FLEXIÓN EN UNA VIGA Bayron Arce Rojas cód.0844031
Oswaldo A. Ulloa G, cód.0944214
R esumensumenUna vig vi g a como como elemento lemento estructur str uctural al es es de vital vi tal imp importanci ortancia a en en la constituci consti tución ón de de muchos muchos siste sistemas mecánico cánicoss el ensa nsayo de flexi flexió ón nos nos permite rmite conoce nocerr el el com comportam rtamient iento de este ste tipo de eleme lementos ntos con una car car ga puntual, puntual, el ensayo ensayo consi consiste ste en construi r una ser ser i e de de gráfi gr áficas cas para para compa comparr ar la l a defor deforma maci ción ón con con la carg carg a apli aplicad cada a y a la vez vez comp compar arar ar los l os esf esfuer uerzo zoss gene g enerr ados ados en en la viga vig a por por estas estas car car gas.
INTRODUCCION Las cargas que frecuentemente actúan sobre
Figura 1
una estructura, generan flexión y deformación de
los
elementos
constituyen.
La
estructurales flexión
del
que
la
elemento
denominado viga, es el resultado de la deformación causada por los esfuerzos de flexión debida a la carga externa esta prueba pretende
determinar determinar
el
comportamiento comportamiento
mecánico de una viga en flexión pura
MARCO TEÓRICO Las deformaciones unitarias longitudinales en una viga se encuentran analizando la curvatura de la viga y las deformaciones asociadas. Para este fin, considere la porción AB de una viga en flexión pura sometida a momentos flexionates positivas M (Figura 1a) Suponiendo que la viga tiene inicialmente un eje longitudinal recto (el eje x en la figura) y que su sección transversal es simétrica respecto al eje y como se muestra en la figura ab. Debido a la acción de momentos flexionantes, la viga se flexiona en el plano xy (plano de flexión) y su eje longitudinal adopta la forma de una curva circular (curva ss en la 1c). La
viga se flexiona con la concavidad hacia arriba, que corresponde a una curvatura positiva Las secciones transversales de la viga, como las secciones mn y pq en La figura 1a, permanecen permanecen planas y normales al eje longitudinal (figura 1c). El hecho de que las secciones transversales de una viga en flexión pura permanezcan permanezcan planas es tan fundamental fundamental para la teoría de vigas que a menudo se considera como una hipótesis; sin embargo, podríamos llamarlo también un teorema, teorema, porque puede demostrarse de manera rigurosa asando sólo argumentos racionales basados en la simetría (Ref. 5-1). El punto básico es que la simetría de la viga y su carga (figuras 5-7a y b) significa que todos los elementos de la viga (como el elemento mpqn) deben deformarse de manera idéntica, lo que es posible sólo si las secciones transversales transversales permanecen permanecen planas planas durante la flexión. Debido a las deformaciones por flexión mostradas en la figura1 c. las secciones transversales mn y pq giran respecto de sí mismas sobre ejes perpendiculares al plano xy, Las líneas longitudinales sobre la parte inferior de la viga se alargan, mientras que las de la parte superior se acortan. Así, la parte inferior de la viga está en tensión y la superior en compresión. En alguna región entre la parte superior e inferior de la viga existe una superficie en la que las líneas longitudinales no cambian de longitud Esta superficie, indicada por la línea segmentada ss en las figuras 1a y 1c, se llama superficie neutra de la viga. Su intersección con cualquier plano transversal se llama eje neutro de la sección transversal; por ejemplo, el eje z es el eje neutro de la sección transversal en la figura 1b. El eje neutro pasa siempre por el centro de gravedad de la sección. Por tanto, el momento de Inercia I que aparece en la ecuación de esfuerzo normal es el momento de inercia de la sección respecto a un eje por el centro de gravedad. Como los elementos longitudinales de una viga están sometidos sólo a tensión o a compresión, se puede usar ahora la curva esfuerzo-deformación unitaria del material
para determinar determinar los esfuerzos a partir de las deformaciones unitarias. Los esfuerzos actúan sobre toda la sección transversal de la viga varían de intensidad dependiendo de la forma del diagrama esfuerzo-deformación unitaria y de las dimensiones de la sección transversal. Puesto que la dirección x es longitudinal (figura 1). Usamos el símbolo , para denotar esos esfuerzos. ’
La relación esfuerzo-deformación unitaria que se encuentra con más frecuencia en ingeniería es la ecuación para un material elástico lineal. Para tales materiales, se tiene la ley de Hooke la ley de Hooke para esfuerzo uniaxial en la ecuación 1.
