Dinámica Circunferencial
Resumen
v
ac R
Fc
l cia g en tan
w
Fc = mac
esta f´ormula es esencialmente una aplicaci´on de la segunda ley de Newton.
ial
Eje
Se aplica a cuerpos que se mueven describiendo una trayectoria curvil´ınea, el caso es simple cuando se trata de un MCU. La f´ormula que involucra a los m´odulos es:
E
ad je r
Donde: v: m´odulo de la velocidad instantanea: ´
Donde: Fc : es el m´odulo de la fuerza centr´ıpeta 1 (“Centr´ıpeta” quiere decir que siempre busca el centro de giro, esto es, que su direcci´on esta´ dirigida hacia el centro de giro en todo momento) que se calcula con:
Fuerzas que Fuerzas que X estan X estan ´ dirigidas ´ dirigidas Fc = hacia fuera del hacia el centro − de giro. centro de giro.
v = ωR
ω: velocidad angular [rad/s] Aplicando la segunda ley de Newton al eje tangencial se obtiene la aceleraci´on tangencial atan : Ftan = m.atan
luego el m´odulo de la aceleraci´on total sera: ´ Estas sumas y por lo tanto la fuerza centr´ıpeta Fc estan ´ en un eje colineal con el radio. ac : es la aceleraci´on centr´ıpeta (m´odulo), tiene la misma direcci´on que Fc . Se calcula con:
ac =
v2 ∨
R
ac = ω 2 R
a=
q
a2c + a2tan
Nota: La fuerza centr´ıfuga, es una fuerza que solo debe ser considerada para sistemas de referencia no inerciales (SRNI). En consecuencia es una fuerza que “no debe ser incluida” en el diagrama de cuerpo libre para sistemas de referencia inerciales (SRI).
~c no debe graficarse en el diagrama de cuerpo libre, esta fuerza es la resultante de todas las La fuerza centr´ıpeta F fuerzas en el eje radial. 1
2
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Práctica
Dirigida
1 Si la cuerda tiene una longitud Problema 60 de 5 m y la masa de la esfera es 2 kg, halle el m´odulo de la tensi´on en la cuerda para la posici´on mostrada. (g = 10 m/s2 )
37° mk = 0,4 A
37°
A) 1,6 m/s2 D) 2,0 m/s2
B) 3,5 m/s2
C) 3,0 m/s2 E) 3,2 m/s2
10 m/s
A) 36 N D) 64 N
B) 48 N
C) 84 N E) 56 N
4 Halle la frecuencia c´ıclica (en Problema 60 numero ´ de vueltas por segundo) del p´endulo c´onico mostrado, si la esferilla describe un M.C.U. (g = 10 m/s2 )
2 Determine la m´ınima rapidez Problema 60 angular “ω” del sistema para que el bloque de masa “m” permanezca en reposo respecto a la superficie donde esta´ apoyado.
