Flujo Laminar y Turbulento

REGÍMENES DE FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO Las ecuaciones que rigen el régimen laminar de flujo son las mismas que en el flujo turbulento, las denominadas ecuaciones de Navier-Stokes que para un flujo de un fluido newtoniano e incompresible son: (1)

Las incógnitas de estas ecuaciones son el campo de velocidades y el de presiones de presiones . El régimen laminar se caracteriza por un movimiento ordenado de las partículas de fluido, existiendo unas líneas de corriente y trayectorias   bie bienn defi defini nida das. s. En el régi régime menn turb turbul ulen ento to las las part partíc ícul ulas as pres presen enta tann un movimiento caótico sin que existan unas líneas de corriente ni trayectorias definidas. En cuanto al campo de velocidades de uno u otro régimen, si en un  punto de un campo de flujo se hiciera una medida del valor de una variable de campo (por ejemplo de la componente de la velocidad en dirección X) se obtendría que en régimen laminar ésta presenta un valor bien definido que es constante en el tiempo si las condiciones de contorno del flujo son estacionarias o presenta una ordenada variación temporal si las condiciones de contorno varían en el tiempo. En el régimen turbulento en cambio las vari variab able less de fluj flujoo pres presen enta tann un unaa vari variac ació iónn temp tempor oral al,, aún aún cuan cuando do las las condiciones de contorno del flujo sean estacionarias, muy rápida y aleatoria en un amplio rango de frecuencias (se han medido rangos entre 0 y 10000 Hz).

Figura 1. Regimenes laminar y turbulento

El inte intent ntar ar ob obte tene nerr un unaa solu soluci ción ón a las las ecua ecuaci cion ones es del del fluj flujoo en régimen turbulento esta fuera del alcance del análisis matemático y el cálculo numérico actuales. De forma similar a la teoría cinética donde se estudia el movimiento de infinidad de moléculas hay que recurrir a un estudio estadístico de la turbulencia trabajando con propiedades promedio. Una posibilidad de promediar las variables de flujo es considerar que en un  punto del campo las variables vienen dadas como la suma de un valor  promedio y una fluctuación turbulenta: (2) El valor promedio temporal de una variable se obtiene de la forma:

(3)

Siendo T un periodo tal que el valor promedio obtenido es independiente de este valor. T es mucho más pequeño que la variación del valor promedio de forma que éste último podrá depender del valor del tiempo alrededor del cual se toma el promedio pero no de la amplitud elegida para realizarlo. De la definición de las variables promedio se deduce que: (4)

Aunque los valores promedios de las fluctuaciones sean cero no es cierto que el promedio del producto de dos fluctuaciones lo sea, por  ejemplo: (5) Una vez que se ha definido la manera de promediar, se toman valores promedio en las ecuaciones de Navier-Stokes.

(6 )

Aquí no se va a entrar en el detalle del resultado obtenido al realizar  estos promedios (para ello puede consultarse la bibliografía) pero decir que las ecuaciones que se obtienen son: (7)

La ecuación de la continuidad tiene el mismo aspecto sólo que en lugar del campo de velocidades aparece el campo de velocidades promedio. La ecuación de la cantidad de movimiento presenta, además del cambio de las velocidades instantáneas por las promedio, la aparición de un nuevo término, unas tensiones adicionales que se denominan tensiones turbulentas de Reynolds. Estas tensiones cuantifican la influencia de la fluctuación turbulenta en el campo de flujo promedio. Para poder resolver las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas es necesario conocer como se relacionan estas tensiones turbulentas con las variables de flujo. A la relación matemática esta relación entre , y se conoce como modelo de turbulencia. Es en esta modelación, donde se investiga actualmente, es donde reside la dificultad de resolver el flujo turbulento. Los modelos que se han propuesto son semiempíricos y no son universales entre ellos se podían citar el modelo de longitud de mezcla de Prandtl, el modelo k -ε y el modelo k -ε realizable. Resolución en régimen turbulento del flujo estacionario, incompresible y completamente desarrollado en una tubería de sección circular REGIMEN LAMINAR  En régimen laminar para este flujo se obtiene una relación entre el caudal q que circula por la tubería y la diferencia de altura piezométrica entre sus extremos mediante la integración de las ecuaciones diferenciales que permiten la obtención del perfil de velocidades para posteriormente hallar el caudal. Siendo Z la dirección del flujo la ecuación de la cantidad de movimiento queda como:

(8) Que puede integrarse: (9) La constante C debe ser cero para que la tensión cortante en r=0 tome un valor finito. (10) En el caso de flujo laminar se cumple que: (11) Sustituyendo en (12) Integrando esta ecuación diferencial: (13) La constante de integración se obtiene por medio de la condición de contorno: (14) Donde el perfil de velocidades queda como: (15)

El perfil de velocidades en régimen laminar es un paraboloide. El valor  máximo de la velocidad se produce en r=0 y vale:

(16) Ahora para obtener la relación entre el caudal y la diferencia de alturas piezométricas entre los extremos de una tubería se integra el perfil de velocidades: (17)

(18) Integrando esta ecuación diferencial se obtiene: (19) O en función de la velocidad media: (20)

Esta relación indica que en régimen laminar la caida de altura piezométrica en una tubería es proporcional a la velocidad. REGIMEN TURBULENTO En régimen turbulento no es posible, al menos de forma directa, hallar el perfil de velocidades mediante la integración de las ecuaciones diferenciales. Para hallar entonces la relación entre la caida de altura  piezométrica y el caudal se partirá la ecuación (10) que nos da la distribución de tensiones cortantes en la tubería. De aquí se obtiene una relación entre la diferencia de alturas piezométricas y el esfuerzo cortante en la pared W: 

(21) La experiencia demuestra que el esfuerzo cortante en la pared de un conducto es función de: (22)

Mediante el análisis dimensional se obtiene que: (23) Al parámetro adimensional que contiene al esfuerzo cortante en la  pared se le denomina factor de fricción: (24) quedando la ecuación (22) como: (25)

(26) Esta ecuación conocida como ecuación de DARCY-WEISBACH es válida tanto para régimen laminar como turbulento. En régimen laminar  el valor de f se obtiene de forma analítica a partir del perfil de velocidades. La ecuación (20) se puede volver a escribir: (27) En régimen laminar en tuberías (Re<2300) la relación entre el factor  de fricción y el número de Reynolds es: (28) De la ecuación (26) se obtiene que en régimen laminar el factor de fricción no depende de la rugosidad relativa de la tubería (ε /D). En régimen turbulento la relación entre f y Re y ε /D ha sido objeto de muchos estudios teórico experimentales. Los resultados se presentan en el diagrama de Moody. PERFIL DE VELOCIDADES EN RÉGIMEN TURBULENTO Como se ha comprobado en la obtención de la ecuación (25) no se han integrado las ecuaciones diferenciales del flujo para obtener el perfil de

velocidades. En el caso de régimen turbulento la obtención del perfil de velocidades es algo complicada. En ciertas ocasiones el perfil se aproxima  por una ley de potencia de la forma: (29) Donde n vale: (30) Siendo κ  una cosntante de valor de 0.41 Integrando la ecuación (29 ) se obtiene: (31) (32)

UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIVIL LABORATORIO DE MECANICA DE FLUIDOS

FLUJO LAMINAR Y TURBULENO

INTEGRANTES: VALENCIA, JUNIO DEL 2003

BIBLIOGRAFIA WWW.Flujo Laminar y Turbulento\FAQ12.html FAQ Mecánica de Fluidos I. © Escuela Superior de Ingenieros-Universidad de Navarra Campus Tecnológico de la Universidad de Navarra TECNUN MECANICA DE FLUIDOS APLICADA, Robert L. Mott. PrenticeHall. 1994. 4 ed

CALCULOS PRELIMINARES 1. Para cada condición de flujo determine en caudal Q y la velocidad  media V.

