inducida, vie ne dado por: -- N BAco = 2rt N B A f 271(300X0,5)(1
S olución: 10 • Dado que el flujo m agnético que atravie za el circuito rectangular dism inuye, a me dida que ésta se aleja de la corriente eléc trica i, la corriente inducida (i, ) e n la mis m a, debe tener sentido horario, tal que el flujo debido al cam po m agnético inducido (B ¡), creado por esta corriente, se oponga a la dism inución del flujo m agnético externo, creado p o rB .
©
S o lu ció n : 08 • La corriente inducida (i¡) en el circuito de la derecha debe te n er sentido antihorario, para que el flujo a través de las espiras, de bido al cam po m agnético B¡ creado p o r esta co m en te , refuerce al flujo del cam po mag nético externo B , que esta dism inuyendo, com o se aprecia en la Fig.
S olució n : 11 • La diferencia de potencial entre el centro del disco y s u borde es: V = —& B r 2 2
M
M Com o,
cü =
2tt f , y i=V /R, entonces la co
rriente a través de la resistencia es: ®
R
S o lu ción: 09 • La corriente inducida (i¡)e n e l circuito de la derecha debe tener sentido horario, para que el flujo a través de este circuito, debido al cam po m agnético B¡ creado p o r esta co
i=
ti
f B r
R
(3 ,14)(50)(0(0,22)
*
i = 1 ,5 7 A
912
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
Solución: 12 • P or la ley de Faraday, la fem inducida en la espira es:
X
L x X X X
Y
x: i x
e=
dt
?
(6 t + 7 t + l)A
e = - ( 1 2 t + 7).10
x
X
L uego, aplicando la ley de feraday, y tenien do en cuenta que el campo m agnético es u niform e, tenem os:
-3
e=
-,-3
e = -[(12)(2) + 7].10* e = —31.10-3 V
iN— V
..... V ’ X
X
d
i
A
X; j x
X
dt
x B x
i:
d
.
dO
d(B.A)
dt
dt
gJ«B¿í) =a fd*
@
dt S olución: 13 • El valor de la fem inducida en el alam bre, viene dado por:
dt
e = B.í.v e = (0,5)(0,4)(0,2) = 0,04 T
e = v.LB.sen 0 * 6 = 40.10-3 T e
= (0,4)(0,5)(4)(3/5) * e « 0,48 V
©
Solución: 14 • El valor de la fem inducida en la bobina de 100 espiras, viene dado por: s= N
0 -0
^
1^1 N ota En la expresión de la ley de Faraday, no se ha considerado el signo, dado que nos piden la m agnitud de " e " . S olució n : 16 • La m agnitud de la fuerza electrom otriz inducida, viene dado pon
t-t„ e=
N
0 -0 d /v
2- = N.v.
0 —0 d
e 5
A
dt
=V d
- 7 D
e = (6.t - 7)| t=2= ( 6 ) ( 2 ) - 7 s = (100XO,02).
300-280
* E = 5 voltios
0,1 * £ —400 V
©
S olución: 15 • La barra de cobre en un diferencial de tiem po "d t", recorre una distancia " x " , co mo m uestra la Figura:
(E )
S olució n : 17 • Prim ero calculem os el coeficiente de au toinducción, así: N .c p
(2 )(0 ,4 ) 0 ,4 H
913
F ís ic a itl
Luego, la fem autoinducida en el circuito eléctrico es: e
= L.— = ( 0 , 4 ) í — ^ At 0,2 * s = 4 voltios
(j)=cte
©
S olución: 18 • El coeficiente de autoinducción del solé noide, viene dado por: _ N .O B _ N.B.A L=
El flujo m agnético a través del rectángulo som breado de lados " b - a " y ” f ’ es: O = j j B * dS s
_ N .(p 0i.N ./f) A __ p 0N 2A L=
L=
i b ° = í f (^ -X d r-d z ) o :
(4 tt. 10~7)(100)2(5.10~4) -2 5.10 * L = 4071.10”6 H
«> = I Í ¿ Í 27t
©
S olución: 19 • La diferencia de potencial entre las pun tas de las alas del avión, es: s = B.Lv.sen 0
g
A a
a
Luego, la inductancia p o r unidad de longi tud de 1cable coaxial e s :
£
2%
i
a
L 4 tt.10"7 . 4. — = ---------- £n(—) t 2n 2
= (10-8)(2 5 )(1 0 0 )(|) * — « I 3 9 . 1 0 -9 —
t
* e = 15.10~6 V
S olu ció n : 22 • La m agnitud de la excitación m agnética a l interior d el solenoide, viene dado por: • N.i H = n .i = — £
L.i = (15)(4) 20
* 0 = 3 Wb
©
©
S olución: 20 • El flujo m agnético a través del área de Ja bobina, viene dado por:
N
m
©
S olución: 21 • R epresentem os al cable coaxial, que con duce una corriente eléctrica "i".
=>
XT m N = -----
Sustituyendo "N " en la expresión de la in ductancia del solenoide, tenem os: Q _ N.B.A
p 0N.H.A
914
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
T
S olución: 25 • Tom em os en la varilla un diferencial de longitud "d r", y representem os e l área de la superficie barrida p o r este.
p,n(£.H /i).H .A p 0f.A .H 2 -2 1• 1¿ 2 i'-L H = \iJ A
Finalm ente, utilizando H 2 en la expresión de la densidad espacial de la energía de! cam po m agnético, se tiene: W0 = —B.H = — H 2 0 2 2
W„ =
1q-3 _
El área de la superficie que barre el diferen cial de varilla "d r", durante el diferencial de tiem po "dt" es:
i2 L 2 LA
dA = d r d í = d rv d t = drcordt
i2 (2.10-7 ) (2 )(0 ,5 )(2 .1 0
)
* i = 1A
®
A hora, com o el cam po m agnético es cons taníe, entonces el v alo r de la tuerza electro m otriz inducida en los extrem os del diferen cial de varilla es:
Solución: 23 • La inductancia de! toroide, viene dado pon L=
L=
n
2a _
t
^
n
2a
BdA
dt
dt
Integrando está expresión para "r" entre 0 y í, obtenem os la fem inducida en los extre mos de la varilla.
(4 7 t.l0 -7 )(5 0 0 )2(4 0 .1 0 -4 ) (20 + 15). 10
dO
de = coB rdr
2 n (R + r ) /2
ti
de =
-2
re
* L = 1,14.10“3 H
©
Solución: 24 • La inductancia de la bobina, viene dado por: L _ 1N O 1 0 _3
s=
rR
de = co B
Jo
r dr
B £2 = (^-)(20)(50Ü. 10 " 4)(1)2 * e = 0,5 voltios
©
S olución: 26 • El núm ero de vueltas contenida en la Ion gitud del solenoide es:
_ N (200.10~s )
* N = 500 espiras
Jo
D
N = — => d
¿ = N.d
915
Física III R eem plazando en la expresión de la induc tancia del solenoide, obtenem os e l núm ero de vueltas, así: ._H0N 2A _ ^ N 2(7t.P2 /4 ) L= N.d N =
4Ld
(4 )(0 ,0 0 1)(0,6. ] O '3)
p 07 t D 2
(4tc. 10-7 )(tc.(4. 10-2 )2 )
2n
Luego, la m agnitud de la fuerza electrom o triz inducida en los extremos de la varilla es: ^ d O ^ ^ n e ^ íc o s B ) dt 271 d t a
* N « 380 vueltas
E=^
S o lución: 27 • R epresentem os las com ponentes de la va rilla, en las direcciones horizontal y vertical luego de un intervalo de tiem po "At".
a
_
, fn (1 + ^ 27i a
(471-10"7)(2)(4)
fn [1
)
| (20)(COS 3 7 ° ) ]
271
* s * 2 ,5 7 .1 0 ~ 6 V CD íy
S olu ció n : 28 • Representem os a la fuente, al condensa d o r y a la resistencia conectados e n se rie .
i
r
R
dS
Las com ponentes horizontal y vertical de la varilla, son: = /c o s 0
; í y = ¿seni
+i 10V
La diferencia de potencial en los extremos del cond en sad o res:
En la Fig., sólo hay cam bio de flujo m agné tico en e l m ovim iento de la com ponente ho rizontal de la varilla, así: d<í> = B dS = — y dx 2?t
f,&d a > = ^ fa+c‘ ÉL 2 n Ja x
Jo
a+f.
2n
C
m ---------- I I -
i—
dx
0 =
©
(2)
C
Vc = -
c
c
C
f ( —) e - t / R . C dt
V
Vc = e (1 - e ' t/R C )
c = R ln ( e /s - Vc )
916
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
10
C=
Solución: 31 • Calculem os la perm eabilidad m agnética de este tipo de hierro, asi:
-6
104 ln(10/5) * C « 144.10-12 pF
B = p 0p H = p 0p i.n
©
S olu ción: 29 • R epresentem os a la espira en presencia del cam po m agnético.
B
O
p 0i.n
(v'.n.A
1,6.10 H=
-3
(4 tl 10~7)(5)(400)(l 0.10-4 ) p = 636,6
L uego, la inductancia del solenoide es: La m agnitud de la fem m áxima inducida en la espira, viene dado por:
-2L = (4 tc. 10"7)(636,6)(400z)(50.10_z)(l 0.10
e max = N.B.A.C0 sen 0 s
L = p 0p n 2.í.A
* L = 64.10 3 H
= ( l ) ( O , 8 ) ( 1 5 O . l < r 4) ( 1 5 ) ( s en 3 O 0)
* em
= 0 ,0 9 V
©
S o lu ción: 30 • La m agnitud de la excitación m agnética en e l solenoide, viene dado por: h
=^
= í® ? -2 50.10
©
S olución: 32 • Según teoría, en e l vacío, la densidad de energía electrom agnética, es igual, a la su ma de las energías eléctrica y m agnética, esto es:
w =wE+wM
=200A m W
e
2
V iendo en la gráfica B = f(H ) (texto de teo ría) encontram os que:
E2 0 0
B2 2p0
Com o, Eo = c Bo y e 0p 0 = 1 /c
en to n ces:
u = — = 3581 ^ H ¿
Luego, la inductancia del solenoide es: L= ^
L=
N2 — A
B0 =
(47t. 10-7 )(3 5 81)(103)2 (10.10-4 )
L = 9,0 H
©
r ^ V i + e0p 0c
2
r(2)(4TC. 10-7)(lÓ-7 )-, !/2
B° = [ —
50.10 ' 2 *
„
¿ Po
♦
rn —
1
= 3 5 4 . 1 0 -9 W b / m 2
©
917
F ís ic a III
S o lu ción: 33 • Según teoría, la autoinductancia del solé noide, viene dado por. L = p 0n 2.LA
L = ( 4 i t . 1 0 ~ 7 ) ( y j ) 2 ( 0 , 5 ) ( 1 0 .1 C f 4 )
L = 6 2 8 ,3 .1(T6 H D e otro lado, la fem inducida en el solenoi de, viene dado pon
Así, p íte un tiem po muy grande (t-»oo), la intensidad de co m en te de equilibrio es: i(t -> co) = — R
Luego, de (1) y (2) el tiempo para el cual, la corriente alcanza la cuarta parte de la co rriente de equilibrio es: — (1 - e~R t/L ) = — (—) R 4 R e R.t/L = 4
=>
3 e=
(2)
í = ii
fn (4 /3 )
R
- L - = - L ( Í A l) At t-t0 60
e = (—628,3.10“ó)(————) A0 ,l-0 * s = 62,83.10"3 V S o lu ción: 34 • Representem os la bobina de resistencia "R ", inductancia "L " y la batería "e" co nectados en serie. L
3
* t * 0,144 s
©
S olución: 35 • La intensidad de co m en te eléctrica, en el circuito R-L, para cualquier instante de tiem po, viene dado por: i(t) = i„ 0 - e - R-t/L ) « i0(l - e - f/t») siendo to= L/R, la constante de tiem po y i 0 la corriente de equilibrio, a la cual, se llega después de un tiempo m uy largo. Luego, la fracción de la corriente peima nente cuando transcurren cuatro constantes de tiem po "t0 " es:
La constante de tiem po del circuito, viene dado por: to = ^ = 0 ,5 s 0 R 60 C uando se conecte la batería, la intensidad de co m ente que circula por e l circuito, en el instante de tiem po "t", viene dado pon
i(4 t0) _ e - 1 : „4
* ^ ^
= 0 ,9 8 s
S olución: 36 • Representemos un diferencial de varilla de longitud "d y ", situada a ú n a distancia
918
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
"y " de alam bre que conduce corriente.
S olució n ; 37 • R epresentem os en el alambre un cilindro hueco de grosor "dr" y radio "r".
.1 "
T
dy e= >
dx
Consideram os un diferencial de la barra "d y ", que avanza un diferencial de longitud horizontal "dz"; entonces el cam po a una distancia " y ”, debido a la com ente "i" es: B=Ü LÍ 2n y
C om o la densidad de corriente es uniforme, entonces, se cum ple: J= 7 t.r 2
7 i.R 2
este valor es uniform e para un desplaza m iento "dx" horizontal. Luego, la fem inducida en el diferencial de barra de longitud "d y " es:
= > ¡= ^ 4 R2
dE = B( y ) ^ = i V L ^ dt 2n y dt
De otro lado, de la ley de A m pere la mag nitud del cam po m agnético a una distancia "r" d e le je d elalam bre es:
d6 = i V * i dy = i k Í v d y 2 tc y dt 2 tt y
B .dÍ = p 0i =>
pues, v=dx/dt, es la velocidad horizontal de la barra. Luego, integrando la expresión anterior so bre toda la barra, para y entre "a" y "b ", se tiene: o J ds =
E= ± ^ n ( y ) | b = 2 tc la
B _ JV o £ . 2k R2 La densidad de energía m agnética en e l va cío, viene dado por: w = —*— B2 2p0
5 v rf Sdy L
2n
B (2 7 t.r)= p 0i
^ y
Así, en la Fig., la energía m agnética al inte rior del cilindro hueco de radio V e s : 2n
a
919
Física III w
‘I r
R w = —— B 2
Jf d w =4;r 1 -_ ^D44 Jf r ' di' R
W
h „ í;
(4 tt.10~7)(2)2
\ 6%
\6 u
2 Po 1 2 y¡2 \i0\ •} w = (— )(-----2p0 rc.a , . . _ 4 I-1o íq _ (4)(47t.l0~7)(2)2
* ■ y = 0,1.10"6 J / m
©
S olu ción: 38 • Recordem os que la m agnitud del cam po m agnético, cieado por una corriente que cir cula p o r un filam ento finito es:
a
B=
7t2a2
(tt2)(0,2)2
* W W 5 I.I0 "6 J / m 3
®
Solución: 39 • El flujo m agnético en cualquier instante " t" , forma un ángulo "0" co n La norm al a la superficie semicircular.
P \
(sen a + sen p) 47t.d
Así, la m agnitud del cam po m agnético crea do en e l centro de la espira, por la corriente que p asa p o r uno de sus lados ( a = P=45°, d = a/2 )e s: B, =
(2 sen 45°) 4 tt( a / 2 )
B, =
V2 p 0Í 2iz.a
C om o los otros lados, crean cam pos magné ticos en el centro de la espira, iguales en m agnitud y dirección, entonces la m agnitud del cam po resultante es:
Así, el flujo m agnético, a través del área de la sem icircunferencia es: 0 B = BA - B (^- ti R 2 ) D e m odo que, la m agnitud de la fiteiza e lectrom otriz inducida en el alambre es: dO B s -= — dt
2V2 I V Tt.a
Luego, la densidad de energía m agnética, en el centro de la espira es:
n d0 sen0— dt
Pero, la velocidad an g u larco n la que gira el alam bre, viene dado pon d9 dt
B = 4.B, =
7rR2B
= co = 271 f => 0 = 2 tc f.t
C on esto, la expresión anterior queda, así: 7t R 2 B (2 7 t.f) s e n ( 2 7 i f. t )
2
920
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
co = 27T.i / q
s = 71 R 2B.f sen(2n f.t)
(2)
D e (1) y (2), obtenem os la intensidad de co m ente eléctrica: Luego, la corriente m áxim a correspondien i = 7 - [ q 2 /47i¡s0m eR ]l/2 2n Así, la m agnitud del cam po m agnético en la posición del protón es:
-Emax Rm
rm
c = jipi _ 2.R
(40.10 -3)
(lV
4 7 t).q 2
R '(47t£ 0 m eR)
1/2
* ‘max - 2K A
Luego, la densidad de energía m agnética en la posición del protón fijo es:
S olución: 40 • Representem os la órbita circular que des cribe la trayectoria del electrón, alrededor del protón fijo.
w = — B2 = 2p0 12871 £0m eR
m e, q
w =
(10-7 )(1,6.10 ' 19)4 (9.109) (8 7 t ) ( 9 ,1 .1 0 - 3 1) ( 5 . 1 0 ' 1u )
▼F#~ FC
o -
* w = 825 J /m R:
m P, Q
La iuerza centrípeta sobre e l electrón, es la fuerza de interacción eléctrica entre el elec trón y protón, esto e s :
©
S olución: 41 • C uando se cierta el interruptor "S", la in tertsidad de corriente e n el circuito, en cua] quier instante, viene dado por: i(t) = i 0 ( l - e - R',/L )
Fc = Fr-
= m j R 47t£„R 2 co = [q 2 / 4 7 is 0 m eR ] 1 / 2
O)
De otro lado, la intensidad de corriente “a patente” , creado po r e l m ovim iento del electrón e s : q.co i = q.f = 27T
C om o la corriente alcanza en t= 0,01 s, la m itad de su valo r de equilibrio "i0 ", enton ces:
921
F ís ic a III
2
= ¡o (l ~ e
) 2 71 R.t
.R /t/L
-,-7
E = ( ^ r ^ ) a ) ( 5 ) ln(— ) L=
R.t
(40X0,01)
ln(2)
ln(2)
*
s = 9.41.1(T6 V
®
S olución: 43
L = 0,577 H Luego, la energía m agnética alm acenada en e l toroide, cuando se alcanza la co m en te de equilibrio es:
• Representem os en el alambre un cilindro hueco de grosor "dr" y radio "r",
W m = ^ = Í ( 0 , 5 7 7 ) ( 4 2) D
* WM = 4,6 3
S olu ción: 42 • Representem os un diferencial de varilla de longitud "d r", situado a una distancia "r"
De la ley de Ampere, la m agnitud del cam po m agnético a lo largo de la circunferencia de radio " r ” es: B= i^ 27t.r
V
<=£>
A hora, el flujo m agnético que pasa por la superficie som breada, de ancho " b - a " y longitud es:
_ " 'T P or la ley de Faraday, sabem os que la fe.m inducida en la barra que s e desplaza, es:
d> = (J B * d S = js B dS
s = B rv Pero esta fe .m inducida varía según la dis tancia "r", de modo que: de = B.v.dr
(2)
R eem plazando (1) en (2), e integrando para "r" entre "a" y "b ", tenem os: e=
ro dr ar p 0 i v rb Ja i*i 2;r
® = Jí ( 2tt X r^ - c ® = iX < f n ( r ) ) | 271
271
a
A su vez, la fem inducida a lo largo de la Ij nea paralela al eje del alam bre, y extem o a
922
In d u c c ió n e le c tro m a q n é tic a
la superficie "S" es:
-6 * C = 2,47.10"° F
d0>
dO
a u í .í
dt
dt
2 ti
271
a
fn (-)) a (1)
dt
©
S olución : 45 • R epresentem os en la espira un diferen cial de área "dA " de ancho "dy" y largo it £?»
D e otro lado, la fem inducida en un disposj tivo de inductancia "L " es: (2)
dt
dA
Com parando (1) con (2), encontram os la ex presión para "L":
dv La m agnitud del cam po m agnético B , a u
L=^ ín ( - ) 2n a
na distancia "y " , según la ley de Ampere
Luego, la eneigía m agnética alm acenada en el volum en dado es:
es; 2-n y
WM = ~ L . r En la Fig., el flujo magnético que pasa a través del diferencial de área (área som breada) es: 47t d
7x L m 4 tt
/n ( i ^ 0,5
* WM « 55,5.10"9 J
©
S olu ción: 44 • La frecuencia de resonancia de un circuj to L-C, viene dado por:
"B ” es perpendicular al diferencial de área "dÁ ", en todos sus puntos. Integrando la expresión anterior para "y" entre " a " y " a + b ", obtenem os el flujo to tal: „
_ |i0 1 £ =.