50cm
37°
w m
m
w
g
A) 7,5 D) 2,5/π
B) 5
C) 10 E) π/2
R 5 En la figura halle la menor veProblema 60
A)
D)
r
g µR
r
µg R
B)
r
g 2µR
C)
E)
r
locidad angular “ω” con la que debe girar el sistema para que el collar´ın permanezca en reposo respecto del soporte. (g = 10 m/s2 ) 2µg
1,25m
R r
g 3µR
ms = 0,5 37° O
˜ de 8 3 Cuando el bloque pequeno Problema 60
w
kg pasa por el punto “A”, la fuerza de rozamiento es de 32 N. Calcule el m´odulo de la aceleraci´on centr´ıpeta en “A”. (g = 10 m/s2 ) A) 2,5 rad/s D) 1,5 rad/s
B) 2,0 rad/s
C) 3,0 rad/s E) 4,0 rad/s 3
6 Una esferilla de 0,1 kg desarrolProblema 60 la un movimiento curvil´ıneo en el plano vertical XY de manera que en un instante presenta una velocidad ~ v = (6; 8) m/s, y sobre e´ l actua ´ una ~ = (5; −4) N. Determine el radio de fuerza F curvatura de la trayectoria de la part´ıcula en dicho instante. (~ g = −10~j m/s2 )
determine ω maximo ´ para que M no resbale. (M = 4m ; R = 2r = 0,5 m ; g = 10 m/s2 )
r B) 7/5 m
A) 3/5 m D) 4/11 m
w
C) 10/7 m E) 7/11 m
A) 7 El sistema rota con una velociProblema 60
dad angular ω constante, si el coeficiente de rozamiento estatico ´ es 0,5 para todas las superficies,
M
m
B) C)
p
p p
R
20/3 rad/s 80/3 rad/s
p
20/7 rad/s √ E) 10/ 7 rad/s
D)
80/7 rad/s
Trabajo y Potencia
Consideraciones:
Resumen El trabajo mecanico ´ (W ) es una cantidad f´ısica escalar que se define como la capacidad que tienen las fuerzas para generar movimiento. Caso 1: El trabajo realizado por una fuerza constante2 para trasladar al bloque desde A hasta B es:
3
→ el trabajo sera´ positivo si la fuerza esta´ a “favor” del movimiento.
3
F q
Si θ = 90o ⇒ W = 0 → fuerzas perpendiculares al movimiento no realizan trabajo.
W = F d cos θ
A
Si θ = 0o ⇒ W = +F d
3
B
Si θ = 180o ⇒ W = −F d → el trabajo sera´ negativo si la fuerza esta´ en “contra” al movimiento.
d
Donde: θ es el angulo ´ entre el desplazamiento d~ ~ y la fuerza F .
Caso 2: Si la fuerza tiene m´odulo variable pero la misma direcci´on que debe ser colineal con el desplazamiento.
2
Una fuerza es constante siempre que no cambie su m´odulo ni su direcci´on y dejara´ de serlo cuando al menos una de estas cambie. El grafico ´ de una fuerza constante F versus x es una l´ınea horizontal.
4
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F (N)
Luego la potencia instantanea ´ sera: ´ P = Fv
W x1
x2
x (m) Unidades: En el S.I. 3 W en Joules.
´ W = ± AREA
3 t en segundos. 3 → P en Watt [W]
Caso 3: Si sobre el cuerpo actuan ´ varias fuerzas, la fuerza que se debe emplear es la fuerza resul~ que es la suma vectorial de todas ellas. tante F R En este caso el trabajo es conocido como trabajo neto o total. WN =
P
W = FR d cos θ = ±mad
Luego por definici´on. 1W=
1J s
Algunas equivalencias: 1 caballo de vapor = 1 CV = 735 W. 1 caballo de fuerza = 1 HP = 746 W. 1 kilowatt = 1kW = 1000 W = 1, 34 CV. 1 kW−hora = 3,6 × 106 J.
Unidades en el SI: 3 F en Newton [N] 3 d en metros [m]
Eficiencia o rendimiento: Se define por:
3 ∴ W en Joules [J] Luego por definici´on: 1 J = 1 N.m
η= ´ POTENCIA MECANICA: Cantidad f´ısica escalar que se define como la rapidez con que se desarrolla trabajo mecanico: ´
P =
Pero:
En un MRU:
Potencia suministrada
La potencia util ´ tambi´en se le conoce como potencia de salida o potencia real o potencia practica. ´
W La potencia suministrada tambi´en se le conoce como potencia de entrada o potencia ideal o potencia absorbida o potencia te´orica.
t
W = Fd →
Potencia util ´
P =
Fd t
d = v = rapidez instantanea. ´ t
Potencia suministrada
=
Potencia Potencia + util ´ perdida
5
Práctica
Dirigida
8 El bloque de 20 N de peso es Problema 60 trasladado 10 m sobre la superficie horizontal bajo la acci´on de la fuerza F = 15 N. Si el coeficiente de rozamiento cin´etico entre el bloque y el piso es de 0,25; determine el trabajo neto realizado.
