´ ´ AN ALISIS MATEM MATEM ATICO I - PRIMER CURSO - 2002-2003
´ ´ AREAS, LONGITUDES, VOLUMENES, BARICENTROS Y MOMENTOS
´ 1) AREA DE UNA FIGURA PLANA ASOCIADA A UNA CURVA b
a) Expl Exp l´ıcita: ıci ta: A =
|f (x)| dx.
a
t1
b) Param´ Para m´etrica etr ica:: A = 1
t0
θ1
c) Polar: Polar: A =
y(t)x (t) dt.
ρ(θ)2 dθ.
2
θ0
2) LONGITUD LONGITUD DE UN ARCO DE CURV CURVA PLANA b
a) Expl Exp l´ıcita: ıci ta: L = 1 + f (x) dx. x (t) + y (t) dt. b) Param´ Para m´etrica etr ica:: L = 2
a
t1
2
2
t0
θ1
ρ(θ)2 + ρ (θ)2 dθ.
c) Polar: Polar: L =
θ0
´ DO DE REVOLU ´ ASOCIA 3) VOLUMEN DE UN S OLIDO OLI REVOLUCI CION ASOCIADO DO A UNA CURV CURVA PLANA b
a) Expl´ Expl´ıcita (alrededor del eje x): V = π f (x) dx. b) Expl´ Expl´ıcita (alrededor del eje y ): V = 2π x|f (x)| dx, si a, b ≥ 0. y(t) x (t) dt. c) Param´ Para m´etrica etr ica:: V = π 2π 2
a
b
a
t1
2
t0
θ1
d) Polar: Polar: V =
3
ρ(θ)3 sen θ dθ, si θ0 , θ1 ∈ [0, π].
θ0
b
´ ´ CONOCIDA: V = 4) VO VOLUM LUMEN EN DE UN SOLIDO DE SECCION
S (x) dx.
a
´ ´ ALREDEDOR DEL EJE x GE5) AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCI ON NERADA POR UNA CURVA PLANA b
a) Expl Exp l´ıcita: ıci ta: A = 2π
|f (x)| 1 + f (x)2 dx.
a
t1
b) Param´ Para m´etrica etr ica:: A = 2π |y (t)| x (t) + y (t) dt. ρ(θ)| sen θ| ρ(θ) + ρ (θ) dθ. c) Polar: Polar: A = 2π 2
2
t0
θ1
2
2
´ ´ AN ALISIS MATEM MATEM ATICO I - PRIMER CURSO - 2002-2003
´ ´ AN ALISIS MATEM MATEM ATICO I - PRIMER CURSO - 2002-2003
6) CENTRO DE GRAVEDAD GRAVEDAD (BARICENTRO) DE UNA CURV CURVA PLANA CON C ON UNA DENSIDAD DE MASA δ a) Expl´ Expl´ıcita: ıcita : (x0 , y0 ), b
x0
b
xδ(x) 1 + f (x) dx = , δ (x) 1 + f (x) dx 2
a
b
y0
2
a
f (x)δ(x) 1 + f (x) dx = . δ(x) 1 + f (x) dx 2
a
b
2
a
b) Param´etrica: etri ca: (x0 , y0 ), t1
x0
t1
x(t)δ(t) x (t) + y (x) dx , = δ (t) x (t) + y (x) dx 2
2
t0
t1
2
y0
2
t0
y(t)δ(t) x (t) + y (x) dx . = δ(t) x (t) + y (x) dx 2
2
t0
t1
2
2
t0
c) Polar: (x0 , y0 ), θ1
x0 =
θ0
δ (θ)ρ(θ)cos θ θ1
θ0
θ1
y0 =
θ0
ρ(θ) + ρ (θ) dθ
,
ρ(θ) + ρ (θ) dθ
θ1
.
θ0
2
δ (θ) ρ(θ) + ρ (θ) dθ 2
δ (θ)ρ(θ)sen θ
2
2
2
2
δ (θ) ρ(θ) + ρ (θ) dθ 2
2
7) MOMENT MOMENTO O DE INERC INERCIA IA DE UNA CURV CURVA PLANA PLANA CON DENSID DENSIDAD AD δ , CON RESPECTO A UNA RECTA O A UN PUNTO a) Expl Exp l´ıcita: ıci ta: d(x) es la distancia del punto (x, f (x)) a la recta o al punto. b
I =
d(x) δ (x) 1 + f (x) dx. 2
a
t1
b) Param´ Para m´etrica etr ica:: I =
x (t) + y (t) dt.
d(t)2 δ (t)
t0
2
θ1
c) Polar: Polar: I =
θ0
ρ(θ) + ρ (θ) dθ.
