ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN CAPÍTULO Nº 9 – FLEXIÓN COMPUESTA FLEX FLEXO O - CO COMP MPRE RESI SIÓN ÓN RECT RECTA A: CO CON N EXCE EXCENT NTRI RICI CIDA DAD D EN UN SOLO SOLO PLANO PRINCIPAL. En edificios y otras estructuras resulta muy inusual que se presenten elementos cargados axialmente, es decir, sometidos a compresión simple. Las columnas soportan soportan fundamentalmente fundamentalmente cargas cargas a compresión compresión pero casi siempre siempre está presente una flexión simultánea. Los momentos f1ectores se producen por continuidad cuando las columnas son partes de pórticos monolíticos, bajo condiciones de cargas horiontales como fueras de !iento, frente a cargas aplicadas aplicadas en forma exc"ntrica en m"nsulas de columnas.
#$n cuando los cálculos de dise%o demuestren que un elemento está cargado axialmente, axialmente, las imperfecciones ine!itables de la construcción causarán excentricidades y la consecuente flexión en el elemento construido. &or esta raón, los elementos que deben dise%arse para compresión y f1exión simultáneas son muy frecuentes en casi todos los tipos de estructuras de hormigón.
9.1.1 MÉTODO GENERAL DE RESOLUCIÓN Y DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN 'n m"todo general para el cálculo de armaduras y la !erificación de secciones de hormigón armado sometida a solicitaciones combinadas de esfueros axiales y flexión consiste en la resolución de todos los posibles casos que se pueden plantear con la construcción de un gráfico o diagrama de interacción de resistencia que define la carga y el momento de falla para una determinada columna en el inter!alo completo de excentricidades excentricidades desde cero hasta infinito. En el caso de secciones bajo flexión recta, es decir, con excentricidad en un solo plano principal, existen dos !ariables independientes( independientes( 1 ) La profundidad del eje neutro *c*. + La armadura total de la sección( -#st* Las hipótesis de cálculo de secciones de hormigón armado en estado límite $ltimo son( 1 onser!ación de las secciones planas. + #dherencia perfecta entre hormigón y acero. / 0esistencia a tracción de hormigón nula. 1
igura 2.1. 0esolución general de una sección de 34 #4 En la igura 2.1. se representa una sección arbitraria de geometría, cantidad y disposición de armadura, y resistencia de materiales conocidas. 5e procede a construir el diagrama de interacción con la siguiente metodología( 16 5e propone un eje arbitrario de referencia por ejemplo el eje que pasa por el borde inferior de la sección. +6 5e define un plano de deformación de rotura( ξcu o la profundidad del eje neutro( c 7 '. La deformación $ltima del hormigón a compresión que se alcana en rotura es siempre del / ‰ ya que no se limita la deformación en tracción del acero. /6 onocida la profundidad del eje neutro queda determinado el !olumen de compresión del hormigón. 86 9ntegrando el !olumen de compresión se puede obtener la fuera de compresión( P nc que resiste el hormigón y su posición respecto al eje de referencia( dci. &or ejemplo este cálculo, se puede realiar num"ricamente di!idiendo la sección en fajas de altura ∆di y ancho bi. En fórmulas( P nc M nc
N
= ∑ bi.∆d i. f c i N
= ∑ bi.∆d i. f ci.d ci i
:6 ;ediante el plano de deformaciones es posible conocer mediante la relación constituti!a del acero, la tensión en cada una de las posiciones de las armaduras de la sección, y obtener los esfueros resistentes de la armadura. En fórmulas( Ecuación constituti!a del acero( f s = E s.ξ s ξ s ≤ ξ y &ara f s = f y ξ s > ξ y &ara s
M
sj P n = ∑ A sj. f j
+
s M n
M
= ∑ A sj. f sj.d sj j
<6 0ealiando la suma de los esfueros internos resistentes del hormigón y el acero, se encuentra el par de solicitaciones resistentes nominales de una sección de hormigón armado para un plano de rotura dado. P n = P nc + P n s M n = M nc + M sn
5istematiando el cálculo num"rico mediante un programa se pueden encontrar los esfueros resistentes &n, ;n para diferentes profundidades del eje neutro c = con = 7 1,+,...., > que cubren un n$mero suficiente de planos de rotura que permiten construir el Di!"# $% i&'%"((i)& $% "%*i*'%&(i. &ara un plano de rotura dado es posible encontrar un par de !alores &n ;n que satisface las ecuaciones de equilibrio entre fueras internas y externas, y con !arios planos de rotura se puede construir un ?iagrama de interacción de resistencia que define la carga y el momento de rotura para una determinada columna en el inter!alo completo de excentricidades desde cero hasta el infinito. La forma del diagrama de interacción se muestra en la igura 2.+. la cur!a representa las infinitas combinaciones de ;n y &n que definen estados de rotura de la sección.