mk = 0,2
D
F 2m
F
C
53°
53° A) −25 J D) −5 J A) 30 J D) 35 J
B) 60 J
B) −125 J
C) −75 J E) −50 J
C) 70 J E) 75 J 12 Problema 60
9 Sobre un bloque que se encuenProblema 60
tra sobre una superficie horizontal rugosa, se ~ = (5x + 10)~i (F en Newaplica una fuerza F tons y x en metros). Determine el trabajo que realiza F desde x = 0 hasta x = 10 m.
A) 100 J D) 200 J
B) 350 J
C) 300 J E) 500 J
10 Una cuerda es utilizada para baProblema 60
jar verticalmente un bloque de 2 kg de masa una distancia de 4 m con una aceleraci´on constante de g/4. Determine el trabajo realizado por la cuerda sobre el bloque. (g = 10 m/s2 )
A) 60 J D) −15 J
B) 15 J
C) 30 J E) −60 J
´ halle el trabajo rea11 En el grafico Problema 60 lizado por la fuerza de rozamiento en el tramo CD, si el bloque de 11 kg sube a velocidad constante por acci´on de la fuerza “F ” horizontal. (g = 10 m/s2 )
Halle la eficiencia de una maquina, ´ si se sabe que pierde una potencia que es igual al 25 % de su potencia util. ´
A) 0,4 D) 0,7
B) 0,5
´ del 40 % de eficiencia 13 Una grua Problema 60 es alimentada por un motor el´ectrico del 90 % de eficiencia al cual se le conecta una fuente de 5 kW, la grua ´ levanta un peso de 500 N con rapidez constante “v”, determine “v”.
A) 3,0 m/s D) 4,8 m/s
B) 3,6 m/s
C) 5,0 m/s E) 4,0 m/s
14 Una esfera de 3 kg cae desde Problema 60 una altura de 10 m sobre la superficie terrestre con una velocidad constante de 2 m/s debido a la resistencia del aire. ¿Qu´e potencia desarrolla la resistencia del aire sobre la esfera? (g = 10 m/s2 )
A) 50 W D) 90 W
B) 60 W
33333333 6
C) 0,8 E) 0,6
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C) 110 W E) 70 W
Energía Mecánica
La energ´ıa mecanica ´ puede definirse como la capacidad que tienen los cuerpos para desarrollar trabajo mecanico. ´ As´ı como el trabajo mecanico, ´ la unidad de la energ´ıa en el S.I. es el Joule [J].
EP E =
1 Kx2 2
K: Constante elastica ´ del resorte [N/m], x: deformaci´on longitudinal [m]
Tipos: [1.] Energ´ıa cinetica: ´ Solo cuando el cuerpo tiene rapidez:
m
[4.] Energ´ıa mecanica: ´ Es la energ´ıa propiamente dicha, se define como: EM = E K + E P G + E P E
v
Principio de conservacion ´ de la energ´ıa mecanica: ´ La energ´ıa mecanica ´ de un sistema f´ısico no se pierde, solo se transforma.
1 mv 2 2
EK =
[1o ] Para un sistema conservativo:
m: masa [kg], v: rapidez instantanea ´ [m/s] EMo = EMf [2.] Energ´ıa potencial gravitatoria: Es debido al peso, solo existe cuando hay altura respecto a un nivel de referencia (N.R.) horizontal:
m
g
[2o ] Para un sistema no conservativo:
NR
W = ∆EM Donde: W es el trabajo realizado por la fuerza no conservativa.
EP G = mgh g: gravedad,
h: altura.
