FLEXION DE PLACAS PLANAS En ingeniería estructural, estructural, las placas y las láminas son elementos estructurales que geométricamente se pueden aproximar por una superficie bidimensional y que trabajan predominantemente a flexión. Estructuralmente la diferencia entre placas y láminas está en la curvatura. curvatura. Las placas son elementos cuya superficie media es plana, mientras que las láminas son superficies curvadas en el espacio tridimensional (como lás cúpulas, cúpulas, las conchas o las paredes de depósitos). Constructivamente son sólidos deformables deformables en los que existe una superficie media (que es la que se considera aproxima a la placa o lámina), a la que se añade un cierto espesor constante por encima y por debajo del plano medio. El hecho de que este espesor es pequeño comparado con las dimensiones de la lámina y a su vez pequeño comparado con los radios de curvatura de la superficie, es lo que permite reducir el cálculo de placas y láminas reales a elementos idealizados bidimensionales. bidimensionales. Las placas son estructuras continuas, formadas por un dominio material plano, de espesor constante o variable h mucho menor que las dimensiones transversales del dominio, y sobre el que actúan unas cargas exteriores que pueden ser fuerzas perpendiculares al plano de la placa, o bien momentos contenidos en dicho plano Estas cargas son absorbidas por el sólido por medio de un efecto de flexión y deformación transversal. En sentido estricto, no se consideran en la flexión de placas las fuerzas contenidas en el plano de la placa, las cuales harían trabajar al material en su plano, y por lo tanto su tratamiento corresponde a un problema de elasticidad en dos dimensiones, ya estudiado.
En los problemas de elasticidad estudiados hasta ahora no se ha introducido ninguna
simplificación relativa al estado de deformaciones unitarias ε del sólido: éste es introducido de forma exacta en la formulación, y únicamente se introduce la hipótesis de discretización del campo de desplazamientos, inherente al MEF. Sin embargo en la teoría de flexión de placas se introducen ciertas hipótesis para simplificar el problema, y reducirlo a dos dimensiones. Estas simplificaciones son: • Las tensiones en la dirección perpendicular a la placa son nulas, es decir σz=0. Esto sólo ocurre si el espesor es muy pequeño frente a las dimensiones transversales de la placa. • Las secciones rectas perpendiculares al plano medio de la placa permanecen rectas durante la deformación, aunque no siempre se supone que siguen siendo perpendiculares al plano medio. Más adelante se estudiarán ambas situaciones. En el planteamiento por el método de los elementos finitos, estas dos hipótesis se siguen manteniendo, por lo que las soluciones que se obtengan serán exactas en la medida que se cumplan dichas hipótesis. 7.2. TEORÍA CLÁSICA DE FLEXIÓN DE PLACAS La teoría clásica de flexión de placas se basa en la suposición de que las secciones rectas perpendiculares al plano medio de la placa permanecen rectas y perpendiculares a dicho plano medio en el estado deformado de la placa. La teoría completa de la flexión de placas usando esta hipótesis fue enunciada por G. R. Kirchhoff en 1850, aunque deben mencionarse asimismo otros trabajos previos como los de Sophie Germain (1816), Navier (1823), Lagrange (1828) o Poisson (1829). Como consecuencia de la hipótesis de deformación efectuada, el giro que sufre una sección recta perpendicular al plano medio de la placa es igual a la pendiente de dicho plano medio. Con el sistema de ejes adoptado, esto implica las siguientes relaciones entre los dos giros de la sección recta y las derivadas parciales de la flecha w
En consecuencia, la deformación de la placa queda perfectamente definida conociendo únicamente el valor de la deformación w en dirección z transversal a ella, que es una función w(x,y). Como se verá más adelante, esta suposición respecto a la deformación equivale a despreciar la deformación de cortadura que existe transversalmente en la placa y por lo tanto a despreciar la energía debida al esfuerzo cortante. Este planteamiento es únicamente válido cuando el espesor de la placa es muy pequeño, de tal manera que
realmente pueda despreciarse la energía debida a las deformaciones de cortadura. Este planteamiento se corresponde con la teoría clásica de flexión de vigas, pues de hecho la hipótesis de deformación efectuada se corresponde con la hipótesis de Navier.
Estado de deformación
Un punto situado en el plano medio de la placa (z=0), sólo tiene una deformación transversal w en dirección z. Sin embargo, los puntos que están fuera del plano medio sufren además deformaciones laterales u, v en las direcciones x, y, que son debidas al giro de la normal a la placa
Para un punto cualkiera P, situado a una distancia z del plano medio las deformaciones son
En base a la hipótesis de Kirchhoff los giros de la sección recta son iguales a las derivadas de la flecha w, respecto a x e y. Por lo tanto las deformaciones u, v del punto P son:
Deformaciones unitarias Las deformaciones unitarias en el punto P son:
Se observa que no dirección vertical, deformación que se ha las derivadas de la unitarias no nulas espesor de la placa, vector:
aparecen distorsiones de cortante en como consecuencia de la hipótesis de efectuado de que los giros coinciden con flecha. Las tres únicas deformaciones tienen una distribución lineal en el y se pueden poner agrupadas en forma de
En esta expresión se ha definido el vector de curvaturas b, habitual en la teoría de
placas, que contiene las tres derivadas parciales segundas de la superficie deformada de la placa. Este vector de curvaturas no depende de z, sino sólo de la posición en la superficie media de la placa. Para los desarrollos posteriores conviene poner la expresión anterior en la forma siguiente:
donde se identifica al operador 2.
∂
que en este caso es de orden
