Flexion Resistencia Teoria Formulas

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Santa Fe

Ing. CIVIL TEORÍA FLEXIÓN

máx

+

Profesor:

Ing. Hugo Tosone Ayudante de T P :

Ing. Alejandro Carrere Agosto de 2008

Universidad Tecnológica Nacional

ESTABILIDAD

Facultad Regional Santa Fe

Ing. ELÉCTRICA TEORÍA FLEXIÓN P

máx

+

Profesor:

Ing. Hugo Tosone Ayudante de T P :

Ing. Federico Cavalieri Agosto de 2008

ESTABILIDAD - RESISTENCIA DE MATERIALES

FLEXIÓN SIMPLE NORMAL Y OBLÍCUA

FLEXION Introducción. Desarrollo histórico de la teoría de la flexión. Conceptos generales. Denomina ciones usuales. Flexión simple. Flexión simple normal. Flexión simple oblicua. Flexión pura. Hipótesis admitidas. Determinación de las tensiones normales. Fórmula de Na vier. Módulo resistente a flexión. Dimensionado. Verificación. Capacidad de carga. Formas convenientes en el diseño . Materiales con diferentes resistencias a tracción y compresión. Materiales con igual resistencia a tracción y compresión. Verificación de secciones. Determinación de la capacidad de carga. Formas más convenientes para la sección. Recomendaciones para el diseño de la sección Flexión transversal (flexión con corte). Tensiones tangenciales en los planos longitudinales, teoría de Jouravski. Consideraciones previas. Análisis. Fórmula de Jouravski. Tensiones tangenciales en la sección, fórmula de Colignon. Significado de cada factor en la fórmula de Jouravski ó Colignon. Tensiones tangenciales para sección rectangular. Otras formas de sección. Tensiones tzx. Secciones simétricas de contorno curvilíneo. Tensiones tangenciales en la sección circular. Tensiones de corte en la sección “doble te”. Tensiones en el alma. Tensiones en las alas. Centro de corte . Perfiles que no poseen simetría . Viga de materiales diferentes. Hipótesis. Cálculo de tensiones. Vigas de hormigón y acero. Vigas de sección variable. Viga de altura “h” uniforme y ancho variable. Viga de altura variable y ancho uniforme. Modificación del extremo por tensiones de corte . Vigas compuestas o armadas. Vigas compuestas de resistencia uniforme. Tensiones principales en la flexión transversal. Líneas isostáticas. Criterios para el verificación y dimensionado en flexión transversal. Flexión oblicua. Metodología de resolución. Posición de la línea neutra. Tensiones máximas. Sección con doble simetría con los cuatro vértices coincidiendo con los de un rectángulo . Secciones sin simetría o no inscriptas en el rectángulo . Dimensionado de vigas en flexión oblicua. Secciones cualesquiera. Secciones rectangulares y perfiles normales de doble simetría. Bibliografía: 1. 2. 3. 4. 5.

Ortiz Berrocal, Luis. “Resistencia de Materiales” Fliess, Enrique: “Estabilidad II” Timoshenko S.: “Resistencia de materiales” Stiopin P.A.: “Resistencia de materiales” Seely y Smith: “Resistencia de materiales”.

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Desarrollo histórico de la teoría de la flexión. Un miembro que transmite cargas transversales fue probablemente una de las primeras estructuras usadas por el hombre y también una de las primeras para la que realizó un análisis de esfuerzo. Uno de los primeros, quizás el primero en efectuar una propuesta escrita, fue Galileo en su libro “Dos Nuevas Ciencias” (1638). La hipótesis de Galileo establece que los esfuerzos axiales que resisten la flexión están uniformemente distribuidos en la sección transversal y el eje de giro de la sección se encuentra en la orilla (fig. 1a). Si bien esta hipótesis es incorrecta como luego se demostró, los principios generales utilizados por Galileo fueron correctos. Posteriormente Bernoulli utilizando la hipótesis de que al deformarse el sólido las secciones planas permanecen planas, como así también que se cumple la ley de Hooke, propuso una distribución de tensiones de variación lineal en la sección transversal, pero manteniendo el eje de giro de la sección en la orilla (fig. 1b). Tanto la propuesta de Galileo como la de Bernoulli fallaron en no considerar que no podía existir fuerza axial resistente en el interior de la viga, si no había fuerza axial aplicada exte riormente. No se cumple que: ∫ σ z ⋅ dF = 0 , donde z es el eje longitudinal y σz ·dF es la fuerza diferencial provocada por la tensión σz .

a)

máx

Galileo (1638)

z

M

σ max =

h

M b.h 2 2

Incorrecta

b

b)

máx

z

M

Bernoulli h

σ max = b

c) máx

M

M b.h 2 3

Incorrecta

Parent y Coulomb

z

σ max =

h

M b.h 2 6

Correcta

b

fig. 1 La distribución correcta de las tensiones fue establecida por Parent y Coulomb en forma independiente. Introducen el concepto de eje neutro, con lo cual se logra cumplir con las condiciones de equilibrio de la sección: ∫ σz ⋅ dF = 0 ; ∫ y ⋅ σ z ⋅ dF = M (fig. 1c). FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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Conceptos generales. Es frecuente en la práctica el uso de barras solicitadas por cargas transversales o pares exteriores, cuyo plano de acción contiene al eje centroidal de la sección de la barra. En las secciones transversales de la barra surgen momentos flectores, es decir, cuplas que actúan en un plano perpendicular al de la sección transversal. Cuando actúa este tipo de carga, el eje de la barra se encorva. A dicha solicitación se la denomina flexión. Las barras que trabajan principalmente a flexión se denominan usualmente vigas. Denominaciones usuales:

Plano de cargas

Fibra: prisma elemental generado por un elemento de superficie de la sección transversal, al trasladarse paralelamente al eje centroidal de la viga entre dos secciones cualesquiera.

Línea de fuerzas

Fibras neutras: fibras que no sufren cambios de longitud al deformarse la viga por flexión. Plano de cargas: es el plano en el que actúan todas las cargas, tanto activas como reactivas. Fig. 2 Línea de fuerzas (f): es la intersección del plano de cargas con el plano de la sección. Planos de fibras neutras: (plano neutro): capa de fibras que no sufren alargamiento ni acortamiento.

Plano neutro (fibras neutras)

Línea neutra

fig. 2

Línea neutra o eje neutro: es la intersección del plano de fibras neutras con el plano de la sección. Flexión simple . Si efectuamos la reducción (al baricentro de una sección transversal) de las fuerzas que actúan a uno u otro lado de la sección transversal en estudio, y obtenemos un par de momento M que actúa en un plano perpendicular al plano de la sección, con o sin la presencia de esfuerzo de corte Q, entonces se presenta flexión simple. Si solamente existe momento flector M entonces la denominamos flexión pura. (fig 3).

Flexión pura

y

Q

x

M x

y

Flexión transversal

z

fig. 3

x

M G

fig. 4

Si existe momento flector M y esfuerzo de corte Q, se denomina flexión transversal, fig 4. FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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Flexión simple plana : Se produce cuando la línea de fuerzas coincide con uno de los ejes centrales principales de inercia de la sección trans versal, fig. 5. P1

P1

P2

P2 Línea de fuerzas

Línea de fuerzas

Pn

Pn Eje principal de inercia

x

fig. 5

Eje principal de inercia

x

z y

fig. 6

z y

Flexión simple oblicua (fig. 6): Se produce cuando la línea de fuerzas no coincide con uno de los ejes centrales principales de inercia de la sección transversal. En el caso de la flexión simple plana el eje de la barra permanece (incluso después de la deformación) en el plano de las fuerzas exteriores (plano de cargas). Es decir que el plano de la deformación coincide con el de la solicitación. De ahí el nombre de flexión plana. En cambio en la flexión oblicua el plano de deformación, no coincide con el de la solicitación.

FLEXIÓN PURA PLANA. Hipótesis admitidas. a) Relativas al material. 1) El material es homogéneo, isótropo y continuo. 2) El material es elástico y cumple con la ley de Hooke, lo que implica que el esfuerzo en una fibra es proporcional a su deformación. 3) El material tiene igual módulo de elasticidad a tracción que a compresión. E t = Ec b) Relativas al comportamiento deformacional. 1) Hipótesis de Bernoulli: “las secciones transversales planas y perpendiculares al eje de la viga, antes de la deformación, se mantienen planas y continúan perpendiculares al eje longitudinal (curvado) luego de la deformación, girando en torno al eje neutro”. Como consecuencia de lo anterior, la deformación unitaria e, así como la total ?l, de una fibra es proporcional a su distancia a la línea neutra. c) Relativas a las cargas actuantes. 1) Las fuerzas exteriores (cuplas activas y reactivas) actúan en un único plano llamado plano de cargas, que contiene al eje longitudinal (centroidal) de la viga. 2) La línea de fuerzas (f) contiene a uno de los ejes (centroidales) principales de inercia de la sección. d) Relativas a la geometría de la viga. 1) La viga es de eje recto y de sección constante. 2) Las proporciones de la viga son tales que falla por flexión y no por torsión, aplastamiento o pandeo lateral, etc. Falla por resistencia y no por inestabilidad. FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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Si bien no pueden establecerse exactamente las proporciones límite, pueden estimarse relaciones dimensionales apropiadas: . a) La longitud debe estar comprendidas entre 10 y 20 veces la altura (L= 10 a 20 h) b) La altura h no debe ser mayor a 4 veces el ancho (h = 4b). Ello no significa que en las vigas cuyas dimensiones se encuentran fuera de estos limites, deje de cumplirse de manera absoluta lo que luego se deduzca, pero es una advertencia en relación con el error progresivo que ocurrirá al apartarnos de dichas proporciones. Es importante advertir que muchos de los componentes utilizados en la construcción de estructuras o máquinas, cumplen con las limitaciones mencionadas. Determinación de las tensiones normales. La solicitación en una sección m-m de una viga (fig. 7) se reduce exclusivamente al momento flector M cuando las fuerzas exteriores que actúan a uno u otro lado de la sección equivalen a un “par” que actúa en un plano perpendicular al de la sección.

P

P m

A

B

m

RA

RB

En la práctica esto solo sucede en algunas secciones, siendo raro el caso de una viga sometida exclusivamente a momento flector M en todas sus secciones.

-

M No obstante comenzaremos estudiando el fig. 7 caso de tramos de vigas sometidos a momento flector constante , ya que los resultados que obtengamos son también aplicables en el caso de flexión transversal y solicitaciones compuestas, casos en los cuales deben superponerse con las de las otras solicitaciones. Consideremos el tramo central de la viga de eje recto y sección constante, fig. 7, y apliquemos a sus extremos dos pares iguales y contrarios de momento M, que actúan en un plano que contiene al eje centroidal de la viga y a un eje central principal de inercia de la sección transversal. De este modo en cada sección transversal del tramo AB solo actúa el momento flector de valor constante M. (fig. 7). Analicemos una sección cualquiera m-m de área F (figs. 7 y 8), en la que actúa el momento flector M. Se representan las componentes cartesianas de la tensión, que actúa en un punto genérico (z,y). Las ecuaciones generales de equilibrio son:

N = ∫F σ z .dF = 0 Q x = ∫F τ zx ⋅ dF = 0 Q y = ∫F τ zy ⋅ dF = 0 M x = ∫F σ z ⋅ y ⋅ dF = M

G

[1 a] [1 b]

M

z z

[1 d]


x

x y z

[1 c]

M y = ∫F σ z ⋅ x ⋅ dF = 0 [1 e] M z = M t = ∫F (− τ zx ⋅ y + τzy ⋅ x ) ⋅ dF = 0

G

x

zx

dF

zy

fig. 8 [1 f] Pág. 5 de 41



en las que: •

N: esfuerzo normal.

•

Qx, Qy : esfuerzos de corte de dirección “x” e “y”.

•

Mz ó Mt: es el momento torsor.

•

My: cupla flectora en el plano horizontal (momento flector horizontal).

•

Mx ó M: cupla flectora en el plano vertical (momento flector vertical).

