APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CES CES An Andrea rea PARMA Facultad de Ciencias Económicas - Universidad de Buenos Aires Especialidad: Especialidad : Matemática Aplicada Palabras clave: clave: cálculo, aplicaciones, función de producción, CES Resumen Este trabajo continúa el análisis de la función de producción CES, elasticidad de sustitución constante, iniciado en el año 2006, mostrando su aplicación en la economía española y argentina. En primer lugar se hace una síntesis de las características fundamentales de dicha función y se lleva a cabo una estimación de la producción agregada para la economía española entre los años 1964 y 1988, que responde a un modelo modelo de Cobb-Douglas Cobb-Douglas con rendimientos rendimientos constantes constantes a escala. En segundo lugar, se estudia la función CES teniendo en cuenta que representa un modelo de regresión no lineal respecto a las variables y a los parámetros. Se emplea la metodología de Kmenta para estimar la función de producción argentina CES entre los años (1980-1997). Finalmente se sintetiza algunos aspectos decisivos que acreditan el reemplazo de la función de Cobb-Douglas por la función CES en la economía argentina de post-guerra y la relación entre el avance tecnológico y la elasticidad de sustitución en dicho período.
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CES Andrea PARMA Facultad de Ciencias Económicas - Universidad de Buenos Aires Especialidad: Matemática Aplicada Palabras clave: cálculo, aplicaciones, función de producción, CES 1. Función de producción CES de ACMS En 1961 Arrow, Chenery, Minhas y Solow (ACMS) desarrollaron una función de producción generalizada llamada CES, la cual, como sucede con la de Cobb-Douglas, se caracteriza por una elasticidad de sustitución constante, aunque no necesariamente igual a uno. La función CES está expresada por:
[
− ρ
Q = A δ K
+
− ρ
(1 − δ ) L
]
−
ν ρ
( A > 0; v > 0; 0 < δ < 1, ρ > -1 ≠ 0)
[1]
donde Q representa la cantidad producida, K y L dos factores productivos (en general capital y trabajo), A es el parámetro de eficiencia (indicador de estado de la tecnología), δ es el parámetro de distribución (indicador de la participación relativa del factor en el producto), ν es el parámetro de rendimiento a escala y ρ es el parámetro de sustitución (elasticidad de sustitución constante). La función CES es una función homogénea de grado ν , sus productividades marginales son positivas, sus isocuantas son curvas decrecientes y la función de Cobb-Douglas es un caso particular de la misma para ρ → 0 .
(Lazzari, Parma, 2006)
2. Elasticidad de sustituc ión de la fu nción de pr oducción CES Se puede verificar que la elasticidad de sustitución de la función CES es σ =
1
1
1 + ρ
Esto demuestra que σ es una constante cuya magnitud depende del parámetro ρ , y que si: a)
ρ → ∞ ⇒ σ → 0
La función de producción se transforma en una de coeficientes constantes o proporciones fijas. No existe posibilidad de sustitución entre los factores, sino que se combinan como complementos perfectos y las isocuantas forman ángulos rectos b) ρ → 0 ⇒ σ → 1 En este caso la función de producción CES se aproxima a la de Cobb-Douglas, c) 1
ρ
>
0 ⇒ 0 < σ < 1
Lazzari, Parma, 2006. La Función de producción ESC. (Página 5).
Existe sustitución entre los factores, aunque no se da tan fácilmente. Las isocuantas no cortan a los ejes ni son asintóticas a los mismos. d)
−1 < ρ <
0 ⇒ σ > 1
Existe sustitución entre los factores. Las isocuantas cortan a los ejes, lo cual sugiere que es posible la producción con la ausencia de uno de los factores productivos. e) ρ → −1 ⇒ σ → ∞ En este caso las isocuantas son rectas y los bienes son sustitutos perfectos. En la figura 1 se relacionan algunos valores de ρ con la forma que adopta la isocuanta en cada caso. K ρ → ∞
ρ → 0
ρ → −1
L Figura 1
3. Estimación de la función de producción 3.1 Estimación de la función de producción de Cobb-Douglas Para estimar la función de producción de Cobb-Douglas basta aplicar una simple transformación logarítmica Qi ln Qi
ε i es
= A K i
α
Li β
= ln A + α ln K i + β ln Li + εi
la perturbación aleatoria en la función de producción o error estocástico del modelo, distribuido
normalmente con esperanza nula ( E (ε i ) = 0 , ∀i = 1...n ) y varianza constante, pues de lo contrario si E (ε i ) = a ≠ 0 , este sería un efecto constante y por ello determinista sobre la variable exógena Qi . ln Qi
= β 1 + β 2 ln K i + β 3 ln Li + εi
[2]
La expresión [2] es un modelo de regresión lineal. Por lo tanto resulta muy sencillo utilizar estimaciones mínimocuadráticas ordinarias de β i (i = 1, 2, 3) para aproximar la función de producción de Cobb-Douglas.
