APLICACIONES DE LAS FUNCIONES LINEALES. 1.- Un algodonero recoge 30 Kg cada cada hora, y demora media hora hora preparándose todos los días cuando inicia inicia la jornada. La función lineal que representa esta situación es y = 30x – 15 donde y representa los Kg de algodón recogido y x el tiempo transcurrido en horas. 1.a) Realiza una tabla para la anterior funi!n " #raf$ala. 1.b) %Cuanto& '# (e al#o(!n &e reo#ern en una *orna(a (e + ,ora& Solui!n rimero reali!amos la ta"la. y luego grafcamos / 0tiepo en ,ora&)
" 0'# al#o(!n)
0.#
0
$
$#
$.#
30
%
&#
1.b) 'hora para sa"er cuánto algodón se recoge en ( horas) 1.b) y = 30x – 15 para x = 8 necesitamos necesitamos hallar el *alor de y para eso rempla!amos a la x por su *alor y = 30(8) – 15 = 240 - 15 = 225 +recuer erd da y = 225 '#.
que que
es 8 y 30(8) es
nos queda un producto
2. or el alquiler de un coche co"ran una cuota fija de %0.000 pesos y adicionalmente 3.000 pesos por -ilómetro recorrido. 2.a) E&ribe la ecuación canónica que representa esta función y #raf$ala, 2.b) %unto (inero ,a" 3ue pa#ar para ,aer un reorri(o (e 124 ' y si paga un *alor de #.000 pesos 2.) %uanto& 5il!etro& reorr$ Solui!n
rimero definimos cual es la ecuación para esto tenemos en cuenta esto) /mportante) ara resol*er este tipo de pro"lemas donde nos piden hallar el *alor por unidad consumida y la cuota fija usaremos la ecuación canónica, donde la pendiente de la recta +m es siempre el *alor por unidad consumida y " la cuota fija. 'sí será 6.777 que es el *alor por unidad +-ilómetro recorrido y b es 27.777 que es la cuota fija, quedando la ecuación y = 3.000x + 20.000 , ahora podemos reali!ar la ta"la. X
y
(Km recorrido)
(Valor a pagar)
0
20.000
10
50.000
20
80.000
30
110.000
Con e&to la #rfia no& 3ue(a a&$
2.b) ara sa"er cuánto nos cuesta un recorrido de $%# Km usamos la ecuación lineal y cam"iamos la *aria"le por el *alor de $%# Km, así) " 8 6.7770124) 9 27.777 1 32#.000 %0.000 1 34#.000 " 8 6:4.777
5l *alor en pesos a pagar por un recorrido de $%# Km es de 34#.000 pesos. 2.) n este caso nos dan el valor de y (valor a pagar 65.000 pesos) y nos piden hallar el de X (kilometrae recorrido) podemos hacerlo de dos maneras. La primera: rempla!amos el valor de y en la ecuaci"n# de lo $ue o%tendremos. 65.000 = 3.000X + 20.000 despeando x nos $ueda. 65.000 – 20.000 = 3.000X 45.000 = 3.000X 45.000/3.000 = X X = 15 La segunda: grafcamos la &unci"n y c"mo podemos ver en la gr'fca# para un valor de y igual a 65.000 tenemos un valor de X igual a 15 l kilometrae recorrido por el cual pagamos 65.000 es 15 m.
6) Juan inicia una cuenta en el banco con $20.00 y deposita cada semana $10.00.
x 8 &eana& tran&urri(a&
0
f(x) 8 (!lare& en la uenta
%0 30 &0 #0 0
$
%
3
&
La ta"la y la gráfica anterior muestran la función)
/niciamos con 6%0 dólares +cuando x 1 0, f(x) 1 %0. 5s decir, el interepto en y es %0. 7uando x aumenta en $, y aumenta en $0. 5s decir, la pen(iente es $0.
Definii!n
La función
es lineal si, al aumentar la entrada en 1, entonces la salida siempre aumenta en la misma cantidad on&tante.
La constante en la cual la función aumenta cuando x aumenta en $ se llama pen(iente y se denota generalmente por la letra m. 5l *alor de f(x) cuando x = 0 se conoce como el interepto y se denota generalmente por la letra b.
;o(elar funione& lineale& E*eplo 1
edro tra"aja la*ando autos. or cada auto que la*a gana %0 dólares. 8oy al iniciar el día cuenta su dinero y *e que tiene &0 dólares. $. 9odelar una función que reci"a de entrada la cantidad de autos que la*a edro y de*uel*a la cantidad de dinero que tiene. %. Usar la función para determinar cuánto dinero tendrá si la*a %# autos. Solui!n
:ecesitamos una función que haga lo siguiente)
*a siguiente ta%la muestra algunos de los valores de la &unci"n+
0
x 8 anti(a( (e auto&
$
%
3
&
&0 0 (0 $00 $%0
f(x) 8 (!lare&
'sí *emos que esta es una función lineal.
7uando el *alor de entrada es 0, el *alor de salida es &0. 5s decir, el interepto es &0. 7uando el *alor de entrada aumenta en $, el *alor de salida aumenta en %0, por lo tanto, la pen(iente s %0.