De acuerdo a la hipótesis de Bernoulli las secciones se mantienen planas y perlendicula res al eje deformado de la viga. Por mantenerse planas no pueden producirse distorsiones (γ=0) y en consecuencia no existen tensiones tangenciales, pues: τ=γ.G=0. Por tal razón las ecuaciones de equilibrio (1 b), (1 c) y (1 f) resultan idénticamente nulas. No obstante las tres restantes ecuaciones no nos permiten determinar la ley de variación de las tensiones normales σz en la sección, ya que puede haber infinitas distribuciones de tensiones σz que satisfagan tales condiciones. Siendo insuficientes las ecuaciones de la estática, debemos recurrir a las condiciones de deformación que se obtienen teniendo en cuenta : a) el comportamiento de las secciones transversales o secciones “normales” (hipótesis de Bernoulli) cuando la viga se encorva. b) el comportamiento del material (ley de Hooke). Analizaremos una viga de eje recto y sección constante sometida a flexión pura.

O d

M

1

capa neutra

Supondremos inicialmente que la línea neutra n-n, forma un ángulo ß con las líneas de fuerzas “ f ”, figura 10.

Habrá fibras que se acortan, fibras que se alargan y otras conservan su longitud original, que son las que conforman la capa neutra (fig.9).

d

M

2

1 1+ ε z y

2

1

2

1

M

1

La sección transversal posee una forma cualquiera de área F y la línea de fuerzas coincide con uno de los ejes principales de inercia de dicha sección.

Al actuar los pares de momento M, de acuerdo a la hipótesis de Bernoulli, las secciones giran en torno de la línea neutra y se mantienen planas y perpendiculares al eje curvado de la viga.

O

M 2

1

fig. 9

O

línea de fuerzas f ≡ con eje ppal. de inercia

d

f

1

2

min

-

C2 1

M

n

n G

y C1

z

+

1 m

2

z

max

x y dF

F

Línea Neutra

f

Para una mejor interpretación supondremos fija la sección 1 -1, FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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y que toda la rotación relativa la efectúa la sección 2-2 (fig 10). Como la separación entre las dos secciones es unitaria (=1) los acortamientos y los alargamientos serán en realidad las deformaciones unitarias ε z . De acuerdo a tal hipótesis resulta que las deformaciones específicas varían linealmente y son proporcionales a la distancia desde la línea neutra a la fibra considerada:

ε z = k.y =

εm .y c1

Debido a la ley de Hooke, las tensiones son proporcionales a las deformaciones específicas, entonces la distribución de las tensiones normales en la sección transversal responderán a una ley lineal, siendo su valor nulo en correspondencia con la línea neutra y máximo en las fibras más alejadas, fig.10, que surge del siguiente planteo:

σ z = ε z .E =

ε m .E σ . y = max . y c1 c1

Línea de fuerzas

La ecuación de equilibrio (1 a) resulta:

N = ∫ σ z .dF = F

σ max c1

∫

F

∫F

∫F y dF = 0 .

y dF = Sn

Por ser nulo el momento estático de la sección respecto de la línea neutra n-n, ésta debe ser necesariamente baricéntrica (G ∈ n-n).

x=nn

z

G dF

z

y

De la ecuación de equilibrio (1e) resulta : M y = ∫ σ z . x.dF = F

σ max c1

∫

F

Línea neutra

fig. 11

y.x.dF =0

Como σmax ≠ 0, debe ser pero

z

y.dF =0

Como σmax≠0 debe ser pero:

Plano de cargas

∫F x· y dF = 0

∫F x ⋅ y ⋅ dF = I nn = 0

Resulta nulo el momento centrífugo de la sección respecto a los ejes n-n y f (línea neutra y línea de fuerzas), entonces ambos ejes son conjugados de inercia (*). (*) Ejes conjugados: ejes con cualquier inclinación entre ellos, para los cuales el momento centrífugo es cero. Como la línea de fuerzas f coincide con el eje “y” que es un eje principal de inercia, entonces su conjugado n-n debe ser perpendicular (n-n ⊥ f), ya que de los infinitos ejes conjugados de inercia, hay un solo par (ejes principales) que son perpendiculares entre sí. En conclusión, en flexión pura plana se cumple que: 1. Solo existen tensiones normales en la sección, solamente σz≠0 (τ=0). 2. Las tensiones normales varían linealmente : σz =k.y (p/hipót. de Bernoulli y ley de Hooke) 3. La línea neutra es baricéntrica de la sección: G∈n-n. (p/ecuación de equilibrio N=0) 4. La línea neutra es perpendicular a la línea de fuerzas: n-n ⊥ f. (p/ecuac. de equilibrio My=0) FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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Con el fin de lograr una relación entre las tensiones normales σz y la solicitación exterior M, plantearemos la ecuación de equilibrio (1 d).

∫σ F

σz =

reemplazando: donde:

∫

F

z

. y.dF = M

σ max .y c1

resulta:

σ max c1

∫

F

dF . y 2 = M

dF . y 2 = I n : es el momento de inercia de la sección respecto a la línea ne utra. σ max M = c1 In

Por lo tanto:

resulta finalmente:

y como: σ z =

σz =

M y In

σ max y c1

[2] FÓRMULA DE NAVIER

Si denominamos: σmax a la máxima tensión de tracción y σ min a la máxima tensión de compresión, resulta: máximo de tracción : σ max =

M c1 In

máximo de compresión: σ min =

M c2 In

La fig. 12 muestra la variación de la tensión σ según la ley lineal de Navier. Además se representa de una forma alternativa que hace más evidente la acción de las tensiones de tracción y de compresión actuando sobre la Forma alternativa superficie de la sección en estudio. de representar

Si hacemos:

Wn = 1

mín

In c1

Wn = 2

In c2

x=nn

σmin =

1

M Wn

c1

Tracción máx

y=f

Entonces se puede escribir:

M Wn

Compresión

G

A Wn se lo denomina “módulo resistente de la sección”: Wn1 para las fibras traccionadas y Wn2 para las fibras comprimidas respectivamente.

σ max =

c2

fig. 12

2

En el caso en que la línea neutra sea eje de simetría, resulta:

c1 = c 2 = y max Resultando, en valor absoluto:

entonces:

σ máx = σ mín = ±

Wn = Wn = Wn = 1

M Wn

2

ó

In y max

σmáx = σ mín = ±

M y I n max

El módulo resistente a flexión Wn es una característica geométrica de la sección transversal de la viga que determina su resistencia a flexión. FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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Dimensionado. Verificación. Capacidad de carga. Formas convenientes en el diseño. Cualquiera de las tres operatorias puede resolverse ya sea por resistencia ó por deformación, sin embargo como las deformaciones y corrimientos en flexión se verán más adelante, por el momento solamente se procederá con la operatoria basada en la resistencia. Dimensionado por resistencia: Se utilizará el “método de las tensiones” visto en el primer tema, diferenciando dos casos: a) si el material posee diferente resistencia a compresión que a tracción, como por ejemplo la fundición gris, caso en el cual σ c.adm ≠ σ t.adm b) si el material posee igual resistencia a tracción que a compresión, como es el caso de los aceros comunes: caso en el cual σ c.adm = σ t.adm . Para garantizar la resistencia de una viga es necesario que las tensiones máximas de tracción y compresión en la sección peligrosa (donde M adquiere el valor máximo), no superen la tensión admisible.

a) Materiales con diferentes resistencias a tracción y compresión. Se debe cumplir las dos condiciones siguientes: tensión máxima de tracción:

σ t máx =

M max ⋅ h t ≤ σ t adm In

[3 a]

tensión máxima de compresión:

σc máx =

Mmax ⋅ h c ≤ σc adm In

[3 b]

Siendo:

ht : distancia a la fibra traccionada más alejada de la línea neutra. hc : distancia a la fibra comprimida más alejada de la línea neutra.

Para los materiales frágiles (ejemplo: fundición gris) las tensiones admisibles a tracción y a compresión son distintas. En dicho caso se utiliza n generalmente secciones no simétricas con respecto al eje neutro de modo que el material se aproveche mejor. En efecto, modificando adecuadamente la posición del baricentro se logra adecuar la proporción entre las máximas tensiones de tracción y compresión para compatibilizarlas con las admisibles correspondientes, fig.13.

c.adm

hc ht

Este tipo de problema se resuelve generalmente proponiendo las dimensiones de la sección y comprobando por prueba y error las dos condiciones (3).

t.adm

fig. 13

b) Materiales con igual resistencia a tracción y compresión: En este caso las condiciones (3) se transforman en una sola relativa a la tensión máxima que se produce en la fibra más alejada, debiéndose cumplir solamente que:

σmáx =

M max ⋅ h máx ≤ σadm In


que se puede escribir de la forma siguiente:

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σ máx =

M máx ≤ σ adm [4] Wn


siendo:

Si la sección es simétrica como muestra la fig.14a, las máximas tensiones son de igual valor, en cambio si la sección no es simétrica como muestra la figura 14b, el máximo se produce, en la fibra más alejada.

G

h

Wn =

In hmáx

[5]

mín

máx

h/2

máx

hmáx

h/2

Para este tipo de material conviene diseñar la sección de modo que posea simetría respecto a la línea neutra, para que el material se aproveche mejor.

máx

fig. 14 a

fig. 14 b

Sección simple: cuando se trata de una viga diseñada con un solo perfil normalizado “doble te”, “te”, etc. (no en el caso de las secciones compuestas en general), de la expresión (5) se puede despejar el mínimo valor (Wnec: necesario) que debe poseer el módulo resistente , para luego, de la correspondiente tabla seleccionar el perfil más adecuado para resistir el esfuerzo. Se calcula entonces:

Wnec ≥

M max σ adm

Sección compuesta: en tal caso se propone un diseño, se evalúa el módulo resistente compuesto y se verifica con la (5). El módulo resistente compuesto se calcula en base al momento de inercia de la figura compuesta, dividido por la distancia a la fibra más alejada que resulte del diseño. Verificación de secciones: en cualquiera de los casos la verificación de una sección se realiza con las expresiones (3) o con la (5). Si se conoce la forma y dimensiones de la sección y el valor del máximo momento flector que la solicita, se verifica que la tensión máxima no supere el valor de la tensión admisible. Determinación de la capacidad de carga: • Si σ c.adm =σt.adm =σadm (tensión admisible a la compresión igual a la tensión admisible a tracción), según la forma y dimensiones de la viga y el material que la compone, se puede determinar el máximo valor posible para momento flector admisible por medio de la expresión: Madm = Wn . σadm Una vez obtenido Madm y en base a la relación que existe entre éste y las cargas, puede calcularse la carga admisible. • Si σ c.adm ≠ σ t.adm (tensión admisible a compresión distinta a la tensión admisible a tracción), y si las distancias ht y hc son distintas (sección no simétrica respecto a la L.N.) entonces se deben calcular dos valores para el momento flector:

M adm(1) =

I n ⋅ σt . adm ht

para la fibra traccionada más alejada.

M adm( 2) =

I n ⋅ σC .adm hC

para la fibra comprimida más alejada.


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Luego se adopta como seguro el momento flector Madm más pequeño y en base a éste se calcula la carga admisible. Formas más convenientes para la sección (diseño) De acuerdo a la fórmula de Navier (2), la tensión adquiere valores importantes el las zonas más alejadas de la línea neutra. En el resto de la sección las tensiones son menores y ello implica que el material no se aproveche convenientemente. Tal situación no puede evitarse, pero se puede amortiguar notablemente dicho problema diseñando convenientemente la sección. Si revisamos la ecuación de equilibrio interno (1 d): M x = ∫ y ⋅ σ z ⋅ dF F

observamos que en el integrando figuran los factores: “σ z . dF” y la coordenada “y”. Las fuerzas diferenciales “σz . dF” producen momento respecto al eje neutro, tanto menor cuanto menor sea la distancia “y”, por ser menores ambos factores, ya que “σ” disminuye también con “y”. Por tal motivo, los elementos de área dF próximos al eje neutro contribuyen en poca medida a resistir el momento flector exterior. La incidencia de cada uno de esos factores se puede mejorar haciendo que la mayor parte del material se concentre en los lugares de la sección donde ambos sean importantes. Ello ocurre el las zonas más alejadas de la línea neutra donde son mayores ambos factores y en consecuencia su producto, que es el “diferencial de momento”. Para utilizar el material de la mejor manera posible, conviene quitarlo de las proximidades de la línea neutra, concentrándolo en dos núcleos alejados, unidos por una estrecha “alma”. De ese modo diseñan las vigas de sección “doble té”, ya sean simples (obtenidas por laminación, que son los denominados perfiles normales) y las compuestas o armadas, (obtenidas soldando o remachando entre sí una chapa de alma, cuatro angulares y dos ó más platabandas).

