Formulario Mecanica de Fluidos I

INGENIERÍA CIVIL Mecánica de Fluidos -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

UNIDAD DIDÁCTICA I: LOS FLUIDOS Y SUS PROPIEDADES

1.1 INTRODUCCIÓN

Unidades derivadas Magnitud

Nombre

Símbolo

Frecuencia Fuerza

hertz newton

Hz N

Presión y tensión

pascal

Pa

N.m-

m- .kg.s-

Trabajo, energía, cantidad de calor Potencia Carga eléctrica Potencial eléctrico (fuerza electromotriz) Resistencia eléctrica Conductancia Conductancia Capacitancia

joule

J

N.m

m .kg.s-

watt coulomb volt

W C V

J.s- W.A-

m .kg. .kg.sss.A m .kg. .kg.ss- .A-

ohm

Ω

V.A-

m .kg. .kg.ss- .A-

siemens farad

S F

Flujo magnético Inducción magnética Inductancia

weber tesla

Wb T

V·s Wb.m-

m .kg.s- .Akg.s- .A-

henry

H

Wb.A-

m .kg. .kg.ss- .A-

Flujo luminoso

lumen

lm

cd.sr

lux

lx

cd.m-2.sr

FLUIDO: FLUIDO: Sustancia que se deforma continuamente al ser sometido a un esfuerzo cortante no importa cuán pequeño sea este. MASA ( m ): Propiedad que se mide por su inercia o resistencia a un cambio de movimiento. Es también una medida de la cantidad de fluido. (1 kg = 2.205 lbm = 0.068 slugs) PESO (w): Fuerza con la que el cuerpo es atraído hacia la tierra por la acción de la gravedad. (1 N = 1 kg.m.s-2 = 0.225 lbf) w = m g m g g = 9.81 m/s 2 = 32.2 pies/s 2 1.2 SISTEMA DE UNIDADES Unidades Base o fundamentales y suplementarias Magnitud física Longitud Masa Tiempo Intensidad de corriente eléctrica Temperatura Intensidad Luminosa Cantidad de sustancia ngulo plano

Unidad base

Símbolo

metro kilogramo segundo ampere

m kg s A

kelvin candela

K cd

mol

mol

radián

rad

Clasificación

UNIDADES BASE O FUNDAMENTALES

Iluminación UNIDADES

Expresión en otras unidades SI

C.V

-

Expresión en unidades SI base sm.kg.s-

m- .kg- .s .A m- .kg- .s .A


Múltiplos y submúltiplos decimales Factor 10 1021 10 10 1012 10 10 10 10 10 Magnitud Longitud Masa

Prefijo yott yottaa zeta exa exa pet petaa tera giga giga meg megaa kilo kilo hecto hecto deca

Símbolo Y Z E P T G M k h da

Factor 1010-2 1010- 10-9 1010101010-

1.3 PROPIEDADES Prefijo deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

Símbolo d c m μ

n p f a z y

Equivalencias 1 m = 3.281 pies 0.3048 m = 1 pie 1 kg = 2.205 lbm = 0.068 slugs 0.454 kg = 1 lbm = 0.031 slugs 14.606 kg = 32.2 lbm = 1 slug = 1 lbf.s 2/pie

Fuerza

1 N = 1 kg.m.s-2 = 0.225 lbf 4.45 N=4.45 kg.m.s -2 = 1 lbf =32.2 lbm.pie.s-2 = 1 slug.pie.s -2

Presión

1 lbf.pulg-2 =6895 Pa = 6895 N.m -2 = 6895 kg.m -1.s-2 1 bar = 105 Pa = 0.1 MPa = 100 kPa 1 atm=101,325 Pa=101.325 kPa=1.013 bars =10.33 m de H 2O =14.7 lbf/pulg 2 1 kgf/cm2 = 9.807 N/cm 2 = 9.807 x 10 4 N/m2 = 9.807 x 10 4 Pa = 0.9807 bar= 0.9679 atm

Energía

1 lbf.pie = 1.356 J

Potencia

1 lbf.pie.s-1 = 1.356 W= 1.356 J.s -1

a) DENSIDAD ( ρ):

  ∀

(kg/m3)

Para el agua en condiciones normales normales (4ºC y 1 atm.) ρ = 1,000 kg/m³ b) PESO ESPECÍFICO (γ ): ):

  ∀        ∀ ∀ ∀   

(N/m3)

c) DENSIDAD RELATIVA ( S S):

(m3/kg)

d) VOLUMEN ESPECÍFICO ( ):

1.4 COMPRESIBILIDAD

E : Modulo volumétrico de elasticidad o modulo volumétrico. volumétrico.

   ∀⁄∀   

k : Modulo volumétrico de compresibilidad

LIQUIDO Alcohol etílico Benceno Aceite industrial Agua Glicerina Mercurio

E (lbf/pulg (lbf/pulg ) 130,000 154,000 189,000 316,000 654,000 3,590,000

(MPa) (MPa) 896 1,062 1,303 2,179 4,509 24,750


Múltiplos y submúltiplos decimales Factor 10 1021 10 10 1012 10 10 10 10 10 Magnitud Longitud Masa

Prefijo yott yottaa zeta exa exa pet petaa tera giga giga meg megaa kilo kilo hecto hecto deca

Símbolo Y Z E P T G M k h da

Factor 1010-2 1010- 10-9 1010101010-

1.3 PROPIEDADES Prefijo deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

Símbolo d c m μ

n p f a z y

Equivalencias 1 m = 3.281 pies 0.3048 m = 1 pie 1 kg = 2.205 lbm = 0.068 slugs 0.454 kg = 1 lbm = 0.031 slugs 14.606 kg = 32.2 lbm = 1 slug = 1 lbf.s 2/pie

Fuerza

1 N = 1 kg.m.s-2 = 0.225 lbf 4.45 N=4.45 kg.m.s -2 = 1 lbf =32.2 lbm.pie.s-2 = 1 slug.pie.s -2

Presión

1 lbf.pulg-2 =6895 Pa = 6895 N.m -2 = 6895 kg.m -1.s-2 1 bar = 105 Pa = 0.1 MPa = 100 kPa 1 atm=101,325 Pa=101.325 kPa=1.013 bars =10.33 m de H 2O =14.7 lbf/pulg 2 1 kgf/cm2 = 9.807 N/cm 2 = 9.807 x 10 4 N/m2 = 9.807 x 10 4 Pa = 0.9807 bar= 0.9679 atm

Energía

1 lbf.pie = 1.356 J

Potencia

1 lbf.pie.s-1 = 1.356 W= 1.356 J.s -1

a) DENSIDAD ( ρ):

  ∀

(kg/m3)

Para el agua en condiciones normales normales (4ºC y 1 atm.) ρ = 1,000 kg/m³ b) PESO ESPECÍFICO (γ ): ):

  ∀        ∀ ∀ ∀   

(N/m3)

c) DENSIDAD RELATIVA ( S S):

(m3/kg)

d) VOLUMEN ESPECÍFICO ( ):

1.4 COMPRESIBILIDAD

E : Modulo volumétrico de elasticidad o modulo volumétrico. volumétrico.