d(θ)2 δ (θ)
2
2
2
2
´ ´ AN ALISIS MATEM ATICO I - PRIMER CURSO - 2002-2003 ´ ´ ESTUDIO Y REPRESENTACI REPRESENTACION GRAFICA AFIC A DE FUNCIONES FUNCIONES
Si f es una funci´on on real de una variable real, su estudio y representaci´ on on gr´ afica afica puede sistematizarse en la siguientes etapas: 1 - GENERALID GENERALIDADES ADES..
a) Determinac Determinaci´ i´ on on de su dominio. b) Simplificac Simplificaci´ i´ on o n del estu estudi dio: o: parid paridad ad (f (−x) = f (x)), imparidad (f (−x) = −f (x)), periodicidad (f (x + p) = f (x)). Otras simetr´ simetr´ıas. Regiones sin puntos de la gr´afica. afica. c) L´ımites de la funci´on on en puntos del dominio; continuidad. d) L´ımites de la funci´ f unci´on on en otros puntos; as´ as´ıntotas verticales: si para alg´ un un punto a ∈ R ınt ota vertical ver tical (lo mismo si el se cumple l´ım− f (x) = ±∞, la recta x = a es una as´ıntota x→a
l´ımite es por la derecha). e) Comportamiento en el infinito: as´ as´ıntotas horizontales y oblicuas. ınt ota horizo hor izonta ntal l , cuando ∗) Si exist existee l´ım f (x) = b ∈ R, la recta y = b es una as´ıntota + x → +∞. ∗) Si existe existen n a, b ∈ R tales que l´ım [f (x) − (ax + b)] = 0, la recta y = ax + b es x→
∞
x→+∞
ınt ota a obli o blicua cua . En este caso, una as´ıntot a = l´ım
x→+∞
f (x) , x
b = l´ım [f (x) − ax]. x→+∞
Una as´ as´ıntota horizontal es un caso particular particu lar de as´ as´ıntota oblicua, oblicua , con a = 0. f (x) on asint´ otica de la ∗) Si existe existe l´ım = a ∈ R, la recta y = ax es una direcci´ x→+∞
x
gr´ afica afica (aunque no exista as´ıntota). ıntota). En este caso, si
l´ım [f (x) − ax] =
x→+∞
±∞
se
olica de direcci´ dice que la gr´afica afica de f tiene una rama parab´ on on asint´otica otica y = ax. Lo anterior sirve tambi´en en para x → −∞. f ) Crecimiento y decrecimiento (ver tambi´en en el apartado siguiente). 2 - ESTUDIO ESTUDIO DE LA DERIVADA. ADA.
a) Derivabili Derivabilidad dad de la funci´ on. Puntos con tangente vertical. on. b) Signo de la derivada: derivada: crecimien crecimiento to y decrecimien decrecimiento; to; extremos relativo relativoss y absolutos. absolutos. c) Crecim Crecimien iento to y decrec decrecimi imien ento to de la deriv derivada ada:: conve convexid xidad ad y conca concavid vidad; ad; puntos puntos de inflexi´ on on (ver tambi´ t ambi´en en el apartado siguiente). d) Puntos cr c r´ıticos o singulares sin gulares.. 3 - ESTUDIO ESTUDIO DE LA DERIVADA ADA SEGUND SEGUNDA. A.
a) Existencia Existencia de la derivada derivada segunda. b) Signo de la derivada derivada segunda: convexida convexidad d y concavidad concavidad;; puntos de inflexi´ inflexi´ on. 4 - OTRAS OTRAS CONSIDE CONSIDERAC RACIONE IONES. S.
a) Valores alores particulares particulares de la funci´ on on o sus derivadas. Cortes con los ejes y las as´ as´ıntotas. b) Dibujo de la gr´afica. afica.
OPERACIONES CON L´ IMITES DE SUCESIONES
1. L´ımite de una una suma: (a (an )n=1 , (bn )n=1 ⊆ R, an → a, bn → b. ∞
∞
b −∞ a H H −∞ −∞ −∞ R +∞ ? H
+∞ ? +∞ +∞
R
−∞ a+b +∞
l´ım(an + bn ) n
2. L´ımite de un producto: producto: (a (an )n=1 , (bn )n=1 ⊆ R, an → a, bn → b. ∞
P P P P P
a b −∞ (−∞, 0) 0 (0, (0, +∞) +∞
∞
−∞ +∞ +∞ ? −∞ −∞
(−∞, 0) +∞
(0, +∞) −∞
0 ? ab
−∞
+∞
?
+∞ −∞ −∞ ? +∞ +∞
l´ım an bn n
3. L´ımite de un cociente cociente:: (a (an )n=1 ⊆ R, (bn )n=1 ⊆ R \ {0}, an → a, bn → b. ∞
P P P P P
a b −∞ (−∞, 0) 0 (0, (0, +∞) +∞
∞
−∞ ? 0 0 0 ?