C=
co;L
(27tf)-L
C = tc2
a+h j f dy
271
1 4
B0 i f- dy 2tt y
(1 6 0 0 ) 2 ( 4 . 1 0 -3 >
271
fn(y)la
Bo — ' ¿ ,,„ ,a + b cbuB - — fn (--------) 2rt a Ahora, calculem os los flujos magnéticos
923
Física III para los dos valores de corriente, así: Para: i = 0, tenemos el flujo inicial:
icf = (2 ji)(60)(10.10“6)(I00)
Oü = 0
ief = 0,377 A
Para: i = 3 A, tenem os el flujo final:
De otro lado, el voltaje en la bobina es:
0 = ( r f X 3 X M fii(9 )
A ^ L . e f - ’ ef
2 tt
“
¡ef •t0-L
Luego, la inductancia de la bobina es:
$ = 3,96.10-7 Wb Luego, de la ley de Ohm, la corriente indu cida en la espira rectangulares: L= R
X.ef
^L,ef
¡ef.0)
icf.(27t.f) 150
(0,377)(2n)(60)
R ( t - 1 0)
* L = 1,06 H
©
. _ (3.96.10~7 - 0) l~
{0,02)(1-Ü )
* i = 19,8.1o-6 A
E
<'E1 sentido de circulación de "i" se halla de la ley de L en z^ S olución: 46 • Representemos el circuito eléctrico con la bobina, el condensador y fuente conecta dos en serie.
S olu ció n : 47 • La m agnitud del cam po m agnético al in terior del toroide, viene dado por: B = p 0n.i El flujo m agnético total que pasa a través de las espiras del toroide es: $ = N.B.S = (27iR m.n)(pQn.i) $ = 271 (u0n 2R mS.i
ríe
Í'OS ÜJt
siendo, "N " el núm ero total de vueltas, "n" el núm ero de vueltas p o ru n id a d de Ion gitud y "R ni " el radio m edio del toroide. D e la ley de Faraday, la fem inducida en el toroide es:
El voltaje eficaz en el condensador, viene dado por:
d$ d -> S=— = — a W l-R n A Í)
A V C .e f = 'e f - ^ c
S = - 2 j ^ 0n 2R m. S ^ ■^VC,cf ~ 'el'-
co.C
27t.f.C
ie f =27t.f.C.AVa c f
(1)
T am bién, la fem inducida en el toroide, vie ne dado por:
924
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
Integrando la expresión anterior para "y" (2)
entre "a" y "a + b", obtenem os el flujo total . , a+b
Igualando (1) con (2), obtenem os la induc tancia de) toroide:
,
r * ^ y
®B = i k ü 2n
L = 2rt.f.i0n R mS L = (27t)(47t.l0“7)(104)2(0,l5)(4.10"4) * L = 4 7,4.1 0-3 H
B -
©
S o lución: 48 • En el circuito rectangular representemos un diferencial de área "dA ", de ancho "dy"
- Z
2 ti
fn (
a
)
Luego, determ inam os los flujos para los dos valores de corriente, así: Para: i = 0 , tenem os:
y largo " í" .
O>0 = 0 Para:
i = 30 A, tenemos: O = ( 4 ^ 0 " ) _ ( 3 0 ) ( 0 13)
JA
9
2 tt
J
O = 3,96.1CTÓ Wb 1
‘
dy
El cam po m agnético B , a una distancia " y " ,s e g ú n la ley de A m pere es:
2rc y
Así, la corriente inducida en el circuito rec ta n g u lard e resistenciaR es: i= l = í ^ o > R R.t (3,96.10
-0 )
(0,02)(!,0) En la Fig., e l flujo m agnético que pasa a tra vés del diferencial de área (área som breada) es: dd>n = B • dÁ _ d$B
u„ i t dy L 2n y
i = 198.10-6 Q Luego, la energía transferida a) circuito, pa ra un tiem po de 1 s es: W = P t = i .R.t W = (198.10_6)2(0,02)(1)
"B" es perpendicular al diferencial de área "dA ", en todos sus puntos.
* W = 7 8 4 . 1 0 'I 2 J
©
F ís ic a III
S olución: 49 • Las expresiones del cam po m agnético, a una distancia " r" , creado po r la com ente "i" que pasa por el alam bre (1), y el área de la franja de longitud ''t" y ancho "dr" son:
925
Solución: 50 • La constante de tiem po del circuito eléc trico es: t
k = _?4_ R
B=ik i 2n r
d S = i dr
120
C uando s e cierra e l interruptor, la corriente eléctrica instantánea en el circuito es:
0 dr
i(t) = — (1 - e“ R f/L R La corriente de equilibrio se alcanza para (t->oo), esto es:
Luego, el flujo m agnético que pasa a través del área entre los alam bres, debido a la co rriente eléctrica "i", que pasa por el alam bre ( l ) e s : o B=
B »ds
LL f-L 0 1f °’°2 f
.
211 ct>
^B , -
1
dr
j
2n 2n
—— = 5 ,5 1 .1 0 i
Luego, cuando la corriente eléctrica alcanza el 80 % de la corriente de equilibrio, se cumple: (0 ,8 0 )(% ) = (% X 1 - e“ R t/L ) R
‘
e ...... = 0 ,2 => t = ------- fn (0 ,2 ) R
°-02
Ü 00127
t = - ( 0 ,2 )ín (0 ,2 )
$ A = (4 ^ 0 0 ^ )0 0 ) f
120
¡(t -> co) = 0,3 A
R
0,00127
^
R
0.00127 r. Wb —— m
Com o el flujo del cam po m agnético creado p o r el alambre (2) es idéntico al del alam bre (1), el flujo total que pasa por la su p er ficie entre los alam bre es: B = 2 (5 ,5 1 .10-6) D . „ M i n -e Wb * —«-=11,02.10 l m
®
* t = 0,32 s
©
Solución: 51 • Representemos el circuito eléctrico con sus com ponentes conectados e n s e n e . B O B IN A
926
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
La intensidad de corriente en el circuito es: E, = ^ = B fco s0 — S dt dt
R +(x, - x c y
= B £ v eos 0
La corriente alcanza su valor m áxim o cuan do se produce la resonancia, esto es:
o.nm x
R
X L = Xc
c=
De otro lado, de la segunda ley de Kirchoff, en el circuito (espira), se cum ple: $ = LR
U)
=>
co L =
Igualando las dos últimas expresiones, obte nemos la intensidad de comiente, así: coC i = — B ( v eos 0 R
co-'L
(27üf)"L
Ahora, para que el alambre se deslice con velocidad constante, las com ponentes de la fuerza de gravedad (FP) y fuerza magnética (F b) a lo largo del plano inclinado deben a nulaise, esto es:
C= [(2jt)(ó0)]- (0,2) * C = 35,2.10~6 F
(O
© mg sen 0 = i t B eos 0
S olu ció n: 52 • Representem os las fuerzas que actúan so bre el alam bre: fuerza m agnética (F B) y fuer za de gravedad (FP).
j=
m g sen 0
(2)
t B eos 0
Igualando ( l ) c o n (2), obtenem os la velocj dad con la que se m ueve el alambre: B ( v eos 0 _ m g sen 0 í B eos 0
R
v= El flujo m agnético que pasa a través de la superficie de la espira formada por el alam bre, los rieles y la tira es:
mg R sen 0 B 2f
v=
eos2 0
(Q,2)(10)(2.10~3)(sen 53°) (2 )2(0,1)2(cos 53o)2
©
Solución: 53 • Prim ero, hallem os el flujo m agnético que pasa a través de la espira, considerando que
F ís ic a III
s i proyectam os la espira sobre el plano Y Z , solam ente existirá flujo en e l cuadrante c-ob ;e n to n ce s: V .
927
siendo V la distancia radial del origen al diferencia de área dS. As i, el flujo magnético que pasa a través de la sección transversal del toroide es:
i.
cpB = B.A = B (—r ) 0>B = J B • dS = | B dS
2 k .v ^
_ H£LN ia
2n D erivando este expresión respecto del tiem po, y evaluando, se tiene: dct>B _ it r dt d
dB
4 ti
(0 ,1 )"
dt
4
De la ley de Faraday, la fem. (E,) inducida entre los extrem os del arrollam iento del to roide es: 5=- N
dt (3.10
d O nB _ _Tí a. i •= 23,6.10 dt
, =_
)
\/ V
(5 )
S olución: 54 • Representem os un diferencial de área d S = a.dr de la sección transversal S del to roide.
( ^ 27i
^ dt Kn (Í)íi i', dt
De otro lado, la fie.m inducida en un ele m entó inductor (toroide), tam bién viene da do por: dt Igualando las dos últimas expresiones, en contramos ia expresión para la inductancia del toroide: L = ü o N ± í |n ( i ) 2 tc r, L = (4 ti.l0 -7)(800)2(0,02) 2 tt
La m agnitud del cam po m agnético al inte rio rd e l toroide (r, < r < r?) es: . BoN.i
B =
2 ti r
* L = 1,77. ICT3 H
8 "V D
S olu ció n : 55 * Representem os el circuito eléctrico des pués de haberse cerrado el interruptor S.
928
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
De m odo que, la densidad de energía mag nética para r < R es:
—w > — m —
i
s
] D R2 W kj - -----2p0
2 ^ Z---T r 8?rz r
So:
El valo r de la com ente cuando alcanza el 10 % del valor de la com ente de equilibrio es: i = (— )(— ) = ( 0 .1)(— ) = 0,03 A 100 R 20
Luego, la energía m agnética alm acenada po r unidad de longitud al interior del cilin dro de radio "R " es: k - = 7 f w M
W^
= 7t ¿/ < 8^?rR S x 2" í d f >
Luego, la energía del cam po m agnético a | m acenada en el solenoide es: W
R W M _ E*-o’ J r 3 dr t 471R'
= -L .¡2
Wm = - ( 0 ,0 1 5 ) ( 0 ,0 3 y
* Wm = 6,75.10-6 J
WM
n „¡;
(4 tc.10~7)(2 2)
16 tí
16 7t
©
Solución: 56 • Aplicando la ley de A m pere, hallem os la m agnitud del cam po m agnético a una dis tancia ”r" del eje del cilindro así:
W, — = 0,1.10 i
— m
®
S olución: 57 • Calculem os la s . reactancias inductiva (X l), capacitiva (X c) y la im pedancia (Z) del circuito, así: X L =to.L = (50)(0,04) = 2 n 1
Xr = (o.C
= 10o Q
(50X 0.02.10-6)
Z = [R 2 + (X L - X c )2] 1/2 B » d f = p 0i0 Z = [42 + ( 2 - 106)2] 1/2 = 0 ,9 9 .1 06 Q 7t r
B (2 k r) = /u0 (----- - ) i 71 R
Luego, la corriente eficaz en e l circuito de corriente alterna es: .
B =
2tt R 2
_ _ tj4 2 _
50 0 ,9 9 .10f
929
F ís ic a Hl
* ief = 5 0 ,5 .10”6 A
S olució n : 60 • Representem os los tres estados del pro ceso de deform ación del alambre.
©
S o lu ción: 58 • El v alor de la inductancia del solenoide, viene dado por:
IN IC IA L
L = R .t0 = (80X0,05) + L=4H
©
S o lu ción: 59 • La fem inducida ( £ ) en la bobina de "N " vueltas, viene dado por:
N o hay fem inducida, ni corriente inducida, pues, el flujo m agnético es constante. IN T E R M E D IO
©
X
X
X
X
.
X
X
X
X
1
f = - N
^
- í B eos 37°dS dt i
X
X
X
II
X
X
X
X
X
X
X
X
X
El flujo m agnético O b , a través de la espi ra deform ada dism inuye, debido a las fuer zas F, que producen la dism inución de su área.
N .S— (0,5 sen(20Q.t)) 5 dt
£ = - 1 (50)(3.10"4)(0,5)(200) cos(200.t) © £, = - 1 ,2 cos(200.t)
X
(1) S=*0
De otro lado, la fem inducida ( £ ) en un in d u cto r (bobina), viene dado por:
(2)
Igualando ( l ) c o n (2), obtenem os la induc tancia m utua, así: - 1 ,2 cos(200.t) = - 1 0 3L cos(200.t)
X
©
X
X
X
X
________________ B IX
x
x
x
X Ix
X
X
X
X
X
X
X
t=Tt.r
1
j _
AcP _
O - O0
A l=
At
0 -B S o _ B S o
^
At i
* L=I.2.10"3 H
F1NAL
D e la ley de Faraday, la fem media (¿;) in ducida en la espira circ u lare s:
%= - L — = - L — (5 se n (2 0 0 .t» dt dt E, = - L (5)(200) cos(200.t)
*
X
At
= (I)[ tt(0,2)2] 0,02
930
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
4 = 6,28 V i = — = — (B.f.C.v) dt dt
Luego, por conservación de la energía, el trabajo realizado para defonrrar el alambre debe s e r igual a la energía disipada en la es pira circular, esto es: W = — At = R
i = B/'.C — = B./.C.a dt De otro lado, ta m agnitud de la tuerza sobre el alam bre móvil, debido a su interacción con e I cam po m agnético e s :
— )( 0 , 02>) 0,02 2
©
* W = 39,44 J
S olución: 61 • R epresentem os el circuito, luego de ha b ersu stitu id o los dos condensadores en pa rale lo.
F' = B.i.C = B2£2C,a Ahora, com o esta fuerza es opuesta a la fuerza externa F, entonces, la aceleración que adquiere e! alambre móvil es: F -F '
a =
F - B2/ 2C.a m
a = m + B '/^ C 0.2 0,1 + (2)" (0,1)" (6.10 6 ) La m agnitud de la fem inducida en el con ductor debido a la variación del flujo mag nético, a través del área del circuito es: A dt ~ dt -
dt
dt 4 = B i.v
I^a carga eléctrica en las armaduras del con densador equivalente de capacidad 6 p F , que sustituye a los dos condensadores co nectados en paralelo es: q = 4-C = B .í .v .C
A su vez, ía intensidad de corriente induci da, que circula p o re l circuito es:
*
m m a = 1,99 - » 2 — s s"
/'TtN (jy
S olución: 62 • C om o R R 2« d , entonces, podem os a sum ir que la inducción m agnéticas en la su perficie de cada una de las espiras es cons tante, así, la inducción m agnética creada por la corriente ”i| " en la superficie de la es pira "2" es: i. Ri Mo 2 (d 2 + De m odo que, el flujo del cam po m agnético que pasa a través de la superficie de la espi ra "2" es: CP-, -
-
V) 2 (d ¿ + R f)'
931
Luego, despreciando "R ^" frente a "d“ ", obtenem os el coeficiente de inductancia mu tua entre las espiras, así:
4 = d ® = _ d ® ( Mfiü
c&2 _ Po l i.2
-
i,
2
A su vez, la fem inducida a lo largo de la I] nea paralela al eje del alam bre, y externo a ia superficie "S" es:
dt
dJ
dt
, n (b
2n
a
(471.10-7 )(7t)( I (T3 ¡2( 2 .10-3 )' 2n
* L,
©
LIO-15 H
S olución: 63 • Dividamos el cilindro en cascarones, y a una distancia "r" del eje, representem os u na franja de área dS=¿dr.
a
0)
dt
De otro lado, la fem inducida en un dispo sitivo de inductancia "L " es:
s-
L!
Com parando ( I ) con (2), encontram os la expresión para la autoinductancia "L": * L= ^ f n ( L 2 tc
a
S olu ció n : 64 • Representemos una franja de longitud y ancho "d r", situado entre los alam bres conductores de corriente. (i)
De ia ley de Ampere. la m agnitud del cam p o m a g n é tic o a lo largo de la circunferencia de radio "r" es:
i <*,.4
iT
B = iV 2ix.r
d S = íílr ...... h
j ...... : ........
A hora, el flujo m agnético que pasa por la superficie som breada, de ancho " b - a " y longitud es: 0 = | , B . d S = |, B dS
(2) En la Fig., el flujo m agnético que pasa a tra vés de la superficie de la fianja, debido al cam po m agnético, creado p o r la corriente que pasa p o re l conductor "1" es:
b
2 7T
dcbn = Bi dS
2n r
la
dr
% ','d
2 tt
a
2n r
932
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
Integrando está expresión para "r" entre R y d, obtenem os el flujo del cam po magnéti co total, así: _ IV c dO n , = 2n
f
2n
r
dr r
R
Com o el conductor (2), crea un flujo magné tico idéntico al del conductor (1), entonces el flujo total a través de la superficie sitúa da entre los conductores es:
A su vez, la fem inducida a lo largo de la lí nea paralela al eje del alam bre, y extem o a lasu p erficie "S" es:
dt
¡== _
W
s
ti
k
2 i R dt
=
av
v„
-
v
= £
av = Í 2 2
R 0)
R m cirr
dr
2n2 ^ e
De la ley de O hm , la intensidad de corrien te que pasa por la resistencia "R 0 " es: i = A V /R 0 , luego, la cantidad de calor disj
De otro lado, ia fem inducida en un dispo sitivo de inductancia "L" es:
dt
^ m©2 r E = --------e C on esto, la diferencia de potencial entre el eje del disco (V 0) y su borde (V )es:
dt
Fc = m eo' r = eE
(2)
pada en la resistencia " R 0" es:
Q ..A V = (
Com parando (1) con (2), encontram os la ex presión para la autoinductancia "L": * L = -^ V £ n (-) ti R S olu ción: 65 • Com o el electrón gira junto con el disco, en una trayectoria circular de radio " r" , el cam po eléctrico debe estar dirigido del eje 0 hacia e l borde, a fin de que la fiietza cen trípeta sea igual a la füeiza eléctrica sobre el electrón, esto es:
^
)
m (o R‘
Q= 4 e 2 R u Q=
(9,1.1Q~3I)2(20)4(0,1): (4 )(l,6 .1 0 “ l9)2(200)
Q = 64,695.10"24 J Com o, 1 eV = l,6 0 2 .1 0 ' tidad de c a lo re n e V es: *
J, entonces la can
Q « 4 0 3 ,8 .1 0 "6 e V
©
Física III S o lución: 66 • Representemos las fuerzas que actúan so bre un elem ento de anillo de longitud "Ai:".
933
Fm &e
e v B = meo r ecorB = meo r En la Fig., la m agnitud de la fiterza magné tica (AF m) sobre el trozo de alam bre de Ion gitud "A i" , debe s e r igual, a la sum a de las com ponentes verticales de ia tensión (T), es to e s : AC A0 AFm = 2 I sen — 2 iA í’B = 2Tsen
A0
B=
mo)
(9 ,1 .I0 -3 i )(40) 1,6.10
-1 9
* B » 2 ,3 .1 0 ~ 10 T
©
S olución: 6$ • Representem os la trayectoria circular que describe un electrón, y las fuerzas eléc trica y m agnética que actúan sobre el.
7
C om o A0 —» 0 ° , entonces podem os utilizar la aproxim ación; s e n (A 0 /2 )« A 0 /2 , de donde obtenem os la tensión en el anillo, así i R A0 B = 2 T
A0
T = i R B = (1,5)(0,1)(3) T = 0,3 N
©
S o lución: 67 • Para que no sutja un cam po electrostáti co, los electrones no deben experim entar desplazam iento respecto del cilindro, esto se cum ple, si la iiietza debida al cam po m agnético, es igual, a la fuerza de Lorentz, esto es
En la Fig., la sum a vectorial de las fuerzas eléctrica y m agnética sobre el electrón, de be s e r ig u a la la fuerza centrípeto, esto es: 2
eE - e v B = meo r t: mü)2r , w rBn E = ---------+
E^ 0 ~
3')(4»)2( M + (40)(0 ,,X,0 - „ I) I.6 .J 0
-19
934
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a -v-9
E =s 0,91.10-9 + 0 ,4 .10 0 -^ C
©
creado por la corriente inducida debe opp neise a la dism inución de este flujo, están do la com en te inducida en el sentido mos trado en la Fig., y siendo su intensidad \ g u ala:
S olución: 69 • De la ley de Faraday, obtenemos el valor de la fuerca electrom otriz inducida, así:
¡ = JL = 1 * Ü = I < L ( b a ) R R dt R di ,
Ad)
AfBA)
At
At
= l l (B íy ) = ^ = £ A R dt R dt R
1) A hora, para el instante en que el alambre se mueve con velocidad constante (aK)), la m agnitud de la fuerza magnética sobre el alam bre, es igual, a su peso, esto es;
á (k l A ) a = k i n. R D: ki A c = ------------= At
Ahora, esta fiierza electrom otriz inducida, es num éricam ente igual, al trabajo realiza do p o re l cam po eléctrico al desplazar la car ga unitaria ( q ^ lC ) a lo largo de la trayec toria circular de radio "R ", esto es:
i£ B = m g B(v ( - — ) ( /'B ) = m g R
e = k7tR “ = 2 tiR E v= * E=
kR
m gR 52 í 2
(5 0 .l0 _3)(l0)(2) ( 5 ) - ( o .ir
©
2
S olución: 70 • Representemos las fuerzas que actiran so bre el alambre horizontal en su m ovim iento ve rtical.
m
11) Evaluando la expresión de la intensidad de corriente eléctrica, tenemos: .
(5)(0, l)(4)
, ,
(ií)
III) El sistem a electrom ecánico es conser vativo, en ausencia de ftietzas de fricción.
En la Fig., cuando el alam bre de longitud " í" se desplaza, el área del circuito dism i nuye, con ello dism inuyendo el flujo magné tico a través del circuito, por lo que. el flujo
Solución: 71 • Com o e! flujo a través del área que encie rra ei anillo aum enta, la fem inducida y la corriente eléctrica inducida en el anillo de ben e s ta r e n la dirección m ostrada, tal que el flujo m agnético creado por esta corriente indu cid a.se oponga al aum ento del flujo ex temo.