   ∀⁄∀   

k : Modulo volumétrico de compresibilidad

LIQUIDO Alcohol etílico Benceno Aceite industrial Agua Glicerina Mercurio

E (lbf/pulg (lbf/pulg ) 130,000 154,000 189,000 316,000 654,000 3,590,000

(MPa) (MPa) 896 1,062 1,303 2,179 4,509 24,750


1.5 VISCOSIDAD DE LOS FLUIDOS

    :: ∙  ∙ ∙  ∙  ⁄ ⁄∙⁄ ∙∙  ⁄  ,  ∙    ∙  .⁄100 ⁄ ⁄0.001∙ 0.1 1∙ ∙       ⁄ ⁄ ⁄  ⁄ 1×10− ⁄ 1 100⁄ 1×10− ⁄

1.6 DIAGRAMA REOLÓGICO

Ley de Newton de la Viscosidad: Viscosidad : Clasificación:

NEWTONIANOS

Pseudo plásticos Sin Esfuerzo umbral

Viscosidad Dinámica ( μ): Sistema de unidades SI Sistema Ingles Sistema cgs

Unidades de viscosidad dinámica

Viscosidad cinemática ( v ):

Donde: µ = viscosidad dinámica ρ = densidad del fluido. Equivalencia:

Sistema de unidades SI Sistema Ingles Sistema cgs

Unidades de viscosidad cinemática

Dilatantes

Independientes del tiempo Con Esf. umbral

TIPOS DE FLUIDOS NO NEWTONIANOS

Tixotrópicos Dependientes del tiempo VISCOELÁSTICOS

Reopécticos

Plásticos

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1.7 PRESIÓN DE VAPOR

1.9 TENSIÓN SUPERFICIAL

Los líquidos se evaporan porque las moléculas se escapan de su superficie. Cuando el espacio por encima del líquido está limitado, las moléculas de vapor ejercen una presión parcial en dicho espacio llamada presión de vapor pv . Para el agua:

Temperatura

pv (kPa)

-10ºC -5ºC 0ºC 5ºC 10ºC 15ºC 20ºC 25ºC 30ºC 40ºC 50ºC 100ºC 150ºC 200ºC

0.260 0.403 0.611 0.872 1.23 1.71 2.34 3.17 4.25 7.38 12.35 101.3 (1 atm) 475.8 1554

Para el mercurio a 20ºC: 0.000176 1.8 CAVITACIÓN Ocurre en situaciones que implican el movimiento de líquidos, cuando se producen presiones muy bajas en algunos lugares del sistema. Bajo tales circunstancias la presión puede llegar a ser igual o menor que la presión

La tensión superficial de un líquido representa el trabajo de estiramiento que se necesita para hacer que aumente el área superficial del líquido en una cantidad unitaria. Sus unidades son N.m/m2 o J/m2. La tensión superficial es numéricamente igual a la fuerza tangencial de contracción que actuara sobre una línea hipotética de longitud unidad situada en la superficie (N /m) para mantenerla en equilibrio.

      

Tensión superficial de algunos fluidos en aire a 1 atm y 20°C (a menos que se indique otra cosa):

F luido

Tensión superficial σ(N/m)

Agua 0°C 20ºC 100°C 300°C Glicerina Aceite SAE 30 Mercurio Alcohol etílico Sangre, 37°C Gasolina Amoniaco Solución de jabón Queroseno

0.076 0.073 0.059 0.014 0.063 0.035 0.440 0.023 0.058 0.022 0.021 0.025 0.028

Para convertir: 1 N/m = 0.06852 lbf/pie


Fenómenos debidos a la tensión superficial: Tabla 1.1. Propiedades del Agua

a). Formación del menisco: Fuerza de adherencia: fuerzas s olido-liquido. Fuerza de cohesión: fuerzas liquido-liquido. Cuando θ < 90º Fza adherencia > Fza cohesión (líquido moja) Cuando θ > 90º Fza adherencia < Fza cohesión (líquido no moja) b). Formación de gotas y burbujas de líquido: 

Fuerza de presión necesaria para la formación de la gota.



Fuerza de presión necesaria para la formación de la burbuja.

Δ 4 Δ 8 Δℎ 2  

c). Elevación capilar o capilaridad:

1.10GAS PERFECTO Ley de los Gases

p = ρRT

p (N/m2 ) = ρ (kg/m3 ) R (N m/kg ºK) T (ºK) p (kPa) = ρ (kg/m3 ) R (kPa m3 /kg ºK) T (ºK) R: Constante de los gases perfectos

Temp. (ºC) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Densidad ρ

(Kg/m 3) 999.8 999.9 999.7 999.1 998.0 997.0 996.0 994.0 992.1 990.1 988.1 985.2 983.3 980.4 977.5 974.7 971.8 968.1 965.3 961.5 957.9

Peso especifico

Viscosidad cinemática -6 ν x10 (m2/s)

Tensión Superficial

(N/m 3)

Viscosidad dinámica -3 μ x10 (N.s/m2)

(N/m)

(KPa)

9,805 9,806 9,804 9,798 9,787 9,778 9,768 9,748 9,730 9,710 9,690 9,662 9,643 9,615 9,586 9,559 9,530 9,494 9,467 9,429 9,394

1.792 1.519 1.307 1.138 1.002 0.891 0.798 0.720 0.653 0.596 0.547 0.504 0.467 0.433 0.404 0.378 0.355 0.333 0.315 0.297 0.282

1.792 1.519 1.307 1.139 1.004 0.894 0.801 0.724 0.658 0.602 0.554 0.512 0.475 0.442 0.413 0.388 0.365 0.344 0.326 0.309 0.294

0.0762 0.0754 0.0748 0.0741 0.0736 0.0726 0.0718 0.0710 0.0701 0.0692 0.0682 0.0674 0.0668 0.0658 0.0650 0.0640 0.0630 0.0620 0.0612 0.0602 0.0594

0.6113 0.8721 1.2276 1.7051 2.3390 3.169 4.246 5.628 7.384 9.593 12.35 15.76 19.94 25.03 31.19 38.58 47.39 57.83 70.14 84.55 101.33

γ

σ

Presión de vapor

pv

Módulo Volumétrico de elasticidad E (MPa) 2,040 2,060 2,110 2,140 2,200 2,220 2,230 2,240 2,270 2,290 2,300 2,310 2,280 2,260 2,250 2,230 2,210 2,170 2,160 2,110 2,070