1

2

x

x

A modo de ejemplo comparemos una sección rectangular y una “doble te”, ambas de igual área “F” e igual altura “h”, fig.15. Los perfiles normales “doble te” tienen en promedio un módulo resistente cuyo valor aproximado es: WX ≅ 0,32. F. h

fig. 15

Para la sección rectangular es: W=

resultando:

h

A

B

2

b ·h b·h·h F ·h = = 6 6 6

WX = 0,167.F.h .

h G

x

G

En consecuencia la sección “ I ” es capaz de soportar un momento flector casi doble que la sección rectangular de iguales área F y altura h. O sea, si F 1=F2, h1=h2 entonces: W2=2 W1

El material debe colocarse lejos de la línea neutra de modo

x

h b

b

fig. 16

conveniente . Por ejemplo , de la comparación de las dos secciones A y B de la figura 16 es posible comprobar que el aumento de resistencia entre las alternativas A y B es el triple, como se demuestra calculando y comparando ambos W. FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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Wx( A ) =

Ix( A) ymax

b.h3 b.h2 = 2 = h 2

Resultando:

Wx( B ) =

Ix ( B ) y max


b.h3 b.h 2 = 6 = h 6

Wx( A) = 3.Wx( B)

En el ejemplo de la fig. 17, previo cálculo se comprueba que la sección de mayor altura resulta ser la menos resistente (elásticamente) por estar mal logrado el diseño de la “B”. x

Wx( A)

a3 = 6

Wx( B )

a4 a3 = 12 = a 2 6 2 2

Wx( A) Wx (B )

b.h 2 = 22 = 3 b.h 6

A

B

a 2

G

G

a 2

a 2 2

x a 2 2

a

fig. 17

Wx ( A) = 2 .Wx ( B ) = 1,41 .Wx ( B ) Recomendaciones para el diseño de la sección 1. Altura: es conveniente que la sección tenga una altura considerable, ya que aunque con esto crece la distancia ymax. que figura en el denominador de W, el momento de inercia crece en mayor proporción y entonces W aumenta. Además debe distribuirse convenientemente como se explicó anteriormente. 2. Altura versus inestabilidad: no debe aumentarse exageradamente la altura y disminuir el ancho de la sección, pues disminuye la rigidez lateral de la viga y el equilibrio puede hacerse inestable. 3. Posición de G: • Si σc.adm = σt.adm o sea que el material tiene igual resistencia a tracción y a compresión, conviene adoptar secciones cuyo baricentro se encuentre en la mitad de la altura h, como ya se explicó, ver fi gura. • Si σc.adm ≠ σt.adm, o sea que el material posee resistencias distintas a tracción y a compresión, conviene proyectar la sección de tal manera que las distancias a las fibras más alejadas en tracción y en compresión, estén en la misma proporción que las tensiones admisibles correspondientes, cosa que surge de la comparación de los triángulos semejantes del diagrama de tensiones de la figura:

ht σ t adm = hc σ cadm

h

G

h/2 h/2 adm

c.adm

hc ht t.adm


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FLEXIÓN TRANSVERSAL Flexión con corte. Tensiones tangenciales en los planos longitudinales. Teoría de Jouravski. Tensiones tangenciales para sección rectangular, circular, “doble te”. Introducción:

Debido a la relación que existe entre el momento flector M y el esfuerzo de corte Q (dM/dz=Q) la presencia de esfuerzo de corte Q implica necesariamente la variación del momento flector M.

P

m A

C

D

m

RA

RB

-

-

D.Q.

Q

-

Teoría de la cortadura longitudinal de Jouravski Sabemos que el momento flector M genera tensiones normales σ en la sección transversal que las calculamos con la fórmula de Navier .

P

B

-

Si al reducir al baricentro de la sección en estudio, las fuerzas que actúan a uno u otro lado de la misma se obtiene momento flector M y esfuerzo de corte Q, como por ejemplo en el tramo CA o BD de la viga de la fig. 20, la solicitación se denomina flexión transversal.

D.M.

M

fig. 20

La existencia del esfuerzo de corte originará tensiones tangenciales en las secciones transversales y consecuentemente tensiones análogas en las secciones longitudinales, según la ley de reciprocidad de Cauchy. A la existencia de estas tensiones tangenciales en los planos longitudinales podemos visualizarla analizando la deformación de una viga, compuesta por una serie de láminas paralelas superpuestas e independientes entre sí (y sin rozamiento) como indica la fig. 21a.

deslizantes

P

fig. 21 a

pegadas

P

fig. 21 b

Al cargar la viga, cada lámina se encorvará en forma independiente , deslizándose respecto de las otras. Si unimos todas las láminas con un pegamento (fig. 21 b), la viga bajo carga se comportará como una pieza única. El deslizamiento entre las láminas estará impedido por los esfuerzos rasantes que se generan en el pegamento , que impiden el deslizamiento entre las superficies contiguas. En los planos horizontales de cualquier viga de una sola pieza, existe n esfuerzos tangenciales comparables al que se presenta en el pegamento de este ejemplo .


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El estudio de las tensiones tangenciales longitudinales ha sido efectuado por Jouravski, cuya teoría expondremos. Consideraciones previas:

M=

La existencia de tensiones de corte τ en la sección origina la existencia de deformaciones angulares γ.

Q= τ.dF

En consecuencia, además de las deformaciones lineales ε relacionadas con las tensiones normales σz debidas a la presencia del momento flector M (flexión pura), cada elemento del material experimenta también deformaciones angulares γ relacionados con las tensiones tangenciales τ. Las tensiones tangenciales se distribuyen en la sección de manera no uniforme (lo que será demostrado más adelante) y en consecuencia las deformaciones angulares también se distribuyen de manera no uniforme. En consecuencia en la flexión transversal, a diferencia de la flexión pura, las secciones transversales de la barra no permanecen planas como muestra la fig.22b.

σ.y.dF

z

x

fig. 22 a

A

A´

B

C B´

fig. 22 b

Sin embargo tal circunstancia no influye de modo importante sobre el valor de las tensiones normales σ que fueran obtenidas con la fórmula de Navier (3) para el caso de flexión pura. El error que se comete es del orden de h / l (en valor unitario) en el caso de vigas con esfuerzo de corte Q variable, y totalmente nulo en el caso de esfuerzo de corte Q constante. En este último caso todas las secciones adquieren la misma forma curva y entonces el giro relativo entre dos secciones contiguas provocará la misma deformación ε en la fibra genérica AB, aunque la sección no permanezca plana, fig 22b. En la figura la deformación ε es proporcional al segmento BC, que como se aprecia varía linealmente con “y”. Resumiendo, la presencia de Q no modifica la tensión σZ debida al momento flector M si Q es constante, o la modifica muy poco si Q es variable. Por consiguiente en esas condiciones la tensión σZ calculada con la expresión (2) obtenida para flexión pura, es válida para flexión transversal. Análisis: Sea la viga de la figura 23 solicitada por un estado de cargas cualquiera q(z) que produce flexión transversal. Por medio de las dos secciones 1-1 y 2-2 distanciadas dz (fig.23), aislamos un elemento diferencial de viga. Dibujamos el diagrama de cuerpo libre, fig. 24a y 25b. Separamos ahora una parte de dicho elemento por medio de un corte con un plano longitudinal (paralelo al plano neutro) ubicado a la distancia “y” del mismo, fig. 24 a.

1

2

1 2 z dz Q

Q+dQ

M

M+dM

D.M.

fig. 23

Dibujamos el cuerpo libre representando únicamente las fuerzas internas paralelas al eje longitudinal “z”, que obran sobre él, fig. 24 b.


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En la dirección “z” actúan las tensiones normales σz sobre las caras izquierda y derecha . Las resultantes R1 y R2 de las fuerzas provocadas por dichas tensiones (figs. 24b y 25a) no serán iguales ya que los momentos flectores que las generan difieren en dM, fig. 24 y 25. En consecuencia para restablecer el equilibrio del elemento aislado (ΣZi=0) es necesario considerar además la fuerza horizontal que se genera en el plano de corte longitudinal. Esta fuerza será la resultante H de las fuerzas provocadas por tensiones tangenciales τyz .

2

q 2

1 M y

R1

yz

by

z G

Q+dQ x dz 2 z

1

dz

y

M+dM Q

R2

z

1

x

dz

y

fig. 24 a

fig. 24 b

A las tensiones tangenciales τyz las suponemos repartidas uniformemente en el ancho by , fig. 25a. Esta hipótesis solamente se cumple cuando el ancho es constante y es solamente una aproximación en el caso en que la sección tenga ancho variable. En este último caso el error que se comete es de escasa magnitud . Por lo tanto calcularemos el valor medio de la tensión de corte longitudinal que actúa en el área diferencial “by ·dz” independientemente de que el ancho sea constante o no.

R1

dF

y y

G

x

by

1

2

R2

z y

yz

y1

H

z

x

z 1

y

dz

2

fig. 25 b

fig. 25 a la condición de equilibrio ΣZi=0 se puede escribir del siguiente modo: R1 + H – R2 = 0

resultando

H = R 2 − R1

[6]

en la que:

H = τ yz .dz .b y yc

R1 = ∫ σ z .dF = y

en la que suponemos que τyz es constante.

M Ix

yc

∫y

y1.dF =


M * Sx Ix Pág. 15 de 41


yc

R2 = ∫ σ z .dF = y

M + dM Ix


yc

∫y

y1.dF =

M + dM * Sx Ix

Reemplazando H, R1 y R2 en la expresión (6) resulta:

 M + dM M  * dM * τ yz .dz.by =  − Sx = Sx I I I  x x x τ yz =

resultando:

τ yz

y finalmente:

dM S *x Q.S *x ⋅ = , dz by .I x b y .I x

Q.S x* = b y .I x

[7]

FÓRMULA DE JOURAVSKI

Significado de cada factor en la fórmula de Jouravski: τyz : tensión de corte longitudinal para la coordenada “y”. Q: esfuerzo de corte en la sección estudiada (se obtiene del diagrama de esfuerzo de corte y generalmente se utiliza el valor máximo, sea positivo o negativo. El esfuerzo de corte Q depende de la coordenada “x” de la sección donde se calcula τyz . by : ancho de la sección en correspondencia con la coordenada “y” donde se calcula τyz . S *x : momento estático, respecto al eje x (línea neutra), de la parte de la sección transversal que se encuentra por encima (o por debajo) de la línea de largo “by ” donde se calcula τyz , ya que el S *x de la parte superior es igual al S *x de la parte inferior, respecto al eje x. Tensiones tangenciales en la sección transversal. Fórmula de Colignon: De acuerdo a la ley de reciprocidad de las tensiones tangenciales (de Cauchy), en el plano de la sección “x y” que es perpendicular al plano longitudinal “x z”, existen tensiones tangenciales de dirección vertical que serán numéricamente iguales a las longitudinales horizontales. En consecuencia las tensiones tangenciales de dirección vertical, pueden ser calculadas por medio de una fórmula que tiene la misma forma que la de Jouravski, que se denomina “fórmula de Colignón”:

τzy =

Q ⋅S by ⋅ Ix * x

y

zy

[7´]

para que se satisfaga la condición de equilibrio ΣYi=0 debe ser:

Q = ∫F τ zy ⋅ dF

z

yz

x

zy

G

z y

x

fig. 26

lo que indica que las tensiones tangenciales transversales τzy son las que equilibran el esfuerzo de corte Q en la sección.


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Tensiones tangenciales en la sección rectangular Sea una sección rectangular de ancho b y altura h solicitada a flexión con esfuerzo de corte Q. Las tensiones tangenciales en la coordenada “y”, valen de acuerdo a la fórmula de Colignón:

τ yz =

Q ⋅S by ⋅ Ix * x

[7´´]

h 2

1 h +y 2 2

(

)

x

G

h 2

x

y

zy

y b

En esta expresión vemos que Q, Ix , y by son constantes al variar “y”. En consecuencia τzy experimentará la misma variación que

h_y 2

zy

fig. 27

S *x .