La ta"la anterior se puede reescri"ir epresando f(x) como ,0 m's el n-mero de autos lavados mulplicados por 20 d"lares. x
0
$
%
3
f(x)
&0 0 ; %0
&0 $ ; %0
&0 % ; %0
&0 3 ; %0
'hora podemos usar la fórmula para determinar cuánto dinero tendr= edro si la*a %# autos) F(25)= 40 + 20(25)=540 E*eplo 2
Una empresa adquiere una máquina por 6$%000. 5l *alor de depreciación anual de la máquina es 6%000. $. 9odelar una función que reci"a de entrada el n>mero de a?os transcurridos de la compra y de*uel*a el *alor actual de la máquina. %. Usar la función para determinar cuándo el *alor de la máquina será 60. Solui!n
:ecesitamos una función que haga lo siguiente)
*a siguiente ta%la muestra algunos de los valores de la &unci"n+
0
x 8 a
$
%
3
&
6$%000 6$0000 6(000 6000 6&000
f(x) 8 =alor (e la 3uina
'sí *emos que esta es una función lineal.
7uando el *alor de entrada es 0, el *alor de salida es $%000. 5s decir, el interepto es $%000. 7uando el *alor de entrada aumenta en $, el *alor de salida disminuye en %000, por lo tanto, la pen(iente es @%000.
La ta"la anterior se puede reescri"ir epresando f(x) de la siguiente manera+ x
0
$
%
3
f(x)
6$%000 0 ; +@%000
6$%000 $; +@%000
6$%000 % ; +@%000
6$%000 3 ; +@%000
'hora podemos usar la fórmula para determinar cuánto el *alor de la máquina será 0) 0 = 12000 - 2000(x)
5l director de una escuela anali!a la matrícula de sus estudiantes. 5l a?o que se fundó la escuela, inició con &00 estudiantes. ' partir de entonces la matrícula de estudiantes fue aumentando en #0 cada a?o. $. 9odelar una función que reci"a de entrada el n>mero de a?os transcurridos desde la fundación de la escuela y de*uel*a la cantidad de estudiantes. %. Usar la función para determinar cuántos estudiantes ha"rá despu=s de $# a?os de su fundación. Solui!n
:ecesitamos una función que haga lo siguiente)
*a siguiente ta%la muestra algunos de los valores de la &unci"n+ x 8 a
0
$
%
3
&
f(x) 8 anti(a( (e e&tu(iante&
&00 � #00 ##0 00
'sí *emos que esta es una función lineal. 7uando el *alor de entrada es 0, el *alor de salida es &00. 5s decir, el interepto es &00. 7uando el *alor de entrada aumenta en $, el *alor de salida aumenta en #0, por lo tanto, la pen(iente es #0.
La ta"la anterior se puede reescri"ir epresando f(x) de la siguiente manera+ x
0
$
%
3
f(x)
&00 0 ; +#0
&00 $ ; +#0
&00 % ; +#0
&00 3 ; +#0
'hora podemos usar la fórmula para determinar cuántos estudiantes tendrá despu=s de transcurridos $# a?os) f(15) = 400 +50(15)=1150
La escuela tendrá $$#0 estudiantes.
5A5B7/7/CD 7C:75EU'L5D $ Di x representa los dólares que podemos gastar y Fy” representa el n>mero de "ananas que podemos comprar y cien "ananas cuestan 20 dólares, entonces la relación entre x y y es lineal. Pa&o 1 Analizar problea
i. x / d"lares gastados# y / %ananas compradas ii. uando x aumenta en 1# y aumenta en 0# es decir# la pendiente es 0 aso 2+ omo la relaci"n de d"lares gastados y %ananas compradas ene pendiente 0# entonces la relaci"n entre y y es lineal.
% Di x representa las horas que hemos conducido y y representa la distancia que hemos recorrido y *iajamos a una *elocidad constante de (0 -ilómetros por hora, entonces la relación entre F x” y Fy” es lineal.
'nali!ar pro"lema) Pa&o 1 i. 1 horas conducidas, y 1 distancia recorrida
ii. 7uando aumenta en $, y aumenta en (0, es decir, la pendiente es (0 Pa&o 2 7omo la relación de horas conducidas y distancia recorrida tiene pendiente (0, entonces la relación entre >/? y FyG es lineal. 3 Di / representa el n>mero de tra"ajadores que contratamos y F "? representa el
dinero gastado en salarios cada día y cada tra"ajador co"ra 0 dólares por día, entonces la relación entre F/? y F"? es lineal.
Pa&o 1) 'nali!ar pro"lema)
i. 1 tra"ajadores contratados, y 1 salario diario de tra"ajadores ii. 7uando aumenta en $, y aumenta en 0, es decir, la pendiente es 0 Pa&o 2 7omo la relación de tra"ajadores contratados y salario diario de
tra"ajadores tiene pendiente 0, entonces la relación entre FG y FyG es lineal. & Di representa los -ilómetros que hemos conducido y y representa la gasolina que se han quemado y quemamos un galón de gasolina cada (0 milla, entonces la relación entre >/? y >"? es lineal. Pa&o 1 'nali!ar pro"lema) i. x 1 -ilómetros conducidos, y 1 gasolina gastada ii. 7uando x aumenta en $, y aumenta en (0, es decir, la pendiente es (0 Pa&o 2 7omo la relación de -ilómetros conducidos y gasolina gastada tiene pendiente (0,
entonces la relación entre y y es lineal A,ora 3ue ,a& opleta(o e&ta lei!n@ ere& apaz (e
Beconocer una función lineal.