Propiedades de líquidos comunes, a 20ºC y presión atmosfér ica estándar


2.2 VARIACIÓN DE LA PRESIÓN EN UN FL UIDO ESTÁTICO

UNIDAD DIDÁCTICA II: FLUIDOS EN REPOSO

Presión

 

SI: Pascal (Pa) o N/m2 ; Lbf/pie2 o lbf/pulg 2

   



Entonces:

Esta es la fuerza que se produce sobre el flujo debido a la presión fuerza que produce el flujo sobre dicho punto es:

p = po + ρo g h

b). Fluido compresible Para cualquier fluido estático Expresar ρ como función de las otras variables de la ecuación: Se puede considerar Suponiendo E = cte ρ = f (p) Fluido Barotrópico. Para gases ideales p= ρRT

Gradiente de presiones: La fuerza por unidad de volumen en un punto (en un d ∀) será:

⃗     ⃗ ⃗     ⃗           ⃗  ∇≡  GRADIENTE DE PRESIONES ⃗′  ∇ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗           ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗′    ∀  ∇ ∀ ∴ ∇ ⃗    ⃗ ⃗       0 ∴    

⟹  ⟹

a). Fluido incompresible ρ= ρ0=cte, g = cte.

2.1 GRADIENTE DE PRESIONES

⟹

la

⁄∀  ⁄  ∀ ↝

2.3 PRESIONES ABSOLUTA Y MANOMÉTRICA Se cumple: pabs = pman + patm

ECUACIÓN GENERAL DE LA HIDROSTÁTICA: Fuerzas másicas o de cuerpo:

Aceleración de la gravedad efectiva = Aceleración de la gravedad Aceleración cualquiera del elemento

Fuerzas superficiales: Por equilibrio:

Ecuación General del movimiento para un fluido que actúa como un cuerpo rígido

Caso particular:

Ecuación General de la Estática de Fluidos

Unidades:

patm = 1.033 kg/cm 2 = 101.3 kPa (a nivel del mar). 1 bar = 10 5 Pa

1 atm = 101,325 Pa = 101.325 kPa = 1.033 kg/cm 2 = 10.33 m de H2O = 14.7 lb/pulg 2


2.4 FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS 1) FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS

F R =

      ℎ ′ , ′    ′     ⁄ ̅ ̅    ′     ⁄      ̅̅  ̅   ̅  donde gravedad.

Presión en el centro de

La fuerza hidrostática resultante F R actúa en el centro de presión CP. CENTRO DE PRESIONES

Teorema de los ejes paralelos.

Donde es el segundo momento de área respecto al eje x que pasa por el centroide del área e (la coordenada y del centroide o centro de

 ̅ 

gravedad) es la distancia entre los dos ejes paralelos. es el producto de inercia respecto a los ejes x e y que pasan por el centroide del área.


2) FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS

  ⃗  ⃗                ℎℎ             

Fuerza resultante:

Componentes Horizontales

Su centro de presión se calcula usando el área proyectada del mismo modo que en una superficie plana.

Componente vertical Es igual al peso del líquido situado verticalmente por encima de la superficie curva y extendido hasta la superficie libre.

   ∀  

Su centro de presión coincide con el centro de gravedad del volumen del fluido real o imaginario, que se encuentra sobre la superficie curva. Fuerza Resultante:

2.5

       ∀ ∀ ∀ ̅  ∀ ∫  ∀ ∀̅  ∀ ̅

EMPUJE Y FLOTACIÓN DE CUERPOS SUMERGIDOS E = ρg

= γ

: volumen del cuerpo sumergido o volumen desalojado por el cuerpo

Punto de aplicación

es el centroide del Volumen.

Caso particular: Cuerpos flotantes o sumergidos en dos líquidos.

2.6

FLUIDOS CON MOVIMIENTO DE CUERPO RÍGIDO

a) FLUIDO CON ACELERACIÓN LINEAL UNIFORME

∇ ⃗ ⃗ ∇ ⃗ ⃗  ⃗   ⃗ ⃗  ⃗  ⃗  ⃗  ⃗             ⃗        0               0  0 ⃗0    0  0  0   0    o

FUERZA DE PRESI N POR UNIDAD DE VOLUMEN EN UN PUNTO

+

FUERZA VOLUM TRICA O DE CUERPO POR UNIDAD DE VOLUMEN EN UN PUNTO

=

MASA POR UNIDAD DE VOLUMEN

En las tres direcciones ortogonales: En el eje x: En el eje y: En el eje z:

CASO PARTICULAR : es decir y ρ =γ /g con La dirección de la gravedad coincide con el eje negativo z .

F luidos en aceleración: ,

y

F luidos en reposo: ,

y

Caída libre de un cuerpo de fluido: ,

y

→

p = constante

x

ACELERACI N DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO


 ,  0  0  0  2  0          0     

Aceleración hacia arr iba de un cuerpo de fluido: ,

y

La diferencia de presión se duplica.

Aceleración en trayectoria recta . ,

y

b) FLUIDO CON ROTACIÓN UNIFORME ALREDEDOR DE UN EJE VERTICAL

 0         0             2 ℎ,  ℎ ℎ  4 Δ   La aceleración

.

Las ecuaciones del movimiento para fluidos en rotación se reducen a: ,

y

Con punto 1 como el origen ( r = 0, z = 0) y p1 = p0 = p atm y el punto 2 como cualquier punto en el fluido, la distri bución de presión:

Distribución de la presión:

Superfi cies de presión constante (isobaras): Con punto 1 como el origen ( x = 0, z = 0 ) y p1 = p0 = patm y el punto 2 como cualquier punto en el fluido, tenemos:

         ∆ +        

Variación de la presión

Ascenso vertical de la superfi cie

:

E cuación para las I sobaras

Las isobaras son superficies paralelas cuya pendiente en el plano xz es:

Para un recipiente lleno y tapado debe considerarse como si no estuviera tapado. Se trabaja con una superficie libre imaginaria.

Con origen la base del cilindro, para la superficie libre con r = 0 y z = 0 se obtiene C 1 = hc

Diferencia máxima en las alturas:


3.1 SISTEMA Y VOLUMEN DE CONTROL Sistema de control: cantidad de masa fija e identificable perfectamente determinada por una superficie cerrada (frontera). Volumen de control es una región fija en el espacio o volumen arbitrario en el espacio a través del cual se mueve un fluido. 3.2 MÉTODOS DE DESCRIPCIÓN 



Método Lagrangiano (SISTEMA): Consiste en determinar las características cinemáticas del movimiento de cada partícula u objeto, en cada instante, siguiendo su recorrido (se sigue una masa fija). Método Euleriano (VOLUMEN): Fija la atención en las propiedades de un flujo, en determinados puntos del espacio, como funciones del tiempo, cuando un fluido fluye a través de un volumen de control.