Calculamos S *x para la parte de la sección por sobre la coordenada “y”, fig. 27: 2  h 1h  b  h S x = b. − y . . + y  =  − y 2  2 22  2 4 

h 2

S *x puede calcularse también por “diferencia”, ver fig. 28:

x

 h 1 h 1 b  h2 S x = b. . . − b. y. . y =  − y 2  2 2 2 2 2 4  siendo I x =

τ zy =

G

y

b.h 3 ; by = cte = b, entonces la (7´) resulta : 12

Q b  h 2 2  = 6.Q . . − y 3 2  4  b.h3 b.h   b. 12

fig. 28

 h2   − y2   4   

Como vemos, la tensión τzy varía según una parábóla de 2º grado: es nula para y=±h/2, y máxima para y=0. Este resultado está de acuerdo con el hecho de que si existiesen tensiones τzy en los bordes, por la ley de Cauchy tendrían que existir tensiones rasantes longitudinales τyz en las caras superior e inferior de la viga, lo cual no es posible ya que no existe ning una fuerza externa rasante. Para y=0 (en el eje baricéntrico) las τzy son máximas y su valor es:

τ zy max =

3 Q 2 b.h

ó

τ zy max =

3Q 2F

[8]

Es decir que su valor es 50% superior que el que tendría suponiendo una repartición uniforme en toda la sección transversal. Otros formas de sección: Si se estudian otras formas de sección se obtienen distintos valores de la máxima tensión de corte como ser: FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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Para sección circular es: τ zy max = Llamando τ medio =

4Q 3F


Sección anular muy delgada: τ zy max ≅ 2

Q podemos generalizar la F

=3/2

=4/3

Q F

˜2

expresión de τzymáx así:

τzym á x = α ⋅ τmedio

[9]

donde “α” es un coeficiente que depende de la forma de la sección por lo que se denomina coeficiente de forma, fig. 29.

fig. 29

Tensiones τzx : Al estudiar la sección rectangular hemos admitido que las tensiones tangenciales en la sección transversal de la viga eran paralelas a la fuerza Q, es decir: τ = τzy

τzx = 0

y

y M

N

C

M

C

y x

G

x

G

N x

z

Estrictamente esto sólo se cumple en los puntos M, C y N, figura 30.

y

fig. 30

Por simetría, en el punto C, τ no puede tener componente τzx .

Si τ tuviese una dirección cualquiera en los punto M y N, admitiría las dos componentes cartesianas: τzy y τzx . La componente τzx , por la ley de Cauchy daría lugar a tensiones tangenciales τxz en las caras laterales de la viga, que no pueden existir por no haber fuerza exterior rasante , fig. 30 derecha. La teoría de la elasticidad demuestra que en puntos intermedios existen componentes τzx , cuya distribución responde a una ley tal, que a ambos lados del eje de simetría “y”, las tensiones τzx tienen signo contrario, fig. 30 izquierda. Ello se debe a que debe ser nula la resultante de las fuerzas cortantes en dirección horizontal x (Qx = 0). Si el ancho “b” de la sección es pequeño, el máximo valor de las tensiones tangenciales τzx es pequeño y en consecuencia se las puede despreciar, admitiendo sin cometer error importante que para las secciones angostas las τzx son nulas.

zy

y n

zy

A

A

B y

x

t

Suposición incorreta

G

Secciones simétricas de contorno curvilíneo

y

Con la fórmula de Colignón podemos calcular las tensiones tangenciales τzy perpendiculares a la arista AB, suponiéndolas uniformemente distribuidas a lo largo de la misma, fig. 31. Para los puntos A y B las tensiones τzy así determinadas no son las tensiones tangenciales absolutas (τ) ya que de ser así admitiría dos compoFLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

n1 n

fig. 31

x

G

x

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nentes cartesianas, fig. 31. τt de dirección tangente al contorno. τn perpendicular al contorno. A la componente τn, por la ley de Cauchy le correspondería una tensión τn1 actuando en la superficie exterior de la pieza, la que no puede existir por no haber ninguna fuera externa rasante, por lo tanto: τn = τn1 = 0

τzy=τ

zy

Lo que implica que en los puntos A y B del contorno las tensiones tangenciales tienen dirección tangente al mismo, como se muestra en la fig.32.

A

Significa que la tensión τzy es en realidad la componente vertical de la τ (absoluta), lo que implica que también habrá una componente horizontal τzx.

zy

C

B

y

G

x

Por simetría en C debe ser: τzy = τ ; τzx =0

zx

Entonces, en secciones simétricas de contorno curvilíneo la fórmula de Colignón nos brinda el valor de la componente vertical τzy de la tensión tangencial τ, en los distintos puntos de la sección transversal.

-

-

Entonces la componente horizontal τzx varia entre dos cantidades de signo contrario en el segmento AB, anulándose en el punto C (el eje de simetría) como muestra la gráfica de fig. 32.

-

fig. 32

zx

La tensión absoluta máxima en se puede obtener dividiendo a la componente vertical por el seno del ángulo “α ” de inclinación de la recta tangente al contorno en A o B. Tensiones tangenciales en la sección circular Hemos visto que en los puntos del contorno de una sección cur vilínea la tensión tangencial absoluta tiene la dirección de la tangente en ese punto, fig. 32.

ϕ zy

Además la fórmula de Colignón nos brinda el valor de las tensiones tangenciales paralelas a la fuerza cortante Q (vertical en este caso).

y x

r G

x

G1 4.r 3 G

zy

x

Las tensiones de corte en este tipo de sección varían con “y” por dos motivos: el cambio del momento estático y la variación del ancho de la sección. En la sección circular la máxima tensión ocurre en la línea neutra nn (eje x), donde las tensiones absolutas poseen dirección vertical, figura derecha.

fig. 33 a

fig. 33 b

Calcularemos el momento estático de media sección con respecto a la línea neutra:

1 π ⋅ d2 4 r d3 Sx = ⋅ ⋅ = 2 4 3 π 12

π ⋅ d4 Ix = 64


τ zy max

Q ⋅ Sx Q d 3 64 4 Q = = ⋅ ⋅ = 4 d ⋅ Ix d 12 π ⋅ d 3 π⋅ d 2 / 4 Pág. 19 de 41



Resultando finalmente: τ zy max =

4 Q ⋅ 3 F

[10]

Tensiones de corte en la sección “doble te” a) Tensiones en el alma

A

t

Para estudiar la distribución de estas tensiones usaremos las mismas hipótesis que en la sección rectangular:

B

y

h h1

1. Las tensiones tangenciales son paralelas a la fuerza cortante Q.

x

max

max

b1

2. Las tensiones τzy se distribuyen uniformemente en todo el ancho b 1.

t b

Para un punto del alma de ordenada “y”, el momento estático de la parte rayada, con respecto al eje “x” resulta:

S*x = b ⋅

C

fig. 34 b

fig. 34 a

h − h1 1  h h 1  h 1 h ⋅  +  + b 1 1 − y   1 + y  2 2 2 2  2 2 2 

El primer sumando es una diferencia de cuadrados resultando:

b ⋅ (h 2 − h12 ) 8

El segundo sumando se puede operar resultando:

(

 h1 2 h1 y h1 y y 2   h12 y 2  b1 2  h1  h1 y  2   = b1  − y  +  = b1  + − − = b1  − h1 − 4 y   2 4 2 8 4 4 2 8 2 8       

Aplicando la fórmula de Colignón: τ = τ zy

)

Q.S *x = y reemplazando los dos sumando del b1.I x

momento estático obtenemos: τ zy =

[(

) (

Q 2 2 b h 2 − h1 + b1 h1 − 4 y 2 8.b1.I x

)]

Su valor será máximo para y = 0 : y será mínimo para y =

h1 : 2

vemos que τ zy varía según una ley parabólica.

(

τ max =

Q 2 2 bh 2 − bh1 + b1h1 8.b1 .I x

τ min =

Q 2 bh 2 − bh1 8.b1.I x

(

)

)

Como la diferencia entre los factores entre paréntesis es “b1·h12”, entonces cuando el espesor b1 del alma es muy pequeño comparado con el ancho b del ala (como en el caso de los perfiles normalizados) las tensiones τmáx y τmín difieren muy poco entre sí, y la distribución de tensiones tangenciales en el alma es prácticamente uniforme, fig. 34. Si extendiésemos la validez de la fórmula de Colignon al resto del perfil ocurriría que en la transición entre el alma y el ala se produciría una discontinuidad en el diagrama de tensiones tangenciales debido a la variación brusca del ancho que pasa de b1 a b (tener en cuenta que en la fórmula de Colignón cambia solamente b 1 por b, con el mismo momento estático). FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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Pero en realidad no es así, ya que la hipótesis de distribución uniforme de las tensiones t zy en todo el ancho de la sección no es aceptable en las alas. En los puntos de las alas existen tensiones τzy y τzx . Las τzy (salvo en la zona ABC, fig. 34a) varían según una ley parabólica, fig. 34 b, anulándose en correspondencia con los bordes superior e inferior de las alas, ya que sobre la superficie exterior de las mismas no existen fuerzas rasantes exteriores. El valor de estas τzy es muy reducido y pueden despreciarse. En la zona ABC puede admitirse una variación lineal de las τzy hasta anularse en el borde superior o el inferior de cada ala. Debido a la escasa importancia de las τzy en las alas, el alma absorbe prácticamente la totalidad del esfuerzo cortante Q. Por ese motivo se obtiene una buena aproximación para τm áx dividiendo el esfuerzo de corte Q por el área del alma: τ max ≅

Q h1 .b1

[11]

donde h1 es la altura del alma solamente. El error que se comete oscila aproximadamente entre el 1 y el 5 por ciento. Teniendo en cuenta todo lo expuesto podemos decir que en las vigas de sección “doble te” el esfuerzo de corte es soportado casi exclusivamente por el alma”. Además como vimos al deducir la fórmula de Navier y siendo pequeña la contribución del alma en el momento de inercia Ix de la sección “doble te”, las alas son las que absorben la casi totalidad del momento flector M. b) Tensiones en las alas Sea la viga de la fig. 35a, constituida por un perfil con sección “doble te” de alas delgadas, solicitada por un estado de cargas cualquiera q(z) que produce flexión transversal.

1

q(z)

2

R1

H

z

1 2 z dz Q

Q+dQ

M

M+dM

x

R2 z

z

z

D.Q. D.M.

dz

fig. 35 a

fig. 35 b

Por medio de las dos secciones 1-1 y 2-2 distanciadas dz, aislamos un elemento diferencial de viga y dibujamos el correspondiente diagrama de cuerpo libre, fig. 35b. Separamos ahora una parte del ala de dicho elemento , por medio de un corte con un plano vertical longitudinal (paralelo al eje de la viga) ubicado a la distancia “x” del borde del ala, fig. 36a. Dibujamos la parte del ala representando únicamente las fuerzas internas R1 y R2 , parale las al eje longitudinal “z”, que obran sobre esa parte del ala, fig. 35b y 36. FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00 Pág. 21 de 41


dz

b


dz

R2

a t

x

R1

a

H

d

x

b

R2

c

dF

x

y

R1

x

fig. 36 a

fig. 36 b

En la dirección “z” actúan las tensiones normales σz sobre las caras izquierda y derecha. Las resultantes R1 y R2 de las fuerzas provocadas por dichas tensiones no serán iguales ya que los momentos flectores que las generan difieren en dM, fig. 35a. En consecuencia para restablecer el equilibrio del elemento aislado (ΣZi=0) es necesario considerar además, la fuerza horizontal que se genera en la cara “abcd”, fig. 36b. H será la resultante de las fuerzas provocadas por las tensiones tangenciales τxz , fig. 35b. A las tensiones tangenciales τxz las suponemos repartidas uniformemente en la cara abcd, fig. 36b. Por lo tanto calcularemos el valor medio de las tensiones de corte longitudinales que actúan en el área diferencial “t.dz”, fig. 36b. la condición de equilibrio ΣZi=0 se puede escribir del siguiente modo: R1 + H – R2 = 0

resultando H = R 2 − R1

[12]

en la que:

H = τ xz ⋅ t ⋅ dz R1 =

(suponiendo que τxz es constante en ese área).