(−∞, 0) +∞ a/b
−∞
(0, +∞) −∞
0 ? ? ? ? ?
a/b +∞
+∞ ? 0 0 0 ?
0+ −∞ −∞ ? +∞ +∞
l´ım an /bn n
4. L´ımite de una una potencia: (a (an )n=1 ⊆ (0, (0, +∞), (bn )n=1 ⊆ R, an → a, bn → b. ∞
P P P P P
a
b
0 (0, (0, 1) 1 (1, (1, +∞) +∞
∞
−∞ +∞ +∞ ? 0 0
(−∞, 0) +∞
0 ?
(0, +∞) 0
ab 0
?
l´ım anb
n
n
+∞
+∞ 0 0 ? +∞ +∞
´ OTRAS REGLAS PARA EL CALCULO DE L´ IMITES DE SUCESIONES
Si f ( ( xr , |x|, ex , log x, sen x, cos x, f (x) representa una cualquiera de las funciones elementales (x tg x, arcsen x, arccos x, arctg x), entonces en general l´ım an = a =⇒ l´ım f ( f (an ) = f ( f (a) n
n
cuando esto tenga sentido, es decir, cuando la sucesi´ on on est´e contenida en el dominio domini o de la funci´ on on f y tambi ta mbi´´en en el l´ımit ım itee a pertenezca al dominio. Otras reglas son las siguientes: a) Potencias Potencias de exponente exponente positivo: sea r > 0; l´ım an = +∞ =⇒ l´ım anr = +∞ n
n
l´ım an = 0 + =⇒ l´ım anr = 0 n
n
b) Potencias Potencias de exponente exponente negativo: negativo: sea r < 0; l´ım an = +∞ =⇒ l´ım anr = 0 n
n
+
l´ım an = 0 =⇒ l´ım anr = +∞ n
n
c) Valor absoluto: absoluto: l´ım an = +∞ =⇒ l´ım |an | = +∞ n
n
l´ım an = −∞ =⇒ l´ım |an | = +∞ n
n
d) Exponencial: Exponencial: l´ım an = +∞ =⇒ l´ım ea = +∞ n
n
n
l´ım an = −∞ =⇒ l´ım ea = 0 n
n
n
e) Logaritmo: Logaritmo: l´ım an = +∞ =⇒ l´ım log an = +∞ n
n
+
l´ım an = 0 =⇒ l´ım log an = −∞ n
n
f) Tangente: angente: sea k un n´ umero umero entero;
π + l´ım an = + kπ =⇒ l´ım tg an = −∞ n n 2 π −
l´ım an = n
2
+ kπ
=⇒ l´ım tg an = +∞ n
g) Arco tangen tangente: te: π n n 2 π l´ım an = −∞ =⇒ l´ım arc arc tg an = − n n 2 l´ım an = +∞ =⇒ l´ım arc arc tg an =
OPERACIONES CON L´ IMITES DE FUNCIONES
1.
L´ımite de una suma: f, g : D −→ R, l´ım f ( f (x) = a, l´ım g(x) = b. x→r
x→r
b −∞ a H H −∞ −∞ −∞ R +∞ ? H
+∞ ? +∞ +∞
R
−∞ a+b +∞
l´ım [f ( f (x) + g(x)]
x→r
2.
L´ımite de un producto: f, g : D −→ R, l´ım f ( f (x) = a, l´ım g(x) = b. x→r
P P P P P
a b −∞ (−∞, 0) 0 (0, (0, +∞) +∞
−∞ +∞ +∞ ? −∞ −∞
x→r
(−∞, 0) +∞
(0, +∞) −∞
0 ? ab
−∞
+∞
?
+∞ −∞ −∞ ? +∞ +∞
l´ım f ( f (x)g(x)
x→r
3.
L´ımite de un cociente: f : D −→ R, g : D −→ R \ {0}, l´ım f ( f (x) = a, l´ım g(x) = b. x→r
P P P P P
a b −∞ (−∞, 0) 0 (0, (0, +∞) +∞
−∞ ? 0 0 0 ?
(−∞, 0) +∞ a/b
−∞
0 ? ? ? ? ?
(0, +∞) −∞
x→r
+∞ ? 0 0 0 ?
a/b +∞
0+ −∞ −∞ ? +∞ +∞
l´ım f ( f (x)/g( /g (x)
x→r
4.
L´ımite de una potencia: f : D −→ (0, (0, +∞), g : D −→ R, l´ım f ( f (x) = a, l´ım g(x) = b. x→r
P P P P P
a
b
0 (0, (0, 1) 1 (1, (1, +∞) +∞
−∞ +∞ +∞ ? 0 0
(−∞, 0) +∞
0 ?