[3.] Energ´ıa potencial elastica: ´ Para materiales elasticos ´ (resortes por ejemplo), solo existe cuando hay deformaci´on:
K
EMo : energ´ıa mecanica ´ inicial. EMf : energ´ıa mecanica ´ final.
h
m: masa,
Donde:
K x F
La ultima ´ ecuaci´on se conoce como el teorema del trabajo y energ´ıa mecanica. ´ ∆EM es el cambio de la energ´ıa mecanica ´ que se define como: ∆EM = EMf − EMo En la ultima ´ ecuaci´on la resta se realiza en el orden estricto: “final − inicial”. Recuerde que el trabajo es positivo para fuerzas que tienen la misma direcci´on que el desplazamiento y es negativo para fuerzas con direcci´on opuesta al desplazamiento.
7
Práctica
15 En la figura, si la esfera impacta Problema 60
contra el piso con una rapidez de 3 m/s, ¿desde qu´e altura h fue lanzada? (g = 10 m/s2 )
Dirigida
12m/s
3kg
Rugoso
1 m/s A) 9,6 m D) 8,0 m
A
B) 12,0 m
C) 10,8 m E) 10,0 m
h B
A) 25 cm D) 40 cm
B) 50 cm
18 Desde la superficie horizontal Problema 60 rugosa (µk = 0,1) se lanza un bloque con vo = 6 m/s, al final del tramo rugoso se ubica una concavidad lisa. Halle la maxima ´ altura que alcanza el bloque. (g = 10 m/s2 )
C) 1 m E) 96 cm
vo 16 Si el sistema carece de fricci´on, Problema 60 desde qu´e altura h se debe soltar la esfera de 80 N de peso para que comprima al resorte 5 cm. Considere: K = 32 N/cm.
8m
A) 1,0 m D) 0,8 m
B) 0,5 m
C) 1,2 m E) 1,6 m
m 19 En la figura la rampa es lisa y Problema 60
h
K
la esfera se suelta en “A”, ¿Qu´e rapidez tiene en “B”, si en ese punto la esfera se desprende de la rampa? (R = 5 m ; g = 10 m/s2 )
A A) 50 cm D) 80 cm
B) 8 cm
B
C) 5 cm E) 10 cm
7R/4
R
17 Si la fuerza de rozamiento deProblema 60
sarrolla un trabajo de −20 J sobre el bloque por cada metro que avanza, halle la distancia que logra recorrer hasta detenerse.
8
√ A) 6 5 m/s D) 6,5 m/s
B) 7, 0 m/s
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C) 7, 5 m/s E) 5 m/s
20 El bloque de 2 kg es abandonado Problema 60 tal como se muestra, halle la maxima ´ rapidez del bloque, si el resorte liviano tiene constante K = 10 N/cm. (g = 10 m/s2 )
22 El tabl´on homog´eneo de 5 m de Problema 60 longitud se lanza horizontalmente con una rapidez vo e ingresa a la superficie rugosa como se muestra (µk = 0,5). Si solo logra ingresar hasta la mitad de su longitud, halle vo . (g = 10 m/s2 )
vo 19cm
Liso K
A) 0,5 m/s D) 0,8 m/s
B) 1,0 m/s
C) 1,6 m/s E) 2,0 m/s
Rugoso
√ A) 2, 5 2 m/s √ B) 2, 0 2 m/s √ C) 5 2 m/s D) 2, 5 m/s E) 2, 0 m/s
21 Una esfera de 2 kg se deja en Problema 60
Fuente: Lumbreras Editores & L−Editum
libertad como se muestra, calcule el m´odulo de la tensi´on maxima ´ en la cuerda, si la fuerza del viento es de 15 N. (g = 10 m/s2 )
v=0 Viento
A) 45 N D) 48 N
B) 20 N
C) 36 N E) 40 N
33333333
9
3 Clave de respuestas de la Semana 3:
1. Estatica: ´ 1. D 8. D
2. A 9. C
3. D 10. B
4. B 11. C
5. B 12. E
6. C 13. D
7. C 14. C
2. Dinamica ´ rectil´ınea: 15. C 19. D
10
16. E 20. C
17. C 21. C
18. D 22. B
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