M

∫F σ z .dF = I x ∫F *

R2 = ∫ * σ z .dF = F

*

y.dF =

M + dM Ix

∫F

*

M * ⋅S x siendo F* el área de ancho “x” y altura “t”. Ix

y.dF =

M + dM * Sx Ix

Reemplazando H, R1 y R2 en la expresión (12) resulta:

 M + dM M  * dM * τ xz ⋅ t ⋅ dz =  − Sx = Sx Ix  Ix  Ix Resultando: τ xz =

dM S *x ⋅ dz t .I x

y finalmente: τ xz =

Q .S *x t.I x

[13]

S *x es para este caso (alas de bordes paralelos al eje “x” ) una función lineal de “x”: FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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S *x = k1 ⋅ x Por lo que la tensión de corte dada por la (13) resultará también con variación lineal: τ xz = k 2 ⋅ x

De acuerdo con la ley de Cauchy, al existir tensiones de corte τxz en el plano longitudinal, deben existir tensiones de corte τzx de igual valor absoluto, en el plano de la sección (en la zona de las alas). A esas tensiones las calculamos con la misma expresión: τ zx

Q ⋅ S *x = t ⋅ Ix

zx

con:

S *x

= k1 ⋅ x [14]

Esas tensiones de corte varían linealmente desde “0” en el borde del ala hasta (τzx )máx en la zona de unión del ala con el alma, como muestra la figura 37.

t

Para un perfil con las dimensiones de la fig. 37´ la expresión del (τzx )máx será: (τ zx ) máx

resultando:

fig. 37

h h1 + Q Q b − b 1 ⋅t ⋅ 2 2 = ⋅ S *x = ⋅ t.I x t.I x 2 2 (τ zx ) máx =

Q ⋅ (b − b1 ) ⋅ ( h + h1 ) 8 .I x

[15]

Por razones de simetría las fuerzas horizontales H provocadas por las tensiones τzx (fig.38) serán opuestas y de valores iguales, equilibrándose entre sí, tanto en el ala superior como en el ala inferior.

h 2

h1 2

b1

Además, como ya habíamos analizado en el apartado anterior, las tensiones τzy en el alma, equilibran el esfuerzo de corte Q (vertical). Centro de corte:

t

b

fig. 37´

Cuando el “plano de cargas” contiene al eje centroidal (eje geométrico “z”) de la viga, el momento de las fuerzas externas con respecto “z” resulta nulo. Sin embargo, según sea la forma de la sección, la viga puede quedar sometida a torsión. H Perfiles con simetría : al analizar las tensiones de corte en las alas de los perfiles “doble te” de pared delgada, vimos que con sección simétrica respecto a la “línea de fuerzas”, las fuerzas de corte H se equilibraban anulándose mutuamente en al dirección horizontal. Consecuentemente la resultante de las fuerzas H y Q, es la propia fuerza Q que contiene al centroide G de la sección y que coincide con la “línea de fuerzas” (exteriores). En dicho caso no existe momento (torsor) con respecto al eje geométrico longitudinal ”z” de la barra que contiene a G.


Q

x

G

H

fig. 38 Pág. 23 de 41



Perfiles que no poseen simetría: la situación es diferente en el caso de perfiles como los que muestra la figura 39, los que no poseen simetría con respecto al eje “y” (principal de inercia) que contiene al centroide G. H

Para una sección como la de la fig 40, la resultante de las fuerzas H, -H y Q interiores, originadas por las tensiones de corte en las alas y en el alma, es otra fuerza Q ubicada a una distancia “c” del centro del alma y por lo tanto no estará contenida en el plano de las

y

y

G

x

y x

G

G

x

Q

Q

x

h1

G

C c

H

fig. 39

fig. 40

cargas externas (línea de fuerzas), fig. 40. Ello hace que un tramo de longitud genérica “z” de la barra, fig. 41, esté sometida a una fuerza externa P que contiene a G en el extremo libre, y a la resultante Q de las fuerzas interiores en la sección de coordenada “z”. Como estas dos fuerzas no están en el mismo “plano de cargas” originará un momento torsor con respecto al eje longitudinal “z” de la barra, que ocasionará una deformación torsional como la mostrada en la fig. 42.

P

empotrado (soldado)

H Q

Q

C

x

G

z x

c H

G

fig. 41

z

Para evitarlo es necesario desplazar el plano de cargas (plano donde actúa P) a una posición paralela que contenga a la resultante Q de las fuerzas interiores. Para el caso mostrado ello se puede materializar fijando un accesorio en el extremo de la viga que permita colocar a la fuerza P en el lugar correcto, fig. 43.

P

G

En esas condiciones la viga no estará expuesta a torsión y serán aplicables las hipótesis de la flexión. Consecuentemente podremos calcular las tensiones de corte en los distintos lugares de la sección con las fórmulas vistas anteriormente.

fig. 42 P ez igid de r e j e

La posición de la carga P se determina entonces conociendo la posición de la resultante Q de las fuerzas cortantes interiores. Es suficiente utilizar dos ecuaciones de equivalencia: la de fuerzas verticales y la de momento con respecto a cualquier punto del plano de la sección. Para este caso particular, para que no intervenga Q (del alma) en la ecuación de momento, se toma como centro al punto medio del alma que coincide con Q, fig. 40.

c c

G

x

fig. 43

El momento de la cupla (H,-H) es M=H.h1, en la que h1 es la distancia entre las líneas medias de cada ala, fig. 40. Para que la carga P se encuentre a la misma distancia “c”, el momento de P debe ser igual al momento de las fuerzas de corte interiores. Debe cumplirse: M=P.c, en la que “c” es la distancia que queremos averiguar. Por ser iguales ambos momentos, resulta entonces: c=H.h1/P. Se Sabe que la resultante vertical Q de las fuerzas de corte interiores, es numéricamente igual a la carga P. Al punto “C” ubicado a la distancia “c”, fig. 43, se lo denomina centro de corte o centro de flexión. Dicho punto está contenido en una línea paralela al eje “z” que se denomina “eje de rigidez” de la viga. FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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VIGA DE DOS O M ÁS MATERIALES DIFERENTES. Sea la viga de dos materiales “1” y “2” representada en la fig. 45, cuyos módulos de elasticidad son E 1 y E2 . Por sencillez se considerán dos sectores con el mismo ancho b. Luego se verá que los resultados se pueden también adecuar al caso de anchos diferentes e inclusive para figuras que no sean rectangulares, y para generalizar aún más, que se trate de más de dos partes componentes de diferentes materiales. Hipótesis: 1) La viga es de sección uniforme a lo largo de su eje. 2) Cada uno de los materiales es elástico y cumple con la ley de Hooke, con iguales módulos de elasticidad a tracción y a compresión (Et = Ec). 3) Las dos partes componentes trabajan solidariamente sin deslizar uno contra el otro. 4) Se cumple la hipótesis de Bernoulli: las secciones planas se mantienen planas…etc. 5) La sección posee simetría con respecto al eje vertical centroidal, el que coincide con la línea de fuerzas. Se supondrá para este análisis que el material al que se le asigna subíndice “1” es más rígido que el material con subíndice “2” (E 1 > E 2), como por ejemplo hierro y madera. Considerando las dos ecuaciones de equivalencia utilizadas al principio del tema “Flexión”:

∫F σ ⋅ y ⋅ dF = M

N = ∫F σ ⋅ dF = 0 y operando con la primera, la integral se puede extender a cada uno de los materiales por separado del siguiente modo:

b´ dy

∫F σ1 ⋅ dF + ∫F σ 2 ⋅ dF = 0 1

σ2 = e . E2 , además:

2 n

n

b

2

2

E2 ⋅ b ⋅ dy = 0 E1

∫F σ1 ⋅ dF + ∫F´ ε ⋅ E1 ⋅ b´⋅dy = 0

Tensiones en la sección homogeneizada

Tensiones finales en la sección real

fig. 45

Multiplicando y dividiendo al 2° sumando por E1 resulta :

∫F σ1 ⋅ dF + ∫F ε ⋅ E1 ⋅

σ2

σ1

1

∫F σ1 ⋅ dF + ∫F ε ⋅ E 2 ⋅ b ⋅ dy = 0

1

G*

dF= b .dy

con lo que resulta: 1

y

2

Por la ley de Hooke, en el material “2” se cumple:

1

o también:

siendo F´ el área de ancho:

1


b´=

E2 ⋅b E1

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En el 2° sumando “ b’.dy ” es un área diferencial (menor en este caso) que se comporta como si fuese de de material “1”. Como toda la sección se comporta ahora como si estuviese constituida de material “1”, se la puede considerar entonces como una sección única, “homogeneizada” a material “1” Se pueden entonces unificar las dos integrales en una sola, la que se extiende a toda la sección denominada “homogeneizada” o “transformada”, que se identifica con F* y que se puede considerar totalmente de material “1”: la parte superior de ancho modificado b’ y la inferior de ancho original b. Resulta entonces:

∫F1 σ1 ⋅ dF + ∫F´ σ1 ⋅ b´⋅dy = ∫F* σ1 ⋅ dF = 0 en la que F* es el área homogeneizada a material “1”. Como la tensión es “lineal” ( σ1 = k.y ) se puede escribir: * ∫F* σ1 ⋅ dF = k.∫F* y ⋅ dF = k.Sn = 0

S*n = 0

pero: k≠0 lo que implica que:

si el momento estático es nulo el eje nn contiene al centroide G*

Resulta entonces que la posición del centroide G* de la sección F*, permite ubicar la posición de la línea neutra de dicha sección homogeneizada, que a la vez es la línea neutra de la sección original. Cálculo de las tensiones: Utilizando ahora la segunda ecuación de equivalencia:

∫F σ ⋅ y ⋅ dF = M se observa que el primer miembro de esta ecuación difiere solamente en el factor “y” en relación con la ecuación tratada anteriormente. Operando del mismo modo se llega finalmente a la expresión:

∫F* σ1 ⋅ y ⋅ dF = M

para la sección homogeneizada

Operando de igual modo que para deducir la fórmula de Navier (ya que se trata de una sección homogeneizada, o de un solo material), se llega finalmente a la expresión:

σ1 =

M ⋅y I*x

[16]

la (16) es la fórmula de Navier para la sección homogeneizada F*. Para calcular las tensiones en la sección homogeneizada, se debe calcular previamente el * momento de inercia I n de la sección homogeneizada, con respecto al eje “nn” que pasa por el centroide G*.


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Tensiones en el material “2”: Las tensiones en el material de la zona de ancho b’, deberán ser modificadas para obtener finalmente las tensiones en el material “2” con el ancho original (ancho b, en este ejemplo). En la zona “2”, la fuerza elemental que actúa en un elemento diferencial de ancho b´ vale:

σ1 . b’.dy que debe ser igual a la fuerza elemental que actúa en el área de ancho b del material “2”:

σ2 . b . dy igualando se obtiene: σ1 . b’.dy = σ2 . b . dy resultando:

σ2 = σ1 ⋅

b´ b

pero:

b´ E 2 = b E1

σ1 . b’ = σ2 . b

ó entonces:

σ2 = σ1 ⋅

E2 [17] E1

La tensión σ2 es la tensión real en el material “2”. En el diagrama de tensiones de la derecha (fig. 45) se observa la transfo rmación realizada luego de multiplicar por el factor E2/E1, a la parte del diagrama correspondiente. Viga de 3 (o más) materiales diferentes: Si se trata de una viga de 3 materiales diferentes, se procede transformando a dos de las tres áreas, las que se homogeinizan al material de la restante, por ejemplo:

E2 E ⋅b b' ' = 3 ⋅ b E1 E1 Luego se calcula la posición de G* por donde pasa la línea * neutra y se calcula I n de la sección homogeneizada. b' =

mater. 3 b´

mater. 2

Entonces se puede calcular la distribución de las tensiones σ1 para dicha sección y luego recalcular las tensiones reales para los materiales 2 y 3.