1) CAMPO DE VELOCIDADES

  ⃗ ⃗  ⃗   ⃗⃗    ,,,    ,,,    ,,,   ⃗ |⃗|⃗          

Vector velocidad:

Velocidad en función del diferencial de arco :

Donde

… (3.1)

es el vector diferencial de arco:

2) CAMPO DE ACELERACIONES

⃗⃗

Aceleración de una partícula de fluido

⃗,,,    ⃗     ⃗ ⃗  ⃗    ⃗ ⃗      ⃗  ∙∇    ∙∇  ∇                         ⃗    ⃗  ⃗  ⃗ ∙   ⃗   ⃗ ⃗    ⃗  … (3.2)

Donde:

= Aceleración convectiva o de transporte.

= Aceleración local, e indica si la velocidad varia o no con el tiempo

= Operador gradiente u operador nabla

Componentes del vector de aceleraci ón en coordenadas cartesianas

3.3 CAMPOS VECTORIALES

Magnitud de

 ⃗ ⃗⃗ ⃗ 

elemento diferencial de arco.

… (3.3a) … (3.3b) … (3.3c)

Aceleración en términos de

Aceleración tangencial y normal

Componente tangencial de la aceleración.


3) CAMPO ROTACIONAL

⃗ ⃗    ⃗        ∇ ×    ≠00 ⇒⇒         ∇ ×         ⃗ ⃗   ×× ⃗ ⃗   ⃗       ⃗    ⃗    ⃗ ⃗ ⃗        ⃗          ⃗    ⃗     ⃗

3.4 CLASIFICACIÓN DEL FLUJO DE FLUIDOS

Vector de vortici dad

COMPRESIBLE NO VISCOSO INCOMPRESIBLE FLUIDO CONTINUO COMPRESIBLE

.

, La dirección del vector de vorticidad se determina aplicando la regla de la mano derecha para el producto cruz.

Vector torbellino

También llamado vector de razón de rotación o vector velocidad angular de una partícula de fluido. … (3.4)

Variación del ángulo de rotación con respecto al tiempo. , donde

es el Vector torbellino.

Vector vortici dad en coordenadas cartesianas

Vector vorticidad en coordenadas cilíndricas

LAMINAR VISCOSO

INCOMPRESIBLE TURBULENTO

 0,0 >0,>0

Considerando la viscosidad del fluido Flujos no viscosos: Flujos viscosos: Considerando la turbulencia del flujo: Laminar Re < 2,300 Transición 2,300 ≤ Re ≤ 4,000 Turbulento Re > 4,000

  

∂ρ∂t 0,  0 ∂ρ∂t ≠0,  ≠0 ∂v∂t 0, ∂ρ∂t 0, ∂τ∂t 0,  0 ∂v∂t ≠0, ∂ρ∂t ≠0, ∂τ∂t ≠0,  ≠0 ∂v∂s 0, ∂ρ∂s 0, ∂τ∂s 0,  0,  . ∂v ∂ρ ∂τ 

Considerando la variación en la densidad del fluido Flujo incompresible Flujo compresible

Considerando variaciones en el tiempo Flujo permanente (estacionario): Flujo no permanente (no estacionario):

Considerando variaciones en el espacio Flujo uniforme:

Flujo no uniforme:

≠0, ≠0, ≠0, ≠0, .




≠00       

Considerando la rotación de partículas Flujo rotacional: Flujo irrotacional:

Considerando temperatura y calor Flujo isotérmico: Es isotérmico cuando la temperatura no cambia de un punto a otro de la trayectoria del flujo. Flujo adiabático: Es adiabático cuando no existe transferencia de calor desde o hacia el flujo con respecto a sus alrededores. 3.5 ASPECTOS SOBRE LA VISUALIZACIÓN DEL FLUJO a) FUNCIÓN DE CORRIENTE

     0   ∇ ∙     0  , ,       ⃗⃗⃗  ⃗⃗          

Para un flujo incompresible bidimensional en el plano xy, la ecuación

de continui dad

… (3.5)

se reduce a: Se define

La ecuación de continuidad para fluido incompresible en el plano rθ :

   0;

       

… (3.8)

b) POTENCIAL DE VELOCIDADES



Sí es cualquier función escalar (de las coordenadas espaciales y del tiempo) teniendo primera y segunda derivadas continuas.

∇ ×∇0 ⃗   ∇ × 0 ⃗   0     ∇          ⃗ ∇      ⃗   ⃗       1          0     ∇ ∙   ∇  ∇  ∇ ∇ 0     

… (3.9)

… (3.10)

… (3.6)

Para una línea de corriente es constante a lo largo de ella: y .

Si

, y por lo tanto a se le llama función potencial de

velocidad , igual a:

… (3.11) … (3.12)

E n coordenadas cilíndricas:

Gasto (q) entre líneas de corriente

Convención del lado izquierdo

F unción de corriente en coordenadas cilíndricas

Por lo tanto, y para flujo irrotacional:

Función corriente, como:

Gasto por unidad de ancho

El valor de aumenta hacia la izquierda de la dirección del flujo en el plano xy.

… (3.7)

… (3.13)

E cuación de Laplace Si en

, se reemplaza

⟹


   ∇ ∇ ∙∇ ∇∇ ∙∇              0 ∇          0 El operador laplaciano

c) F uente o sumidero

es un operador escalar definido como

En coordenadas cilíndricas:

F unción de corr iente y potencial de velocidades

Para un flujo irrotacional, incompresible y bidimensional, se obtiene:

       

… (3.14)

3.6 FLUJOS IRROTACIONALES ELEMENTALES

a) F lujo uniforme

d) Vórtice ir rotacional b) F lujo uniforme incli nado


3.7 FLUJOS SUPERPUESTOS Principio de superposición: ϕ3 = ϕ1 + ϕ 2

ψ3 = ψ1 + ψ 2

4.1 DEFINICIONES

a) E l doblete: FUENTE + SUMIDERO = DOBLETE

      

PROPIEDAD EXTENSIVA ( N ): es aquella cuyo valor para un estado varía al variar la magnitud de la masa considerada. PROPIEDAD ESPECIFICA: (n= N/masa)

 

Se puede definir K

como

la intensidad del doblete.

b) F lujo sin circulación alrededor de un cili ndro FLUJO UNIFORME + DOBLETE = FLUJO ALREDEDOR DE UN CILINDRO

        

c) Superposición de un sumidero y un vórtice SUMIDERO + VÓRTICE

4.2 MÉTODOS DE ANÁLISIS a). Análisis Integral Se trata de ecuaciones que describen el comportamiento integral (global) del flujo. Son útiles cuando se está interesado en el comportamiento grueso de un fluido en movimiento y en su efecto sobre varios dispositivos. b). Análisis Diferencial Se formulan ecuaciones diferenciales que describen el movimiento del fluido al detalle infinitesimal. Sirve para determinar el comportamiento detallado del flujo, es decir, punto a punto. 4.3 ANÁLISIS INTEGRAL Teorema del Transporte de Reynolds (RTT)


∀ ⇒    ∀∀     ∀   ∙⃗    ∙⃗  ̇  ̇  ̇    ∙⃗     ∀    ∙⃗

1) ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA MASA m = constante ⟹

Considerar en la ecuación (4.1) N = m → n=1, además que

E cuación de conservación general de la masa

   ∫ ∀  ∫  ∙⃗ 0

Por integración, y generalizando, se determina que la razón neta de flujo a través de toda la superficie de c ontrol SC es:

Teorema de Transportes de Reynolds, conocido también como transformación de sistema a volumen de control para un volumen fijo de control, o ecuación fundamental para un VC.