=
ec. 1
Donde E es el módulo de elasticidad, es la deformación del material, el esfuerzo normal, p el p el radio de curvatura y y la y la distacia desde el eje neutro a cualquier punto del material tal como se muestra en la figura 2 Figura 2
Ahora relacionando la curvatura con el radio de curvatura en la ecuación 2 así:
ec. 2
Se puede obtener la ecuación 3 combinando las ecuaciones 1 y 2 de la siguiente manera
ec. 3
Donde I es el momento de inercia
LISTA DE EQUIPOS Y MATERIALES
Viga de acero 1020 Pesas y portapesas Sistema de empotramiento Galga extensiométrica Indicador de deformaciones
PROCEDIMIENTO El montaje inicial consiste en empotrar la viga de acero en el sistema de empotramiento, posteriormente posteriormente se configuran las galgas en cuarto de puente y medio puente, se conectan las galgas según el diagrama correspondiente en el indicador de deformación primero en cuarto de puente, se toman los datos iniciales del montaje, es decir, el módulo de elasticidad, el factor de galga (GF), la medida de la base , la medida de la altura y la distancia (x) entre la galga extensiométrica y el punto de aplicación de la carga, estos datos son depositados en la Tabla 1.Despues de balancear el circuito en cero se aumenta gradualmente el peso 100 gr en el porta pesas hasta llegar a un peso total 1000 gr, las lecturas de deformación se depositan en la Tabla No. 2. Para proceder a tomar las mediciones en medio puente se reconfigura el indicador de deformación y se toman las lecturas nuevamente correspondientes a las deformaciones. Una vez medida las dimensiones de la viga y la posición de las galgas se procede a realizar los cálculos de esfuerzo tanto analíticamente como empíricamente.
DATOS Y MEDICIONES Tabla 1.Datos generales de la viga Módulo de Elasticidad , 200 E (MPa) Factor de galga GF 1.3 Para cuarto de puente Factor de galga GF 2.05 Para medio puente 28.5 Base, b (± 0.05mm) Altura, h (± 3 0.05mm) Distancia cuarto de puente, X1 (± 80 0.5mm) Distancia medio puente, X2 (± 100 0.5mm) Tabla 2. Datos de deformación.
Masa (gr) 0 100 200 300 400 500 600 700 750 800 1000
Cuarto de puente Deformación (±1mm/mm) 0 10 20 30 40 50 60 69 75 79 99
Medio puente Deformación (±1mm/mm) 0 17 33 48 65 81 96 113 120 128 161
Con ayuda de la siguiente ecuación (ec.4) se corrigió los datos obtenidos de las mediciones
de deformación y se depositaron depositaro n en la Tabla
Luego con la ecuacion 1 y 2 se calcularon los
3
esfuerzos construyola construyol a tabla 4 y las
( )
graficas de esfuerzo experimental ( ) contra
ec.4
el peso (W) Figura 4 y la grafica de esfuerzo
Donde es la deformación corregida, es la deformación medida, es la deformación inicial en el estado inicial, en este caso equivale a cero
ya que se configuro el
indicador de deformación en cero al inicio del
anlaitico ( ) contra contra la caraga ( W ) Figura 5
Tabla 4.Datos de Esfuerzo experimental y analitico W (N)
ensayo.