E σ 2 = 2 ⋅ σ1 E1

mater. 1

E σ 3 = 3 ⋅ σ1 E1

Si se trata de más de 3 materiales se procede de modo similar.

b

fig. 46 b2 b´

Anchos diferentes Se analiza para 2 materiales, pero el mismo criterio puede extenderse a más de 2 materiales, fig. 47. Si los anchos originales son distintos el procedimiento visto sigue siendo válido haciendo:

b' =

2

E2 ⋅ b2 y la tensión en el material 2 se obtiene con la fórmula (17): E1

σ2 =

E2 ⋅ σ1 E1

1

b1

fig. 47 FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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Hormigón y acero: Se sabe que la utilización del acero en combinación con el hormigón resulta sumamente conveniente en la construcción. El hormigón presenta la particularidad de no poseer casi resistencia a tracción en relación a la buena resistencia que posee a compresión. Es por ello que se lo utiliza en combinación con barras de acero que complementan esa falencia. Debido a que la resistencia a tracción es pequeña, en los cálculos se prescinde de ella. Sección original Generalmente se realiza la homogeinización, modificando el área “A” del acero (transformánh dola a hormigón) utilizando una cantidad de área “n.A” en la sección homogeneizada, siendo n = Ea/Eh (a: acero; h: hormigón) , fig. 48. hormigón Debido a que una parte de la sección de hormigón se considera sin tensiones, surge la necesidad de determinar la cantidad de ella que trabaja a compresión y en consecuencia es necesario realizar el cálculo de la incógnita “a” de la sección homogeneizada, que a la vez nos permite conocer la posición de la línea neutra “nn” de la sección original.

Sección homogeneizada

a/2

a

n

n

h

b

a

n.A

barras de acero

b

fig. 48

Planteando la expresión del momento estático de ambas zonas de la sección con respecto a la línea neutra nn y considerando a la coordenada “y” positiva hacia arriba, resulta:

b ⋅a⋅

a − n ⋅ A ⋅ (h − a ) = 0 2

b 2 ⋅ a + n ⋅ A⋅ a − n⋅ A⋅ h = 0 2

Aplicando la resolverte a la ecuación de 2° grado en “a” resulta:

− n ⋅ A ± n2 A2 + 2 ⋅ b ⋅ n ⋅ A ⋅ h n ⋅ A n⋅ A 2⋅b⋅ h a= =− ± 1+ b b b n⋅ A Considerando el signo + de la raíz por ser a>0 y operando algebraicamente resulta :

a=

 n⋅ A  2⋅b ⋅ h  1+  − 1   b  n⋅A 

[18]

* Una vez conocido el valor de “a”, se calcula el momento de inercia I n de la sección

homogeneizada con respecto a nn y se evalúan las tensiones. Luego se modifica la tensión en el acero multiplicando por la relación: n=Ea/Eh


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VIGAS DE SECCIÓN VARIABLE. Los resultados obtenidos para las vigas prismáticas de sección uniforme pueden utilizarse con suficiente aproximación para vigas de P sección variable, siempre y cuando la variación del tamaño de la sección sea suave. Si la variación es brusca se produce una notable concentración de las tensionas en la zona del cambio de sección. La aplicación más importante de las vigas de sección variable, son las denominadas “vigas de igual resistencia a flexión” o “vigas de resistencia P uniforme a flexión”, es decir, una viga en la que el módulo resistente de la sección varíe a lo largo de la viga en la misma proporción en que lo hace el momento flector De ese modo la tensión máxima σmáx permanece uniforme a lo largo de la viga. Ello da como resultado una optimización en relación con la cantidad de material utilizado. A modo de ejemplo analizaremos dos casos sencillos de vigas ménsula de sección rectangular: a) la de altura uniforme con ancho variable y b) la de ancho uniforme con altura variable. Para ambas resolveremos dos cosas: las dimensiones máximas, en este caso en el empotramiento, y la variación de la dimensión (ancho o altura según el caso). Además consideraremos la corrección en el extremo de la viga para no superar las tensiones de corte. Con el mismo procedimiento se pueden resolver otros tipos de vigas con otras formas de sección y otros estados de carga. Viga de altura “h” uniforme con ancho b(z) variable. Momento flector (valor absoluto ) para “z” vale: M ( z ) = P ⋅ z , Módulo resistente para z: W ( z ) =

b( z ) ⋅ h

2

para z=L:

6

Mmáx = P ⋅ L

para z=L vale:

Wmáx =

en las que M, W y h varían con “z”

bmáx ⋅ h 2 6 L

P

La condición de igual resistencia (óptima) exige que : σ máx = cte = σ adm Ancho máximo: e n el empotramiento tenemos:

M máx = σ adm Wmáx Entonces:

-> bmáx =

Wmáx

M(máx) M(z)

2 P ⋅ L bmáx ⋅ h = = σ adm 6

6 ⋅ P⋅ L

[19]

h 2 ⋅ σ adm

h

Variación del ancho: se obtiene de la condición de igual resistencia: M ( z ) M máx P⋅ z P⋅ L = -> = 2 W( z ) Wmáx b( z) ⋅ h bmáx ⋅ h 2 6

b(z)

b(máx)

fig. 50

6

El ancho varía entonces según la expresión: FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

b( z ) =

bmáx ⋅z L

[20] (variación lineal) Pág. 29 de 41



Viga de altura “h(z)” variable con ancho b uniforme. Momento flector:

M (z) = P ⋅ z

Módulo resistente: W ( z ) =

b ⋅ h(z2 ) 6

Mmáx = P ⋅ L Wmáx =

L

P

2 b ⋅ hmáx 6

M(máx)

M, W y h varían con “z”

M(z)

La condición de igual resistencia óptima exige que: σ máx = cte = σ adm

h(z)

Altura máxima: en el empotramiento tenemos:

M máx = σ adm Wmáx Entonces:

->

Wmáx =

h máx =

h (máx)

2 P ⋅ L b ⋅ hmáx = σ adm 6

6 ⋅ P ⋅ L [21] b ⋅ σ adm

b

fig. 51

Variación del ancho: se obtiene de la condición de igual resistencia: M (z ) W( z )

=

M máx Wmáx

->

P⋅ z b ⋅ h(2z ) 6

El ancho varía entonces según la expresión:

h(2z)

=

P⋅ L 2 b ⋅ hmáx 6

2 bmáx = ⋅ z [22] (variación parabólica). L

La forma del perfil puede modificarse para adecuarla a la necesidad concreta de diseño. Por ejemplo, la forma parabólica de la fig. 51 se puede hacer recta por arriba y curva por debajo, simplemente manteniendo la misma altura para cada sección. Modificación del extremo por tensiones de corte En ambas soluciones, el extremo de la viga termina con sección de dimensiones nulas. Ello es así porque el cálculo de la sección se realizó en base a la condición de resistencia por tensiones normales. Sin embargo en dicho lugar son las tensiones de corte las que condicionan el tamaño de la sección, a diferencia del resto de la viga donde las tensiones normales definen la dimensión. Por ello se debe corregir el extremo (en este caso) donde el momento flector es pequeño , pero el esfuerzo de corte vale Q=P. Para ello se utiliza la expresión de la tensión de corte máximo: τ máx=1,5 Q/F=1,5 Q/(b.h) que se iguala al valor admisible, explicitando la dimensión que corresponda en cada caso. Para el primer caso, si h=cte . el ancho mínimo b 0 por corte se calcula con: b = 1,5 ⋅ Q 0

h ⋅ τadm

En el segundo, si b=cte. la altura mínima h0 se calcula con: h = 1,5 ⋅ Q 0

h ⋅ τ adm


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Vigas compuestas o armadas Frecuentemente, en la práctica de la ingeniería surge la necesidad de usar vigas cuyo módulo resistente a flexión es muy superior al de los perfiles normalizados disponibles. En tal caso se utilizan las denominadas vigas compuestas, que p ueden ser de alma llena o de alma calada, celosía o reticuladas. Las vigas compuestas de alma llena se forman utilizando los perfiles normalizados disponibles: doble te, U, L, etc., en combinación con placas o planchuelas denominadas platabandas. De ese modo es posible conformar la sección transversal necesaria. Las diversas partes que componen la sección deben ser unidos entres sí con bulones o con soldadura. Antiguamente se utilizaba casi exclusivamente remaches. Se pueden construir con uno o más perfiles normales en la zona del alma con el agregado de una o más platabandas que refuerzan las alas, como muestra la fig. 55.

(a)

Si los momentos flectores son importantes, la solución con perfiles normalizados puede resultar insuficiente, aún con el agregado de platabandas, ya que el alma de los perfiles laminados es poco esbelta y la resistencia se ve limitada por ello.

(b)

(c)

fig. 55

Para una mejor eficiencia del diseño puede ser necesario aumentar la esbeltez del alma, con lo que las alas, que son las soportan la mayor parte del momento flector, quedan más separadas y la viga resulta más liviana. Se generan así las vigas armadas por combinación de placas, unidas por medio de soldadura o con bulones. La fig. 56 muestra las formas de sección más comunes de vigas armadas.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

fig. 56 Generalmente la sección se diseña de doble simetría, aunque a veces para mejorar el comportamiento frente al pandeo lateral se suelen utilizar secciones tipo “doble te” de simple simetría, fig. 56 c, en la que se supone que el ala superior está comprimida. En este tipo de vigas las tensiones se calculan suponiendo que las diversas partes están rígidamente unidas entre sí conformando una pieza única. El diseño de este tipo de viga incluye el cálculo de las dimensiones de las partes principales que la componen conformando un sólido único, como así también de los medios de unión entre ellas, como los bulones y las soldaduras. FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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Para el cálculo de las tensiones se utilizan las expresiones para las de vigas de una sola pieza y en el caso de utilizar bulones, a los componentes principales (perfiles, platabandas, placas, etc,) se les debe descontar la parte de sección transversal que ocupan los bulones, los que forzosamente debilitan parcialmente la sección transversal. Para este tipo de viga se puede definir un diseño en base a ciertas pautas en cuanto a sus proporciones y luego efectuar las diversas verificaciones de las tensiones normales y cortantes que ocurrirán en las partes principales, como también en los medios de unión entre ellas (bulones o soldaduras). La verificación de las diferentes partes no solo se efectúa en base a su resistencia. Algunas verificaciones están relacionadas con la estabilidad de las mismas como por ejemplo el caso de la verificación al pandeo local de las placas de alma, las que al ser delgadas se pueden abollar por tensiones de compresión. Vigas compuestas de resistencia uniforme: sea el caso en el que se utiliza un perfil básico al que se le agregan platabandas de refuerzo de diferentes longitudes. En este caso la resistencia uniforme se consigue solo en forma aproximada ya que no se puede hacer variar la dimensión de la sección de modo continuo. La variación de la sección se hace por tramos. Se parte de un perfil básico ya sea simple o compuesto y se agregan platabandas, en mayor cantidad en las zonas con mayor momento flector. De ese modo el módulo resistente variará en forma no continua pero a pesar de ello se logra un notable mejoría en al eficiencia de la viga. Conocido el diagrama de momento flector M(z) en la viga, el momento resistente σadm.Wx de un determinado tramo debe ser igual al mayor momento flector que ocurre en ese tramo.