igura 2.+ ?iagrama de interacción para la resistencia nominal de una columna 9.1.+ PROPIEDADES DEL DIAGRAMA DE INTERACCIÓN
1, EL DIAGRAMA ES CERRADO: >otar que hasta el momento, se presupuso mayor compresión en las fibras superiores que en las inferiores. 5e puede repetir todo lo calculado pero comprimiendo más las fibras inferiores. Esto lle!a a obtener *la otra mitad del diagrama*. &or lógica el diagrama es cerrado. /
igura 2./
+, PROPIEDAD DE ADITIIDAD: El n$cleo rayado del diagrama de interacción representa la ona donde la sección resiste sin armadura alguna, El esfuero de compresión cae dentro del n$cleo central de inercia y no pro!oca ninguna tracción. &ara una determinada distribución de armadura, a medida que esta aumenta aparecen nue!os diagramas que se superponen como las *cáscaras de una cebolla*, la *distancia* entre estas *capas* es proporcional a la armadura, de allí la propiedad de aditi!idad !ectorial, en efecto el !ector *resistencia* @&n ;n6 es la suma de los !ectores resistentes de hormigón @ P nc M nc 6 y acero @ P ns M ns 6
8
igura 2.8
, CONEXIDAD: La cur!a &n ;n es con!exa. Esto significa que ning$n punto perteneciente al segmento que une dos estados $ltimos( @&n # . ;n #6 y @&nA . ;nA6 , para una determinada cantidad total de acero( #s, queda afuera del diagrama. onclusión &ráctica( es una poligonal inscripta que queda del lado de la seguridad
igura 2.:
/, PROPIEDAD MEC0NICA: ijadas( 1 La geometría de la sección. + ?isposición de armaduras. / &ropiedades de los materiales. Entonces existe un $nico diagrama &n ;n para esa sección. :
9.1. SECCIÓN RECTANGULAR SOMETIDA A FLEXIÓN COMPUESTA La igura 2.< representa una sección rectangular solicitada por una fuera de compresión( &n con una excentricidad( -e* medida respecto al eje geom"trico de referencia de la sección que se adopta a media altura de la misma( hB+. La distribución de deformaciones unitarias en la sección correspondiente a un estado de rotura se ilustra en la igura 2.
igura 2.<. 5ección de hormigón armado sometida a flexión compuesta Las tensiones y fueras resultantes se dan en las igura 2.
f Cc ≤ /E Mpa.
&ara
f Cc > /EMpa.
β 1 = E,F:
β = E,F: − 1
E,E:.@ f Cc − /E MPa.6 G
≥ E,<:
<
Hran cantidad de ensayos sobre columnas de !ariadas formas demuestran que las resistencias $ltimas calculadas sobre la base de lo anterior coinciden satisfactoriamente con los resultados experimentales.
9.1./ ECUACIONES DE EUILI2RIO El equilibrio entre las fueras axiales internas y externas, seg$n se deduce de la igura 2.
Ecuación 2.1
Iambi"n el momento de las fueras internas con respecto al baricentro de la sección debe ser igual y opuesto al momento de la fuera externa ;n, de manera que( ;n( momento externo o solicitación resistente nominal. M n = P n.e = E,F:. f Cc.a.b.@
h
+
−
a
+
6 + AC s. f C s.@
h
+
− d C6 + A s. f s.@ d −
h
+
6
Ecuación 2.+
Las ecuaciones @2.16 J @2.+6 son las dos ecuaciones básicas de equilibrio para elementos rectangulares sometidos a compresión exc"ntrica o f1exión compuesta recta. &ara un plano de rotura dado es posible encontrar un par de !alores &n ;n que satisface las ecuaciones @2.16 y @2+6. 9gualmente pueden plantearse expresiones para peque%a excentricidad. lexión compuesta recta( es decir, con excentricidad en un solo plano principal.