Q=v/t V=Q/A A = Π * R 2 = Π * (D/2) 2

Ya como el área es igual para todos los experimentos, los utilizaremos como una constante A = Π * 5,85x10-3 2

2

A = 2,688x10-5 m2

Experimento # 1 Datos: Tiempo: 30 seg. Volumen: 62 ml. = 62x10-6 m3 D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m A = 2,688x10-5 m2 Q = 62x10-6 m3 30 seg

Q = 2,067x10-6 m3/seg

V = 2,067x10-6 m3/seg 2,688x10-5 m2

V = 0,077 m/seg

Experimento # 2 Datos: Tiempo: 30 seg Volumen: 100,1 ml = 100,1x10-6 m3 D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m

A = 2,688x10-5 m2 Q = 100,1x10-6 m3 30 seg V = 3,337x10-6 m3/seg 2,688x10-5 m2

Q = 3,337x10-6 m3/seg V = 0,124 m/seg

Experimento # 3 Datos: Tiempo: 30 seg. Volumen: 160 ml. = 160x10-6 m3 D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m A = 2,688x10-5 m2 Q = 160x10-6 m3 30 seg V = 5,333x10-6 m3/seg 2,688x10-5 m2

Q = 5,333x10-6 m3/seg

V = 0,198 m/seg

Experimento # 4 Datos: Tiempo: 30 seg. Volumen: 565 ml. = 565x10-6 m3 D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m A = 2,688x10-5 m2 Q = 565x10-6 m3 30 seg V = 1,883x10-5 m3/seg 2,688x10-5 m2 Experimento # 5 Datos:

Q = 1,883x10-5 m3/seg V = 0,700 m/seg

Tiempo: 30 seg. Volumen: 580 ml. = 580x10-6 m3 D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m A = 2,688x10-5 m2 Q = 580x10-6 m3 30 seg

Q = 1,933x10-5 m3/seg

V = 1,933x10-5 m3/seg 2,688x10-5 m2

V = 0,719 m/seg

Experimento # 6 Datos: Tiempo: 30 seg. Volumen: 640 ml. = 640x10-6 m3 D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m A = 2,688x10-5 m2 Q = 640x10-6 m3 30 seg

Q = 2,133x10-5m3/seg

V = 2,133x10-5 m3/seg 2,688x10-5 m2

V = 0,793 m/seg

2. Trace la recta más probable en cada conjunto de alturas piezomètricas medidas en función de la distancia x recorrida por el flujo.

Experimento # 1 Experimento # 2 Experimento # 3 Experimento # 4 Experimento # 5 Experimento # 6

H1 cm 102,2 103 103,3 97 97,2 97,5

H2 cm 102,5 103 102,5 88,2 88,4 88,3

H3 cm 102,8 102,7 101,6 80,3 80,5 80,5

H4 cm 102,4 102,2 100,5 67 67,4 67,3

H5 cm 102,5 101,6 99,8 57,7 58 57,8

3.  Determine la pendiente de las rectas obtenidas en el paso (2). Estas   serán los gradientes piezomètricos obtenidos experimentalmente. La observación del colorante les indicara el tipo de flujo característico de cada uno de los gradientes obtenidos.

Pendiente = Y2 – Y1 X2 – X1

gradiente = Y2 – Y1  piezomètrica X2 – X1

Experimento # 1 dh = 1,022m – 1,028m dx 2,5m – 0,5m

dh = - 0,003 dx

Experimento # 2 dh = 1,022m – 1,030m dx 2m – 0,5m

dh = -0,00533 dx

Experimento # 3 dh = 1,016m – 1,033m dx 1,5m – 0,5m

dh = - 0,017 dx

Experimento # 4 dh = 0,670m – 0,970m dx 2m – 0,5m

dh = - 0,2 dx

Experimento # 5 dh = 0,880m – 0,972m dx 1m – 05m

dh = - 0,184 dx

Experimento # 6 dh = 0,578m – 0,975m dx 2,5m – 0,5m

dh = - 0,1985 dx

4. Calcule el número de Reynolds  R , el factor de fricción f y el gradiente  piezomètrico para cada condición de flujo y según su observación del  colorante. Verifique el tipo de flujo que se esperaría de acuerdo con el  valor de  R.