935 Física III com ente inducida "i", obtenemos la dife rencia de potencial entre ios puntos de u nión "a" y "b ". así:
1*2
2 ( V a - V b) = i ( R 2 - R 1)
va-vb= k n2R( R2(,R+2 R- R,) , ) l)2(20 - 10) va-vh=(2Tt)(0, (2 X 2 0 + 1 0 )
I) 1.a m agnitud de la fuerza electrom otriz inducida en el anillo es:
Vy - Vb = 10, 5. 10 e=
— = — (B A ) di dt
IV) De otro lado, el cam po electrostático correspondiente a la diferencia de potencial entre " a ” y "b" es:
r: = ~ - ( ( B 0 + k t ) ( 7 r K 2 )) dt
E, =
s = k 7iR 2 =(27i)(0,l)3
s = 62,8. lO- '1 voltios
E, =
II) D e m odo que, la intensidad de la corrien te inducida en el anillo, generado por esta fem inducida e s : s
kuR3
R,+ Ri
R, + R-,
10 + 20
©
Ilí) A plicando el principio de conservación de la energía a las mitades inferior y supe rio rd e l anillo, tenem os: * A la m itadsuperior. Va - Vi, + —s = i R
v „ -v b
k 7 t R - ( R 2 - R , ) / 2 ( R 2 + R 1) 71 R
E, =
k R ( R 2 - R,) 2 ( R 2 + R|)
(2X0.1X20-10) ”
( 2 ) ( 2 0 + 10)
E, * 3 3 , 3 . 10~3 N / C
’jt)(0.l)
' - * 2 . 1 . 10'3 A
vol t i os (íi}
@
Solución: 72 • Dividam os el disco hueco en muchos cas carones cilindricos, y representem os uno de ellos.
(I)
* A la m itad inferior:
~ V;i + Vb +
' Rl
(2)
Restando ( I ) m enos (2), y reem plazando la
En la Fig., la resistencia eléctrica de la Fian
936
in d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
ja de la franja de ancho "d r", largo ” h", y á e a dS=h d re s : i
2rrr
R = p—
= p --------
dS
hd r
D e otro lado, la m agnitud de la tuerza elec romotriz inducida en el anillo de radio "r" y ancho "dr" es:
s =
dt
= 7~ (B A ) =
dt
dt
S olución: 73 • Com o el flujo m agnético aum enta en e) circuito derecho y dism inuye en el izquier do las fem y corrientes inducidas son las m osiadas en la Fig., donde las fem induci as se han representado sim bólicam ente me diante baterías. 4h
2ii
B®
B®
( k 1 7t r 2 )
r
i nd i ^ £ - k j r r — ( 0 = k ttr ” dt '
G v
a
2
-Jv-Í IIJ)
(1)
De modo que, la intensidad de la corriente eléctrica inducida que pasa por la superficie de la franja es:
( y
En los circuitos izquierdo (I) y derecho (II) se inducen la m ism a fem, siendo el valor de estas, igual a: £| = e 2 = B a v
O ( k ttr ) d i= — = ( R 2 ;tp r /h d r
O)
Aplicando la segunda ley de K irchoff a las mallas (I)y (II), tenem os: * A la malla (I)
k h rdr di = --------2p
Finalm ente, integrando esta expresión para "r" entre "a" y "b ", obtenem os la corriente eléctrica inducida total en e l disco hueco, así:
9 a a i j + a a ( i j + ¡2) = Si lO a a i, + a a i 2 = £]
(2)
* A la m alla (II). kh f d i = — f rdr *> 2 p Ja ,i
kh
( , ) lo = ^
I
,
5 ao ti| + a a ( i | + i2) = £2 a a i | + 6 a a i 2 = s2
ib
(2 r ) L
(3)
Resolviendo (2) y (3), para las corrientes e léctricas, obtenemos:
k h (b ~ - a 2) 5 Bv
4p
59a .
(3,38. )0 "5) (2 .10~2)(82 - 4~>-10 (4)(1,69.10-8 ) *
i = 48.10"- A
y
i2 =
9B v 59a
-4
Luego, la intensidad de corriente eléctrica inducida total que circula p o r AB es: [4B v i = i¡ + i 2 = 59a
937
F ís ic a ill
i=
Resolviendo (3) y (4), para las intensidades de corrientes i| y i2, obtenemos:
(14)(2.10~3)(4.I0~~) (59)(5,4.10“3)
3e,u + t c£?
i , = — 1------
E
* i as 3,5.10-3 A
S o lu ción: 74 • C om o los flujos m agnéticos a través de ios circuitos A B C D y BEFC aum entan las intensidades de com entes y fem inducidas tienen los sentidos m ostrados en la Fig., donde las fem se han representado sim bóli cam ente m ediante baterías. A
B
h
B®
l
a/2
!£
dO dt
dd>2
oh
= — ( k t a ') = k a i dt d ..
g,
la a
i = i,
j
- i2 _ =
2 e ,- 3 e , la a
(2)(k a 2) - (3 )(k a 2 /2 ) 1l a a ka
(5.10_3)(0,2)
22a
(22)(5,4.10-3 )
* i = 8,4.10-3 A
Las fem inducidas en los circuitos izquier do y derecho de áreas a 2 y a 2/2 son: £, =
4 e2 +
£2
“
(i)
.
h = - - 2 ------ l-
Luego, la intensidad de corriente inducida que circula p o rB C es:
.
B®
Q u
y
la a
a~.
I , ?
s 2 = —7^ - — ( k t — ) = —k a dt dt 2
S olució n : 75 • Representem os las com ponentes del cam po m agnético, que actúan sobre un diferen cial de anillo de longitud " d i" .
(O
(2)
A plicando ia segunda ley de Kirchoff, a las m allas (1) y (II), tenem os: * A la malla (I). 3 a a i | + a a ( i ¡ —i2) = Sj
En la Fig., el vector de posición del diferen cial de corriente " i d í " , y la expresión vecto rial de este son:
4 a a i j - a a ¡ 2 = £]
(3) r = x + R = xi + R cosa j + R sen ak
* A la m alla (II). id í = iR d a (s e n a j - co sak) 2 a a i 2 + c c a (i2 - ij) = £2 - a a i , + 3 a a i2 = e2
(4)
De m odo que, la fuerza m agnética que ac túa sobre el diferencial de corriente eléctri ca es:
938
In d u c c i ó n e le c tro m a g n é tic a
túan sobro dos diferenciales de corriente " id f" . tomados sim étricam ente respecto
dF = id ( x B - id ( x —•f i"' dF = i R d a (sen a j - c o s a k ) x ( x i + R c ü s O j i - R sen 0 k )
dF = -— ^ ( - x s e n a k + R s e rv a i r' - x c o s a j + R co s‘ a ¡ ) Luego, integrando esta expresión para r,a " entre 0 y 2 n , obtenem os la tuerza magné ti ca sobro el anillo, así: |
dF =
k
sen a d a -
dei centro de la espira circular. Así. en la Fig., observam os que las com ponentes peí pendículaies (dF_J de la fuerza magnética se anulan entre si, de modo que la tuerza re sultante sobre el elem ento de corriente id? es la sum a de las com ponentes paralelas (dFu), esto es: dF = 2i B , d i = 2 iB se n 0 R d a dF - 2 i — — R d a i" r Integrando está expresión para " a " entre 0 y , obtenem os la magnitud de la fuerza m agnética sobre el anillo, as í:
* j*2ir ~r2n x j J eos a d a + R i da| da _ 2:ri k R ? _ h”
r'
2rci k R~
;
l _ (x 2 + R2 Vv - '
(x " + R -y F=
2n¡ k R : ( x 2 + R 2)3/:
F=
(27t)(2)(0.2)3 k : (0 ,l2 + 0 .2 2)3' 2 ‘ F * 45 k i (N )
2 ) Segunda forma
"'E sta Uterza m agnética,esta en la dirección positiva del eje X >:> II) Considerem os un elem ento de anillo de longitud Ai = R A a ,y representem os las AFi AC
U tilizando la regla de ia mano derecha, re presentem os las direcciones de las compo nentes paralelas (dFn)y perpendicular (d F i) al eje X, de las fuerzas magnéticas que ac
fuerzas m agnética (AFj_) y tensión interna que actúan sobre el. Así, com o el elem ento de anillo está en equilibrio, la com ponente de la fuerza m agnética ( AFj ) perpendicular
939
Fís ic a US
al eje X, debe s e r igual, a la sum a de las com ponentes verticales de la tensión ínter na (T), esto es:
S = 2 tt r h S = 2 ti r (1 - eos a )
2T sen — = AF
a S = 4a tt r 1 sen 2 — c
Com o, A c c -» 0 , entonces, utilizando la a proxim ac ión sen(A a / 2) « A a / 2 , ten em o s:
De modo que, el ángulo sólido lim itado por la superficie que encierra el anillo es:
2 T — = iB c o s 0 R A a
Q = 4-- = 4 ti sen” — r 2 Luego, com o el ángulo sólido en todo el es pació es 4 tt, entonces, aplicando proporcio nalidad, obtenem os el flujo a través de la su pe ríle ¡e que encierra el anillo, así:
ik R x T = i< 4 ) (- ) R = , r r ( x ' + R ') " T=
(2)(0.2)(0,l)k
cp _
(0,1- + 0 . 2 - ) ’' -
a " T « 3 ,5 8 k ( N )
4 ti
®
III) Según teoría, com o el cam po magnéti co es radial, el flujo m agnético a través de la superficie de la esfera de radio "r" es:
Cp
4 tci*- B
4 7 r s e ir ( a /2 )
4 tt
^ ^ k R . cp = ( 4 ^ r ) ( — )(— )i- r
Ahora, representem os el ángulo sólido, limi tado p o r la superficie que encierra el anillo de radio " R ” .
x ’ + R-
0 ,1 " + 0 .2 -
* c p ^ lO k W b
©
S olució n : 76 * Según teoría, una carga eléctrica que se desplaza lentamente crea un cam po magné tico, cuyas líneas de fuerza se encuentran en planos perpendiculares a la dirección de m ovim iento de la carga, com o se muestra en Ja Fig.
En la Fig., el área (S) de la superficie del segm ento de esfera de una base (casquete), viene dado por:
940_____________________ Inducción electrom agnética________________________ La m agnitud de dicho cam po m agnético, es De aquí, podem os decir que la m asa corres ig u a la : pondiente al electrón es:
D _ M0 vsenQ 471
m = Po 2 9' 47: 3 R
r2
Considerando al electrón com o una esfera de radio "R ", la energía m agnética en todo el espacio, generado por el movim iento del electrón, viene dado pon
(4 tt. 10~7)(2)(J,ó. I O-19)2 (4-r )(3)(1, 88.10~ 13) m = 9,1.10-31 kg
III) En la expresión de la m asa del electrón sustituyendo p 0 = l / s 0c 2 , obtenem os el ra
f B2 dV
Eb = —
dio del electrón, así:
siendo "V " el volum en extem o al electrón. Para integrar está expresión, considerem os el anillo de radio "a", sección transversal de lados "dr" y "rd 0 ", área dA =r drdQ, y perím etro p = 2 7 trse n 0 , de m odo que, el vo
m=
2q¿ 12tt£0c“ R
1
r
q-i
2
4 (v 3 47ts,,c“mR
3
Ir
lum en de este anillo e s :
rc«|R =(|)0.l
dV = pdA = 27ir2se n 0 d rd 0 Sustituyendo en la expresión de la energía m agnética B y dV, e integrando, obtene mos: Ed =
p 0q 2v2 r» IÓ7U
Ed =
se n 0 3d0dr
i r
7 p0q2v~ 16n
dr p2:t
r?f
-i se n '0 d 0
.2 ..2
En. =
Eq =
4 tt 3R
(4ít.10~7) (l,6 .l0 ~ l9)2 v z (47t)(3)(l,88.10"i5) Efí * 4 ,5 v 2.l(T 31 J
C2)
LIO-15)
rc * 2 ,8 2 .1 0 15 m
®
@ j N otas 1) La energía en reposo de una partícula está asociada con la energía de su cam po eléctrico. 2) La energía cinética de la partícula, co rresponde a la energía de su campo m agnético. 3) El cálculo apropiado de la energía pro pia del electrón, se halla m ediante téc nicas de la m ecánica cuántica. S olución: 77 • Com o en la región 3 t no existe corriente eléctrica, de la ley de Ampere en su forma diferencial, tenem os: V x B = p 0I = 0
II) R eescribiendo la energía m agnética ob tenida anterionnente, así:
De aquí, com o el rotacional de B es nulo,
_ 1 ,p 0 2 q 2 2 Eo = - ( — — —) V 13 2 4 tc 3R
entonces B , es igual, gradiente de cierta función "V " llam ado potencial escalar, esto es:
941
F ís ic a III
C B = d B v dy - d B x dx
B = - p 0VV Sustituyendo esto expresión en la ecuación de G auss en s u fonna diferencial, encon tram os que "V " satisface la ecuación de L a- p lace, así:
5B C B = — -d x d y dx
OB,
dx
dy
V• B=0
V 2V = o S o lu ción: 78 • Considerem os una trayectoria rectangu lar contenida en el plano X Y , tal com o la m ostrada en la Fig.
d¡ = j z d S = jz dxdy Según la ley de A m pere, la circulación del cam po m agnético a través del circuito A B C D , debe s e r igual, a la comiente que en cierta el circuito, esto e s : dB,
)d x d y = jj.0d¡ = p 0j z dx dy
dy dB v
dB x
dx
dy
Ahora, s i ubicamos el circuito A B C D sobre los planos Y Z y ZX, y procedem os de la m ism a forma, obtenemos:
do indicado (antihorario)es:
dB.
5B
8y
dz
dB X
B• dt
dz B»dt + f
Cr = f H
Ja b
f
B »d¿+
-) dx dy
rriente eléctrica que pasa por la superficie de A B C D , entonces, la intensidad de de co rriente eléctrica es:
dx
CB =
;-dx dy
D e otro lado, com o "jz ” es densidad de co
A
La circulación del cam po m agnético, a tra vés de la trayectoria del rectángulo de lados "dx" y "dy" y área d S = dxdy , en el senti
dy
dB y CB = (
V .( - n „ V V ) = - n oV 2V = 0
dB,
3B,2.
~
dx
__
BoJy
M ultiplicando las ecuaciones obtenidas por
Jb c
Je D
B • d¿ + f
Jd a
B • di
los vectores unitarios i, j y k , y sum ando obtenem os: dB,
C B = § • d y j - B • d y j + B • d x i - B • dx i C B = Bydy - B y dy - Bxdx + B x dx
dy
dz
dz
dx
•)j +
3Bs C B = (B
-B )d y -(B x -B J d x
dx
dy - ) k = p 0(jx i + j vj + j 7> )
942
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
* V x B = n 0j
B=
p 0 q v sen ft 4 tt
S o lu c ió n : 79
• 1.a partícula c a c a d a en m ovim iento crea un cam po m agnético, cuyas líneas de fuer zas son circunferencias que rodean la trayec toria rectilínea que describe la partícula.
r
(2)
Este cam po m agnético es nulo en puntos de la trayectoria, y m áxim o en puntos situados en el plano perpendiculara la trayectoria, y que pasa p o r la posición de ia partícula. De otro lado, el cam po eléctrico en el punto P, creado por la partícula de carcza "q" es: F. = — — 4 r 4 tig„ i-
(4)
Ahora, de la ec.(4) despejando r , y suslitu yendo en la e c .f l), obtenemos la relación e xistente entre B y É ,a s í: En la Fig., hallemos el diferencial de co rriente eléctrica, que circula por el diferen cial de circuito d ( , así:
B = (.Lü£üv x É Finalm ente, com o la velocidad de la luz en el vació es: c = I /
id i’= id f k = ( jS ) d ík
u 0e n , entonces la expíe
sión anterior, se reduce a:
í d f = (jk )(d V ) = n q vdV
B= ^ v x É c"
siendo, "n" el núm ero de partículas p o ru n j dad de volumen. Con esto, el cam po m agnético creado por este diferencial de corriente eléctrica es:
• Considerem os una trayectoria rectangu lar contenida en el plano XY, tal com o la m ostrada en la Fig.
4 tt
S o lu c ió n : 80
C
B = & - c ( S M n dV 47: 1 r Ahora, com o, ndV es ei número de partícu las contenidas en el diferencial de volumen dV , entonces, el cam po magnético creado por una partícula, y la magnitud de este cam po son:
La circulación del cam po eléctrico, a través de la trayectoria del rectángulo de lados "dx" y "dy" y área dS = dxdy , en el sentí do indicado (anlíhorario)es:
F ís ic a III
943
c E = 9 É .d í
dz
dx Cp = í L
MB
[
Jcd
É « d í+ í
Ju c
É•
+ [
J da
É • d? +
_
St
5EX_ dEz - _5B, dz
É • d¿
dx
Di
M ultiplicando las ecuaciones obtenidas por = É • dy j —É • dy j + É • dx i - É • dx i
ios vectores unitarios i. j y k , y sum ando los, obtenem os:
C H = E ydy - Bv dy - E xdx + E x dx
SE,
d l i
dE v
SF -
;
0E„
(— <=------- - ) i + — ^ Sy dz dz
C k = (Ey ~ F'y)dy - (E x - E s )dx Cj: = d E v dy - dE x dx
SE7 -
^ i+ dx J
d
í i r - ^ f ) k = - a? - (B ^ + B >j + B ' k) rC L.
9 E * a a i - - dx i dv . =— ~dx ad v ------dx ' d\
SE,. 3L ^ -^ -íd x d y dx a\
* Vx E = -
(1)
De otro lado, el flujo m agnético a través de la superficie del rectángulo A BCD que se encuentra en el plano XY es:
SB ai
S olución: 81 • Representemos el sentido de la comiente eléctrica a lo lai^o del eje Z, y las líneas del cam po m agnético tangente a las c ¡reunieren cias concéntricas que rodean a la comiente eléctrica.
d>R = cj) B » d S = (ji B * dSk 4>Q = Bz c f d S = B z dxdy
(2)
Sustituyendo ( l ) y (2) en la ecuación de Fa raday-H enry, tenem os: rf F > d f = Ji.
í B • dS dt Js
Según teoría, la relación entre A y B , vie ne dado por:
5E v dF . , dñ¿ (— =---------- ) d x d v = ------ dx dy dt
V xA = B = ^ - 0 2a r
A hoia, s i ubicamos el cireuito A B C D sobte los planos Y Z y ZX. y procedemos de la
Sustituyendo el operador nabla V en coor denadas polares planas, y asum iendo que:
m ism a forma, obtenem os:
Á = Ar? + Ae0 , tenemos:
944
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
dA,
, 6A r
dA dz
8A Z ^ _ Mo* 0
dz
di
2tx r
S olució n : 82 • Para, z>0 de la ecuación de M axw ell, hallem os el potencial vectorial m agnético, así:
Com parando las com ponentes de ambos la dos de la ecuación, tenemos: 1 dA ,
dA
r 90
dz
=0
(1)
V xÁ = B = ^ í 2 Sustituyendo el operador V en coordenadas cartesianas bidim ensionales, y asum iendo que A = A xi + A yj+ A zk , tenemos:
9A r
9 A ¿ = p 0i
dz
2 7i r
dx
(2) dA..
dA
:
9A X
dA
-
Com o la com ente eléctrica "i" es unifonne a lo largo del eje Z, entonces, A no puede depender de z, po r lo que, dA í /d z = 0 , (i=
dx
9y
2 J
r, 9, z), y las ecs .(1) y (2), quedan as í: dA,
= 0.
Com parando las com ponentes de am bos la dos de la ecuación, tenemos: dA,
d A y
dy
9z
dA ,
dA,
com o, "A z " no depende de "0" ni de "z",
dz
dx
la derivada respecto de "r" es total. Integrando esta últim a ecuación con A z=0
3A V
dA 2 dr
2
2 ti r
dx
para r=r0 (referencia), obtenem os: r Jo
^ úo.i
p ui rr dr dA i = - M [ E ¿ 2 71 h, r A z = - ^ - í n ( —) 271 r
Com o el potencial vectorial m agnético de be s e r independiente de las variables x e y, entonces las ecuaciones anteriores se redu cen a: d Ay Poi
Luego, la expresión para el potencial vecto rial m agnético A e s : Á = A , é = - ^ - f n ( —)0 2 tt r
dy
dz
2
Integrando esta ecuación con Ay^O para z =zq>tenem os:
945
F ís ic a III
Á = A yj = - ± ^ ( z - z 0)
c
1
5 ,
1
R-
r
3
5
4 tt r sen 0 5
47: r 5r
PoJ z - z .