3.2 La estimación de la función de producción española (1964-1988)
Con el objeto de estimar una función agregada para la economía española, utilizamos la Tabla 1 donde se emplean datos anuales de stock de capital, empleo y PIB, éste último en pesetas constantes de 1980. 2 Año
Q
K
L
A
B
C
D
1964 7527,4
11302,5
11703
1
Año
ln Q
lnK
lnL
1965 8004,2
12578,4
11990,9
2
1964 8,926304976 9,332779219 9,3676005
1966 8568,9
14024,7
12123,4
3
1965 8,987721683 9,439736336 9,39190331
1967 8939,1
15471,3
12198,2
4
1966 9,055894649 9,54857534 9,40289275
1968 9544,7
17036,7
12256,5
5
1967 9,098190192 9,646741974 9,40904368
1969 10398
18814,3
12333,6
6
1968 9,163741306 9,74312512 9,41381169
1970 10822,3 20536,9
12330,7
7
1969 9,249368759 9,842372498 9,42008252
1971 11318
22061,6
12427,1
8
1970 9,289364099 9,929978547 9,41984737
1972 12227,1 23888,2
12650,4
9
1971 9,334149658 10,00159382 9,42763485
1973 13166,9 26010,6
12875,4
10
1972 9,411410079 10,08113989 9,44544411
1974 13866,5 28214,8
13041,7
11
1973 9,485461384 10,16625943 9,46307379
1975 13940,9 30094,6
12823
12
1974 9,537231138 10,24760194 9,4759072
1976 14397,2 31819,3
12587,4
13
1975 9,542582245 10,31210103 9,45899571
1977 14829,2 33396
12581,8
14
1976 9,574789022 10,3678283 9,44045159
1978 15044
34774,5
12373,4
15
1977 9,604353489 10,41619141 9,4400066
1979 15023,1 35909,7
12173,9
16
1978 9,61873452 10,45663964 9,42330429
1980 15209,1 36991,9
11811,5
17
1979 9,617344296 10,48876273 9,40704959
1981 15171,3 37892,5
11471,8
18
1980 9,629649212 10,51845425 9,37682891
1982 15355,9 38755,6
11358,3
19
1981 9,627160764 10,54250848 9,34764713
1983 15633,2 39488,6
11279,3
20
1982 9,639255044 10,56503054 9,33770403
1984 15914,5 39966,1
10954,9
21
1983 9,657152137 10,5837673 9,33072447
1985 16282,8 40607,3
10854,9
22
1984 9,674985922 10,59578687 9,30154212
1986 16816,4 41504,4
11111,2
23
1985 9,697864615 10,61170313 9,29237187
1987 17748,7 42851,5
11452,2
24
1986 9,73010988 10,63355472 9,31570889
1988 18676,6 44656,5
11780,6
25
1987 9,784067553 10,66549593 9,34593713
26
1988 9,835026682 10,70675515 9,37420939
Tabla 1 Economía española entre 1964-1988
27
0,322
0,630
0,009
28
0,106
0,013
1,053
29
0,992
0,025
Tabla 2. Función de Cobb-Douglas para la economía española
2
Molinas, Sebastián y Zabalza (1991).
En la Tabla 2 se transforman las variables en logaritmos. Utilizando la planilla de cálculo Excel, se realizan las estimaciones minimocuadráticas ordinarias de β i (i = 1, 2, 3) que aparecen en la fila 27. En el siguiente renglón, se especifican los desvíos típicos. β 1
=
β 2
0 ,009
(1 ,053)
=
β 3
0 ,630
(0 ,013)
=
0 ,322
(0 ,106)
En la celda B29 se encuentra el coeficiente de determinación R 2
=
0 ,992 que indica una correlación alta.