Numero de Reynolds (R) = 0,864x10-6 m2/seg

R=V*D

entre 0 a 2000

flujo laminar

Cuando Reynolds (R ) > 4000

flujo turbulento

Factor de fricción Para flujo lamina f = 64 / R  Para flujo turbulento

f = 0,316 / R 0,25

Gradiente piezométrico Laminar

- dh = 32 * V dx g * D2

Turbulento

- dh = 0,158 0,25 * V 1,75 dx g * D1,25

Experimento # 1 Datos: V = 0,077 m/seg D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m = 0,864x10-6 m2/seg R = 0,077 m/seg * 5,85x10-3 m laminar  0,864x10-6 m2/seg

R = 521,354

flujo

f = 64 / 521,354

f = 0,123

- dh = 32 * 0,864x10-6 m2/seg * 0,077 m/seg 6,341x10-3 dx 9,81 m/seg * (5,85x10-3 m)2

- dh = dx

Experimento # 2 Datos: V = 0,124 m/seg D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m = 0,864x10-6 m2/seg R = 0,124 m/seg * 5,85x10-3 m laminar  0,864x10-6 m2/seg f = 64 / 839,583

R = 839,583

flujo

f = 0,076

- dh = 32 * 0,864x10-6 m2/seg * 0,124 m/seg 10,212x10-3 dx 9,81 m/seg * (5,85x10-3 m)2

- dh = dx

Experimento # 3 Datos: V = 0,198 m/seg D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m = 0,864x10-6 m2/seg R = 0,198 m/seg * 5,85x10-3 m laminar  0,864x10-6 m2/seg f = 64 / 1340,625

R = 1340,625

flujo

f = 0,048

- dh = 32 * 0,864x10-6 m2/seg * 0,198 m/seg 16,306x10-3

- dh =

dx

9,81 m/seg * (5,85x10-3 m)2

dx

Experimento # 4 Datos: V = 0,700 m/seg D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m = 0,864x10-6 m2/seg R = 0,700 m/seg * 5,85x10 -3 m turbulento 0,864x10-6 m2/seg f = 0,316 / (4739,583) 0,25

R = 4739,583

flujo

f = 0,038

- dh = 0,158 * (0,864x10-6 m2/seg)0,25 * (0,700 m/seg)1,75 0,162 dx 9,81 m/seg * (5,85x10-3 m)1,25

- dh = dx

Experimento # 5 Datos: V = 0,719 m/seg D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m = 0,864x10-6 m2/seg R = 0,719 m/seg * 5,85x10 -3 m turbulento 0,864x10-6 m2/seg f = 0,316 / (4868,229) 0,25

R = 4868,229

f = 0,038

- dh = 0,158 * (0,864x10-6 m2/seg)0,25 * (0,719 m/seg)1,75 0,170 dx 9,81 m/seg * (5,85x10-3 m)1,25 Experimento # 6

flujo

- dh = dx

Datos: V = 0,793 m/seg D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m = 0,864x10-6 m2/seg R = 0,793 m/seg * 5,85x10 -3 m turbulento 0,864x10-6 m2/seg f = 0,316 / (5369,270) 0,25

R = 5369,270

flujo

f = 0,037

- dh = 0,158 * (0,864x10-6 m2/seg)0,25 * (0,793 m/seg)1,75 0,202 dx 9,81 m/seg * (5,85x10-3 m)1,25

- dh = dx

5. Determine los coeficientes de fricción f con los gradiente piezomètricos determinados con la pendiente de las rectas probables y compárelos con los del paso anterior 

