Formula Euler
Sisi-sisi pada sebuah graph bidang G membagi bidang datar menjadi beberapa daerah (region) region) atau muka ( face ( face)) yang disimbulkan dengan f. Himpunan semua muka graph bidang G dinotasikan dengan F(G). Banyaknya sisi G yang membatasi suatu muka f dari G disebut derajat dari muka f dan dinotasikan dengan d G(f) atau d(f). Dengan catatan, setiap sisi pemutus graph G dihittung dihitt ung dua kali dalam menghitung derajat muka. Sebuah sisi s isi e graph G disebut sisi-pemutus, jika banyaknya komponen graph G-e lebih banyak dari pada banyak komponen Misalnya, graph G pada Gambar 2.1 memiliki empat muka yaitu: f 1, f 2, f 3, dan f 4. Jadi F(G) = { f 1, f 2, f 3, f 4}. Terdapat 3 sisi yang membatasi muka f 1 yaitu bc, cd, dan bd, dengan demikian d(f 1) = 3. Begitu juga terdapat 4 sisi yang membatasi muka f 3 yaitu ab, bd, ad, dan ae (sisi-pemutus), sehingga d(f 3) = 5. Mudah dicek bahwa d(f 2) = d(f 4) = 3.
Gambar 2.1: Graph bidang G dengan 4 muka
Matematikawan Euler memberikan sebuah formula yang menghubungkan jumlah vertex, jumlah edge, dan jumlah region dari suatu pemetaan terhubung. Jika G graph bidang terhubung , maka |()| − | ( )| + |()| = 2 (Formula Eueler). Bukti: (induksi pada | ( )|). Untuk | ( )|= 0 diperoleh | ( )| = 1 dan | ( )|= 1. Sehingga,
|()| ()| − | ( )| + |()| ()| = 1 – 0 0 + 1 = 2. Asumsikan pernyataan benar untuk | ( )| = k > 1. Artinya, jika G graph bidang terhubung dengan | ( )| = k, maka |()| ()| − | ( )| +
|()| ()| = 2. Akan ditunjukan, pernyataan juga benar untuk | ( )| = k+1. Misalkan G adalah sebuah graph bidang terhubung dengan k+1 sisi.Kita tinjau 2 kasus yaitu apakah G memuat sikel atau tidak.
K asus 1:
G memuat sikel. Misalkan e adalah sebuah sisi di sikel yang terdapat di G. Maka
graph H = G-e merupakan graph bidang terhubung dengan k sisi. Sehingga berdasarkan asumsi, berlaku,
|()| − | ( )| + |()| = 2 Selanjutnya karena
|()| = | ()| dan |()| = | ()| − 1 maka
|()| − |()| + |()| = |()| − |(|()| + 1) + (|()| + 1)| = |()| − | ()| + |()| =2 Jadi teorema terbukti untuk kasus ini K asus 2:
G tidak memuat sikel.
Karena G terhubung dan tidak memuat sikel, maka G pohon. Jadi G memuat sebuah titik yang berderajat 1. Misalkan v adalah sebuah titik yang berderajat 1 di G. Maka graph T = Gv tetap merupakan pohon, jadi graph bidang terhubung dengan k sisi. Sehingga berdasar asumsi berlaku
|()| − | ()| + |()|= 2. Karena |()| = | ( )| − 1, | ()| = | ( )| − 1, dan |()| = |()|, maka
|()| − | ( )| + |( )| = (| ()| + 1) − (| ()| + 1) + | ()| = |()| − |()| + |()| =2 Dengan demikian teorema terbukti.