W 0 . adm

RB

L1 M(z)

t

M

máx

t

t

W 2 . adm

Lo

RA

W1 . adm

q

t

fig. 57 Para el cálculo se procede del siguiente modo: 1) Se proyecta el perfil básico que poseerá la viga en toda su longitud, el que puede ser simple o compuesto , y se e valúa su módulo resistente (W0 ). 2) El perfil básico cubrirá la necesidad de resistencia en las zonas de la viga donde el momento flector sea menor que su momento resistente (σadm.W0). FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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3) En las zonas donde el momento flector supere al valor anterior, se agrega un par de platabandas (una arriba y una abajo) y se evalúa el módulo resistente W1 , con el que se calcula el momento resistente (σadm.W1). 4) Se puede repetir el paso anterior las veces necesarias, en el caso que todavía exista alguna zona donde el momento flector supere la resistencia de la nueva sección. La longitud teórica de cada nuevo par de platabandas se obtiene con la intersección de las curvas representativas del momento flector, con la recta horizontal representativa del momento resistente (uniforme) de la sección correspondiente al par de platabandas previo. Para este caso de carga distribuida q, para calcular las platabandas más largas (primer par de platabandas, fig. 57) se iguala la expresión del momento flector M(z)= RA .z-q.z2 /2 con el momento resistente del perfil básico σadm.W0, obteniéndose una ecuación de segundo grado en “z”. Las dos raíces z1 y z2 permiten obtener L 1 =z2-z1 La longitud teórica así obtenida para cada par de platabandas debe ser aumentada en una cantidad adicional “t” en cada extremo, de acuerdo a lo que fije el procedimiento de cálculo en la norma. Ello asegura la participación efectiva de esas platabandas en relación con el desarrollo de las tensiones normales necesarias, en las proximidades de los extremos de las mismas. La figura 57 representa una viga donde el perfil básico es simple y se debió agregar dos pares de platabandas, hasta lograr que toda la viga posea una resistencia mayor que el momento flector del correspondiente diagrama, en este caso parabólico. Si el diagrama de momento flector tuviese otra forma, se adecuará el diseño para lograr la misma finalidad. Tensiones principales en la flexión transversal. Conocido el momento flector M y el esfuerzo de corte Q en una determinada sección, podemos evaluar las tensiones σz y τzy para cualquier punto de dicha sección. El valor máximo para σz ocurre en las fibras más alejadas de la línea neutra mientras que el valor máximo para τzy ocurre normalmente en la zona media del alma. En la mayoría de los casos, con esos dos valores máximos se puede dimensionar y/o verificar una viga, pero en otros casos es necesario realizar un análisis más detallado en otros puntos de la sección. Según sea la forma de la sección transversal y con esfuerzos de corte de valor importante, puede ocurrir que en ciertos lugares surjan tensiones normales de valores mayores a las tensiones máximas calculadas con la fórmula de Navier. Por ejemplo, cuando el esfuerzo de corte es muy grande, en la unión del alma con el ala de un perfil “doble te”, pueden ocurrir tensiones normales de valores aún mayores que la tensión normal que ocurre en las fibras más alejadas. En otro tipo de vigas como las de hormigón armado, si bien en las zonas cercanas al eje de la viga las tensiones normales calculadas con la fórmula de Navier resultan pequeñas (inclusive nulas), las tensiones de corte pueden ser de valor importante. Ello puede generar un estado tensional en el que resulte una “tensión principal” (máxima tracción) de valor comparable a la tensión normal que ocurre en las fibras más alejadas. Es entonces necesario colocar hierros, generalmente inclinados a 45°, para absorber dichas tensiones, fig.61. Analicemos por ejemplo las tensiones principales que ocurren en un punto genérico A de la sección 1-1 de la viga representada en la fig. 58, para lo cual aislamos un elemento pequeño en los alrededores del punto A. Las tensiones normal y de corte se calculan con las correspondientes expresiones y son: FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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σz =


M ⋅y Ix

τ zy =

Q ⋅ S *x b ⋅ Ix

Por medio del círculo de Mohr podemos evaluar y ubicar las tensiones principales tal como muestra la figura 58. Efectuando el mismo cálculo para puntos de la misma sección con diferentes coordenada “y”, las tensiones principales variarán en intensidad y dirección ya que varían tanto σz como también τzy . También se modificará el valor de las tensiones principales en intensidad y dirección si consideramos diferentes secciones variando “z”, ya que se modifican M y Q. 1

1

1 F

viga A

z

zy

B

D.Q.

Q

máx

yz

mín

O

y

yz

zy z

M

A

D.M.

A

C

z máx

mín

z

1

míx

máx

Si repitiésemos el cálculo para una gran cantidad de puntos, recorriendo la viga tanto en el sentido “z” como en el sentido “y” podremos luego realizar el trazado de curvas que recorran las direcciones principales en los diferentes puntos, figs. 59 y 60. Se obtienen así dos familias de curvas perpendiculares entres sí en cada punto: unas que siguen la dirección de las tensiones principales positivas (σ de tracción) y otras que siguen la dirección de las tensiones principales negativas (σ de compresión). Esas curvas se denominan “líneas isostáticas”, son perpendiculares al contorno superior e inferior (por ser τ=0) y están inclinadas a 45° en la línea neutra (por ser σ =0).

P

fig. 59

P

c

c

t

t

RA

fig. 60

RB

Como se comentó antes se deben colocar hierros inclinados para absorber las tensiones de tracción, como muestra la fig. 61 para la viga de la fig. 60.


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P

RB

RA

Criterios para el verificación y dimensionado en flexión transversal. Hemos visto que en el caso general de flexión, cuando existe momento flector M y esfuerzo de corte Q, los elementos que compone n la viga se encuentran sometidos a diversos estados tensionales como consecuencia de las diversas combinaciones de las tensiones normales y de corte que ocurren en las direcciones horizontal y vertical en cada punto. De los análisis realizados anteriormente surge que las únicas fibras sometidas a tensiones normales horizontales (de tracción o de compresión) son las más alejadas de la línea neutra, mientras que en los puntos del eje de la viga existen solamente tensiones de corte en las direcciones horizontal y vertical, que a la vez equivale a un estado de tensiones normales principales a 45°. El resto de los puntos de la viga se encuentran sometidos a un estado tensional de transición entre ambos. En consecuencia no resulta posible en principio saber en que lugares ocurre el mayor riesgo tensional. Para ello es necesario recurrir a las “teorías de rotura” que analizaremos al final del presente curso. De dicho análisis surge en definitiva una única tensión límite denominada “tensión equivalente ” o “tensión de comparación”. La segunda denominación hace alusión al hecho de poder establecer con ella una comparación con la tensión simple límite, que se obtiene de los ensayos a tracción o a compresión con probetas.

q(z)

D.Q.

D.M. c.máx

máx + c.máx

t.máx c.máx

máx t.máx

t.máx

fig. 62

Sin embargo, observando los diagramas de tensiones normales y de corte que ocurren en flexión transversal, fig. 62, generalmente las máximas tensiones normales ocurren principalmente en las fibras más alejadas de la línea neutra, justamente donde las tensiones de corte de anulan. Por el contrario, en la zona próxima a la capa neutra ocur ren tensiones de corte de valor máximo pero las tensiones normales son pequeñas o se anulan. Verificación: Por los motivos enunciados es comúnmente aceptado el criterio de verificar dos condiciones de resistencia (según el método de las tensiones) en dos puntos diferentes de la viga: verificación por tensiones normales y verificación por tensiones de corte. Este criterio es válido en los casos de vigas en los que las “tensiones de comparación” (que estudiaremos al final del curso) resulten en todos los puntos de la viga, de valor menor que las máximas tensiones simples calculadas con las fórmulas de Navier o de Jouravski. FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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Para los casos en que una combinación de tensiones normales y de corte, generen en ciertos puntos de la viga tensiones de comparación de valores importantes, entonces no será aplicable el criterio que expondremos a continuación. a) Verificación por tensiones normales: En las fibras más alejadas de la línea neutra correspondiente a las secciones de la viga con máximo momento flector, salvo q ue sea de sección variable. Se debe cumplir:

σ máx =

M máx ≤ σ adm Wx

b) Verificación por tensiones de corte: En la capa neutra y en la zona de la viga con máximo esfuerzo de corte se comprueba que: τ máx =

Qmáx ⋅ S x* ≤ τ adm b ⋅ Ix

Podría ocurrir que la máxima tensión de corte ocurriese en un lugar diferente al de la capa neutra. En ese caso deberá realizarse la verificación en dicho lugar. Dimensionado: En base a lo anteriormente expuesto, habitualmente se calcula la sección necesaria para la viga, en base a la condición de resistencia por tensiones normales haciendo: M máx σ adm y luego de adoptar una sección determinada, se verifican las tensiones de corte de acuerdo a lo antes visto, debiéndose cumplir que : Q máx ⋅ S *x ≤ τ adm b⋅ Ix Si ésta última condición no se cumpliera deberá recalcularse la sección hasta cumplir con esta condición. Wxnec ≥

FLEXIÓN OBLÍCUA Cuando las cargas que actúan sobre la viga no están situadas en un plano que contenga a un eje principal de inercia de la sección trans versal (la línea de fuerzas no coincide con uno de esos ejes), entonces la flexión se denomina oblicua o desviada. Si la sección no es simétrica el plano de cargas debe contener al centro de corte . De acuerdo a la disposición de las cargas puede ocurrir que la línea elástica se encuentre en un plano oblicuo en relación con el plano de cargas o que directamente no se encuentre contenida en un plano. Metodología de resolución Analizaremos la distribución de tensiones en flexión oblicua, utilizando la hipótesis de la independencia de acción de las fuerzas (o principio de superposición de efectos), además de las hipótesis utilizadas al resolver la flexión pura normal. Descomponemos entonces al momento flector oblicuo Mf y al esfuerzo de corte Q que eventualmente exista en una determinada sección, en dos momentos Mx y My y en dos esfuerzos de corte Qx y Qy, tal que, tanto Mx y Qx como My y Qy produzcan independientemente flexión simple normal en los planos zx y zy. FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00 Pág. 36 de 41



Las tensión normal σ en cualquier punto de la sección transversal, provocada por el momento Mf, se puede calcular entonces como la suma algebraica de las tensiones normales producidas por cada uno de los momentos componentes Mx y My. Lo propio se puede hacer con las tensiones de corte, en función de los esfuerzos de corte Qx y Qy, cuestión que no analizaremos. Por razones de simplicidad consideraremos una viga de sección rectangular de ancho b y altura h. No obstante ello el procedimiento se puede extender a otras formas de sección. Si la sección no posee simetría, se puede calcular la posición del centro de corte usando el procedimiento analizado en apartados anteriores, cuestión que tampoco incluiremos en este análisis.

My

y

x

Mx

P

G

Mf

My

x Mx

z

fig. 63 a

fig. 63 b

Sea el caso de flexión transversal de la fig. 63a. En una sección genérica el estado de cargas determina la presencia de un momento flector Mf oblicuo, fig. 63b, cuyo vector representativo forme un ángulo “α ” con el eje “x”. Los momentos componentes se obtienen por proyección resultando:

M x = M f ⋅ cos α

y

M y = M f ⋅ sen α [23]

Cada uno de los pares, de momento Mx o My producen flexión normal; las líneas neutras coinciden con los ejes x ó y. Podemos calcular las tensiones normales provocadas por cada uno de ellos utilizando la fórmula de Navier. La fig. 64 muestra la distribución de las tensiones normales provocadas por cada una de dichas componentes cartesianas del momento flector. En un punto cualquiera de coordenadas (x,y) la tensión normal será la suma algebraica de las dos tensiones componentes:

σ =

Mx My ⋅y− ⋅x Ix Iy

n

My G

Mx

x

n

[24]


fig. 64 Pág. 37 de 41



Los momentos componentes de la (24) se calculan previamente con la (23). Posición de la línea neutra: A la posición de la línea neutra nn, que reúne a los puntos de la sección sin tensiones normales, la determinaremos precisamente iguala ndo a cero la expresión (24):

Mx My ⋅ y− ⋅x=0 Ix Iy

[25]

La (25) representa una línea recta que contiene al origen O, coincidente con el centroide G, fig. 64, ya que Mx, My, Ix, Iy, son valores fijos en dicha sección. La forma explícita de esa ecuación es:

y= en la que:

I x My ⋅ I y Mx

I x My ⋅ ⋅x I y Mx

[25´]

representa la pendiente de la línea neutra nn.

