Funcion Gamma

FUNCIÓN GAMMA

MATEMÁTICA MATEMÁTICA

PARA INGENIEROS III

LA FUNCIÓN GAMMA 1. Rev Revisió isión n Histór Histórica ica de de la Func Función ión Gamma Gamma La función gamma fue introducida por primera vez por el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783! con el o"#etivo de generalizar la función factorial a valores no enteros$ %ás tarde! por su gran importancia! esta fue estudiada por matemáticos eminentes tales como &drien-%arie Legendre (17'-1833! )arl *riedrich +auss (1777-18''! )hristop )hristoph h +uderman +udermann n (17,8-18 (17,8-18'! '! oseph oseph Liouvill Liouville e (180,-18 (180,-188! 8! .arl /eierst /eierstrass rass (181'-18,7! (181'-18,7! )harles ermite (18-1,01! (18-1,01! al igual ue muchos otros$ La función gamma pertenece a una categor2a de f unciones transcendentes transcendentes especiales!  esta función f unción ocurre en algunas constantes matemáticas especiales$ Esta aparece en varias áreas de estudio! como en las series asintóticas! integrales definidas! series hiper geom4tricas! la función 5eta de 6iemann! teor2a de nmeros! otras$

2. De Dei ini nici ción ón de Ga Gamm mmaa

En matemáticas matemáticas!! la función +amma (denotada como

 es una función función ue  ue etiende

el concepto de factorial factorial a  a los nmeros comple#os$ comple#os $ La notación fue ideada por &drienpor  &drien%arie Legendre$ Legendre$ 9i la parte real del nmero comple#o z es positivo positivo!! entonces la integral

)onverge a"solutamente: esta integral puede ser etendida a todo el plano comple#o ecepto a los enteros negativos  al cero$

GRAFICA! D" LA FUNCI#N GAMMA

Ingeniería Civil

Página 1

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Función Gamma en el eje real $

Valor absoluto de la función gamma en el

#$tención de la ecuación unci%nal usand% inte&ración '%r 'artes

 ;"tener

es sencillo<

  &hora o"tendremos una epresión para <

=samos integración por partes para resolver la integral

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Página 2

como una función de

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En el l2mite inferior se o"tiene directamente

$

En el infinito! usando la regla de L>?pital<

$

@or lo ue se anula el primer t4rmino!

! lo ue nos da el siguiente resultado<

La parte derecha de la ecuación es eactamente una relación de recurrencia<

! con lo ue hemos o"tenido

$

  &pliuemos la fórmula a unos pocos valores<

9i n es un entero positivo! entonces

(. Al&unas unci%nes deinidas s%n 1$ A 1 B1 $ A 1C B   3$ A  D1 B  A   $ A D1 B1∗3∗'F(G11C

Hemostrando del punto 3<

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Página 3

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@or definición tenemos ue< A   B G ∞0∗G1  Entonces A  D1 B G ∞0∗  acemos B B  G1  BG  BGG 

9i reemplazamos en la ecuación A  D1 B GG  0∞D  G ∞0∗G1  A  D1 B  G ∞0∗G1  9i o"servamos la parte derecha es id4ntica a la ecuación inicial de la función de gamma por lo tanto A  D1 B A  

). "*ercici%s+ ∝

∫ x

1. Calcular+

m

−a x n

e

d x , m , n , a> 0

0

1

1 u u u u= a x → x =  → x =( ) n → dx = ( ) a a n a n

acemos

n

1− n

n

du a

9i  x =0, u=0 ; x =∝ →u =∝ 1

a

¿ ¿

1

a

¿ ¿

∝

∝

∫ x

m

−a x 2

e

∫

dx =

0

0

B

n. a

m + 1−n

∝

1 m+ 1

∫

n

0

m

u 1 ( ) n e−n . ¿ a an

u

n

−u

e

1

du=

( )

 Γ  m +1

n.a

n

m +1 n

∝

∴

∫ 0

∝

2. Calcular+

∫

−8 x3

√  x e

dx

0

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Página 

m

−a x

 x e

2

dx =

1 m +1

n.a

n

( )

 Γ 

m +1 n

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PARA INGENIEROS III −2

1

9ea<

3

u= 8 x → x =

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u

3

2

→ dx =

u3 6

du

= = @ara<  x 0, u 0  para x→ ∝ , u → ∝ ∝

∝

∫ √  x e

− 8 x3

u

∫ √ 2

dx =

0

1 6

−u  u

e

6

0

1 6 √ 2

 Γ 

() 1 2

=

√ π  1 = 6 √ 2 6

√

−2 3

du =

1

∝

∫u 6 √ 2

−1 2

−u

e

0

 π  2

Ingeniería Civil

Página !

du =

1

∝

∫u 6 √ 2 0

1 2

−1 − u

e

du