(0, +∞) 0
ab 0
?
l´ım f ( f (x)g(x)
x→r
+∞
x→r
+∞ 0 0 ? +∞ +∞
L´ IMITES DE FUNCIONES ELEMENTALES
Si f ( f (x) representa una cualquiera de las funciones ex , log x, sen x, cos x, tg x, arc sen sen x, arc cos cos x, r arctg x, x , entonces l´ım f ( f (x) = f ( f (a) x→a
para cualquier punto a del dominio de la funci´on. on. Otros l´ımites son los siguientes: l´ım ex = 0
l´ım ex = +∞
x→−∞
x→+∞
l´ım log x = −∞
l´ım log x = +∞
x→+∞
x→0+
l´ım
x→(π/2) π/2)−
tg x = +∞
l´ım arctg x = −
x→−∞
l´ım
x→(π/2) π/2)+
π 2
x→+∞
l´ım xr = 0
l´ım xr = 0
(si r < 0)
x→+∞
x→0+
r −1 1x
(si r > 0)
x→+∞
l´ım xr = +∞ −
π 2 r l´ım x = +∞
l´ım arc arc tg x =
x→0+
Si f ( f (x) = ar xr + ar
tg x = −∞
+ · · · + a0 es un polinomio (con r ∈ N y ar = 0), entonces l´ım f ( f (x) = +∞
(si ar > 0), 0),
l´ım f ( f (x) = −∞
(si ar < 0). 0).
x→+∞ x→+∞
´ Ordenes de infinitud:
Se tiene el siguiente orden de infinitud, donde a > 0 y b > 1: log x << xa << b x << x x
(x → +∞).
Aqu´ Aq u´ı, “f ( f (x) << g (x) cuando x → +∞” significa que l´ım
x→+∞
f ( f (x) =0 g(x)
(o bien que g(x)/f (x) → +∞). Equivalencias:
{±∞}. Se dice que dos funciones f y g son equivalentes cuando x tiende al punto Sean a ∈ R ∪ {±∞} a, y se escribe f ( f (x) ∼ g(x) (x → a) si se verifica
f ( f (x) = 1. a g (x)
l´ım
x→
Equivalencias Equivalencia s de infinit´esimos: esimos : cuando x → 0, ex − 1 ∼ x sen x ∼ x arc sen x ∼ x
log(1 + x) ∼ x 1 − cos x ∼ x2 /2
(1 + x)α − 1 ∼ αx tg x ∼ x
arctg x ∼ x
Equivalencias de infinitos: sea f ( f (x) = ar xr + ar
r −1 + · · · + a , 1x 0
−
f ( f (x) ∼ ar xr , log f ( f (x) ∼ r log x (si ar > 0). 0).
0; cuando x → +∞, con ar =
´ ´ AN ALISIS MATEM MATEM ATICO I - PRIMER CURSO - 2002-2003
´ ´ ´ METODOS BASICOS DE INTEGRACION INTEGRALES ELEMENTALES: (x + a)r+1 1) (x + a)r dx = + C [r = r+1
dx −1] 2) = log |x + a| + C x+a e dx = e + C 3) 4) cos x dx = sen x + C 5) sen x dx = − cos x + C 6) cosh x dx = senh x + C dx 7) senh x dx = cosh x + C 8) = (1 + tg x) dx = tg x + C cos x dx dx x+a x+a 1 1 0] 9) = − ctg x + C 10) = arctg + C = − arcctg + C [b = b b b b sen x (x + a) + b 2(x 2(x 2(x + a) 2(x + a) 1/(1 − n) dx = log |(x + a) + b| + C dx = 1] 11) 12) + C [n = (x + a) + b [(x [(x + a) + b] [(x [(x + a) + b] − dx x+a x+a (x + a) + b = log x + a + (x + a) + b + C 14) b −dx(x + a) = arc 13) arc sen sen + C = − arccos + C [b > 0] b b dx dx √ 15) = arc arc tg x + C = − arcctg x + C 16) = arg senh senh x + C = log(x log(x + x + 1) + C x +dx1 xdx+ 1 √1 − x = arc √x − 1 = arg cosh 17) arc sen sen x + C = − arccos x + C 18) cosh x + C = log x + x − 1 + C ´ INTEGRACION POR PARTES: f ( f (x)g (x) dx = f ( f (x)g(x) − f (x)g(x) dx. dx. f (ϕ(x))ϕ CAMBIO DE VARIABLE: Si f ( f (t) dt = F ( F (t), esto es, F (t) = f ( f (t), y ϕ es una funci´ on on derivable, entonces f ( ))ϕ (x) dx = F ( F (ϕ(x)). Abreviadamente, x
x
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
n
n 1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
f ( f (ϕ(x))ϕ ))ϕ (x) dx =
f ( f (t) dt = F ( F (t) = F ( F (ϕ(x)). )).
dx”; en el ultimo En el primer paso “se hace el cambio de variable t = ϕ(x), dt = ϕ (x) dx”; u ´ ltimo paso “se deshace el cambio t = ϕ(x)”.