Rapidez con que cambia el contenido de masa dentro del VC





La velocidad se mide con respecto al VC.





Flujo incompresible ⟹

Gasto másico neto a través de la superficie de control

∫ ∙⃗ 0 ,  ,    ∙⃗ 0

…(4.3)

Flujo permanente (estacionario) Flujo en donde ninguna variable del fluido varía con el tiempo, no necesariamente incompresible .

∫ ∆    ̇  ̇    ̇  ̇  ̇  ̇  ̇  ̇   ∫     ∫∀ ∀ ⟹

…(4.4)

Donde: 



Aproximación para el flujo neto:

∑

… 4.2

2) ECUACIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA

Para un VC en movimiento o deformación, la velocidad absoluta del fluido del último término debe reemplazarse por la velocidad relativa, donde es la velocidad local de la SC.

    ∫  ⃗ ∑



Flujo neto o razón neta de flujo de la propiedad extensiva N que pasa a través de la superficie de control

Rapidez con que cambia el contenido de cualquier propiedad extensiva N dentro del volumen de control

 0

Casos especiales:

…(4.1)

Rapidez total con que cambia cualquier propiedad extensiva N del sistema

/0

Cuando el fluido cruza el límite del VC en un número finito de entradas y salidas bien definidas:

es la razón neta de transferencia de calor hacia el sistema (negativa, si es desde el sistema) es la entrada neta de potencia hacia el sistema en todas las formas (negativa, si es salida de p otencia)

De manera más general:


ecep   2   ̇  ̇  ̇  ̇  ̇ ̇   ̇̇   ∫∫ ∙∙⃗⃗   ̇  ̇  ̇    ∙⃗  ̇  ̇       ∀   ∙⃗

Energía mecánica de un fluido fluyente:

Caso particular: F lujo permanente o estacionari o

Transferencia de energía por trabajo, W

E cuación de Bernoulli

…(4.5)

a) Trabajo de eje, b) c) d) Otras formas de trabajo,

Para dos puntos cualesquiera sobre una línea de corriente:

E cuación de energí a para el flujo estacionario e incompresible

Entonces:

En la ecuación (4.1), haciendo N = E y n = E/m = e se obtiene: …(4.6)

Razón neta de transferencia de energía hacia un VC por transferencia de calor o de trabajo

Entonces:

Gasto neto de energía hacia fuera de la SC por flujo de masa

Razón de cambio respecto al tiempo del contenido de energía del VC

 ̇   ̇    ∙⃗  ̇  ̇    ∀   ∙⃗

    ∀   ∙⃗   ∙⃗       2     2     ℎ        2  ℎ    2  ℎ ℎ  ℎℎ        ∆ ℎ   Donde:







es la carga útil entregada al fluido por la bomba. es la carga que la turbina extrae del fluido.

 

es la pérdida irreversible de carga entre 1 y 2

3) ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

⃗ ⃗         ∑  ∫     ∫∀ ∀ ∑⃗   ∫  ∀ es la cantidad de movimiento del cuerpo o momento lineal.

De manera más general: o también


⃗   ⃗   ∑⃗⃗ ∑⃗⃗ ∑⃗ ∑⃗ ∑ ∑   ⁄     ∑⃗ ∑⃗ ∑⃗   ∫ ∀  ∫   ∙⃗

Las fuerzas que actúan sobre el sistema pueden ser superficiales volumétricas o de cuerpo .

En la ecuación (4.1), con

y

y

se obtiene: …(4.7)

Suma de todas las fuerzas Flujo neto de cantidad de externas que actúan sobre u n movimiento que sale a VC Razón de cambio respecto al través de la SC tiempo de la cantidad de movimiento dentro del VC

∑ ∑ ∑   ∫ ∀  ∫   ∙⃗ ∑ ∑ ∑   ∫ ∀  ∫   ∙⃗ ∑ ∑ ∑   ∫ ∀  ∫   ∙⃗

…(4.8a) …(4.8b)

4) ECUACIÓN DEL MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

 ⃗×⃗ ⃗×   ⃗×     ∑ ⃗×     ̇ ̇   ∫  ⃗×   ∫∀ ⃗× ∀ ∑ ⃗×⃗  ∫ ⃗×⃗   ⃗ ×⃗    ⃗ ⁄  ×     ⃗× ∀   ×   ∙⃗ ∑ ⃗×⃗ ∫⃗⃗×⃗ ⃗   ⃗    × ∀  ×   ∙ …(4.10)

Donde

: momento de torsión total sobre el sistema.

se llama cantidad de movimiento angular del sistema.

Además:

,

(rad/s),

es la velocidad angular.

es el número de r evoluciones por minuto.

De manera más general: También:

…(4.11)

En la ecuación (4.1), con

y

:

…(4.12)

…(4.8c)

Cantidad de movimiento con VC que se mueve con velocidad constante

    ∑⃗ ∑⃗ ∑⃗   ∫  ∀  ∫   ∙⃗

Para un VC (fijo con respecto a un marco de referencia xyz ) que se mueve con velocidad constante donde es la velocidad local de la superficie de control, con respecto a un sistema de referencia (inercial) XYZ , también es inercial, puesto que no tiene aceleración relativa a este último. …(4.9)

…(4.13)

Suma de todos los momentos externos que actúan sobre un VC Razón de cambio respecto al tiempo del momento angular dentro del VC

Flujo neto del momento angular hacia fuera de la SC por el flujo de masa

  ∫⃗×   ∙⃗

Para flujo estacionario :

…(4.14)


Casos particulares:

4.4 ANÁLISIS DIFERENCIAL



a) ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA MASA

.

Con la aplicación del teorema de Transporte de Reynolds se tiene:

  ∀   ∙⃗ 0

Rapidez con que cambia el contenido de masa dentro del volumen de control

+

Gasto másico neto a través de la superficie de control

 ∫ ∀ ≅    



∇ ∙ 0     0   

F lujo permanente (estacionario)

 0

,  ,   ∇∙0       0   1    1     0 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗           ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗     ∇ ∀ ⃗ ⃗  0 ⃗ ∇  ∙∇    0 ∇  ⃗ ∇  ∇   ∙∇   0

Flujo en donde ninguna variable del fluido varía con el tiempo , no necesariamente incompresible .