Coeficiente de fricción (f) f = - dh * D * 2g dx V2 Experimento # 1 Datos: V = 0,077 m/seg D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m dh = - 0,0003 dx f = 0,003 * 5,85x10-3 m * 2*9,81m/seg2 (0,077 m/seg)2 Experimento # 2 Datos: V = 0,124 m/seg

f = 0,05807

D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m dh = - 5,33x10-4 dx f = 5,33x10-3 * 5,85x10-3 m * 2*9,81m/seg2 (0,124m/seg)2

f = 0,0397

Experimento # 3 Datos: V = 0,198 m/seg D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m dh = - 0,0017 dx f = 0,017 * 5,85x10-3 m * 2*9,81m/seg2 (0,198m/seg)2

f = 0,049

Experimento # 4 Datos: V = 0,700 m/seg D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m dh = - 0,2 dx f = 0,2 * 5,85x10-3 m * 2*9,81m/seg2 (0,700 m/seg)2

f = 0,0473

Experimento # 5 Datos: V = 0,719 m/seg D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m dh = - 0,184 dx F f = 0,184 * 5,85x10-3 m * 2*9,81m/seg2 (0,719 m/seg)2

f = 0,0408

Experimento # 6 Datos: V = 0,793 m/seg D = 5,85 mm = 5,85x10-3 m dh = - 0,1985 dx f = 0,1985 * 5,85x10-3 m * 2*9,81m/seg2 (0,793 m/seg)-2

f = 0,0362

Cálculos para la representación grafica de las ecuaciones de gradiente de presiones para flujo laminar y turbulento en función de la velocidad Flujo Laminar: R=V*D

Laminar

; Para R = 1000 ; Para R = 2000 ;

V = 0,1476 m/seg V = 0,2964 m/seg

- dh = 32 * V dx g * D2

Con R = 1000 y V = 0,1476 m/seg ; dh/dx = -1,22x10-2 Con R = 2000 y V = 0,2964 m7seg ; dh/dx = -2,44x10-2 Flujo Turbulento: Turbulento

- dh = 0,158 0,25 * V 1,75 dx g * D1,25

Para R = 4000 ; Para R = 6000 ;

V = 0,39 m/seg ; dh/dx = 0,12 V = 0,88 m/seg ; dh/dx = 0,43

Cálculos para la representación de la grafica de F en función de R  Flujo Laminar f = 64/R

con R = 1000 ; f = 0,064 R = 2000 ; f = 0,032

Flujo turbulento f = 0,3167R 0,25 con R = 4000 ; f = 0,039 R = 6000 ; f = 0,037

OBJETIVO Comprobación de la perdida de carga en un flujo laminar y turbulento mediante la utilización del piezómetro como aparato esencial en esta practica.

CONCLUSIÓN Mediante la utilización del piezómetro podemos observar como ocurre una perdida de carga a lo largo de una tubería. Esto se debe a la rugosidad del tubo que provoca que la energía con la que el fluido va a trabes de la tubería sea trasformada en calor y esto hace que la presión disminuya. Se realizaron seis mediciones de caudal indirectas y se calculo luego el R para saber si esta en régimen laminar o turbulento. En los gráficos de altura piezométrica vs. distancia recorrida del flujo hubo disparidad de los  puntos obtenidos en el laboratorio con respecto a la recta probable trazada en cada grafica pero esto puede ser debido a razones de paralaje. Nótese que las curvas de gradiente piezometrico en función de la velocidad del flujo y la grafica de “f” en función del R que los puntos estuvieron muy cerca de la recta teórica por lo tanto las mediciones pueden considerarse aceptables. En los cálculos preliminares observamos que en flujo turbulento fueron mas cercanos los valores calculados indirectamente de las  pendientes de las rectas probables y de el calculo indirecto del gradiente   piezometrico con las ecuaciones de flujo laminar y turbulento. Esto también se podría anticipar observando las graficas ya que existe mayor  disparidad de valores en las graficas de régimen laminar. Con lo cual concluimos que las alturas piezometricas que se toman en régimen laminar  deben hacerse con mucha precaución debido a que se incurre en error muy fácilmente, esto se debe a que la caída de presión es pequeña y las alturas  piezometricas están casi a un mismo nivel.