* A
©
5 5r
Je = 0
Á=^ (z -z „ ) Por lo tanto, el potencial vectorial m agnéti co en todo el espacio es:
x
. v
50
c,1.5, .2r R\ ------ — ) s e n 0 { -[— 4tc r dr 5 3 5 n2 2 — (a ( ----------- ) eos 0)]} 50 3 5
(51 N o ta
En la solución del prob.(191).del capi tulo.10, se dem uestra que e l cam po magné tico, creado po r una lám ina -infinita de den
L = — { - ( —— — )seni * 4 tc r 5 5 acr
sídad de corriente j es: B = |i0j / 2 i . S o l u c ió n : 8 3
• Según la ecuación de M axw ell, la densj
4 tt Para, r > R , procediendo de la m ism a for m a obtenem os:
dad de corriente j , viene dado por:
jr= je = jd > = °
i = — rotH
S o l u c ió n : 8 4
471 Para r < R , en coordenadas esféricas, las com ponentes de la densidad de corriente j en las direcciones radial ( j r ), polar ( j e ) y a zim utal ( j A)so n :
-”r = T471 í— rse'~n 0 050 ísen 9
~ 5
I 4 tt rse n 0
[— (s e n 0 O )-
5a 3 r ( ~ — V ) sen 0])
aj
>'~~5
3
Jr = 0 Je =
4n r se n 0 5
• La evaluación del cam po de inducción m agnético de una esfera m agnetizada uni form em ente es sim ilar a la evaluación del cam po eléctrico de una esfera polarizada u niform em ente. En particular notem os la si m ilaridad entre el potencial escalar magné tico, producido por una distribución dipo lar m agnética, dado por: V„ 47i
1
dV '
y el potencial escalar eléctrico, producido p ordistribu ció n dipolar eléctrica, dado por: v „ (f) = - 4 - v . 4tt
5r
J r-r
j
|r - r |
Así, el potencial escalar m agnético de una
946
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
esfera m agnetizada uniform em ente tiene la m ism a dependencia espacial que la del po tencial escalar eléctrico de una esfera pola rizada uniform em ente, cuya expresión obte nida anteriorm ente es: P z /3 e 0
Solución: 85 • Designem os com o ¿;2 > ^3> *2’ *3 las fem e intens idades de corriente eléctrica inducidas en los trozos de circuito ADB, ACB y A M N B , respectivam ente, tal com o se muestra, en la Fig.
r< R
(4?rR3 / 3) P • r / 4 ti 60 , r > R
M
Entonces por analogía con está expíes ion el potencial escalar m agnético, debe ten er la forma: M z /3 s 0
r< R N
(4tcR3 / 3) M • r / 4it e 0 , r > R Estando el vector m agnetización M en la dirección d e le je Z positivo. Luego, el vector cam po de inducción m ag nética de la esfera m agnetizada unifonne mente e s :
En la Fig., hallem os las resistencias de los conductores ADB(R¡), A C B (R 2) y AMNB (R 3), así: R, = f | « = ( (2ll)(()- '>X5.4.10-1) O
B (r) = - H 0VVra(r) + p 0M (r) R, = 0,565.10 Q B(r) = - p 0W n,(r) +
0,
para r > R,
p 0M
para r < R
p 0V (M • r / r ) / 4 tt
R 2 = C 2 OL = (
( 5 ) ( 2 7 i )( 0 , 0
)(5,4.I0"’)
R 2 = 2,827.103 Q
para r > R ,
B(r) = 2 p 0M k /3
@ 1)
para r < R
C onclusiones A l exterior de la esfera m agnetizada el cam po de inducción m agnética es el cam po de un dipolo m agnético de mo mentó: m = (47iR3 /3 ) M k , situado en
2) 3)
el centro de la esfera. A l interior de la esfera el cam po de in ducción m agnética es uniform e. El potencial escalar m agnético es contj nuo en la superficie de la esfera magne tizada.
R3 = i 2a =
(2jt)(0,2)
r
+ (2)(0,2)(5,4.10 )
3 = 3 ,2 9 1 .1 0 ' Q
A hora, aplicando la ley de Ohm, a los con ductores A D B (I), A CB(2) y A M N B (3), tenem os: ^ i + Va - V
b
$2 + VB “ V¿ R,
0)
(2 )
947
F ís ic a III
43 + V a - V E Ri
(3 )
Sum ando a la ec.(2) l a e c .( l ), tenem os: í¡ R, + i 2R 2 =
$ i + V A - V B +£,2 + V B
-
i, R, + i2 R 2 = ^ + £,2 = £,
VA
(4)
* 13 - O .1 0 '3 A
S olu ció n : 86 I) De teoría, el flujo m agnético que pasa a través de las "N " espiras en e l instante en que la norm al "rí" a su superficie forma un ángulo 0 con B es: O = N B.A
Restando a la ec.(3) la e c .( l), tenem os:
0=N B A 4*3
= $3 +
~
(5)
De otro lado, aplicando la prim era ley de K irch off en el nudo A, tenem os: i-» —ii + ii
(6)
Ahora, com o el cam po m agnético esta con centrado en el centro del anillo, sus líneas de íu eiza no pasan a través del circuito A M N B , p o r lo que, la fem inducida en el es nulo, lo cual im plica que £ ¡= £ ,3 , con lo que la ec.(5), se reduce a: =>
¡1
=^3
(7 )
Sustituyendo (7) en (4), y despejando i2 : l-i = $ " ¡ 3 * 3 R
¡3*3
0 = 2 n f .t Sustituyendo en la expresión anterior, en contram os que la fem inducida en el con d u cto re s: £ = — — (N.B.A dt
cos(2 tt f.t))
£ = £0 sen(2it f.t)
*3:
= ^ ~ ti +u R. ,vl
Ri \ - R j R s i j = R 2R 3 Í3 + R 1R 2 '3 ¡ 3 = ------------- M ------------R ,R 2 + R lR 3 + R 2R3
área de la sección transveisal de la bobina y co —27t f.t la velocidadangular. II) D el resultado anterior, la am plitud de la fiieiza electrom otriz inducida es: 4 0 = 2 n f t N.B.a.b
(8)
Finalm ente, sustituyendo (7) y (8) en (6 ), obtenem os ia intensidad de corriente eléctri c a que indica e l am perím etro A, as i:
R‘2
Para ese instante de tiem po, el ángulo gira do po r la espira es:
siendo, £0 = N.B.A co la am plitud, A =ab el
K-i
$ -
cos 0
“ VA +
¡ 3 ^ - 1 ^ ,= ^ - ^
Í3R 3 - ¡ |R i = 0
©
N b.a = • 27tf.B Reem plazando datos en esta expresión, en contram os el núm ero de vueltas por unidad de área, así: N.a.b =
150 (2 tt)(60)(0,5)
* N a b=0.796 vueltas.m 2
948
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
S olu ción: 87 • R epresentem os la sección sobre la cual pasa el cam po m agnético, y la intensidad de corriente eléctrica inducida.
F = i ¿xB F = (® r a B a.t)(a B) F = a 2B2 r c o o t siendo, í = a , la longitud del conductor. Luego, la m agnitud del torque ejercido por está füerzasobre el conductor es: í = r x F r = a 2 B2 r 2 cr co t
En la Fig., debido a la acción del cam po m agnético, se establece un exceso de car gas positivas en e l borde del disco, creando se un cam po eléctrico dirigido radialmente hacia e 1 borde, cuya expíes ión e s : E = -v x B = -v B r
t
= ( 2 .1 0 ” 2) 2 ( 0 , 5 )2 (5.1
* t = 5,81 N .m
©
S olución: 88 I) El valo r de la fuerza electrom otriz indu cida en el conductor es:
É = -co r Br | = B £ v = (1) (0,5) (8) siendo í el vector unitario en la dirección radial.
4 = 4V
D e otro lado, com o É = J / a , entonces la desidad de corriente entre e l borde y el eje del disco es: J = aÉ = -c o ra B f
(1)
Tam bién, de teoría de conductividad sabe mos que la m agnitud de la densidad de co rriente eléctrica es:
Utilizando la ley de Lenz, encontram os que el sentido de la fem, es de M hacia N II) La fuerza requerida para m antener la ba rra en m ovim iento e s : F = ¡ £ B = ^-£ B R F = ( ^ ) ( 0 ,5 ) ( 1 ) = 5N
J= — = — A a.t
=>
i = J a.t
(2)
Reem plazando (1) en (2), obtenem os la in tensidad de corriente eléctrica, así:
III) La rapidez con que la fuerza F desa rrolla trabajo m ecánico es:
i = co r a B a t
W 7 = F.v = (5)(8)
A continuación hallem os la fuerza magné tica sobre el conductor, as í:
W F = 40 J / s
949
F ís ic a III
Luego, la rapidez con que se produce calor en el circuito es:
Para:
te
[ 2 :3 ]
? dB I c-, = -7T r “ — = —rcr~ 3 dt 2 R
0,4
Se debe decir que "r" es el radio de la sec ción transversal de la espira, en tanto, "R " es su resistencia eléctrica.
W j = 40 s Observam os que, W F=:W J, lo cual, verifica el principio de conservación de la energía.
R epresentación grafica de £ (t) vs t
B ( Wh / m
S olu ción: 89 1) En p rim er lugar, determ inem os la ecua. ción del cam po m agnético y su variación tem poral, así: Para: t e [0 ; 1] =>
B(t)4 P ata:
te
te
_
I
~ 2
d t
[1 ; 2]
B (t) = 0,5 Para:
d B
=>
11) Pa ra h allar la co m en te inducida, utiliza mos la ley de O hm , i = £ / R , así:
d B
dt
=0 Para:
[2 ; 3]
B (t) = ~
t(s)
=>
te
[0 ; 1]
=>
i, = -
Para:
te
[1 ; 2]
=>
i2 = 0
Para:
te
[2 ; 3]
=>
h =
nr Y
r
dt
De otro lado, el flujo m agnético a través de la sección transversal de la espira es: 0 B = B.A = B (jt R 2) L uego, la fuerza electrom otriz inducida, pa ra los tres intervalos de tiem po dados es: Para: t e [0 ; 1]
re r ' 2R
Representación grafica de i(t)v s t
ti r “
2R í(s)
, dB
1 :
c, - -ir r” — = — irr 1
Para:
te
dt
[I ; 2]
2
7i r 2 R
III) El ritmo de producción de energía tér m ica es: P=i2.R, así:
950
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a 2
Para:
t e [0 ; 1J
->
P, =
71 r
4
3 p 0N v 7t r"
T fT
Para:
t 6 [1 ; 2]
=>
P2 = 0
Para:
t e [2 ; 3]
=>
P3 =
2 4
•ir r
4 R
Representación gráfica de Pít) vs t
2 R 2(1 + N 2)5/2 III) El sentido de la corriente inducida es antihorario, resultado obtenido de la ley de Lenz. Solución: 91 • Para h a lla re l cam po eléctrico, represente mos una trayectoria circular de radio "r".
I' (VV)
71 4
r R
t(s)
B® R.
S o lución: 90 • En prim er lugar sabem os que el cam po m agnético producido p o ru ñ a espira que lie va una corriente "i", de radio " R ” en su eje de sim etría es: RB = Mo 1 2 , n 2-x3/2 2 (x + R ) 1) Luego, el flujo magnético sobre la espi ra pequeña, considerando x » R es:
: E
^ h-./‘ ■ dx ’
til
En la Fig., aplicando la ley de Faraday a ia trayectoria circular de radio " r" , hallemos la magnitud del cam po eléctrico en un pun to arbitrario de la barra, así:
dt
É«dí
nr cbu = Moi R ' 2 ->3/2 2 ( x 2 + R 2)
— (B 7ir2) = Ecf d i dt 2
II) La fuerza electrom otriz inducida en la espira pequeña al variar "x " es:
(jrr2X ~ ) = E(27tr) dt
dO f S=-
dt
d O B dx dx
dt
ü = - ^ y ^ h f ( x2 + R2)- 5,2J(2 x ) v Luego, reem plazando, x = N .R , obtenemos la fuerza electrom otriz inducida, así:
i
h~
£=
O r = B.A
U\ :6 ' d:
E= I r® 2 dt
0)
De otro lado, en el triángulo rectángulo, la distancia del eje del cilindro a la barra y el coseno del ángulo "0" son: d = [R
2-,1/2
— {i! 2 ) ¿ ]
951
F ís ic a III
cos 9
=! = r
íü I
^ Í Ü r
!
(2) "'t + 5«:
A hora, po r sim etría la fem inducida en la barra, es el doble de la fem inducida en la m itad de ella, esto es: rt/2 E»d£ ^ = 2 ío
t
X
(3)
Cl X
dt
E, = (0,08)(0,12 - 0 ,0 8 2)!/2 (0,5) ©
S ! N otas 1) Com o el flujo m agnético a través de la sección transversal del cilindro aum en ta, el sentido de circulación de la cp rriente eléctrica inducida en el circuito de radio " r " es antihoraria. 2) R ecuérdese que la corriente eléctrica siem pre, está en el sentido del cam po eléctrico que produce esta corriente.
S olución: 92 • Cuando se cieñ a la llave S la intensidad de corriente eléctrica que circula por el cir cuito, debida a la batería es:
i
X
B X
\
X
X
X
X
X
r
X X
X
X
X
X
f X
X
X
X
X
''
recha, debida a la acción de la fuerza mag nética F , aum entando el flujo m agnético a través de la superficie del circuito, y apare ciendo una corriente inducida i en el senti do m ostrado, de m odo que, la intensidad de corriente eléctrica neta que pasa p o r la vari lia M N es: --1
i= i„ -
+ ^ = 2 ,4 .1CT3 voltios
X
En presencia del cam po m agnético y la co rriente "i0", la varilla se desliza hacia la de
Luego, sustituyendo (1) y (2) en (3), y eva luando, obtenem os:
2
------X
'¡n.l
rf/2 £=2j EcosG dx
'(2 I _ _ d B [R --(C /2 )2]l/2
M
1---------« X X
I)
A hora, com o i «
¡0, y el cam po magné
tico es perpendicular a la varilla, la magni tud de la fuerza m agnética F aproxim ada mente es: F = iíB = ^ R
F=™ m =0.3 N II) Luego, integrando la ecuación de moví miento de la varilla, obtenem os la rapidez con la que se mueve está, as í: dv F= m— dt ^ f W n iR
£ £B dv => —— = m • R dt
d
v *
-
v= 4¿5í mR
(1 2 )(0 ,1 )(0 ,5 )(0 ,0 1 ) o
r.
0)
V= ( 4 0 .1 0 -3 ) ( 2 )
9S2
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
dd>E
v = 7,5.10 “ m /s <; = III) A plicando las leyes de O hm y Faraday, y teniendo en cuenta la expresión para ”v", obtenemos la intensidad de corriente eléctri ca inducida, así: d(B A ) 1 d
dt
E= - K ,n r( - )
R dt E= -(Í
.■
(B A ) = E
(p 0n i n i - ) = E(27i r)
dt
(B d x
dt
E • d(
~át
h „)(3 .I0 4X4.10'-2X5^
)
í?B v _ ^ 0é'2B 2t
R
~
mR2
, _ (12)(0,1)2(0,5)2(0,01) (40.10 ' 3)(2)2 ¡ = 1,875 mA Solución: 93 • Para calcular el cam po eléctrico, conside remos trayectorias circulares con centro en el eje del solenoide.
E = 3 6 p o.10 N / C II) C om o el cam po magnético está confina do al interior del solenoide, no existe flujo m agnético íiiera de ella, p o r lo que, aplican do la ley de Faraday a la trayectoria C* ob tenemos la m agnitud del cam po eléctrico en puntos luera del solenoide, así: =
dt
dt
dt
=i
E*df
(B A ) = E cf d f 2 ^ c ;,
(M0nÍ7tR ) = E(2rcr)
E = - 7 - P o n R 2 (^ r) 2r dt
Recordemos que la m agnitud del campo magnético al interior de un solenoide muy largo ( i » R ) , viene dado por: B = p 0n i [) Ahora, aplicando la ley de Faraday, a la trayectoria circular Ch obtenem os la magnj. tud del cam po eléctrico en puntos al inte rio rd el solenoide, así:
E = _ (l , oX ( ^ ! x ^ ¿ x < h A í 2 o 0,08 0,04 E w 28p.o.103 N 7C III) El cam po eléctrico es m áxim o en pun tos de la superficie del solenoide, pues, e) flujo m agnético es m áxim o, adem ás, com o en la superficie del solenoide, el cam po e léctrico es continuo, entonces evaluando 1), obtenem os:
F ís ic a III
S olució n : 95¿ • Representem os un diferencial de condue to r de longitud "d r", situado a una distan cía "r" del origen 0.
0 -2 4 . E m ™ = - ( 2 ^ X 3 -10 X 0 . 0 5 X —
)
E max= 4 5 p o.l0 3 ^ S o lución: 94 • C om o el cam po m agnético es directam en te proporcional a la corriente eléctrica, en tonces, e l flujo m agnético tam bién lo es, así í>B = B A = k íA = k 'i
(1)
siendo, k ' = k A la nueva constante de pro porcionaüdad. De otro lado, la fuerza electrom otriz induci da en los extrem os de la bobina es:
En la Fig., la m agnitud de la fuerza necesa ría pata h acer girar al diferencial de varilla de longitud "dr" es opuesta a la fuerza m ag nética, y su m agnitud es: d F = ÍB d r
5 = - - ( N * B)
§ = - i ( N k ' l ) - k 'N ^
(2,
Según teoría, la fuerza electrom otriz induci da, en la bobina, viene dado por: £ = -L — dt
(3)
Igualando las ecs.(2) y (3), y teniendo en cuenta la e c .(l), obtenem os la expresión pa ra la inductancia de la bobina, así:
El trabajo realizado en h acer g irar este dife rencial de varilla en un ángulo de 90° reco rriendo una longitud de s = 7 tr/2 es: dW = dFs = (iB d r)(—r) Luego, integrando sobre tota la varilla, obte nemos el trabajo total, así: fw n t( ¿ dW = —i B j \ d r
W = | i B Í 2 = (^ )(2 X 3 )(0 ,5 )2 L = N k ’=
N
II) En la ecuación anterior despejando
_ L¡ _ (10.10~3)(2.10~3) " N ~
10
®
S olució n : 96 • Com o, la longitud del solenoide " t Q" es m ucho m a y o rq u e su diámetro "D ", el flujo m agnético al interior del solenoide de ’’N ” vueltas es:
* <$R = 2.10“6 Wb ® B = N B A = N ( n 0n i ) ( Í D 2)
954
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
®B = | n 0n N ÍD 2
(I)
De otro lado, e l flujo m agnético a través de la sección transveisal del solenoide en fun ción de la autoinductancia e s : $ n =Li
*
= 0,16.10“3 W b
©
Solución: 98 • Sean ij, i2 las intensidades de corriente eléctricas que circulan p o r los devanados prim ario y secundario, respectivam ente.
(2)
Igualando (1) co n (2), obtenem os la autoin ductancia del solenoide, as í: L=^
0n N D 2
Pero, e l núm ero de vueltas "N " contenidas en e l solenoide, y e l núm ero de vueltas por unidad de longitud "n" son: xr * N = -----
y
* n = —N -----------
t0
TtD
tcD
t0
F inalm ente, sustituyendo "N " y "n" en "L ", obtenem os: l
=^
(4tcX0,1) D]
* L = 0 ,4 m H
Solución: 97 • La longitud m edia del núcleo de hierro colado, y la excitación m agnética a l interior de el, son: £ = 2 itR m = ( 2 , ) ( Q’Q7-; Q’° 9- ) = 0,503 m
£
0,503
m
D e la curva B vs H, observam os que para H =994 A /m le corresponde B =0,40 T, de m odo que el flujo m agnético a través de la sección transversal del núcleo es:
B i = lV V i
Y
b 2= 1W 2
A s u vez, los flujos m agnéticos generados p o rc a d a uno de estos cam pos en los devana dos prim ario ( l ) y secundario (2 )so n :
= (4 tU 0 ^ X 2 0 ¿
4tc ¿ q
C om o e l toroide es delgado (R « rR ), las magnitudes del cam po m agnético a l interior de los devanados prim ario (1) y secundario (2) son:
2i y
$12 = $22
Luego, de la ley de Faraday, las fuerzas e lectrom otrices inducidas en los devanados prim ario y secundario, teniendo en cuenta que: N t = 27iRn1 y N 2 = 2 ;iR n 2 son:
S55
F ís ic a III
L 2 « 7 ,6 .1 0-3 H S1
dt
1 dt
1 dt III) Evaluando el coeficiente de inductancia m utua, ob tenem os:
^ , = - ( 2 T t R n , ) — (Mon i'iA ) dt m 12 = M 2i = 2 Jtp 0R n ,n 2 A - (271R n])-j-((.L0n.?i2A) dt
M , 3 = (2 h )(4 ji. 10-7 )(0 ,15)(75.102) •
£•, = - 2 i m 0R n ? A — - 2'itRn1n 2A - ^ h0 1 dt 1 2 dt
(4 0 .102 )(4 .10~4 ) M 12 = M 2! « 14,2.1(T3 H
e
.