Tabla 3. Datos de deformación corregidos
Masa (gr) 0 100 200
0 0,98 1,96 2,94
Cuarto de puente
Medio Puente
‘
Cuarto de Puente
Medio Puente
0
0
0
0
3077
3317
1836
2295
6154
6439
3672
4589
9231
9366
5507
6884
3,92 4,91
12308
12683
7343
9179
15385
15805
9179
11474
5,89 6,87 7,36 7,85 9,81
18462
18732
11015
13768
21231
22049
12851
16063
23077
23415
13768
17211
24308
24976
14686
18358
30462
31415
18358
22947
Cuarto de puente Deformación (±1mm/mm) 0 9
Medio puente Deformación (±1mm/mm) 0 17
19
33
28
48
38
65
47
81
57
96
65
113
71
120
Al comparar la pendiente de las graficas de
75
128
las figuras 4 y 5 para cada caso se determino
94
161
el error relativo, primero para el caso de
300 400 500 600 700 750 800 1000
cuarto de puente se encontro un porcentaje de Con base en el peso W que se obtuvo con el
error así
producto de la masa y la aceleración aceleración se construyó la figura 3, la cual se asemeja una línea recta, que mínimos
a través del método de
cuadrados
se
=65.87%
determinó las ecuaciones de las rectas de Vs W para
puente se determino el error relativo relativo tal tal como
cuarto y medio respectivamente puente como
se meuestra a continuación
De la misma forma para el caso de medio
se muestra a continuación
=36.03%
Figura 3.Grafica Deformación contra Carga 180 160 ' 140 n ó120 c a100 m r o f 80 e D 60
Deformación Corregida Cuarto de Puente Deformación Corregida Medio Puente
40 20 0 0
2
4
6
8
10
12
Peso W (N)
Figura 4. Grafica Esfuerzo Experimental contra Carga 35000 30000
) a p 25000 M ( ′ 20000
' = 3182,1 w+ 108,15 ' = 3103,9 w + 71,786
o15000 z r e u10000 f s E
Esfuerzo Experimental Cuarto de puente Esfuerzo Experimental Medio Puente
5000
0 0
2
4
6
8
10
12
Peso W (N)
Figura 5. Grafica Esfuerzo Analítico contra Carga 25000 ) 20000 a p M ( 15000
= 2339,2w
= 1871,3 w
o z r 10000 e u f s E
Esfuerzo Teórico Cuarto de Puente Esfuerzo Teórico Medio Puente
5000 0 0
2
4
6
Peso W (N)
8
10
12
DISCUSIÓN DE RESULTADOS
3.
R.
L.
Norton. Diseño
Máquinas. Máquinas. 4ed. 2011. Visto que el error relativo es un error muy grande para ambos casos es de esperar que exista
una
inconsistencia
en
los
datos
generales de viga, ya sea el módulo de elasticidad del material (E) o los factores de galga (GF), sin embargo se puede apreciar una linealidad
entre
la
relación
de
carga
deformación, y entre los diferentes esfuerzos lo que demuestra que el material se encuentra en deformación elástica, ya que las cargas a las que fue sometido el material no causaron una deformación permanente era de esperar que el arreglo en cuarto de puente fuera más confiable que el arreglo de medio puente pero dadas
las
circunstancias
no
se
puede
comprobar esta hipótesis.
CONCLUSIONES
Las cargas aplicadas proporcionales a los
esfuerzos
y
deformaciones
encontrados experimentalmente
Debido datos
a las inconsistencias inconsistenci as en los iniciales
no
es
posible
determinar la confiabilidad de los esfuerzos
determinados
experimentalmente a través de la medición de deformaciones.
BIBLIOGRAFÍA 1.
F. P. Beer y E. R. Johnston. Mechanics of Materials. Materials. 2a ed. 1992.
2.
I. H. Shames. Introduction to Solid Mechanics. 1989.
de