9.1.3 02ACOS DE INTERACCIÓN GENERALI4ADOS ?e todo lo expuesto se deduce que para una sección de hormigón con armaduras de tracción y compresión dadas, y resistencia especificada del hormigón( fCc y acero( fs, existe un diagrama de interacción para esa sección, que representa todos los pares de !alores &n ;n que resiste la sección, desde compresión simple( &o a tracción pura( Io, pasando por todos los estados intermedios de flexión combinada con esfuero axial En la práctica, se utilian diagramas de interacción generaliados, que corresponden a una determinada forma de la sección, por ejemplo rectangular o circular, con una configuración o distribución de armadura típica, un tipo de resistencia especificada del hormigón( fCc y resistencia del acero( fs y un recubrimiento dado, medido a tra!"s de un parámetro γ = d C= r + φ est . +
h − +.d C h
= E,2
φ long . +
Kue significa que la distancia entre barras es el 2 de la altura total de la sección( h. 0esultan prácticos los diagramas generaliados de interacción, !álidos para cualquier tama%o de sección y para !arias cuantías de armadura. φ . P n e φ . M n O Mpa.N m( Eje de #bscisas( ;omento flector reducido( A g . h = A g .h n( Eje de Mrdenadas( Esfuero normal reducido(
φ . P n A g
O Mpa.N
G
on n y m se obtiene ρg, del ?iagrama de 9nteracción Heneraliada ur!as de resistencia de igual cuantía(
FL ≥ ρ g =
A st A g
≥ 1L
igura 2 ) G. ?iagrama de interacción generaliada para sección rectangular
F
igura 2 ) F. ?iagrama de interacción generaliada para sección circular orte horiontal para columnas muy comprimidas( α .φ . P o ( ;áxima carga de dise%o, para peque%as excentricidades α = E,FE α = E,F:
�# ML';>#5 59;&LE5. �# ML';>#5 P'>3#?#5.
2
S% $%*'( 56% %7 #8#%&'8 7%('8" %*6%";8 &8"#7 "%$6(i$8* # & #5 59;&LE5. �# ML';>#5 P'>3#?#5.
φ = E,<: φ = E,GE
El punto de corte horiontal α. Φ. &n representa la carga de dise%o máxima estipulada por 905M +1 para peque%as excentricidades de acuerdo a la ecuación F.+, con α 7 ,F para columnas simples o α 7 ,F: para columnas unchadas. &d( 0esistencia de dise%o $til. &n( 0esistencia $ltima nominal, real de la sección &ara columna simple( y. Ast N P d = E,FE.φ .OE.F:. f Cc.@ A g − A st 6 + f
→
P d = E,FE .φ .P n
@F.+a6
→
P d = E,F: .φ .P n
@F.+b6
&ara columna unchada( P d = E,F:.φ .OE,F:. f Cc.@ A g − A st 6 + f y. Ast N
inalmente, la resistencia de dise%o de columnas es( ML';># 59;&LE @F./a6.
P d = E,:+.P n
ML';># P'>3#?# @F./b6.
P d = E,:2:.P n
9.1.> PROCEDIMIENTO DE C0LCULO MEDIANTE LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN El dise%o de columnas se basa en el estado de cargas mayoradas( ', para el cual la resistencia requerida( &u o ;u no debe exceder la resistencia de dise%o( Φ. &n o Φ. ;n. φ . P n
≥
P u
0E595IE>9# 9>IE0># >M;9>#L ≥ 5ML99I#9Q> ?E ?95ERM φ . M n ≥ M u
0E595IE>9# ?95&M>9ALE ≥ 0E595IE>9# 0EK'E09?# uando un elemento está sometido a una compresión axial & combinada con flexión, es con!eniente reemplaar la carga axial y el momento por una carga equi!alente de igual magnitud & aplicada con una excentricidad( e = M . P
1
El procedimiento de cálculo consiste en los siguientes pasos( 16 5e calculan las cargas mayoradas( &u, ;u. +6 5e calcula la excentricidad de la carga( e =
M u P u
.
@5e puede saltar este paso6.
/6 5e calculan los esfueros o cargas generaliadas( n=
m
φ . P n
=
A g
=
P u
O Mpa.N
A g
φ . P n e . A g h
=
M u A g .h
O Mpa.N
86 5e determina la cuantía geom"trica de armadura del ábaco de interacción y la armadura total resulta( A st = ρ g . A g
Kue debe ser distribuida de acuerdo a la disposición indicada en el diagrama usado.
9.+ FLEXIÓN COMPUESTA 2IAXIAL O FLEXO – COMPRESIÓN O2LICUA La. lexión compuesta biaxial corresponde al caso de esfuero axial acompa%ado por flexión simultánea respecto a los ejes principales de la sección. Este es el caso, por ejemplo, de columnas esquineras de edificios. En la. igura 2.2 se ilustra la superficie de falla de secciones cargadas biaxialmente, donde todos los puntos de falla &n, ;nx, ;ny generan una superficie con forma de trompo in!ertido en el espacio. 5e puede obser!ar en la figura que si cortamos con un plano !ertical se obtiene una cur!a de falla análoga al caso de carga axial y f1exión uniaxial, y si cortamos con un plano horiontal se obtiene una cur!a de falla para carga axial constante. ualquier punto que caiga dentro o sobre la superficie de falla es seguro, pero otro punto que est" fuera de la superficie indicaría la insuficiencia de la sección para soportar ese estado de carga.