~~
d i1
*,*
"dT_
d i2
IV ) Sustituyendo las relaciones para Lj, L2 y M ,e n la relación dada, se verifica que:
”dt”
§, = _ Ü 2 i = _ N , " z i . _ N , * ! í a
S2
dt
2 dt
dt
= - ( 2 7 r R n 2) - - ( p 0n 1i,A ) dt - ( 2 7 i R n 2) — (p 0n 2i2A) dt
M = 7l^ 2 n p 0Rn]n2A = [(2;rp0Rnf AX2írp0RnjíA)]1/2 S olució n : 99 T) R epresentem os las bobinas de inductan cías L], L 2 conectadas en serie a la batería de fem
£, = -2 7 iu .,R n 1n ^l 29A — dt - 27iRn2A - dt E ^ '
M ^ --1 ^ M21 dt L2 dt
I) Evaluando el coeficiente de inductancia del p rim er devanado, obtenem os: L, = 27t(a0R n 2A L t = (2 tc)(47ü. 10-7 )(0,15)(75.102) 2( 4 .I0 -4 ) L] « 2 6 ,6 .10-3 H II) E valuando el coeficiente de inductancia de 1segundo devanado, obtenem os: L2 = 2 7 ip 0R n 2 A L 2 = (27i)(4ti. 1 0 " 7 )(0 , 1 5 ) ( 4 0 . 1 0 ¿2)%¿2,(4.1 0\-4“4)
C om o las bobinas están alejadas entre si, su inductancia m utua es nula (M =0), de modo que, la sum a de las fem inducidas en cada una de ellas, a l conectatse a la batería, es i gual, a la fem inducida en la bobina equiva lente, esto es:
_ L ¿ U _ L l í L L ? di dt 1 dt 2 dt L - L 1+ L 2
956
In d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a
II) R epresentem os las bobinas de inductan cias L), L2 conectadas en paralelo a la bate ría de fem Lj
L2 ¡t Según teoría, la excitación o intensidad m agnética creada p o rd en sid ad es de corrien te ( j ) distribuidas en un volum en (V), vie C om o las bobinas están alejadas entre si, su inductancia m utua es nula (M =0), y com o las bobinas com ponentes y su equivalente están conectadas a la m ism a batería, enton ces, se cum ple: d ji
fÜi = dt
dt di 2
S = -L
dt di
di
dt
dt
Li
Lo
dV '
i r - r 'l 3
í =0 y
r ' = r 'r
Sustituyendo en H ( r ) , las expresiones ante riores, y e l diferencial de volum en (d V )e n coordenadas esféricas, tenem os:
L
Sustituyendo estas expresiones en la prim e ra ley de K irch o ff aplicada al nudo A , teñe m os: 1 = 1, + i '
1 r j ( r ') x ( r - r ')
siendo, ? , r ' los vectores de posición del punto donde se m ide el cam po y de la distri bución de corriente que crea el cam po, igua les a:
*
di1 =:_ ± dt L2
—
ne dado por:
di _ dq
di2
dt
dt
dt
1 1 1 => — = — + — L L,
1 e - i J i ’x r ' , H (0 )= ~ Jv — —~ r s e n 0 'd 0 ’d
H(Ó) = - í - J ^ ’x r se n Q 'd O 'd fd r' c Ahora, recordemos que los vectores unita ríos en la dirección radial ( í ) , y azim utal (4')> en función de los vectores unitarios i,
S o lución: 100 • En e l átom o de hidrogeno, en coordena das esféricas representemos un diferencial de volum en, y los vectores unitarios en la dirección radial ( r ), y azim utal (4»).
j , k , vienen dados pon ? = senB 'costjj'i + senB'sen<)>'j + cosB 'k <|>= - s e n ^ 'i + cosij)'j
957
F ís ic a III
Con esto, el producto vectorial de (cfi') por ( ? ) , da: ^ ’x r '=
A« A cos O'cosíJFí
+ co s0 'se n < |> 'j- senO ’k
Sustituyendo ^ ’x r 1 en H (0 ), e integrando en todo el volum en del átom o, se encuentra que los térm inos en las direcciones de los e je s X e Y se anulan, quedando únicam ente el térm ino en la dirección del eje Z, así: H(á) = . , T eh- , { f . " V 2i;V3ad r'. 2. j 7tmca j* sen50 'd 0 '}k
nar. En nuestro caso: C = F , Á = v y X = B , con esto la ultima ecuación, para las dos m ediciones, escribim os así: B= ^
+ k,
v,
qvf B=
F> x v-) , ^ + k , v2
(0
(2)
M ultiplicando escalarm ente am bos miern bros de estas ecuaciones por V j, y teniendo
H(0) = — ^ - 5-k 405 m ca
en cuenta que v, _L v2, tenemos:
E valuando esta expresión en el (S.I), obte nem os la m agnitud de H : * H(Ó) = 3.65.105 — m
siendo "k" un escalar arbitrario a determi
©
S olución: 101 • R epresentem os la intensidad de campo m agnético H , y las velocidades de la partí cula en el punto P.
m ,q
( F .x v . ) * V | . _ _ -z L+ k , v , »v,
B • v, = —
qv, 5 _ F¡ *(V] X Vi) _ B » v , = - ¡ — ^-L-— —+ k. v ,» v q v ,f F, . ( 0 ) B * y , = —— ^ -L+ k|V¡; qv,
(3)
_ (F2 x v 2) • \ , B *v, y ~ L+ k2V 2 *v¡ q v2 _ ( F 2 x v , ) * v1 B»v, = + k 2 (0) q v2
(4)
Igualando (3) con (4), obtenem os la cons tante " k , ", así: Recordem os, que dados dos vectores cono cidos Á y C y otro desconocido X refació nados m ediante la ecuación:
k| = (S J i^
v
L
(5)
q v , v2
C = Á xX
Finalm ente, sustituyendo (5) en (1) obtene mos la expresión para el cam po magnético:
L a expresión para el vector desconocido X viene dado por:
B = Í í Í + (t o t 2 L ) , | qv, q v , v2
958
1.
A p é n d ic e R e la c i o n e s e n tr e f u n c io n e s d e 6/2 y 6.
TR IG O N O M E TR IA
Basándose en la Fig., mostrada podemos de f in ir las siguientes relaciones:
sen 2—0 = —( l - c o s 0 ) 2 2 eo s2—0 = —(1 + c o s 0 ) 2 2 R e la c i o n e s e n tr e f u n c io n e s d e 36 y 6.
sen 30 = 3 sen 0 - 4 sen30 eos 30 = 4cos30 - 3cos0 S u m a y d if e r e n c ia d e f u n c io n e s
sen a + sen 0 = 2 sen ^ ( a ± 0 ) co s~ (a + 0)
x ctg 0 = — , y a)
r sec0 = — , x
r c sc 0 = — y
id e n t i d a d e s t r ig o n o m é tr i c a s
se n 0 tg 0 = ------- , cosG
2n i sen“0 + cos 0 = 1
sec20 = l + tg 20 ,
csc20 = 1 + ctg 20
eos a + eos 0 = 2 e o s—( a + 0 ) eo s—( a - 0) 2 2 c o s a - c o s 0 = -2sen-^(oc + 0 )se iV (o : - G ) P r o d u c t o d e d o s f u n c io n e s
s e ñ a s e n 0 = ^-[cos(a - 0) - c o s (a + 0)]
S u m a y d if e r e n c ia d e d o s á n g u lo s
eos a eos 0 = —[co s(a - 0) + co s(a + 0)] s e n (a ± 0) = sen a eos 0 ± eos a sen 0 c o s (a ± 0) = eos a co s0 + eos a eos 0
sen a eos 0 = —[sen ( a - 0) + se n (a + 0)] I d e n tid a d e s f u n d a m e n ta le s
1 + tg a tg 0 c tg ( a ± 0 ) =
ctg a ctg 0 +
sentí =
c tg a ± c tg 0
9
cos20 = cos 0 - s e n " 0
1—tg 0
2
R e la c io n e s e n tr e f u n c io n e s r e c í p r o c a s
sen20 = 2sen0cos0
tg 20 = ~ ^ - ,
COS0 =
' ' ''
e±,e = c o s 0 ± is e n 0
R e la c io n e s e n tr e f u n c io n e s d e 26 y 6.
9
2i
c t g 2 0 = C- g 2 e ~ -2 ctg 0
sen 'a = eos 1VI - a 2 =;tg tg 1 Vi —a 2 eos
a = sen' ' W
? = tg '
V -a 2
F ís ic a III
a
ta 'a = sen’
2 7 0 a = b" + c ' - 2 b c c o s a
= eos
VI + a "
VT
2 2 2 b = a + c -2 a c c o s <
F u n c io n e s h ip e r b ó lic a s
senh x =
e -e
959
coshx =
2 9 ? c = a + b ” -2 a b c o s{ 3
e +e 2
.ex + e" e -e . ctühx = tgh x = -----------X , —X e +e e x - e" R e c íp r o c a d e la s f u n c io n e s h i p e r b ó lic a s
d) Teorem a de la tangente En cualquier triángulo, la diferencia de dos lados cualesquiera es a su suma como la tangente de la mitad de la diferencia de los ángulos opuestos es a la tangente de la m itad de su suma, esto es:
senh-1 x = / n(x + V1 + x 2 )
a-b
tg [(a-9 )/2 ]
a +b
tg[(a + 0)/2]
cosh 1 x = é n ( x + x / x 2 - 1 ) tgh*'x = ^ n ( | ^ ) 2 1-x
I -I i A /X + 1, ctsh x = — f n f ) 2 x —1
e) R elaciones en los triángulo rectán gulos En el triángulo rectángulo A B C , se cum píen las siguientes relaciones:
b) Teorem a del seno Los lados de un triángulo son proporcio nales a los senos de ios ángulos opuestos, esto es:
sena
sen0
sen [3
b2 = a m
c = an
•
h = mn
h = bc/a
•
a2 = b2+ c 2
C
.2
b¿ * ^
m 7
R e la c io n e s e n tr e f u n c io n e s d e 46
c) Teorem a del coseno En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la sum a de los cuadrados de los otros dos lados, m enos el doble producto de éstos por el coseno del ángulo com prendido entre ellos, esto es:
y 6
sen 40 = 4 sen 0 eos 0 - 8 sen 20 eos 0 eos 40 = 8cos4 0 - 8 co s20 ts 4 0 =
4 tg 0 - 4 t g " ’0 l - 6 tg 2e + tg 40
A p é n d ic e
960
2.
CALC U LO
a) Desarrollo de series de potencias 1) D esarrollo binomial _n n n_i n (n -l) (x + y) = x +11 x y+ v x
7 n ( n - l ) ( n - 2 „_3 3 n "y^+ ^ ----- - x 11 y ...+ y , n e Z
2) Desarrollo de Taylor
>
f(x ) = f(a ) + (x - a )f (a) +
+
¿!
j
"'(a) + ... +
!
n!
f(inl(a) +...
> f(x + h) = f (x ) + h f (x ) + y - f " ( x ) + y - f " '( X) + ...+
r(x + ii) = f ( h ) + x f ,( h ) + ^ f " ( h ) + ^ - f '" ( h ) + . . . + 2!
j
!
> Si, f (x ) es una función con derivadas de todos los órdenes en el intervalo a < x < b , en tonces existe un valor de "x" con a < x < b, tal que se cumple:
f(b ) = f ( a ) + ( b - a ) f ' ( a ) + ^ S ^ f ' ' ( a ) + . . . + ^ ^ 2 f " ' - |)(a) + ^ ^ - f " , | (a)
f ( a + h) = f ( a ) + l i f t a ) + ^ f > ) + | J - f ^ a ) + ... + y
^ f (,|- || (a ) + l^ f ( a + 0 h ) para, b = a + h , 0 < 0 < í
f (x ) = f ( a ) + ( x - a ) f ' ( a ) + ^ f " ( a ) + . . . + ^ ~ r 2! (n -1 )! de donde, R
(’H 1 (a) + R J
f< 1(a + 9( x ~ a ))(x ^ a)n, O<0<1 n!
3) Serie de Mclaurin V-
v3
f ( x ) = f(0 ) + x f '( 0 ) + — f"(0 ) + — f " ’( 0 ) + 2!
3!
dedonde, R „ = f ^a + 9
■ x "-'
— (n -1 )!
x
+ R„
______________________________________ F ís ic a IM__________________________
4)
961
E xponenciales e = i + —+ — + — + — + — + 1!
2!
3!
4!
ex =
5!
= l + X log a +
+^ 2!
— +— +— + 2!
3!
4!
-
5!
°ge^)3 + (ijloge^) 3!
4!
e « = e * [l+ ( * - a ) + t i ^ + £ z ^ l + ( i Z 5 ) l + 2! 3! 4! 5)
x 1!
+]
Logarítm icas . x -l I , x - l •> I x - l s l°g e x = + - ( ----) " + - ( ----3+...+ X 2 X 3 x
1 ( x > —) 2
logu x = ( x - l ) - i ( x - l ) 2 + ^ ( x - I ) 3 - | ( x - l ) 4 + ...+ 2 3 4
(2 > x > co) v }
'°g c x = 2f— “ + y )3 + “ (■— -y )5 + ...+ ] x+1 3 x+1 5 x 4 -1
(x > 0) v *
l°g e( l+ x ) = x - ^ x 2+ ^ x3- | x 4+ ^ x 5-...+
(-1
lo g e(n + ] ) - |o g c( n - 1 ) = 2 [ - + — + - U + . . . + ] n 3n"' 5n
|0ge3(a + ^ ) = f ü g e a + 2 [ T 4 ^ + ^ ( - ^ — )3 + - ( - ~ - ) 5 -k ..+J 2a + x 3 2a + x d 2a + x
( a > 0 , -a< x
l+ x x3 v5 v 2n_l ,0g e 7- — = 2 [ x + — + — + ... + ^----- - + I- x j 5 2n - ]
( 1 < x < 1)
. . x -a (x -a )2 (x -a )3 loge x = loge a + --------------7- r ^ + 2----- (0 < x < 2 a ) a 2a 3a 6)
Trigonom étricas
sen x = x
X3 X5
x7 h------------+
2!
5!
x 2 x4 x 6 cos x = 1-------- 1------------- + 2!
4!
-f
(V x e R )
+
(V x e R )
7!
6!
A péndice
tg X ~ X +
X3 3
2x 17x 62x 2 (2 - l)B n , n_, + ------+ -------- + + ... + ------' --------- -——X '+ .. . 15 315 2835 (2n)! ( x 2 < tt2 / 4 y B„ los núm eros de Bem oulli)
c tg x =
X
x
x
2x~
x'
3
45
945
4725
22n B
—x (2n)!
2 n _,
( x 2 <7t2 y Bn los núm eros de Bernoulti) X 5 4 61 6 277 g „ 2n secx = J + — H x + x + x + ... + E „ x + ... 2 24 720 8064 ( x 2 < ti2 / 4 y E n los núm eros de Euler) 1 x 7 3 31 5 127 7 2 Í 2 2|'“ ' - J ) D CSCX ~ — 1---- 1X H----------- X + X + ... H— :------------- B ,x x 6 360 15120 604800 (2n)!
2¡, -
i
+ ...
( x 2 < ti2 y Bn los núm eros de Bernoulli)
sen
_¡
xJ 1.3 5 1.3.5 7 x = x+ — + x + x + ....+ 2.3 2.4.5 2.4.6.7
COS X =
tg 5 tg
tg
_l
_ !
_ |
ctg 6
7X 2
. (XH
xJ 2.3
1
1.3 2.4.5
5 1.3.5 7 X + ----------- X + ...+ ) 2.4.6.7
X3
x3 x7 + ------------+ ...+ 3 5 7
x= X
1
1
1
I
X = ------------1------7-------- zr-\------=----...+ 2 x 3x 5x 7x
_i
x=
71 2
l02- COSX =
X3 X3 X7 x + ----------- + — + ...+ 3 5 7 Í7 x 2
12
45
(x 2
<
1, 0
<
COS
(x 2 < l)
n 1 1 I 1 x = --------+ — =-------- r + — =■ 2 x 3x 5x 7x 71
, n -i ti , ( x ~ < l , — < se n x < —) 2 2
2520
. . x3 7 x 4 62 x6 lo g „ tg x = loglex H H + ------- + ... + 5e 0 3 90 2835 senx . x2 3 x 4 8 x 3 3 x 6 5 6 x ' » = I + x + -------------------------------- + • 2! 4! 5! 6! 7!
(x > l)
(x < -1)
(X2 < 1)
(x 2 < n 2/4 )
( x 2 < 7t2 i A)
1 X < 71)
F ís ic a III
= e (l
xJ 2!
+
4x
3 1x
4!
6!
963
3x 9x 37xe'gx = 1+ x + — + ------+ ------- + •+ ...+ 2! 3! 4! 5!
( x 2 <7t2 / 4 )
7 )H ip erb ólicas e hiperbólicas recíprocas X3 X5 x 7 x 2"+1 senh x = x + ---- 1- ----- 1- ------ h... h------------3! 5! 7! ( 2 n + l) ! ,
, x2
x4
xfi
x 2n
2!
4!
6!
(2n)!
c u s h x = 1 + — + ------ 1- — + . . . +
(|x |< Q O )
( |x |< c o )
1 3 2 5 17 7 62 9 ( - l ) n+12 ' n (2 2n - 1) Ig h x = x — x + — x 3 -------- x + x + ... + — v ' -Bn n x 15 315 2835 (2n)! x x3 9 x 5 ctíilix =------ —-----— +~ x 3 45 945 , se c h x = I
1 , 54 x- + — xH 4!
2!
x7
/ _ n n+l92n + ... + -— r —- — B n (2n)! 4725
,
61 6 1835 8 (-!)" x + x - . . . + -— — E .,x 6 8! 2n! "
I X 7 x 3 31x5 2 ( - l ) ,1(2 :,l" ' - l ) c s c h x = --------: + — ;-------------- + ...+ --------------------------Bn x x 6 360 15120 (2n)! ,-i senh 1x = x
cosh
1 2.3
1± ..
± ...
( 0 < I x t< ti)
±
( |x j < 71/2)
+ ...
, , ( 0 < x < rc)
i 1.3 5 1.3.5 7 , 1.3.5(2n - 1 ) 2«+i x + x3 ------------- x y + ... + ( - ! ) " -------------------- -— x ¿,vK + 2.4.6..,2 n (2 n + 1) 2.4.5 2.4.6.7
x = + [f n ( 2 x ) --------- ~2 .2 x
1.3
1.3.5
2 .4 .4 x.44
2.4.6.6.x1
,2n+t ,-| x3 x3 x 7 x‘ tgh x = x + — + — + — + ... + -------- + ...+ 3 5 7 2n + l
(x>l)
( |x ¡ < ! )
b)D iferenciales y derivadas 1)
D iferenciales d ax = ad x ,u V
=
v d u - udv -----v “
d(u + v) = du + dv
d u v = u d v + vdu
dx" = n x
d x y = y x y' i dx + x y log xdy
dx
964________________________
_______A péndice_______
de* = e x dx
d e ax = a e ax dx
d a x = a x l ogc a dx
d lo g e x = x _ ldx
d l o g a x = x - ' l oga e d x
d x x = x * ( l + l oge x ) d x
d s e n x = eos x d x
dcosx - -senxdx
d tg x = sec2 dx
d ctg x = - esc2 xdx
dsecx = íg xsecx dx
dcscx = -cfg x cscx d x
d versx = senx dx
d s e n " 1x =
d t g ' 1x = Vi + x2 dx
dctg- 1x = -x/T+x2"dx
d sec-1 x = x -1 y
dcsc-1 x = —x- , x/x2 —a dx
d vers-lx = x/2x - x2dx
d se n h x = cosh x d x
dcosh x = senh xdx
dtgh x = s e c h ' x d x
dctg h x = - c s c h 2 xdx
d s e c h x = - s e c h x t g h xdx
d c s c h x = - c s c h xctgli x dx
d s e n h ” ’x = V x 2 + I dx
d cosh- 1x = \jx ^ - 1 dx
d t g h - l x = x / T - x 2 dx
d c t g h -1x = “ x/x2 - 1 dx
d s e c h - l x = - x \J I - x 2 d x
d c s c b - , x = - x V x ^ + J dx
2) Derivadas
\j 1 - x" dx
d eos-1 x =
'j
\l
1 - x 2 dx jx 2 -
I dx
c) Integrales
1)(ntegrales indefinidas af(x)dx = a Jf(x)dx
j a dx = a x
U ( y ) d x = f ^ d y . sielidn y ' = d y / d x
(u + v ) d x •= J u d x + Jvdx
judv = u v - j vdu
n — dx = u v dx
i
i
y*
dv ,
f
du . v — dx dx
u+l f x n dx = . (n * - I ) J n + l
r dx —
J
,
= logx
X
f ex dx = ex
,
,
o log(-x)
f l v ^ X =lo^ ltx) t(x)
ü
^
2yjr{x)
[df(x) = f'(x)dx|
=>/fÓÓ. F d f(x )= f[(x )d x l
e ilN d x = - e ax
F ís ic a III
b a x d x = — -----alogb
logxdx = xlogx - x
dx
ax loeadx = a x
dx
1
— = —tg a" - x a
dx
965
x
1
a+ x
( —) o — leu a 2a " a - x
- ¡ .
dx
- i x.