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´ DE ALGUNOS TIPOS DE FUNCIONES INTEGRACION
I) FUNCIONES FUNCIONES INTEGRABLES INTEGRABLES POR PARTES: ARTES: f ( f (x)g (x) dx, dx, donde f ( f (x) es un polinomio y g(x) es una de las funciones ax, cos ax, ax, arc sen ax, arctg ax, ax, log x, (x + a)n , . . . ; o bien f ( f (x) es una funci´ siguientes: eax , sen ax, sen ax, on o n seno o coseno y g(x) es una funci´on on exponencial. exp onencial. Se aplica el m´etodo etodo de integraci´ on on por partes. II) FUNCIONES FUNCIONES RACIONALES RACIONALES (COCIENTES (COCIENTES DE POLINOMIOS): POLINOMIOS): II-1) I n =
II-2)
dx (1+x (1+x2 )
n
dx ax+b) (x2 +ax+
n
, donde n
, donde a2
∈ N. Se resuelve de forma recurrente: I 1 = arc arc tg x + C ; si n ≥ 2, x 1 2n − 3 I n = · · I n−1 + 2n − 2 (1 + x2 )n−1 2n − 2
− 4b < 0 y n ∈ N. Se reduce al caso anterior haciendo cuadrados y el cambio de variable y = x + a2 :
II-3)
M x+N ax+b) (x2 +ax+
n
dx, dx, donde a2
P ( P (x) Q(x)
−
a2 −n ) 4 1 2
dx (1 + y2 )n
− 4b < 0 y n ∈ N. Se reduce a una integral inmediata y otra del tipo anterior:
II-4)
dx = (b 2 (x + ax + b)n
M x + N M dx = (x2 + ax + b)n 2
2x + a dx + (N (N (x2 + ax + b)n
− aM ) 2
dx (x2 + ax + b)n
dx, dx, donde P y Q son polinomios polinomios.. Se reduce reduce a integ integrale raless inmedia inmediatas tas y de los tipos anteri anteriores ores,, descom descomponie poniendo ndo fracciones simples.
P ( P (x) Q(x)
en
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´ DE ALGUNOS TIPOS DE FUNCIONES INTEGRACION
I) FUNCIONES FUNCIONES INTEGRABLES INTEGRABLES POR PARTES: ARTES: f ( f (x)g (x) dx, dx, donde f ( f (x) es un polinomio y g(x) es una de las funciones ax, cos ax, ax, arc sen ax, arctg ax, ax, log x, (x + a)n , . . . ; o bien f ( f (x) es una funci´ siguientes: eax , sen ax, sen ax, on o n seno o coseno y g(x) es una funci´on on exponencial. exp onencial. Se aplica el m´etodo etodo de integraci´ on on por partes. II) FUNCIONES FUNCIONES RACIONALES RACIONALES (COCIENTES (COCIENTES DE POLINOMIOS): POLINOMIOS): II-1) I n =
II-2)
dx (1+x (1+x2 )
n
dx ax+b) (x2 +ax+
n
, donde n
, donde a2
∈ N. Se resuelve de forma recurrente: I 1 = arc arc tg x + C ; si n ≥ 2, x 1 2n − 3 I n = · · I n−1 + 2n − 2 (1 + x2 )n−1 2n − 2
− 4b < 0 y n ∈ N. Se reduce al caso anterior haciendo cuadrados y el cambio de variable y = x + a2 :
II-3)
M x+N ax+b) (x2 +ax+
n
dx, dx, donde a2
2
− a4 )
1 2
−n
dx (1 + y2 )n
− 4b < 0 y n ∈ N. Se reduce a una integral inmediata y otra del tipo anterior:
II-4)
dx = (b (x2 + ax + b)n
M x + N M dx = n 2 (x + ax + b) 2
2x + a dx + (N (N 2 (x + ax + b)n
−
aM ) 2
(x2
dx + ax + b)n
P ( P (x) Q(x)
dx, dx, donde P y Q son polinomios polinomios.. Se reduce reduce a integ integrale raless inmedia inmediatas tas y de los tipos anteri anteriores ores,, descom descomponie poniendo ndo fracciones simples.