0

=

En coordenadas cartesianas:

E cuación de continui dad en coordenadas cilíndricas: …(4.16)

El flujo de masa neto a través de la SC está dado por:

 ∙⃗ [    ]      [    ]  0        0  ∇ ∙0   ∙∇∇ ∙ 0   

Finalmente se obtiene:

E cuación de continuidad en coordenadas cartesianas:

b) ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ENERGÍA O DE EULER Fuerzas másicas o de cuerpo:

Aceleración de la gravedad efectiva = Aceleracion de la gravedad Aceleracion cualquiera del elemento

Fuerzas superficiales:

Por equilibrio, se debe cumplir:

…(4.17)

Simplificando y empleando el operador de divergencia: →

;

En coordenadas cartesianas:

Rapidez de cambio de masa dentro del VC Gasto másico neto

 0 

F lujo incompresible:

Simplificando: Ecuación de Euler o de c onservación de la energía. …(4.19)

…(4.18)

Si

y

entonces:


c) ECUACIÓN DIFERENCIAL MOVIMIENTO

DE

CANTIDAD

      ⃗ ⃗     ⃗                     ⃗ ⃗                                                                  ∇ ∙   ∙∇             

DE

…(4.20)

se llama cantidad de movimiento del cuerpo.

F uerzas externas que actúan sobre el elemento de flui do diferencial , en dirección x:

, en donde



es

Para un fluido newtoniano incompresible:

 2        2             0 0   00 0 0     2 2  (      ) ∇  ∇    ∙∇     En este caso se puede demostrar que de razón de deformación.

Para los tres ejes coordenados:

…( 4.21a)

…(4.21b) …(4.21c)

…(4.22)

es el tensor de esfuerzos:

hidrostática

llamado tensor de esfuerzo viscoso.

Reemplazando en

Donde

p es la presión

Para fluidos en movimiento

= Fuerzas superficiales + Fuerzas volumétricas

Entonces:

  00 00 00      0 0      0  0     0 0      

Para fluidos en reposo

, donde

es el tensor

Entonces, se puede expresar la ecuación general diferencial de la cantidad de movimiento o Ecuación de Na vier-Stokes: …(4.23)

Fuerzas de presión termodinámica local

Fuerzas volumétricas

Fuerzas debido a esfuerzos

Aceleración convectiva

Aceleración local


Utilidad de las ecuaciones diferenciales Por simplicidad, solo se considera flujo incompresible tridimensional, cuando se elimina el cálculo de ρ como una variable. Quedan cuatro variables o incógnitas: - Presión - Tres componentes de velocidad Y se tienen cuatro ecuaciones diferenciales: - Continuidad. - Tres componentes de Navier-Stokes.

 ∇  ∇    ∙∇          0                                                

Ecuación de continuidad de flujo incompresible:

Componente x, y y z de la Ec. de Navier-Stokes de flujo incompresible:

UNIDAD DIDÁCTICA V: FLUJO EN TUBERÍAS

5.1 MOVIMIENTO UNIFORME EN TUBERÍAS En el flujo uniforme en tuberías

  

                ℎ   2  2            ∑ 0:  2 ℎΔ    ℎ   ∴  4  ℎ2

5.2 DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO CORTANTE

       1 

En las paredes:

y Distribución del esfuerzo cortante en la sección de tubería.


5.4.2 CONDUCTOS H I DR ÁUL I CAME NTE RUG OSOS

5.3 DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES – FLUJO LAMINAR

               

Ecuación de distribución de velocidades para una tubería con flujo laminar.

5.4 DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES – FLUJO TURBULENTO

5.4.1 CONDUC TOS HI DR ÁUL I CAME NTE LI SOS

∗        ∗ ∗     ∗   l n ℎ ∗  ℎ  0   ln ℎ    ln 

Si llamamos

Para h

⟹

⟹

…(5.1) …(5.2)

0  0 0   ∗ ℎ ⟹   ∗ ln 104 ℎ  ∗ 104 ℎ   1 1      ln 2 ℎℎ ∗ ln 46.4  →

para 0 ≤ h ≤ δ

…(5.3)

Para h = δ las ecuaciones (5.2) y (5.3) deben ser válidas.

Distribución de velocidades en una tubería hidráulicamente lisa:

Velocidad media

  ∗ ln   ∗ 30 ℎ   1 1         ln  22 ℎℎ ∗ ln 13.4  ≤0.≥64  ∗∗≤5≥70 0. 4<<6   5< ∗ <70 …(5.4)

b. Conductos hidráulicamente rugosos:

Ley Universal de distribución de velocidades de Prandtl-Von Karman, flujo turbulento

Dentro de la sub-capa laminar. ⟹ ⟹ Para h

Distribución de velocidades en una tubería hidráulicamente rugosa :

Rangos conductos hidráulicamente lisos-rugosos a. Conductos hidráulicamente lisos:

Velocidad de corte

Integrando:

≃0 ⟹

⟹

Velocidad media

Ecuación de Hagen- Poiseville

Entonces:

Se parte de la ecuación (5.2)



c. Conductos hidráulicos de transición: Valores típicos para k (m) Material Tubos muy lisos Fierro forjado Fierro fundido, nuevo Fierro galvanizado Cemento enlucido Asbesto cemento, nuevo Concreto liso Concreto rugoso

Rugosidad k (m) 1.5 x 104.5 x 102.5 x 10-4 1.5 x 104.0 x 102.5 x 102.5 x 101.0 x 10-

Transformación de la ecuación de Karman-Prandtl

−∗ 5.75log  2

E xceso de velocidad en un punto con respecto a la velocidad media.


Ecuación de Chezy

18 log 267√ ,  18 log 267⟹ √ 

5.5 PERDIDA DE CARGA POR FRICCIÓN a) ECUACIÓN DE DARCY

∑ 0:            √   ∴            ℎ       Considerando un cilindro:

…(5.5)

A: sección transversal P: perímetro : Corte medio sobre el contorno

Para flujo turbulento:

Se obtiene: Coeficiente de fricción de Darcy :

E cuación de Darcy:

…(5.6)

f FLUJO LAMINAR:

…(5.7)

f FLUJO TURBULENTO 

f para tuberías hidráulicamente lisas

  .2/log <100.8

Blasius:

para

Nikuradse: Nikuradse: Konakov:

 .  0.0032 .  

 

aproximadamente

para

para

  >10  10 < <10  2,300< <10 para



f para tuberías hidráulicamente rugosas Nikuradse:

  2 log. 1. 142     2 l og .⁄  . 

…(5.14)

Transición entre contornos lisos y rugosos Combinando ambas ecuaciones:

…(5.15)

F órmula de Colebrook y White y sirve para las tres zonas de flujo turbulento (liso, rugoso, transición).