El error estandar para la estimación de Q es 0,025, que es muy pequeño. Se observa que existe una mayor participación del capital (próxima a 2/3) respecto al trabajo (próxima a 1/3). A su vez, la suma de las elasticidades estimadas en ambos inputs es próxima a la unidad. Por lo tanto la economía española entre los años 1964 y 1988 tiene una producción agregada de Cobb-Douglas con rendimientos constantes a escala. 3.3. Aproximación de Kmenta para estimar la función de producción CES La función CES representa un modelo de regresión no lineal respecto a las variables y a los parámetros (modelo intrínsecamente no lineal). Qi
[
= A δ K i
− ρ
+
(1 − δ ) Li
− ρ
ν
] ρ eεi −
[3]
Tomando logaritmos naturales en ambos miembros de [3], se obtiene: ln Qi
Si los K i
= ln A −
v ρ
[
ln δ K i − ρ
+
(1 − δ )Li − ρ ] + ε i 3
[4]
y Li son no estocásticos (o estocásticos pero independientes de εi ), se puede establecer la función
de verosimilitud de la manera habitual, calculando las estimaciones maximoverosímiles de A , δ , ν, y ρ con una calculadora. Es posible obtener una estimación alternativa4 más sencilla de los parámetros de la función CES sustituyendo [4] por su aproximación lineal respecto de ρ mediante el desarrollo en serie de Taylor en un entorno de ρ = 0 . Eliminando los términos en los que ρ aparece con exponentes mayores que la unidad: ln Qi
=
ln A + νδ ln K i
+v
(1 − δ ) ln Li −
1 2
ρνδ (1 − δ ) [ln K i
− ln Li
]2 + ε i
[5]
El segundo miembro de la expresión [5] se puede dividir en dos partes, una corresponde a la función de CobbDouglas, mientras que la otra representa una corrección para el caso en que ρ no se aproxime a 0. La expresión
ln Qi
= β 1 + β 2
ln K i
+ β 3
lineal múltiple. Si la estimación de
3
ln Li
+ β 4
[ln K i
− ln Li
]2 + ε i [6] corresponde a un modelo de regresión
β 4 , no es significativamente distinta de cero, se rechaza el modelo CES a
Error estocástico del modelo, distribuido normalmente con esperanza nula. Kmenta, J. (1971).
4
favor del modelo de Cobb-Douglas. Los parámetros de la expresión [6] están relacionados con los de [5] de la siguiente forma: A = anti log β 1
δ =
β 2 β 2
+ β 3
ν = β 2
+
β 3
ρ =
−
2 β 4 ( β 2
+ β 3
)
β 2 β 3
[7]
Por lo tanto, se pueden utilizar las estimaciones minimocuadráticas ordinarias de β i (i = 1, 2, 3, 4) para obtener las aproximaciones de los parámetros de la expresión [5]. El error de aproximación de la función CES depende de la proximidad de ρ a 0, de la relación de los dos factores productivos y de los valores de los parámetros que se obtienen. 3.4. Ejemplo de uso de la metodología de Kmenta para estimar la funci ón de produ cción. Año
PBI
K
L
A
C
D
E
F
lnK
lnL
(lnK-lnL)2
1980 10302,3 16824,41 8331,5
1
Año
lnPBI
1981 9743,7 17293,46 8304
2
1980
9,2401 9,7306 9,0278 0,4939
1982 9435,9 17397,98 8446
3
1981