P ( P (x) Q(x)
en
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III) ALGUNAS ALGUNAS FUNCIONES IRRACIONAL IRRACIONALES: ES: m/n
r/s
R(x, x , . . . , x ) dx, dx, donde R es una funci´on on racional. racional. Se reduce reduce a la integra integrall de una funci´ funci´ on racional mediante el cambio x = t , donde k es un com´ s. un u n m´ ultiplo de los denominadores n , . . . , s. ultiplo dx, dx, donde R es una funci´on III-2) R x, on racional. racional. Se reduce a la integral integral de una funci´ funcion ´ racional con el cambio =t . 0 tambi´ III-3) √ . Si a = 0 es inmediata. Y si a = tamb i´en, en, ya que dx dx √ax + bx + c = . a(x + ) + c − dx, dx, donde P es un polinomio. Se hallan una constante K y un polinomio Q con gr Q < gr P , P , tales que III-4) √ P ( dx P (x) √ax + bx + c dx = Q(x) ax + bx + c + K √ax + bx + c . √ III-5) . Se hace el cambio x − u = y se reduce a una de las anteriores. − III-6) R(x, a − (x + b) ) dx, on racional. Se reduce a la integral de una funci´ funcion ´ de d e tipo ti po trigonom´ trig onom´etrico etric o mediante me diante dx, donde R es una funci´on uno de los dos cambios x + b = a cos t, x + b = a sen t. dx, donde R es una funci´on III-7) R(x, (x + b) − a ) dx, on racional. Se reduce a la integral de una funci´ funcion ´ de d e tipo ti po trigonom´ trig onom´etrico etric o mediante me diante uno de los dos cambios x + b = , x+b= . (x + b) ) dx, dx, donde R es una funci´on III-8) R(x, a + (x on racional. Se reduce a la integral de una funci´ funcion ´ de d e tipo ti po trigonom´ trig onom´etrico etric o mediante me diante uno de los dos cambios x + b = a tg t, x + b = . √ dx, donde R es una funci´on III-9) R(x, ax + bx + c) dx, on racional. racional. O bien se expres expresa a como uno de los tres tipos anteriore anteriores, s, o bien bien se III-1)
k
ax+ ax+b cx+ cx+d
1/n
ax+ ax+b cx+ cx+d
dx ax2 +bx+ bx+c
2
b 2 2a
b2 4a
P ( P (x) ax2 +bx+ bx+c
2
2
(x u)
m
1 t
dx ax2 +bx+ bx+c 2
2
2
2
a cos t
2
2
a sen t
2
a tg t
2
reduce a la integral de una funci´ on racional mediante un cambio de Euler: on
n
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III) ALGUNAS ALGUNAS FUNCIONES IRRACIONAL IRRACIONALES: ES: m/n
r/s
R(x, x , . . . , x ) dx, dx, donde R es una funci´on on racional. racional. Se reduce reduce a la integra integrall de una funci´ funci´ on racional mediante el cambio x = t , donde k es un com´ s. un u n m´ ultiplo de los denominadores n , . . . , s. ultiplo dx, dx, donde R es una funci´on III-2) R x, on racional. racional. Se reduce a la integral integral de una funci´ funcion ´ racional con el cambio =t . 0 tambi´ III-3) √ . Si a = 0 es inmediata. Y si a = tamb i´en, en, ya que dx dx √ax + bx + c = . a(x + ) + c − dx, dx, donde P es un polinomio. Se hallan una constante K y un polinomio Q con gr Q < gr P , P , tales que III-4) √ P ( √ax P +(xbx) + c dx = Q(x) ax + bx + c + K √ax dx . + bx + c √ III-5) . Se hace el cambio x − u = y se reduce a una de las anteriores. − III-6) R(x, a − (x + b) ) dx, on racional. Se reduce a la integral de una funci´ funcion ´ de d e tipo ti po trigonom´ trig onom´etrico etric o mediante me diante dx, donde R es una funci´on uno de los dos cambios x + b = a cos t, x + b = a sen t. dx, donde R es una funci´on III-7) R(x, (x + b) − a ) dx, on racional. Se reduce a la integral de una funci´ funcion ´ de d e tipo ti po trigonom´ trig onom´etrico etric o mediante me diante uno de los dos cambios x + b = , x+b= . dx, donde R es una funci´on III-8) R(x, a + (x (x + b) ) dx, on racional. Se reduce a la integral de una funci´ funcion ´ de d e tipo ti po trigonom´ trig onom´etrico etric o mediante me diante uno de los dos cambios x + b = a tg t, x + b = . √ dx, donde R es una funci´on III-9) R(x, ax + bx + c) dx, on racional. racional. O bien se expres expresa a como uno de los tres tipos anteriore anteriores, s, o bien bien se III-1)
k
ax+ ax+b cx+ cx+d
1/n
ax+ ax+b cx+ cx+d
dx ax2 +bx+ bx+c
2
b2 4a
b 2 2a
P ( P (x) ax2 +bx+ bx+c
2
2
(x u)
m
1 t
dx ax2 +bx+ bx+c 2
2
2
2
2
a cos t
2
a sen t
2
a tg t
2
reduce a la integral de una funci´ on racional mediante un cambio de Euler: on
√ax2 + bx + c = t ± x√a, si a > 0; √ √ b) ax2 + bx + c = tx ± c, si c > 0; √ c) ax2 + bx + c = t(x − u), si au2 + bu + c = 0. a)
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III-10)
r
s p
x (a + bx ) dx, dx, donde r, s y p son n´ umeros umeros racionales. S´ olo se integran en los siguientes casos: olo a) Si p
∈ N, se desarrolla (a (a + bxs ) p y es inmediata.
