III-6. Solución de Kozeny para la línea de corriente superior en una presa de tierra. α = 180°.
Esta curva se presenta en la línea superior de corriente (LSC) cuando se tiene un filtro horizontal.
En 1931 Kozeny analizó rigurosamente este problema, llegando a una solución en que las familias de las líneas de flujo y las equipotenciales son dos familias de parábolas de mismo foco ( Punto A)
Haciendo referencia a los Ejes X - Y de la figura y de acuerdo con definición de parábola se observa que si:
[Lugar Geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco ( Punto A) y una recta llamada directriz (Línea CD)] Parábola básica y dos familias de parábolas de mismo foco ( Punto A)
Consideramos Sustituyendo y elevando al cuadrado ambos miembros se obtiene:
despejando x:
Esta ecuación representa la parábola de Kozeny.
M En la solución se supone otra vez un punto conocido M de coordenadas d y h con el cual se pueden encontrar las distancias:
y Usando nueva mente la definición de parábola se tiene que:
Parábola básica y dos familias de parábolas de mismo foco ( Punto A)
Donde: d y h son la abscisa y la ordenada respectivamente del extremo de la parábola.
Pero se tiene que:
Remplazando tenemos:
= = ( + )
M La relación entre a y y que se anoto anteriormente conocida
corresponde
a
una
propiedad de la parábola;
también es propiedad de esta cónica en este caso que su inclinación sobre el origen (x
= 0 , y = y ) es a 45 . °
Tomando la pendiente de la línea de corriente superior cuando x = 0, es igual a la unidad (la tangente en este punto forma 45° con respecto a la horizontal) y que i (gradiente hidráulico) = 1. De acuerdo a Dupuit resulta que el gasto por unidad de ancho, de acuerdo con la solución de Kozeny, es igual a:
En esta solución también el gasto a través de la presa, por unidad de ancho está dado por:
= =
M
En la solución de Kozeny, por lo tanto, a línea de corriente superior es una parábola que pasa por M y tiene su foco en A.
La parábola de Kozeny ha sido denominada frecuentemente la Parábola Básica.
Conclusión:
= Filtro Horizontal α = 180°
Kozeny
−
= =
+
= =
SOLUCION DE A. CAZAGRANDE PARA LA LINEA DE CORRIENTE SUPERIOR EN UNA PRESA DE TIERRA 60 ᵒ < α < 180ᵒ A. Cazagrande extendió la solución rigurosa de Kozeny de manera de llegar a soluciones aproximadas, pero de alto valor practico útiles para los casos en que el ángulo α tiene valores comprendidos entre 60ᵒ < α < 180ᵒ
Adoptar como primera aproximación para la forma de la línea de corriente superior la parábola básica de Kozeny .
Corregir tanto la entrada como la salida de la tangente al talud aguas abajo a fin de lograr que la línea que se traza satisfaga ambas condiciones
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Forma de trazar una parábola, suficientemente aproximada a la parábola de Kozeny
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60ᵒ < α < 180ᵒ Se traza la parábola básica con foco en A La posición de a0 se determina con la formula Determinación previa del punto M siguiendo la regla conocida
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Luego del trazado de la parábola, debemos ubicar el punto 4
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Debemos notar que a medida que aumenta
decrece cuando el ángulo
Procedimiento grafico para obtener el punto de intersección entre la parábola básica y el talud aguas abajo (B), cuando se tiene: α < 90°
1 = = 2 2
+ ℎ
Procedimiento grafico para obtener el punto de intersección entre la parábola básica y el talud aguas abajo (B), cuando se tiene: α > 90°
1 = = 2 2
+ ℎ
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Utilizando la solución de A. Casagrande : se puede obtener el gasto directamente de la red de flujo trazada a partir de la línea de corriente superior.
El factor de forma es dado por la relación nf/ne , el ne es diferente si las caídas de potencias se encuentran sobre la línea de corriente superior o sobre la superficie impermeable horizontal ( frontera inferior de la región de flujo
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También se puede escribir :
El gasto puede calcularse en cualquier franja parcial de la región de flujo comprendida entre dos equipotenciales sucesivas, la línea de corriente superior y la frontera impermeable, q es el mismo en cualquiera de esas franjas. Ecuación general, usando toda la red, h es la perdida total de carga y el ne será el numero de veces que cabe ∆h en h ( el numero de caídas de potencial de la red contadas sobre la superficie impermeable horizontal