— ,
a
dx
I
= —e o s x \¡ x 2 - a 2 a
a
1
a
a
x (-) a
= = l og( x + V x 2 ± a 2 )
dx
I, a + Va ± x “ = — l ogf ------------------- )
x V ± x '
a ji+i
dx
( a + b x ) nd x = - ^ ~ b x ) 7 (n + l ) b dx a + bx
i = —i o g ( a + b x ) b
dx
1
(a + bx)3
2b(a + b x )2
x dx
t (a + b x )
x(a + bx)
dx
1
(a + b x ) 2
b(a + bx)
xdx
= 7r[l°g(a + bx) + ----- — ¡ a + bx
1, a + bx = — l o a ----------a
(a + b x ) ‘
dx e '- x
2
1 c+ x = — ioao 2c c-x
dx (a + bx)(c + dx)
ad-bc
dx
dx
-ó
dx
7
x ^ ^ T t a dx = - ^ - 7 3b2 L ) f a + b2 + 15 I r
2(a+bx)‘
*
a(a + bx)
I
C '+ X ”
a + bx
-
' l0 £ . a +
a2
"
a
x
7 = -tg
x - c " c + dx log( "a + b x
b'
x(a + b x )2
dx
I b . a+bx = ---------h— r- l o a ---------x “ (a + b x ) ax a‘
.,n * l,
= - V a + b x - a l og ( a + b x)J b2
a + bx
b
dx
•7
a
y fx '’ ± a
a.
(—) x
-i,x x
( - ) o - - c t g '( - )
dx 1 -i - = — ctg x“ - a " a
I -• . =sen ( - ) o-eos ' { - ) Va - x
1. -i/x x
a
f = -tg
x +a
c
1 ,
-
c x -c
■*> = -, los< w > 2c
x + c
J a + b x dx = -— J ( a + bx)J 3b
J a + bx d x = 2 J a + b x + a [—
dx
J \' J a + bx
A p é n d ic e
966
dx Va + bx
xdx
_ 8
Va
i
~ lo g ( "~
,
2
V x2 ± a '
■>
= Vx ± a
dx
x ^ /lx 2 ± a 2v d x = ^ ( x 2~ ± a 2V
±x
x2 ±a">)3
x dx :2 ± a 2)J
a ’ V x” ± a ‘
_ V x +a" —h 3 x 2V x2 ± a 2 a "x xdx
1. a + V a2 - x 2 = — log(
,
x dx
/¡ W
- —
1 /~2 V Va - x “ x /~3
v a “ —x
•= - V a 2 - x2
dx ~> "’nS a ' - x - )'
íx/a2 - x 1dx = - - - ^ ( a 2 -- x 2 )3
xdx 0 "^3 r - x “)
~
a h
sen
_| x
dx
—
2
12 2 ¡2 2 Va - x , Va - x _i x = dx = -------------------sen —
Va 2 - x 2
<2 n/ ¡ W x 2dx 2
x 2\3
a - x ) f = cos
ax - x
-i , a - x (------- ) a
dx
x ■> / “> ■? a 'V a - - x
x V (a ' - x ")' dx = - T V(a~ - x‘
2
dx
V x2 ± a'
dx
x V (x 2 ± a 2)3dx ^ T V (x2 ± a 2)5
dx
Va + bx
log(x + x/x2 ± a 2 )
~ )
V a + bx + Va
2 (2 a-b x ) 3 b2
dx
Va + bx - Va ,
I ,
x Va + bx
_
Va + bx
b
dx
•
xdx
_ 2 Va + ”3X
¡~2
Va - x
—sen 2
( -V X)L/2dx = sen 1x - \[\- xJ I- x
I _i e x + b = —^ sen •Ja + 2bx - e x 2 Ve y J \J + a c
sen x d x = - c o s x
eos x dx = sen x
tg x d x = - log cosx
c t g x d x = log sen x
se c x d x = lo s r s í—+ —) ^ 4 2
x — a a
F ís ic a III
csc x d x = lo g tg —x 2 , 1 _ seir x d x = - - e o s x (sen x + 2 )
967
2 , 1 1 sen x d x = — e o s x s e n x + —x 2 •. 2 eos" x d x = —sen x c o sx + —x 2 2
x x se n —dx = - a c o s —
x x eo s—dx = asen — a a
sen(a + b x )d x = — cos(a + b x ) b
cos(a + b x )d x = —sen(a + b x ) b
dx
, x = logtg sen x 2
dx
. xx —log t g ( - + - ) eos x 4 2
dx
dx
dx
dx
X &2
1 + co sx 2 , xsen x d x
l-cosx
x xsen2x cos2x ------------------------------4 4 8
4 . 3 x se n 2 x sen4x sen x d x = ----------------- + 4 32 4 . 3 x sen 2 x sen4x eos x dx = h h--------8 4 32 4 1 3 tg x d x = - t g x - t g x + x
ctg4x dx = - ~ c tg 3x + ctg x + x 2 2 j 1/1 sen x co s x d x = — (—s e n 4 x - x ) 84 *
co sx dx
tg2x d x = —tg 2x + lo g cosx 3
1
■ >
ctgJx d x = - —ctg -c - log sen x
sen x eos x dx = —sen 2x 2 sen x c o s m x d x = -
co sm+'x ni +1
sen x d x co s“ x
tc x . = - s e n x + íog tg(—+ —) 4 2
co sx d x
■= lo g tg x
x
- -ctg— 2
o . x x se n 2 x co s2 x x eo s- x dx = ----- h------------- h--------4 4 8
m +1
sen x c o sx
7T _ x .
tg(í + - )
“> . x x 1 x co s2 x x 's e n x d x = ------ (--------- ) --------------6 4 8 4
sen IT1+Ix
senmx c o s x d x = sen x d x
_
I4 ^ - +
eos2 X
= secx
-e se x
sen 2x dx s e n x c o s 'x
=
co sx
+ lo g tg 2
A p é n d ic e
968 dx i 1 ^ .71 X . i— --------- = -----------+ log tg(— + —) 'sen x e o s x se n x 4 2
dx
= - 2 c tg 2x
sen2x c o s2 x
J— = - c ts x sen x
tg x dx = tg x - x
|c í g 2x d x = - c tg x - x
sec x d x = ígx
| esc2 x d x = - c tg x
x sen x = sen x - x eos x
J x 2s e n x d x = 2x s e n x - ( x 2 - 2)c o sx
x co s x d x = eos x + x sen x
J x 2 co sx d x = 2x c o s x + ( x 2 - 2)se n x
sen 'x d x = x sen ’x +
je o s ' 1x d x = x cos' 1x - V ' ~ x 2
tg 'x d x = x tg 'x - - j l o g ( l + x ¿)
j c tg _1x dx = x tg_!x + + ~ log(l + x 2)
sec 'x d x ^ x s e c 1x - lo g (x + V x2 - I )
Jc sc- I x d x = x csc_1 x + log(x + V x 2^ -7 ) f eos -1 x—dx J = xcos-I — X Va / 2- x
J
a
2
a
r -¡x , . x a Ictg —dx = x c tg — J a a 2
9 t. + —log(a" + x )
tg
-i x , _i x a , , 9 —dx = x tg — —log(a“ + x ") a a 2
log x d x = x lo g x - x
X2 x2 jx lo g x d x = —- l o g x - ~
-) i , x3 x3 x l o g x d x = — lo g x ------
p+] .p+i fxp !og(ax)dx = log(ax) J p+ 1 (p + 1)-
(lo g x ) d x = x ( l o x ) - 2 x lo g x + 2x
r(lo g x )11 , l ,v rtl + f ■ dx = ---- -(lo g x )r J v ri + 1 X
6
dx
l
x lo g x
dx
i x (lo g x )"
9
= log(logx)
X1" logx dx = x m+' [ - ^ - — ’- r ] m + 1 (m +1)
( n - ] ) ( l o g x)1
Jse n lo g x d x = —xsen lo g x
3
x cos logx
eos log x d x = —x se n logx + —x co s logx
F ís ic a III
Je* dx = e x
je * dx = - e '
f e a *dx = —e ax
J
969
x e a x dx = ——( a x - 1 ) a“
a
dx
r - * L - = j0g - ^ L J 1+ e* 1 + ex J e axse n p x d x =
a e mx + h e ’
e a * (a sen px - p eos px) a" + p -
fea* co sp x d x = J
cosj?_x ~ p scn p x j a"+ p~
J se n h x d x = cosh x
[ cosh x dx = senh x
J tgh x dx = log cosh x
J ctgh x dx = log senh x .
J sech x d x = 2 tg ~ '(e x)
esc h x d x = log tgh ( ~ )
J x senh x d x = x c o s h x - senh x
J x cosh x dx = x senh x - cosh x
2) Integrales definidas ce J x11-1 e _x dx = T (n)
dx
í x UI
dx —
71 CSC pTC ,
dx
(P < 1 )
= -7 T C tg p 7 l,
o (l + x ) x p 00 “ x p dx
í
1 -f x
r
dx
n
(O < p < 1 )
sen pTi
" p x ^ ’ dx " 1+x" 'f
r"
n . > f i r ( n + I/2 ) sen x d x = -------¡ 2 T ( n /2 + 1)
n /2 , x
(P<1)
(l-x )x p
k/2
sen m x d x
(m > 1)
m -
O, -n /2 .
adx
7112 n>
‘f
¿
(O < m < n) nsen(m 7i:/n) n
n , y f n T(l1 + I /2) eos x d x = --------1 2 r ( n / 2 + I)
si m > 0 si m = O si m :0
si a > O
0.
se n x c o sm x d x
n
Jm | > 1
n/4. m = ± l n /2 ,
m 2 <]
A péndice
2Zfi_
I
cosxdx
tg x d x _ 7T y _ y
í 7t
J s e n k x s e n m x d x = 0, ( k ^ m , k , m e Z ) o
j c o s k x c o sm x d x = 0, (k * m, k, ni e Z) o x
K
K
71
j"sen2m x d x = J s e n 2mx dx = — 0 0 “ “r co sm x d x _ | n ! 2 e m, ( m > 0 ) o
l + x~
1 i t / 2 e m,
t
dx
| 1+ a c o s x
eos
f
o
xx 2
z2
J x 'V 3* dx =
F (n + I ) / a n+l, ( n > —I) .n+i
(m < 0)
| co s(x 2)d x = J sen (x 2)dx = —J — o ni 2
2 i sen x d x n
a
.
vT ^a7 ’
“f s e n x d x
2n
00 ’ I f x e -x dx = — oJ 2
dx
2 7T
\ 1 + a c o sx J e~a
]e-« d x = I o a
"f cos x d x
dx =
V re
In
(a2 < l )
(a > 0 )
2a
J x 2e x dx = -2a
] x 2' V ^ d x J 1 5 ^ - ' ) > * 2n+la n \a
f e_l,x sfx dx = — . '2n l n V V nrt
¡’ ^-n/x T ' dx = vV n
J
¿i
[ e - a x co sm x d x = — y , ( a > 0) J a" + m - b ' /4 aJ
f e ax sen m xdx = —5------------ ( a > 0) P a~ + n r 1
f e ax co sb x d x = —^ ---------- , ( a > 0 ) J 2a
J (lo g x )!1dx = (-1 )" n!
J(logl/x)>'2d x = ^
J ( lo g 1/ x ) - l / 2 dx =-s/n o
t
o
2
F ís ic a III
| ( lo g l/x ) 11dx = n! 0
f
J
1 j | x log(l + x)dx = — 0 4
971
3 x logíl - x ) d x = —
r log X ,
A
7T
— ~— d x =
12
J 1+ X
'f l o g X d x = - ^ J ' - X
6
f lo g x d x 71 J /■■■ ; = - T ic>g2 o V l-x 7
'(■ 1 + x dx ir 1 log()— = — * 1 —x x 4 i J x " 1 o g ( l/x ) ndx =
(m -H >0) (m = l)
dx
: ( x P - x f' ) d x
J o
logx
flo g ( 0
1[ l o g ( l / x ) ' |
31/2
| lo g s e n x d x = o
.p +
(p + l > 0 )
)dx = —
jt/2 | s e n x lo g s e n x d x = ) o g 2 - 1 o
| x log sen x d x = -------log i o
x/2
.
= l o g ( ^ — r), q + l
J lo g c o sx d x = — log2
n/2 J lo g tg x d x = 0 o
a + x/a^ — b2 | l o g ( a ± b c o s x ) d x = 7 t l o g ( -------------------------- ) ,
Fórm ulas para la sum a de los núm eros naturales !) Sum a de los "n" prim eros números natu rales. Q _ n (n + l)
(a > b )
d)
S „= "¿ 4)
2 2) Sum a de los "n" prim eros números pares naturales. Sn = n (n + I) 3) Sum a de los "n" primeros núm eros im pares naturales.
Sum a de los cuadrados de los "n" prime ros núm eros naturales.
S„ = 5)
n ( n + l ) ( 2 n + l)
Sum a de los cubos de los "n " primeros núm eros naturales. S„ =
~>/ ix"7 n“ (n + 1)‘
A p é n d ic e
972
e) 1)
Prom edios M edia aritm ética (M a) La m edia aritm ética de "n" cantidades ai, a2,...,a n, viene dado por:
S= - — 1—r g)
Ecuación cuadrática Las dos raíces de una ecuación cuadrái ca del tipo: a x 2 + bx + c = 0 , vienen d
2)
dos por:
M edia geom étrica (M g) La m edia geom étrica de "n" cantidades ai, a2,...,a I1, viene dado por: M a = [av a 2
a n]
X• —
M edia arm ónica (M h) L a m edia arm ónica de "n" cantidades ai, a2,...,a n, viene dado por: M h =-
f) Progresiones 1) Progresión aritm ética Si "a" es el prim er término de una pro gresión aritm ética, "k" el último, "d" la diferencia com ún, "n" el núm ero de tér m inos y "S" la suma de térm inos, se cumple: k = a + ( n - l ) d , S = ^-(a + k)
S = j [ 2 a + (n -l)d ] 2) Progresión geom étrica Si "a" es el prim er térm ino de una pro gresión geom étrica, "k" el último, "r" la razón com ún, "n" el número de térm i nos y "S" la suma de los "n" térm inos, en estas condiciones se cumple: S=^
i r-1
S= a ^ - ') ;r-l)
Si: b 2 - 4 a c > 0 , las raíces son reales diferentes.
•
Si: b 2 - 4 a c = 0 , las raíces son iguale y reales.
•
Si: b2 - 4 a c < 0 , las raíces son compl
•
ja s y diferentes. Tam bién, se cum plen las siguientes reí ciones:
/a , + I / a 2 + ...+ l/a l
k = a r 11-1,
2a
1/ n •
3)
- b ± [ b 2 - 4 a c ] 1/2
x, + Xo = - h) 1)
X]X2 =
Logaritm o Definición El logaritm o de un núm ero "N " , es £ exponente "x" al que hay elevar otro n m ero denom inado base "b ", para obt ner dicho núm ero, esto es: bx = N
=>
x = logb N
Se lee "x " es el logaritm o del núm er "N " en la base " b ” . 2) Operaciones logb M N = logb M + logb M M logb— = logb M - l o g b N logb M p = p lo g b M
Si, "n " es infinito y r 2 < 1, entonces, la sum a de los infinitos térm inos de la pro gresión es:
y
lo g V Ñ x = —logb N x
F ís ic a III
973
3. G EO M ETRIA = —[p (p - a)(p - b)(p - c)J1/2 c
a) Triángulos 1) Puntos notables de un triángulo > Baricentro Es el punto de intersección de las tres m edianas, en el se encuentra el centro de gravedad del triángulo.
> incentro Es el punto de intersección de las tres bi sectrices, correspondientes a sus tres ángulos.
EL = m a = y [2 b2 + 2 c2 —a 2] 1/2 B
r
B, m c = ^ " P a 2 + 2 b 2 - c2] 1/2 > O rtocentro Es el punto de intersección de las tres aj turas
h b = ^ [ p ( P - a) Í P - b ) ( p - c ) ]
[b c p (p -a )]
= — - — [a c p (p -
a+c
m b = ~ [ 2 a 2 + 2 c 2 - b 2] 1/2
ha = - [ p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) ] a
b+ c
1/2
1/2
2 a+b
1/2
b )]1/2
[ a b p ( p - c ) ] 1/2
2)
R elaciones en los triángulos rec tángulos En el triángulo rectángulo ABC, se cum píen las siguientes relaciones:
•
b 2 = am
• c = an
•
h2 = m n
• h = b c /a
•
i i1 2 a = b" + c
b2 *
7 = n
rr
A p é n d ic e
974 C ircunferencia L ongitud circunferencia R adio circunferencia Longitud de arco
Círculo A rea tota! círculo
A = tc R 2 =
Longitud de arco
S = R6
L ongitud de circunferencia:
C = 2ttR
Longitud de cuerda Distancia de cuerda A ngulo central en radianes
h = R -d
C = 2 '/ r ^ - c I ^
C ubo Area
A = 6 a = 2 4 r“
Volumen
V = a 3 = 8 r3
D iagonal
d = 'J5<
Lado del cubo Radio de la esfera inscrita Esfera Area total de una esfera A rea de zona Area de luna Volumen de una esfera Volum en sector esférico Volumen segm ento esférico de una sola base Volumen segm ento esférico de dos bases
F ís ic a III
975
Tetraedro Area
A = V 3 a2 = 24^3 r
Volum en
V = > /2 a 3 /2 =
8 s¡3
r
3
Radio de la esfera inscrita
Tronco de cono r+R
R adio de la base media
r,„ =
Area lateral
Al =
A rea total
A = ti(r + R )g + 7r(r2 -i- R 2)
Volumen
V=
7 t(r+
1 3
R )g
7 7 7rh(r + r R + R ) 2
G eneratriz del cono C ilindro A rea lateral
A l = 27iR h
A rea total
A = 2n R h + n R 2
Volumen
V = 7rR2 h
Tonel Volumen
V=
3
7r h ( r 2 + 2 R 2 ) V
Radio menor Radio m ayor A ltura Toroide Area
A = 4 ;irR
Volumen
V = 4 irr2R
Radio menor Radio mayor
r R
«
A p é n d ic e ______
976
Paralelepípedo Volumen
V = a be
Superficie total
A = 2 (a b + b e + c a )
D iagonal
r~i T3 ~ d = x/a" + b" + c “
R adio m ayor
R
Pirám ide o cono V olum en
V= - Sh 3
Area lateral
A = —p a
A rea de la base
S
Altura
h
Perím etro de la base
P
Paralelogram o A = ah = absen0
Area Angulo entre los lados Altura
Polígono regular de n lados A rea del polígono
:
A * A =— n a"1 ctg4
A rea sector
:
Ac = - R S = - R 2 0
A rea segmento
:
A skg = — R" (9 - sen 0)
Perím etro del polígono
:
p = 2 n R sen — n
A rea polígono circunscrito
:
■> 7t A = n R" tg —
F ís ic a III
977
Trapecio (B + b)h
Area
A=
Area
2 A = pm h
A rea
A = —(B + b + b') 6 altura
H Triángulo A rea
A = 3>/3 r a-i = r =2^3r
4. a)
G E O M E TR IA A N A LITIC A PLANA D istancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos P[, P2 de coordenadas rectangulares (x¡; y i), (x2; y2), viene dado por: d = [(x2 - x , ) 2 + (y 2 - y j)2] l/2 La distancia entre dos puntos Pi, P2 de coordenadas polares (n ; 0 ,), (r2; 0 2), viene dad por: d = [r-,2 + x\ + 2 r, r2 cos(0j - 02) ] 112
b)
c)
Form as que adoptan las ecuaciones de una recta 1)
A x + By + C = 0
(form a general
)
2) 3)
y - y¡ = m (x - X]) y = mx + b
(form a punto pendiente
)
4)
x+ y = t a b
(form a intersecciones
Pendiente de una recta La pendiente de la recta que pasa por los puntos Pi(xi; y,) y P2(x2; y2), viene dado por: m = y 2 -y i x-, - x
(form a pendiente intersección ) )
978___________________ d) C oordenadas del punto m edio Las coordenadas del punto medio del segm ento de recta P i(x ,; y,) y P 2(x2; y2), viene dado por:
xm =
x, + X-) y
ym =
y¡ + y i
e) A ngulo entre dos rectas El ángulo entre dos rectas m¡ y m2, viene dado por:
tg 0 =
e)
A péndice
2
de pendientes
m, m 2 1+
m2
A rea de un triángulo El área de un triángulo cuyas coordenadas rectangulares de sus vértices son: A (x¡; y (), B (x2; y2), C (x3; y3), viene dado por:
A = 2
+ X2Y3 - x 3Y2 + * # 1 ~ * # 3)
Si las coordenadas polares de los vértices deí triángulo son: A O ^eo, B(r2 ;02) y C(r3:03) , entonces el área de di cho triángulo es: A = ^[r, r2sen(02 —0T) -f-r2 r3sen(03 ~02) + ri ^senfO, - 03)]
a)
CONICAS C irculo La ecuación de un circulo de centro en (h ; k) y radio "R", viene dado por: (x - h )2 + (y - k )2 = R2
Si el centro se ubica en el origen, la ecuación ante rior, queda así: x 2 + y 2 = R2
Física III La ecuación polar de un círculo con el origen sobre la circunferencia y su centro en el punto C es: r = 2 C c o s ( 0 - c t) Si el origen no está sobre la circunferencia, el radio es "a" y el centro está en el punto b, a, en este caso la ecuación es: a 2 = r 2 + b 2 - 2 rb c o s(0 - a )
b)
Elipse La ecuación de una elipse con centro en (h; k) y se m iejes m ayor "a" y m enor "b" es: ( X 'h ) 2 a
•
(y -k )2 u2 b
Si el centro se encuentra en el origen de coordenadas 0, la ecuación se convierte en: ~>
■
x" , y‘
=1
La ecuación polar cuando el polo está en el centro de la elipse es: a"2 .2 b "’ n
1 ■>
1 r,
a sen 0 + b~ c o s'B c)
Hipérbola La ecuación de una hipérbola de centro (h; k) y de ejes paralelos a los ejes de coordenadas X, Y y de eje transverso horizontal es: (x -h )-
(y -k y
= 1
Si el centro está en el origen de coordenadas 0, la e cuación se reduce a: x2
y2
a
b
979
980
A péndice siendo "a" el sem ieje transverso y "b" el sem ieje conjugado (vertical). La ecuación polar que tiene el centro en el polo es: ,2 = 1
a 2 b2 2 2q .2 2a a sen 0 - b eos 0
d) H ipérbola equilátera E s aquella hipérbola que tiene por centro el origen y por asíntotas los ejes de coordenadas, su ecuación es: xy = C siendo "C" una constante. e) Parábola La ecuación de una parábola con vértice en V(h; k) y foco en F(h+p; k) es: (y - k )2 = 4 p ( x - h )
Si el vértice está en el origen, la ecuación anterior se reduce a: y 2 = 4px La ecuación polar cuando el foco está en el polo y "p" es el sem ilado recto es: r=
P l-c o s 0
Si el vértice está en el polo y "p" tiene el mismo significado anterior, la ecuación es: 2 p c o s0 sen20 f) R elaciones entre las coordenadas polares y rectangulares x = reos©
r=
x2 + y2 ,
y = rsenO
sen0 =
cos0 x
+ y'
F ís ic a ill
981
g) A ngulo sólido A ngulo sólido es el espacio com prendido al interior de una circunferencia cónica (vérti ce), com o m uestra la Fig., los ángulos sólidos se representan sim bólicam ente m ediante "Q ". El valor del ángulo sólido en todo el espacio es 4 n . En el S.I. (Sistem a Internacional) los ángulos se miden en estereorradián, y para obtener su valor se traza una superficie esférica de radio arbitrario "R " con centro en el vértice O, (com o se m uestra en la Fig.); y se aplica la relación;
n=
_s_ R2
siendo "S" el área del casquete esférico interceptado por el ángulo sólido. Cuando el ángulo sólido es pequeño en lugar de "S" se debe considerar un diferencial de superficie de área "dS ", de modo que la ecuación anterior, queda así: dn = 4 R2 En algunos casos la superficie "dS" no es per pendicular a OP y ella form a un ángulo "0" con la norm al a "dS", com o m uestra la Fig., en éste caso el ángulo sólido, viene dado por; dQ =
dScos0 R2
5.