Dicha pendiente es la tangente trigonométrica del ángulo “β ” de inclinación de la línea neutra nn con respecto al eje x, fig. 64.

tgβ =

I x My ⋅ I y Mx

[26]

Entonces podemos expresar la (26) de la siguiente manera:

tgβ =

IX ⋅ tgα [27] Iy

ya que de la fig. 63 es:

tgα =

My Mx

Esto se interpreta del siguiente modo: la posición de la línea neutra, de modo diferente que en flexión normal, no es perpendicular al plano de carga (o sea que no coincidente con el vector momento flector Mf) sino que se inclina un ángulo “β ” diferente de “α ” que depende tanto de la geometría de la sección como también de la posición del vector momento flector absoluto Mf. En la expresión (27) se observa que solamente habrá coincidencia entre el vector Mf y la línea neutra nn cuando los momentos de inercia Ix e Iy sean iguales. Caso contrario la inclinación de la línea neutra estará directamente condicionada por la esbeltez de la sección. Para secciones muy esbeltas (h>>b) de la (27) resulta que la línea neutra se inclina mucho cuando hay una leve inclinación del vector momento absoluto Mf. Ello trae como consecuencia que en vigas de sección esbelta exista el riesgo de inestabilidad lateral cuando el plano de carga deja de ser vertical. Por tal motivo los perfiles normalizados muy esbeltos como los “doble te” de alas angostas, son inadecuados para trabajar (sin sostenes laterales) con cargas que pueden desviarse de la verticalidad, lo que puede acarrear el colapso por inestabilidad lateral. Tensiones máximas: Analizaremos dos tipos de sección, en primer lugar un caso muy común en las construcciones, las que poseen doble simetría con los cuatro vértices de la sección coincidiendo con los del rectángulo que la contiene, como los perfiles representados en las figuras 55b, 55c, 56a, 56d y 56f. Luego analizaremos secciones que no poseen los cuatro FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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vértices en la condición anterior, como así también las que no poseen simetría, por ejemplo las secciones mostradas en las figuras 13, 14b, 47, 55a, 56b y 56c. a) Sección con doble simetría con los cuatro vértices coincidiendo con los de un rectángulo: Sea la viga de la fig. 63 pero con una sección “doble te” simple, como la indicada en la fig. 65, en la que se han representado los diagramas de tensiones. En los mismos se observa que las máximas tensiones de tracción y compresión ocurren en los vértices opuestos “t” y “c”, en los que, debido a las particularidades de la doble simetría, se suman los aportes máximos producidos por Mx y My , para la tensión σ. Utilizando la fórmula (24) para el punto de máxima tracción “t”, donde xmáx= b/2 , ymáx=h/2 y siendo el momento My negativo de acuerdo a la convención utilizada, resulta:

σ máx =

Mx h − My b ⋅ − ⋅ Ix 2 Iy 2

σ máx =

Mx My + Wx Wy

[28] (con el valor absoluto de My)

En el punto “c” resulta la misma expresión pero con signo negativo (compresión).

P y

P y

t

t

n

n

h

x

t.máx

x t1

G

Mf

t.máx

c

c

Mf

b n n

c.máx

fig. 65

fig. 66

c.máx

Como el acero de los perfiles normales posee tensiones admisibles iguales a tracción y a compresión, la tensión calculada deberá ser menor o igual a σadm. b) Secciones no inscriptas en el rectángulo Analizaremos una sección de simple simetría como la mostrada en la fig. 66. Para casos como este, se debe utilizar la forma general (24) para las tensiones, en la que (x,y) serán FLEXION_Resistencia_2008.doc - 02/11/2009 11:02:00

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reemplazados por las coordenadas de los puntos más alejados de la línea neutra, tanto en la dirección x como en la dirección y. Los signos de cada sumando dependerán de la convención que se considere para las componentes cartesianas Mx y My. Puede haber más de un punto en los cuales las tensiones con tracción o con compresión resulten importantes. Puede ser conveniente entonces calcular primero la posición de la línea neutra nn, para ubicar la posición de los puntos más alejados, y para ellos calcular las tensiones máximas. Es necesario entonces utilizar la expresión (26) En la figura 66 se ha representado la línea nn. Los puntos “c” y “t” resultan ser los más alejados. Con sus coordenadas y con la expresión (24) se pueden entonces calcular las tensiones máximas de tracción y de compresión. Si “β ” hubiese resultado más grande podría ocurrir que el punto más alejado en tracción fuese “t1 ” en lugar de “t” y en dicho caso deberíamos utilizar sus coordenadas en la (24). Si el material resiste igual a tracción y a compresión, entonces la viga debe ser verificada en base a la máxima tensión absoluta en las fibras más alejada de todas. En cambio si el material tiene diferentes resistencias, se deberá verificar la viga con la doble comprobación para tracción y compresión respectivamente : σt.máx = σt.adm ; σc.máx = σc.adm . Dimensionado de vigas en flexión oblicua Secciones cualesquiera: (caso “b”, o un caso sin simetría) Para secciones de cualquier forma y en general para materiales que resisten de modo diferente a tracción y a compresión, el modo más elemental para dimensionar, consiste en proponer un diseño y efectuar luego la verificación de las máximas tensiones de tracción y compresión, comparándolas con las admisibles respectivas, hasta que se verifiquen ambas. Secciones rectangulares y perfiles normales de doble simetría : (caso a) En estos casos el problema se simplifica bastante, por la simplicidad del cálculo de las tensiones máximas de tracción y de compresión, como vimos antes. Utilizaremos la fórmula (28) que la igualamos a la tensión admisible del material:

σ máx =

Mx My + ≤ σ adm [28´] Wx Wy

Como en ella hay dos incógnitas Wx y Wy , es necesario utilizar una nueva ecuación para poder resolverlas. Podemos relacionar ambas incógnitas modificando convenientemente la expresión anterior como sigue.  M x Wx M y 1  W + ⋅ = ⋅ M x + x ⋅ M y  ≤ σ adm  Wx Wx W y Wx  Wy  Podemos explicitar Wx considerando directamente el signo igual (=):

Wx =

1 σadm

  W ⋅  M x + x ⋅ M y  Wy  

Wx =

Mx + C ⋅ M y σ adm

[29]

en la que c = Wx [30] Wy

Si bien en esta expresión se presentan nuevamente las dos incógnitas en cuestión, veamos en cada caso como utilizar la relación entre ellas. Sección rectangular: Es: Wx =

b ⋅ h2 6

Wy =

b2 ⋅ h 6


de donde

Wx h = Wy b Pág. 40 de 41



Como la relación de lados h/b suele ser un dato de diseño, queda resuelto el problema. Podemos escribir la expresión [29] para calcular Wx del siguiente modo:

Wx =

Mx +

h ⋅My b

σadm

El valor que se obtiene para Wx permite calcular “h” y “b” ya que se conoce la relación entre h y b. Perfiles “doble te”: Para los perfiles “doble te” la relación entre los módulos resistentes (Wy / Wx ) cambia poco desde los perfiles más pequeños hasta los más grandes. Dicha relación, que se puede comprobar con los valores numéricos de las tablas, oscila entre 7 y 10 aproximadamente. Se utiliza entonces la expresión [29] en la que c =

Wx cuyo valor se muestra para los perfiles Wy

“doble te ” angostos en la tabla que sigue: PN I

8

12

16

20

24

28

32

36

40

c

6,5

7,38

7,9

8,23

8,49

8,86

9,23

9,56

9,79

Entonces se puede hacer un primer cálculo de aproximación con un valor intermedio de ese rango y luego, con el Wx calculado, ubicar en la correspondiente tabla de perfiles, el más próximo ya sea por arriba o por debajo del valor calculado. Con los valores de tabla de Wx y Wy, para el perfil seleccionado se hace la verificación con la expresión [28´]. Si la tensión máxima resulta muy pequeña o contrariamente muy grande, se considera entonces el perfil próximo mayor o el menor según sea el valor de la tensión calculada. Normalmente con el primero o el segundo cálculo se resuelve la cuestión.

Este material de apoyo didáctico, cuyos manuscritos originales fueran preparados por el exprofesor de la Cátedra “Estabilidad”, Ing. Guillermo Pons, fue adaptado, modificado y ampliado, y está destinado exclusivamente para el uso interno de las asignaturas “Estabilidad” de la carrera Ingeniería Eléctrica y “Resistencia de Materiales” de la Carrera Ingeniería Civil de la Facultad Regional Santa Fe de la U.T.N. Colaboraron en parte de la digitalización del presnete trabajo los alumnos del curso 2005 de “Estabilidad”, Pablo Macor y Leandro Maspóns. Profesor: Ayudantes de TP:

Ing. Hugo A. Tosone. Ings. Federico Cavalieri - Alejandro Carrere.

Revisado: Octubre de 2008.


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FLEXIÓN (RESISTENCIA): RESUMEN DE FÓRMULAS, TABLAS σz =

M y In

[2] Fórmula de NAVIER

máxima de tracción :

σ max =

Módulos para ambas fibras

Si

c1 = c 2 = y max

M c1 In

Wn = 1

entonces:

máxima de compresión:

In c1

Wn = 2

Resultan las tensiones:

σ máx = σ mín = ±

2

M c2 In

In c2

Wn = Wn = Wn = 1

σ min =

I n (los W no se suman) ymax

M Wn

a) Materiales con diferentes resistencias a tracción y compresión. máxima tracción:

σ t máx =

M max ⋅ h t ≤ σ t adm [3 a] In

Mmax ⋅ h c ≤ σc adm [3 b] In

máxima compresión:

σc máx =

Diseño óptimo:

ht σ t adm = hc σ cadm

b) Materiales con igual resistencia a tracción y compresión:

σ máx =

M máx ≤ σ adm [4] Wn

siendo:

Wn =

I n [5] y máx

Tensiones en la Flexión con Corte : ecuación de equilibrio: H = R 2 − R1 Jouravski: τ yz

[6]

Q.S x* = [7] b y .I x

Sección rectangular:

6.Q  h 2 2  τ zy =  −y  3 b.h  4  4Q

Sección circular: τ zy max = 3F

Máxima tensión:

Otras Formas:

τ zy

Tensión máxima en la sección “doble te” de planchuelas τ max = 1

τ zy max =

max

3Q 2F

= α ⋅τmedio

(

[8]

[9]

Q 2 2 bh 2 − bh1 + b1 h1 8 .b1.I x

)

τ max ≅

Fórmula aproximada (aplicable también para perfiles normales):

Tensiones en las alas;

τ zx

Q ⋅ S *x = t ⋅ Ix

Máxima tensión: (τ zx )máx =

Q [11] h1 .b1

S *x = k1 ⋅ x [14]

con:

Q ⋅ (b − b1 ) ⋅ ( h + h1) [15] 8 .I x

mater. 3

Vigas de materiales distintos:

b´

Sección homogeneizada de rectángulos.

mater. 2

Se hace para cada material: b´= E 2 ⋅ b referido a uno de los

mater. 1

E1

materiales.

b

Se calcula el momento de inercia de la sección homogeneizada.

fig. 46

Se calculan las tensiones para la sección homogeneizada y luego se corrigen las tensiones en los materiales modificados con: σ = σ ⋅ E 2 2 1

[17]

E1

Viga de 3 (o más) materiales diferentes: E E E E σ3 = 3 ⋅ σ1 b' = 2 ⋅ b b ' ' = 3 ⋅ b σ 2 = 2 ⋅ σ1 E1 E1 E1 E1

Sección homogeneizada

Sección original

a/2

h

Hormigón y acero:

n

a=

 n⋅ A  2⋅b ⋅ h  1+  − 1  b  n⋅A 

hormigón

M (z ) W( z )

=

h

b

a

n.A

barras de acero

b M máx = σ adm Wmáx

n

[18]

Vigas de sección variable: M máx Wmáx

fig. 48

Modificación del extremo por tensiones de corte: Sección rectangular de ancho variable: b = 1,5 ⋅ Q 0

h ⋅ τadm

Sección rectangular de altura variable: h = 1,5 ⋅ Q 0

h ⋅ τ adm

Flexión oblicua:

σ =

Mx My ⋅y− ⋅ x [24] Ix Iy

I x My ⋅ posición de la LN: tgβ = [26] I y Mx

2

a

a. Sección con doble simetría con los cuatro vértices coincidiendo con los de un rectángulo:

σ máx =

Mx My M + C⋅My + [28] Wx = x [29] Wx Wy σ adm

en la que c = Wx [30] Wy

Perfiles “doble T” PN I

8

12

16

20

24

28

32

36

40

c

6,5

7,38

7,9

8,23

8,49

8,86

9,23

9,56

9,79

b. Secciones no inscriptas en el rectángulo :

σ=

Mx My ⋅y− ⋅ x [24] Ix Iy

Si el material resiste diferente a tracción y a compresión: σt.máx = σt.adm ; σc.máx = σc.adm Si el material resiste igual a tracción y a compresión: σ máx = σadm

Profesor: Ing. Hugo A. Tosone. J.T.P.: Ingenieros: Federico Cavalieri y Alejandro Carrere. Octubre de 2008. 3

Flexion Resistencia Teoria Formulas

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