Task No.3 – Damped FreeVibration Response of SDOF
Damped Free Vibration Response of SDOF (Respons Getaran Bebas Teredam SDOF) PROBLEM : 3.3.
The weight W of the building of Fig. E3-1 is 200 kips (=889.64 kN) and the building is set into free vibration by releasing it (at time t = 0) 0) from a displacement of 1.20 of 1.20 in (=30.48 mm). If the maximum displacement displacement on the the retu return rn swin swing g is 0.86 0.86 in (=21 (=21.8 .844 44 mm) mm) at time time t = 0 . 6 4 s, s, determine: a. the latera laterall sprin spring g stiff stiffness ness k b. the damping ration ξ c. the the damp damping ing coe coeff ffic icien ientt c Sistem Massa
W = mg
(t) ν (t)
p(t)
Sistem Kekakuan
k
c
k Sistem Redaman
Fixed (a) Sistem Massa-Rangka/Portal Massa-Rangka/Portal
(b) Sistem Massa-Rangka/Portal Massa-Rangka/Portal (kondisi terde-
Gambar 1 (E3-1). Sistem yang akan dianalisis menurut Soal 3-3.
SOLUTION : Langkah
: Merumuskan persamaan gerakan sistem dan mengevaluasi
parameter berdasarkan amplitudo gerak. Bang Bangun unan an 1 lant lantai ai diid diidea eali lisa sasi sika kan n seba sebaga gaii balo balok k kaku kaku yang yang ditunj ditunjang ang oleh oleh kolomkolom-kol kolom om atau atau dis disebu ebutt sis sistem tem portal portal (berat (berat kolo kolom m dia diabaik baika an). n). Hany Hanya a ter terjad jadi 1 mode mode shape ape (bent bentu uk lengkungan lengkungan)) portal, portal, sehingga sehingga persamaan persamaan gerakan gerakan sistem sistem dapat dimodelisa dimodelisasika sikan n sebagai berderaja berderajatt kebebasan kebebasan tunggal tunggal (SDOF). (SDOF). Selanjutny Selanjutnya, a, dilukiska dilukiskan n skema pengurang pengurangan an amplitudo amplitudo getaran getaran sbb, X
= ρe
v(t)
T1 = 0.64 s
-ξωt
ν (0) (0)= x0=30.48 mm v(1)=x1=21.844 mm v(2) t0 t2
t1 Y
Civil Structure Eng. Postgraduate Prog. Hasanuddin Univ Yoppy Soleman, 2005
1
STRUCTURAL DYNAMICS ©
Task No.3 – Damped FreeVibration Response of SDOF
T 2 = T1 = 0.64 s Gambar 2. Skema pengurangan amplitudo dua puncak berturutan dari getaran sistem portal.
Solusi lengkap persamaan gerakan sistem yang dipengaruhi oleh gaya pemaksa adalah, v (t )
=
c c 2 k G1e − 2 m + 2 m − m t
( k −
+
F 0 2 mω
)2
c c 2 k G2e − 2 m − 2 m − m t +
+ (cω 2 ) 2
[( k − m
2 ω
) sin ω t − cω cos
]
t ω
apabila gaya pemaksa tidak diperhitungkan, F 0 = 0 , maka pers persam amaa aan n gera geraka kan n menj menjad adii geta getara ran n beba bebas s tere tereda dam m (damped free vibration), sbb,
c
v(t) = Ae −ξ 2
dimana: A B
m
t
c
sin ωdt + Be −ξ 2
m
t cos
ωdt
ξ
= amplitudo gerak, v(0) kondisi awal = kecepatan gerak, v’(0) kondisi awal = faktor redaman (damping value)
ωdt ωd
= fase/sudut fase getaran = frekuensi natural sudut teredam
c 2 k = ω (1 −ξ = 1 − 2mω m 2
Memasukkan kondisi awal, v(0) dan v’(0) ke dalam persamaan, sehingga,
v (0) + v(0)ξω sin ω D t + v(0) cos ω D t ω D
v (t ) = e −ξ ω t
yang bila dinyatakan dalam bentuk vektor rotasi,
= ρ e −ξ ω
cos( ω D t −θ ) karena v(t) merupakan amplitudo maksimum, maka suku cos( cos( ω d θ ) = 1, sehingga, t
v (t )
v (t )