C O O R D EN A D A S C U RVILIN EA S O R TO G O NA LES
a)
Transform ación de coordenadas Sean x, y, z las coordenadas de un punto P en el sistem a cartesiano (S), y Xi, x2, x3 las coordenadas de dicho punto en un sistem a de coordenadas ortogonales (0), si existe una transform ación biunívoca entre los sistem as (S) y (0), entonces, la te m a (x, y,z) podem os expresarlo en función de la tem a (x )? x2, x3), así: x = x ( x ¡ ,x 2, x 3) ,
y - y ( x ,, x 2, x 3) ,
z = z ( x j ,x 2 , x 3)
o viceversa, la terna (xi, x2, x3) en función de la terna (x, y, z), así: x, = X | ( x , y , z ) ,
x 2 = x 2( x ,y , z ) ,
x 3 = x 3( x ,y , z )
A p é n d ic e
982
b) C oordenada curvilínea ortogonal En la Fig., las superficies Xi=Cj, x2=C2>x3= c3 siendo c b c2, c3 constantes se llam an superficies coordenadas; la intersección de cada par de es-tas superficies definen Jas líneas coordenadas , £ 2, £ 3. Cuando estas líneas de coordenadas se cortan en ángulo recto se dice que el sistem a de coordenadas (0) es ortogonal. c) Vectores unitarios Los vectores unitarios que se utilizan com o vectores base para definir e! sistem a de cooi denadas ortogonales (0), y que son tangentes a las líneas de coordenadas £ t, £ 2, £ 3, vk nen dados por: e; =
donde, r = x i + y j + z k
3r/3x;
37/3x;
dr /d x ,
ll;
con ( i = l . 2 ,3 )
o r = r(x , , x 2, x3) es el vector de posición del punto P en lot
sistem as de coordenadas (S) y (0), respectivam ente, y h¡ con (i= l, 2, 3) los coeficiente* m étricos o coeficientes de Lamé, cuyas expresiones, vienen dados por: h¡ = [(£ ■ )= + ( | ^ OX:
+ (A )2 r
OX,
con
( i= ! ,2 , 3)
OX;
el sentido del vector unitario é , , con (i= l,2 ,3) es el de crecim iento de x¡. Com o Vxj es un vector normal en el punto P a la superficie x¡ = c¡, el vector unitario er esta dirección y sentido, viene dado por: Vx,
con
(¡= 1 ,2 ,3 )
I VX; I En conclusión, en cada punto de un sistem a de coordenadas curvilíneas se pueden definii dos sistem as de vectores unitarios é, tangentes a las líneas de coordenadas £¡, con (i= l,2 3) y é* perpendiculares a las superficies de coordenadas x,=c¡ con (i= l, 2, 3). Ambos sis tem as de vectores unitarios coincidirán solo en el caso en que el sistem a de coordenadas sea ortogonal, y tendrán la misma función que la de los vectores unitarios cartesianos i j , k , con la diferencia que los vectores unitarios (é, o é*) pueden cam biar de dirección y sentido de un punto a otro. d) Elem entos de línea, superficie y volum en Com o, dr / 8x¿ = h (é¿ ( i= l, 2, 3), el diferencial del vector de posición r en el sistema de coordenadas ortogonal (0), viene dado por:
F ís ic a III
j^r j dr = dx, H dx,
j
dx-, h dx,
^r
983 A
j
dx
dx-,
d r = hj dx! é, + h 2 dx2 é 2 + h3 dx3 é3 y el cuadrado del elem ento de longitud es: d s2 = dr • d r = h 2 dx2 + h2 d x 2 + h 2 d x 2 En la Fig., com o los vectores unitarios e1? é2 , e3 son m utuam ente perpendiculares entre si; ios elem entos de superficie dA¡ (form ado por £ 2*A ) , dA 2 (form ado por £ u £ 3), y dA 3 (form ado por £ i ,£ j ) , vienen dados: dA, = |(h 2d x 2é 2 ) x (h?dx3 é3)J = h 2h3 1é 2 x é3 1dx2 dx3 = h 2h 3 dx,dx-, d A , = |(h3dx3é3) x (h, dx¡ e, )| = h3h, | é3 x é j jd x 3 d x ( = h3h¡ dx3dx, dA 3 = ¡(h[d x |é ]) x (h 2dx2 é , )| = h (h 2 1é, x é2 fdx| d x , —li,h 2 dX |dx2 En la Fig., el elem ento de volum en en el sistem a de coordenadas ortogonal, viene dado por el triple producto escalar, esto es: dV = |(h|dX| é |) • (h 2 d x ,e 2 ) x ( h 3 dx3 e3)| = h |h , h 3 dx, d x , dx3 e)
El gradiente, la divergencia, el rotacional y la laplaciana. Sean: O un cam po escalar y A un cam po vectorial, entonces las expresiones de los opera dores gradiente, divergencia, rotacional y Laplaciana, en un sistem a de coordenadas curvi línea ortogonal, vienen dados por: 0
„
r ¡ div Á = V • A =
i 50 A
1 50 „ 50 „ --------- e¡ + — ^ e2 h-, = <¡ i 9 x i
( h , h , A I ) + - ^ - ( h 3h lA 2 ) + -
dx
h |h 2h3 5x|
rot A = V x A = h |h ,h 3
5
5x3
h j 6,
h 2 e2
h3 e3
8
5
9X|
d dx2
5x3
hiA,
h. A,
h 3A 3
A p é n d ic e
984
= AO = — h jh 2h j dx, 1)
h¡
0 ®, + _ 2 . (M 3x, d x 2 b2
a* 3x2
l
+ 3x3
h3
a® 3x3
C oordenadas rectangulares En este sistem a de coordenadas: X|=x, x2=y, x3- z , los coeficientes m étricos son: h |—l h2- l , h3= l, y a su vez, los operadores diferenciales, vienen dados por: ^ T „ ; 3A x dA 3A 7 div A = V • A = — —+ -------- + dx dy dz
SO: M í 3 4 ), g ra d O = V O = — 1+ — jh k, d x d y d z
3A 7 3A , a A x dA., * 3A v 3A rot A = V x A = (— - -------~ ) i + (— ------- - ) j + (— - -------- ) k dy dz dz d x dx dy 9 3 20 3 20 3 20 V 20 = AO = — - + — - + — — 3x dydz Las superficies coordenadas son: tres planos m utuam ente perpendiculares. 2) C oordenadas cilindricas Las coordenadas cilindricas: x, = p , x2 = (p, x3 = z , están relacionados con las coordt nadas cartesianas por: x = pcosq), y -= psentp, z - z , los coeficientes métricos son: h t= 1 h 2 = p , h3 = 1, y las expresiones de los operadores diferenciales son: „ ^ 30 „ 1 30 , 30 , g ra d O = V O = — e, + e7 + — e3 3p p ocp 3z 13 1 3A , 3A , div A = V• A = (p A .) + ---------------- h — p 3p p 3
„
1 v ,b - ^
3A, 3A 3 . 1 3 . . . i^ A , . + ( - x1 " ^ + (—r - ( p A 2 ) ------— ) e 3 3z op p op p 3(p d
30,
- P TP ip V
p
dp
J3 20
+7
W
dp d p ¿
3 20 +^
P
dp
Las superficies coordenadas son: p = cte., cilindros concéntricos; q>=cte., planos; ) z -c te . planos. 3) C oordenadas esféricas Las coordenadas esféricas: Xj = r , x 2 = 0 , x 3 =
H s ic a III
985
das cartesianas por: x = rse n 0 c o stp , y = rsen S sen c p , z = r c o s 0 , los coeficientes métri eos son: h i= l, h , = r , h 3 = 1, y las expresiones de los operadores diferenciales son: ^ vt k 90 „ 1 3U> I 90 „ arad O = V O = — e, + ------- e->+ --------------9r r 59 r sen 0 9(p
1 5A5 d iv Á = V • Á = —- — (r2A ,) + (sen 0 A 2 ) + r" 9r r sen 0 50 r sen 0 5(p 5A, .X 1 rd / a a \ dA2 ^ J r 1 9A , 5 - - ( r A 3)]e2 + - [ - ( r A 2) - — ^]e3 r o tA = ---------- \— ( s e n 0 A 3) ----------- l e . + - [ -------r sen 0 50
9ip
r sen 0 5(p
5r
r 5r
50
„ 2K 1 5 , , 90 x 1 5 ^90^ 1 9‘0 V 0 = —- — ( r — ) + —— — (sen "S r 9r 5r r sen 0 90 era") + ~r — sen 0 5
d r2
+ - dF(r) r dr
Las superficies coordenadas son: r = c te ., esferas concéntricos; q> = cte., conos; y cp=cte. planos.
V((p+ (}>) = V
2)
V(cp((>) = (pv<¡> + 4»V 9
3)
V » ( f + g) = V * F + V * g
4)
V x ( f + g) = V x f + V x g
5)
V « ({ pf) = (p V « f + f* V tp
6)
V » (fx g ) = g « V x f - f « V x g
7)
V • V xf = 0
8)
V x (pf = (p V x f + V cpxf
9)
V x V x f = V V . f - V 2f
10)
V x V (p = 0
11) f x g x h = ( f » í i ) g - ( f « g ) h
12)
5cp/9fi = ñ V(p
13) 5 B /9 ñ = (ñ V )B
14)
< • <1 -e ii < -6
15) V x r - 0
16)
V *f = 3
17) V r = r / r
18)
19) V . ( f / r 3) = - V 2( l / r ) = 0, si r * 0
20)
V lr 1
21) VF(cp) = (5F/5tp)V tp
22)
V • Á(tp) = (5Á/5{p)Vcp
1 -11
1)
<
8. FO R M U LA S E ID EN TID A D ES DEL A N A LISIS VEC TO R IA L
r 11— V 'lr 1 1
f'|-.r r . lr _ H
986_________________________ 23) 25)
A p é n d i c e ___________________
V xÁ (tp) = Vcpx(5A/5cp)
24) (Á V )B (ip) = (ÁV
f • ds = Jv V • f dV
27) <£ cpds=
VcpdV
29) c|gf ( g * d s ) = Jv f V * g d V + J v ( g * V ) f d V
26)
(|c f * d i = ^ V x f • ds
28)
c ^ d s x f = J*v V x fd V
30)
cp d í= £ d sx V cp
31) V x (f x g ) = f V » g - g V » f + ( g » V ) f - ( f » V )g 32)
V (f • g ) = ( f • V )g + (g • V ) f + f x V x g + g x V x f
33) ( é x f ) • (g x h) = (é • g )(f • h ) - (é • h )(f • g) 34) ( é x f ) x ( g x h ) = [e • ( f x h )]g - fe • ( f x g )]h 35)
36)
M dx + N d y = jJs( ^ - - - ^ - ) d x d y
+ M ) * (Vcp)]dV JJs«t>Vcp) . ds
37> Jíív [4>V2(f>-cpV2(t>]dV= JJS (
7 . E C U A C I O N E S D E M A X W E L L E N E L V A C IO ( S .l .)
Para cam pos electrom agnéticos ________________independientes del tiem po________________ Form a integral
Forma diferencial
cfs É « d s = q / c 0
V • É = p /e 0
De G auss para el campo de inducción m agnética B
cj>s B • ds = 0
V•B=0
De circulación para el cam po eléctrico E
E• di = 0
V xÉ = 0
B • d i = p 0¡
V x B = (x0J
Ley De Gauss para el cam po e léctricoE
De circulación para el cam po de inducción m agné tica
.
F ís ic a III
987
Para cam pos electrom agnéticos dependientes del tiem po Ley
Form a integral
Forma diferencial
De G auss para el campo eléctrico E
cfs É « d s = q / e a
V • É = p /e 0
De Gauss para el campo de inducción m agnética
c^s B • ds = 0
V• B=0
cf É » d l = - — cf B » d s 7l d t«
V xÉ = 0
B D e circulación para el cam po eléctrico E De circulación para el cam po de inducción mag nética
4 ,. B * d / : = p ai + s 0p 0 ^ c | s B . d s
V x B = p 0J
A N G U LO PLANO grado
m in u to
se g u n d o
r a d ia n
r e v o lu c ió n
1
60
3 600
1,745.1o"2
2,778.10'3
1 m in u to
1,667.10'2
1
60
2,909.10 '1
4,630.10"5
1 seg u n d o
2,778.10"*
¡,667.10"2
1
4,848.10'ü
7,716.10”7
57,30
3 438
2,063.105
1
0,1592
360
2,16.104
1,296.106
6,283
1
U n id a d 1 grado
1 r a d iá n í r e v o lu c ió n
LONGITUD U n id a d
A
mm
cm
m e tr o
km .
1 A n g s tr o m
1
10'7
10'8
10'10
10'13
1 m ilím e tr o
107
1
10"'
10'3
10"s
l c e n tím e tr o
108
10
1
10'2
10‘5
1 m e tr o
1010
I0 3
102
1
I0'3
1 k iló m e tr o
1013
106
105
103
1
A péndice
m .