Algunas investigaciones para el cálculo de f

−     0.094. 0.53 88.  1. 6 2. 10−−≤⁄ ≤4×10− −   >10  10 ≤⁄ ≤10  5×10 ≤ ≤10      0≤ ⁄5.≤105 ×10− − 4×10 1 2×10  ≤ ≤10

1. Fórmula de Wood:

 



No sirve para tuberías hidráulicamente lisas. Para el error es del orden de -4% a 5% comparada con la ecuación (5.15). Para , error:-4% a 20%

2. Fórmula de Moody: 

Sirve para ±5%.



, error

3. Fórmula de Akalank K. Jain: …(5.8) …(5.10) 

…(5.11) …(5.12)



1  1.142 log  21..25 1010−− ≤≤⁄⁄ ≤10≤10−−  105×10 ≤ ≤≤10 ≤10 

Valido para las tres zonas de flujo turbulento. Errores comparados con la ecuación (5.15) C olebrook-White: Para error ±1% Para error ±0.5%


5.6 CONCEPTO DE POTENCIA

 

Donde:

  

kg m/s (Teórica);

  

γ : peso específico del fluido (kg/m 3) Q: caudal (m3/s) H : energía total con respecto al plano de referencia (m) n: eficiencia de la bomba, 50% - 85% K = 1

kg m/s K = 75 CV (caballos de vapor) K = 76 HP (Horse power) K = 102 kW

5.7 FORMULA DE HAZEN-WILLIAMS

0.000426  . . 

ℎ  0.01776 .  ..

Valores típicos de



ℎ  ℎ   

Caso 1: Calculo de Con Darcy:

(PROBLEMA DE COMPROBACIÓN) y Akalank

Hazen-Wi lliams con unidades SI

Con

Q = (m3/s) D = (m) L = (m)

140 150 140 110 100 130 120 110 100 95 60-80 40-50

5.8 DISEÑO Y ANÁLISIS DE TUBERÍAS SIMPLES

Con Q = (lt/s) Q = (lt/s) D = (pulgadas) D = (pulgadas) S = (m/km) L = (m) C H : Coeficiente de Hazen-Williams (depende de cada tubería)

0.2784  . ℎ.  ℎ  0.2784. ..



Material

Tuberías lisas y rectas PVC Asbesto cemento Fierro fundido Concreto Tuberías concreto liso, f°f° nuevo Madera lisa Acero remachado nuevo F°F° poco usado F°F° viejo Tuberías viejas en malas condiciones Tuberías fuertemente corroídas

Con H-W:

ℎ  .. ..

  1.142 l og  ..


Caso 2: Calculo del Q (PROBLEMA DE COMPROBACIÓN) Con Darcy:

ℎ      1.142 l og   .. ℎ1.142 ;log  . ⟹  0.08263     

y

Akalank

Caso 3: Calculo de D (PROBLEMA DE DISEÑO) Con Darcy: y Akalank

 

Método 1: Suponiendo un f

 .

5.9 PERDIDAS DE CARGA LOCALES



Formula general:

ℎ  

: coefi ciente de pérdida (también llamado coeficiente de resistencia).

Longitud equivalente

ℎ  2   2 →      ℎ   ℎ       2   2

Pérdida de carga total

Principales pérdidas de carga locales 1) Entrada de tubería

Método 2: Suponiendo un D (Debe ser un diámetro comercial) Efecto del redondeo de una entrada de tubería sobre el coeficiente de pérdida. Tomado de ASHRAE Handbook of Fundamentals.


En una contracción gradual la pérdida de carga es mínima. Se puede considerar que su valor es cero.

2) Expansión y contracción brusca de tubería

Expansión brusca

 [1  ]   1 :

Contracción brusca

⁄

coeficiente de contracción.

Para determinar la pérdida local se considera que V es la velocidad en la tubería de menor diámetro. 0.1 0.2 0.3 0.624 0.632 0.643

0.4 0.659

0.5 0.6 0.681 0.712

0.7 0. 755

0.8 0. 813

0.9 0.892

1.0 1.0

También puede calcularse el coeficiente de pérdida con la gráfica que se muestra.

Podría calcularse el coeficiente de pérdida de una contracción gradual (coeficiente de resistencia) con el grafico que se muestra. Se considera que V es la velocidad en la tubería de menor diámetro. 4) Válvulas Válvula De globo, totalmente abierta Check, totalmente abierta De bola, totalmente abierta Compuerta, totalmente abierta Compuerta, ¼ cerrada Compuerta, ½ cerrada Compuerta, ¾ cerrada

5) Cambios de dirección 3) Expansión y contracción gradual Para una expansión gradual, con el grafico de Gibson que se muestra, se puede calcular el coeficiente K , con lo que se obtiene:

ℎ   2 



10.0 2.5 0.05 0.2 0.3 2.1 17.0


Nota: Considerar pérdidas de carga locales solamente cuando L/D ˂ 1,500. Sistemas equivalentes Un sistema hidráulico será equivalente a otro, si para una misma perdida de carga transporta el mismo caudal, o viceversa: Q ↔ H 5.10TUBERÍAS EN SERIE

∑ ℎ ∑  ℎ          =   2 =  2              ⟹        2     2      2   2   2   2  2  2  2   

Características principales: 1)

Casos: 1. Determinación de la pérdida de carga, H . Solución es DIRECTA. 2. Determinación del caudal, Q. La solución es POR TANTEOS. Solución para determinación del caudal Q, dado H : Método 1: Suponiendo valores de f Método 2: Suponiendo valores de Q Considerar Akalank

  1.142 l og  ..

2)

Se cumple: 



La ecuación de la energía: Ecuación continuidad:

Entonces de la ecuación de la energía:

Para un sistema de tuberías en serie, con la última tubería con descarga a la atmosfera con una velocidad se demuestra que:

   +∑   +∑  

En el segundo método se puede graficar los resultados como ayuda


5.11 TUBERÍAS EN PARALELO

ℎℎ ℎ         

Características principales: 1) 2)



3)



   ∑=      2     2      2 =  2    ∑     ∑     ∑   0.08263    ⟹   .   , ,    , 

, ,

2. Calculo de la pérdida de carga, H y del caudal en cada ramal Qi , conocido el caudal total Q, las características de las tuberías y las propiedades del fluido . La solución es laboriosa.

  

, 

Solución para determinación de la pérdida de carga H y el caudal Qi en cada ramal , dado Q: Método 1: Con ec. simultaneas Método 2: Suponiendo Qi en una tubería

Pérdida de carga en cada tramo

Se cumple: La ecuación de la energía: Ecuación de continuidad, que debe verificarse en los puntos A y B.  

Entonces de la ecuación de la energía en cualquier tramo:

También:

Estas ecuaciones pueden simplificarse poniendo todos los caudales en función de la pérdida de carga H . De Darcy Casos que se presentan: 1. Calculo del caudal en cada ramal Qi , conocida la carga o energía disponible H , las características de las tuberías y las propiedades del fluido . La solución es DIRECTA.