9,1844 9,7581 9,0245 0,5382
1983 9823,9 17307,33 8502
4
1982
9,1523 9,7641 9,0414 0,5222
1984 10020,3 17210,27 8705
5
1983
9,1926 9,7589 9,0481 0,5053
1985 9323,9 17025,02 8814
6
1984
9,2124 9,7533 9,0717 0,4646
1986 9989,4 16794,71 9154
7
1985
9,1403 9,7424 9,0841 0,4334
1987 10248,2 16672,41 9419
8
1986
9,2093 9,7288 9,1219 0,3683
1988 10054,1 16600,8 9595,5
9
1987
9,2349 9,7215 9,1505 0,3261
1989 9356,7 16395,24 9695
10
1988
9,2157 9,7172 9,1690 0,3005
1990 9185,4 16008,75 9797
11
1989
9,1438 9,7047 9,1794 0,2760
1991 10157,1 15714,62 10222
12
1990
9,1254 9,6809 9,1898 0,2411
1992 11132,8 15777,1 10498
13
1991
9,2259 9,6623 9,2323 0,1849
1993 11769,9 16105,23 10633
14
1992
9,3177 9,6663 9,2589 0,1660
1994 12712,2 16649,64 10608,5
15
1993
9,3733 9,6869 9,2717 0,1724
1995 12201,4 17165,93 10327,5
16
1994
9,4503 9,7201 9,2694 0,2032
1996 12784,6 17584,22 10442,5
17
1995
9,4093 9,7507 9,2426 0,2582
1997 13896,8 18327,58 11106,5
18
1996
9,4560 9,7748 9,2536 0,2716
Tabla 3. Economía argentina 1980-1997
19
1997
9,5394 9,8162 9,3153 0,2509
20
3,17
4,82
1,82
-18,25
21
1,43
1,68
1,58
3,82
22
0,85
0,05
Tabla 4. La función CES para la economía argentina
En primer lugar se realiza la estimación de una función de producción agregada para Argentina. En la Tabla 3 se especifican por año el PBI a precios constantes de 1986 en millones de pesos (Ministerio de Economía y Obras y Servicios Públicos de la Nación), el trabajo en millones de personas (INDEC, datos de Empleo de la Encuesta permanente de hogares) y el capital en millones de pesos 5. A partir de esta tabla se utiliza la metodología de Kmenta para estimar la función de producción CES para este período de la Argentina. ln Qi
= β 1 + β 2
ln K i
+ β 3 ln Li + β 4
[ln K i − ln Li ]2 + ε i
La Tabla 4 transforma las variables en logaritmos. Los resultados de la estimación lineal, empleando el Excel, se muestran en el rango de celdas C20:F22, donde la primer fila corresponde a los β i (i = 1, 2, 3, 4) y la segunda a los respectivos desvíos típicos. β 1
= −18 ,25
β 2
(3 ,82 )
= 1 ,82
β 3
(1 ,58)
=
4 ,82
β 4
(1 ,68)
En la celda C22 se encuentra el coeficiente de determinación R 2
=
=
3 ,17
(1 ,43) 0 ,85 que indica una correlación alta.
El error estandar para la estimación de Q es 0,05, que es muy pequeño. Como β 4 =3,17 es significativamente distinto de 0, se rechaza el modelo Cobb-Douglas a favor del modelo CES. A = anti log β 1
δ
β 2
=
β 2
+ β 3
A = 1 ,2.10 −8
Como
ρ
>
0 ⇒ 0 < σ < 1
ν
δ = 0 ,6
= β 2 +
β 3
ν=3
ρ
=
−
2 β 4 ( β 2
+ β 3
)
β 2 β 3
ρ = 2 ,2
σ = 0 ,3 , existe sustitución entre los factores. Las isocuantas no cortan a los ejes ni
son asintóticas a los mismos. El parámetro
ν = 3
indica rendimiento a escala creciente. El coeficiente
A = 1 ,2.10 −8 nos indica poca influencia de nuevas tecnología para la producción del país.