b) Si p es un entero negativo, se hace el cambio x = tk , donde k es un denominador com´ un un de las fracciones r y s. c) Si d) Si
r+1 s r+1 s
∈ Z, se hace el cambio a + bxs = tk , donde k es el denominador de la fracci´on on p. s s k + p ∈ Z, se hace el cambio a + bx = x t , donde k es el denominador de la fracci´ on on p.
´ IV) FUNCIONES FUNCIONES TRIGONOM TRIGONOMETRICAS: IV-1)
R(sen x, cos x) dx, dx, donde R es una funci´ on racional. Se reduce a la integral de una funci´ on on on racional: a) Si R( sen x, cos x) =
−R(sen x, cos x), con el cambio cos x = t. b) Si R(sen x, − cos x) = −R(sen x, cos x), con el cambio sen x = t. c) Si R(− sen x, − cos x) = R(sen x, cos x), con el cambio tg x = t. −
d) En cualquier caso, con el cambio tg x2 = t, dx =
2 dt 1+t 1+t2 ,
2
−t cos x = 11+t 1+t , sen x = 2
2t 1+t 1+t2 .
IV-2) Los productos de funciones funciones trigonom´ trigonom´etricas etricas se transforman transforman en sumas, sumas, mediante mediante las f´ ormulas ormulas siguientes: 2sen a sen b = cos(a cos(a 2cos a cos b = cos(a cos(a 2sen a cos b = sen(a sen(a En particular: cos2 a =
1+co 1+coss 2a ; 2
cos 2a sen2 a = 1−cos . 2
− b) − cos(a cos(a + b); − b) + cos(a cos(a + b); − b) + sen(a sen(a + b).
n
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III-10)
r
s p
x (a + bx ) dx, dx, donde r, s y p son n´ umeros umeros racionales. S´ olo se integran en los siguientes casos: olo a) Si p
∈ N, se desarrolla (a (a + bxs ) p y es inmediata.
b) Si p es un entero negativo, se hace el cambio x = tk , donde k es un denominador com´ un un de las fracciones r y s. r+1 s
∈ Z, se hace el cambio a + bxs = tk , donde k es el denominador de la fracci´on on p. s s k d) Si r+1 on on p. s + p ∈ Z, se hace el cambio a + bx = x t , donde k es el denominador de la fracci´ c) Si
´ IV) FUNCIONES FUNCIONES TRIGONOM TRIGONOMETRICAS: IV-1)
R(sen x, cos x) dx, dx, donde R es una funci´ on racional. Se reduce a la integral de una funci´ on on on racional: a) Si R( sen x, cos x) =
−R(sen x, cos x), con el cambio cos x = t. b) Si R(sen x, − cos x) = −R(sen x, cos x), con el cambio sen x = t. c) Si R(− sen x, − cos x) = R(sen x, cos x), con el cambio tg x = t. −
d) En cualquier caso, con el cambio tg x2 = t, dx =
2 dt 1+t 1+t2 ,
2
−t cos x = 11+t 1+t , sen x = 2
2t 1+t 1+t2 .
IV-2) Los productos de funciones funciones trigonom´ trigonom´etricas etricas se transforman transforman en sumas, sumas, mediante mediante las f´ ormulas ormulas siguientes: 2sen a sen b = cos(a cos(a 2cos a cos b = cos(a cos(a a b 2sen cos = sen(a sen(a En particular: cos2 a =
1+co 1+coss 2a ; 2
− b) − cos(a cos(a + b); − b) + cos(a cos(a + b); b − ) + sen(a sen(a + b).
cos 2a sen2 a = 1−cos . 2
´ ´ AN ALISIS MATEM MATEM ATICO I - PRIMER CURSO - 2002-2003 SERIES SERIES DE POTENCIA POTENCIAS S
1 = 1−x
∞
si | | 1 1 = para cada ∈ ! (1 + ) = si | | 1 (−1) log(1 + ) = si − 1 ≤1 (−1) sen = para cada ∈ (2 + 1)! (−1) cos = para cada ∈ n
x ,
x <
.
=0
n
∞
x
n
e
=0
n
n
x ,
x
R.
∞
x
α
α
=0
n
n
∞
n
x ,
x <
1
n−
n
x
=1
∞
=0
n
∞
x ,
n
n
x
=0
n
.
n
x
n
2n+1
,
x
n
2n
x
.
(2n)!
x
,
x
R.
R.