Nota: El segundo método es mejor resolverlo suponiendo una pé rdida de carga (en lugar de un caudal) y ajustar los caudales obtenidos.


5.12 CASO DE RESERVORIOS

 Z

Bombeo de un reservorio a otros dos

Incógnitas: 1) : caudal que circula en cada tramo 2) : cota piezométrica del punto P.

Z    

Z ∑ ∑

La cota piezométrica en los estanques corresponde a la elevación de la superficie libre. Para el nudo P, representa la suma de la elevación topográfica del punto P más la altura correspondiente a la presión. Condición en el punto P:

Secuencia de solución

Z

Incógnitas: 1) : caudal que circula en cada tramo o ramal 2) : cota piezométrica del punto P.

     ℎ  ℎ 0.08263    Z  Z  ℎ  Z  Z     ℎ  Z Z ℎ     ℎ  0.ℎ 08263Z Z  ℎ  Z Z 

Procedimiento de solución propuesto: 1. Suponer un caudal impulsado por la bomba 2. Calcular

⟹

:

3. Determinar cota piezométrica a la entrada a la bomba: 4. Det. cota piezom. salida bomba:

con

.

5. Calcular , perdida de carga en la tubería 2. 6. Determinar la cota piezométrica del nudo P: 7. Calcular

en los tramos 3 y 4:

8. Calcular Q3 y Q4: (Darcy)

9. Verificar continuidad en el nudo: Q2 = Q3 + Q4 caso contrario reiniciar el cálculo suponiendo otro valor para el caudal. A fin de no aumentar el número de tanteos, es conveniente auxiliarse con un gráfico:

Para reducir el número de tanteos es recomendable auxiliarse de un gráfico.


Tuberías con descarga independiente

Efecto del envejecimiento de tuberías

 

   

Formula de Colebrook-White: : Rugosidad despues de t años : Rugosidad inicial, al ponerse en servicio : Constante de proporcionalidad de aumento de rugosidad (mm/año) t : tiempo transcurrido en años

Incógnitas:



Intensidad de aumento de rugosidad Pequeña Moderada Apreciable Severa

Caudal que circula en cada tramo o ramal

En las descargas se tiene la energía de velocidad debida a las salidas en chorro.

Z ℎ  Z Z ℎ  ZZ0. 08263  ℎ Z Z  Z  ℎ    0.08263      0.08263  ℎ     

Procedimiento de solución propuesto: 1. Suponer una cota piezométrica del punto P: 2. Calcular la energía disponible en cada tramo: 3. Calcular Q1, Q2 y Q3 : (Darcy)

4. Verificar la ecuación de continuidad en el nudo: Q1 = Q2 + Q3 caso contrario reiniciar el cálculo suponiendo otro valor para .

0.012 0.038 0.120 0.380

   4 ⟹ 4        4 ;   4  ℎ   2  4 2

5.13 DISEÑO DE REDES: MÉTODO DE HARDY CROSS

Caudal de entrada: Caudal de salida: Q Caudal unitario: q (m3/s/m) Con Darcy:

Si

(mm/año)

Perdidas de fricción en tuberías no circulares

Conducto con servicio en camino

Con

α

y

Características:


ℎ 0 =  

1) En cada circuito: ⟳+

2) Los caudales que en cada circuito tengan sentido horario se considerarán positivos y producirán perdidas de carga positivas.

∑ ∑ ℎ  

3) En cada nudo se cumple continuidad:

4) Las pérdidas de carga pueden calcularse con Darcy o con HazenWilliams y tendrán la forma: En donde los valores de K y x dependen de la ecuación empleada. 5) La solución se realiza por aproximaciones. Procedimiento de cálculo Sea el caudal supuesto



 ∆ ℎ    0.08263    

y el caudal verdadero Q

⟹

∆ ∴ ∆ 2 ∑∑ℎℎ ℎ  .  .. . . ∴ ∆ 1.85∑ℎ∑ ℎ

Donde 



es el error cuyo valor desconocemos.

Con ecuación de Darcy:

Con ec. de Hazen-Williams:


UNIDAD DIDÁCTICA VI: ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA

6.1 ANÁLISIS DIMENSIONAL Dimensiones fundamentales Longitud Masa Tiempo Corriente eléctrica Temperatura Cantidad de luz Cantidad de materia

Unidad base m (metro) kg (kilogramo) s (segundo) A (ampere) K (kelvin) cd (candela) mol (mole)

Símbolo L m T I θ

C N

A veces se emplea fuerza en vez de masa como dimensión fundamental. a) MÉTODO DIRECTO Consiste en establecer de una manera directa las ecuaciones dimensionales. b) TEOREMA π DE BUCKINGHAM Dado un problema físico en el cual el parámetro dependiente es una función de n-1 parámetros independientes:



, , , ⋯ ,  , ⋯ ,  , , , ⋯ , 0

Donde es el parámetro dependiente y parámetros independientes.

son los n-1

Se puede expresar la relación funcional de manera equivalente como:

, , , ⋯ , 0

El teorema de Buckingham establece que dada una relación de la forma , entre n parámetros, éstos se pueden agrupar en n-m parámetros adimensionales independientes ( π ):

Procedimiento para determinar los parámetros: 1) Listar todos los parámetros significativos inclusive la variable dependiente (sea n el número total de parámetros). 2) Seleccionar un conjunto fundamental (primario) de dimensiones, por ejemplo mLT. 3) Listar las dimensiones de todos los parámetros, en función de las dimensiones primarias (sea r el número de dimensiones primarias). 4) De la lista de parámetros elaborada (paso1), seleccionar aquellos que se repetirán en los parámetros adimensionales que se han de formar; dichos parámetros repetitivos deberán ser igual en número a las dimensiones primarias r . 5) Establecer ecuaciones dimensionales que combinen los parámetros repetitivos con cada uno de los parámetros restantes (se obtendrán n-m ecuaciones). Resolver estas ecuaciones dimensionales para obtener n-m parámetros adimensionales. Usualmente m = r . 6) Verificar que cada parámetro obtenido resulte adimensional. Escribir la relación funcional entre los parámetros.

Pautas para elegir parámetros repetitivos: a. No incluir el parámetro dependiente. b. Los parámetros repetitivos elegidos no deben ser susceptibles de formar ellos mismos un grupo adimensional. c. Los parámetros repetitivos elegidos deben representar todas las dimensiones primarias en el problema. d. Nunca elija parámetros que ya sean adimensionales, pues ya son π . e. Nunca escoja dos parámetros con las mismas dimensiones o con dimensiones que difieran sólo por un exponente. f. Siempre que sea posible, elija constantes dimensionales sobre las variables dimensionales. g. Escoja parámetros comunes porque ellos aparecen en c/u de las π .

Formulario Mecanica de Fluidos I

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