4. Pasaje de la función de Cobb-Douglas a la funci ón CES en la Argentina. 4.1. El crecimiento industrial de la post-guerra en la Argentina Jorge Katz realizó una investigación detallada sobre el crecimiento industrial argentino en el período que se extiende de 1946 a 1961. En esta última sección se señalarán algunos detalles importantes de este trabajo que permitirán mostrar la pertinencia del reemplazo de la función de Cobb-Douglas por la función de producción generalizada CES en la Argentina en el período de estudio 6. Dicho período se puede dividir en dos partes. Uno que se extiende entre 1946 -1953 y el otro entre 1954-1961. Desde fines de los años treinta hasta mediados de los años 50, el capital privado extranjero había desaparecido de la Argentina producto de las nacionalizaciones de los años 1947-1950. Durante 1953-1954 se produjeron muchos cambios en el país tanto en política interna 5
Meloni, Osvaldo. “Algunas estimaciones del producto potencial de la Argentina” Jorge M. Katz. “Production functions, foreign investment and growth”
6
como externa7, que fueron determinantes para el crecimiento en la utilización del capital y nuevas tecnologías en las industrias. A fines de los años 50, las industrias Petroquímicas, Químicas, Automotores, Maquinarias y Equipamiento Eléctrico, Maquinarias para agricultura y Metalúrgicas se expandieron en forma considerable. Otro factor influyente en el país en materia industrial durante el período mencionado, se refiere a las políticas laborales. La depresión de 1951-1952, provocó un alza inflacionaria importante e hizo que el gobierno tomara medidas de ajuste, congelando los sueldos entre 1952-1954. Movilizaciones laborales empezaron a actuar, aumentando los problemas del mercado laboral. Esto último como así también la nuevas tecnologías introducidas en el sector industrial, hizo más fácil la sustitución del capital por el trabajo en el período 1954-1961. Período
Producción
Trabajo
Capital
1946-1954 3,5 %
2,2 %
5,8 %
1955-1961 5,2 %
1,7 %
2,1 %
1946-1961 4,6 %
2,1 %
4,2 %
Tabla 5. Crecimiento en el sector industrial argentino.
En la Tabla 5 se puede observar que en el período 1946-1961 el porcentaje de crecimiento del capital fue más alto que el del trabajo. En segundo lugar, el crecimiento de la producción fue mayor que el de ambos factores. En tercer lugar, el porcentaje de crecimiento de ambos factores productivos, capital y trabajo, cayó entre 19551961. Esto último hace pensar que el aumento de producción en el último período tiene que ver más con el avance de la tecnología que con el crecimiento de ambos factores productivos. 4.2. El avance de la tecnología en la Argentina part ir del modelo de Cobb-Douglas En la función de Cobb-Douglas
Q
δ
= A L
1− δ
K
, A representa un parámetro de eficiencia (indicador del estado
de la tecnología), que puede aumentar o disminuir la producción total, dejando la elasticidad de sustitución entre los factores constante. A su vez, δ es la elasticidad de la producción respecto al trabajo y 1 − δ la elasticidad de la producción respecto al capital. Aplicando logaritmo neperiano en ambos miembros a la expresión anterior se obtiene ln Q = ln A + δ ln L + (1 − δ ) ln K Derivando ambos miembros y asumiendo que δ es constante, queda la expresión Q′ Q
=
A′ A
+
δ
L ′ L
+
(1 − δ )
K ′ K
[8]
La expresión [8] indica que la velocidad relativa de crecimiento de la producción, por velocidad relativa de crecimiento del trabajo
L ′ L
y del capital
K ′ K
Ley 1957 de inversión extranjera y ley 1958 de promoción de la industria.
7
Q′ Q
está determinada no solo
sino también de la tecnología
A′ A
. Por lo
tanto si se necesita calcular
A′ A
se puede obtener como residuo de la ecuación [8]. En la Tabla 6 se considera la
medida de la velocidad de cambio de la tecnología en el sector industrial argentino. Se observa allí que, en el período 1955-1961, el acelerado crecimiento en el porcentaje de producción es contemporáneo al porcentaje de aumento de avances en la tecnología. A su vez, la suma de las elasticidades es aproximadamente igual a la unidad en ambos períodos y en la totalidad (rendimientos constantes a escala). Si bien el modelo de CobbDouglas brinda una primer medida de los cambios tecnológicos en los dos períodos de los años de Post-guerra, el modelo tiene sus limitaciones y no puede ser considerado como un parámetro industrial. % crecimiento en