´ ´ AN ALISIS MATEM MATEM ATICO I - PRIMER CURSO - 2002-2003 SERIES SERIES DE POTENCIA POTENCIAS S
1 = 1−x
∞
si | | 1 1 para cada ∈ = ! (1 + ) = si | | 1 (−1) log(1 + ) = si − 1 ≤1 (−1) sen = para cada ∈ (2 + 1)! (−1) cos = para cada ∈ (2 )! (2 )! arc arc sen sen = si | | ≤ 1 2 ( !) (2 + 1) (−1) arctg = si | | ≤ 1 2 +1 1 senh = para cada ∈ (2 + 1)! 1 cosh = para cada ∈ (2 )! (−1) (2 )! arg arg senh senh = si | | ≤ 1 2 ( !) (2 + 1) 1 arg arg tgh tgh = si | | 1 n
x ,
x <
.
=0
n
∞
x
n
e
=0
n
x ,
n
x
R.
∞
x
α
α
=0
n
n
x ,
n
∞
x <
.
1
n−
n
x
x ,
n
=1
n
∞
x
=0
n
.
n
x
n
∞
2n+1
,
x
R.
n
2n
x
x
n
=0
n
,
R.
x
∞
n
x
2n
=0
n
∞
x
=0
n
2
n
x
n
2n+1
,
x
.
x
R.
n
x
n
2n+1
,
x
.
∞
x
=0
n
x
n
2n+1
,
∞
2n
x
=0
n
x
n
∞
x
n
2n
=0
n
n
2
,
R.
x
n
x
n
2n+1
,
x
∞
x
2n + 1 =0
n
x
2n+1
,
x <
.
.
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´ FORMULA DE TAYLOR (DESARROLLOS LIMITADOS) n
( )=
f x
k =0
f (k (a) (x k!
−
k
a) + Rn (x);
f (n+1 (t) Rn (x) = (x (n + 1)!
EJEMPLOS: 1 1) = 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn + 1 x (1 −
2) sen x = x 3) cos x = 1
1 3 1 x + x5 3! 5!
−
−
1 2 1 x + x4 2! 4!
1 −
n+2
t)
−
a)n+1 = o((x
→
a
1 7 ( 1)n 2n+1 ( 1)n+1 cos t 2n+3 x + ... + x + x . 7! (2n + 1)! (2n + 3)! −
1 6 ( 1)n 2n ( 1)n+1 cos t 2n+2 x + ... + x + x . 6! (2n)! (2n + 2)! −
−
a)n ), x
xn+1 .
−
−
−
−
1 2 17 7 4) tg x = x + x3 + x5 + x + o(x8 ), cuando x 0. 3 15 315 1 5 61 6 5) sec x = 1 + x2 + x4 + x + o(x7 ), cuando x 0. 2 24 720 1 3 3 5 5 7 1 3 5 . . . (2n 1) x2n+1 6) arc sen x = x + x + x + x +...+ + o(x2n+2 ), 6 40 112 2 4 6 . . . (2n) 2n + 1 cuando x 0. 1 3 1 5 1 7 ( 1)n 2n+1 7) arc tg x = x x + x x + ... + x + o(x2n+2 ), cuando x 0. 3 5 7 2n + 1 →
→
·
·
·
·
−
·
·
·
·
·
→
−
−
8) ex = 1 + x +
−
→
1 2 1 1 et x + x3 + . . . + xn + xn+1 . 2! 3! n! (n + 1)!
9) log( log(11 + x) = x
−
α
1 2 1 3 x + x 2 3
10) (1 + x) = 1 + αx +
α
2
2
1 4 ( 1)n−1 n ( 1)n x + ... + x + xn+1 . n+1 4 n (n + 1)(1 + t) −
−
x + ... +
−
α n x + n
α
(1 + t)α−n−1 xn+1 .
n+1
11 11)) senh senh x = x +
1 3 1 1 1 cosh t 2n+3 x + x5 + x7 + . . . + x2n+1 + x . 3! 5! 7! (2n + 1)! (2n + 3)!
12 12)) cos cosh x = 1 +
1 2 1 1 1 cosh t 2n+2 x + x4 + x6 + . . . + x2n + x . 2! 4! 6! (2n)! (2n + 2)!
1 3 2 5 17 7 x + x x + o(x8 ), cuando x 0. 3 15 315 1 3 3 5 1 3 5 . . . (2n 1) x2n+1 n 14 14)) arg arg senh senh x = x x + x + . . . + ( 1) + o(x2n+2 ), 6 40 2 4 6 . . . (2n) 2n + 1 cuando x 0. 1 1 1 1 15 15)) arg arg tgh x = x + x3 + x5 + x7 + . . . + x2n+1 + o(x2n+2 ), cuando x 0. 3 5 7 2n + 1 13 13)) tgh tgh x = x
−
−
→
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→
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