= ρ e −ξ ω
t
yang yang merupa merupakan kan persam persamaan aan geraka gerakan n sis sistem tem tereda teredam m dengan dengan amplit amplitudo udo berkur berkurang ang secara secara logari logaritmi tmik. k. Penuru Penurunan nan logar logaritm itmik ik adal adalah ah perb perban andi ding ngan an ampl amplit itud udo o gera geraka kan n awal awal (v 0) dan sesudahnya (v 1),
= ρ e −ξ ω t − v (1) = v (t 1 ) = ρ e ξ ω t −ξ ω t v (0) ρ e ω exp 2 = = π ξ = v(1) ρ e −ξ ω t ω D v(0) ω ω 2 2 = = δ = ln π ξ π ξ ω D v(1) ω 1 − ξ 2 v (o) = v (t 0 )
0
1
0
1
Civil Structure Eng. Postgraduate Prog. Hasanuddin Univ Yoppy Soleman, 2005
2
STRUCTURAL DYNAMICS ©
Task No.3 – Damped FreeVibration Response of SDOF
disini diterapkan aproksimasi, yaitu sehubungan faktor redaman 2 bernilai 0.5 – 20%, maka ξ dapat diabaikan (untuk struktur dalam aplikasi rekayasa, angka redaman rata-rata ξ=0.05, menghasilkan kesalahan relatif εr =0.25%=0.0025) sehingga,
δ ≅ 2π ξ
ξ ≅
atau
δ 2π
Untu Untuk k mend mendap apat atka kan n hasi hasill yang yang lebi lebih h teli teliti ti,, eval evalua uasi si faktor peredaman perlu mengambil data amplitudo sebanyak m siklus peredaman, sehingga:
ν o −ν o + m 2 m πν o + m
ξ = Langkah
: Menentukan kekakuan lateral sistem (K).
Kekakuan lateral sistem K bila tanpa memperhitungkan redaman (c), K
= m ω 2 = (90.7148 x10 3 )(96.3829) = 8743355 .497
= 85746 .087
kg m
kN
m dimana: m=
W g
=
889.64
= 90.7148 x10 3 kg = 90.7148 ton
9.807 2
2 rad 2π 4(π ) 2 = 96 .3829 2 ω = = 2 T s 0 . 64 m g = 9.807 2 2
s
Langkah
: Menentukan faktor/rasio redaman (ξ).
Penurunan logaritmik, v(0) δ = ln v(1)
30.48 = ln = 0.333144 21.844
sehingga, faktor redaman, 0.333144 δ
≅
ξ
Langkah
2π
=
2(3.14159)
toleransi kesalahan relatif akibat
≅ 0.05275 ≅ 5.275% ± 0.25%
: Menentukan konstanta redaman (c).
Konstanta redaman kritis,
c cr = 2 km
(8743355.497)(90714.8)
kg . s
= 1781181 .344
= 17468.05
=2
m
kN m. s
sehingga, konstanta redaman,
c
= ξ . ccr = (0.05275)(17468.05) = 921.44
Civil Structure Eng. Postgraduate Prog. Hasanuddin Univ Yoppy Soleman, 2005
3
kN m. s
STRUCTURAL DYNAMICS ©
Task No.3 – Damped FreeVibration Response of SDOF
Langkah
: Koreksi perhitungan untuk memperhitungkan peredaman
(c). Frekuensi alami teredam,
ω D
= ω 1 − ξ 2 = (9.8175) 1 − (0.05275) 2 = 9.8038
f =
ω 9.8038 = 2π 2π
Keka Kekaku kuan an lat latera eral peredaman,
K D
= 85507 .303
= 1.560
siste istem m
siklus det ik
deng engan
rad s
= 1.560 Hertz memp memper erhi hitu tun ngka gkan
= mω D 2 = (90714.8)(9.8038) 2 = 8719007 .14
efek efek
kg m
kN
m dengan demikian kesalahan relatif εr yang terjadi bila kekakuan lateral tidak memperhitungkan redaman adalah, 85746 .087 − 85507.303 x100% = 0.279% ε r = 85507.303
Solusi Parameter Sistem Diperoleh parameter-parameter dinamik sbb: a. Kekakuan pegas lateral,
k
= 85507.303
b. Rasio peredaman,
ξ
= 0.05275
c. Kontanta redaman,
c
= 921.44
kN m
kN m. s
Konversi Satuan USC ke SI: 1 ki kip (1000 lb lb) 1 inci
= 4. 4.4482 kN kN = 0.0254 meter
Civil Structure Eng. Postgraduate Prog. Hasanuddin Univ Yoppy Soleman, 2005
4
STRUCTURAL DYNAMICS ©