11
1+
igura 2.2. ?iagrama de interacción para compresión y flexión biaxial o 5uperficies de fallas ) Esquema tridimensional
9.+.1 MÉTODO DEL CONTORNO DE CARGA &ara el cálculo de una sección sometida a f1exión compuesta biaxial se puede utiliar el m"todo del contorno de carga, mediante una familia de cur!as de falla correspondientes a !alores constantes de &n. La forma general de estas cur!as puede aproximarse mediante una ecuación de interacción adimensional( @
M nx
M nxo
6α 1 + @
M ny
M nyo
6α + = 1,E
?onde( M ny = P n.e x M nyo = M ny
→ M nx = E
uando ey 7 , es decir, flexión recta en el eje J, con excentricidad en ex ) aso a
M ny = E
uando ex 7 , es decir, flexión recta en el eje S, con excentricidad en ey ) aso b
M nx = P n.e y
M nxo = M nx
→
Los exponentes α1 y α2 dependen( 1 ) ?e la forma de la columna. + ) ?e la cuantía( ρ g . / ) ?isposición de la armadura. 8 ) aracterísticas del acero ( f y. : ) aracterísticas del hormigón ( f Cc.
1/
La introducción de los coeficientes de reducción no presenta problemas, se aplican los coeficientes apropiados a &n. ;nx, ;ny y se define una nue!a superficie de falla, similar a la original pero dentro de "sta. La ecuación de interacción se reduce a( @
φ . M nx α φ . M ny α 6 +@ 6 = 1,E φ . M nxo φ . M nyo
En la práctica, los coeficientes de reducción se cancelan y en general se adopta α 7 1, a fa!or de la seguridad por aquella propiedad de con!exidad de los diagramas, con lo cual la ecuación de interacción se transforma en una ecuación lineal. 5e !erifica que la ecuación anterior resulta( 1 ) Es ≤ 1, significa que el dise%o es seguro. + ) Es T 1, la sección falla y hay que redise%ar la sección. En la figura 2.1 se muestra el contorno de interacción para !alores constantes de &n y !ariables de α.
igura 2.1. ontorno de interacción para !alores constantes de &n
9. DISPOSICIONES DE SEGURIDAD DEL CIRSOC +?1 En las columnas, al igual que para todos los demás elementos dise%ados de acuerdo con el 905M +1, se establecen apropiados márgenes de seguridad mediante la aplicación de coeficientes de mayoración de las cargas de ser!icio y de coeficientes de reducción de resistencia a las capacidades resistentes $ltimas nominales. ?e esta forma, para columnas φ .@ P nU M n6 ≥ @ P uU M u 6 φ . P n
≥
E> LES9Q> M;&'E5I#.
P u
E> M;&0E>59Q> E>I0#?#.
P n (0esistencia nominal $ltima. P u (Esfuero axial $ltimo o 5olicitación de dise%o.
&ara elementos sometidos a compresión más flexión, el 905M establece coeficientes de reducción básicos( φ = E,<:
�# ML';>#5 M> E5I09AM5 I0#>5VE05#LE5 59;&LE5. 18
φ = E,GE
�# ML';>#5 P'>3#?#5 M> E5&90#L.
P d ( 0esistencia de dise%o
=
φ . Pn
Los efectos de las disposiciones de seguridad del 905M son los de la igura 2.11. La cur!a continua marcada con *resistencia nominal*( &n es la misma de la igura 2.+ y representa la capacidad real de carga, tan precisa como sea posible predecirla. La cur!a sua!e que aparece parcialmente punteada, luego continua, representa la resistencia de dise%o básica( &d obtenida mediante la reducción de las resistencias nominales &n y ;n para cada plano de rotura, con φ = E,<: para columnas simples y φ = E,GE para columnas reforadas con espiral. El punto de corte horiontal en a α .φ . P o representa la carga de dise%o máxima estipulada por el 905M +1 para peque%as excentricidades, es decir, para columnas predominantemente comprimidas. En el otro extremo, para excentricidades grandes, es decir, peque%as cargas axiales con flexión o flexión pura, se permite una transición lineal de Φ desde .<: ó .G aplicable al menor !alor entre φ . P b ó E,1E. f Cc. A s , hasta .2 en P = E.
?iagrama de interacción de resistencia de una columna.
1:
igura 2.11. ?isposiciones de seguridad del 905M +1 para columnas o ?iagrama de 9nteracción de resistencia de una columna.
2I2LIOGRAFÍA 1 ) #punte de la cátedra de 3ormigón #rmado y &retensado ) 'ni!ersidad >acional de órdoba + ) 3ormigón #rmado ) Mscar ;Wller / 0eglamento #rgentino de Estructuras de 3ormigón 905M +1 8 Ejemplos de aplicación del reglamento #rgentino de Estructuras de 3ormigón para edificios 905M +1.
1<