AR EA 2
mm2
cm 2
m
1 mm2
1
10'2
I0 '6
10'12
i 2 1 cm
102
l
10~4
10 10
1 m2
106
104
1
10~6
1 km 2
i o '2
I0'°
10ft
1
U nidad
km 2
VELO C ID AD cm /s
m/s
km ./h
1 cm /s
1
0,01
3 ,6 .10'2
1 m/s
100
1
3,6
27,78
0,2778
1
U n id ad
1 km ./h
MASA g
kg
Ib
u.m .a
1
I0‘3
2,2.10-3
0,602.1024
103
1
2,204
0,602.1030
1 lib ra
453,6
0,4536
1
0,2 7 3 .1027
1 u.m .a
1,661.10 24
1,661 -10"27
3,66.10'27
1
U nidad 1 g ram o 1 kilogram o
FUERZA U n id ad
Ib
pdl
kg
N
d in a
1 lib ra
1
32,17
0,4536
4,448
4,448.105
3,108.10‘2
1
1,41.10"2
0,1383
1,383.104
1 k ilo g ram o
2,205
70,93
1
9,80665
9 ,8 .105
1 new ton
0,2248
7,233
0,102
l
105
2,248.10'6
72,32.10’6
1,02.10 6
10'5
1
1 p o u n d al
1 din a
F ís ic a III
989
PRESION U n id a d
a tm
d in a /c m 2
n e w t o n /m 2
m m Hg
p ascal
1 a tm ó s f e r a
1
1 ,0 1 3 .106
0,101
760
1 ,0 1 3 .105
1 d in a /c m 2
9 ,8 6 9 .1 0"7
1
0,1
7 ,5 0 1 .10'2
0,1
1 n e w to n /m 2
9 ,8 6 9 .1 0 "6
10
1
0,7501
1
1 m m Hg
1 ,3 1 6 .1 0 3
1 ,3 3 3 .103
1 ,3 3 3 .1 0 2
1
133,3
1 p ascal
9 ,8 6 9 .10"6
10
1
7 ,5 0 1 . I0"3
1
ENERG IA, TR A B A JO , C ALO R U n id a d
e r g io
1 e r g io
1
1 jo u le
jo u le
c a l o r ía
k W .h
eV
10~7
2 . 3 8 9 .1 0 S
2 ,7 7 7 .1 0 ‘14
6 ,2 4 2 .1 0 n
107
1
0 ,2 3 9
2 ,7 7 7 .10"7
6 ,2 4 2 .1 0 18
1 c a lo r ía
4 ,1 8 6 .1 0 7
4 ,1 8 6
1
1 ,1 6 3 .1 0 "6
2 ,6 1 3 .1 0 19
1 k W .h
3 ,6 0 0 .1 0 13
3 ,6 0 0 .1 0 6
8 ,5 9 8 .1 0 5
1
2 ,2 4 7 .1 0 25
1 eV
1 ,6 0 2 .1 0 12
1 ,6 0 2 .1 0 ‘19
3 ,8 2 8 .1 0 ’20
4 ,4 5 0 .10"26
1
VO LU M EN U n id a d
mm3
cm 3
m3
km 3
litro
1 mm2
1
10'3
1 0 '9
l 0 -'8
1 cm 2
103
1
1 0 '6
10‘15
10‘3
1 m3
109
106
1
1 0 '9
103
1 km 2
1 0 ia
1 0 15
109
I
1 0 12
1 litro
106
103
1 0 '3
10-12
1
10‘6
A péndice
m . DENSIDAD g /c m 3
k g /m 3
lb /p u lg 3
lb /p ie 3
u tm /m 3
1 g /c m 3
1
103
36,2.10'3
62,5
102,06
1 k g /m 3
10'3
1
0 ,36.10'4
6,25.10’2
0,102
1 lb /p u lg 3
27,68
2,768.104
1
1 728
2,825.103
1 lb /p ie 3
16.10"3
16
5,79.1o-4
1
1,6345
1 u tm /m 3
9,798.10"3
9,798
0,354.10’3
0,612
1
U n id a d
TIEM PO año
d ia
1 año
1
365,2
1 d ia
2,738.10"3
1
24
1 440
8,640.104
1 hora
1,141.10”4
4,167.10’2
1
60
3 600
1 m in u to
1,901.10'6
6,944.10'4
1,667.10 2
l
60
1 se g u n d o
3,169.10 8
1,157.10"5
2,778.10'4
1,667.10"2
1
U n id a d
h
m in
, 8,766.10'3 , 5,259.105
seg
3,156.107
PO TENCIA c a l/s
kW
VY
hp
1
4,186.10'3
4,186
5,6.10 3
1 kW
238,9
I
1 000
1,34
1w
0,2389
0,001
1
1,34.10-3
1 hp
178,2
746.10 3
746
1
U n id a d 1 c a l/s
C ARG A a b c o u lo m b 1 a b c o u to m b
A .h
c o u lo m b
s ta tc o u lo m b
2,778.10'3
10
2,998.1010
3600
1,079.1013
1 a m p e r e -h o r a
360
1 c o u lo m b
0,1
2,7 7 8 .1 0 4
3,336.10-"
9 ,2 6 6 .1 0 14
1 stateoulomb
2,9 9 8 .109 3,3 3 6 .10"lü
1
F ís ic a ili
991
CO R R IEN TE ab am p ere
am pere
s ta ta m p e r e
1
10
2 , 9 9 8 . 10l°
1 abam p ere
0,1
1 am pere
2 ,9 9 8 .1 0 9
3 ,3 3 6 .1 0 '"
1 s ta ta m p e r e
3 ,3 3 6 .1 0"16
1
FUERZA ELECTR O M O TR IZ 1 a b v o ltio
v o ltio
s ta tv o ltio
a b v o ltio
1
I0'8
3 ,3 3 6 .1 0 '"
1 v o ltio
106
1
3 ,3 3 6 .1 0 'J
2 ,9 9 8 .101Ü
2 9 9 ,8
1
1 a b o h m io
o h m io
s t a t o h m io
a b o h m io
1
10'y
1 ,1 1 3 .1 0 '21
1 o h m io
I0 y
1
1,1 13.10 12
8 ,9 8 7 .102°
8 ,9 8 7 .1 0 "
1
1 s ta tv o ltio
RESISTENCIA
1 s ta to h m io
C A PA CITAN C IA a b fa r a d io
fa r a d io
m ic r o f a r a d io
s ta tfa r a d io
1
10s
1015
8,987.102í
i fa r a d io
10'9
1
106
8,987.10"
1 m ic r o fa r a d io
10‘15
10'6
1
8,987.105
1,113.10"21
1,11 3 .1 0 12
1,113.10"6
1
1 a b fa r a d io
1 s ta tfa r a d io
A p é n d ic e
992
PR O PIED A D ES DE A LG U N O S LIQUIDOS Coeficiente de C alor especifico Densidad Líquido
tensión
en kg/m 3
superficial (N/m)
J/kg.°C
cal/g.°C
880
1 720
0,41
0,03
Agua
1 000
4 190
1,0
0,073
Glicerina
1 200
2 430
0,58
0,064
A ceite de ricino
900
1 800
0.43
0,035
K erosene
800
2 140
0,051
0,03
Mercurio
13 600
138
0,033
0,5
Alcohol
790
2510
0,6
0,02
Benzol
Sólido
PR O PIED A D ES DE A LG U N O S SO LIDO S Calor de específico Calor D ensidad Tem peratura fusión cal/g.°C J/kg.°C en kg/m 3 de fusión °C J/kg
Coeficiente dilatación térm ica
Aluminio
2 600
659
896
0,214
3 .2 2 .105
2,3.10 '3
Hierro
7 900
1 530
500
0,119
2,72.105
1,2.10'5
Latón
8 400
900
386
0,092
-
1,9.10-5
Hielo
900
0
2 100
0,5
3,35.103
-
Cobre
8 600
1 100
395
0,094
1,76.105
1,6.10 '3
Estaño
7 200
232
230
0,055
5,86.104
2,7.10 5
Platino
21 400
1 770
117
0,028
1,13.105
0,89.10°
Corcho
200
2 050
0,49
Plomo
11 300
327
126
0,030
2 ,2 6 .104
2,9.10'5
Plata
10 500
960
234
0,056
8 ,8 0 .104
1,9.105
Acero
7 700
1 300
460
0,11
Zinc
7 000
420
391
0,093
-
1,06.10'3 1,17.1o3
2,9.10°
F ísica III
993
PR O PIED A D ES ELA STIC A S DE ALG U N O S SO LIDO S Resistencia a la M ódulo de Sustancia
rotura en N /m 2
Y oung en N /m 2
1,1.108
6 ,9 .1 0 °
H ierro
2,94.108
19,6.10'°
Cobre
2,45.108
11,8.10i0
Plomo
0,2.108
1,57.10'°
Plata
2,9.10a
7,4.10'°
Acero
7 ,8 5 .108
21,6.10'°
Aluminio
PER M ITIVID A D R ELATIVA
7,800
M adera
2,5-8
Agua
81
Alcohol, etílico (0° C)
28,4
Kerosene
2
Petróleo
2,1
Aceite
5
A gua (destilada, 0° C)
88,0
Para fina
2
Agua (destilada, 20° C)
80,0
Mica
6
A ire (1 atm)
1,00059
Vidrio
5-10
A ire (100 atm)
1,0548
N ilón
3,5
C 0 2 (1 atm)
1,000985
Caucho
2 -3 ,5
Porcelana
6
Azufre
4,0
Ebonita
2,6
C O N D UC TIVID AD TERM ICA DE A LG U N O S SO LIDO S (X en W / m .üC ) Aluminio
210
Fieltro
0,046
H ierro
58,7
Cuarzo fundido
1,37
Cobre
390
A rena seca
0,325
Corcho
0,050
Plata
460
Ebonita
0,174
A péndice
m .
R ESISTIVID AD DE ALG U NO S M ATERIALES (p en Q .m ) 0,45
A lum inio
2,83.1o"8
G erm anio (puro)
Cobre
1,69.10'8
G erm anio (5.10”6 % de As) 0,011
Oro
2 ,44.10‘8
Silicio (puro)
640,0
H ierro (0o C)
8,85.10”B
Silicio (10"4 % de As)
0,003
N íquel
7,24. i 0‘s
Solución de N aCl
0,044
Plata (0o C)
1,47.10"8
Ambar
5,0.10 14
M ercurio
95,8.10'8
Vidrio
I02°-10‘4
Tungsteno
5,51.10'8
Ebonita
10,2-1 0 16
Constatan (Cu60)44,0.10‘8
Mica
1 0 "-1 0 15
N icrom o
M adera
108-1 0 n
100.10"8
Aluminio
3,5 4 .107
G erm anio (puro)
2,22
Cobre
5,81.107
G erm anio (5.10'6 % As)
90,9
Oro
4,09.107
Silicio (puro)
1,56.10'3
H ierro (0o C)
1,53.107
Silicio C10’4 % de As)
3,33.10'2
N íquel
6,80.107
Solución de NaCl
25
Plata (0o C)
6 J 4 .1 0 7
Ambar
2 ,0 .10'15
Tungsteno
1,82.107
V idrio
O 8 o
C O N D UC TIVID AD ELECTRICA DE A LG U N O S M ATERIALES ( a en S/m )
M ercurio
1,82.10®
Ebonita
10"I2-10‘16
Constatan (Cu60)2,04.106
M ica
10‘n -1 0 '15
N icrom o
M adera
10's-1 0 '"
1,00.10®
F ís ic a til
995
SU S C E PTIB ILID A D ELE C TR IC A (x«) DE A LG U N O S M ATERIALES Mica
5
Hidrógeno
5,0.10'4
Porcelana
6
Helio
0,6.10'4
Vidrio
8
N itrógeno
5 ,5 .10 4
Baquelita
4,7
Oxígeno
5,0.10’4
Aceite
1,1
Argón
5,2.10'4
T rem entina
1,2
O xido de carbono
9,2.10'4
Benceno
1,84
Aire
5,4.10"4
A lcohol (etílico)
24
V apor de agua
7,0.10'3
Agua
78
Aire (100 atm)
5,5.10"z
SU S C E PTIB ILID A D M AG NETIC A (Xm) DE A LG U N O S M ATERIALES Hidrógeno (1 atm) -2,1.10’"
O xígeno (1 atm)
2,1.10'6
N itrógeno 91 atm) -5,0.10"9
M agnesio
1,2.10‘5
Sodio
2,4.10‘ñ
Aluminio
2,3.10 3
Cobre
-1,0.10‘5
Tungsteno
6 ,8 .1 0 5
Bismuto
-1,7.10-5
Titanio
7,1.10'5
D iam ante
-2,2.10'5
Platino
3,0.10'4
M ercurio
-3,2.10"5
GdCI3
2 ,8 .1Ü'3
M O M EN TO S D IPO LA R ES DE A LG U N A S M O LEC U LA S (m.C) HCÍ
3.43.1 (V™
H Br
2,6Ü40T q
H1
1,26.10'^°
CO
0.40.1 O*30
H20
6,20.10’30
H2S
5 ,3 0 .i0 '3ü
S02
5,30.10'3Ü
NHj
5,00.10'30
C2HsO H
1,26.10'30
M O VILIDA D DE LOS IONES EN LOS ELECTR O LITO S (m 2/V .s) N 0 '3
6 ,4 .KT8
H1
cr
6 ,8 .1 0 6
Ag+
3,26.10 '7 5,6 .10'8
K ''
6,70.10 '8
A p é n d ic e
996
Código de colores para las resistencias —cm B —
C o lo re s
N egro M arrón Rojo N aranja Amarillo Verde Azul Violeta Gris Blanco
1a C ifra
2a C ifra
M u ltip lic a d o r
0 2 3 4
2 3 4
5 6 7 8
5 6 7 8 9
9
T o le ra n c ia
0 xlO x Í02 x 103
♦1% i 2%
x 104 x 105 x 106
±0.5%
x ío ' x 10* x lí^
Oro
x 10’'
f 5%
Plata
x 10'2
i 10% *.20%
Sin color
PREFIJOS DEL SISTEM A IN TER N A C IO N A L (S.l.) Factor
Prefijo
Símbolo
Factor
Prefijo
Símbolo
101
deca
da
10*’
deci
d
102
hecto
h
10'2
centi
c
to 3
kilo
k
10'3
mili
m
106
mega
M
10‘6
micro
P
109
giga
G
nano
n
1012
tera
T
1 0 12
pico
P
1015
peta
P
10‘|S
femto
f
10J8
exa
E
Ü F“
atto
a
“
F ís ic a III
997
C O N STA N TES FISICAS UNIVERSALES M agnitud Símbolo 01. U nidad m asa atómica
1 u.m.a
02. Carga elemental
Valor
1,6605655(86). I0 '27 kg
E
1,6021892(46).10‘,g C
e/me
1 ,7588047(49).10" C /kg
04. Longitud onda Com pton (n)
^c.n = h/fm ,, c)
1,3195909(22).10’!5 m
05. Longitud onda Com pton (p)
A,CiP = h / ( m p c)
1,3214099(22).10'!5 m
06. Longitud onda Com pton fe)
^C,e = h /(m e c)
2,4263089(40).l O"12 m
07. M agnetón de Bhor
p B - e h /2 m
9,274078(36).l O-24 J/T
08. M agnetón N uclear
p n = eh / 2m p
5,050824(20)4 O'27 J/T
03. Carga especifica electrón
09. M om ento m agnético protón
1,410617(55)4 0‘26 J/T
10. M om ento m agnético electrón
9,284832(36)4 O'24 J/T
11. M asa en reposo del neutrón
mn
1,6749543(86)4 O-27 kg
12. M asa en reposo del protón
mp
1,6726485(86). 10"27 kg
13. M asa en reposo del electrón 14. Volumen de 1 mol gas perfecto
me
0,9l09534(47).10'3(i kg
V0- R T 0/Po
0,02241383(70) m3/mol
= r /n
1,380662(44)40’23 J/K
15. Constante de Boltzman
k
a
16. C onstante universal gases
R
8,31441(26) J/m ol.K
17. C onstante de gravitación
G
6 ,6 7 2 (4 1 )4 0 '" N.mVkg2
18. C onstante de Planck
h
6,6266176(36)4 O"34 J/H z
C] = 27thc2
3,741832(20)4 O 16 W.m2
19. Constante de radiación prim era 20.C onstante de Stefan-Boltzm an 21. C onstante de estructura fina 22. C onstante de Faraday 23. C onstante eléctrica 24. Radio de Bhor 25. Radio clásico del electrón 26. V elocidad de la luz en el vació 27. A celeración de caída libre 28. N úm ero de Avogadro 29. Energía en reposo neutrón 30. Energía en reposo protón 31. Energía en reposo electrón
ct =
7r2k4/60h3c2 2 a = p0ce /2h F -N Ae s0 = l/(Moc2)
a0 = a/(47tR05) ro =goe2/4jtme c g Na m,lC2 mpc2 2 mec
5,6703(71). 10 a W/m2.K4 0,0072973506(60) 9,648456(27).104 C/mol 8,85418782(7). I0"12 F/m 0,52917706(44)4 O'10 m 2,8179380(70).10"15 m 299792458(1,2) m/s 9,80665 m /s2 6,022045(31)4 O23 mol"1 939,5731(27) MeV 938,2796(27) MeV 0,5110034(14) M eV
A péndice
998
RESUM EN DE FORM ULAS DEL ELEC TR O M A G N ETISM O (S.l.) N om bre Ley de Coulom b
D iscreta (s)
Continua (s) F = k J p ,d V , J ^ - r , , d V
F = k —} - r,2 l’l i
V, rÍ2
Fuerza sobre una carga
F= q E
en el campo eléctrico E Intensidad del campo eléctrico
É= k j i í ^ vi
É= k^ k=i U - U
Flujo de campo eléctrico
O e = | s E • dS
Trabajo para m over una carga
W = q j* É • d r N
Potencial de campo E
q
V = k [ , - L . dV :. I r - r ’l
V = k ]T w il r - 'k B
D iferencia de potencial
AV = VB - VA = - J É • dr A
Capacidad eléctrica
C = ü_ AV
Capacidad condensador plano
t>0S C = ---d
D ensidad de corriente
j = nq v
C orriente eléctrica de desplazam iento
p dV
= Js ^ d * d S = | s (— ) « d S dt
Densidad de energía de E
I 2 1- w E = —s E = —D « E
D ensidad de energía de B
w M = - B « H = - |r H 2 2 2
F i s i c a lii__________ . Energía del cam po magnético B Ley de O hm para circuitos eléctricos Ley de Ohm para circuitos m agnéticos
999
W B = -- p ]v FH dV AV = i R ¡;n - r , R. :
Potencia de la corriente eléctrica
P = i.AV
Ley de Joule - Lentz
Q = i2 R t
Flujo del cam po m agnético
O b = | s B • dS Js
Fuerza entre dos corrientes paralelas
F=
Ley de A m pere-Laplace
Inducción del cam po magnético
Po «i ¡2 271 r
Po • Á UT x u r j B= — i a 1— di 4tt j c ’c" Po i B = ------4 ti r
de una corriente rectilínea inducción del campo magnético
B = p 0i n
de un solenoide Ley de A m pere
F=i
Fuerza de Lorentz generalizada
F=qE + qvxB
Ley de inducción electrom agnética
Relación entre cam pos alternativos
Se =
üT x B d i
dcbB
dcbjí 4 e = PoEo —
eléctrico y m agnético Inductancia Reluctancia de un circuito m agnético
L = AVL /(di / dt) r¡ d i R m = L ------ü PoPs
R eactancia
R¡ ~ w-L-
I to.C
A péndice
1)
L. L a n d a u - E. L ifsh itz Física General, Teoría, Ed. MIR, M o scú - 1980
2)
A . F. S a v e lie v
Física General, Teoría, T om o II y III, Ed. MIR, Moscú.
3)
P ió r isb k in - R ó d in a
Física I -2-3-4, Teoría, Ed. M IR, Moscú,
4)
F r ish - T im o r e v a
Física General, Tom o II, Teoría, Ed. MIR, M oscú-1983.
5)
O . Y . S a v e h e iik o
Problem as de Física General, Ed. M IR, Moscú -1989.
6)
I. M . S a r a e v a
Problem as Seleccionados de la Física Elem ental, Ed. MIR, M oscú - 1986.
7)
V . V o lk e n s h te in
P roblem as de Física General, Ed. Mir, M oscú - 1976.
8)
S . K o se l
Problem as de F ísica General, Ed. MIR, M oscú- 1975.
9)
I. E . Ir o d o v
Problem as de Física General, Ed. M IR, M oscú -1975.
10)
T arazov - T arazova
Preguntas y Problem as de Física, Ed. Mir, M oscú.
11)
R . S a b r e r a A.
P roblem as Selectos de Física-III, Ed. Glow - 1 992
12) 13)
R . S a b r e r a A. R . Sab rera A.
14) 15)
R . Sab rera A. R. Sab rera A.
16) 17)
R. Sab rera A. R . Sab rera A.
500 P roblem as de Electrostática, Ed. G low - 1999 850 Problem as Resueltos de Física III, Ed. Glow - 2000. Libro de problem as de Física / // , Ed.G low - 2009. P equeñas oscilaciones eléctricas, Teoría, Ed. Glow, 2009. Electrom agnetism o, Teoría y Problem as, Ed. Glow-2009. Libro de problem as de Electrom agnetism o, E. Glow-2009.
18)
R . Sab rera A.
Física General. Teoría y Problem as, Ed. V&H, 1996..
W . P é r e z T. 19)
R , Sab rera A.
Física++, Teoría y Problem as, Ed. V&H, Tom os 1 y II.
W . P é r e z T. 20)
R. Sab rera A . W , P é r e z T.
Física - III, Teoría y Problem as, Ed. V&H, Lima -1996.
W a lte r P é r e z T e rre l Nació el 23 d e a g o s to d e 1958 e n la ap acib le c iu d ad d e T arm a. E studió e n la F acultad d e Ciencias Físicas d e la U niversidad N acional M ayor d e San M arcos en Lima - P erú. O b tu v o el g r a d o d e B achiller y el títu lo de Licenciado e n Física. Inició s u lab o r d o c e n te e n la Faculta^d d e C iencias Físicas co m o a y u d a n te e n la C á te d ra del cu rso de M ecánica Clásica y E le c tro m a g n e tis m o . Luego p ro sig u ió su la b o r d o c e n te e n la U niversidad R icardo Palm a, U niversidad F ederico V illarreal, U niversidad S an M artín d e P o rres, U niversidad N acional del Callao UNAC y e n la actu alid ad c u e n ta co n 25 a ñ o s d e ex p erien cia co m o c a te d rá tic o d e Física G eneral. El p ro fe s o r P érez T errel d esarro lla su s activ id ad es d e in vestigación e n las sig u ie n te s áreas: • Física A m biental.- C o n c e n tra ción d e h id ro g e n io n e s e n s u s ta n cias- su e lo s co n a lto c o n te n id o d e arcilla. • P ed ag o g ía e n Física.- E labora ción d e Guías d e L ab o rato rio Real y V irtual d e Física. C o lab o rad o r en el P ro y e c to d e Investigación s o b re el M é to d o d e E nseñanza d e la Física EDU- VE (E ducación Vivencia! E stru ctu rad o ). El p ro fe s o r P érez T errel e s a u to r d e m ás d e 20 p u b licacio n es e n tr e las cu ales p o d e m o s m en cio n ar: tesis, m o n o g ra fía s, en say o s, artícu lo s científicos, te x to s y g u ías del L ab o rato rio d e Física.
En los programas de estudios de las especialidades de Ingenierías y Ciencias, se lleva obligatoriamente el curso de Física III, siendo el contenido de la misma casi el mismo y no habiendo en el medio un texto que presente una teoría completa y una suficiente cantidad de problemas propuestos y resueltos que consoliden el proceso de aprendizaje, se ha visto por conveniente llenar este vacío mediante el presente texto. El presente texto es resultado de la amplia experiencia de los autores en la ense ñanza a nivel Universitario en Pre-Grado y Post-Grado. Por lo que, el contenido del mismo se ajusta a la mayoría de los programas de Ingeniería y Ciencias; y abarca los siguientes temas: fuerza eléctrica y carga eléctrica, campo eléctrico, flujo del campo eléctrico, potencial eléctrico, la ecuación de Laplace, energía eléctrica, circuitos eléctricos, dieléctricos, dondensadores, campo magnético, flujo magnéti co, inducción electromagnética, autoinducción, propiedades magnéticas de la materia y oscilaciones electromagnéticas. El desarrollo teórico y práctico de los diferentes temas que presenta este libro, se realiza totalmente con el Sistema Internacional de Unidades, utilizándose el novísi mo método de enseñaza EDU-VE, el cual, consiste en un aprendizaje basado en la interacción dinámica entre el profesor y el estudiante, consiguiéndose este obje tivo mediante un desarrollo como un todo de la teoría y la práctica. La presentación de la resolución de los problemas utiliza el método estructurado, el cual se basa en el desarrollo intuitivo y lógico de los procesos de resolución de un problema, y en la importancia que presenta la comunicación gráfica. Este método se utiliza con bastante éxito en la enseñanza de la Física Computacional. Finalmente, debemos decir que el curso de Física III es de suma importancia para los estudiantes de Ingeniería Electrónica, Eléctrica, Mecatrónica, Mecánica Eléctri ca, Industrial, Civil, Textil, Ciencias, etc.,pues es una entrada y base para el desa rrollo de otros cursos más avanzados como la Teoría de Campos Electromagnéti cos, Antenas, Telecom unicaciones,-Circuitos Eléctricos, Circuitos Electrónicos, Diseño de máquinas, eléctricas, Optoelectrónica, Electrodinámica Cuántica, Nanoelectrónica, y o t r o s . ___________________