%
la producción
progreso en la tecnología
0,37
3,5 %
0,6 %
0,66
0,34
5,2 %
3,2 %
0,64
0,36
4,6 %
1,3 %
Período
Trabajo
Capital
1946-1954
0,63
1955-1961 1946-1961
Tabla 6. Progreso tecnológico de la economía Argentina
4.3. Limitaciones de la func ión de producci ón de Cobb-Douglas en la Argentina. La primera limitación es que se trabaja en forma global, sin comparar los comportamientos de diferentes tipos de industrias del país en los períodos estudiados. La elasticidad de sustitución para la función Cobb-Douglas es siempre igual a uno y se decide a priori, no importando las diferencias entre los diferentes sectores industriales. Puede ocurrir que una industria tenga una elasticidad de sustitución más alta que otra, pudiendo sustituir más fácilmente un factor productivo por otro. 4.4. La función de producc ión CES en la Argentina de post-guerra. Surge entonces la necesidad de aplicar otro tipo de función generalizada como la CES para el análisis de la economía industrial argentina de post-guerra que como ya se ha dicho anteriormente se caracteriza por una elasticidad de sustitución constante, aunque no necesariamente igual a uno. La Tabla 7 muestra las
elasticidades de sustitución del capital por el trabajo en 15 industrias argentinas en 1946 y la Tabla 8 las elasticidades de sustitución de 10 industrias argentinas en 1954. Al comparar las mismas 10 industrias, al pasar de 1946 a 1954, la elasticidad de sustitución creció en 5 casos (Químicas, Automotores, Máquinas y Equipamiento Eléctrico, Papelera e Imprenta), se mantuvo estable en dos (Vidrios-Piedras y Tabaco) y decreció en tres sectores (Productos de cuero, Alimenticia y Metalúrgica). Otra conclusión que se extrae de la comparación de las tablas anteriores, es que la elasticidad de sustitución es cercana a 0 en sólo 2 casos en 1946 (Automotores y Máquinas y Equipamiento Eléctrico) y en un único caso (Metalúrgica) en 1954. Además, de las 15 industrias en 1946, 8 de ellas tienen elasticidad de sustitución significativamente distinta de uno y de las
10 estudiadas en 1954, 6 tienen elasticidad de sustitución lejana a la unidad. Esto último nos confirma las limitaciones de las funciones de producción de Cobb-Douglas ( σ = 1 ) y Harrod- Domar ( σ = 0 ). Industria
Elasticidad de Sustitución
Alimenticia
Error standard de σ
R 2
1,35
0,25
0,71
Tabacalera
1,76
0,30
0,92
Textil
0,98
0,19
0,87
Lechera
0,84
0,07
0,94
Papelera
1,49
0,80
0,65
Imprenta
0,87
0,10
0,85
Químicas
0,90
0,19
0,75
Petroquímicas
2,02
0,60
0,55
Productos de goma
0,92
0,17
0,95
Productos de cuero
0,87
0,10
0,87
Vidrios-Piedras
1,19
0,11
0,92
Madera y mobiliario
0,93
0,18
0,73
Metalúrgica
0,87
0,22
0,70
Automotor y maquinaria
0,46
0,20
0,55
0,45
0,16
0,76
σ
Máquinas y equipamiento eléctrico
Tabla 7. Elasticidad de Sustitución de 15 industrias argentinas en 1946 Industria
Elasticidad de Sustitución
Alimenticia
Error standard de σ
R 2
0,87
0,16
0,79
Tabacalera
1,73
0,40
0,90
Papelera
1,63
0,30
0,91
0,91
0,18
0,72
Químicas
1,01
0,13
0,90
Productos de cuero
0,71
0,11
0,82
Vidrios-Piedras
1,20
0,06
0,97
Metalúrgicas
0,47
0,20
0,45
Automotor y maquinarias
0,68
0,22
0,58
1,11
0,20
0,80
σ
Imprenta
Máquinas y equipamiento eléctrico
Tabla 8. Elasticidad de Sustitución en 10 industrias argentinas en 1954
Finalmente la Tabla 9 muestra la relación entre el progreso tecnológico de nuestro país en la post-guerra y la elasticidad de sustitución, estimado a partir de la función de producción CES. Se observa en dicha tabla que el aumento en la elasticidad de sustitiución entre capital y trabajo es contemporáneo al avance tecnológico en el período 1954-1961.
Períodos 1946-1953 1954-1961 1946-1961
Elasticidad de sustitución σ 0,16 (0,09) 0,48 (0,13) 0,23 (0,12)
% crecimiento en la Q
R 2
0,6 4,7 2,1
0,7 0,75 0,8
Tabla 9. Relación entre avance tecnológico y elasticidad de sustitución en 1946-1961
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